月考数学试题(文)

学必求其心得，业必贵于专精2012—2013年华南师大附中高三综合测试(二）试题数学（文科)本卷共20小题，满分150分，时间120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1、已知集合11{2,1,0,1,2}{|28R}2x M N x x +=--=<<∈，，，则M N =( ）A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1,2}--C ．{0,1}D ．{10}-，2、设a ∈R ,若i i a 2)(-（i 为虚数单位)为正实数，则a =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3、一组数据20,30,40,50,50,60,70,80的平均数、中位数、众数的大小关系是A ．平均数>中位数>众数B ．平均数<中位数<众数C ．中位数<众数<平均数D ．众数=中位数=平均数4、若 ]2,4[ππθ∈，47sin =θ，则θ2sin =（ ）A 。

错误! B. －错误! C. 错误! D. －错误!5、设 S n 为等差数列 {a n ｝ 的前 n 项和，若S 3 = 3,S 6 = 24，则a 9 =（ ）A. 13 B 。

14 C 。

15 D 。

166、已知－7，1a ，2a ，－1四个实数成等差数列，－4，1b ，2b ，3b ，－1五个实数成等比数列，则212b a a-=（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．±17、函数],0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A.[0，3π］B.［12π，12π7］C.［3π，6π5]D.[6π5，π］8、已知xx f )21()(=，其反函数为)(x g 则)(2x g 是（ ）A 。

奇函数且在),0(+∞上是增函数;B.偶函数且在),0(+∞上是增函数; C 。

奇函数且在)0,(-∞上是增函数；D.偶函数且在)0,(-∞上是增函数；9、△ABC 中，∠C = 60°，且CA = 2，CB = 1，点M 满足 错误!= 2错误!,则 错误!·错误!=（ )A. 4 + 错误! B 。

修水一中高三第一次统考数学试题（文）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．集合2{280}A x x x =--<，集合2{230}B x x x =--<，则R A C B 是（ ）A .(2,3)-B .(,3)-∞C .(,4]-∞D .(,)-∞+∞2．f （x ）=⎩⎨⎧≥<+4,24),1(x x x f x ，则()2log 3f ＝ （ ）A ．-23B ．11C ．19D ． 243．函数y =（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 4．命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ）A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+> D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+> 5．下列四个函数中，在区间（-1，0）上为减函数的是（ ）A ．x y 2log =B ．y=cosxC ．xy )21(-=D ．31x y =6．设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则 A ． a<b<c B ． a<c<bC ． b<c<aD ． b<a<c7．设全集)},1ln(|{},12|{,)3(x y x B x A R U x x --==<==+则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．{x |x ＞0}B ．}03|{<<-x xC ．}13|{-<<-x xD ．}1|{-<x x8．幂函数(1) 1-=x y 以及（2）直线y=x ，（3）y=1，（4）x=1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”： Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，（如图所示）， 则函数23-=x y 的图象在第一象限中经过的“卦限”是（ ）A 、Ⅳ、ⅦB 、Ⅳ、ⅧC 、Ⅲ、ⅧD 、Ⅲ、Ⅶ9．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立，则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中，最小的一个不可能是（ ）A ．)1(-fB ．)1(fC ．)2(fD ．)5(f10．图中的图象所表示的函数的解析式为A ．|1|23-=x y (0≤x ≤2)B ．|1|1--=x y (0≤x ≤2)C ．|1|23--=x y (0≤x ≤2) D ．|1|2323--=x y (0≤x ≤2)11．设函数f(x)(x ∈R)为奇函数， =+=+=)5(),2()()2(,21)1(f f x f x f f 则 （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．512．若函数f(x)＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a>3或a<－1D ．－1<a<3二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

重庆市第一中学2014-2015学年高二4月月考数学（文）试题 2015.4一、选择题（每小题5分，共50分）1、若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =（ ） A 、{}0,1,2,3,4 B 、{}0,4 C 、{}1,2 D 、{}32、下列函数中,既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是（ ） A 、22y x =-+ B 、1y x = C 、2x y -= D 、ln y x =3、设i i z ++=11，则=||z （ ）A 、21B 、2C 、23D 、224、已知条件1:≤x p ,条件11:<x q ,则p 是q ⌝成立的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要条件5、已知函数),(,0,20,2)(R a x x a x f x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧<≥⋅=-若[]==-a f f ，则1)1(（ ) A 、14 B 、12C 、1D 、2 6、已知函数)(x f y =的定义域为[]3,0,则函数)1(2-=x f y 的定义域为( ) A 、[]3,0 B 、[]8,1- C 、[]2,1 D 、[][]2,11,2 --7、已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，有13)(-=x x f ，则)2015(f 的值等于（ ） A 、25 B 、-2 C 、2 D 、25-8、函数)42(21)(2<<++-=x x x x x f 的值域为（ ）A 、]71,(-∞ B 、]71,81[ C 、]71,81( D 、]71,0(9、已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、1210、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A 、[2,)+∞B 、[2,)+∞C 、(0,2]D 、[2,1][2,3]--二、填空题（每小题5分，共25分）11、函数x x x f 2221)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛=单调递增区间是________．12、若命题”“032,0200<-++∈∃m mx x R x 为假命题，则实数m 的取值范围是________.13、设函数=-=+=)(,11)(1cos )(3a f a f x x x f 则，若_______. 14、已知函数)(x f 的值域是]94,83[,则函数)(21)(x f x f y -+=的值域为_____. 15、定义在R 上的偶函数)(x f 满足：),()2(x f x f -=-且在]0,1[-上是增函数，有下列一些关于)(x f 的判断：①)(x f 是周期函数；②0)5(=f ；③)(x f 在]2,1[上是减函数；④)(x f 在]1,2[--上是减函数.其中正确的判断有_________.（请把你认为正确判断的番号都填上）三、解答题（共75分） 16、（13分）已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}0103{2≥++-=x x x Q（1）若3a =，求集合Q P C R)(； （2）设0a >，若P Q P = ，求实数a 的取值范围. 17、（13分）已知条件:p 关于x 的函数x a y )10(2-=在R 上单调递增；条件:q 存在实数]2,1[-∈m 使得不等式55222+≤--m a a 成立．如果“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18、（13分）已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数)0,0(>>b a 。

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题一、单选题1．若集合{P x N x =∈≤，a = ）A ．aP B ．{}a P ∈C ．{}a P ⊆D ．a P ∉【答案】D【解析】由a N =，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解. 【详解】因为a N =，集合{P x N x =∈≤，所以a P ∉，{}a P ⊆/. 故选：D. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.2． 设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >， 求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．已知1275a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1357b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，25log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）． A ．b a c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】C【解析】先与0比较，c 小于0，再a 与b 比较，即可判断大小. 【详解】12125757a -⎛⎫=⎛⎫= ⎝⎭⎪⎭⎪⎝<135()7b =，因此c a b << 故选：C. 【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4．已知集合{}0M x x a =-=，{}10N x ax =-=，若M N N =，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．1-C ．1或1-D ．以上答案都不对 【答案】D 【解析】由M N N =，转化为N M ，分N =∅和 N ≠∅两种情况讨论求解.【详解】已知集合{}{}0M x x a a =-==，{}10N x ax =-=， 因为MN N =，所以N M ，当N =∅时，0a =，符合题意； 当N ≠∅时，{}110N x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则1a a=，解得1a =±， 综上：实数a 的值是0或1或-1 故选：D 【点睛】本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5．若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=-，则()6f -=（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2【答案】A【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数，再根据奇函数求解即可. 【详解】解：∵()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =， ∵()()2f x f x -=-，∴()()(4)(2)22(())()f x f x f x f x f x -=--=--=--=， ∴函数()f x 的周期为4， ∴()()()6200f f f -=-=-=． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数的周期性，是基础题.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2+a b 等于( ) A ．22 B ．23C ．12D ．10【答案】B【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．7．高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数()v f h =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的自变量为水深h ，函数值为水的体积，得到水深h 越大，水的体积v 就越大，而且增的速度先慢后快再慢的，即可求解. 【详解】由图可知水深h 越大，水的体积v 就越大，故函数()v f h =是个增函数，故排除A ，C 项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力.8．已知直线l 过点(0,2)-，当直线l 与圆222x y y +=相交时，其斜率k 的取值范围是（ ） A．(-B．(,)-∞-⋃+∞C．44⎛- ⎝⎭D．,44⎛⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得1d =<，即可得解.【详解】圆222x y y +=的方程可变为()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，因为直线l 过点(0,2)-，且斜率为k ，所以直线l 的方程为2y kx +=即20kx y --=， 若要使直线l 与圆相交，则圆心到直线l的距离1d =<，解得((),k ∈-∞-⋃+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9．已知函数25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -<B ．32a --C ．2a -D ．以上答案都不对 【答案】B【解析】设2()5(1)g x x ax x =---，()(1)ah x x x =>，由25(1)()(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩，，在R 上是增函数，则()g x 在1x ≤时单调递增，()h x 在()1,+∞上递增，且()(1)1g h ≤，从而可求. 【详解】函数25,(1)(),(1)x ax x f x a x x⎧---⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，设2()5(1)g x x ax x =---，，()(1)ah x x x=>，， 由分段函数的性质可知，函数2()5g x x ax =---在(],1-∞单调递增，函数()a h x x=在(1,)+∞单调递增，且()(1)1g h ≤，∴1206a a a a⎧-⎪⎪<⎨⎪--⎪⎩，∴203a a a -⎧⎪<⎨⎪-⎩解得32a -- 故选：B. 【点睛】考查分段函数在R 上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题. 10．定义在R 上的函数()y f x =，恒有()(2)f x f x =-成立，且()(1)0f x x '⋅->，对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件是（ ）． A ．211x x >≥ B ．122x x +>C ．122x x +≤D ．2112x x >≥【答案】B【解析】根据题中条件，先得到()f x 关于1x =对称；判定函数单调性，分别讨论11x ≥，11<x 两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】由()(2)f x f x =-，得函数()f x 关于1x =对称， 由()(1)0f x x '⋅->得，当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 为增函数， 当1x <时，()0f x '<，此时函数()f x 为减函数， 因为12x x <，若11x ≥时，函数()f x 在1x >上为增函数，满足对任意的12x x <，()()12f x f x <，此时122x x +>；若11<x ，∵函数()f x 关于1x =对称，则()()112f x f x =-，则121x ->，由()()12f x f x <得()()()1212f x f x f x =-<，此时122x x -<，即122x x +>；即对任意的12x x <，()()12f x f x <得122x x +>； 反之也成立，所以对任意的12x x <，则()()12f x f x <成立的充要条件为“122x x +>”. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键，属于常考题型.11的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ） A．3B ．12C．2D ．13【答案】A【解析】由题意，2b ac =，得)22ac a c =-，20e +=，所以2e =， 故选C ．点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线l 是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则有22b ac =，整理后同除以2a20e +=，求出离心率．12．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称.据此可推测，对任意的非零实数,,,,,a b c m n p ，关于x 的方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ ） A ．{1,6}- B ．{2,4} C ．{2,5,4,7} D ．{1,4,8,16}【答案】D【解析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =-对称．而选项D 中4811622++≠. 故选：D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f tg x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 二、填空题13．函数y =________． 【答案】[0,3]【解析】. 【详解】因为20x ≥，所以299x -≤，又要使根式有意义，则290x -≥，所以2099x ≤-≤，所以03≤≤，故函数y =[0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】本题考查了具体函数值域的求解，属于基础题.14．已知()f x 为奇函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则()y f x =的解析式为______.【答案】()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩【解析】由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()()f x f x =--，且当0x >时，0x -＜，将x -代入()()f x f x =--可得答案. 【详解】解：由()f x 为奇函数，可得()f x 的定义域关于原点对称，且()00f =，()()f x f x =--，当0x >时，0x -＜，故()(ln 3()3])[ln x f x f x x x x =--=--=++-，∴()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩.故答案为：()ln()3,00,0ln 3,0x x x f x x x x x -+<⎧⎪==⎨⎪-+>⎩. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，相对简单. 15．若函数()2cos()f x x m ωθ=++对任意的实数f()()99t t f t ππ+=-都有且()3,9f π=-则m =_______ .【答案】1- 或5-【解析】对任意的实数f()99t t f t 都有ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,说明函数图像的一条对称轴为9x π=，()39f π=-，则23m ±+=- ，1m =- 或5m =-.16．如图，在长方体1111ABCD A B C D －中，16,3,8AA AB AD ===， 点M 是棱AD 的中点，N 在棱1AA 上，且满足12AN NA ＝，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点(含边界)，若1C P ∥平面CMN ，则线段1C P 长度最小值是________.【解析】取11A D 的中点Q ,过点Q 在面11ADD A 作MN 的平行线交1DD 于E则易知面1//C QE 面CMN ,在1C QE ∆中作1C P QE ⊥,则1C P .三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若223cos cos 20A A +=，且ABC 为锐角三角形，7a =，6c =，求b 的值；（2）若a =3A π=，求b c +的取值范围．【答案】（1）b ＝5（2）b c +∈【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得cos A ，再由余弦定理，解方程可得b ；（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围； 【详解】解：（1）22223cos cos223cos 2cos 10A A A A +=+-=，∴21cos 25A =，又A 为锐角，1cos 5A =， 而2222cos a b c bc A =+-，即2121305b b --=， 解得5b =或135b =-（舍去），5b ∴=；（2）由正弦定理可得22(sin sin )2sin sin 36b c B C B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，203B π<<， ∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴b c+∈．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，将两组的分数分成5组：[100,110),[110,120)，[120,130),[130,140)，[]140,150分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两恰为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？附：随机变量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++.【答案】（1）5；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.【解析】（1）由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中，男女生的人数，进而可得样本中分数小于110分的学生中，男女生的人数，根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数，再由古典概型的概率公式即可得解；（2）由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中，男女生的人数，即可完成列联表，计算出2K后，与2.706比较即可得解.【详解】（1）由题意，抽取的100名学生中，男生10030060500⨯=人，女生10020040500⨯=人，所以分数小于110分的学生中，男生有600.005103⨯⨯=人，记为A，B，C，女生有400.005102⨯⨯=人，记为D ，E ，则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，有基本事件为：(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E ，共10种；其中恰为一男一女的基本事件为：(),A D ，(),A E ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，共6种； 故所求概率63105P ==； （2）分数不小于130分的学生中，男生有()0.020.005160150+⨯⨯=人， 女生有()400.03250.0051015⨯+⨯=人， 所以可得22⨯列联表如下：所以22100(15254515)251.7862.7066040307014K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.19．如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN ∥平面PAB ； （II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MNAT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果． 试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点T ，连接，由N 为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT 为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，N 为的中点，所以N 到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故145252BCMS=⨯⨯=. 所以四面体的体积14532N BCM BCMPA V S -=⨯⨯=. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点31,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 与点Q 均在椭圆C 上，且,P Q 关于原点对称，问：椭圆上是否存在点M （点M 在一象限），使得PQM ∆为等边三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2165215M ⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解2,1a b ==，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，代入椭圆的方程，解得M 点的坐标，同理可得直线PQ 的方程，代入求解所以2165215M M x y ==，即可求解点M 的坐标．试题解析：（1）由题意222221314{a bc a a b c +===+，解得2,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）由题意知直线PQ 经过坐标原点O ，假设存在符合条件的点M ，则直线OM 的斜率存在且大于零，,OM PQ OM ⊥= ① 设直线OM 的斜率为k ，则直线:OM y kx =，联立方程组22{14y kxx y =+=，得M M x y ==所以OM =②同理可得直线PQ的方程为1,y x OP k =-=③ 将②③代入①式得= 化简得21110k-=，所以11k=所以M M x y ==，综上所述，存在符合条件的点1515M ⎛ ⎝⎭【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．21．已知函数2()x f x e a =-，()x g x e b =-，且()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线（e 为自然对数的底数）. （1）求b a -；（2）设函数ln 21()()()22h x f x g x mx =--+-，讨论函数()h x 的零点个数. 【答案】（1）1ln 222b a -=-（2）见解析 【解析】（1）由()f x 与()g x 的图象有一个斜率为1的公切线，分别对()f x 与()g x 求导并求出切线方程，列出等量关系可得b a -；（2）利用换元将2()2x xh x e e m '=--转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数()h x 的零点个数. 【详解】（1）2()2=1xf x e '=，可得ln 2ln 21,()222x f a =--=-. ()f x 在ln 21(,)22a --处的切线方程为1ln 2()22y a x --=+，即ln 2122y x a =++-. ()1x g x e '==，0,(0)1x g b ==-. ()g x 在(0,1)b -处的切线方程为(1)y b x --=，1y x b =+-， 故ln 21122a b +-=-， 可得1ln 222b a -=-. （2）由（1）可得22ln 21()()22xx x x h x ea eb mx e e mx =----+-=--， 2()2x x h x e e m '=--，令x t e =，则22y t t m =--，=1+8m ∆，1m 时，220t t m --=有两根，12,t t 且120t t <<，12()2()()0x x h x e t e t '=--=，得：2ln x t =，在2(ln ),t -∞上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞上，()0h x '>， 此时，2(ln )(0)0h t h <=.又x →-∞时，(),h x x →+∞→+∞时，()h x →+∞. 故在2(ln ),t -∞和2(ln ,)t +∞上，()h x 各有1个零点.1m =时，1()2()(1)2x x h x e e '=+-()h x 最小值为(0)0h =，故()h x 仅有1个零点.01m <<时，12()2()()x x h x e t e t '=--.其中120t t <<，同1m ，()h x 在2(ln ),t -∞与2(ln ,)t +∞上， ()h x 各有1个零点，0m =时，2()x x h x e e =-，仅在(0)0h =有1个零点， 108m -<<时，对方程220,180t t m m --=∆=+>. 方程有两个正根12,t t ，12()2()()x xh x e t e t '=--.在1(,ln )t -∞上，()0h x '>，在12(ln ,ln )t t 上，()0h x '<，在2(ln ,)t +∞，()0h x '>.由1212120t t t t ⎧+=⎪⎨⎪<<⎩，可得1211042t t <<<<，故22ln 0,(ln )(0)0t h t h <<=.11110,120,ln 0t t t -<-><，故1(ln )0h t <.故在1(,ln )t -∞上，1()(ln )0h x h t <<， 在12(ln ,ln )t t 上，()0h x <，在2(ln ,)t +∞上，()h x 有1个零点：0x =.18m ≤-时，2()20x x h x e e m '=--≥恒成立，()h x 为增函数，()h x 仅有1个零点：0x =.综上，0m ≤或1m =时，()h x 有1个零点，01m <<或1m 时，()h x 有2个零点.【点睛】本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的交点分别为A B ，（A B ，异于原点），当斜率(k ∈时，求·OA OB 的取值范围. 【答案】（1）1C 的极坐标方程为2cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）(2,.【解析】（1）由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，利用平方关系可得1C 的普通方程，再将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线2C 的极坐标方程2cos sin ρθθ=可化为22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入上式即可得解；（2）分别联立射线(0)l y kx x ≥：＝与曲线1C ，2C 的极坐标方程，求出A B ，两点的极坐标，进而得出·OA OB 的取值范围． 【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=两边同时乘ρ，得22cos sin ρθρθ=，结合cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =；（2）设射线(0)l y kx x ≥：＝的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且(k tan ϕ=∈.联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩得2A OA cos ρϕ== ，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩得2sin cos B OB ϕρϕ==，所以(2sin ·222cos 2,A B OA OB cos tan k ϕρρϕϕϕ⋅==∈=⋅=，即·OA OB 的取值范围是(2,. 【点睛】本题考查三种方程间的互化，考查极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.23．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．（1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.。

2021-2022学年河南省灵宝市高二下学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．复数）z A ．-1B ．1C ．D ．i -i【答案】A【分析】利用复数模长与四则运算进行计算即可.【详解】，所以虚部为-1.()()()21i 1i 1i 1i z -==-+-故选：A2．如图5个数据，去掉后，下列说法错误的是（ ）(,)x y (3,10)D A ．相关系数r 变大B ．相关指数变大2R C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】C【分析】去掉离群点D 后，结合散点图对各个选项进行判断得解.【详解】解：由散点图知，去掉离群点D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数r 的值变大，故选项A 正确；相关指数的值变大，残差平方和变小，故选项B 正确，选项C 错误；2R 解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，故选项D 正确.故选：C ．3．用反证法证明命题①：“已知，求证：”时，可假设“”；命题332p q +=2p q +≤2p q +>②：“若，则或”时，可假设“或”.以下结论正确的是24x =2x =-2x =2x ≠-2x ≠A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确【答案】C【详解】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①的命题否定为，故①的假设正确.2p q +≤2p q +>或”的否定应是“且”② 的假设错误，2x =-2x =2x ≠-2x ≠所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.4．关于下面几种推理，说法错误的是（ ）A ．“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理B ．演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论不一定正确C ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理D ．“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”这是演22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=绎推理【答案】B【分析】根据归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念逐个判断可得结果.【详解】对于，“由金､银､铜､铁可导电，猜想：金属都可以导电.”这是归纳推理，说法正确；A 对于，演绎推理在大前提､小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确，所以说法错误；B 对于，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质是类比推理，说法正确；C 对于，“椭圆的面积，则长轴为4，短轴为2的椭圆的面积.”D 22221(0)x y a b a b +=>>S ab π=2S π=这是演绎推理，说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理和演绎推理以及类比推理的概念，属于基础题.5．在平面内，点到直线的距离公式为()00,x y 0Ax By C ++=d 可求得在空间中，点到平面的距离为（ ）()2,1,2210x y z ++-=A ．BCD ．3【答案】B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为()000,x y z ，0Ax By Cz D +++=d所以点到平面的距离为.()2,1,2210x y z ++-=d 故选B【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．下列使用类比推理正确的是A ．“平面内平行于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中平行于同一平面的两直线平行”B ．“若，则”类比推出“若，则”12x x+=2212x x +=2212x x -=C ．“实数，，满足运算”类比推出“平面向量满足运算”a ()()abc a bc =,,a b c ()()a b c a b c ⋅=⋅ D ．“正方形的内切圆切于各边的中点”类比推出“正方体的内切球切于各面的中心”【答案】D【分析】根据类比结果进行判断选择.【详解】因为空间中平行于同一平面的两直线位置关系不定，所以A 错；因为“若，则”，所以B 错；12x x -=22112x x x =-≠因为，所以C 错；()()a b c a b c ⋅≠⋅ 因为正方体的内切球切于各面的中心，所以正确.选D.D 【点睛】本题考查线面位置关系判断、向量运算律以及正方体性质，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在数学课堂上，张老师给出一个定义在上的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这R ()f x 个函数的一条性质：甲：在上函数单调递减；(],0-∞()f x 乙：在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 丙：函数的图像关于直线对称；()f x 1x =丁：不是函数的最小值.()0f ()f x 张老师说：你们四位同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】采用反证法判断.【详解】假设甲，乙正确，则丙，丁错误，与题意矛盾所以甲，乙中必有一个错误假设甲错误乙正确，则在上函数单调递增；[)0,∞+()f x 而函数的图像不可能关于直线对称，则丙错误，与题意矛盾；()f x 1x =所以甲正确乙错误；故选：B8．已知下列命题：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆybx a =+(),x y ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程 中，当解释变量x 增加一个单位时，预报变量平均减少0.5；20.5ˆyx =-ˆy ⑤在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表2R x y 2R 示回归效果越好；⑥对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说， 越小，“与有关系”的把握程度X Y 2K k k X Y 越大．⑦两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好. 则正确命题的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由回归直线恒过样本中心点，不一定经过每一个点，可判断①；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断②；由方差的性质可判断③；由线性回归直线方程的特点可判断④；相关指数R 2的大小，可判断⑤；由的随机变量K 2的观测值k 的大小可判断⑥；残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断⑦．【详解】对于①，回归直线恒过样本点的中心（），可以不过任一个样本点，故①y b x a ∧∧∧=+x y ，错误；对于②，两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，故②错误；对于③，将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，由方差的性质可得方差不变，故③正确；对于④，在回归直线方程2﹣0.5x 中，当解释变量x 每增加一个单位时，y ∧=预报变量平均减少0.5个单位，故④正确；y ∧对于⑤，在线性回归模型中，相关指数R 2表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，R 2越接近于1，表示回归效果越好，故⑤正确；对于⑥，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故⑥错误；对于⑦，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故⑦正确．其中正确个数为4．故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．9．在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N 个学生（），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中100m,N m *=∈N 40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N 的最小值为（ ）附，22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k 0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A ．400B ．300C ．200D ．100【答案】B【分析】根据题目列出列联表，再根据列联表的数据计算值，进而得到关于的关系式，22⨯2K m 求解即可.【详解】由题可知，男女各人，列联表如下：50m 喜欢不喜欢总计男30m 20m 50m 女20m 30m 50m 总计50m50m100m，()22224100900400=450505050m m m K mm -=⨯⨯⨯有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，，解得，410.828m ∴> 2.707m >，m *∈N ，3m ∴≥.min 300N ∴=故选：B10．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）C z ∈1,z i i -=35z i--A ．B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.35z i--(3,5)A 35z i--【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径1z i -=z Z (0,1)C 1r =的圆.表示圆C 上的点到的距离，|35|z i -- (3,5)A 的最大值是，|35|z i ∴--||516CA r +=+=故选B【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.11．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（ ）1C 2C 3C 4C 4C A ．B ．C ．D ．1289649642712827【答案】B【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.{}n C 13C =43【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，131111433n n n n C C C C ---=+=所以为首项为，公比为的等比数列，{}n C 13C =43.34464339C ⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭故选：B.12．如图，“大衍数列”：、、、、来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，024812主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.如图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图，输入，则输出的（ ）n 8m =S =A ．B ．C ．D ．4468100140【答案】C【分析】写出程序运行的每一步，即可得出输出结果.【详解】第1次运行， ，不符合 ，继续运行；211,0,0002n n a S -====+=n m ≥第2次运行，，不符合 ，继续运行；22,2,0222n n a S ====+=n m ≥第3次运行，，不符合 ，继续运行；213,4,4262n n a S -====+=n m ≥第4次运行，，不符合，继续运行；24,8,86142n n a S ====+=n m ≥第5次运行，，不符合 ，继续运行；215,12,1412262n n a S -====+=n m ≥第6次运行，，不符合 ，继续运行；26,18,2618442n n a S ====+=n m ≥第7次运行，，不符合 ，继续运行；217,24,2444682n n a S -====+=n m ≥第8次运行，，符合 ，退出运行，输出.28,32,68321002n n a S ====+=n m ≥100S =故选：C.二、填空题13．已知复数的对应点在复平面的第二象限，则||的取值范围是(2)(1)i()z a a a R =-++∈1i a +________．【答案】【分析】根据的几何意义，得的复平面内对应的点，列出不等式组求得，再(2,1)a a -+1a 2-<<结合复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数在复平面内对应的点，(2)(1)i()z a a a R =-++∈(2,1)a a -+因为该点位于第二象限，所以，解得，2010a a -<⎧⎨+>⎩1a 2-<<所以.|1i|a ⎡+=⎣故答案为：.14．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是______．【答案】乙【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的然后再逐个去判断其他三个人的说法最后看是否满..足题意，不满足排除．【详解】解：先假设甲说的对，即甲或乙申请了但申请人只有一个，.如果是甲，则乙说“丙申请了”就是错的，丙说“甲和丁都没申请”就是错的，丁说“乙申请了”也是()1错的，这样三个错的，不能满足题意，故甲没申请如果是乙，则乙说“丙申请了”就是错的，丙().2说“甲和丁都没申请”可以理解为申请人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故说法不对，丁说“乙申请了”也是对的，这样说的对的就是两个是甲和丁满足题意．.故答案为乙．【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．15．有下列一组不等式：，根据111111111111111111,,,,3424562567826789102+>++>+++>++++> 这一规律，若第2020个不等式为，则__________．11111122m m m n ++++>++ m n +=【答案】6064【分析】由归纳推理得：第个不等式为：，若第2020个不等式为k 111123222k k k ++⋯+>+++，所以，，即可得解．11111122m m m n +++⋯+>++2022m =4042n =【详解】解：因为由，，，，，根据这一111342+>11114562++>1111156782+++>1111116789102++++>⋯规律，则第个不等式为：，k 111123222k k k ++⋯+>+++若第2020个不等式为，11111122m m m n +++⋯+>++即，，22022m k =+=224042n k =+=所以，，2022m =4042n =即，202240426064m m +=+=故答案为：．6064【点睛】本题考查了归纳推理，属于基础题．16．已知变量y 关于x 的回归方程为，其一组数据如表所示：若，则预测y 值可能为2e kx y +=8x =___________.x 23456y1.5e 4.5e 5.5e 6.5e 7e 【答案】8e【分析】由已知回归方程取对数并令，得线性回归方程，根据线性回归直线过中ln z y =2z kx =+心点求得值，然后代入可得预测值．k 8x =【详解】由得：，令，即，2ekx y +=ln 2y kx =+ln z y =2z kx =+因为，2345645x ++++==，1.5 4.5 5.5 6.57ln e ln e ln e ln e ln e 1.5 4.5 5.5 6.57555z ++++++++===将点代入直线方程中，即可得：，(4,5)2z kx =+0.75k =所以回归方程为， 0.752e +=x y 若，则.8x = 0.75828ee ⨯+==y 故答案为：．8e 三、解答题17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，xOy C 22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.xl cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l C （2）直线与曲线交于两点，设点的坐标为，求的值.l C ,M N P ()0,2-22||||PM PN +【答案】（1）曲线：，直线：；（2）.C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=32【分析】（1）利用公式消除参数，可得曲线的方程，再利用直角坐标与极坐标22sin cos 1θθ+=θC 的转化公式求得直线的方程；l （2）利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）曲线：，直线：C 22(2)(1)4x y -+-=l 20x y --=（2）设：(为参数)l 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t 将的参数方程代入,l 22(2)(1)4x y -+-=得,222)(3)4-+-+=,290t -+=故,12t t +=129t t =,22222121212()2501832PM PN t t t t t t +=+=+-=-=故.2232PM PN +=【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2ρcos ρθ以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，sin ρθθ从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.18．设实部为正数的复数，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限z ()12i z +的角平分线上.（1）求复数；z （2）若为纯虚数，求实数的值.()i1i m z m R -+∈+m 【答案】（1）；（2）.3i z =-5-【分析】（1）根据待定系数法求解，设且，由题意得到关于的方程组求i(,z a b a b R =+∈0)a >,a b 解即可．（2）根据纯虚数的定义求解即可．【详解】（1）设，，，由题意：①i z a b =+,a b R ∈0a >2210a b +=，得②()()()()12i 12i i 22i z a b a b a b +=++=-++22a b a b -=+①②联立，解得，得.3a =1b =-3i z =-（2），()()i 1i i113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭所以且，解得.1302m -+=1102m +-≠5m =-19．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行A 车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投x y 放量与年使用人次的散点图如图所示.x yx1234567y611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数lg =+y a b x 模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用(0,0)=⋅>>xy c d c d x人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；y y x （2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户2000.2每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？18000参考数据：其中，.lg ii v y =117nii v v ==∑y v71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.141.54253550.12 3.47参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最()11,x y ()22,x y (),n nx y ˆˆa y bx =-小二乘估计公式分别为.121()()()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ 【答案】（1）适宜，；（2）年.xy c d =⋅0.25ˆ 3.4710x y =⨯6【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设x y c d =⋅xy c d =⋅lg lg lg y c x d =+，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结lg y v =lg lg v c x d =+v x ，果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.xy c d =⋅x y 由，两边同时取常用对数得.x y c d =⋅()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+设，则.lg y v =lg lg v c x d =+因为，，，，4x = 1.54v =721140ii x==∑7150.12==∑i ii x v所以.7172217lg 7==-==-∑∑i i i ii x v x vd xx250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯把代入，得，(4,1.54)lg lg =+v c x d lg 0.54c =所以，所以，ˆ0.540.25vx =+ˆlg 0.540.25y x =+则，0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y+⨯==故关于的回归方程为.y x 0.25ˆ 3.4710xy =⨯（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，80.2583.4710347⨯⨯=每年的收益为（千元），347(10.2)277.6⨯-=总投资千元，800020016000001600⨯==假设需要年开始盈利，则，即，n 277.61600⨯>n 5.76>n 故需要年才能开始盈利.620．已知圆有以下性质：222:C x y r +=①过圆上一点的圆的切线方程是.C ()00,M x y 200x x y y r +=②若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则()00,M x y C M C ,A B 垂直，即.OM AB 1AB OM K K ⋅=-（1）类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程 (不要求证明)；2222:1x y C a b +='()00,M x y （2）若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于2222:1x y C a b +='()00,M x y M 两点，求证：为定值.,A B AB OM K K ⋅【答案】（1）切线方程是；（2）见解析.00221x x y ya b +=【详解】分析：（1）根据类比推理可得结果；（2）设由（1）得过椭圆上点()()1122,,,A x y B x y 的切线的方程是，同理，又过两点的直线是唯一的，直()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=2020221x x y y a b +=,A B 线的方程是，，又，从而可得结果.AB 00221x x y y a b +=2020AB b x k a y =-00OM y k x =详解：（1）过椭圆上一点的的切线方程是()2222:10x y C a b a b =>'+>()00,M x y 00221x x y ya b +=（2）设()()1122,,,A x y B x y 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是，()11,A x y 1l 11221x x y ya b +=∵直线过点，1l ()00,M x y ∴1010221x x y y a b +=同理2020221x x y y ab +=又过两点的直线是唯一的，,A B ∴直线的方程是.AB 00221x x y ya b +=∴，2020AB b x k a y =-又，0OM y k x =∴为定值.22002200AB OM b x y b k k a y x a ⋅=-⋅=-点睛：本题主要考查类比推理、圆锥曲线的切线，圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动23没有兴趣.(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？22⨯90%有兴趣没兴趣合计男55女合计(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率.附表：.22(),()()()()-==+++++++n ad bc n a b c da b c d a c b d χ【答案】(1)有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；90%(2).710【分析】（1）根据已知数据得到列联表，根据列联表中的数据计算出，可得结论；2χ（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100由列联表中的数据可得，()22100451510301003.0305545752533χ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为，23.030 2.706χ≈>所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”；（2）记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n ）,（B,m,n ）,（C,m,n ）,（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ）,（A,B,C ），共10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C ），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m ）,（A,B,n ）,（B,C,m ）,（B,C,n ）,（A,C,m ）,（A,C,n ），共6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求概率为．710P =22．写出以下各式的值：()1______；()()22sin 60sin 30sin 30 +-⋅-=______；()()22sin 150sin 120sin 120+-⋅-=______．22sin 15sin 15sinl5+⋅= 结合的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．()2()1【答案】（1），，； （2）见解析.141414【分析】利用特殊角的三角函数进行计算()1当，，借助于和差角的三角函数公式进行证明即()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=()可．【详解】，()()()2211sin 60sin 30sin 304+-⋅-=，()()221sin 150sin 120sin 1204 +-⋅-=，221sin 15sin 15sinl54+⋅=当，，()2αβ30+=221sin αsin βαsin β4+⋅=证明：，则，αβ30+= β30α=-，()()2222sin αsin βαsin βsin αsin 30ααsin 30α∴++⋅=+-⋅-，2211sin α(cos αα)αcos αα22⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭.222222133111sin αcos ααsin αααcos αsin αsin αcos α442444sin =+++-=+=【点睛】本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 选择题（满分60分）一、单选题（本大题共12小题，共60分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．命题“，”的否定是（ ）0x ∃>210x ->A ．，B ．，0x ∃≤210x ->0x ∃>210x -≤C ．，D ．，0x ∀>210x -≤0x ∀≤210x ->2．椭圆的离心率是（ ）22124x y +=ABCD3．下列说法正确的是（ ）A ．若为假命题，则p ，q 都是假命题p q ∨B ．“这棵树真高”是命题C ．命题“使得”的否定是：“，”x ∃∈R 2230x x ++<R x ∀∈2230x x ++>D ．在中，“”是“”的充分不必要条件ABC △A B >sin sin A B >4．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（1111ABCD A B C D -1A B 1B C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．己知双曲线的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线()222210,0x y a ba b -=>>的虚轴长为（ ）A ．6B ．C ．D ．6．若直线与焦点在x 轴上的椭圆总有公共点，则n 的取值范围是2y mx =+2219x y n +=（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,4()4,9[)4,9[)()4,99,+∞7．己知，分别为双曲线的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点，满足1F 2F 22145x y -=，则的面积为（ ）12MF MF ⊥12F MF △A ．5B ．10C D．8．己知椭圆的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线()2222:10x y E a b a b +=>>1F 2F 交E 于P ，Q 两点，且，且，，则椭圆E 的标准22PF F Q ⊥24PF Q S =△226PF F Q +=方程为（ ）A ．B ．C ．D ．22143x y +=22154x y +=22194x y +=22195x y +=9．当双曲线的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线()222:12026x y M m m m-=-≤<+方程为（）A ．B ．C ．D ．y =y x =±2y x=±12y x=±10．己知，是椭圆C 的两个焦点，P 为C 上一点，，若C 的离心率为1F 2F 122PF PF =，则（ ）12F PF ∠=A ．150°B ．120°C ．90°D ．60°11．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆（，且为常数）和半圆22221y x a b +=0y ≥0a b >>组成的曲线G 如图2所示，曲线G 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的()2220x y b y +=<正半轴于点C ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为时，的面12⎫-⎪⎪⎭ACM △积最大，则半椭圆的方程是（）A ．B ．()2241032x y y +=≥()22161093x y y +=≥C ．D ．()22241033x y y +=≥()22421033x y y +=≥12．已知，为椭圆与双曲线1F 2F ()221112211:10x y C a b a b +=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且，()222222222:10,0x y C a b a b -=>>12π3F MF ∠=，的离心率，则的最小值为（ ）1e 2e 1C 2C 12e e A B C ．1D ．12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．过椭圆的一个焦点的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B 和椭圆的2241x y +=1F 另一个焦点构成的的周长为__________．2F 14．若命题“，”为假命题，则a 的取值范围是__________．x ∀∈R 210ax ax ++≥15．己知椭圆，，为椭圆的左右焦点．若点P 是椭圆上的一个动点，22:12516x y C +=1F 2F 点A 的坐标为，则的范围为__________．()2,11PA PF +16．己知，是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且，1F 2F 1260F PF ∠=︒，若C ，则的值为__________．()121PF PF λλ=>λ三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题满分10分）己知，，其中．2:7100p x x -+<22:430q x mx m -+<0m >（1）若且为真，求x的取值范围；4m =p q ∧（2）若是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．q ⌝p ⌝18．（本题满分12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程；（1）短轴长为的椭圆；23e =（2）与双曲线具有相同的渐近线，且过点的双曲线．22143y x -=()3,2M -19．（本题满分12分）己知直棱柱的底面ABCD 为菱形，且，1111ABCD A B C D -2AB AD BD ===E 为的中点．1AA =11B D（1）证明：平面；AE ∥1BDC （2）求三棱锥的体积．1E BDC -20．（本题满分12分）己知椭圆，且过点．()2222:10x y E a b a b +=>>(P （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点且与直线m 平行．设直()2,1M 线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的长度．21．（本题满分12分）己知双曲线．221416x y -=（1）试问过点能否作一条直线与双曲线交于S ，T 两点，使N 为线段ST 的中点，()1,1N 如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；（2）直线与双曲线有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线():2l y kx m k =+≠±分别交x 轴、y 轴于，两点，当点M 运动时，求点的轨迹方()0,0A x ()00,B y ()00,P x y 程．22．（本题满分12分）己知椭圆上的点到左、右焦点，的距离之和为()2222:10x y C a b a b +=>>31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭1F 2F 4．（1）求椭圆C 的方程．（2）若在椭圆C 上存在两点P ，Q ，使得直线AP 与AQ 均与圆相切，问：直线PQ 的斜率是否为定值？若是定值，请求()()2223202x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭出该定值；若不是定值，请说明理由．内江六中2022—2023学年（下）高24届第一次月考文科数学试题答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

湖南省湖南师大附中2018届高三上学期月考试卷（五）数学试题（文科）1.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图象知，阴影部分可表示为，故选B.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．2.已知向量，，若，则的坐标可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，，故选D.3.已知直线与平面满足，则下列判断一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵α∩β=m，∴m⊂α，又∵n⊥α，∴n⊥m．∵n⊥α，n⊂γ，∴α⊥γ，故选：D．4. 下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为( )A. i>20B. i<20C. i>=20D. i<=20【答案】A【解析】因为是求20个数的平均数，所以说明i=21时退出循环体.所以应填A.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】由题意，几何体为四棱锥，其中底面是上底为2，下底为4，高为2的直角梯形，棱锥的高为2，所以体积为；本题选择B选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．6.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为 A. B. C. D.【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.8.已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为0的等差数列，且，则的前2017项之和为（）A. 0B. 2017C. 2016D. 4034【答案】B【解析】因为函数对任意自变量都有，所以函数的对称轴为，因为，所以，由等差数列前n项和公式，故选B.9.已知的面积为m，内切圆半径也为m，若的三边长分别为，则的最小值为（）A. 2B.C. 4D.【答案】D【解析】【详解】因为的面积为m，内切圆半径也为m，所以，当且仅当即时，等号成立，故选D.10.设、是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且最小内角的大小为，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨设P为右支上一点，则，又，解得又，由于最小，即有,由余弦定理得，,则有即，，则双曲线的渐近线方程，故选A.11.定义在上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A. B. C. D.【答案】C【解析】定义在的奇函数满足：，且，又时，，即，∴，函数在时是增函数，又，∴是偶函数；∴时，是减函数，结合函数的定义域为，且，可得函数与的大致图象如图所示，∴由图象知，函数的零点的个数为3个，故选C.点睛：本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目；由题意可得到函数在时是增函数，再由函数是定义在R上的奇函数得到为偶函数，结合，作出两个函数与的大致图象，即可得出答案.12.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若，则称为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数，给出下面4个命题：①对任意，都有；②对任意，都有；③对任意，都有，；④对任意，都有．其中所有真命题的序号是（）A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D【解析】①当x∈Q，则f（x）=1，f（1）=1，则[f（x）]=1，当x为无理数时，则f（x）=0，f（0）=1，则[f（x）]=1，即对任意x∈R，都有f[f（x）]=1，故①正确，②当x∈Q，则-x∈Q，则f（-x）=1，f（x）=1，此时f（-x）=f（x），当x为无理数时，则-x是无理数，则f（-x）=0，f（x）=0，此时f（-x）=f（x），即恒有f（-x）=f（x），即函数f（x）是偶函数，故②错误，③当是无理数时，是无理数，所以，当是有理数时，是有理数，所以，故③正确，④∵f（x）≥0恒成立，∴对任意a，b∈（-∞，0），都有，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D.13.设是虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为__________．【答案】【解析】，，其虚部为，故填.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．14.过点作圆的两条切线，切点分别为，则所在直线的方程为__________．【答案】【解析】由圆的方程可知其圆心，半径1，以为直径的圆的方程为：，将两圆的方程作差，得公共弦AB的方程为，即.15.在矩形ABCD中,，，为的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________．【答案】【解析】如图所示：设与的夹角为，则，由投影的定义知，只有点F取点C时，取得最大值.,故选.16.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为________【答案】【解析】试题分析：的导数的导数为设与曲线相切的切点为相切的切点为则有公共切线斜率为又即有即为即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增．即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即有两解，可得的范围是故答案为考点：导数的应用17.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市区开设分店，为了确定在该区设分店的个数，该公司对该市开设分店的其他区的数据做了初步处理后得到下列表格.记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和.X（个）23456Y（百万元） 2.5344.56(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；(2)假设该公司在区获得的总年利润(单位：百万元)与，之间的关系为，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司在区开设多少个分店时，才能使区平均每个分店的年利润最大？参考公式：回归直线方程为，其中，.【答案】(1);(2) 该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大.【解析】试题分析：（1）根据所给数据，按照公式计算回归方程中的系数即可；（2）利用（1）得利润与分店数之间的估计值，计算，由基本不等式可得最大值．试题解析：（1）由表中数据和参考数据得：，，∴，∴，∴．（2）由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为：，设该区每个分店的平均利润为，则，故的预报值与之间的关系为，则当时，取到最大值，故该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大．18.如图，在四棱锥中，平面平面，且，．四边形满足，，．为侧棱的中点，为侧棱上的任意一点．（Ⅰ）若为的中点，求证：平面平面；（Ⅱ）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段的长为．【解析】试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面,从而得，再结合，可得平面，又利用三角形中位线定理可得，进而可得结果；（2）过点作,垂足为，先证明平面,结合平面,得，从而可得平面，利用三角形面积相等即可得线段的长.试题解析：（1）∵分别为侧棱的中点，∴.∵,∴.∵面平面,且,面平面,∴平面,结合平面,得.又∵, ,∴平面,可得平面.∴结合平面，得平面平面.（2）存在点，使得直线与平面垂直.平面中，过点作,垂足为∵由己知,,,.∴根据平面几何知识，可得.又∵由（1）平面,得,且,∴平面,结合平面,得.又∵,∴平面.在中，, ，,∴，.∴上存在点，使得直线与平面垂直，此时线段长为.19.函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）在中，角、、所对的边分别为、、，，是的中点，且，，求的最短边的边长．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据图象分别写出振幅，周期，求出A和，再利用图象过点，即可求出；（2）根据条件利用余弦定理和正弦定理，分别求出三边的长，即可找到最短边长.试题解析：（1）由图知，解得，∵，∴，，即，，由于，因此∴，∴，即函数的解析式为．（2）由正弦定理可知：，则，，，，则，∴，由，可得∵，，∴．∵，∴，∴解得：，．又，∴，∴的最短边的边长为．点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.20.已知为坐标原点，抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴．（Ⅰ）求点的坐标；（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线，，的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）恒过定点．【解析】试题分析：（1）抛物线上在第一象限内的点到焦点的距离为，可求出n，得到抛物线方程，求导得斜率，写出切线方程；（2）设，联立抛物线方程，消元得，根据根与系数的关系，，写出，，的斜率，根据成等差数列求不，即可证明直线过定点.试题解析：（Ⅰ）由抛物线上的点到焦点的距离为，得，所以，则抛物线方程为，故曲线在点处的切线斜率，切线方程为，令得，所以点．（Ⅱ）由题意知，因为与相交，所以．设，令，得，故，设，，由消去得，则，，直线的斜率为，同理直线的斜率为，直线的斜率为．因为直线，，的斜率依次成等差数列，所以，即，即整理得：，因为不经过点，所以，所以．故，即恒过定点．21.已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）整数的最小值为2．【解析】试题分析：（1）求出导数，解即可求出单减区间；（2）由（Ⅰ）得：在递减，∴，故，时，，分别令，累加即可得证；（3）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，只需利用导数求的最大值即可.试题解析：（Ⅰ）因为，所以此时，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得：在递减，∴，故，时，，分别令，故，∴时，．（Ⅲ）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．令，只要．因为，令，得．设，在上单调递减，不妨设的根为．当时，；当时，，所以在上是增函数；在上是减函数．所以．因为，，所以，此时，即．所以整数的最小值为2．点睛：处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线，（为参数），曲线．（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；（Ⅱ）在曲线上求一点，使点到直线的距离为，求出点的坐标．【答案】（Ⅰ）的普通方程；的普通方程为；（Ⅱ）或．【解析】试题分析：（1）参数方程消元即可得普通方程，极坐标利用转化公式即可化为普通方程；（2））设点，利用点到直线的距离公式即可求出.试题解析：（Ⅰ）的普通方程；的普通方程为．（Ⅱ）设点，则点到曲线的距离为，当时，，即，此时，或，所以点的坐标为或．23.选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，，求证：．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析．【解析】试题分析：（1）分区间讨论，去掉绝对值即可求出不等式的解集，从而求得m,n；（2）由（Ⅰ）知，，，利用即可证明.试题解析：（Ⅰ）由，得或或，解得，∴，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，∴，当且仅当即，时取等号，∴，即．点睛：均值不等式的灵活运用问题一般较难，解决此类问题，需要观察条件和结论，结合二者构造新的式子，对待求式子进行变形，方能形成使用均值不等式的条件，本题注意到，所以把条件构造为，从而解决问题.。

数学试题（文科）试卷总分：150分时间：120分钟选择题（每题5分，每题只有一个选项符合题意。

合计60分）1．已知i虚数单位，421ii--+等于（）A．3i+B．3i--C．3i-+D．3i-2．点P极坐标为5(2,)6π，则它的直角坐标是（）A．(1,3)-B．(1,3)-C．(3,1)-D．(3,1)-3．小明用流程图把早上上班前需要做的事情做了如图方案，则所用时间最少A．23分钟B．24分钟C．26分钟D．31分钟4．下列式子错误的是（）A．(sin)cosx x'=B．(cos)sinx x'=C．2(2ln)xx'=D．()x xe e--'=-5．曲线C经过伸缩变换123x xy y⎧=⎪⎨⎪='⎩'后，对应曲线的方程为：221x y''+=，则曲线C的方程为（）A．22914xy+=B．22419yx+=C．22149x y+=D．22491x y+= 6．下列关于回归分析的说法中错误的有（）个①.残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高．②.回归直线一定过样本中心（x，y）．③.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好．④.甲、乙两个模型的R2分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好．A．4 B．3 C．2 D．17．已知函数()ln f x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线的倾斜角为（ ） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 8．有一段推理是：“直线平行于平面，则平行于平面内的所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线//b 平面α，则直线//b 平面α.”其结论显然是错误的，这是因为 （ ）A ．使用了“三段论”，但大前提是错误的B ．使用了“三段论”，但小前提是错误的C ．使用了归纳推理D ．使用了类比推理9．已知i 是虚数单位，若201824(1)2i iz i i =+-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件11．函数f （x ）1lnxx =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．12．已知函数()22f x ax x a =-+，对[]1,2x ∀∈都有()0f x ≤成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．[]1,0-二、填空题（每题5分，合计20分）13．参数方程22cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）化成一般方程为_______________.14．已知具有线性相关关系的两个量,x y 之间的一组数据如表：x0 1 2 3 4y2.2 4.3 4.5m6.7且回直线方程是0.95 2.6y x ∧=+，则m 的值为____． 15．如图是一个算法流程图，则输出S 的值是______．16．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()22221322433542019202120000a aa a a a a a a a a a ----=L ________.三、解答题（合计70分）17、（本题满分10分）已知复数z=()2(1i)31i 2i-++-.(1)求复数z. (2)若z 2+az+b=1-i,求实数a,b 的值.18（本题满分12分）．已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19（本题满分12分）某学校为了了解学生使用手机的情况，分别在高一和高二两个年级各随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均使用手机时间的频数分布表和频率分布直方图，将使用手机时间不低于80分钟的学生称为“手机迷”.（I）将频率视为概率，估计哪个年级的学生是“手机迷”的概率大？请说明理由.（II）在高二的抽查中，已知随机抽到的女生共有55名，其中10名为“手机迷”.根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你有多大的把握认为“手机迷”与性别有关？非手机迷手机迷合计男女合计附：随机变量22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++为样本总量）. 参考数据2()P k x≥0.15 0.10 0.05 0.025x 2.072 2.706 3.841 5.02420（本题满分12分）．如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1) 求证：BC ⊥平面VCD ； (2) 求证：AD ∥MN .21（本题满分12分）．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为ρcos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝a ，且点P 在直线l 上.（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.若1C 与2C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值.22．(本小题满分12分)已知函数2(),x f x e x a x R =-+∈的图像在点0x =处的切线为y bx =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当x ∈R 时，求证：()2f x x x ≥-+；（3）若()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.文科数学 参考答案1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．C 12．B 13．224210x y x y +--+= 14．4.8 15．35 16．-117．（1）1+i;（2）a 3,b 4.=-⎧⎨=⎩. 试题解析： (1)z=2i 33i 2i -++-=3i 2i +-=()()3i 2i 5++=1+i.(2)把z=1+i 代入z 2+az+b=1-i, 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i, 整理得a+b+(2+a)i=1-i, 所以1,21,a b a +=⎧⎨+=-⎩解得3,4.a b =-⎧⎨=⎩18．（1）12x ﹣y ﹣17＝0（2）（﹣3，﹣2） 【详解】解：（1）当x ＝2时，f （2）＝7 故切点坐标为（2，7） 又∵f ′（x ）＝6x 2﹣6x ． ∴f ′（2）＝12 即切线的斜率k ＝12故曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣7＝12（x ﹣2） 即12x ﹣y ﹣17＝0（2）令f ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝1 当x ＜0，或x ＞1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝0时，函数f （x ）取极大值3， 当x ＝1时，函数f （x ）取极小值2，若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m ＜3，即﹣3＜m ＜﹣2故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）19．（Ⅰ）高一年级，理由见解析；（Ⅱ）列联表见解析，90% 【详解】（Ⅰ）由频数分布表可知，高一学生是“手机迷”的概率为12240.26 100P+==由频率分布直方图可知，高二学生是“手机迷”的概率为2P=（0.0025+0.010）×20=0.25 因为P1>P2，所以高一年级的学生是“手机迷”的概率大.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“手机迷”有（0.010+0.0025）×20×100=25（人），非手机迷有100﹣25=75（人）.从而2×2列联表如下：非手机迷手机迷合计男30 15 45女45 10 55合计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++2100(30104515)1003.0307525455533⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯结合参考数据，可知3.030>2.706，所以有90%的把握认为“手机迷”与性别有关. 20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）在四棱锥VABCD中，因为VD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以VD ⊥BC . 因为底面ABCD 是矩形，所以BC ⊥CD .又CD ⊂平面VCD ，VD ⊂平面VCD ，CD ∩VD ＝D ，则BC ⊥平面VCD . (2)因为底面ABCD 是矩形，所以AD ∥BC .又AD ⊄平面VBC ，BC ⊂平面VBC ，则AD ∥平面VBC .又平面ADNM I 平面VBC ＝MN ，AD ⊂平面ADNM ，则AD ∥MN .21．（1）a，l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0（2）3【详解】解析：（1）由点P 4π⎫⎪⎭在直线ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a 上，可得a， 所以直线l 的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. （2）由ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=转化为直角坐标方程为24y x =把曲线1C的参数方程为1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得260t +-=， 设1t ，2t 是,A B对应的参数，则11t t +=-126t t ⋅=-所以121211PA PB t t PA PB PA PB t t +-+==⋅⋅===22．（1）2()1x f x e x =--；（2）证明见解析；（3）(,0)-∞.【详解】 （1）利用(0)10(0)1f a f b=+=⎧⎨=='⎩可求,a b ，从而可得()f x 的解析式.（2）2()f x x x ≥-+等价于10x e x --≥，令()1xg x e x =--，利用导数可求min ()0g x =也就是10x e x --≥. （3）不等式()f x kx >等价于()f x k x >，令()()f x h x x=，利用导数可求()h x 在()0,∞+上的最小值后可得k 的取值范围.（1）2(),()2x xf x e x a f x e x '=-+=-，由已知得(0)10(0)1f a f b =+=⎧⎨=='⎩解得11a b =-⎧⎨=⎩，故2()1x f x e x =--.（2）令2()()1xg x f x x x e x =+-=--，由()10xg x e '=-=得0x =.当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增. ∴min ()(0)0g x g ==，从而2()f x x x ≥-+. （3）()f x kx >对任意的(0,)x ∈+∞恒成立⇔()f x k x>对任意的(0,)x ∈+∞恒成立. 令()(),0f x h x x x=>， ∴()()()222221(1)1()()()x x x x e x e x x e x xf x f x h x x x x-------'-'=== 由（2）可知当(0,)x ∈+∞时，210e x -->恒成立 令()0h x '>，得1x >；()0h x '<得01x <<.∴()h x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)，min ()(1)0h x h ==， ∴min ()(1)0k h x h <==，∴实数k 的取值范围为(,0)-∞.。

2023届高三年级第二次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某国近日开展了大规模COVID -19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S 表示A ．无症状感染者B ．发病者C ．未感染者D ．轻症感染者2．已知2i z =+，则(i)z z -= A ．2i - B ．12i +C ．62i -+D ．62i -3．如图所示的程序框图，输入3个数，0.12a =，0.23b -=，41log 2c =，则输出的a 为 A ．0 B ．0.12C ．0.23-D ．41log 24．已知{}n a 是等差数列，172a a +=-，32a =，则{}n a 的公差d 等于 A ．3B ．4C ．-3D ．-45．设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=，n N ∈，则()2020f x = A ．sin x B ．sin x -C ．cos xD ．cos x -6．若110a b<<，则下列不等式成立的是 A ．a b ab -> B ．a b ab -< C ．b a ab -> D ．b a ab -<7．若x ，y 满足约束条件423x y x y y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．6B ．10C ．14D ．188．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]9．函数()ln e e x xy -=+的图像大致是A ．B ．C ．D ．10．已知实数,0x y >，且11y x+=，则12x y +的最小值是A ．6B ．322+C ．232+D ．1211．已知⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,30,)(3x x x x exx f x ，若关于x 的方程22()()10f x k f x ⋅--=有5个不同的实根，则实数k 的取值范围为A ．72(,)(,)2e e -∞--+∞B ．72](,2e e--C ．72(,)2e e--D ．72(,(,2])e e-∞--+∞12．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，如果()22f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设1ln2n n n x a x +=-且11a =，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S = A ．202221-B ．202222-C ．20221122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2022122⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题，每小题5分．共20分)13．已知函数2,0()2,0x x a x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f [ f ( - 1 ) ] = 4 ，且a > - 1 ，则 a =______.14．若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立是假命题，则实数λ的取值范围是___________.15．数列121321,,,,n n a a a a a a a ---⋯-，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a =________.16．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x >-的解集为_________． 三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师 杨昆华 彭力 杨仕华 王佳文 张波 毛孝宗 丁茵 易孝荣 江明 李春宣一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕 选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况； 所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=， 因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=， 所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=， 所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ， 所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-， 由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ， 使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+， 所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-， 又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分 〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}{}1,3,2,3A B ==()U A B ⋃=A ．B ．C ．D ．{}5{}4,5{}1,2,3{}1,2,4,5【答案】B【分析】先求出，再由补集运算得出答案.A B ⋃【详解】，则，{}1,2,3A B = (){}4,5U A B ⋃= 故选：B ．2．已知函数，则（ ）()221f x x =+()()22limx f x f x ∆→+∆-=∆A ．3B ．5C ．7D ．8【答案】D【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，，则，()4f x x'=()28f '=又．()()()022lim28x f x f f x ∆→+∆-'==∆故选：D ．3．已知，若，则x 0等于（ ）()ln f x x x=()02f x '=A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2【答案】B【分析】利用乘法求导法则求导，代入即可求解.【详解】由可得：，所以，()ln f x x x=()ln 1f x x ='+()000ln 12ef x x x '=+=⇒=故选：B4．点的直角坐标为，则点的极坐标为（ ）M (-M A ．B ．C ．D ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭22,3π⎛⎫⎪⎝⎭1,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭52,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.【详解】由题意，点的直角坐标为，M (-根据，可得点极坐标为．222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩M 22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B.5．下列函数中，在内为增函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ．sin y x =xy xe =3y x x =-ln y x x=-【答案】B【分析】选项A 根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD 通过导数进行判断即可.【详解】A ：因为当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；3[,22x ππ∈sin y x =B ：，因为时，，所以函数在内为增函数，故本选'(1)x x y xe y x e =⇒=+0x >'0>y xy xe =(0,)+∞项符合题意；C ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不符3'231y x x y x =-⇒=-x ∈'0<y 3y x x =-合题意；D ：，当时，，此时函数单调递减，故本选项不'11ln 1xy x x y x x -=-⇒=-=1x >'0<y ln y x x =-符合题意，故选：B6．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭10x ay -+=a A ．B ．C ．D ．1-12-2-2【答案】C【分析】由导数的几何意义求解即可.【详解】∵，∴，2sin 2cos y x x =-2cos 2sin y x x '=+∴曲线在点处的切线的斜率，2sin 2cos y x x =-π,22⎛⎫⎪⎝⎭π2ππ2cos 2sin 222x k y ===+='∵切线与直线垂直，∴直线的斜率为，10x ay -+=10x ay -+=112a -=--∴.2a =-7．若，满足约束条件则的最大值为x y 032742,x x y x y ，，≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩2z x y =+A ．-2B ．C ．4D ．572【答案】C【详解】分析：由题意作出其平面区域，当x ，y 都取到最大值时z 有最大值，代入即可．详解：由题意作出其平面区域，由解得A （1，2），32742x y x y +=⎧⎨-=⎩因为z=2x+y ，所以y=-2x+z,所以直线y=-2x+z 经过可行域A 时，纵截距z 最大，z 取得最大值，此时x=1，y=2，z=2x+y 有最大值2×1+2=4，故答案为：C点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对线性规划等基础知识的掌握能力. (2)解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z 最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z 最小时，z 最大.8．已知直线方程的一个参数方程可以是（ ）．3410x y ++=A ．B ．315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩C ．D ．315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩【分析】对各选项消去参数，将参数方程化为普通方程，即可判断.【详解】解：对于A ：消参得；315415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩4310x y +-=对于B ：消参得；415315x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3470x y --=对于C ：消参得；315415x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4310x y +-=对于D ：消参得.415315x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩3410x y ++=故选：D ．9．“”是“函数是上的单调增函数”的（ ）4a ≤()()e 33x f x a x =---R A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据单调性得到恒成立，计算得到，根据范围的大小关系得到答案.e 3xa +≥3a ≤【详解】函数是上的单调增函数，故恒成立.()()e 33x f x a x =---R ()()e 30x f x a '=--≥即恒成立，，故.e 3x a +≥e 33x+>3a ≤故“”是“函数是上的单调增函数”的必要不充分条件.4a ≤()()e 33x f x a x =---R 故选：B 10．已知函数在处取得极值为10，则（ ）()322f x x ax bx a =+++1x ==a A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3【答案】C【分析】根据函数在处有极值10，可知（1）和（1），可322()f x x ax bx a =+++1x =f '0=f 10=求出.a 【详解】由，得，322()f x x ax bx a =+++2()32f x x ax b '=++函数在处取得极值10，322()f x x ax bx a =+++1x =（1），（1），f ∴'0=f 10=，∴2230110a b a a b ++=⎧⎨+++=⎩或，∴411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当 时，，在处不存在极值；33a b =-⎧⎨=⎩2()3(1)0f x x '=- ∴1x =当时，411a b =⎧⎨=-⎩2()3811(311)(1)f x x x x x '=+-=+-，，，，，符合题意.11(3x ∴∈-1)()0f x '<(1,)x ∈+∞()0f x '>∴故选：C【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．函数的部分图像大致为（ ）()2e xx xf x +=A．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用特殊值及极限思想即可分析得出.【详解】由，故D 错误，1110242f ⎛⎫⎫-=-< ⎪⎪⎝⎭⎭当时，，A ，B 错误．x →+∞()0f x →故选：C.12．设，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）22e a =ln22b =1e c =【答案】D 【分析】构造函数，研究其单调性，进而可以比较a ，b ，c 的大小.ln ()(0)xf x x x =>【详解】令，，ln ()(0)xf x x x =>21ln ()x f x x -'=所以时，，单调递增，()0,e x ∈()0f x '>()f x 时，，单调递减，()e,+x ∈∞()0f x '<()f x ，，，22222ln e (e )e e a f ===ln22ln2ln4(4)2224b f ====⨯1ln ee e c ==因为，所以.2e 4e <<a b c <<故选：D.二、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________．e cos xy x =()0,1【答案】10x y -+=【分析】对函数求导，求出斜率，再利用点斜式求解即可.【详解】因为，e cos xy x =所以，e sin e cos x xy x x '=-+所以切线的斜率为：，000|e sin 0e cos 01x y ='=-+=所以曲线在点处的切线方程为：e cos xy x =()0,1，即，()110y x -=⨯-10x y -+=故答案为：.10x y -+=14．直线被曲线（为参数）截得的弦长为的值为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θa _______【答案】或043-【分析】化圆的参数方程为直角坐标方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用直线被圆截得的弦长求出圆心到直线的距离，由点到直线的距离公式列式可求的值.a【详解】由得，22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩()()22214x y -+-=所以曲线表示以为圆心，以2为半径的圆，()2,1因为直线被曲线（为参数）截得的弦长为20ax y -+=22cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩θ解得或0a =43a =-15．已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图象如图所()3,3-()y f x =()f x '0x ≥()y f x =示，则关于x 的不等式的解集为______.()f x x '>【答案】()()3,10,1-- 【分析】先判断出的单调性，然后求得的解集.()f x ()0f x x '>【详解】依题意是奇函数，图象关于原点对称，()f x 由图象可知，在区间递减，；()f x ()()()3,1,1,3,f x --()'0f x <在区间递增，.()f x ()()()1,0,0,1,f x -()'0f x >所以的解集.()0f x x '>()()3,10,1-- 故答案为：()()3,10,1-- 16．已知偶函数，对任意的都有，且，则不等式()f x x ()()2'6f x xf x +>()12f =的解集为_________．()2231x f x x >-【答案】，或，或{1x x <-0x =}1x >【分析】由已知条件构造函数，求导后可判断出在上单调递增，22()()31g x x f x x =-+()g x (0,)+∞在上单调递减，由，可得，由为偶函数，可判断出为偶(,0)-∞()12f =(1)(1)0g g -==()f x ()g x 函数，而不等式转化为，偶函数的性质可得，从而可求出的范围，()2231x f x x >-()0g x >1x >x 再由可得，进而可求出不等式的解集(0)10g =>0x =【详解】解：令，则，22()()31g x x f x x =-+'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-因为对任意的都有，x ()()2'60f x xf x -+>所以当，，当，，0x >'()0g x >0x <'()0g x <所以在上单调递增，在上单调递减，()g x (0,)+∞(,0)-∞因为，所以，()12f =(1)(1)0g g -==因为为偶函数，所以，()f x ()()f x f x -=所以，2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=所以为偶函数，()g x 所以由，所以，所以，解得或，()0g x >()(1)g x g >1x >1x <-1x >因为，所以，(0)10g =>0x =综上，，或，或，1x <-1x >0x =所以不等式的解集为，或，或.{1x x <-0x =}1x >故答案为：，或，或{1x x <-0x =}1x >三、解答题17．已知函数()2395f x x x =-+.(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数的极值.()f x 【答案】(1)3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(2)的极小值为，无极大值.()f x 74-【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.【详解】（1），令，解得：，()69f x x '=-()690f x x -'=<32x <故函数的单调递减区间是()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）令得：()0f x ¢>32x >故在单调递减，在单调递增，()f x 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以在处取得极小值，，()f x 32x =39373952424f ⎛⎫=⨯-⨯+=- ⎪⎝⎭所以的极小值为，无极大值.()fx 74-18．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]⋯（1）求频率分布直方图中的值；a （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.[40,60)[40,50)【答案】（1）0.006；（2）；（3）.0.4110【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求；1a （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可0.4得该部门评分不低于80的概率的估计值为；0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为123,,A A A ，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率.12,B B所以0.006a =（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，(0.0220.018)100.4+⨯=所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；123,,A A A 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.12,B B 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}{}{}{}12131112,,,,,,,A A A A A B A B {}{}{}{}{}{}232122313212,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B B B 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，{}12,B B 故所求的概率为110P =【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况.19．在平面直角坐标系中，已知直线：（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，xxOy 12:2x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求的值．(0,2)||||MA MB +【答案】(1)22x y y +-=(2)【详解】（1）由,得.2sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin 2ρθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭两边同乘,即.ρ2sin cos ρρθθ=cos ,sin x y ρθρθ==C 22x y y +-=（2）将代入,得,122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩220x y y +-=220t ++=设A,B 对应的参数分别为12,t t则12122t t t t +=-=所以.120,0t t <<由参数的几何意义得t 12||||MA MB t t +=+=20．设函数，其中，为自然对数的底数.()()21ln ,x e f x ax a x g x x e =--=-a R ∈e 2.71828= (1)讨论的单调性；()f x (2)证明：当时，.1x >()0g x >【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；()221ax f x x -'=0a ≤0a >()f x （2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得()1e -=-x s x x()s x ()10s =1e 0x x -->.()0g x >【详解】（1）由函数，可得，()2ln f x ax a x =--()21212ax f x ax x x -'=-=当时，，在内单调递减；0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞当时，由有0a >()0f x '=x =当时，，单调递减；x ∈()0f x'<()f x 当时，，单调递增.)x ∈+∞()0f x ¢>()f x (2)证明：令，则，()1e -=-x s x x ()1e 1-'=-x s x 当时，，单调递增，1x >()0s x '>()s x 因为，所以，即，()10s =()()10s x s >=1e 0x x -->当时，可得，即1x >()1111e 11e 0e e e x x x x x g x x x x ----=-=-=>()0g x >【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数()()()h x f x g x =-导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.21．已知函数图象上点处的切线方程为.()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=（1）求函数的解析式;()y f x =（2）函数，若方程在上恰有两解,求实数的取值范围()()ln 4g x f x m =+-()0g x =1,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 【答案】（1）；（2）.2()4ln y f x x x ==-242ln 2m <≤-【分析】（1）求函数导函数，根据导数的几何意义和题意可知，，建立关()f x ()()12,11f f '==-于的方程组，求出，从而可得函数的解析式；,a b ,a b ()y f x =（2）求出函数的导函数，根据导数确定函数的单调性与最值，再结合函数的零点个数，列出()g x 不等式组，即可确定实数m 的取值范围．【详解】（1）由题意可知（）()2a f x bx x +'=0x >∵函数图象上点处的切线方程为()2ln f x a x bx =+()()1,1P f 230x y --=∴()()12,11f f '==-∴221a b b +=⎧⎨=-⎩∴，4,1a b ==-∴；()24ln f x x x =-（2）函数（），()()2ln 44ln ln 4g x f x m x x m -=+-=+-0x >则（）()42g x x x '=-0x >∴当时，；当时，；1e x ⎡∈⎢⎣()0g x '>x ⎤∈⎦()0g x '<∴函数在上单调增，在上单调减1e ⎡⎢⎣⎤⎦∵方程在上恰有两解，()0g x =12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴，∴，解得.()10e 020g g g ⎧⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎪⎩214ln 40e 204ln 24ln 40m m m ⎧--+-≤⎪⎪-+>⎨⎪-+-≤⎪⎩242ln 2m <≤-22．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点分别为椭圆的上顶()2222:10x y C a b a b +=>>2x b =11,B F 点和右焦点，且．112B F =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线不经过点且与椭圆交于两点，当直线l 1B ,M N 11,B M B N 线过定点．l 【答案】（1）；（2）证明见解析．22142x y +=【分析】（1）根据椭圆的有关概念即可求得椭圆的标准方程；（2）设出直线方程和椭圆方程联立，结合韦达定理代入后得出与参数无关，从而得出定点.t 【详解】（1）由题意，2,2a a b a ⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以椭圆方程为22142x y +=（2）当直线的斜率存在时，不妨设的方程为：，联立直线与楠圆的方程(10B l l y kx t =+()222214240k x ktx t +++-=方程组的解为()()1122,,,M x y N x y 由书达定理，2121222244,2121tkt x x x xk k --=+=++1112122(B M B N x x k k k t xx +∴+==+=从而，故直线过定点2k t =(2,-当直线的斜率不存在时，()()1111,,,M x yN x y -11B M B N k k ∴+==从而与椭圆只有一个交点，不合题意2x =-综上直线过定点.(2,-【定点】方法点睛：探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.。

2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}216,{3}A x x B x x =<=>∣∣，则()UA B =（ ）A ．()4,3-B ．[)3,4C ．(]4,3-D ．()3,4【答案】C【分析】先化简集合A ，求得UB ，再去求()U A B ∩即可解决.【详解】因为{}216{44},{3}A x x x x B x x =<=-<<=>∣∣∣， 所以{}3UB x x =∣，则()(]4,3U A B ⋂=-.故选：C.2．设x ∈R ，则“12x -≤<”是“23x -≤”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式23x -≤，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由23x -≤可得323x -≤-≤，解得15x -≤≤，因为{}12x x -≤< {}15x x -≤≤，因此，“12x -≤<”是“23x -≤”的充分而不必要条件. 故选：A.3．若复数z 满足2i1iz +=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【分析】先求出z ，再求出共轭复数z ，判断出在第一象限. 【详解】()()()()2i 1i 2i 3i 1i 1i 1i 2z +-+-===++-，则i 32z +=，对应的点31,22⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限. 故选：A.4．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语； 乙是法国人，还会说日语； 丙是英国人，还会说法语； 丁是日本人，还会说汉语； 戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ） A ．甲丙丁戊乙 B ．甲丁丙乙戊 C ．甲丙戊乙丁 D ．甲乙丙丁戊【答案】C【分析】根据只有一人会德语，不能用德语交谈，结合条件进行分析，进而即得. 【详解】由题可知只有一人会德语，不能用德语交谈，故会德语的法国人戊两边只能做法国人乙和会说法语的英国人丙， 日本人丁应坐在法国人乙和中国人甲之间，这样邻座的两人都能互相交谈， 所以这五位代表的座位顺序应为甲丙戊乙丁. 故选：C.5．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程9.49.1y x =+，则实数a 的值为A ．37.3 B ．38 C ．39 D ．39.5【答案】C【分析】求出(),x y ，代入回归方程，即可得到实数a 的值． 【详解】根据题意可得：23453.54x +++==,26495412944a a y ++++==，根据回归方程过中心点(),x y 可得：1299.4 3.59.14a+=⨯+，解得：39a =； 故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),x y 是关键，属于基础题．6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 7．设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S 的结果是（ ）A ．128B ．64C ．16D ．32【答案】C【分析】根据程序框图的循环逻辑写出执行步骤，即可确定输出结果. 【详解】根据流程图的执行逻辑，其执行步骤如下： 1、015S =≤成立，则021S ==； 2、115S =≤成立，则122S ==； 3、215S =≤成立，则224S ==； 4、415S =≤成立，则4216S ==； 5、1615S =≤不成立，输出16S =； 故选：C9．已知命题2:,10p x R x x ∃∈-+≥，命题:q 若a b <，则22a b <，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝【答案】C【分析】分别求出命题p 和命题q 的真假，结合复合命题的真假即可得结果. 【详解】当0x =时，命题p 显然为真；当2,1a b =-=时，命题q 显然为假，q ⌝为真，所以p q ∧⌝为真， 故选：C. 10．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.11．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+ 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.12．已知F 是椭圆22:11615x y C +=的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为(4,4)，则||||PQ PF +的最大值为（ ） A ．41 B ．13C ．3D ．5【答案】B【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：()42||||||2||2||841413PQ PF PQ a PF a QF ''+=+-≤+=-+，故选：B二、填空题13．已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =___________.【答案】1-【分析】由系数为1解出m 的值，再由单调性确定结论． 【详解】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =， 若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意． 若1m =-，则函数为1y x=，满足题意． 故答案为：1-．14．若已知函数()321f x x x =-+，则函数()y f x =在2x =处的切线方程为______.【答案】10150x y --=【分析】求出()2f 、()2f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】因为()321f x x x =-+，则()232f x x '=-，所以，()25f =，()210f '=，因此，所求切线的方程为()5102y x -=-，即10150x y --=. 故答案为：10150x y --=.15．将正整数排成如表，则在表中第45行第83个数是________.【答案】2019【分析】由数表中每行的最后一个数，得到第n 行的最后一个数是2n ，再由2441936=，进而求得第45行第83个数.【详解】由数表可得每行的最后一个数分别是1,4,9,16,，可归纳出第n 行的最后一个数是2n ，又因为2441936=，所以第45行第83个数为1936+83=2019. 故答案为：2019.【点睛】本题主要考查了数表数列的应用，其中解答中根据数表中的数据，得出数字的排布规律是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 16．已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠”； ②“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；③命题P ：存在0x ∈R ，使得2010x x ++<，则p ⌝：任意x ∈R ，都有210x x ++； ④若P 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题有____________________． 【答案】①②③.【分析】①“或”的否定为“且”； ②2x >时，2x 一320x +>也成立；③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论；④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q ”为假命题．【详解】对于①，交换条件和结论，并同时否定，而且“或”的否定为“且”，故①是真命题； 对于②2x >时，2x 一320x +>也成立，所以“1x <”是“2x 一320x +>”的充分不必要条件，故②是真命题；对于③含有量词（任意、存在）的命题的否定既要换量词，又要否定结论，故③是真命题“； 对于④命题p ，q 中只要有一个为假命题，“P 且q ”为假命题，故④是假命题，故答案为：①②③.三、解答题17．已知0m >，命题:(1)(5)0p x x +-≤，命题:11q m x m -≤≤+.(1)若5m =，若“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)[4-，1)(5-⋃，6] (2)[4，)∞+【分析】（1）将5m =代入，解不等式，可分别求出命题p ，命题q 对应的x 的取值范围，结合已知可得p 与q 一真一假，分p 真q 假时和p 假q 真时，两种情况讨论，综合讨论结果可得答案； （2）根据充要条件判定的集合法，可得[1-，5]是[1m -，1]m +的真子集，根据真子集的定义构造关于m 的不等式组，解不等式组可得答案． 【详解】（1）解：当5m =时，:46q x -，:(1)(5)0p x x +-，即15x -，由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，可得p 与q 一真一假，p 真q 假时，由154,6x x x -⎧⎨<-<⎩或，此不等式组无解，p 假q 真时，由461,5x x x -⎧⎨<-<⎩或，解得41x -<-，或56x <，∴实数m 的取值范围为[4-，1)(5-⋃，6]；（2）解：p 是q 的充分条件不必要条件，[1∴-，5]是[1m -，1]m +的真子集，∴1115m m --⎧⎨+⎩（等号不同时取） ，解得4m ，∴实数m 的取值范围为[4，)∞+． 18．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：违章驾驶员人数 120 105 100 90 85（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：11415ni i i x y ==∑.【答案】（1）8.5125.5y x =-+；（2）49.【分析】（1）由表中的数据,根据最小二乘法和公式，求得b ，a 的值，得到回归直线方程； （2）令x =9，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. 【详解】（1）由表中数据知：1234535x ++++==，12010510090851005y ++++==，所以1221141515008.55545ni ii nii x y nx yb xnx==-==---=-∑∑，()1008.53125.5a y bx =-=--⨯=，所以所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+. （2）当x =9时，8.59125.549y =-⨯+=（人）.19．2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；（2）（i ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．【答案】(1) 平均数37，中位数为35;(2) （ⅰ）93()155P A ==;（ⅱ）该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760． 【分析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；（2）（ⅰ）从6人中任选2人共有15个基本事件，至少有1人年龄不低于60岁的共有9个基本事件，由古典概型概率公式可得结果；（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88．【详解】（1）平均数()150.15250.2350.3450.15550.165750.0537x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯=． 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x ， 则（x －30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x ＝35，即中位数为35．（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a ，b ，c ，d ，年龄在[60，70）的有2人，设为x ，y ．则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，x ），（a ，y ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，d ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：（a ，x ），（a ，y ），（b ，x ），（b ，y ），（c ，x ），（c ，y ），（d ，x ），（d ，y ），（x ，y ）． 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A ， 故所求概率()93155P A ==． （ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88， 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．【点睛】本题主要考查直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先()11,A B ，()12,A B …. ()1,n A B ，再()21,A B ，()22,A B …..()2,n A B 依次()31,A B ()32,A B ….()3,n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【答案】（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能【详解】分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出2k，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：（3）由于()224015155510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．21．已知椭圆2222x y C 1a b +=：()0,0a b >>4． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P （2,1）作弦且弦被P 平分，则此弦所在的直线方程.【答案】(1) 221164x y += (2) 240x y +-= 【详解】试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设直线斜率为k ，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k 的值，从而求出直线方程．试题解析：（1）c e a ==2b=4，所以a=4，b=2，c=221164x y += （2）设以点()2,1P 为中点的弦与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=，分别代入椭圆的方程，两式相减得()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以()()1212480x x y y -+-=，所以121212y y k x x -==--，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为()1122y x -=--，即240x y +-=． 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-．()1当3a =时，求()f x 的单调增区间；()2若()f x 在()0,1上是增函数，求a 得取值范围．【答案】(1) ()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)a ≤【分析】（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；（2）已知()f x 在区间（0，1）上是增函数，即()0f x '≥在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．【详解】（1）当3a =时，()2ln 3f x x x x =+-，所以()21231(21)(1)23x x x x f x x x x x'-+--=+-==， 由0f x 得，102x <<或1x >， 故所求()f x 的单调递增区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()12f x x a x '=+-，∵()f x 在()0,1上是增函数， 所以120x a x +-≥在()0,1上恒成立，即12a x x ≤+恒成立，∵12x x +≥x =，所以a ≤(a ∈-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和对勾函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．。

1 1 0 1 2南昌二中 2020 届高三第四次考试文科数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题，共 60 分）1．已知集合 A = {0 ，2}， B = {-2 ，- 1，0 ， ，2}，则 A B =A ． {0 ，2}2． 1 + 2i=1 - 2iB ． { ，2}C ． { }D ． {-2 ，- 1，0 ， ，2}4 3A ． - - i5 54 3B ． - + i5 53 4C ． - - i5 53 4D ． - + i5 53．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的中位数、众数、极差分别是A.32 34 32B.33 45 35C.34 45 32D.33 36 354．若 sin α = 1 3，则 cos2α =A ． 8 9B ．7 9 C ． - 7 9 D ． - 895．已知平面向量 a , b 的夹角为135 ，且 a = 1， 2a + b = 2 ，则 b =A ． 2B ． 2C ． 3 - 1D ． 36．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为A ． 3 2 fB ． 3 22 fC ． 12 25 fD ． 12 27 f7．执行如图所示的程序框图，如果输入的 x ∈ [-2，]，则输出的 y 值的取值范围是A.y≤-或y≥0B.-2≤y≤C.y≤-2或0≤y≤D.y≤-2或y≥⎪x+1,x≤0⎪log()b c3B．3C．162π224C．[2D．[,1)522223338.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a12+b12=A．322B．521C．123D．199⎧19.已知f(x)=⎨2，若存在三个不同实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c)，则⎩2019x,x>0abc的取值范围是A．(0,1]B．[-2,0)C．(-2,0]D．(0,1)10.设a，，分别是ABC的内角A,B,C的对边，已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sinA-sinC)，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则AB⋅DA+DB等于A．2B．4C．-4D．-211.已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//B C，AB=DC=AD=2，BC=P A=4，P A⊥面ABCD，则球O的体积为A．642π162πD．16π12.已知椭圆E:x2y2+a b2=1(a>b>0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点．若AF+BF=4，点M到直线的距离不小于则椭圆E的离心率的取值范围是4 5，A．(0,33 ]B．(0,]二、填空题（每小题5分，共20分）14.已知α , β 为第二象限的角，cos(α - ) = - ,sin(β + ) =π s13.过点 (-2,4 )且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为_________.4543 π 513，则 in （α + β）的值为_____.15.设函数 f (x )是定义在 R 上周期为 2 的函数，且对任意的实数 x ，恒 f (x )- f (-x ) = 0 ，当 x ∈ [-1,0]时， f (x ) = x 2．若 g (x ) = f (x )- log x 在 x ∈ (0, +∞) 上有且仅有三个零a点，则 a 的取值范围为_____.16. 已知实数 x ， y 满足 x 2 + y 2 ≤ 1，则 2 x + y - 4 + 6 - x - 3 y 的最大值是．三、解答题（共 5 小题，共 60 分）17.（12 分）2018 年 8 月 8 日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来。