黄陵中学高新部2020-2021学年度高三文科数学试题
考试时间120分钟,分值150分
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知a 为实数,若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数,则a ＋i
2 0201＋i
＝( )
A.1
B.0
C.1＋i
D.1－i
2.下列命题中错误的是
.A 命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题是真命题
.B 命题“()0000,,ln 1x x x ?∈+∞=-”的否定是“()0,,ln 1x x x ?∈+∞≠-”
.C 若p q ∨为真命题,则p q ∧为真命题
.D 00,x ?>使“0
x x a b >”是“0a b >>”的必要不充分条件
3.已知定义在R 上的奇函数f (x )有f ? ????
x ＋52＋f (x )＝0,当－54≤x ≤0时,f (x )＝2x ＋a ,则f (16)的值为
( )
A.12
B.－12
C.32
D.－3
2 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＋a 3＝52,a 2＋a 4＝54,则S n
a n
＝( )
A.4n －1
B.4n －1
C.2n －1
D.2n －1
5.等差数列{}n a 中,1351
14a a a =+=，,则数列{}n a 的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
6.函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为( )
A. B.
C. D.
7.已知向量,a b 满足||1,a =||2b =,且a 与b 的夹角为60?,则||=a b +( )
A.7
B.3
C.5
D.22
8.函数的图像可由函数的图像( )
A.向左平移个单位得到
B.向右平移个单位得到
C.向左平移个单位得到
D.向左平移个单位得到
9.ABC 中,角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,已知向量2cos c m a b B a
?
?=-- ??
?
，,()cos n a A =，,且m n ，共线,则ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πω?ω???
=+>><
??
?
2,其图像相邻两条对称轴之间
的距离为
2π,且()f x 的图像关于点,012π??
- ???
对称,则下列判断正确的是() A.函数()f x 在,63ππ??
????
上单调递增
B.函数()f x 的图像关于直线5
12
x π=
对称 C.当,66x ππ??
∈-
???
?时,函数()f x
的最小值为D.要得到函数()f x 的图像,
只需要2y x =
将的图像向右平移6
π
个单位
11.已知定义在R 上的函数()2ln ,1
,1x x f x x x x >??=?-??
,若函数()()k x f x ax =-恰有2个零点,则实数a 的取值
范围是( )
A.()
1,11,0e ?-?
??? B.()
1,1,1e ??-∞- ???
C.(){}1,1,10e ??-∞- ???
D.(){}
11,00,1e ??- ???
12.已知平面向量,,a b c ,满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=,若对每一个确定的向量a ,记
||c 的最小值为m ,则当a 变化时,m 的最大值为( )
A.
14
B.
13
C.
12
D.1
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分。
13.将函数()sin()0,22f x x ππω?ω??
?=+>-≤< ??
?图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标
不变,再向右平移
6π
个单位长度得到sin y x =的图象,则6f π??= ???
________. 14.函数2019()2020x f x a -=+(0a >且1a ≠)的图象过定点A ,则点A 的坐标为______. 15.已知函数2ln ()a x
f x x x
=
-,对于12,[2,2020]x x ∈,且当21x x >时,恒有()()12210f x f x x x ->,则实数a 的取值范围为__________. 16.给出以下四个结论：
①函数()21
1
x f x x -=
+的对称中心是1,2； ②若关于x 的方程1
0x k x
-+=在()0,1x ∈没有实数根,则k 的取值范围是2k ≥；
③在ABC 中,“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ??=-
??
?的图象向右平移()0??>个单位后为奇函数,则?最小值是π12
. 其中正确的结论是______
三、解答题：(17题10分,其余都是12分,共70分)
17.在ABC ?中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知2
4sin 4sin sin 22
A B
A B -+=(1)求角C 的大小；
(2)已知4b =,ABC ?的面积为6,求边长c 的值.
18.我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行调查,通过抽样,获得某年100为居民每人的月均用水量(单位：吨),将数据按照(0.0.5),(0.5,1),(4,4.5]分成9组,制成了
如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图的a 的值；
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由； (3)估计居民月用水量的中位数.
19.已知向量(2sin 3)a x x =,(sin ,2sin )b x x =-,函数()f x a b =·. (1)求()f x 的单调递增区间；
(2)在ABC ?中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边且()1f C =,1c =,23=ab a b >,求a ,b 的值.
20.已知函数()x
f x ae bx =-(a ,b 为常数),点A 的横坐标为0,曲线()y f x =在点A 处的切线方程为
1.y x =-+
(1)求a ,b 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当0x >时,2x e x >.
21.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为8242x t
t y t ?
=??+??=?+?
(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若射线4
π
θ=(0ρ>)与直线l 和曲线C 分别交于A ,B 两点,求||AB 的值.
22.已知函数()211f x x x =--+. (1)解不等式()4f x ≤；
(2)记函数()31y f x x =++的最小值为m ,正实数a ,b 满足a b m +=,试求
1412
a b +++的最小值.
1-5 DBCDB 6-10 BAADD 11-12 CB
13.
2
2
14.()2019,2021 15.(,24]-∞ 16.①
17.【参考答案】(1)
4
π
；(2)10. 【试题解析】(1)由二倍角的余弦公式把2
4sin
4sin sin 222
A B
A B -+=+降次,再用两个角的和的余弦公式求cos()A B +,由三角形三内角和定理可求得cos C ,从而求得角C ； (2)根据三角形的面积公式求出边a ,再由余弦定理求E 边. 【详细解答】试题分析：
(1)由已知得2[1cos()]4sin sin 22
A B A B --+=+,
化简得2cos cos 2sin sin 2A B A B -+=,
故2
cos()A B +=所以34A B π+=,
因为A B C π++=,所以4
C
π
.
(2)因为1
sin 2
S ab C ⊥=
,由6ABC
S =,4b =,4
C
π
,所以32a =,
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-,所以10c =. 18.【参考答案】(1) 0.3a =； (2)36000；(3)2.04. 【详细解答】
(Ⅰ)由频率分布直方图,可知：月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5＝0.04.
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1–(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)＝0.5×a+0.5×a ,
解得a ＝0.30.
(Ⅱ)由(Ⅰ)100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02＝0.12.
由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36000. (Ⅲ)设中位数为x 吨.
因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25＝0.73＞0.5,
而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21＝0.48<0.5 所以2≤x<2.5.
由0.50×(x –2)＝0.5–0.48,解得x ＝2.04. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
19.【参考答案】(1)单调递增区间是,36k k ππππ??
-+????,k Z ∈.(2
)2a b =???=??
【详细解答】
解：(1)
由2
()2sin cos 2cos212sin(2)16
f x a b x x x x x x π
==-+=+-=+-；
令, 得：3
6
k x
k π
π
ππ-
+,k Z ∈.
()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ??
-+????
,k Z ∈.
(2)由(1)可得f (C )2sin(2)116
C π
=+-=
即sin(2)16
C π
+=,
0C π<<
26
2
π
π
∴+
=
C ,
可得：6
C π
=
.
由余弦定理：221
cos 62a b ab
π
+-=,
可得：2261a b =+-??①
ab =②,
由①②
解得：2
a b =???=??
20.【参考答案】(1)1a =,2b =,极小值为22ln 2-；无极大值(2)证明见解析. 【详细解答】
(1)由已知()0,A a 代入切线方程得1a =,
()x f x ae b '=-,
∴()01f a b '=-=-, ∴2b =
∴()2x
f x e x =-,
()2x f x e '=-,
令()0f x '=得ln 2x =,
当ln 2x <时()0f x '<,()f x 单调递减；
当ln 2x >时()0f x '>,()f x 单调递增； 所以当ln 2x =时,
()22ln 2f x =-即为极小值；无极大值
(2)令()2
x
h x e x =-,
则()2x
h x e x '=-,
由(1)知()min 22ln 20h x '=-> ∴()h x 在()0,∞+上为增函数 ∴()()010h x h >=>, 即2x e x >.
21.【参考答案】(1)40x y +-=(0x ≠),2220x y y +-=；(2
. 【详细解答】 (1)由8
2x t
=
+得0x ≠, 将8242x t t y t ?=??+??=?+?
(t 为参数)消去参数t ,
得直线l 的普通方程为40x y +-=(0x ≠).
由2sin ρθ=得22sin ρρθ=,
将sin y ρθ=,2
2
2
x y ρ=+代入上式,
得22
20x y y +-=,
所以曲线C 的直角坐标方程为22
20x y y +-=.
(2)由(1)可知直线l 的普通方程为40x y +-=(0x ≠),
化为极坐标方程得cos sin 40ρθρθ+-=(2
π
θ≠
),
当4
π
θ=
(0ρ>)时,设A ,B 两点的极坐标分别为1,
4πρ?? ??
?,,
4B πρ?
?
??
?
,
则A ρ=
2sin 4
B π
ρ==
所以|||A B AB ρρ=-==
本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义,考查运算求解能力,考查数学运算核心素养,属于常考题. 22.【参考答案】(1){}
26x x -≤≤；(2)
32
【试题解析】(1)化简函数()2,113,1212,2x x f x x x x x ?
?-≤-?
?
=--<
?
-≥??
,分段求解不等式,即可求出答案.
(2)利用绝对值三角不等式求出最小值m ,再利用基本不等式,即可求出最小值. 【详细解答】
(1)依题意得()2,113,1212,2x x f x x x x x ?
?-≤-?
?
=--<
?
-≥??
,
因为()4f x ≤,所以124x x ≤-??-≤?,或11234x x ?-<
x x ?≥
???-≤?,
解得21x -≤≤-,或112x -<<
,或1
62
x ≤≤. 所以26x -≤≤,即不等式()4f x ≤的解集为{}
26x x -≤≤. (2)()()()31212221223y f x x x x x x =++=-++≥--+=, 当且仅当()()21220x x -+≤,即1
12
x ≤≤-时取等号. 则3m =,3a b +=,
因为0,0a b >>,126a b +++=,
所以
()141141212612a b a b a b ??+=++++ ?++++??()41125612a b a b +??+=++??++??
13562
?≥+=???, 当且仅当
()41212
a b a b ++=
++,且3a b +=,即1a =,2b =时取等号, 所以
1412a b +++的最小值为32
.