高三第一轮复习：《不等式》综合检测试题

江苏省2014届一轮复习数学试题选编18：不等式的综合问题填空题错误！未指定书签。

．（2010年高考（江苏））设实数x,y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是_________【答案】27错误！未指定书签。

．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=,2741log log 6y x -≥,2741y x -≤,则x y +的取值范围是______. 【答案】56⎧⎫⎨⎬⎩⎭错误！未指定书签。

．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）设62,,22=+∈b a R b a ,则3-a b的最大值是_________________.【答案】1错误！未指定书签。

．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）定义在R 上的函数)(x f y =是增函数,且函数)2(-=x f y 的图象关于)0,2(成中心对称,设s ,t 满足不等式)4()4(22t t f s s f --≥-,若22≤≤-s 时,则s t +3的范围是____________.【答案】[8,16]-错误！未指定书签。

．（江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题 ）设变量y x ,满足1||||≤+y x ,则y x 2+的最大值为____________.【答案】2错误！未指定书签。

．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知函数()3123f x x x =+,对任意的[]3,3t ∈-,()()20f tx f x -+<恒成立,则x 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭错误！未指定书签。

．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）设，，x x f R x )21()(=∈若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围是____________.【答案】2≥k .错误！未指定书签。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1.(2022·贵阳检测)下列命题中，正确的是( ) A.若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B.若ac ＞bc ，则a ＞b C.若a c 2＜bc 2，则a ＜bD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d解析 A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误； B 项，当c ＜0时，ac ＞bc ⇒a ＜b ，∴B 错误； C 项，∵a c 2＜bc 2，∴c ≠0，又c 2＞0，∴a ＜b ，C 正确； D 项，取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C. 答案 C2.若a ＜b ＜0，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a －b＞1bB.a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D.a n ＞b n解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确；C 项，|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)＜|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |＜|a ||b |＋|a |⇔|b |＜|a |， ∵a ＜b ＜0，∴|b |＜|a |成立，故选C. 答案 C3.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4} D.{a |0≤a ≤4} 解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D4.(2022·江西重点中学盟校联考)已知a ＞0且a ≠1，则a b ＞1是(a －1)b ＞0的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 由a b＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0，所以(a －1)b ＞0；由(a －1)b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b ＜0，又a ＞0且a ≠1，所以a b ＞1.即a b ＞1是(a －1)b ＞0的充要条件. 答案 C5.(2022·皖南八校联考)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，4]B.(－∞，－2]∪[5，＋∞)C.(－∞，－1]∪[4，＋∞)D.[－2，5]解析 由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4， 所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 答案 A 二、填空题6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.解析 由已知得f (0)＝0，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ，因此f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，－x 2－4x ，x <0.不等式f (x )>x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2－4x >x .解得x >5或－5<x <0. 答案 (－5，0)∪(5，＋∞)7.(2021·宝鸡模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]， 都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.10.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.由于方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，依据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0， 由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 力量提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2022·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0，2]恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 解析 ∵x ∈(0，2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x，要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0，2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12，故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 C12.(2021·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca 的取值范围为( ) A.(1，＋∞) B.(0，2)C.(1，3)D.(0，3)解析由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＋c ≤3a ，a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，1＋b a ＞c a ，1＋c a ＞b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＜b a ＋ca ≤3，－1＜c a －ba ＜1，两式相加得，0＜2×c a ＜4，∴ca 的取值范围为(0，2).故选B. 答案 B13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知：Δ＝a 2＋8＞0， 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)， f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 由于方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①， 得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。

【状元之路】（新课标，通用版）2015届高考数学一轮复习 2-2一元二次不等式及其解法检测试题（1）文1．[2014·青海质检]不等式x 2－4＞3|x |的解集是( )A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵|x |2－3|x |－4＞0，∴(|x |－4)(|x |＋1)＞0，∴|x |＞4，x ＞4或x ＜－4，选A 项．答案：A2．[2014·常州质检]已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＜－35或a ＞1B ．－35＜a ＜1C ．－35＜a ≤1或a ＝－1D ．－35＜a ≤1 解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1＜0，恒成立，故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1＜0，不恒成立，∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＜0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1＜0.解得－35＜a ＜1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35＜a ≤1. 答案：D3．[2014·兰州调研]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：94．[2014·青岛调研]设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________. 解析：显然a ＝1不能使原不等式对x ＞0恒成立，故a ≠1且当x 1＝1a －1，a ≠1时原不等式成立．对于x 2－ax －1＝0，设其两根为x 2，x 3，且x 2＜x 3，易知x 2＜0，x 3＞0.当x ＞0时，原不等式恒成立，故x 1＝1a －1满足方程x 2－ax －1＝0，代入解得a ＝32或a ＝0(舍去)． 答案：32 5．[2014·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立． 即1m 2－4m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 2－2x ＋1min . 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞。

【课时训练】不等关系与不等式 选择题 1．(2018江西七校联考)若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( ) A．a2＞b2 B．13a<13b

C．lg(a－b)＞0 D．ba>1 【答案】B 【解析】取a＝13，b＝－12，则a2＝19，b2＝14，∴a2＜b2，lg(a－b)

＝lg 56＜0，ba＜0＜1，故排除A，C，D选项，选B. 2．(2018四川绵阳一诊)若x＞y，且x＋y＝2，则下列不等式一定成立的是( ) A．x2＜y2 B．1x＜1y C．x2＞1 D．y2＜1 【答案】C 【解析】因为x＞y，且x＋y＝2，所以2x＞x＋y＝2，即x＞1，则x2＞1，故选C. 3．(2018成都五校联考)若a<0，则下列不等式成立的是( ) A．2a＞12a＞(0.2)a B．12a＞(0.2)a＞2a C．(0.2)a＞12a＞2a D．2a＞(0.2)a＞12a 【答案】C 【解析】若a＜0，根据指数函数的性质可知(0.2)a>12a＞1，又2a＜0，所以(0.2)a＞12a＞2a.故选C. 4．(2018浙江宁波模拟)已知a＞b，则“c≥0”是“ac＞bc”的( ) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】当 a＝2＞b＝1，c＝0时，ac＞bc不成立，所以充分性不

成立；当 ac＞bc，a＞b时，c＞0成立，c≥0也成立，所以必要性成立．所以“c≥0”是“ac＞bc”的必要不充分条件，故选B. 5．(2018全国名校大联考第三次联考)若a＜b＜0，则下列不等式中一定不成立的是( ) A．1a＜1b B．－a＞－b

C．|a|＞－b D．1a－b＞1b 【答案】A 【解析】∵a＜b＜0，∴1a－1b＝b－aab＞0，1a＞1b，A不正确；－a＞－b＞0，－a＞－b，B正确；|a|＞|b|＝－b，C正确；当a＝－3，b＝－1，1a－b＝－12，1b＝－1时，1a－b＞1b，此时D成立．故选A. 6．(2018山东德州模拟)已知a＜b＜c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A．a2＜b2＜c2 B．ab2＜cb2 C．ac＜bc D．ab＜ac 【答案】C 【解析】∵a＋b＋c＝0且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，∴ac＜bc，故选C. 7．(2018陕西西安二模)如果a＞b＞1，c＜0，在不等式①ca＞cb；②ln(a＋c)＞ln(b＋c)；③(a－c)c＜(b－c)c；④bea＞aeb中，所有恒成立的序号是( ) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【解析】用排除法，∵a＞b＞1，c＜0，∴可令a＝3，b＝2，c＝－4，此时a＋c<0，b＋c<0，∴②错误，排除A，C，D，故选B. 8．(2018厦门模拟)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：①loga(1＋a)＜loga1＋1a；②loga(1＋a)＞loga1＋1a；③a1＋a＜a1＋1a；④a1＋a

江西省2015届高三数学一轮复习备考试题不等式一、选择题1、（2014年江西高考）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.42、（2013年江西高考）在实数范围内，不等式211x --≤的解集为3、（2012年江西高考）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为___________。

4、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）设变量x ，y 满足|3|2,43:y x z x y x xy -=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥则的最大值为( ) A ．8B ．3C ．413 D ．29 5、（红色六校2015届高三第一次联考）若关于x 的不等式21321x x a a -+-≤--在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A.13a a <->或B.03a a <>或C.13a -<<D.13a -≤≤ 6、（崇义中学2015届高三上学期第一次月考）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积最小 时的k 为________7、（乐安一中2015届高三上学期开学考试）定义在R 上的函数)(x f 满足1)1(=f ，且对任意R x ∈都有21)(<'x f ，则不等式21)(22+>x x f 的解集为（ ）A.(1，2)B.(0，1)C.),1(+∞D.(-1，1)8、（南昌三中2015届高三上学期第一次月考）若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ,则实数a 的取值范围是9、（2014届江西省高三4月模拟）若不等式组10100x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内的点都不．在圆2221()(0)2x y r r +-=>外，则r 的最小值是________10、（吉安一中2014届高三下学期第一次模拟）已知10a b c >>>>，对以下不等式①a b c c > ②11a bc c > ③11abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭④1111abc c ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤11log log c c a b>， 其中成立的是（ ） A. ①②⑤B. ②③④C. ②③⑤D. ③④⑤11、（南昌三中2014届高三第七次考试）设01,a b <<<则下列不等式成立的是( )A ．33a b >B ．11a b< C ．1b a >D ．()lg 0b a -<12、（南昌铁路一中2014届高三第二轮复习测试）不等式2|3||1|3x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立,则正实数a 的取值范围______13、（上饶市2014届高三1月第一次高考模拟）若正数,x y 满足230x y +-=，则的最小值为14、设变量,x y 满足10,020,015,x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩则23x y +的最大值为 ( ).A 20 .B 35 .C 45 .D 5515、已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 516、若R c b a ∈,,，b a >，则下列不等式成立的是 （ ）A ．b a 11< B ．1122+>+c bc a C ．22b a > D ．c b c a > 17、已知正数,x y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）0 18、已知011<<ba ，给出下列四个结论：①b a < ②ab b a <+ ③||||b a > ④2b ab < 其中正确结论的序号是A ．①②B ．②④C ．②③D ．③④19、设a,b 是两个实数，且a ≠b ，①,322355b a b a b a +>+②)1(222--≥+b a b a ，③2>+abb a 。

方法二：令 t k 2 1 ，则 k 2 t 1.
4
400（1 k 2 )2 5k 2 5 4k
2
2
2
1600 81
.
所以
当S 2且仅当4400t52 k
(5t 1)(4t
21)5204t420k02tt2，1即k2
1
t2
410时0 ， S
1 20 t
2
.
最小为
1600 81
.
所以当 1 1 ，即 k 2 1时， S 2 最小为 1600 .
2
2.能够使用基本不等式及公式的变形解决简单的最大（小）值问题. 3.在使用基本不等式求最大（小）值时注意“=”成立的条件.
4.应用基本不等式求较复杂的最大（小）值问题时，注意配凑、换元、消元、变形等方法的
使用.
【命题规律】
高考对基本不等式的考查，主要是利用基本不等式求最值，且常与 函数、数列、解析几何等知识结合考查，主要以选择题或填空题的形式 进行考查，但有时也在解答题中出现.
t2
81
知巩识固再型现题组
【归纳总结】
本组题目有什么特点？应该如何求解？
本组题目都是含有一个变量的函数的最值问题. 在解答时应从变量个数、次数、结构形式等角度观 察与分析“目标函数”，通过辨析，运用配凑、换 元等方法构造出基本不等式的结构特征，并确认 “一正、二定、三相等”是否同时成立？若成立， 则可以运用基本不等式求解；若不成立，则可以从 函数角度求解.
再现型题组
1.已知 ab 1， a2 b2 取得最小值时， a b 2 .
1
若 a2 b2 1，则 ab 的最大值是 2 .
2.如图所示， AB是圆 O 的直径， C 是圆上任意一点，a b

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 8 )(数列与不等式)高三( )班 学号_______ 姓名_____________ 成绩__________一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1．,a b 是任意实数，且a b >，则下列结论正确的是( )A.22a b > B. 1ba< C.1lg()lg a b a b ->- D. 33a b --<2．下列各一元二次不等式中，解集为空集的是( )A.(3)(1)0x x +->B.(4)(1)0x x +-<C.2230x x -+<D.22320x x -->3．条件:||p x x >，条件2:q x x ≥，则p q 是的( )A 、充要条件B 、既不充分也不必要条件C 、必要不充分条件D 、充分不必要条件 4、若数列{}n a 中，433n a n =-，则n S 最大值n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或15 5. 等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切正整数n ，都有n n S T =231n n +， 则55a b 等于( ) A.23 B. 914 C. 2031 D. 11176．设变量x 、y 满足约束条件236y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥，则目标函数y x z +=2的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．97．设x y 、为正数, 则14()()x y x y++的最小值为( )A.6B.9C.12D.158．已知平面区域D 由以(1,3)(5,2)(3,1)A B C 、、为顶点的三角形内部及边界组成，若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m 等于( )A. －2B. －1C. 1D.4二、填空题: (本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上) 9．{}n a 为等差数列,14739a a a ++=,25833a a a ++=,则369a a a ++=_______. 10．在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝ _______. 11．不等式11axx <-的解集为{}1>2x x x <或,那么a 的值为__________. 12．动点(,)P a b 在不等式组20x y x y y +-⎧⎪-⎨⎪⎩≤0≥≥0表示的平面区域内部及边界上运动，则21b a ω-=-的取值范围是_____________． 13. 设220,0,12b a b a +=≥≥,则_________. 14．设221x y +=, 则2x y +得最大值为__________.高三( )班 学号_______ 姓名_____________ 成绩__________(每小题5分,共30分)9.____________________. 10.___________________. 11. ____________________.12.___________________. 13. ___________________. 14.____________________.三、解答题：本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. (本小题满分12分)设全集为R ,集合A ={x ∣12log (3)2x -≥-},B ={x ∣512x +≥},求()R C A B ．16. (本小题满分12分)设2()(8),f x ax b x a ab =+---不等式()0f x >的解集是（－3，2）. （1）求()f x ； （2）当函数()f x 的定义域是[0,1]时，求函数()f x 的值域.17. (本小题满分14分)定义一种运算: (,,0)mn m n a m n N a ∆∆=⋅∈≠ （1）若数列{}n a （*n N ∈）满足n a n m =∆,当2m =时,求证: 数列{}n a 为等差数列;（2）设数列{}n c （*n N ∈）的通项满足(1)n c n n =∆-,试求数列{}n c 的前n 项和n S .18. (本小题满分14分)已知函数2()2f x x x =+,数列11{}:1,(),n n n a a a f a +'==满足数列1{}0n b b t =>满足(t 为常数)且1()(*)n n b f b n N +=∈. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设11,{}n n n n b c c b ++=数列的前n 项和为n S ，若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立，求λ的取值范围.附加题：给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.2014届高三数学理科第一轮复习单元过关(8)答案及评分标准DCDB BBBC9、27 10、4951 11、2112、(,2][2,)-∞-+∞ 13、423 14、515. 解：A =[-1,3) , B=(-2,3]＝B A ⋂∴[-1,3) ),3[)1,()C R +∞--∞= B A （ 16. 解不等式()0f x >的解集是（－3，2）于是不等式()0f x =的解是－3，2 由(3)0f -=,(2)0f =解得3,5a b =-=,于是1833)(2+--=x x x f(2)当12)(,1,18)(,0min max ====x f x x f x 时当时,故所求函数)(x f 的值域为[12，18]17、证明：由题意知当2m =时，2n a n m a n=∆=⋅， 则有21(1)n a a n +=⋅+---------------------------------------2分 故有21n n a a a +-=，（*n N ∈），其中2112a a =∆=，--------------3分 所以数列{}n a 是以21a a =为首项，公差2d a =的等差数列。

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >b >0得，a 2＋b 2>2ab ；但由a 2＋b 2>2ab 不能得到a >b >0，故“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的充分不必要条件，故选A.答案：A2．当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案：B3．(2017届合肥调研)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号，选项C 正确．答案：C4．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x ⇔x 2＋14>x (x >0)⇔4x 2－4x ＋1>0(x >0)．当x ＝12时，4×122－4×12＋1＝0，∴A 错；当sin x ＝－1时，sin x ＋1sin x ＝－2<2，∴B 错；x 2＋1≥2|x |⇔(|x |－1)2≥0，∴C 正确；当x ＝0时，1x 2＋1＝1，∴D 错． 答案：C5．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：B6．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：∵x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋24y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又2x＋1y＝1，此时x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.答案：D7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品() A．60件B．80件C．100件D．120件解析：每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x8元，则800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．答案：B8．(2018届辽宁师大附中模拟)函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则1m＋2 n的最小值为()A．2 B．4C．8 D．16解析：∵当x＝－2时，y＝log a1－1＝－1，∴函数y＝log a(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(－2，－1)，即A(－2，－1)．∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.∵m>0，n>0，∴1m＋2n＝2m＋nm＋4m＋2nn＝2＋nm＋4mn＋2≥4＋2·nm·4mn＝8，当且仅当m＝14，n＝12时取等号．故选C.答案：C9．(2017届山东泰安模拟)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >b ，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由题意，知直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .由直线l 经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )×1＝(a ＋b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b .因为b a ＋2ab ≥2b a ×2a b ＝22当且仅当b a ＝2ab 时取等号，所以a ＋b ≥3＋2 2. 答案：3＋2 210．(2017届江西八校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和到B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，x 2＋(y －4)2＝(x ＋2)2＋y 2，整理得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 211．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值 ；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2. 12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8yx ＝18，当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.[能 力 提 升]1．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解析：因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 答案：D2．(2018届山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12 C.14D ．16解析：作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值． 即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max ＝1，即(ab )max ＝16. 答案：D3．(2017届山东日照模拟)若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( )A ．2－ 2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝xx ＋y ＋x ＋2y －x x ＋2y＝ 1＋x x ＋y －x x ＋2y ＝1＋xy (x ＋y )(x ＋2y )＝ 1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋13＋x y ＋2y x， 因为xy >0，所以x y >0，yx >0.由基本不等式可知x y ＋2yx ≥22，当且仅当x ＝2y 时等号成立，所以1＋13＋x y ＋2y x≤1＋13＋22＝4－2 2. 答案：D4．(2017届陕西宝鸡一模)正项等比数列{a n }中，a 2 016＝a 2 015＋2a 2 014，若a m a n ＝16a 21，则4m ＋1n 的最小值等于( )A ．1B ．32 C.53D ．136解析：设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， 由a 2 016＝a 2 015＋2a 2 014，得q 2＝q ＋2， 解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．又因为a m a n ＝16a 21，即a 21·2m ＋n －2＝16a 21， 所以m ＋n ＝6.因此4m ＋1n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n (m ＋n )＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4n m ＋m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24n m ·m n ＝32， 当且仅当m ＝4，n ＝2时，等号成立．故选B. 答案：B。

2013高三理科数学第一轮复习 不等式的证明练习⑵(有答案)班级__________姓名______________1、不等式：（1）x 3＋3>2x ；（2）a 5＋b 5<a 3b 2＋a 2b 3；（3）a 2＋b 2≥2(a ＋b －1)；（4）2||≥+abb a 恒成立的有( )A.(1)(2)B. (1)(3)C. (3)(4)D. (1)(2)(3)(4)2、 对R x ∈都成立的不等式是( )A.x x 2lg )1lg(2≥+B. x x 212>+ C.1112<+x D.x x 442≥+ 3、已知a 、b 是不相等的正数，x =2b a +，y =b a +，则x 、y 的关系是( )A.x ＞yB.y ＞xC.x ＞2yD.不能确定4、给出下列三个命题：①若a ≥b>-1,则11a b a b ≥++ ②若正整数m 和n 满足m ≤n,则()2n m n m -≤ ③设P(x 1,y 1)为圆O 1:x 2+y 2=9上任一点，圆O 2以Q （a,b ）为圆心且半径为1，当（a-x 1）2+(b-y 1)2=1时，圆O 1与O 2相切.其中假命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C.2 D.35.若x,y 是正数，则2211()()22x y y x+++的最小值是（ ） A. 3 B.72 C.4 D. 92 6.111(1)(1)(1),1,(,,),M a b c a b c R M a b c +=---++=∈设且则的取值范围是( )A. [0, 18]B.( 18,1)C. [-1, 18] D. [8,+∞）7、设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++ （ ）A ．14 B ．13C ．12D ．348．已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),,αβ为方程f(x)=x 的两个根，且0<1aαβ<<,0<x<α,给出下列不等式①x<f(x) ②α< f(x) ③x>f(x) ④α> f(x) 其中成立的是A. ①④B. ③④C. ①②D. ②④9．若1=++c b a ，则222c b a ++的最小值为_____________10．若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”） 11、已知实数,1,,=++ca bc ab c b a 满足给出下列等式：（1）1222222≥++a c c b b a （2）321≥abc（3）2)(2>++c b a （4）31222≤++abc c ab bc a 其中一定成立的式子有__________12、已知△ABC 的外接圆半径R=1，41=∆ABC S ，a 、b 、c 是三角形的三边，令c b a s ++=，cb a t 111++=。

第03讲基本不等式 (精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法②“1”的代入法③二次与二次（一次）商式（换元法）④条件等式求最值高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围高频考点三：利用基本不等式解决实际问题高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数第五部分：高考真题感悟第六部分：第03讲基本不等式（精练）1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）①如果0a >，0b >2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立． ②a ，b 的几何平均数；2a b+叫做正数a ，b 的算数平均数． 2、两个重要的不等式①222a b ab +≥（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． ②2()2a b ab +≤（,a b R ∈）当且仅当a b =时，等号成立． 3、利用基本不等式求最值①已知x ，y 是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值；②已知x ，y 是正数，如果和x y +等于定值S ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值24S；4、常用技巧利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）. ①凑：凑项，例：()1123x x a a a x a x a x a+=-++≥+=>--； 凑系数，例：()()2112121112212022282x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=⋅-≤⋅=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②拆：例：()2244442244822223x x x x x x x x x -+==++=-++≥=>----；③除：例：()2221011x x x x x=≤>++； ④1的代入：例：已知0,0,1a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 解析：1111()()24b aa b a b a b a b+=++=++≥. ⑤整体解：例：已知a ,b 是正数，且3ab a b =++，求a b +的最小值.解析：22,322a b a b ab a b ++⎛⎫⎛⎫≤∴≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()21304a b a b +-+-≥，解得()62a b a b +≥+≤-舍去.一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）当0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦时，4sin sin x x +的最小值为4 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）已知102x <<，则()12x x -的最大值为18( ) 二、单选题1．（2022·江西·高一阶段练习）当0x >时，92x x+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．D ．2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（2022·湖南·高一阶段练习）已知0a >，0b >且2510a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．5C ．32D ．524．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一开学考试）下列函数，最小值为2的函数是（ ） A ．1y x x=+B ．222y x x -=+C ．3y x =+D ．2y =高频考点一：利用基本不等式求最值①凑配法1．（2022·北京大兴·高一期末）当02x <<时，(2)x x -的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．42．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ） A ．8B ．7C ．6D ．53．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知x >3，则对于43y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7B ．y 有最小值7C ．y 有最小值4D ．y 有最大值44．（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数x 满足1x >-，则函数41y x x =++的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．（2022·上海虹口·高一期末）已知04x <<，则()4x x -的最大值为______．②“1”的代入法1．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知x ，y 均为正数，若261x y +=，则当3x y +取得最小值时，x y +的值为（ ） A ．16B ．4C ．24D ．122．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知,x y 为正实数，且2x y +=，则212x y+的最小值为__________.4．（2022·广西桂林·高一期末）已知0,0a b >>，若31a b +=，则31a b+的最小值是___________.5．（2022·天津·南开中学高一期末）已知110, 0, 4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为_______________.③二次与二次（一次）商式1．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值12．（2022·全国·高三专题练习）函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-13．（2022·江西南昌·高一期末）当2x >-时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．4．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.5．（2021·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值 （1）21(0)x x y x x ++=>； （2）226(1)1x x y x x ++=>-.④条件等式求最值1．（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知0x >，0y >，若28x y xy +=，则xy 的最小值是（ ）A ．4B 2C ．18D ．142．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且3ab a b =++，则a b +的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．7D ．63．（2022·江苏·高三专题练习）已知0a >，0b >且满足2a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．104．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________ 5．（2022·全国·高三专题练习）已知2,1a b >>，且满足21ab a b =++，则2a b +的最小值为_______. 6．（2022·重庆·高一期末）已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 7．（2022·广东广州·高一期末）已知0a >，0b >，且3a b ab +=-，则a b +的最小值为______．高频考点二：利用基本不等式求参数值或取值范围1．（2022·全国·高三专题练习）当2x >时，不等式12+≥-x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞2．（2022·浙江·高三专题练习）若关于 x 的不等式220x ax -+>在区间[]1,5上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．()+∞B ．(,-∞C ．(),3-∞D ．27,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．94．（2022·全国·高三专题练习）已知x ，()0,y ∈+∞，且1x y +=，若不等式2221124x y xy m m ++>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()2,1-D ．()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞6．（2022·甘肃·无高二期末（文））已知正实数a ，b 满足191a b+=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞7．（2022·全国·高三专题练习）若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦高频考点三：利用基本不等式解决实际问题1．（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m 3，高为3m ，如果箱底每1m 2的造价为15元，箱壁每1m 2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A ．72元B ．300元C ．512元D ．816元2．（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，三角形的面积S 可由公式S =p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足14a b +=，6c =，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．6B ．C ．12D ．3．（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设0p q <<，甲第一次提价%p ，第二次提价%q ；乙两次均提价%2p q+；丙一次性提价()%p q +．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ） A ．乙、甲、丙 B ．甲、乙、丙 C ．乙、丙、甲D ．丙、甲、乙4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知k ∈R ，则“对任意,a b ∈R ，22a b kab +≥”是“k 2≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为g m ，则（ ） A ．10m >B ．10m =C ．10m <D ．以上都有可能6．（2022·全国·高一）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =米，3AD =米，当BM =_______时，矩形花坛AMPN 的面积最小.高频考点四：基本不等式等号不成立，优先对钩函数1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题p ：“21,4,402x x ax ⎡⎤∃∈-+>⎢⎥⎣⎦”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．172a <C ．133a <D ．5a >2．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．0a ≥B ．2a ≤-C ．52a ≥-D ．3a ≤-3．（2022·全国·高三专题练习）函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．1D ．不存在4．（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数4()f x x x =+，()2x g x a =+，若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2[2,3]x ∃∈，使得()()12f x g x ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[3,)-+∞D ．[1,)+∞5．（2022·全国·高二课时练习）函数()3421x xf x x x -=++在区间[]1,3上（ ）A 0B ．有最大值为2491，最小值为0C D ．有最大值为2491，无最小值1．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +-=则121a b ++的最小值是（ ） A ．23B ．43C ．2D ．42．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+3．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为____________． 4．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y 万元与年产量x 吨之间的函数关系可以近似地表示为22420005xy x =-+，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润?并求最大利润.一、单选题1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）A ．12x x+≥ B ．函数224x y += 4C ．若0,x >则(2)x x -最大值为1D ．已知3a >时，43+≥-a a 43=-a a 即4a =时，43+-a a 取得最小值8 2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数2455()()22x x f x x x -+=≥-有（ ） A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值23．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab 满足121a b+=，则()()24a b ++的最小值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．404．（2022·江西抚州·高二期末（文））若命题“对任意(),0x ∈-∞，使得2240x ax -+≥成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞-D ．(],2-∞5．（2022·河南·驻马店市基础教学研究室高二期末（理））中国大运河项目成功人选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目，随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头，已知游船在顺水中的速度为1V ，在逆水中的速度为()212V V V ≠，则游船此次行程的平均速度V 与122V V +的大小关系是（ ） A ．122V V V +<B ．122V V V +≤C ．122V V V +>D ．122V V V += 6．（2022·浙江温州·二模）已知正数a ，b 和实数t 满足221a tab b ++=，若a b +存在最大值，则t 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．()2,-+∞C ．(]2,2-D ．[)2,+∞7．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米8．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知实数a ，b 满足如下两个条件：（1）关于x 的方程2320x x ab --=有两个异号的实根；（2）211a b+=，若对于上述的一切实数a ，b ，不等式222a b m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()2,4-C ．][(),42,-∞-⋃+∞D ．][(),24,-∞-⋃+∞二、填空题9．（2022·陕西西安·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，334x y x y +--=.则x y +的取值范围为__________. 10．（2022·上海·二模）已知对()0,x ∀∈+∞，不等式1x m x>-恒成立，则实数m 的最大值是_________. 11．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.12．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田ABCD ，其中//,AB CD AD AB ⊥.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域AGEH 试种新品种的西红柿，点E 在边BC 上，则该矩形区域的面积最大值为___________.三、解答题13．（2022·湖南·高一课时练习）（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？14．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为8cm ，将△ABC 沿AC 向△ADC 折叠，AB 折过去后交DC 于点P ，设AB xcm =，求ADP △面积的最大值及相应x 的值.15．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知关于x 的不等式220ax ax ++>的解集为R ，记实数a 的所有取值构成的集合为M .(1)求M ；(2)若0t >，对a M ∀∈，有245321a t t a --≤+-+，求t 的最小值.16．（2022·山西·怀仁市第一中学校高一期末）党中央国务院对节能减排高度重视，各地区认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能减排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元．每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且()210500,040,64009016300,40.x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．。

§7.2线性规划考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 2017线性规划求目标函数最优解 A9题5分填空题★★☆分析解读考查线性规划的试题难度一般中等偏下,复习时试题难度不要拔高.五年高考考点线性规划1.(2017课标全国Ⅰ文改编,7,5分)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为.答案 32.(2017课标全国Ⅲ文改编,5,5分)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值X围是.答案[-3,2]3.(2016某某改编,4,5分)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是.答案104.(2016课标全国Ⅱ,14,5分)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为.答案-55.(2016某某理改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为.答案 66.(2016课标全国Ⅰ,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 0007.(2016某某理改编,3,5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=.答案38.(2016改编,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为.答案79.(2016课标全国Ⅲ,13,5分)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为.答案-1010.(2015某某改编,6,5分)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=.答案 211.(2015课标Ⅰ,15,5分)若x,y满足约束条件则的最大值为.答案 312.(2015改编,2,5分)若x,y满足则z=x+2y的最大值为.答案 213.(2015某某改编,2,5分)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为.答案1814.(2015某某改编,4,5分)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为.答案-715.(2015某某,14,4分)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是.答案 316.(2014某某改编,3,5分)若变量x,y满足约束条件,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=.答案 617.(2014某某改编,5,5分)x,y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解,则实数a的值为.答案2或-118.(2014某某,13,5分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值X围是.答案19.(2014某某,14,5分)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.答案-220.(2014课标Ⅰ改编,9,5分)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.答案p1,p221.(2013某某,9,5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值X围是.答案教师用书专用(22—27)22.(2013某某理,13,5分)若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.答案-423.(2013某某理,13,5分)给定区域D:令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.答案 624.(2013某某理改编,9,5分)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定点A,B满足||=||=·=2,则点集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是.答案425.(2013某某理,13,4分)设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=.答案 226.(2013课标全国Ⅱ理改编,9,5分)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案27.(2016某某,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混某某料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料A B C肥料甲 4 8 3乙 5 5 10现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.解析(1)由已知,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域如图1所示:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点线性规划1.(2018某某姜堰中学高三期中)已知x,y满足不等式组则(x+1)2+y2的最大值为.答案2.(2018某某某某高三期中检测)若变量x,y满足且x+2y≥a恒成立,则a的最大值为.答案-43.(2018某某如东高级中学高三学情检测)函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为.答案 14.(2017某某某某师X大学附中期中,7)若实数x,y满足条件则z=3x-4y的最大值是.答案-15.(2017某某某某、某某一模,6)已知实数x,y满足则的最小值是.答案6.(2017某某某某期末,7)设不等式组表示的平面区域为M,若直线y=kx-2上存在M内的点,则实数k的取值X围是.答案[2,5]7.(2016某某清江中学周练,8)若不等式组表示的平面区域的面积为12,则实数a的值为.答案8B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:15分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共15分)1.(2017某某某某暑期调研,13)已知点P是△ABC内一点(不包括边界),且=m+n,m,n∈R,则(m-2)2+(n-2)2的取值X围是.答案2.(2017某某某某中学模拟,13)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a 的最小值是.答案3.(2017某某中学高三月考,9)已知点P(x,y)满足则点Q(x+y,y)构成的图形的面积为.答案 2C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 二元一次不等式(组)表示的平面区域的判断方法及平面区域应用1.若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分,则k的值是.答案方法2 简单规划问题的求解方法及实际应用2.变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值;(2)设z=x2+y2,求z的取值X围.解析由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).由解得B(5,2).(1)∵z==,∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知z min=k OB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离d的平方,结合图形可知,d min=|OC|=,d max=|OB|=. ∴2≤z≤29.。

考点33 基本不等式1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2025届高三年级第一次质量检测）已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。

故答案为：2．（江苏省如皋市2025届高三教学质量调研三）已知，若，满意，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为3．（江苏省苏北四市2025届高三第一学期期末考试考前模拟）已知正实数满意，则的最小值为____．【答案】【解析】正实数x，y满意1，则：x+y＝xy，则：4x+3y，则：437+4，故的最小值为．故答案为：.4．（江苏省南京市六校联合体2025届高三12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____． 【答案】4 【解析】的定义域为（0，+∞）y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4 故答案为：45．（江苏省徐州市2025届高三12月月考）已知正实数x ，y 满意141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++ ∵()2231223424x y x y x y x y +++≥++，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为：9 46．（江苏省清江中学2025届高三其次次教学质量调研）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：7．（江苏省苏锡常镇2025届高三3月教学状况调研一）已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是8．（江苏省苏州市2025届高三调研测试）已知正实数 a，b，c满意，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.9．（江苏省盐城市东台中学2025届高三学业质量监测）已知，，且，则的最小值为____．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以x+y的最小值为．故答案为：10．（江苏省南通市2025届高三最终一卷）在斜△ABC中，若，则的最大值是____．【答案】.【解析】在斜中，，，又，，所以，与同号，又在中，，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.11．（）已知,且满意,则的最大值为_______【答案】【解析】依据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.12．（江苏省盐城中学2025届高三考前热身2）已知正实数，满意，则的最小值为__________.【答案】.【解析】依据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．13．（2024年全国一般高等学校招生统一考试江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.14．（江苏省扬州树人学校2025届高三模拟考试四）已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】.【解析】∵函数（，为正实数）只有一个零点，∴，∴．∴．令，则，∴，当且仅当，即时等号成立，此时．∴的最小值为.15．（江苏省南京市2025届高三第三次模拟考试）若正数成等差数列，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：16．（江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年度高三教学状况调研二）已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：17．（江苏省苏北六市2025届高三其次次调研测试）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______．【答案】8 【解析】()4abc a b =+()4a b c ab+∴=()444442448a b a b c a b a b a b abb a a b+++=++=+++≥⋅⋅=+= 18．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2025届高三其次次调研二模）已知a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+，则a b c ++的最小值为____．【答案】8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()444448a b a b c a b a b a b abb a a b+++=++=+++≥⨯⨯=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8 故答案为8.19．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2025届高三上学期第一次学情监测）已知(),,0,a b c ∈+∞，则()222252a b cbc ac++++的最小值为__________．【答案】4【解析】由均值不等式的结论有：2222222145555a b c a c b c ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()222522ac bc a b c +≤++，当且仅当2,55c c a b ==时等号成立， 则()()()()()222222222222222225525425522a b ca b ca b c ac bca b c a b c ++++++++≥≥=+++++综上可得：()222252a b cbc ac++++的最小值为4.20．（江苏省兴化市楚水试验学校、黄桥中学、口岸中学三校2025届高三12月联考）已知函数()33xxf x e e x x -=-++，若整数a,b 满意()()2110f a f b -+-=，则22211a b a b+++的最小值为___． 【答案】94【解析】因为函数()33xxf x e ex x -=-++在R 上单调递增，且为奇函数，又()()2110f a f b -+-=即()()211f a f b -=--所以211b a -=-即 22a b +=，又 22211a b a b +++=()()()22141212121214111a a b a b a b a b a b+-++++=++++-=++++ 又()()()2121211121921415+4=1144144a b a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎡⎤+=+++⨯=+++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭ 当14,33a b ==时取等号. 故答案为94.21．（江苏省盐城市东台中学2025届高三学业质量监测）为建设漂亮乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．【答案】(1) 的最小值为百米．(2) 当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．【解析】（1）设，，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为百米．（2）当直线与边界曲线相切时，最短．设切点为，由得，所以切线的方程为．因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．因为切线过点，所以，整理得，解得，或．因为，所以，此时切点为，切线方程为．令，得，即点在线段上且距离轴百米．答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．22．（江苏省盐城中学2025届高三全仿真模拟检测）已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满意，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论. （2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．23．（江苏省南京师大附中2025届高三高考考前模拟考试）已知，求证．【答案】见解析【解析】证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以． 证法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得 ()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)] ≥(＋)2＝(1＋2)2＝9． 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以．24．（江苏省南通市2025届高三上学期第一次调研测试）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】因为1a >， 1b >， 所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-.两式相加： ()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立.即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8.。

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。

7-2基本不等式基础巩固强化1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若x <0时，有a x>1，则不等式f (1－1x)>1的解集为( )A ．(11－a ，＋∞)B ．(1，1a)C ．(－∞，11－a) D ．(1，11－a)[答案] D[解析] 依题意得0<a <1，于是由f (1－1x )>1得log a (1－1x )>log a a,0<1－1x<a ，由此解得1<x <11－a ，因此不等式f (1－1x )>1的解集是(1，11－a)，选D.(理)“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝14，x >0时，x ＋ax≥2x ·a x ＝1，等号在x ＝12时成立，又a ＝4时，x ＋a x ＝x ＋4x ≥2x ·4x ＝4也满足x ＋ax≥1，故选A. 2．(文)(2012·内蒙包头一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0，(b ∈R )外切，则a ＋b 的最大值为( )A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2[答案] D[解析] ⊙C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4的圆心C 1(－a,0)，半径r 1＝2，⊙C 2：x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 2(0，b )，半径r 2＝1，∵⊙C 1与⊙C 2外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2， ∴a 2＋b 2＝9，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)＝18， ∴a ＋b ≤32，等号在a ＝b ＝322时成立．(理)(2011·厦门二检)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2 [答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a2b，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号，故选C. 3．(2012·河南六市联考)函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2C ．1D ．4[答案] C[解析] y ＝log a x ＋1过定点A (1,1)，∵A 在直线x m ＋y n－4＝0上，∴1m ＋1n＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )(1m ＋1n )＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2n m ·m n )＝1，等号在m ＝n ＝12时成立， ∴m ＋n 的最小值为1.4．(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22[答案] C[解析] 由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b 2－2ab 2＝12－ab ，所以ab ≤14，故B 错；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b2≤a ＋b2＝12，即a ＋b ≤2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x <1，则4x ＋91－x 的最小值为( )A ．24B ．26C ．25D ．1[答案] C[解析] 依题意得4x ＋91－x ＝(4x ＋91－x )[x ＋(1－x )]＝13＋41－x x ＋9x1－x≥13＋241－x x·9x 1－x＝25，当且仅当41－x x＝9x 1－x ，即x ＝25时取等号，选C. 5．(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x＋3y的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．6D ．9[答案] C[解析] 由题意知a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝6，等号成立时，x ＝12，y ＝2，故选C.6．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件[答案] B[解析] 由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 28元，所以平均费用为y ＝x 8＋800x≥2x 8×800x＝20，当且仅当x ＝80等号成立． 7．已知c 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的半焦距，则ca ＋b的取值范围是________．[答案] [22，1) [解析] 由题设条件知，a ＋b >c ，∴ca ＋b<1，∵a 2＋b 2＝c 2，∴(ca ＋b )2＝c 2a 2＋b 2＋2ab ≥c 22a 2＋b 2＝12，∴ca ＋b≥22，22≤c a ＋b<1. 8．(文)(2011·温州一检)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．[答案] 12[解析] 由题意知A (2,0)，B (0,1)，所以线段AB 的方程用截距式表示为x2＋y ＝1，x ∈[0,2]，又动点P (a ，b )在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0,2]，又a 2＋b ≥2ab2，所以1≥2ab2，解得0≤ab ≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P (1，12)时，ab 取得最大值12. (理)设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB 的最小值为______． [答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为x a ＋yb＝1，则aba 2＋b 2＝1， ∴a 2b 2＝a 2＋b 2≥2ab ，切线与两轴交于点A (a,0)和(0，b )，不妨设a >0，b >0，∴ab ≥2，则AB ＝|AB |＝a 2＋b 2≥2ab ≥2.9．(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________． [答案] 4[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (2k，2k )，Q (－2k，－2k )．则PQ ＝8k2＋8k 2≥4，当且仅当k ＝1时，(PQ )min ＝4.[点评] (1)用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．(2)应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．(3)注意到P 、Q 关于原点对称，可设P (x 0，2x 0)，x 0>0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 0≥4，x 0＝2时取等号，更简捷的获解．(理)(2011·山东日照调研)在等式“1＝1 ＋9”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数是________．[答案] 4和12[解析] 设两个括号中的正整数分别为x ，y ，则x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，x ＋y ＝(x ＋y )(1x＋9y )＝10＋y x ＋9xy≥10＋2y x ·9x y ＝16，等号在y x ＝9xy，即y ＝3x 时成立，由⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋9y ＝1y ＝3x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12.10．(文)(2011·洛阳模拟)若直线ax ＋by ＋1＝0(a >0，b >0)平分圆x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0，求1a ＋4b的最小值．[解析] 由x 2＋y 2＋8x ＋2y ＋1＝0得 (x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16， ∴圆的圆心坐标为(－4，－1)， ∴－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1， ∴1a ＋4b ＝b ＋4a ab ＝1ab，由1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ，得ab ≤116，∴1ab ≥16，∴1a ＋4b的最小值为16.(理)如图，互相垂直的两条公路AM 、AN 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ ，要求P 在射线AM 上，Q 在射线AN 上，且PQ 过点C ，其中AB ＝30m ，AD ＝20m.记三角形花园APQ 的面积为S .(1)当DQ 的长度是多少时，S 最小？并求S 的最小值； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的长应在什么范围内？ [解析] (1)设DQ ＝x m(x >0)，则AQ ＝x ＋20，∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP， ∴AP ＝30x ＋20x ，则S ＝12×AP ×AQ ＝15x ＋202x＝15(x ＋400x＋40)≥1200，当且仅当x ＝20时取等号． (2)∵S ≥1600，∴3x 2－200x ＋1200≥0，∴0<x ≤203或x ≥60答：(1)当DQ 的长度是20m 时，S 最小，且S 的最小值为1200m 2； (2)要使S 不小于1600m 2，则DQ 的取值范围是0<DQ ≤203或DQ ≥60.能力拓展提升11.(文)已知－1<a <0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a，比较A 、B 、C 的大小结果为( ) A ．A <B <C B ．B <A <C C ．A <C <B D ．B <C <A[答案] B[解析] 不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34，C ＝2，由此猜想B <A <C .由－1<a <0得1＋a >0，A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ，C －A ＝11＋a－(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋341＋a>0，得C >A ，∴B <A <C .(理)(2012·济南一模)若实数x 、y 满足4x＋4y＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 设a ＝2x，b ＝2y，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵a 2＋b 2≥a ＋b 22，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4， 又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0，∴a ＋b >2， ∴2<a ＋b ≤4.12．(2011·福建文，10)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 [答案] D[解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ＝0的一根为x ＝1，即12－2a －2b ＝0. ∴a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”号成立．13．(文)(2011·湛江调研)已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2[答案] D[解析] ∵x >0，y >0， ∴2y x ＋8x y≥22y x ·8x y＝8，由条件知m 2＋2m <8，解得－4<m <2，故选D.(理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D ．不存在[答案] A[解析] 由已知a n >0，a 7＝a 6＋2a 5，设{a n }的公比为q ，则a 6q ＝a 6＋2a 6q，∴q 2－q －2＝0，∵q >0，∴q ＝2，∵a m a n ＝4a 1，∴a 21·q m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32，等号在n m ＝4m n ，即n ＝2m ＝4时成立．14．如图所示，已知D 是面积为1的△ABC 的边AB 的中点，E 是边AC 上任一点，连接DE ，F 是线段DE 上一点，连接BF ，设DF DE ＝λ1，AE AC ＝λ2，且λ1＋λ2＝12，记△BDF 的面积为S ＝f (λ1，λ2)，则S 的最大值是________．[答案]132[解析] 连接BE .因为△ABC 的面积为1，AE AC＝λ2，所以△ABE 的面积为λ2.因为D 是AB 的中点，所以△BDE 的面积为λ22.因为DF DE ＝λ1，所以△BDF 的面积S ＝f (λ1，λ2)＝12λ1λ2≤12(λ1＋λ22)2＝132，上式当且仅当λ1＝λ2＝14时取等号．15．(文)(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； (2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区． [解析] (1)设DQ ＝y ， 则x 2＋4xy ＝200，∴y ＝200－x 24x.S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2＝38000＋4000x 2＋400000x2(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x2≥38000＋216×108＝118000，当且仅当4000x 2＝400000x2，即x ＝10时， S min ＝118000(元)，答：计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润W (万元)表示为年广告费x (万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？ [解析] (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为32Q ＋3Q×150%＋xQ×50%，∴年销售收入为(32Q ＋3Q ×150%＋xQ×50%)·Q＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴年利润W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3－x )＝－x 2＋98x ＋352x ＋1(x ≥0)． (2)令x ＋1＝t (t ≥1)，则 W ＝－t －12＋98t －1＋352t＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋32t . ∵t ≥1，∴t 2＋32t ≥2t 2·32t＝8，即W ≤42， 当且仅当t 2＝32t，即t ＝8时，W 有最大值42，此时x ＝7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元． 16．(文)已知α、β都是锐角，且sin β＝sin αcos(α＋β)． (1)当α＋β＝π4，求tan β的值；(2)当tan β取最大值时，求tan(α＋β)的值． [解析] (1)∵由条件知，sin β＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β， 整理得32sin β－12cos β＝0，∵β为锐角，∴tan β＝13.(2)由已知得sin β＝sin αcos αcos β－sin 2αsin β， ∴tan β＝sin αcos α－sin 2αtan β， ∴tan β＝sin αcos α1＋sin 2α＝sin αcos α2sin 2α＋cos 2α ＝tan α2tan 2α＋1＝12tan α＋1tan α≤122＝24. 当且仅当1tan α＝2tan α时，取“＝”号，∴tan α＝22时，tan β取得最大值24， 此时，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 2.(理)函数f (x )对一切实数x 、y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)； (2)求f (x )；(3)当0<x <2时，不等式f (x )>ax －5恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝1，y ＝0，得f (1＋0)－f (0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2， ∴f (0)＝f (1)－2＝－2.(2)令y ＝0，f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋2×0＋1)·x ＝x 2＋x ， ∴f (x )＝x 2＋x －2.(3)f (x )>ax －5化为x 2＋x －2>ax －5，ax <x 2＋x ＋3，∵x ∈(0,2)， ∴a <x 2＋x ＋3x ＝1＋x ＋3x.当x >0时，1＋x ＋3x ≥1＋23，当且仅当x ＝3x，即x ＝3时取等号，∵3∈(0,2)，∴(1＋x ＋3x)min ＝1＋2 3.∴a <1＋2 3.1．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] ∵12为a 、b 的等差中项，∴a ＋b ＝1.α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ⇒1＋1a ＋1b ＝1＋a ＋b ab ＝1＋1ab，∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤a ＋b 24＝14.当a ＝b ＝12时取等号．∴α＋β＝1＋1ab≥1＋4＝5.∴α＋β的最小值为5.故选D.2．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A [解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2， R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝R 1＋R 22－4R 1R 22R 1＋R 2 ＝R 1－R 222R 1＋R 2>0，所以R A >R B . 3．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy，则( ) A ．P ＝Q B ．P ≥Q C ．P ≤Q D ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy ·b x ＋d y＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd ＝ab ＋cd ＝P .[点评] 可用特值法求解，令所有字母全为1，则P ＝2，Q ＝2，∴P ＝Q ，排除D ；令a ＝b ＝c ＝d ＝1，x ＝1，y ＝4，则P ＝4，Q ＝5，∴P <Q ，排除A 、B ，选C.4．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x 的代数式a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，a 只要大于或等于y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12的最大值就满足题设要求． [解析] 若x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a ≥－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立．令y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则y ′＝－1＋1x 2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时y ′>0，∴y ＝－x －1x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12为增函数，∴y max ＝y ′|x ＝12＝－52， 当a ≥－52时，a ≥－x －1x恒成立，即x 2＋ax ＋1≥0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，∴选C.5．如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B[解析] 以AC 、AB 为x 、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则P 点坐标为(1,1)，B (0,2)、C (2,0)，∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AM →＝AB →m ，AN →＝AC →n，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2m 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，∴直线MN 的方程为my 2＋nx2＝1，∵直线MN 过点P (1,1)，∴m 2＋n2＝1，∴m ＋n ＝2，∵m ＋n ≥2mn ，∴mn ≤m ＋n 24＝1，当且仅当m ＝n ＝1时取等号，∴mn 的最大值为1.6．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．[答案] 8[解析] AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a >0，b >0，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋2b a ·4a b ＝8，当且仅当b a ＝4a b，即b ＝12，a ＝14时等号成立．。

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编12：不等式一、填空题1 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知实数a,b,c 满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b 的取值范围是______. 【答案】[1,5]2 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）若直线y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203则实数m 的最大值为__._ 【答案】13 ．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）设0x ≥,0y ≥且21x y +=,则223x y +的最小值为______.【答案】344 ．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）正实数21,x x 及)(x f 满足1414)(+-=x x x f ,且1)()(21=+x f x f ,则)(21x x f +的最小值等于______.【答案】54;由1)()(21=+x f x f 得14344221-+=x x x,144211414)(21212121+-=+-=+++x x x x x x x x f6144)14(2122+-+--=x x ≥6144)14(22122+---x x 54511=-=, 当且仅当1441422-=-x x ,即342=x,3log 42=x 时取得最小值. 5 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数,且对任意实数)(,2121x x x x ≠,恒有()()02121>--x x x f x f ,且()x f 的最大值为1,则满足()1log 2<x f 的解集为______【答案】(0,4)6 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）若正实数x,y 满足26xy x y =++ ,则xy 的最小值是______. 【答案】187 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知点P(x,y)在不等式表示的平面区域上运动,则z x y =+的最大值是____【答案】48 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）如果22log log 1x y +=,则2x y +的最小值是___________. 【答案】49 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知正项等比数列{}n a 满足:6542a a a =+,若存在两项m a ,n a12a =,则14m n+的最小值为________. 【答案】9410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ,则xy x y u 22-=的取值范围是__★__.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,38 提示:令x y t =,则t t u 1-=.11．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）已知实数x 、y 满足2035000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩,则y x z )21()41(⋅=的最小值为___________.【答案】16112．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）设实数12345,,,,x x x x x 均不小于1，且12345729x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，则1223max{,,x x x x3445,}x x x x 的最小值是 ▲ ．（max{,,,}a b c d 是指a 、b 、c 、d 四个数中最大的一个）【答案】913．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数()()R x k x x kx x x f ∈++++=,112424.则()x f 的最大值与最小值的乘积为__★__.。

《导数的综合应用—证明不等式》考查内容：主要涉及利用导数证明不等式 注意：涉及到复合函数求导问题一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知1201x x ，则（ ）A ．1221ln ln x x x x > B ．1221ln ln x x x x < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <2．当时，有不等式 （ ）A ．1x e x <+B ．1x e x >+C ．当0x >时1x e x <+，当0x <时1x e x >+D ．当0x <时1x e x <+，当0x >时1x e x >+3．已知非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y <++ B ．y x x y x y+>+ C ．1111xya a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭D ．x y y x >4．已知函数()=ln 1f x x ax +-有两个零点12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（ ） A ．01a << B ．122x x a +<C ．121x x ⋅>D ．2111x x a->-5．已知01a b <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ln ln a b a b> B ．ln 1ln ab < C ．ln ln a a b b < D ．a b a b > 6．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f xf x f x <<7．若ln22a =，ln33b =，ln66c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<8．下列不等式中正确的是( )①sin ,(0,)x x x <∈+∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0)x x x <∈+∞，. A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②9．若[)0,x ∈+∞,则下列不等式恒成立的是 ( ) A ．21x e x x ≤++ B211124x x ≤-+C ．21cos 12x x ≥-D ．()21ln 18x x x +≥-10．若0m n e <<<，则下列不等式成立的是（ ）A ．m n e e m n <B ．m n e e m n>C ．ln ln n mn m<D ．ln ln n mn m>11．设a 为常数，函数()()2ln 1f x x x ax =--，给出以下结论： （1）若2a e -=，则()f x 存在唯一零点 （2）若1a >，则()0f x <（3）若()f x 有两个极值点12,x x ，则1212ln ln 1x x x x e-<- 其中正确结论的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．012．已知函数ln ()1x xf x x=-+在0x x =处取得最大值，则下列选项正确的是（ ） A ．()0012f x x =< B ．()0012f x x =>C ．()0012f x x ==D ．()0012f x x <<二．填空题13．若0<x 1<x 2<1，且1<x 3<x 4，下列命题：①3443ln ln x x ee x x ->-；②2121ln ln x x e e x x ->-；③3232x x x e x e <；④1221x xx e x e >；其中正确的有___14．已知函数，当时，给出下列几个结论：①；②；③;④当时，．其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．15．若01a b <<<，e 为自然数()2.71828≈e ，则下列不等式：①11++>a b b a ； ②ln ln ->-a b e e a b ；③()()log 1log 1+>+a b a b ，其中一定成立的序号是___ 16．已知函数2()ln f x x x x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e>；③00()0f x x +<；④00()0f x x +> 其中正确的命题是__________．（填出所有正确命题的序号） 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．利用函数的单调性（利用导数），证明下列不等式: （1）sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）1x e x >+，0x ≠.18．已知函数2()2ln f x x x =-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：当2x >时，()34f x x >-.19．已知函数()ln 1a x bf x x x=++曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20．已知函数f (x )＝ln(x +1)－x ． ⑴求函数f (x )的单调递减区间； ⑵若1x >-，证明：11ln(1)1x x x -≤+≤+．21．已知函数()21ln(0).f x ax x a x=-+> （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln2.f x f x +>-22．已知函数()ln ()x f x e a x a R =+∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，若e a -<<0，求证：()00x f x e >.23．已知函数()1ln f x x x x=--. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若()f x 满足()()()1212f x f x x x ''=≠，证明：()()1232ln 2f x f x +>-.《导数的综合应用—证明不等式》解析1.【解析】设()ln f x x x =，则()'ln 1f x x =+，由()'0f x >，得1x e>，所以函数()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；由()'0f x <，得10x e <<，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故函数()f x 在()0,1上不单调，所以()1f x 与()2f x 的大小无法确定，从而排除A ，B ；设()ln x g x x=，则()21ln 'xg x x -=，由()'0g x >，得0x e <<，即函数()f x 在()0,e 上单调递增，故函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()12g x g x <，即1212ln ln x x x x <，所以2112ln ln x x x x <.故选：D 2.【解析】对于函数()1xf x e x =--其导数()1xf x e '=-，当0x >时()0f x '>，当0x <时，()0f x '< ()()min 00f x f ∴==∴当时()01xf x e x >∴>+3.【解析】依题意非零实数a ，x ，y 满足2211log log 0a a x y ++<<，则20,11a a ≠+>，所以01x y <<<.不妨设11,42x y ==， 则2211614161616,,175201720111142===>⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项错误； 315535,2,422444y x x y x y +=+=+==<，所以B 选项错误；由于1011a <<+，根据指数函数的性质可知：11421111a a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误.依题意01x y <<<，要证明x y y x >，只需证明ln ln x yy x >，即证ln ln x y y x >，即证ln ln y x y x >，构造函数()()ln 01xf x x x=<<，()'21ln x f x x-=，由于01x <<，所以ln 0x <，所以()'21ln 0x f x x -=>在区间()0,1上恒成立，所以()f x 区间()0,1上递增，所以ln ln y xy x>，所以x y y x >.故D 选项正确.故选：D4.【解析】因为函数()=ln 1f x x ax +-,所以11()'-=-=axf x a x x, 当a≤0时，()0,f x '>所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，10x a <<时，()0f x '>，函数f(x)单调递增，1x a>时，()0f x '<， 函数f(x)单调递减.所以max 11()()ln .f x f aa== 因为函数f(x)有两个零点，所以1ln0,ln 0,ln 0,0 1.a a a a>∴->∴<∴<< 又111()0,(1)10, 1.a f f a x e e e =-<=->∴<<又111210,.x x a a a<<∴->令2221()()()ln()()ln (0)g x f x f x x a x x ax x a a a a=--=----+<≤则212()11()20.21()a x a g x a x x x x a a-=-+=<--' 所以函数g(x)在1(0,)a 上为减函数，11()()g x g a∴>=0，又1()=0f x ，11111222()ln()()1()()0,f x x a x f x g x a a a∴-=---+-=>又2()0f x =，∴212x x a >-，即1222x x a+>>.故答案为B5.【解析】对A ，令()ln x f x x=，'2ln 1()(ln )x f x x -=，当'()00f x x e <⇒<<，∴()f x 在(0,)e 单调递减，∴()()f a f b >，即ln ln a ba b >，故A 正确； 对B ，01a b <<<，∴ln ln 0a b <<，∴ln 1ln ab>，故B 错误； 对C ，令()ln f x x x ='()ln 1f x x ⇒=+，当10x e<<时，'()0f x <；当1x e >时，'()0f x >，∴()f x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增，显然当1b e=时，ln ln a a b b >，故C 错误；对D ，ln ln a b a a b b a b ⇔>>，由C 选项的分析，当1a e=时，ln ln a a b b <，故D 错误；故选：A.6.【解析】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->， 从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f xf x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D.7.【解析】设ln ()xf x x=，则21ln ()x f x x -'=，所以()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减；即有(6)(4)(3)f f f <<，所以ln6ln4ln2ln36423<=<，故c a b <<.故选：C8.【解析】对于①：令sin ,(0,)y x x x =-∈+∞，则'cos 10y x =-≤恒成立， 则sin ,(0,)y x x x =-∈+∞是减函数，所以有0y <恒成立， 所以sin ,(0,)x x x <∈+∞成立，所以①正确；对于②：1,xe x x R ≥+∈，令1xy e x =--，'e 1x y =-， 当0x <时，'0y <，当0x >时，'0y >，所以函数1x y e x =--在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，所以在0x =处取得最小值，所以0010y e ≥--=，所以1,xe x x R ≥+∈成立，所以②正确；对于③，ln x x <，(0,)x ∈+∞，令ln y x x =-，有11'1x y x x-=-=， 所以有当01x <<时，'0y >，当1x >时，'0y <，所以函数ln y x x =-在1x =时取得最大值，即ln 010y x x =-≤-<， 所以ln x x <，(0,)x ∈+∞恒成立，所以③正确； 所以正确命题的序号是①②③，故选B.9.【解析】对于A ,分别画出2,1x y e y x x ==++在[)0,+∞上的大致图象如图,知21x e x x ≤++不恒成立,排除A ；对于B ,令()()252111,'24x x f x x x f x -⎫=-+=⎪⎭，所以20,,5x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()'0,f x f x <为减函数,2,5x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()'0,f x f x >为增函数,所以()f x 最小值为21,5f B ⎛⎫=<⎪⎝⎭错，排除B ；对于D ,当4x =时,221ln 5ln 244,8e D <==-⨯错，排除D ，故选C.10.【解析】构造函数()()()21,xxx e e f x f x x x -='=，函数在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为0m n e <<<，当m 和n 在不同单调区间时，函数值大小不能确定，故AB 不正确;构造函数()()2ln 1ln ,x xf x f x x x -='=，函数在()()0,,,e e +∞，0m n e <<<故ln ln n mn m>.故答案为：D. 11.【解析】（1）若函数()f x 存在零点，只需方程()2ln 10x x ax --=有实根，即方程ln 1x a x -=有实根，令ln 1()x g x x -=，则只需函数ln 1()x g x x -=图像与直线y a =有交点即可.又22ln ()x g x x -'=，由22ln ()0x g x x -'=>可得20x e <<；由22ln ()0x g x x-'=<可得2x e >； 所以函数ln 1()x g x x-=在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减， 故22max ()()g x g e e -==，因此，当2a e -=时，直线y a =与ln 1()x g x x-=图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当1a >时，2ln 1()1x g x e a x--=≤<<在(0,)+∞上恒成立， 即2()()0f x g x a x=-<在(0,)+∞上恒成立，即()0f x <在(0,)+∞上恒成立；故（2）正确；（3）因为()()2ln 1f x x x ax =--，所以()ln 2f x x ax '=-，若()f x 有两个极值点12,x x ，则1122ln 20ln 20x ax x ax -=⎧⎨-=⎩，所以1212ln ln 2x x a x x -=-， 又由()f x 有两个极值点，可得方程ln 20x ax -=有两不等实根，即方程ln 2xa x=有两不等式实根，令ln ()x h x x =，则1ln ()xh x x-'=， 由1ln ()0x h x x -'=>得0x e <<；由1ln ()0xh x x -'=<得x e >； 所以函数ln ()xh x x =在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以max 1()h x e =，又当1x <时，ln ()0x h x x =<；当1x >时，ln ()0xh x x =>； 所以方程ln 2x a x =有两不等式实根，只需直线2y a =与函数ln ()xh x x=的图像有两不同交点，故102a e<<；所以1212ln ln 1x x x x e -<-，即（3）正确.故选A 12.【解析】函数的定义域为()0,∞+，而()()2ln 11x x f x x ++'=-+，令()ln 1h x x x =---，则()h x 在()0,∞+上单调递减， 且()221133110,ln 2ln 02222h eh e e -⎛⎫=->=-<-=-< ⎪⎝⎭，010,,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00h x =，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，()f x 在0x x =处取得最大值，00ln 10x x ∴++=，()0000000ln 1ln 1,12x x x x f x x x ∴=--∴=-=<+.故选：A13.【解析】令()()ln 0x f x e x x =->，则()1x f x e x'=-， 易知当()0,x ∈+∞时，()f x '单调递增，由131303f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()110f e '=->，则存在01,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；1201x x ，∴当02x x =时，()()21f x f x <即2121ln ln x x e x e x -<-，∴此时2121ln ln x x e e x x -<-，故②错误；341x x <<，∴()()43f x f x >即3443ln ln x x e x e x ->-，∴3443ln ln x x e e x x ->-，故①正确；令()()0xe h x x x =>，()()21x e x h x x -'=， ∴当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增；2301x x <<<，∴()2h x 与()3h x 的大小无法确定即23x x e 、32x x e 的大小无法确定，故③错误；121x x ，∴()()21h x h x <即2121x x e e x x <，∴1221x x x e x e >，故④正确.故答案为：①④.14.【解析】因为，所以，可知（0，1e）递减， （1e，+∞）递增，故①错误；令，所以'()ln g x x =，可知在（0,1）上递减，（1，+∞）上递增，故②错；令，所以h （x ）在（0，+∞）上递增，所以，故③正确；当时，可知，又因为f （x ）在（1e，+∞）递增， 设111()()2()()x xf x xf x x f x ϕ=-+1'()()'()2()x f x xf x f x ϕ∴=+-112ln 2ln 0x x x x x =+->，又因为f （x ）在（1e ，+∞）递增，所以1x x >时，1()()f x f x >即11ln ln x x x x >，所以1x x >时，'()0x ϕ>，故()x ϕ为增函数，所以21()()x x ϕϕ>，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+1()0x ϕ>=，故④正确．15.【解析】对于①若11++>a b b a 成立.两边同时取对数可得11ln ln a b b a ++>,化简得()()1ln 1ln a b b a +>+，因为01a b <<<， 则10,10a b +>+>,不等式两边同时除以()()11a b ++可得ln ln 11b ab a >++ 令()ln 1xf x x =+,()0,1x ∈，则()()()()22111ln 1ln '11x x x x x f x x x +-+-==++ 当()0,1x ∈时, 11ln 0x x+->,所以()'0f x > 即()ln 1xf x x =+在()0,1x ∈内单调递增 所以当01a b <<<时()()f b f a >,即ln ln 11b ab a >++，所以11++>a b b a ，故①正确 对于②若ln ln ->-a b e e a b ,化简可得ln ln a b e a e b ->-，令()ln xg x e x =-,()0,1x ∈，则()()211',''xx g x e g x e x x=-=+， 由()''0g x >可知()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内单调递增， 而()()'0,'110g g e →-∞=->， 所以()1'xg x e x=-在()0,1x ∈内先负后正， 因而()ln xg x e x =-在()0,1x ∈内先递减,再递增,所以当01a b <<<时无法判断，ln a e a -与ln b e b -的大小关系.故②错误.对于③,若()()log 1log 1+>+a b a b ，令()()log 1x h x x =+， 利用换底公式化简可得()()ln 1ln x h x x+=,()0,1x ∈ 则()()()()()()()()22ln 1ln ln 1ln 1ln 11''ln ln 1ln x x x x x x x x x h x x x x x x +-+-++⎡⎤+===⎢⎥+⎣⎦当()0,1x ∈时,()()ln 0,1ln 10x x x x <++> ， 所以()()ln 1ln 10x x x x -++<,即()'0h x <， 则()()ln 1ln x h x x+=在()0,1x ∈内单调递减，所以当01a b <<<时,()()ln 1ln 1ln ln a b a b++>，即()()log 1log 1+>+a b a b ，所以③正确，综上可知,正确的为①③，故答案为: ①③ 16.【解析】的定义域为，，所以有，所以有，即，即，所以有；因为， 所以有．17.【解析】（1）设()sin f x x x =-，()tan =-g x x x ， ∴()cos 1'=-f x x ，()222cos sin sin 1()11cos cos --'=-=-x x x g x xx， ∵0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴0cos 1x <<，∴()0f x '<，()0g x '>， ∴函数()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；函数()tan =-g x x x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；∴()(0)0f x f <=，()(0)0g x g >=，即sin x x <，tan x x >， ∴sin tan <<x x x ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）设函数()1x h x e x =--，所以 ()1xh x e '=-；令()10'=-=xh x e 得：0x =，由()10xh x e '=->得0x >；由()10'=-<xh x e 得0x <；所以函数()1xh x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增；∴当0x =时，()h x 取最小值，即min ()(0)0h x h ==， ∴当0x ≠时，恒有()0h x >，即1x e x >+，0x ≠显然成立． 18.【解析】(1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝2x -2=2(1)(1)x x x+-，由f ′(x )>0， 得x>1; 由f ′(x )<0， 得0<x<1∴f (x )的单调增区间为(1，＋∞), 单调减区间为(0，1)．(2)设g (x )＝f （x ）-3x+1=x 2－2ln x -3x+4， ∴g ′(x )＝2x -2--3=2232(21)(2)x x x x x x--+-=， ∵当x >2时，g ′(x )>0，∴g (x )在(2，＋∞)上为增函数， ∴g (x )>g (2)＝4-2ln2-6+4>0，∴当x >2时， x 2-2lnx>3x-4, 即当x >2时()34f x x >-..19.【解析】1）()()221ln '1x x b x f x x x α+⎛⎫-⎪⎝⎭=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11,1'1,2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=ln 1,1x x x++所以()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭ 考虑函数()()2120x h x lnx x x-=->，则h′(x)=()()222222112x x x x x x----=-， 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x ()0,1∈时h(x)>0可得()ln 1xf x x >-, x ()1∈+∞， h(x)<0可得()ln 1xf x x >-,从而当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.20.【解析】（1）函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1x x +． 由()f x '<0及x >－1，得x >0．∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数， 即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．（2）证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0，因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ln(1)x x ．令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x =-+'+＝2(1)x x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0． ∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即1ln(1)11x x ++-+≥0，∴1ln(1)11x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+． 21.【解析】（1）()2ln f x x ax x =--+ ，()212121ax x f x ax x x-+==-'--+ ，则18a ∆=- ， 当18a ≥时()0,0f x '∆≤≤ ，此时f(x)在()0,∞+单调递减， 当108a <<时0∆≤ ，方程2210ax x -+= 有两个不等的正根12,x x ，不妨设12x x <，则当()()120,,x x x ∈⋃+∞时()0f x '< ， 当()12,x x x ∈时，()0f x '> ，这时f(x)不是单调函数， 综上，a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，（2）由（1）可知当且仅当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，f(x)有极小值点1x 和极大值点2x且1212x x a +=，2212x x a=， ()()12f x f x + 22111222ln ln x ax x x ax x =--+--+()()()()12121211ln ln 1122x x x x x x =-+----++ ()()12121ln 12x x x x =-+++ ()1ln 214a a=++ ，令()()1ln 214g a a a =++ ，10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()221141044a g a a a a -=-=<' ， 则()()1ln 214g a a a =++在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递减，所以()132ln28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即()()1232ln2f x f x +>-， 22.【解析】（1）当1a =时，()ln (0)xf x e x x =+>，1()x f x e x'∴=+，且(1)f e =， ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线的斜率(1)1k f e '==+. ∴曲线()y f x =在(1,)e 处的切线方程为(1)(1)y e e x -=+-，即(1)10e x y +--=；（2）由题意得()xa f x e x'=+.0x 是()f x 的导函数()f x '的零点，()0000x a f x e x '∴=+=，即00x a e x =-，00ln ln x a e x ⎛⎫-∴= ⎪⎝⎭， 即()00ln ln()x x a +=-.又e a -<<0，则()00ln ln()1x x a +=-<. 令()ln g x x x =+，显然0x >，所以'1()10g x x=+> 因此()ln g x x x =+在(0,)+∞上是增函数，且()0(1)1g x g <=.001x ∴<<，因此0ln 0a x >.()0000ln x x f x e a x e ∴=+>.23.【解析】（1）函数()1ln f x x x x=--的定义域是()0,∞+. 因为()2222213()1112410x x x f x x x x x -+-+'=+-==>恒成立， 所以函数()1ln f x x x x=--在定义域()0,∞+上是单调递增函数.（2）由（1）知()2111f x x x'=+-.令()()12f x f x m ''==，得21122211101110m x x m x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，由一元二次方程根与系数关系得12111x x +=，即1212x x x x +=⋅>124x x ⋅>， ∴()()()()()12121212121211ln ln ln 1f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+-+-+=--⎪⎝⎭令124t x x =⋅>，则()1212ln 1ln 1x x x x t t --=--，令()()ln 14g t t t t =-->， 则()()1104g t t t'=->>，得()()432ln 2g t g >=-.。