【资格考试】2019最新整理-山东大学数学院基础数学复试试题

2019年考研《数学》考试试题及答案（卷三）一、选择题(1) 已知当0x 时，()3sin sin 3f x xx 与kcx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c . (B) 1,4k c .(C) 3,4kc.(D)3,4kc.2．已知x f y 是由方程1ln cos x yxy 确定，则12lim nfn n（）（A ）2 （B ）1 （C ）-1（D ）-2(3) 设n u 是数列，则下列命题正确的是( )(A) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (B)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.(C) 若1n n u 收敛，则2121()nn n u u 收敛. (D)若2121()nn n u u 收敛，则1n n u 收敛.４．设函数exxx ex x x f ,ln11,)1(1)(11，且反常积分dx x f 收敛，则（）（A ）2（B ）2a（C ）02a （D ）20(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ，210000101P ，则A ( )(A) 12PP ．(B)112P P ．(C)21P P ． (D)121P P ．6．设k D 是圆域1|),(22yx y x D的第k 象限的部分，记kD kdxdy x yI )(，则（）（A ）01I （B ）2I （C ）3I （D ）4I (7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A) 12()()f x f x ． (B) 212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ．(D)1221()()()()f x F x f x F x ．8．矩阵1111aa b a a 与矩阵00000002b 相似的充分必要条件是（A ）2,0b a （B ）0a ，b 为任意常数（C ）0,2ba（D ）2a，b 为任意常数二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9) 设0lim 13xtt f xx t ，则f x.10．设函数dt e x f x t11)(，则)(x f y的反函数)(1y fx 在0y 处的导数|ydydx ．(11) 曲线tan4yx ye 在点0,0处的切线方程为 .12．曲线上21ln arctan t yt x 对应于1t 处的法线方程为．(13) 设二次型123,,Tfx x x x Ax 的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换xQ y 下的标准形为．14．设ij a A是三阶非零矩阵，A 为其行列式，ij A 为元素ij a 的代数余子式，且满足)3,2,1,(0j i a A ijij ，则A =．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 求极限012sin 1limln 1xx x x x．16．（本题满分10分）设D 是由曲线3x y，直线a x )0(a及x 轴所转成的平面图形，y x V V ,分别是D 绕x。

山东大学数学学院2023考研复试方案1500字山东大学数学学院2023考研复试方案1500字精选2篇（一）山东大学数学学院2023考研复试方案一、考研复试概况山东大学数学学院2023年的考研复试将按照以下流程进行：1. 复试内容：包括学术报告、面试和外语口语三个环节。

2. 复试时间：具体时间以通知为准，通常在初试结束后的两周内进行。

3. 复试地点：山东大学数学学院。

4. 复试人员：初试成绩排名前40%的考生。

二、复试环节详解1. 学术报告：学术报告是考察考生科研能力和学术水平的重要环节，一般要求考生选择一个自己感兴趣或已有研究基础的主题进行讲解。

在报告中，考生需要准备好详细的PPT，并以清晰、简洁、逻辑严谨的方式表达。

报告时间一般为30分钟，包括15分钟的讲解和15分钟的答辩。

2. 面试：面试环节侧重考察考生的综合素质、自我认知和学术潜力。

考官会根据考生的个人陈述和简历提问，并通过问答的方式深入了解考生的专业知识、科研经历和学术兴趣。

考生需要保持自信的态度，积极回答问题，并展示自己的优势，例如项目经验、科研成果、学术思考等。

3. 外语口语：外语口语考试一般采用英语，主要考察考生的语言表达能力和交流能力。

考官会询问一些日常生活或学术方面的问题，考生需要用流利、准确的英语回答并展示自己的语言能力。

三、复试备考建议1. 学术报告准备：选择一个自己感兴趣的主题进行准备，找出重点和难点，并在报告中展示自己的思考和创新。

同时要注意语言表达的清晰、逻辑的严谨和时间的把控。

可以多参考相关文献和学术资料，多与导师、同学进行交流和讨论，提高自己的学术素养和展示能力。

2. 面试准备：复习自己的专业知识，重点关注近几年的热点问题和前沿研究进展。

整理好个人陈述和简历，突出自己的特长和优势，准备一些具体的例子和科研成果来支撑自己的观点。

同时要关注时事和学术动态，了解相关的国内外学术会议和期刊。

3. 外语口语准备：提高自己的英语口语交流能力，可以通过参加英语角、进行口语练习和模拟口语考试来提高自己的表达能力和自信心。

x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为 【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ， 故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ， 所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、 已 知 积 分 区 域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的 二 阶导 数 在 x = a 处 连 续， 则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式， 则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1） 求 y (x ) ；（2） 设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值， 使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ； 当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为 故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。

（完整版）山大历年计算机复试笔试题充一下：数据库的第二个大题第一问是：R 的一个候选码。

这个题候选有多个，求一个就行2009-2010第二学期离散数学（2）练习一1、证明在任何有向完全图中，所有顶点入度的平方之和等于所有顶点出度的平方之和。

（有向完全图是指无向完全图是底图的有向图）。

2、若图G 是不连通的，则G 的补图是连通的。

3、画一个有一条Euler 回路但没有Hamilton 回路的图；画一个没有Euler 回路但有一条Hamilton 回路的图。

4、假设G 是由超过11个顶点构成的简单连通图。

证明图G 或G 的补图是非平面图。

5、假设T 是非平凡的无向树，T 中度数最大的顶点有2个，并且它们的度数k 都大于等于2。

证明：T 中至少有22 k 片叶。

1.2007年计算机复试题目2. 第一部分离散数学1.设A,B 为非空集合,ρ(A)=ρ(B),求证A=B2.S ＝{|存在z 使得xRz 且zRy}求证若R 为等价关系，则S 为等价关系3.从以下题目中任选一道，多选按最低分计算(1)设为群,R 为G 上等价关系且对任意x,y,z ∈G,若(x*z)R(y*z), 则xRy设H={h|h ∈G 且hRe},求证为的子群(2)没做，所以不大清楚4.设T 为非平凡无向树,T 中度数最大的节点有两个,且度数K>=2,求证T 叶子节点的数量>=2K-25.一个推理理论的题目.前提：1.所有学生都得参加考试；2.通过考试的学生都很高兴；3.所有学习努力的学生都可以通过考试；4.有些学生学习努力；结论：有些学生高兴第二部分操作系统1.名词解释死锁原语系统调用地址重定位进程控制块2.简答1)进程和线程的联系与特点2)描述哲学家就餐问题,并给出一种解决方法的程序3)硬实时系统为什么没有辅助存储器？为什么没有虚拟存储器?为什么没有一般操作系统的大部分功能4)叙述I/O轮询,中断和DMA的各自特点和优缺点5)进程调度算法主要有哪几种,并评价其的优缺点三四部分选做其中之一，如果都做按组成原理算分第三部分组成原理没做，所以也不大清楚了第四部分数据库系统概论1、简述事务的定义以及其主要特点2、画E-R图主要是图书馆信息系统，有读者、书籍、管理员。

16级微分几何
出题人:徐泽编辑:胡不归
1.(i).叙述曲面S上的曲线基本定理.
(ii).用外微分法叙述曲面S的结构方程.
2.曲线r(t)的参数方程为:r(t)=(2018−3sin t,2019+3cos t,4t).
(i).求曲线的弧长函数,与弧长参数表达式.
(ii).求曲率、挠率、Frenet标架.
3.曲面S的参数方程为:r=r(u,v)=(u,v+cos u,u2 2
).
(i).求曲面的第一、二基本形式. (ii).求平均曲率H和Gauss曲率K.
4.曲面S的参数方程为:r=r(u,v)=(u,1
2
u2+v,F(u)+G(v)).若曲面的Gauss曲率恒为0,求证曲面是柱
面.
5.曲面S的参数方程为:r=r(ρ,θ)=(ρcosθ,ρsinθ,cosh−1ρ),其中ρ>1,0<θ<2π.求曲面上的测地线.
6.曲面S上有一点非脐点P,该点处曲面的主曲率为κ1(P),κ2(P),且满足:
(1)κ1(P)<κ2(P)
(2)在局部上,κ1(P)是极大值,κ2(P)是极小值.
求证:在P点曲面的Gauss曲率K(P)⩾0.
7.(i).非平面的曲面S上的每一条测地线都是平面曲线,求证:S是球面.
(ii).假定θ是Sine-Gordon方程θuu−θvv=0的解,且k是一个任意给定的正常数.求证:在欧氏空间E3中必有一个负常Gauss曲率K=−k2的曲面,θ是该曲面每一点渐近方向的夹角.。

2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k kn k n nP k C p p k n -=-=L ，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =g ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =I ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =g ，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。

可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()sin cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318L ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。

2019年考研数学三真题及答案2019年考研数学三真题及答案2019年考研数学三真题备受考生关注，这份试卷涵盖了数学分析、高等代数、概率论与数理统计等多个数学领域的内容。

本文将对这份试卷进行解析，帮助考生更好地理解和掌握其中的知识点。

首先，我们来看数学分析部分。

第一题是一个极限题，要求计算极限lim(n→∞)(1+1/n)^n。

这是一个经典的极限，可以通过取对数的方式将其转化为lim(n→∞)nlog(1+1/n)，然后利用洛必达法则求解。

第二题是一个函数极值问题，考察了对函数求导和判断极值的能力。

第三题是一个积分题，要求计算∫(0,π/2)(x*sinx)dx，需要运用分部积分法进行求解。

接下来是高等代数部分。

第四题是一个线性代数题，考察了矩阵的特征值和特征向量的计算。

第五题是一个线性空间的题目，要求证明一个子空间是一个线性空间。

第六题是一个矩阵的题目，考察了矩阵的行列式性质和特征值的计算。

最后是概率论与数理统计部分。

第七题是一个概率题，要求计算一个随机变量的期望。

第八题是一个统计题，要求计算一个样本的均值和方差。

第九题是一个随机变量的题目，要求计算一个随机变量的概率密度函数。

通过对这份试卷的解析，我们可以看出，数学三的考试内容涵盖了数学的多个领域，考察了考生对数学知识的掌握和应用能力。

在备考过程中，考生应该注重对各个知识点的理解和掌握，通过做大量的练习题来提高解题能力。

除了对试题的解析，我们还可以从这份试卷中总结一些备考的经验。

首先，要注重基础知识的学习和掌握，因为试卷中的大部分题目都是基础知识的运用。

其次，要注重练习和做题，通过大量的练习来提高解题的速度和准确性。

此外，要注重对解题方法和思路的总结和归纳，这样可以更好地应对考试中的各种题型。

总之，2019年考研数学三真题是一份内容丰富、难度适中的试卷，通过对试题的解析和备考经验的总结，考生可以更好地准备考试，提高自己的数学水平和解题能力。

希望本文对考生们有所帮助，祝愿大家在考试中取得好成绩！。

♠山东大学2019-2020学年第一学期数学系《线性代数》试卷一、（24 分）填空题：1. 设n 阶方阵 A 的行列式 A = 2 ，则 A-1 2⋅ A = 122. 设 A 为n 阶可逆阵，则下列 C 恒成立。

（A） (2 A )-1= 2 A -1（C）ϒ( A -1)-1/T= ϒ( A T )-1 /-1（B ） (2 A -1 )T= (2 A T )-1 （D）ϒ( A T )T /-1= ϒ( A -1)-1/T≤'∞ƒ '≤∞ƒ≤'∞ƒ '≤ ∞ƒ3. 若向量组a 1, a 2 ,·, a r （A ） r ≤ s可由另一向量组b 1, b 2 ,·, b s 线性表示，则 C。

（B ） r ≥ s（C ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≤ b 1, b 2 ,·, b s 的秩（D ） a 1, a 2 ,·, a r 的秩≥ b 1, b 2 ,·, b s 的秩♣kx 1 + kx 2 + x 3 = 04. 当k 满足时，齐次线性方程组♦2x 1+ kx 2 + x 3 = 0 有非零解。

♠kx - 2x + x = 0 ♥ 1 2 35. 若齐次线性方程组的一个基础解系为ξ1, ξ2 , ξ3 ，则 D也是该其次线性方程组的基础解系。

（A） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 - ξ1（C） ξ1 - ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ1（B） ξ1 + ξ2 , ξ2 - ξ3 , ξ3 + ξ1（D） ξ1 + ξ2 , ξ2 + ξ3 , ξ3 + ξ16. 设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随阵 A * 的秩为 0。

0 0 1 7． 矩阵 A =0 1 0 的三个特征值为 1，1，-1 。

1 0 08. 二次型 f ( x , x , x ) = x 2 + 2x x1 1 0 + 3x 2的矩阵 A = 1 30 。

2023年山东大学强基计划数学试题考试时间2023年7月2日，考试时长60分钟.1.如何定义有界数列，举例说明.2.如何定义无界数列，举例说明.3.判断1--------------是否有界，若有界求出此值.23441111—4.求"+>+丁+——的值.I22232/5.是否存在奇数偶数c,使得/+/=凌6.已知点A(x.y)满足|5x+6j7|+|9x+ll)/|<2,求点力围成得面积.7.已知数列｛a n｝满足2S n=a n+—,则%是多少•a n8,已知A\JB=(4Z16Z2,---,4Z10｝,^ri5=｛叩2，。

3｝，则(4,B)共有多少组?9.己知p,q为正质数，且p<q,求证：/•是有限小数或无限循环小数.q10.S为有限集，&=｛/'二xeSi，〃eN*｝,S=keCF/eSi/eN*｝，证明：S是有限集，当且仅当为正整数，令S n+m=Sn对"恒成立.11.\ABC中，a.b.c成等比数列，求sin力cot C+cos/sin5cot C+cos5的范围是多少？12.求log3辰9后的值.2023年山东大学强基计划测数学试题解析1. 如何定义有界数列，举例说明.解：若数列｛《｝满足：对一切〃有\a n \<M (M 是与〃无关的常数)称数列｛《｝有界并 称M 是它的一个上界.Eg ： a n =Q 可取M 为任意正数；a n =-可取M 为任意大于1的正数.n2. 如何定义无界数列，举例说明.解：对于数列｛%｝,如果不存在某个正数能使。

〃的绝对值都小于它，这样的数列叫做无界 数列.对一切〃有\a n \<M (M 是与〃无关的常数)称数列｛a n ｝有界并称M 是它的一个上 界.Eg ： a n =n,对于任意M ,取〃 = [M] + 1,则％ =[M] + \>M ,所以不存在AH 吏\a n \<M 对任意都〃成立.3. 判断1-------------- 是否有界，若有界求出此值.2 3 400 (_ 1 1 00 ] y 00 y 1解：Z 了 = Z (-1)〃呼"火=f 0Z (F 〃膈=£= m 2n=l 〃 n=l n=l】十大注：由于一致收敛性，所以积分和极限可以交换顺序，本质为ln(x + l)的Tqy/”级数展开・-1 1 1 1心任4. ^―+ —+ —+——的值.I 2 22 32 n 2解：/ ln(2cosz)dz = / ln(2 —)&= / ln(e ix (l + e -2ix )dxJo Jo 2 Jo =[ln(e ix )dx + ln(l + e~2ix )dx;其中[ln(e ir )dx = [ ixdx =Jo Jo Jo Jo 82»2iz 八一3・2ii —4*2ix 义 j — 4- e --------e — + •••&2 3 4 13-2ii 4*2ix ln(l + e -2ix )da;=e -2i^ e ~2-2ir -I ----耳--------------E ---------... 茸中-2i 2(-2 - 2i) 3(-3 - 2i) 4(-4 -2i) 。

2019年考研数学二复变函数真题及答案详解复变函数是数学中一个重要且常见的概念，在数学考研中也占据着一定的比重。

2019年考研数学二复变函数部分的真题难度适中，但题目中可能涉及到一些细节和技巧，需要我们进行仔细分析和解答。

下面将对2019年考研数学二复变函数部分的真题及答案进行详细解析。

一、选择题1. 设复数函数$f(z)$在复平面上解析，且对于任意$z\in\mathbb{C}$，有$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y),v(x,y)$分别为$f(z)$的实部和虚部函数。

若所有一阶偏导数存在且连续，则必有$\frac{\partial v}{\partial x}=0$。

解析：根据复变函数的柯西-黎曼方程，设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则有$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$。

由于题目中已经给出所有一阶偏导数存在且连续，因此必有$\frac{\partial v}{\partial x}=0$。

2. 设$f(z)$在圆环$0<|z-a|<R$内解析，则$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz=0$。

解析：根据洛朗级数展开定理，对于解析函数$f(z)$在圆环$0<|z-a|<R$内，可以将$f(z)$展开成洛朗级数形式$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n$。

因此，沿圆环$|z-a|=R$上的积分$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz$等于圆环内的奇次幂项的系数之和，即$\oint_{|z-a|=R}f(z)dz=2\pi i a_{-1}$。

由于题目中没有给定洛朗级数的具体形式，所以无法确定$a_{-1}$的值。

2019考研数三真题2019年考研数学三真题可谓是众多考生备战复习的焦点之一。

本文将针对该真题进行分析和解答，以帮助考生更好地理解和应对考试。

【第一部分】（一）选择题部分：本部分包含了多个选择题，每题均有四个选项。

考生需根据题目所给条件，进行推导和分析，选出正确答案。

以下是其中的一道题目：1. 已知函数f(x)在区间[a, b]上连续，且对任意x属于区间[a, b]有f(x)不等于0，且积分 f(x) / x dx = 0，则函数f(x)在区间[a, b]上的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定解析：根据题干中给出的积分式f(x)/x dx = 0，我们可以得出f(x)/x= 0，即f(x) = 0。

由于题目中已经明确指出在区间[a, b]上f(x)不等于0，因此该区间上函数f(x)的零点个数为0，故选项A为正确答案。

（二）非选择题部分：这部分包含了解答题和计算题，要求考生写出推导过程和计算步骤。

以下是其中的一道题目：2. 设f(x)是以2π为周期的连续函数，且对任意x均有∫[0,2π] f(x)sinx dx = ∫[0,2π] f(x)cosx dx。

证明函数f(x)在区间[0,2π]上至少存在一点ξ，使得f(ξ) = 0。

解答步骤：由已知条件得到∫[0,2π] (f(x)sinx - f(x)cosx) dx = 0.化简得到∫[0,2π] f(x)(sinx - cosx) dx = 0.根据积分的性质，可得∫[0,2π] f(x)(sinx - cosx) dx = 0.利用零点定理得到函数f(x)(sinx - cosx)在区间[0,2π]上至少存在一个零点ξ。

根据题目的要求，即f(ξ) = 0，得证。

【第二部分】本部分将对考生解答选择题和解答题的方法进行总结和归纳，提供备考指导和技巧。

对于选择题，考生在解题时应先仔细阅读题目，理清题意，明确所给条件和所求问题。

可以使用代入法、排除法等策略来确定正确答案。