2018~2019学年北京海淀区高三上学期理科期中数学试卷答案

初三第一学期期中学业水平调研语文参考答案及评分标准2018.11一、基础·运用（共15 分）1.（1）D （2）C（共 4 分。

共 2 小题，每小题 2 分）2.B（2 分）3.二示例：第二幅摆件的图案为“松”“鹤”，有延年益寿的寓意，能表达对奶奶的生日祝福。

（共 2 分。

共 2 空，每空 1 分）4.示例1：一武松打虎水浒传示例2：二空城计三国演义示例3：三三英战吕布三国演义示例4：四三借芭蕉扇西游记（共 2 分。

情节，1 分；出处，1 分）5.A（2 分）6.（1）D （2）示例1：将“宣传”改为“宣传和推广”。

示例2：在“宣传”后加“发展和创新”。

（共 3 分。

共 2 小题，第 1 小题，2 分；第 2 小题，1 分）二、古诗文阅读（共 18 分）（一）7.白露未晞在水之湄（共 2 分。

共 2 空，每空 1 分，有错该空不得分）8.人有悲欢离合月有阴晴圆缺（共 2 分。

共 2 空，每空 1 分。

有错该空不得分）（二）9.示例 1：我读出了“豪壮”，词中“了却君王天下事，赢得生前身后名”，抒发了词人杀敌报国、收复失地、建功立业的豪情壮志。

示例 2：我读出了“悲壮”。

词以“可怜白发生”为结句，慨叹时光虚度，抒发了词人壮志难酬的悲愤心情。

（共 3 分。

感受，1 分；说明，2 分）10.（1）示例1：“梦回吹角连营”，诗人借军营的号角声，营造了军营紧张的氛围，表达了词人梦回军营，渴望参与征战，收复失地的心愿。

示例2：“五十弦翻塞外声”，词人借军中奏起的高亢激越的边塞乐曲，抒发了戍边将士的壮志豪情。

示例3：“弓如霹雳弦惊”，弓弦放箭的响声，如霹雳令人心惊，词人借此描写了壮观而激烈的战争场面，仿佛置身其中，尽显杀敌报国之志。

（2）示例1：关关雎鸠，在河之洲。

示例2：两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。

示例3：此夜曲中闻折柳，何人不起故园情。

示例4：晓雾将歇，猿鸟乱鸣。

示例5：阡陌交通，鸡犬相闻。

2019 北京市海淀区初三数学一模试卷2019.5一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角大约是A. 90B. 60C. 45D. 302. 若 x 1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是A. x ≥1B. x ≤1C. x ＜1D. x ≠13. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若| a |= | b |，则下列结论中错误的是A. a b ＞0B. a c ＞0C. b c ＞0D. ac ＜04.若正多边形的内角和是 540°，则该正多边形的一个外角为 A. 45B. 60C. 72D. 905. 2019 年 2 月，美国宇航局(NASA)得卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中 国和印度的行动主导了地球变绿.尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的 9%，但过去 20 年间地球三分之一的新增植被是两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林.已知 亚马逊雨林的面积为 6560 000m 2，则过去 20 年间地球新增植被的面积约为A. 6.56 106 m 2B. 6.56 107 m 2C. 2 107 m 2D. 2 108 m 26. 如果a 2ab 1 0 ,那么代数式 a b 2 2ab(a ) 的值是a b aA. 1B. 1C. 3D. 327.下面的统计图反映了我国出租车（巡游出租车和网约出租车）客运量结构变化. 2015-2018 年巡游出租车和网约出租车客运量统计图（以上数据摘自《中国共享经济发展年度报告（2019）》）根据统计图提供的信息，下列推断合理的是A.2018 年与2017 年相比，我国网约出租车客运量增加了20%以上B.2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例不足60%C.2015 年至2018 年，我国出租车客运的总量一直未发生变化D.2015 年至2018 年，我国巡游出租车客运量占出租车客运总量的比例逐年增加8.如图1，一辆汽车从点M 处进入路况良好的立交桥，图2 反映了它在进入桥区行驶过程中速度（千米/时）与行驶路程（米）之间的关系.根据图2，这辆车的行车路线最二、填空题（本题共16 分，每小题2 分）9．右图为某几何体的展开图，该几何体的名称是.10.下面是北京故宫博物院2018 年国庆期间客流指数统计图（客流指数是指景区当日客流量与2018 年10 月1 日客流量的比值）.根据图中信息，不考虑其他因素，如果小宇想在今年国庆期间游客较少时参观故宫，最好选择10 月日参观.11．右图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为(-6,1)，表示中堤桥的点的坐标为(1, 2)时，表示留春园的点的坐标为.a2 >b2 ”是错误的，这组值可以是a= ，12.用一组a ，b的值说明命题“若a >b ，则b = .13.如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，若CAB = 20 ，则∠D = .14.如图，在矩形ABCD 中，E 是边CD 的延长线上一点，连接BE交边AD 于点F .若AB =4 , BC = 6，DE = 2，则AF 的长为= .15．2019 年2 月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动.虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10 倍.在峰值速率下传输8 千兆数据，5G 网络比4G 网络快720 秒，求这两种网络的峰值速率.设4 G 网络峰值速率为每秒传输x 千兆数据，依题意，可列方程为.16.小宇计划在某外卖网站点如下表所示的菜品.已知每份订单的配送费为3 元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30 元减12 元，满60元减30 元，满100 元减45 元。

2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1 2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3 5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．26．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．27．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac0（填“＞”或“＝”或“＜”）．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是（填序号）．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝，当x＜3时y＝；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．（2分）（2019•武汉模拟）抛物线y＝x2+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝0D．直线y＝1【解答】解：∵抛物线y＝x2+1，∴抛物线对称轴为直线x＝0，即y轴，故选：C．2．（2分）（2018秋•门头沟区期末）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），故选：A．3．（2分）（2018秋•海淀区期中）下列App图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案是轴对称图形，不符合题意；B．此图案既不是中心对称图形也不是轴对称图形，符合题意；C．此图案是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是中心对称图形，不符合题意；故选：B．4．（2分）（2018秋•海淀区期中）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正确的是（）A．（x﹣1）2＝3B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝5D．（x+1）2＝3【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故选：C．5．（2分）（2018秋•上杭县期末）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：如图：连接OP，AO∵AB是⊙O切线∴OP⊥AB，∴AP＝PB AB在Rt△APO中，AP∴AB＝2故选：A．6．（2分）（2018秋•克东县期末）将抛物线y＝（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2【解答】解：新抛物线的解析式为：y＝（x+1）2﹣2+a＝x2+2x﹣1+a，∵新抛物线恰好与x轴有一个交点，∴△＝4﹣4（﹣1+a）＝0，解得a＝2．故选：D．7．（2分）（2018秋•槐荫区期末）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．此图案绕中心旋转36°或36°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；B．此图案绕中心旋转45°或45°的整数倍能与原来的图案重合，此选项符合题意；C．此图案绕中心旋转60°或60°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；D．此图案绕中心旋转72°或72°的整数倍能与原来的图案重合，此选项不符合题意；故选：B．8．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A．y3最小，y1最大B．y3最小，y4最大C．y1最小，y4最大D．无法确定【解答】解：∵二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（﹣3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2018秋•海淀区期中）写出一个以0和2为根的一元二次方程：x2﹣2x＝0．【解答】解：∵0+2＝2，0×2＝0，所以以0和2为根的一元二次方程为x2﹣2x＝0，故答案为：x2﹣2x＝0．10．（2分）（2001•济南）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac＜0（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．11．（2分）（2018秋•海淀区期中）若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜5．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（k﹣1）＞0，解得k＜5．故答案为k＜5．12．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为110°．【解答】解：∵∠C＝70°，AB∥CD，∴∠B＝110°∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．13．（2分）（2018秋•海淀区期中）已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是钝角三角形（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．【解答】解：∵锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，∴△ABC是钝角三角形，故答案为钝角三角形．14．（2分）（2018秋•海淀区期中）在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，依题意，可列方程为45.1（1+x）2＝172.9．【解答】解：设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x，根据题意得：45.1（1+x）2＝172.9．故答案为：45.1（1+x）2＝172.9．15．（2分）（2018秋•冷水江市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足y＜0的x的值2（答案不唯一）．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴当y＜0的x的取值范围是：1＜x＜3，∴x的值可以是2．故答案是：2（答案不唯一）．16．（2分）（2018秋•海淀区期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是①③（填序号）．【解答】解：如图，连接OC，设OB交CD于K．∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA，∴△AOB≌△COD（SSS），∴∠CDO＝∠OBA，∵∠DKO＝∠BKE，∴∠DOK＝∠BEK＝α，即∠BOD＝α，故①正确，不妨设，∠OAB＝90°﹣α，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠OBE+∠BEK＝90°，∴∠BKE＝90°，∴OB⊥CD，显然不可能成立，故②错误，∵CD＝AB，∴，∴，∴∠ABC∠DOBα，故③正确．故答案为①③．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）（2018秋•海淀区期中）解方程：x（x+2）＝3x+6．【解答】解：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，（x+2）（x﹣3）＝0，x+2＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣2，x2＝3．18．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，且A，D，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分∠ADE．【解答】证明：∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE，∴△ABC≌△DBE∴BA＝BD．∴∠A＝∠ADB．∵∠A＝∠BDE，∴∠ADB＝∠BDE．∴DB平分∠ADE．19．（5分）（2018秋•上杭县期末）下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：⊙O．求作：⊙O的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB；②以B为圆心，OB为半径作弧，与⊙O交于C，D两点；③连接AC，AD，CD．所以△ACD就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）（填推理的依据）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）（填推理的依据）．∴△ACD是等边三角形．【解答】（1）解：如图，△ACD为所作；（2）证明：在⊙O中，连接OC，OD，BC，BD，∵OC＝OB＝BC，∴△OBC为等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）．∴∠BOC＝60°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝120°．同理∠AOD＝120°，∴∠COD＝∠AOC＝∠AOD＝120°．∴AC＝CD＝AD（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等），∴△ACD是等边三角形．故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等．20．（5分）（2018秋•海淀区期中）已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，∴1﹣a﹣b＝0，∴a+b＝1，∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．21．（5分）（2018秋•海淀区期中）生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为0.8a，顶棚到路面的距离是3.2a，点B到路面的距离为2a．请你求出路面的宽度l．（用含a的式子表示）【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB＝0.8a+3.2a+2a＝6a，所以OC＝OB＝3a，OE＝OB﹣BE＝3a﹣2a＝a，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD＝2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE2a，∴CD＝2CE＝4a，所以路面的宽度l为4a．22．（5分）（2018秋•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+b 经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+ax+b经过点A（﹣2，0），B（﹣1，3），∴，解得，∴y＝x2+6x+8．（2）∵y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点C坐标为（﹣3，﹣1），∵B（﹣1，3）．∴OB2＝12+32＝10，OC2＝32+12＝10，BC2＝[（﹣3）﹣（﹣1）]2+（﹣1﹣3）2＝20，∴OB2+OC2＝BC2，则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，∴∠BOC＝90°．23．（6分）（2016秋•东丽区期末）如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．【解答】解：（1）∵大长方形的周长为6m，宽为xm，∴长为m，∴y＝x•（0＜x＜2），（2）由（1）可知：y和x是二次函数关系，a＜0，∴函数有最大值，当x时，y最大m2．答：窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2．24．（6分）（2018秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠1＝∠2，∵OA＝OD，∴∠2＝∠ADO，∴∠1＝∠ADO，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴OD⊥ED，∵OD过0，∴DE与⊙O相切；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2，CD＝BD，∵CD＝BF，∴BF＝BD，∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠4＝2∠3，∵∠ODF＝90°，∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠2＝∠1＝30°，∴∠2＝∠F，∴DF＝AD，∵∠1＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2ED，∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，∴AD＝2，∴DF＝2．25．（6分）（2018秋•海淀区期中）有这样一个问题：探究函数y的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当x≥3时，y＝x，当x＜3时y＝3；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x的方程ax+1只有一个实数根，直接写出实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a．【解答】解：（1）当x≥3时，y x；当x＜3时，y3；故答案为x，3；（2）根据（1）中的结果，画出函数y的图象如下：（3）根据画出的函数图象，当a＜0时，直线y＝ax+1与函数y只有一个交点；当a≥1时，直线y＝ax+1与函数y＝3（x＜3）的图象有一个交点，与函数y＝x（x ≥3）无交点；当a时，直线y x+1经过点（3，3）．故若关于x的方程ax+1只有一个实数根，实数a的取值范围：a＜0或a≥1或a，故答案为a＜0或a≥1或a．26．（6分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x（a≠0）与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）．（1）当a＝﹣1时，求A，B两点的坐标；（2）过点P（3，0）作垂直于x轴的直线l，交抛物线于点C．①当a＝2时，求PB+PC的值；②若点B在直线l左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，有y＝﹣x2﹣2x．令y＝0，得：﹣x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝﹣2．∵点A在点B的左侧，∴A（﹣2，0），B（0，0）．（2）①当a＝2时，有y＝2x2﹣2x．令y＝0，得2x2﹣2x＝0．解得x1＝0，x2＝1．∵点A在点B的左侧，∴A（0，0），B（1，0）．∴PB＝2．当x＝3时，y C＝2×9﹣2×3＝12．∴PC＝12．∴PB+PC＝14．②点B在直线l左侧，∵PB+PC≥14，∴3﹣x+ax2﹣2x≥14，可得：a或a≥2，由题意得A（0，0），B（，0）又A在B的左侧，所以a只可能大于0结合图象和①的结论，可得：a＞0时，a≥2，27．（7分）（2018秋•海淀区期中）已知∠MON＝α，P为射线OM上的点，OP＝1．（1）如图1，α＝60°，A，B均为射线ON上的点，OA＝1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α＝45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．【解答】解：（1）①如图所示：②结论：AC∥OM．．理由：连接AP∵OA＝OP＝1，∠POA＝60°，∴△OAP是等边三角形．∴OP＝P A，∠OP A＝∠OAP＝60°，∵△PBC是等边三角形，∴PB＝PC，∠BPC＝60°，∴∠OP A+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，∴△OBP≌△ACP（SAS）．∴∠P AC＝∠O＝60°，∴∠OP A＝∠P AC，∴AC∥OM．（2）作PH⊥OQ于H，取PQ的中点K，连接HK，RK．∵∠PHQ＝∠PRQ＝90°，PK＝KQ，∴HK＝PK＝KQ＝RK，∴P，R，Q，H四点共圆，∴∠RHQ＝∠RPQ＝45°，∴∠RHQ＝∠POQ＝45°，∴RH∥OP，∴S△POR＝S△POH．28．（7分）（2018秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A是x轴外的一点，若平面内的点B满足：线段AB的长度与点A到x轴的距离相等，则称点B是点A的“等距点”．（1）若点A的坐标为（0，2），点P1（2，2），P2（1，﹣4），P3（，1）中，点A 的“等距点”是P1，P3；（2）若点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，求点A的坐标；（3）记函数y x（x＞0）的图象为L，⊙T的半径为2，圆心坐标为T（0，t）．若在L上存在点M，⊙T上存在点N，满足点N是点M的“等距点”，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）∵AP1＝2﹣0＝2，AP2，AP32，∴点A的“等距点”是P1，P3．故答案为：P1，P3．（2）∵点M（1，2）和点N（1，8）是点A的两个“等距点”，∴AM＝AN，∴点A在线段MN的垂直平分线上．设MN与其垂直平分线交于点C，点A的坐标为（m，n），如图1所示．∵点M（1，2），点N（1，8），∴点C的坐标为（1，5），AM＝AN＝n＝5，∴CM＝3，AC4，∴m＝1﹣4＝﹣3或m＝1+4＝5，∴点A的坐标为（﹣3，5）或（5，5）．（3）依照题意画出图象，如图2所示．①当⊙T1过点O时，⊙T1与L没有交点，∵⊙T1的半径为2，∴此时点T1的坐标为（0，﹣2）；②当⊙T2上只有一个点M的“等距点”时，过点T2作T2M⊥图象L于点M，交⊙T2于点N，过点M作MD⊥x轴于点D，∵图象L的解析式为y x（x＞0），∴∠MOT＝60°，∠OT2M＝30°．∵点T2的坐标为（0，t），∴OM t，DM OM t，T2M t．由“等距点”的定义可知：MN＝T2M﹣T2N＝DM，即t﹣2t，解得：t．综上所述：t的取值范围为﹣2＜t．。

北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。

2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{|10}A x x =+，{|}B x x a =，若A B R =，则实数a 的值可以为( )A ．2B ．1C ．0D ．2−2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是单调函数的是( )A ．y x=B ．2y x =C ．y x x=+D ．|1|y x =− 3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1 B ．53C ．83D ．34．（5分）不等式11x>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．102x <<B ．1x >C ．01x <<D ．0x <5．（5分）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2πα+的值为( )A ．35−B ．35C ．45−D ．456．（5分）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．若32λμ+=，则||(||CD AB = ) A ．13B ．12C ．1D ．27．（5分）已知函数32()2||f x x x x k =+−−．若存在实数0x ，使得00()()f x f x −=−成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1−，)+∞B ．(−∞，1]−C ．[0，)+∞D ．(−∞，0]8．（5分）设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ=且()1i AB ϕ=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ⋅（B ）；③任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ+（B ）．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）已知向量(1,2)a =，(3,)b t =，且//a b ，则t = ． 10．（5分）函数()6f x x x =−−的零点个数是 ．11．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a = ，5678a a a a +++= ．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A ，B ，C ，D 四点中任取两个点作为向量b 的始点和终点，则a b ⋅的最大值为 ．13．（5分）已知数列{}n a 的通项公式为n a lnn =，若存在p R ∈，使得n a pn 对任意的*n N ∈都成立，则p 的取值范围为14．（5分）已知函数()2f x x ω=，()2g x x ω=，其中0ω>，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为 ；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其前n 项和，23a =，3436a a += （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n S <，求n 的最大值．16．（13分）已知函数()2sin cos()3f x x x π=+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()0f x m +对[0,]2x π∈恒成立，求实数m 的取值范围．17．（13分）已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0，(0))f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围．18．（13分）在ABC ∆中，7a =，5b =，8c =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=． ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC =．19．（14分）已知函数()xlnxf x e =． （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，并说明理由； （Ⅱ）求证：1()2f x <．20．（14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a ，b ，c ，d ，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{a ，b ，c ，}d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合1{a ，2a ，3a ，4a ，5}a 是“关联的”，且任取集合{i a ，}j a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{i a ，}j a A ⊆．若12345a a a a a <<<<，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是等差数列；（Ⅲ）集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x −+>．。

2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（ ）A ．M ＝{（3，2）}，N ＝{（2，3）}B ．M ＝{（x ，y ）|y ＝x }，N ＝{y |y ＝x }C ．M ＝{1，2}，N ＝{2，1}D ．M ＝{2，4}，N ＝{（2，4）}2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（ ）A ．y =1x 2B ．y =1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3．函数f(x)=x x 2+1的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝05．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤27．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1 8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．f （x ﹣1）﹣1B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+110．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m和am（0＜a≤10），设此矩形菜园ABCD的最大面积为u，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u＝f（a）（单位：m2）的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−xx的定义域为．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）．13．已知一元二次方程（a﹣2）x2+4x+3＝0有一正根和一负根，则实数a的取值范围为．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝kx+2（k＞0），若∀x1∈[2，3]，∃x2∈[﹣1，2]，使f（x1）＝g（x2）成立，则实数k的取值范围是．．15．函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，x∈(−12，12)，若f（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）17．（12分）设函数f（x）＝2x2﹣ax+4（a∈R）．（1）当a＝9时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥0对∀x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．18．（13分）已知函数f(x)=x2+a(a∈R)．x（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若a＝2，判断f（x）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（ ）A ．1B ．√2C ．2D ．421．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 ． 25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 ．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．2022-2023学年北京市人大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．下列表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{（x，y）|y＝x}，N＝{y|y＝x}C．M＝{1，2}，N＝{2，1}D．M＝{2，4}，N＝{（2，4）}解：对于A，集合M，N表示的点坐标不同，故A错误，对于B，集合M表示点集，集合N表示数集，故B错误，对于C，由集合的无序性可知，M＝N，故C正确，对于D，集合M表示数集，集合N表示点集，故D错误．故选：C．2．以下函数中是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=1x2B．y=1x C．y＝x2D．y＝x解：y=1x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足题意，A正确；y=1x是奇函数，不正确；y＝x2在区间（0，+∞）上是增函数；不正确；y＝x是奇函数，不正确．故选：A．3．函数f(x)=xx2+1的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=xx2+1的定义域为R，f（﹣x）=−xx2+1=−f（x），可得f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项C；当x＞0时，f（x）＞0，可排除选项A、D．故选：B ．4．若x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2﹣3x +2＝0B ．x 2+3x ﹣2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0解：∵x 1+x 2＝3，x 12+x 22＝5，∴2x 1x 2=(x 1+x 2)2−(x 12+x 22)=9﹣5＝4，解得x 1x 2＝2，∵x 1+x 2＝3，x 1x 2＝2，∴x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：A ．5．已知a ＞b ＞c ，则下列说法一定正确的是（ ）A ．ab ＞bcB ．|a |＞|b |＞|c |C ．ac 2＞bc 2D ．2a ＞b +c解：因为a ＞b ＞c ，则a ＞b 且a ＞c ，所以a +a ＞b +c ，即2a ＞b +c ，故D 正确，当b ＜0时，ab ＜bc ，故A 错误，当a ＝﹣1，b ＝﹣2，c ＝﹣3时，|a |＜|b |＜|c |，故B 错误，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，故C 错误，故选：D ．6．若命题“∃x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围（ ）A ．m ≤﹣2或m ≥2B ．﹣2＜m ＜2C ．m ＜﹣2或m ≥2D ．﹣2≤m ≤2 解：由题意可知，“∀x ∈R ，一元二次不等式x 2+mx +1≥0”为真命题，所以Δ＝m 2﹣4≤0，解得﹣2≤m ≤2，故选：D ．7．定义域与对应法则称为函数的两个要素．下列各对函数中，图象完全相同的是（ ）A ．f(x)=(√x)2与g （x ）＝xB ．f(x)=x 4−1x 2+1与g （x ）＝x 2﹣1 C ．f(x)=√x 2与g （x ）＝xD ．f(x)=√x x 与g （x ）＝1解：对于A ，f （x ）的定义域为[0，+∞），g （x ）的定义域为R ，故A 错误，对于B ，f(x)=x 4−1x 2+1=x 2﹣1，g （x ）＝x 2+1，f （x ）与g （x ）的定义域，值域，映射关系均相同， 故f （x ）与g （x ）图象完全相同，故B 正确，对于C ，f （x ）的值域为[0，+∞），g （x ）的值域为R ，故C 错误，对于D ，f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，g （x ）的定义域为R ，故D 错误．故选：B ．8．“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由ab ＞0可得{a ＞0b ＞0或{a ＜0b ＜0， 当{a ＞0b ＞0时，由基本不等式可得b a +a b ≥2，当a ＝b 时，等号成立； 当{a ＜0b ＜0时，b a ＞0，a b ＞0，由基本不等式可得b a +a b ≥2，所以充分性满足； 当b a +a b ≥2时，设t =b a ，则有t +1t ≥2，由对勾函数的性质可得t ＞0，即b a ＞0，可得ab ＞0，所以必要性满足．故“ab ＞0”是“b a +a b ≥2”的充要条件．故选：C ．9．设函数f （x ）=x+3x+1，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．f （x ﹣1）﹣1 B ．f （x ﹣1）+1C ．f （x +1）﹣1D ．f （x +1）+1 解：因为f （x ）=x+3x+1=1+2x+1的图象关于（﹣1，1）对称，则f （x ﹣1）﹣1的图象关于原点对称，即函数为奇函数．故选：A ．10．人大附中学生计划在实验楼门口种植蔬菜，现有12米长的围栏，准备围成两边靠墙（墙足够长）的菜园，若P 处有一棵树（不考虑树的粗细）与两墙的距离分别是2m 和am （0＜a ≤10），设此矩形菜园ABCD 的最大面积为u ，若要求将这棵树围在菜园内（包括边界），则函数u ＝f （a ）（单位：m 2）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：由题意，设CD ＝x ，则AD ＝12﹣x ，所以矩形菜园ABCD 的面积S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x ＝﹣（x ﹣6）2+36，因为要将这棵树围在菜园内，所以{x ≥212−x ≥a，解得：2≤x ≤12﹣a ， 当12﹣a ＞6，也即0＜a ＜6时，在x ＝6处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝36，当12﹣a ≤6，也即6≤a ≤10时，在x ＝12﹣a 处矩形菜园ABCD 的面积最大，最大面积u ＝S max ＝a （12﹣a ），综上：u ＝f （a ）={36，0＜a ＜6a(12−a)，6≤a ＜10， 根据函数解析式可知，选项B 符合．故选：B ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把结果填在答题纸上的相应位置）11．函数f(x)=√3−x x 的定义域为 （﹣∞，0）∪（0，3] ．解：因为f(x)=√3−x x， 所以{3−x ≥0x ≠0，解得x ≤3且x ≠0， 即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，3]．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，3]．12．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的 充分必要 条件．（填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要或者既不充分也不必要）． 解：园采取了“无预约，不游园”的措施，意思就是说：游园的前提时预约，只有预约了才可以游园，不预约就不能游园．所以：“预约”是“游园”的 充分必要条件．故答案为：充分必要．13．已知一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，2） ． 解：一元二次方程（a ﹣2）x 2+4x +3＝0有一正根和一负根，所以{a −2≠0Δ=16−12(a −2)＞03a−2＜0，解得a ＜2， 即实数a 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．14．已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ．解：已知函数f(x)=2x−1，g （x ）＝kx +2（k ＞0），若∀x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，因为函数f(x)=2x−1在x ∈[2，3]上单调递减，所以f （x ）max ＝f （2）＝2，f （x ）min ＝f （3）＝1，可得f （x 1）∈[1，2]，又因为g （x ）＝kx +2（k ＞0）在x ∈[﹣1，2]上单调递增，所以g （x ）max ＝g （2）＝2k +2，g （x ）min ＝g （﹣1）＝﹣k +2，所以g （x 2）∈[﹣k +2，2k +2]，若x 1∈[2，3]，∃x 2∈[﹣1，2]，使f （x 1）＝g （x 2）成立，所以[1，2]⊆[﹣k +2，2k +2]，所以{−k +2≤12k +2≥2⇒⇒{k ≥1k ≥0，所以k ≥1． 实数k 的取值范围是：[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1，x ∈(−12，12)，若f （x ）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a 的取值范围是 (−∞，−1)∪(−1，−12) ．解：由①可知，a +1≠0，即a ≠﹣1；由③可知，a ＜0；由②可知，−12＜a+12a＜12，即−1＜a+1a＜1，又a＜0，则a＜a+1＜﹣a，解得a＜−1 2；综上，实数a的取值范围为(−∞，−1)∪(−1，−12 )．故答案为：(−∞，−1)∪(−1，−12 )．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16．（10分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|ax﹣1≥0}．（1）当a＝2时，求A∩B与A∪B；（2）若_____，求实数a的取值范围．请从①A∩B＝A；②∀x∈A，x∉B；③“x∈B”是“x∈A”的必要条件；这三个条件中选择一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解：（1）当a＝2时，A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥12 }，A∩B＝{1，2，3}，A∪B＝{x|x≥12}；（2）若选①A∩B＝A，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，不合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a≤1，解得a≥1，故a的取值范围为{a|a≥1}；若选②∀x∈A，x∉B；当a＝0时，B＝∅，符合题意，当a＜0时，B＝{x|x≤1a}，符合题意；当a＞0时，B＝{x|x≥1a}，则1a＞3，解得0＜a＜1 3，故a的取值范围为{a|a＜13 }；③若选“x∈B”是“x∈A”的必要条件，则A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不符合题意，当a ＜0时，B ＝{x |x ≤1a}，不合题意；当a ＞0时，B ＝{x |x ≥1a }，则1a ≤1， 解得a ≥1，故a 的取值范围为{a |a ≥1}．17．（12分）设函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ）．（1）当a ＝9时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）若不等式f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）＝2x 2﹣ax +4（a ∈R ），当a ＝9时，f （x ）＜0，即2x 2﹣9x +4＜0，整理得（2x ﹣1）（x ﹣4）＜0，解得12＜x ＜4， 故所求不等式的解集为(12，4)；（2）f （x ）≥0对∀x ∈（0，+∞）恒成立，即2x 2﹣ax +4≥0在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤2x +4x 在x ∈（0，+∞）上恒成立，即a ≤(2x +4x )min ，又2x +4x ≥2√2x ×4x =4√2（当且仅当2x =4x 即x =√2时，取“＝“）． 所以a ≤4√2，故实数a 的取值范围为(−∞，4√2]．18．（13分）已知函数f(x)=x 2+a x (a ∈R)．（1）判断f （x ）的奇偶性并证明；（2）若a ＝2，判断f （x ）在[1，+∞）的单调性，并用单调性定义证明．解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x 为非奇非偶函数；证明如下：当a ＝0时，f （x ）＝x 2，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2＝x 2，即f （x ）为偶函数，当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x ，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2−a x =x 2−a x ≠±f （x ），即为非奇非偶函数； （2）a ＝2时，f （x ）=x 2+2x ，设1≤x 1＜x 2，则x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2−2x 1x 2＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12−x 22+2x 1−2x 2=（x 1﹣x 2）（x 1+x 2−2x 1x 2）＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[1，+∞）单调递增． 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19．已知集合A ＝{x |﹣5＜x ＜﹣3}，B ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a ﹣2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．{﹣1}C ．[1，+∞）∪{﹣1}D ．R解：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①B ＝∅时，2a ﹣3≥a ﹣2，解得a ≥1；②B ≠∅时，{a ＜12a −3≥−5a −2≤−3，解得a ＝﹣1；∴综上可得，a 的取值范围是a ≥1或a ＝﹣1．故选：C ．20．已知x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，则x +y 的最小值是（） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4解：设f （t ）＝t 3+2022t ，函数定义域为R ，f （﹣t ）＝（﹣t ）3+2022×（﹣t ）＝﹣t 3﹣2022t ＝﹣f （t ），∴f （t ）是奇函数，∀t 1＜t 2，有t 13＜t 23，则f （t 1）﹣f （t 2）＝t 13+2022t 1﹣（t 23+2022t 2）＜0，即f （t 1）＜f （t 2）． ∴函数f （t ）是增函数，由x ＞0，y ＞0，(√x)3+2022√x =a ，(√y −2)3+2022(√y −2)=−a ，所以√x +√y −2＝0，可得√x +√y =2，两边同时平方再利用基本不等式，有4＝x +y +2√xy ≤2（x +y ），当且仅当x ＝y ＝1时取等号，所以x +y 的最小值为2，故选：C ．21．f （x ）＝x （x +1）（x +2）（x +3）的最小值为（ ）A ．﹣1B ．﹣1.5C ．﹣0.9375D ．前三个答案都不对解：y ＝x （x +1）（x +2）（x +3）＝[x （x +3）][（x +1）（x +2）]＝（x 2+3x ）[（x 2+3x ）+2]，令a ＝x 2+3x ＝（x +32）2−94≥−94．y ＝a 2+2a ＝（a +1）2﹣1，∵a ≥−94，∴a ＝﹣1时，y 有最小值﹣1．故选：A ．22．若集合A 的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A 为互斥集．若A ＝{a ，b ，c }⊆{1，2，3，4，5}，且A 为互斥集，则1a +1b +1c 的最大值为（ ） A ．116 B ．1312 C ．74 D ．4760解：∵A 为{1，2，3}，{1，2，4}，[1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，且A 为互斥集，∴A 为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，5}，{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，要想1a +1b +1c 取得最大值，则a ，b ，c 要最小， 此时a ，b ，c ∈{1，2，4}，令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则1a +1b +1c =11+12+14=74． 故选：C ．二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23．关于x 的方程x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，k ＝ ﹣1或0或3 ．解：∵x (x−1)=(k−2x)(x 2−x)的解集中只含有一个元素，∴x ﹣1≠0，且 x =k−2x x， ∴x ≠0，且 x 2+2x ﹣k ＝0有一个实数根，结合x ≠0且x ≠1，可得k ＝﹣1或k ＝0或k ＝3．故答案为：﹣1或0或3．24．已知k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值，则实数k 的取值范围是 [1，+∞） ． 解：因为k ≥0，函数y ={−x +k +1，x ≥02−x+k，x ＜0有最大值， 易知x ≥0时，f （x ）＝﹣x +k +1单调递减，故此时f （x ）≤f （0）＝k +1；当x ＜0时，f （x ）=2−x+k 单调递增，结合x →0﹣时，f （x ）→2k，所以由题意只需k +1≥2k 即可，解得k ≥1，或k ≤﹣2（舍），故k 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．25．对于集合A ，称定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数．①若A ＝{1，2}，则A 上的等域函数有 2 个；②若∃A ＝[m ，n ]，使f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1为A 上的等域函数，a 的取值范围是 {a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1} ．解：定义域与值域均为A 的函数y ＝f （x ）为集合A 上的等域函数，（1）所以若 f （x ）＝x ，则 f （1）＝1，f （2）＝2，所以f （x ）＝x 的定义域与值域均为A ＝{1，2}，同理若f （1）＝2，f （2）＝1，也满足题意，所以A 上的等域函数有2个；若a ＜0，则f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1≤﹣1＜0，因此 n ＜0，从而f （x ）在[m ，n ]上单调递增，{f(m)=m f(n)=n， 所以f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有两个不等的负实根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有2个不等的负实根，所以{ Δ=(2a +1)2−4a(a −1)＞0x 1+x 2=2a+1a ＜0x 1x 2=a−1a ＞0，解得−18＜a ＜0； 若a ＝0，则f （x ）＝﹣1，不合题意；a ＞0 时，①若m ≤1≤n ，则f （x ）min ＝﹣1，因此m ＝﹣1，f （﹣1）＝4a ﹣1，f （n ）＝a （n ﹣1）2﹣1，若1≤n ≤3，则n ＝f （﹣1）＝4a ﹣1，令1≤4a ﹣1≤3，解得12≤a ≤1， 若n ＞3，则f （n ）＝n ，所以方程f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 有大于3的实数根，即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0有大于3的实数根，即Δ＝（2a +1）2﹣4a （a ﹣1）≥0，解得a ≥−18， 所以a ＞0时，x =2a+1±√8a+12a ，令2a+1+√8a+12a＞3，解得√8a +1＞4a ﹣1， 当4a ﹣1≤0时，即0＜a ≤14时，不等式显然成立，当a ＞14时，8a +1＞（4a ﹣1）2，解得0＜a ＜1，所以14＜a ＜1，所以0＜a ＜1满足题意， 综上，0＜a ≤满足题意；下面讨论a ＞1时是否存在[m ，n ]满足题意，②若n ≤1，则 f （x ）在[m ，n ]上是减函数，因此{f(m)=n f(n)=m，显然m ＝f （n ）≥﹣1， 令{a(m −1)2−1=n a(n −1)2−1=m，相减得a （m +n ﹣2）＝﹣1，即m ＝2−1a −n ，n ＝2−1a −m ， 因此有{a(m −1)2−1=2−1a −m a(n −1)2−1=2−1a −n ， 设g （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1﹣（2−1a −x ）＝0在[﹣1，1]上有两个不等实根，整理得g （x ）＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a +1a −3，a ＞1时，由于g （1）=1a −2＜0，因此方程g （x ）＝0一个根大于1，一根小于1，不合要求； ③若1≤m ＜n ，则f （x ）在[m ，n ]上是增函数，因此{f(m)=m f(n)=n，即f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1＝x 在[1，+∞）上有两个不等实根， 即方程ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1＝0 在[1，+∞）上有两个不等实根，设h （x ）＝ax 2﹣（2a +1）x +a ﹣1，则h （1）＝﹣2＜0，所以h （x ）＝0 的两根一个大于1，一个小于1，不合题意，综上，a 的取值范围是{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．故答案为：2；{a |−18＜a ＜0或0＜a ≤1}．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答䋈写在答题纸上的相应位置．）26．（15分）对于正整数集合A ，记A ﹣{a }＝{x |x ∈A ，x ≠a }，记集合X 所有元素之和为S （X ），S （∅）＝0．若∃x ∈A ，存在非空集合A 1、A 2，满足：①A 1∩A 2＝∅；②A 1∪A 2＝A ﹣{x }；③S （A 1）＝S （A 2）称A 存在“双拆”．若∀x ∈A ，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．（1）判断集合{1，2，3，4}和{1，3，5，7，9，11}是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；（2）A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，证明：A 不能“任意双拆”；（3）若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．解：（1）对集合{1，2，3，4}，{1，2，3，4}﹣{4}＝{1，2，3}，且1+2＝3，∴集合{1，2，3，4}可以双拆，若在集合中去掉元素1，∵2+3≠4，2+4≠3，3+4≠2，∴集合{1，2，3，4}不可“任意双拆”；若集合{1，3，5，7，9，11}可以“双拆”，则在集合{1，3，5，7，9，11}去除任意一个元素形成新集合B，若存在集合B1，B2，使得B1∩B2＝∅，B1∪B2＝B，S（B1）＝S（B2），则S（B）＝S（B1）+S（B2）＝2S（B1），即集合B中所有元素之和为偶数，事实上，集合B中的元素为5个奇数，这5个奇数和为奇数，不合题意，∴集合{1，3，5，7，9}不可“双拆”．（2）证明：设a1＜a2＜a3＜a4＜a5．反证法：如果集合A可以“任意双拆”，若去掉的元素为a1，将集合{a2，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4，①，或a5＝a2+a3+a4，②，若去掉的是a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4，③，或a5＝a1+a3+a4，④，由①﹣③可得a1＝a2，矛盾；由②﹣③得a1＝﹣a2，矛盾；由①﹣④可得a1＝﹣a2，矛盾；由②﹣④可得a1＝a2，矛盾．∴A不能“任意双拆”；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，•，a n}，由题意可知S（A）﹣a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，∴a i（i＝1，2，•，n）均为奇数或偶数，若S（A）为奇数，则a i（i＝1，2，•，n）均为奇数，∵S（A）＝a1+a2+•+a n，∴n为奇数，若S（A）为偶数，则a i（i＝1，2，•，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，b3，•，b n}可任意双拆，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意双拆”集，此时各项之和也是奇数，则集合A中元素个数n为奇数，当n＝3时，由题意知集合A＝{a1，a2，a3}不可“任意双拆”，当n＝5时，集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}不可“任意双拆”，∴n≥7，当n＝7时，取集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，∵3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，1+3+5+77＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A可“任意双拆”，∴集合A中元素个数n的最小值为7．。

2018-2019学年七年级第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题） 1．4的算术平方根是( ) A ．16B ．2±C ．2D ．22．在平面直角坐标系中，点(3,2)P -在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．过点B 画线段AC 所在直线的垂线段，其中正确的是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示，//AB CD ，若1144∠=︒，则2∠的度数是( )A ．30︒B ．32︒C ．34︒D ．36︒5．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是( )A ．内错角相等，两直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．两直线平行，内错角相等D ．两直线平行，同位角相等6．如图，平移折线AEB ，得到折线CFD ，则平移过程中扫过的面积是( )A ．4B ．5C ．6D ．77．小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x 轴、y 轴正方向，图中点A 的坐标为(1,0)，那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是( )A ．(3.2,1.3)B ．( 1.9,0.7)-C ．(0.7, 1.9)-D ．(3.8, 2.6)-8．我们知道“对于实数m ，n ，k ，若m n =，n k =，则m k =”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：①a ，b ，c 是直线，若//a b ，//b c ，则//a c ． ②a ，b ，c 是直线，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥． ③若α∠与β∠互余，β∠与γ∠互余，则α∠与γ∠互余． 其中正确的命题是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③9．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x 后，输出的y 值为4，则输入的x 值可能为( )A．1 B．6 C．9 D．1010．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是x15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 2x225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 ()A．25.281 1.59=B．235的算术平方根比15.3小C．只有3个正整数n满足15.515.6<<nD．根据表中数据的变化趋势，可以推断出216.1将比256增大3.19二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．将点(1,4)A-向上平移三个单位，得到点A'，则A'的坐标为．12．如图，数轴上点A，B对应的数分别为1-，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C 可能对应的一个无理数．13．如图，直线a，b相交，若1∠互余，则3∠与2∠=．14．依据图中呈现的运算关系，可知a=，b=．15．平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且5AB=，若点A的坐标为(3,2)，则点B的坐标是．16．一副直角三角板如图放置，其中90E∠=︒，点D在斜∠=︒，60C DFE∠=∠=︒，45A边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，BDE∠的度数是．17．如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④)．18．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．回答下列问题：（1）如图1，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域时，线段PQ与AB相交（直接填写区域序号）；（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图2，如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有 种连线方案．三、解答题 19．计算： （1）2231(4)()83-+-； （2）2(32)52--． 20．求出下列等式中x 的值： （1）21236x =；（2）33388x -=．21．下图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(3,2)-．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标： ； （2）若中国人民大学的坐标为(3,4)--，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．22．有一张面积为2100cm 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5:3，面积为2150cm ，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．四、解答题（本大题共11分，23题5分，24题6分）23．如图，点D ，点E 分别在BAC ∠的边AB ，AC 上，点F 在BAC ∠内，若//EF AB ， BDF CEF ∠=∠．求证：//DF AC ．24．已知正实数x 的平方根是m 和m b +． （1）当8b =时，求m ；（2）若22()4m x m b x ++=，求x 的值．五、解答题（本大题共19分，25～26每题6分，27题7分）25．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,)A a a ，(,3)B a a -，其中a 为整数．点C 在线段AB 上，且点C 的横纵坐标均为整数． （1）当1a =时，画出线段AB ；（2）若点C 在x 轴上，求出点C 的坐标；（3）若点C 纵坐标满足15y <<，直接写出a 的所有可能取值： ．26．如图，已知//AB CD ，点E 是直线AB 上一个定点，点F 在直线CD 上运动，设CFE α∠=，在线段EF 上取一点M ，射线EA 上取一点N ，使得160ANM ∠=︒．（1）当2aAEF ∠=时，α= ； （2）当MN EF ⊥时，求α；（3）作CFE ∠的角平分线FQ ，若//FQ MN ，直接写出α的值： ．27．对于平面直角坐标系xOy 中的不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，给出如下定义：若121x x =，121y y =，则称点A ，B 互为“倒数点”．例如，点1(2A ，1)，(2,1)B 互为“倒数点”． （1）已知点(1,3)A ，则点A 的倒数点B 的坐标为 ；将线段AB 水平向左平移2个单位得到线段A B ''，请判断线段A B ''上是否存在“倒数点”． （填“是”或“否” )； （2）如图所示，正方形CDEF 中，点C 坐标为11(,)22，点D 坐标为31(,)22，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由；（3）已知一个正方形的边垂直于x 轴或y 轴，其中一个顶点为原点，若该正方形各边上不存在“倒数点”，请直接写出正方形面积的最大值： ．参考答案一、选择题（共10小题）1．4的算术平方根是()A．16 B．2±C．2 D．2【分析】算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．解：2的平方为4，∴的算术平方根为2．4故选：C．2．在平面直角坐标系中，点(3,2)P-在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．解：点(3,2)P-在第二象限，故选：B．3．过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是()A．B．C．D．【分析】垂线段满足两个条件：①经过点B．②垂直于AC；由此即可判断．解：根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：故选：D ．4．如图所示，//AB CD ，若1144∠=︒，则2∠的度数是( )A ．30︒B ．32︒C ．34︒D ．36︒【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 解：//AB CD ，1144CAB ∴∠=∠=︒， 2180CAB ∠+∠=︒， 218036CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：D ．5．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是( )A ．内错角相等，两直线平行B ．同位角相等，两直线平行C ．两直线平行，内错角相等D ．两直线平行，同位角相等【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．解：有平行线的画法知道，得到同位角相等，即同位角相等两直线平行． ∴同位角相等两直线平行．故选：B ．6．如图，平移折线AEB ，得到折线CFD ，则平移过程中扫过的面积是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】根据平移的性质确定平移过程中扫过的图形的形状，从而确定面积；解：根据题意得：平移折线AEB ，得到折线CFD ，则平移过程中扫过的图形为矩形ABCD ， 所以其面积为236⨯=，故选：C ．7．小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x 轴、y 轴正方向，图中点A 的坐标为(1,0)，那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是( )A ．(3.2,1.3)B ．( 1.9,0.7)-C ．(0.7, 1.9)-D ．(3.8, 2.6)-【分析】根据平面直角坐标系的定义建立平面直角坐标系，然后根据象限特点解答即可． 解：由图可知，( 1.9,0.7)-距离原点最近，故选：B ．8．我们知道“对于实数m ，n ，k ，若m n =，n k =，则m k =”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：①a ，b ，c 是直线，若//a b ，//b c ，则//a c ．②a ，b ，c 是直线，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．③若α∠与β∠互余，β∠与γ∠互余，则α∠与γ∠互余．其中正确的命题是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【分析】根据平行线的判定、垂直和互余进行判断即可．解：①a ，b ，c 是直线，若//a b ，//b c ，则//a c ，是真命题．②a ，b ，c 是直线，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ，是假命题．③若α∠与β∠互余，β∠与γ∠互余，则αγ∠=∠，是假命题；故选：A ．9．如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x值可能为()A．1 B．6 C．9 D．10【分析】将各个选项的x的值代入程序框图得输出的y值，依次进行判断即可．解：A．将1x=代入程序框图得：输出的y值为1，不符合题意；B．将6x=代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；C．将9x=代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；D．将10x=代入程序框图得：输出的y值为4，符合题意；故选：D．10．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是x15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 2x225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 ()A25.281 1.59=B．235的算术平方根比15.3小C．只有3个正整数n满足15.515.6<<n16.1将比256增大3.19D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出2【分析】根据表格中的信息可知2x和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．解：A252.8115.9=，=，故选项不正确；∴ 2.5281 1.59B234.0915.3235=235∴的算术平方根比15.3大，故选项不正确；C ．根据表格中的信息知：2215.5240.2515.6243.36n =<<=，∴正整数241n =或242或243，∴只有3个正整数n 满足15.515.6n <<，故选项正确； D ．根据表格中的信息无法得知216.1的值，∴不能推断出216.1将比256增大3.19，故选项不正确．故选：C ．二、填空题（本大题共16分，每小题2分）11．将点(1,4)A -向上平移三个单位，得到点A '，则A '的坐标为 (1,7)- ．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．解：将点(1,4)A -向上平移三个单位，得到点A '，则A '的坐标为(1,7)-，故答案为：(1,7)-，12．如图，数轴上点A ，B 对应的数分别为1-，2，点C 在线段AB 上运动．请你写出点C 可能对应的一个无理数 3（答案不唯一，无理数在1-与2之间即可） ．【分析】根据无理数的估计解答即可．解：由C 点可得此无理数应该在1-与2之间，故可以是3，故答案为：3（答案不唯一，无理数在1-与2之间即可），13．如图，直线a ，b 相交，若1∠与2∠互余，则3∠= 135︒ ．【分析】依据1∠与2∠互余，12∠=∠，即可得到1245∠=∠=︒，进而得出3∠的度数． 解：1∠与2∠互余，12∠=∠，1245∴∠=∠=︒，318045135∴∠=︒-︒=︒，故答案为：135︒．14．依据图中呈现的运算关系，可知a = 2019- ，b = ．【分析】利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．解：依据图中呈现的运算关系，可知2019的立方根是m ，a 的立方根是m -， 32019m ∴=，3()m a -=，2019a ∴=-；又n 的平方根是2019和b ，2019b ∴=-．故答案为：2019-，2019-．15．平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 与x 轴平行，且5AB =，若点A 的坐标为(3,2)，则点B 的坐标是 (2,2)-或(8,2) ．【分析】根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等，再分点B 在点A 的左边与右边两种情况讨论求解．解：线段AB 与x 轴平行，∴点B 的纵坐标为2，点B 在点A 的左边时，352-=-，点B 在点A 的右边时，358+=，∴点B 的坐标为(2,2)-或(8,2)．故答案为：(2,2)-或(8,2)．16．一副直角三角板如图放置，其中90C DFE ∠=∠=︒，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点D 在斜边AB 上．现将三角板DEF 绕着点D 顺时针旋转，当DF 第一次与BC 平行时，BDE ∠的度数是 15︒ ．【分析】利用平行线的性质即可解决问题．解：//DF BC，FDB ABC∴∠=∠=︒，45∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，EDB DFB EDF453015故答案为15︒．17．如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④)．【分析】根据垂线段最短得出即可．解：根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，即当当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；故答案为：①．18．若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．回答下列问题：（1）如图1，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域②时，线段PQ与AB相交（直接填写区域序号）；（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图2，如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有种连线方案．【分析】（1）由相交线的定义可以找到点Q 所在的区域；（2）因为要求所有连线不能相交，所以可按图示7种方法连接．解：（1）当点Q 落在区域②时，线段PQ 与AB 相交；（2）点A 沿向上两个格、向右三个格、向下一个格连接，也可以沿向上两个格、向右两个格、向下一个格、向右一个格连接，两种方法；点B 沿向下两个格、向右一个格连接，或向下一个格、向右一个格、向下一个格连接，或向右一个格、向下两个格连接，或向右一个格、向下一个格、向左一个格、向下一个格、向右一个格连接，共四种方法；点C 只有一种连接方法，所以共7种方法．故答案为：②，7．三、解答题（本大题共24分，第19，20题每题8分，第21～22每题4分）19．计算：（12231(4)()83-+-； （22(32)52-．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据实数的混合计算解答即可．解：（1）原式1423=+- 73= （2）原式32252=-222=--20．求出下列等式中x 的值：（1）21236x =；（2）33388x -=． 【分析】（1）根据等式的性质方程两同时除以12，再由平方根的定义问题可解．（2）方程可先去分母，得3243x-=，再移项合并同类项，最后根据立方根定义可求解．解：（1）23x=∴=±x3（2）3243x-=327x=∴=x321．下图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(3,2)-．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标：(3,1)；（2）若中国人民大学的坐标为(3,4)--，请在坐标系中标出中国人民大学的位置．【分析】（1）利用清华大学的坐标为(0,3)，北京大学的坐标为(3,2)-画出直角坐标系；（2）根据点的坐标的意义描出中国人民大学所表示的坐标．解：（1）北京语言大学的坐标：(3,1)；故答案是：(3,1)；（2）中国人民大学的位置如图所示：22．有一张面积为2100cm的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5:3，面积为2150cm，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．【分析】设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．根据长方形的面积列出关于x的方程，解之求得x的值，再由其宽和长与10的大小可得答案．解：设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．由题意得：53150x x=，解得：10x=所以长方形信封的宽为：3310x=，10010=，∴正方形贺卡的边长为10cm．2=，而90100(310)90<，∴<，31010答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．四、解答题（本大题共11分，23题5分，24题6分）23．如图，点D ，点E 分别在BAC ∠的边AB ，AC 上，点F 在BAC ∠内，若//EF AB ， BDF CEF ∠=∠．求证：//DF AC ．【分析】想办法证明BDF A ∠=∠即可解决问题．【解答】证明：//EF AB ，CEF A ∴∠=∠，BDF CEF ∠=∠，BDF A ∴∠=∠，//DF AC ∴．24．已知正实数x 的平方根是m 和m b +．（1）当8b =时，求m ；（2）若22()4m x m b x ++=，求x 的值．【分析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m 的值；（2）利用平方根的定义得到2()m b x +=，2m x =，代入式子22()4m x m b x ++=即可求出x 值．解：（1）正实数x 的平方根是m 和m b +0m m b ∴++=，8b =，280m ∴+=4m ∴=-；（2）正实数x 的平方根是m 和m b +，2()m b x ∴+=，2m x =，22++=，m x m b x()4224∴+=，x x22∴=，xx>，x∴=．2五、解答题（本大题共19分，25～26每题6分，27题7分）25．在平面直角坐标系xOy中，已知点(,)B a a-，其中a为整数．点C在线段ABA a a，(,3)上，且点C的横纵坐标均为整数．（1）当1a=时，画出线段AB；（2）若点C在x轴上，求出点C的坐标；（3）若点C纵坐标满足15<<，直接写出a的所有可能取值：2，3，4，5 ．y【分析】（1）根据坐标与图形的特点解答即可；（2）根据x轴的点的特点解答即可；（3）根据无理数的估计和坐标特点解答即可．解：（1）（2）由题意可知，点C 的坐标为(,)a a ，(,1)a a -，(,2)a a -或(,3)a a -， 点C 在x 轴上， ∴点C 的纵坐标为0．由此可得a 的取值为0，1，2或3，因此点C 的坐标是(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0) （3）a 的所有可能取值是2，3，4，5． 故答案为：2，3，4，5．26．如图，已知//AB CD ，点E 是直线AB 上一个定点，点F 在直线CD 上运动，设CFE α∠=，在线段EF 上取一点M ，射线EA 上取一点N ，使得160ANM ∠=︒．（1）当2aAEF ∠=时，α= 120︒ ； （2）当MN EF ⊥时，求α；（3）作CFE ∠的角平分线FQ ，若//FQ MN ，直接写出α的值： ．【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图1所示，过点M 作直线//PM AB ，由平行公理推论可知：////AB PM CD ．根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图2，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 解：（1）//AB CD ，180AEF CFE ∴∠+∠=︒， CFE α∠=，2aAEF ∠=， 1802αα∴+=︒，120α∴=︒；（2）如，1所示，过点M 作直线//PM AB ，由平行公理推论可知：////AB PM CD ． 160ANM ∠=︒，18016020NMP ∴∠=︒-︒=︒，又NM EF ⊥，90NMF ∴∠=︒，902070PMF NMF NMP ∠=∠-∠=︒-︒=︒． 180********PMF α∴=︒-∠=︒-︒=︒；（3）如图2，FQ 平分CFE ∠， 2QFM α∴∠=，//AB CD ， 180NEM α∴∠=︒-，//MN FQ ， 2NME α∴∠=，18020ENM ANM ∠=︒-∠=︒，201801802αα∴︒++︒-=︒，40α∴=︒．故答案为：120︒，40︒．27．对于平面直角坐标系xOy 中的不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，给出如下定义：若121x x =，121y y =，则称点A ，B 互为“倒数点”．例如，点1(2A ，1)，(2,1)B 互为“倒数点”． （1）已知点(1,3)A ，则点A 的倒数点B 的坐标为 1(1,)3；将线段AB 水平向左平移2个单位得到线段A B ''，请判断线段A B ''上是否存在“倒数点”． （填“是”或“否” )； （2）如图所示，正方形CDEF 中，点C 坐标为11(,)22，点D 坐标为31(,)22，请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由；（3）已知一个正方形的边垂直于x 轴或y 轴，其中一个顶点为原点，若该正方形各边上不存在“倒数点”，请直接写出正方形面积的最大值： ．【分析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意得出21x =，213y =，点B 的坐标为1(1,)3，由平移的性质得出(1,3)A '-，1(1,)3B '-，即可得出结论；（2）①若点1(M x ，1)y 在线段CF 上，则112x =，点2(N x ，2)y 应当满足22x =，可知点N 不在正方形边上，不符题意； ②若点1(M x ，1)y 在线段CD 上，则112y =，点2(N x ，2)y 应当满足22y =，可知点N 不在正方形边上，不符题意；③若点1(M x ，1)y 在线段EF 上，则132y =，点2(N x ，2)y 应当满足223y =，得出3(2N ，2)3，此时点2(3M ，3)2在线段EF 上，满足题意；（3）由题意得出各边上点的横坐标和纵坐标的绝对值都1，得出正方形面积的最大值为1即可．解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 121x x =，121y y =，(1,3)A ， 21x ∴=，213y =，点B 的坐标为1(1,)3， 将线段AB 水平向左平移2个单位得到线段A B ''， 则(1,3)A '-，1(1,)3B '-，1(1)1-⨯-=，1313⨯=，∴线段A B ''上存在“倒数点”， 故答案为：1(1,)3；是；（2）正方形的边上存在“倒数点” M 、N ，理由如下： ①若点1(M x ，1)y 在线段CF 上， 则112x =，点2(N x ，2)y 应当满足22x =， 可知点N 不在正方形边上，不符题意； ②若点1(M x ，1)y 在线段CD 上， 则112y =，点2(N x ，2)y 应当满足22y =， 可知点N 不在正方形边上，不符题意； ③若点1(M x ，1)y 在线段EF 上， 则132y =，点2(N x ，2)y 应当满足223y =， ∴点N 只可能在线段DE 上，3(2N ，2)3，此时点2(3M ，3)2在线段EF 上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点” 2(3M ，3)2，3(2N ，2)3；（3）如图所示：一个正方形的边垂直于x轴或y轴，其中一个顶点为原点，则该正方形有两条边在坐标轴上，坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0，∴在坐标轴上的边上不存在倒数点，又该正方形各边上不存在“倒数点”，∴各边上点的横坐标和纵坐标的绝对值都1，即正方形面积的最大值为1；故答案为：1．。

海淀区高三年级第一学期期中练习生物2018.11一、选择题（在四个选项中，只有一项最符合题目要求。

每小题1分，共20分。

）1.下列细胞结构与其包含的主要化学成分，对应不正确．．．的是（）A.核糖体——蛋白质和RNA B.溶酶体——蛋白质和磷脂C.染色体——蛋白质和DNAD.中心体——蛋白质和固醇2.下列蛋白质所在位置及对应的功能，不正确．．．的是（）A.位于靶细胞膜上的受体，识别并结合激素B.位于类囊体膜上的A TP合酶，催化A TP合成C.位于细胞膜上的载体，参与物质跨膜运输D.位于细胞质中的抗体，引起特异性免疫3.在电子显微镜下，蓝细菌（蓝藻）和黑藻细胞中都能被观察到的结构是（）A.叶绿体B.线粒体C.核糖体D.内质网4.下列生化反应一定不．是在生物膜上进行的是（）A.葡萄糖分解成丙酮酸B.水光解生成[H]和O2C.O2和[H]结合生成水D.ADP和Pi合成ATP5.下列关于病毒的叙述，正确的是（）A.以宿主细胞DNA为模板合成子代病毒DNAB.能在宿主细胞内以二分裂方式进行增殖C.灭活的仙台病毒可以诱导动物细胞融合D.用动物血清培养基培养动物病毒6. 下列有关物质跨膜运输的叙述，正确的是（）A.神经细胞兴奋时Na+的内流属于被动运输B.水分子只能通过自由扩散进入肾小管细胞C.性激素通过主动运输进入靶细胞D. Mg2＋通过自由扩散进入根细胞7.下列关于ATP的叙述，正确的是（）A. ATP由腺嘌呤、脱氧核糖和磷酸组成B. ADP转化成ATP所需能量均来自光能C.酶催化的生化反应必须由A TP提供能量D.无氧呼吸过程中伴随有ATP生成8.研究者测定了某动物消化道内不同蛋白酶在各自最适pH条件下的酶活性（图1），以及18℃时不同pH条件下的酶活性（图2）。

下列相关分析不正确．．．的是（）图1 图2A.图中的蛋白酶都是由核糖体合成，内质网和高尔基体加工B.在各自最适pH条件下，15℃~18℃时幽门盲囊蛋白酶活性最高C.胃蛋白酶、肠蛋白酶和幽门盲囊蛋白酶最适温度均为18℃D.18℃时胃蛋白酶、肠蛋白酶最适pH分别为2和89.下列实验操作可达到预期目的的是（）A.提取绿叶色素，研磨时加入70%的乙醇用于溶解色素B.将甘蔗研磨液过滤后加入适量斐林试剂，可观察到砖红色沉淀C.洋葱根尖分生区细胞解离后经龙胆紫染色，显微镜下可观察到深色的染色体D.加入二苯胺试剂后加热，通过观察是否变蓝判断有无目的PCR产物生成10.下列有关细胞呼吸在生产生活中应用的叙述，正确的是（）A.用透气的创可贴包扎伤口以利于组织细胞的有氧呼吸B.制作酸奶应保持适当通气，以利于乳酸菌的繁殖C.蔬菜水果应零下低温保存，以降低有机物损耗D.疏松土壤，以促进农作物根部细胞有氧呼吸11.下列关于光合作用的叙述，正确的是（）A.蓝藻细胞的光合作用发生在叶绿体中B.水在叶绿体中分解需要ATP提供能量C.叶肉细胞中合成葡萄糖时需要A TP提供能量D.二氧化碳固定生成C3需要消耗A TP12.研究人员发现一株淡绿叶色水稻突变体，测定并比较突变体与野生型的一些指标，得到下图和表中结果。

2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．162．已知集合A ＝{y |y ＝e x }，集合B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）3．已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊂β，则m ⊥α B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β4．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．1005．已知两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，则这两条直线所成的角θ满足（ ） A ．sinθ=17B ．cosθ=17C ．sinθ=−17D ．cosθ=−176．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段B 1D 1上一点，则点M 到平面A 1BD 的距离是（ ） A ．√36B ．√33C ．√34D ．√638．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）A ．76π+1B ．76π+56C ．78π+1D ．π+19．已知函数f （x ）＝2sin ωx 在区间[−π3，π4]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ） A ．(−∞，−92]∪[6，+∞) B ．(−∞，−92]∪[32，+∞) C ．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数z ＝1+2i 的虚部是 ，复数z 在复平面内对应的点在第 象限．12．若向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面，则m ＝ ． 13．圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 ．14．已知在空间直角坐标系O ﹣xyz （O 为坐标原点）中，点A （1，1，﹣1），点B （1，﹣1，1），则z 轴与平面OAB 所成的线面角大小为 ．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1；③对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；④M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共3小题，共40分.16．（12分）如图，在三棱锥V ﹣ABC 中，平面VAC ⊥平面ABC ，∠VCA ＝90°，M ，N 分别为VA ，VB 的中点．（1）求证：AB ∥平面CMN ； （2）求证：AB ⊥VC ．17．（14分）已知函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ，且满足f （x ）的图象过点（−π6，0）． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[−π12，m ]上的最大值为3，求实数m 的取值范围．18．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ＝BC ＝2． （1）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； （2）求二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值：（3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，若MN ∥平面A 1ACC 1，求A 1N A 1B的值．四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.19．袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是 ．20．声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f(x)=10×lgx1×10−12．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍．21．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA ，VB ，VC 两两垂直，VA ＝VB ＝VC ＝1（单位：dm ），小明同学计划通过侧面VAC 内任意一点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则该截面面积（单位：dm 2）的最大值是 ．22．设函数f （x ）={log 2x −a ，x ≥15(x −a)(x −3a)，x ＜1．①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 五、解答题：本大题共2小题，共25分. 23．（12分）在△ABC 中，bsin2A =√3asinB ． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =2√77；条件②：b c =3√34；条件③：cosC =√217 注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．24．（13分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，…，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，…，x n ）和γ＝（y 1，y 2，…，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ． 设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，…，t in ），i ＝1，2，…，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若αi ⋅αj ={p ，i =j ，1，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）． （Ⅰ）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2）？说明理由； （Ⅱ）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明；（Ⅲ）若集合A 具有性质T （n ，p ），证明：t 1j +t 2j +…+t nj ＝p （j ＝1，2，…，n ）．2023-2024学年北京市海淀区中关村中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x ＝（ ） A ．1B ．12C ．13D ．16解：a →=（x ，1，3），b →=（1，3，9），如果a →与b →为共线向量，则x1=13=39，解得x =13．故选：C ．2．已知集合A ＝{y |y ＝e x }，集合B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}，则A ∪B ＝（ ） A ．RB ．[1，+∞）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞）解：因为A ＝{y |y ＝e x }＝（0，+∞），B ＝{x |y ＝ln （x ﹣1）}＝{x |x ﹣1＞0}＝（1，+∞）， 所以A ∪B ＝（0，+∞）． 故选：C ．3．已知直线m 和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，m ⊂β，则m ⊥α B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若α∥β，m ∥α，则m ∥βD ．若α∥β，m ⊥α，则m ⊥β解：对于A ，若α⊥β，m ⊂β，则m 与α可能平行，如果是交线，则在α内，故A 错误；对于B ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或者m ⊂β；故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交；故C 错误；对于D ，若α∥β，m ⊥α，利用面面平行的性质以及项目存在的性质可以判断m ⊥β；故D 正确； 故选：D ．4．某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计、发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被抽取的学生中，成绩在区间[80，90）的学生数是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．100解：由题意得，10×（0.005+0.01+0.015+x +0.04）＝1，解得x ＝0.03， 则学生成绩在区间[80，90）的频率为10×0.03＝0.3，因为共抽取200名学生，所以成绩在区间[80，90）的学生数为200×0.3＝60． 故选：C ．5．已知两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，则这两条直线所成的角θ满足（ ） A ．sinθ=17B ．cosθ=17C ．sinθ=−17D ．cosθ=−17解：因为两条异面直线的方向向量分别是u →=(3，−1，2)，v →=(−1，3，2)，所以cosθ=|cos ＜u →，v →＞|=|u →⋅v →||u →||v →|=|−3−3+4|√3+(−1)2+2√(−1)2+3+2=17．故选：B ．6．已知平面α={P|n →⋅P 0P →=0}，其中P 0（1，1，1），法向量n →=(−1，1，2)，则下列各点中不在平面α内的是（ ） A ．（2，0，1）B ．（2，0，2）C ．（﹣1，1，0）D ．（0，2，0）解：若点在平面α内，则n →⋅P 0P →=0，对于A ：n →⋅P 0P →=（1，﹣1，0）•（﹣1，1，2）＝﹣2，所以A 选项的点不在平面α内； 对于B ：n →⋅P 0P →=(1，−1，1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内； 对于C ：n →⋅P 0P →=(−2，0，−1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内； 对于D ：n →⋅P 0P →=(−1，1，−1)⋅(−1，1，2)=0，满足要求，所以在平面内． 故选：A ．7．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段B 1D 1上一点，则点M 到平面A 1BD 的距离是（ ） A ．√36B ．√33C ．√34D ．√63解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（1，0，1），B （1，1，0），D （0，0，0），A 1B →=(0，1，−1)，A 1D →=(−1，0，−1)， 设平面A 1BD 的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 1B →=y −z =0n →⋅A 1D →=−x −z =0，取x ＝1可得平面A 1BD 的一个法向量n →=(1，−1，−1)， 因为M 是线段B 1D 1上一点，设M(a ，a ，1)(0≤a ≤√2)，所以MD →=(−a ，−a ，−1)，所以点M 到平面A 1BD 的距离d =|MD →⋅n →||n →|=|−a+a+1|3=√33．故选：B ．8．如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）A ．76π+1B ．76π+56C ．78π+1D ．π+1解：该组合体的体积V ＝V 球+V 正方体−18V 球=78V 球+V 正方体=78×43π×13+13=7π6+1， 故选：A ．9．已知函数f （x ）＝2sin ωx 在区间[−π3，π4]上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（ ） A ．(−∞，−92]∪[6，+∞) B ．(−∞，−92]∪[32，+∞) C ．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D ．(−∞，−2]∪[32，+∞)解：当ω＞0时，−π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知−π3ω≤−π2，即ω≥32， 当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤−π3ω，由题意知π4ω≤−π2，即ω≤﹣2，综上知，ω的取值范围是(−∞，−2]∪[32，+∞)． 故选：D ．10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，点P 在正方体的表面上运动，且满足MP ⊥CN ，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 可以是棱BB 1的中点 B ．线段MP 的最大值为√32C ．点P 的轨迹是正方形D ．点P 轨迹的长度为2+√5解：在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1，M ，N 分别为BD 1，B 1C 1的中点，则D （0，0，0），M(12，12，12)，N(12，1，1)，C(0，1，0)，所以CN →=(12，0，1)，设P （x ，y ，z ），则MP →=(x −12，y −12，z −12)， 因为MP ⊥CN ，所以12(x −12)+z −12=0，2x +4z −3=0，当x ＝1时，z =14， 当x ＝0时，z =34，取E(1，0，14)，F(1，1，14)，G(0，1，34)，H(0，0，34)， 连结EF ，FG ，GH ，HE ，则EF →=HG →=(0，1，0)，EH →=FG →=(−1，0，12)， 所以四边形EFGH 为矩形， 则EF →⋅CN →=0，EH →⋅CN →=0，即EF ⊥CN ，EH ⊥CN ，又EF 和EH 为平面EFGH 中的两条相交直线， 所以CN ⊥平面EFGH ，又EM →=(−12，12，14)，MG →=(−12，12，14)， 所以M 为EG 的中点，则M ∈平面EFGH ， 所以为使MP ⊥CN ，必有点P ∈平面EFGH ， 又点P 在正方体表面上运动， 所以点P 的轨迹为四边形EFGH ， 因此点P 不可能是棱BB 1的中点， 故选项A 错误；又EF ＝GH ＝1，EH ＝FG =√52，所以EF ≠EH ，则点P 的轨迹不是正方形，且矩形EFGH 的周长为2+2×√52=2+√5， 故选项C 错误，选项D 正确；因为CN →=(12，0，1)，MP →=(x −12，y −12，z −12)，又MP ⊥CN ，则12(x −12)+z −12=0，2x +4z −3=0，所以x =32−2z ，点P 在正方体表面运动，则0≤32−2z ≤1，解得14≤z ≤34，且0≤y ≤1，所以MP =√(x −12)2+(y −12)2+(z −12)2=√5(z −12)2+(y −12)2， 故当z =14或z =34，y ＝0或1时，MP 取得最大值为34，故选项B 错误； 故选：D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．复数z ＝1+2i 的虚部是 2 ，复数z 在复平面内对应的点在第 四 象限．解：复数z ＝1+2i 的虚部是2，z =1−2i ，在复平面对应的点为（1，﹣2）在第四象限． 故答案为：2；四．12．若向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面，则m ＝ 5 ． 解：∵向量a →=(1，2，2)，b →=(3，1，−1)，c →=(−1，3，m)，且a →，b →，c →共面， ∴设a →=x b →+y c →，则（1，2，2）＝（3x ﹣y ，x +3y ，﹣x +my ）， ∴{3x −y =1x +3y =2−x +my =2，解得x =12，y =12，m ＝5． 故答案为：5．13．圆锥的底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积等于 √5π ． 解：∵圆锥的底面半径为1，高为2， ∴母线长为：√12+22=√5，∴圆锥的侧面积为：πrl ＝π×1×√5=√5π， 故答案为：√5π．14．已知在空间直角坐标系O ﹣xyz （O 为坐标原点）中，点A （1，1，﹣1），点B （1，﹣1，1），则z 轴与平面OAB 所成的线面角大小为π4．解：因为O （0，0，0），A （1，1，﹣1），B （1，﹣1，1）， 所以OA →=(1，1，−1)，OB →=(1，−1，1)， 设平面OAB 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 则m →⊥OA →，m →⊥OB →，所以{m →⋅OA →=0m →⋅OB →=0， 即{x +y −z =0x −y +z =0，解得{x =0y =z ，令z ＝1，得x ＝0，y ＝1，所以m →=(0，1，1)， 又z 轴的一个方向向量为n →=(0，0，1)， 设z 轴与平面OAB 的夹角为θ∈[0，π2]，所以sinθ=|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2=√22，所以θ=π4．故答案为：π4．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1；③对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；④M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中所有正确结论的序号是 ①④ ．解：对于①，如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，∴AA1∥平面BB1D1，∵点E是棱AA1上的一个动点，∴点E到平面BB1D1的距离为h=√22，S△BB1D1=12×B1D1×BB1=√22，∴三棱锥B1﹣BED1的体积V=12×S△BB1D1×ℎ=14，故①正确；对于②，当E为棱AA1的中点时，取BD1的中点为F，连接EF，如图，则EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴EF⊥平面BDD1B1，又B1D⊂平面BDD1B1，∴EF⊥B1D，由正方体性质得BDD1B1是矩形，不是正方体，∴BD1⊥B1D不成立，又EF∩BD1＝F，∴不存在点E，使得B1D⊥平面BED1，故②错误；对于③，当E与点A重合时，无论点P在何位置，直线AP与平面BED1相交，故③错误；对于④，根据题意，作图如下，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C⊥平面BDC1，∴A1C⊥DM，设D1G＝x，则A1G=√1+x2，CG=√(1−x)2+1，则△A1GC中，cos∠A1GC=1+x2+x2−2x+2−32√1+x2⋅√x2−2x+2=x2−x√1+x2⋅√x2−2x+2，sin∠A1GC=√1−(2√1+x2⋅√x2−2x+2)2=√2x2−2x+2√1+x2⋅√x2−2x+2，则该截面面积S＝2×12A1G•CG•sin∠A1GC=√2x2−2x+2=√2•√(x−12)2+34，∵x∈[0，1]，当x=12时，S min=√62，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共3小题，共40分.16．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAC⊥平面ABC，∠VCA＝90°，M，N分别为VA，VB的中点．（1）求证：AB∥平面CMN；（2）求证：AB⊥VC．证明：（1）因为M，N分别为的棱VA，VB的中点，所以MN∥AB，又MN⊂平面CMN，AB⊄平面CMN，所以AB∥平面CMN；（2）由∠VCA＝90°知，VC⊥AC，又因为平面VAC⊥平面ABC，平面VAC∩平面ABC＝AC，VC⊂平面VAC，所以VC⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以VC⊥AB．17．（14分）已知函数f（x）＝a sin2x+2cos2x，且满足f（x）的图象过点（−π6，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[−π12，m]上的最大值为3，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）由题意，f（−π6）＝a sin（−π3）+2cos2(−π6)=−√32a+2×34=0，解得a=√3．∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1． ∴f （x ）的最小正周期T =2π2=π； （Ⅱ）由x ∈[−π12，m ]，得2x +π6∈[0，2m +π6]， ∵函数f （x ）在区间[−π12，m ]上的最大值为3， ∴sin （2x +π6）在区间[−π12，m ]上的最大值为1， 则2m +π6≥π2，即m ≥π6． ∴实数m 的取值范围是[π6，+∞）．18．（14分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ＝BC ＝2． （1）求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； （2）求二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值： （3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，若MN ∥平面A 1ACC 1，求A 1N A 1B的值．解：（1）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ， 因为平面ABC ∥平面A 1B 1C 1 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1，又A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以BB 1⊥A 1B 1，且BB 1⊥B 1C 1， 又A 1B 1⊥B 1C 1， 因为BB 1∩B 1C 1＝B 1， 所以A 1B 1⊥平面BBC 1B 1， 因为BC 1⊂平面BBC 1B 1， 所以A 1B 1⊥BC 1，由BB 1＝AA 1＝BC ，则侧面BB 1C 1C 为正方形，所以BC 1⊥B 1C ，因为A 1B 1∩B 1C ＝B 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ， 所以BC 1⊥平面A 1B 1C ．（2）以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，A （0，2，0）C （2，0，0）C 1（2，0，2），B （0，0，0），B 1（0，0，2），A 1（0，2，2）， 所以CA →=(−2，2，0)，CC 1→=(0，0，2)，B 1A 1→=(0，2，0)，B 1C →=(2，0，−2)， 设平面ACC 1A 1的法向量n →=(x 1，y 1，z 1)，则{n →⋅CA →=(x 1，y 1，z 1)⋅(−2，2，0)=−2x 1+2y 1=0n →⋅CC 1→=(x 1，y 1，z 1)⋅(0，0，2)=2z 1=0，取x 1＝1，则y 1＝1，z 1＝0， 所以n →=（1，1，0），设平面B 1A 1C 的法向量m →=(x 2，y 2，z 2)，则{m →⋅B 1C →=(x 2，y 2，z 2)⋅(2，0，−2)=2x 2−2z 2=0m →⋅B 1A 1→=(x 2，y 2，z 2)⋅(0，2，0)=2y 2=0， 取x 2＝1，则y 2＝0，z ＝1， 所以m →=(1，0，1)，设二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的平面角为θ，则|cosθ|=|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=2×2=12，因为二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1为锐二面角， 所以二面角B 1﹣A 1C ﹣C 1的余弦值为12． （3）点M 在线段B 1C 上，且B 1M B 1C=13，点N 在线段A 1B 上，设M （a ，b ，c ），N （x ，y ，z ），设A 1N A 1B=λ，则B 1C →=3B 1M →，A 1N →=λA 1B →，且0≤λ≤1，且A 1B →=(0，−2，−2)，即（2，0，﹣2）＝3（a ，b ，c ﹣2），（x ，y ﹣2，z ﹣2）＝λ（0，﹣2，﹣2）， 解得M(23，0，43)，N （0，2﹣2λ，2﹣2λ）， MN →=(−23，2−2λ，23−2λ)，因为MN ∥平面ACC 1A 1，且n →=(1，1，0)， 所以n →⋅MN →=−23+2−2λ=0，解得λ=23． 所以A 1N A 1B的值为23．四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.19．袋中装有3只黄色、2只白色的乒乓球（其体积、质地完全相同），从袋中随机摸出3个球，摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是35．解：把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，2只白色乒乓球标记为1、2， 从5个球中随机摸出3个球的基本事件为：ABC 、AB 1、AB 2、AC 1、AC 2、A 12、BC 1、BC 2、B 12、C 12，共10个，其中2个黄球1个白球的基本事件为AB 1、AB 2、AC 1、AC 2、BC 1、BC 2，共6个， 所以摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率P =610=35． 故答案为：35．20．声音的等级f （x ）（单位：dB ）与声音强度x （单位：W /m 2）满足f(x)=10×lgx1×10−12．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 108 倍． 解：由f(x)=10×lg x 1×10−12，即y =10×lg x1×10−12， 得声音强度x =10y10×10−12=10−12+y10，设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为x 1，x 2， 所以强度之比x 1x 2=10−12+1401010−12+6010=1014−6=108．故答案为：108．21．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，VA ，VB ，VC 两两垂直，VA ＝VB ＝VC ＝1（单位：dm ），小明同学计划通过侧面VAC 内任意一点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则该截面面积（单位：dm 2）的最大值是√24．解：根据题意，在平面VAC 内，过点P 作EF ∥AC 分别交VA ，VC 于F ，E ， 在平面VBC 内，过E 作EQ ∥VB 交BC 于Q ，在平面VAB 内，过F 作FD ∥VB 交BC 于D ，连接DQ ，如图，∵EF ∥AC ，则∠VEF ＝∠VCA ，∠VFE ＝∠VAC ，∴△VEF ∽△VCA ， 设其相似比为k ，则VF VA=VE VC=EF AC=k ，∵VA ⊥VC ，∴在Rt △VAC 中，AC 2＝VA 2+VC 2， ∵VA ＝VB ＝VC ＝1，∴AC =√2，即EF =√2k ， ∵FD ∥VB ，∴∠AFD ＝∠AVB ，∴AF VA=AD BA=FD VB，∵AF VA=VA−VF VA=1﹣k ，同理△CEQ ∽△AVB ，即CEVC=CQ BC=EQ VB=1﹣k ，∵VB ⊥VC ，VB ⊥VA ，VA ∩VC ＝V ，VA ⊂平面VAC ，VC ⊂平面VAC ， ∴VB ⊥平面VAC ，∵FD ∥VB ，EQ ∥VB ，∴FD ⊥平面VAC ，EQ ⊥平面VAC ，∵EF ⊂平面VAC ，∴FD ⊥EF ，EQ ⊥FE ， ∵BD BA =AB−AD AB =k ，BQ CB=CB−CQ CB=k ，∴BQ BC=BD BA，∵∠B ＝∠B ，∴△BDQ ∽△BAC ，∴DQ ∥AC ， ∵EF ∥AC ，∴EF ∥DQ ，∵FD ⊥EF ，EQ ⊥FE ，∴FD ⊥DQ ，EQ ⊥DQ ，∴四边形FEQD 矩形，即S 矩形FEQD ＝EF •FD ＝（1﹣k ）⋅√2k =−√2（k −12）2+√24，∴由二次函数的性质知当k =12时，S FEQD 有最大值为√24．故答案为：√24． 22．设函数f （x ）={log 2x −a ，x ≥15(x −a)(x −3a)，x ＜1．①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ﹣1 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，0]∪[13，1） ．解：①若a ＝1，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣1，f （x ）在[1，+∞）递增，f （x ）的最小值是f （1）＝﹣1， x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣1）（x ﹣3）＝5（x 2﹣4x +3），f （x ）在（﹣∞，1）递减，f （x ）＞f （1）， 故f （x ）的最小值是﹣1；②a ＝0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ，f （x ）递增，f （x ）有1个零点是x ＝1， x ＜1时，f （x ）＝5x 2，f （x ）有1个零点是x ＝0， 故a ＝0时，f （x ）恰有2个零点，符合题意；a ＞0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣a ，f （x ）递增，f （x ）≥f （1）＝﹣a ＜0，f （x ）在[1，+∞）1个零点，x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣a ）（x ﹣3a ），若f （x ）在（﹣∞，1）恰有1个零点， 则零点是x ＝a ＜1，3a ＞1，解得：13＜a ＜1，a ＜0时，x ≥1时，f （x ）＝log 2x ﹣a ，f （x ）递增，f （x ）≥f （1）＝﹣a ＞0，f （x ）在[1，+∞）0个零点，x ＜1时，f （x ）＝5（x ﹣a ）（x ﹣3a ）恰有2个零点，则x ＝a ＜0，x ＝3a ＜0，符合题意，当a =13时，f （x ）={log 2x −13，x ≥15(x −13)(x −1)，x ＜1，当x ＜1时，函数1个零点是13，当x ＞1时，函数1个零点是√23，共2个零点， 故a =13符合题意，综上，若f （x ）恰有2个零点，则a ≤0或13≤a ＜1，故答案为：﹣1，（﹣∞，0]∪[13，1）．五、解答题：本大题共2小题，共25分. 23．（12分）在△ABC 中，bsin2A =√3asinB ． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC =2√77；条件②：b c =3√34；条件③：cosC =√217注：如果选择的条件不符合要求，第（II ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（Ⅰ）因为b sin2A =√3a sin B ，由正弦定理得，sin B sin2A =√3sin A sin B ， 又B ∈（0，π），所以sin B ≠0，得到sin2A =√3sin A ， 又sin2A ＝2sin A cos A ，所以2sin A cos A =√3sin A ，又A ∈（0，π），所以sin A ≠0，得到cos A =√32，所以A =π6； （Ⅱ）选条件①：sin C =2√77； 由（1）知，A =π6，根据正弦定理知，ca=sinC sinA=2√7712=4√77＞1，即c ＞a ， 所以角C 有锐角或钝角两种情况，△ABC 存在，但不唯一，故不选此条件． 选条件②：bc =3√34； 因为S △ABC =12bc sin A =12bc sin π6=14bc ＝3√3，所以bc ＝12√3，又bc =3√34，得到b =3√34c ，代入bc ＝12√3，得到3√34c 2＝12√3，解得c ＝4，所以b ＝3√3，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（3√3）2+42﹣2×3√3×4×√32=27+16﹣36＝7，所以a =√7．选条件③：cos C =√217； 因为S △ABC =12bc sin A =12bc sin π6=14bc ＝3√3，所以bc ＝12√3，由cos C =√217，得到sin C =√1−cos 2C =√1−2149=2√77， 又sin B ＝sin （π﹣A ﹣C ）＝sin （A +C ）＝sin A cos C +cos A sin C ，由（1）知A =π6， 所以sin B =12×√217+2√77×√32=3√2114， 又由正弦定理得b c=sinB sinC=3√21142√77=3√34，得到b =3√34c ，代入bc ＝12√3，得到3√34c 2＝12√3，解得c ＝4，所以b ＝3√3，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（3√3）2+42﹣2×3√3×4×√32=27+16﹣36＝7，所以a =√7． 24．（13分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，…，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，…，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，…，x n ）和γ＝（y 1，y 2，…，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ． 设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，…，t in ），i ＝1，2，…，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若αi ⋅αj ={p ，i =j ，1，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）． （Ⅰ）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2）？说明理由； （Ⅱ）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明；（Ⅲ）若集合A 具有性质T （n ，p ），证明：t 1j +t 2j +…+t nj ＝p （j ＝1，2，…，n ）．解：（Ⅰ）∵（1，1，0）•（1，1，0）＝1×1+1×1+0×0＝2，同理可得（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2， 而（1，1，0）•（1，0，1）＝1×1+1×0+0×1＝1，同理可得（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1，∴集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}具有性质T （3，2）； （Ⅱ）当n ＝4时，集合A 的元素有4个，由题可知p ∈{0，1，2，3，4}， 假设集合A 具有性质T （4，p ），则①当p ＝0时，A ＝{（0，0，0，0）}，矛盾；②当p ＝1时，A ＝{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}，不具有性质T （4，1），矛盾；③当p＝2时，A＝{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}，∵（1，1，0，0）和（0，0，1，1）至多一个在A中；（1，0，1，0）和（0，1，0，1）至多一个在A 中；（1，0，0，1）和（0，1，1，0）至多一个在A中，故集合A的元素个数小于4，矛盾；④当p＝3时，A＝{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，不具有性质T（4，3），矛盾；⑤p＝4时，A＝{（1，1，1，1）}，矛盾，综合可得：不存在具有性质T（4，p）的集合A；（Ⅲ）证明：设c j＝t1j+t2j+…t nj（j＝1，2，…，n），则c1+c2+…+c n＝np，若p＝0，则A＝{（0，0，…，0）}，矛盾；当p＝1时，A＝{（1，0，0，…，0）}，矛盾，故p≥2，假设存在j使得c j≥p+1，不妨设j＝1，即c1≥p+1，当c1＝n时，有c j＝0或c j＝1（j＝2，3，…，n）成立，∴α1，α2，…，αn中分量为1的个数至多有n+（n﹣1）＝2n﹣1＜2n≤np，当p+1≤c1＜n时，不妨设t11＝t21＝…＝t p+1，1＝1，t n1＝0，∵αn•αn＝p，∴αn的各分量有p个1，不妨设t n2＝t n3＝…＝t n，p+1＝1，由i≠j时，αi•αj＝1可知：∀q∈{2，3，…，p+1}，t1q，t2q，…t p+1，q中至多有一个1，即α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，至多含有p+1+p＝2p+1个1，又αi•αn＝1（i＝1，2，…，p+1），则α1，α2，…αp+1的前p+1个分量中，含有（p+1）+（p+1）＝2p+2个1，矛盾，∴c j≤p（j＝1，2，…，n），∵c1+c2+…+c n＝np，∴c j＝p（j＝1，2，…，n），∴t1j+t2j+…+t nj＝p（j＝1，2，…，n）．第21页（共21页）。

2018年海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B. D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期； ② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

981(21)d x x +=⎰___________.29. 已知数列{}n a 为等比数列，若13245,10a a a a +=+=，则公比q =____________.2 10. 已知23log 5,23,log 2b a c ===，则,,a b c 的大小关系为____________.a b c >>11. 函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示，则ω=______________，ϕ=__________.2π3,π612. 已知ABC ∆是正三角形， 若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90，则实数λ的取值范围是__________.2λ>13. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：① 当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =，则123x x x ++= ；若(1,3)a ∈，则122n x x x +++=________________.答案：14；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

海淀区2018-2019学年高三年级第一学期期中练习物理反馈试题最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定最新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

题名。

1A ．如图1所示，用三段不可伸长的同种轻质细绳OA 、OB 、OC 共同悬挂一重物使其静止，其中OA 与竖直方向的夹角为30°，OB 沿水平方向，A 端、B 端固定。

若逐渐增加C 端所挂物体的质量，则最先断的绳（A ）A ．必定是OAB ．必定是OBC ．必定是OCD ．OA 、OB 、OC 同时1B ．如图1所示，用三段不可伸长的轻质细绳OA 、OB 、OC 共同悬挂一重物使其静止，其中OA 绳与水平之间的夹角为θ，OB 绳是水平的，A 端、B 端固定。

若分别用F A 和F B 表示OA 和OB 绳上的拉力大小，则下列判断中正确的是（B ）A ．F A =mg cos θB ．F B =mgcot θC ．F A =mgsin θD ．F B =mg/sin θ1C ．如图1所示，用三段不可伸长的轻质细绳OA 、OB 、OC 共同悬挂一重物使其静止，其中A 端固定，OA 绳与水平之间的夹角为θ。

最初OB 绳是水平的，现保持θ角不变，将OB 绳的B 端逐渐向上移动，在B 端到达O 点正上方的过程中，若分别用F A 和F B 表示OA 和OB 绳上的拉力大小，则下列判断中正确的是（D ）A ．F A 先变大后变小，FB 先变小后变大B ．F A 先变小后变大，F B 先变小后变大C ．F A 一直变小，F B 先变大后变小D ．F A 一直变小，F B 先变小后变大2．在2016年的夏季奥运会上，我国跳水运动员获得多枚奖牌，为祖国赢得荣誉。

高台跳水比赛时，运动员起跳后在空中做出各种动作，最后沿竖直方向进入水中。

2018-2019 学年北京市海淀区高三（上）期中物理试卷副标题题号一二三四五总分得分一、单选题（本大题共 4 小题，共12.0 分）1.如图所示，一条不可伸长的轻绳一端固定于悬点O，另一端连接着一个质量为 m 的小球。

在水平力 F 的作用下，小球处于静止状态，轻绳与竖直方向的夹角为θ，已知重力加速度为 g，则下列说法正确的是（）A. 绳的拉力大小为mgtan θB. 绳的拉力大小为 mgcos θC. 水平力F大小为mgtanθD. 水平力F大小为mgcosθ2.一列简谐横波沿 x 轴传播，某时刻的波形如图所示，其中a、 b、 c 为三个质点，此时质点 a 在平衡位置，且向上运动，由此可知下列说法正确的是（）A. 该波沿x轴正方向传播B. a的振幅为零C. 该时刻以后，b和c始终有相同的加速度D. 该时刻以后，c比b先到平衡位置3.在“验证力的平行四边形定则”实验中，将轻质小圆环挂在橡皮条的一端，橡皮条的另一端固定在水平木板上的A点，圆环上有绳套。

实验中先用两个弹簧测力计分别勾住绳套，并互成角度地拉圆环，将圆环拉至某一位置O，如图所示。

再只用一个弹簧测力计，通过绳套把圆环拉到与前面相同的位置O．关于此实验，下列说法正确的是（）A.橡皮条、弹簧测力计和绳应位于与纸面平行的同一平面内B.实验中只需记录弹簧测力计的示数C. 用平行四边形定则求得的合力方向一定沿AO 方向D. 两弹簧测力计之间的夹角应取90°，以便计算合力的大小4.某同学以一定的初速度竖直向上抛出一小球。

以抛出点为零势能点，不计空气阻力，小球可视为质点，图 7 所示图线中，能反映小球从抛出到落回抛出点的过程中，其动能Ek 或重力势能E p随时间 t 变化关系的是（）A. B.C. D.二、多选题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）5.如图所示， 水平放置的转盘以角速度 ω匀速转动， 放在转 盘上的质量为 m 的小物体跟着转盘一起做匀速圆周运动。

北京市海淀区2024-2025学年高三上学期10月考试数学试卷一、单选题1．设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ） A ．0B ．1-C ．0或1-D ．0或12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 3．已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<4．设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A B ．1C D ．25．下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A ．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=6．已知向量()3,4a =r ，()1,0b =r ，c a tb =+r r r ，若,,a c b c =r r r r 则实数t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．67．函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数 B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数 C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数8．已知函数()00x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),1∞--B ．(],1-∞-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞-9．已知a v 、b v 、e v 是平面向量，e v 是单位向量．若非零向量a v 与e v 的夹角为3π，向量b v 满足2430b e b -⋅+=v v v ，则a b -v v 的最小值是A 1B 1C ．2D ．210．已知函数()f x k =，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0]-C ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦二、填空题11．已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =． 13．若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是14．若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =，()f x 的一个对称中心为 15．对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈ ③()1f x x x=+，（x ∈ 0,+∞ ） ④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题16．在ABC V 中，sin A B ，b ①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题： (1)求角B 的大小； (2)求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17．已知n S 是等差数列 a n 的前n 项和，51120S a ==，数列 b n 是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式； (2)设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值. 18．已知函数π3()6sin()62cos f x x x =-+．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19．1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20．已知函数()e sin 2xf x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；(3)设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由. 21．已知数列 a n 记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N L(1)对于数列 a n ：1,2,3，列出集合T 的所有元素；(2)若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b L L 若2020m b ≤，求m 的最大值.。

2018～2019学年度初三年级数学第一学期期中检测（考试时间：120分钟 分值：150分）一、选择题（本大题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将答案序号填在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．） 1. 方程x 2+x= 的解是 （ ） A ．x=0 B ．x=1 C ． x 1=0，x 2=1 D ． x 1=0，x 2=﹣1 2. 关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A.2B.1C.0D.−1 3. 已知关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有一个根是－n(n ≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是 （ ） A ．n ＋m B ．n / m C ．n －m D ．nm 4. 对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试,他们的成绩通过计算得:甲x =乙x ，2甲S =0.026, 2乙S =0.025,下列说法正确的是 （ ）A.甲短跑成绩比乙好B.乙短跑成绩比甲好C.甲比乙短跑成绩稳定D.乙比甲短跑成绩稳定 5．圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为 （ ）A ．24πcm 2B ．36πcm 2C ．48πcm 2D ．72πcm 26. 如图，一个直角三角形ABC 的斜边AB 与量角器的零刻度线重合，点D 对应56°，则∠BCD 的度数为 （ ）A ．28°B ．56°C ．62°D ．64°7. 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D,DE ⊥AC 于E,连接AD,则下列结论正确的个数是 ( )①AD ⊥BC ②∠EDA=∠B ③2OA=AC ④DE 是⊙O 的切线 A ．1 个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个8. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=3，分别以A 、D 为圆心，1为半径画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第6题图 第7题图 第8题图二、填空题（本大题共10小题．每小题4分，共40分．请将答案填在答题卡相应的位．．．．．．．．．．．．．置上．．）9. 如果一组数据－2，0，1，3，x的极差是7，那么x的值是．10. 已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为．11.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为．12.若⊙O的直径是4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是．13.如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是．14.如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝．15.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE=56°，则α＝．第13题图第14题图第15题图16.如图，△ABC的内切圆O与边BC切于点D，若∠BOC＝135°，BD＝3，CD＝2，则△ABC的面积为＝．17.如图正方形ABCD的边长为3，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE第16题图第17题图第18题图三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19. (本题满分8分) 解下列方程：（1）（x+1）2= 9 （2）x2﹣2x﹣2=020．（本题满分9分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的跳水运动员人数为多少？求出图①中m的值；（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.21．(本题满分9分)已知□ ABCD两邻边是关于x的方程x2﹣mx+m﹣1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么□ ABCD的周长是多少？22．(本题满分9分)某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，但售价不能超过70元．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？23．（本题满分9分）在半径为17dm 的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图． ①若油面宽AB=16dm ，求油的最大深度．②在①的条件下，若油面宽变为CD=30dm ，求油的最大深度上升了多少dm ？24．(本题满分9分) 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧. （1）画出圆弧所在圆的圆心P ； （2）过点B 画一条直线，使它与该圆弧相切；（3）连结AC ，求线段AC 和弧AC 围成的图形的面积．25．（本题满分10分）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，点D 是AB 延长线上的一点，AE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，AC 平分∠DAE ．（1）DE 与⊙O 有何位置关系？请说明理由． （2）若AB=6，CD=4，求CE 的长．26．（本题满分10分）在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为2cm 的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．27.（本题满分13分）如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在x轴的正半轴上，OA 边在直线x y 33=上，AB 边在直线233+-=x y 上． （1）直接写出：线段OA= ，∠AOC= ；（2）在对角线OB 上有一动点P ，以O 为圆心，OP 为半径画弧MN ，分别交菱形的边OA 、OC 于点 M 、N ，作⊙Q 与边AB 、BC 、弧MN 都相切，⊙Q 分别与边AB 、BC 相切于点D 、E ，设⊙Q 的半径为r ，OP 的长为y ，求y 与r 之间的函数关系式，并写出自变量r 的取值范围；（3）若以O 为圆心、OA 长为半径作扇形OAC ，请问在菱形OABC 中，在除去扇形OAC 后的剩余部分内，是否可以截下一个圆，使得它与扇形OAC 刚好围成一个圆锥，若可以，求出这个圆的半径，若不可以，说明理由．2018-2019学年度第一学期第二次质量调研测试初三数学参考答案（考试时间：120分钟分值：150分）二、填空题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）．9. 5或-4， 10. 1， 11. 2017 12. 相离, 13. 2,14. 75°, 15. 52°, 16. 6, 17. 23， 18. 43π三、解答题（本大题共9大题，共86分．请将答案．．．．．．．．．．，解答时应．．．．写在答题卡相应的位置上写出必要的计算过程，推演步骤或文字说明．作图时用铅笔）19.（1）x1=2，x2=﹣4 （4分）（2）x1=1+，x2=1﹣；（4分）20.（1）4÷10%=40（人），…………………2分m=100-27.5-25-7.5-10=30；答为40人，m=30．…………………4分（2）平均数=（13×4+14×10+15×11+16×12+17×3）÷40=15，…………………6分16出现12次，次数最多，众数为16；…………………7分按大小顺序排列，中间两个数都为15，（15+15）÷2=15，中位数为15．…………………9分21.（1）若四边形为菱形，则方程两实根相等．∴△=m2﹣4（m﹣1）=0 …………………1分∴m2﹣4m+4=0∴m1=m2=2 …………………3分∴方程化为x2﹣2x+1=0解得：x1=x2=1∴菱形边长为1．…………………5分（2）由AB=2知方程的一根为2，将x=2代入得，4﹣2m﹣1=0，解得：m=3 …………………6分此时方程化为：x2﹣3x+2=0，解得（x﹣1）（x﹣2）=0解得：x1=1，x2=2 …………………8分∴平行四边形ABCD的周长=2×（1+2）=6．…………………9分22．(本题满分9分)设售价定为x元[600−10(x−40)](x−30)=10000 ……………………3分整理,得x2−130x+4000=0解得：x1=50，x2=80…………………………7分∵x≤70∴x=50 ………………………… 8分答：台灯的售价应定为50元。

2018～2019学年度第一学期期中质量调研九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根2．一个长方形的面积为210 cm 2，宽比长少7 cm.设它的宽为x cm ，则可得方程（ ）A ．2（x ＋7）＋2x ＝210B ．x ＋（x ＋7）＝210C ．x （x －7）＝210D ．x （x ＋7）＝2103．有两个一元二次方程：①02=++c bx ax ，②02=++a bx cx ，其中a ＋c ＝0， 以下四个结论中，错误的是（ ） A ．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根； B ．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是x=1；C ．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根；D ．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异；4．若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表： x-7 -6 -5 -4 -3 -2 y-27-13-3353则当0=x 时，y 的值为（ ）A ．5B ．-3C ．-13D ．-275．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，反比例函数x ay =与正比例函数x c b y )(+=在同一坐标系中的大致图象可能是A B C D 6．如果将抛物线2y x =向左平移4个单位，再向下平移2个单位后，那么此时抛物线的表达式是（ ）． A ．2(4)2y x =--B ．2(4)2y x =-+C ．2(4)2y x =+-D ．2(4)2y x =++xxxxxyyyyy2018.107．若1(4,)A y -，1(3,)B y -，1(1,)C y 为二次函数242y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<8．如图，Rt OAB △的顶点(2,4)A -在抛物线2y ax =上，将Rt OAB △绕点O 顺时针旋转90︒，得到OCD △，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）． A ．(2,2)B ．(2,2)C ．(2,2)D ．(2,2)（第8题） （第9题） （第10题）9．如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，6cm AC =，2cm BC =，点P 在边AC 上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB 上，从点C 向点B 移动，若点P ，Q 均以1cm/s 的速度同时出发，且当一点移动终点时，另一点也随之停止，连接PQ ，则线段PQ 的最小值是（ ）． A ．20cmB ．18cmC ．25cmD ．32cm10．如图，正方形OABC 的边长为2，OA 与x 轴负半轴的夹角为15︒，点B 在抛物线2(0)y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）． A ．12-B ．26-C ．2-D ．23-二、填空题（每小题3分，共24分）11．将一元二次方程(2)(1)3x x -+=化成一般形式，且使得二次项系数为正数，则化成一般形式后的一元二次方程是 .12．已知关于x 的方程x 2＋3x ＋a ＝0的一个根为－4，则另一个根为 ．13．某药品原价每盒64元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒36元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 14．若抛物线y ＝x 2－k x ＋k －1的顶点在x 轴上，则k ＝ ．15．若抛物线2(2)3y x m x =-+-+的顶点在y 轴上，则m =__________．16．若抛物线的顶点坐标为(2,9)，且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为________．17．二次函数22y x ax a =-+在 03x ≤≤的最小值是－2，则a =__________18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx 交x 轴的负半轴于点A ．点B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ．若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为 ．三、解答题（共76分）19．⑴ 2(3)5x -= ⑵ 01422=+-x x⑶ 03322=--x x⑷03)32=+--x x （ 20．（6分）已知关于x 的方程x 2＋8x ＋12－a ＝0有两个不相等的实数根．⑴ 求a 的取值范围；⑵ 当a 取满足条件的最小整数时，求出方程的解．21．（6分）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝4．点P 、Q 分别从点A 、出发，点P 沿A →C 的方向以每秒1个单位长的速度向点C 运动，点Q 沿B →向以每秒2个单位长的速度向点C 运动．当其中一个点先到达点C 时，点P 、运动．当四边形ABQP 的面积是△ABC 面积的一半时，求点P 运动的时间．Q BP22．（8分）某工厂设计了一款工艺品，每件成本40元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是80元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于65元．如果降价后销售这款工艺品每天能盈利3000元，那么此时销售单价为多少元？我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率．（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？24．（本题满分10分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （单位：个）与销售单价x （单位：元）有如下关系：60(3060)y x x =-+≤≤．设这种双肩包每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数解析式．（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？25．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为(3,0)，OB OC =，13OA OC =． （1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，若点(2,)G y 是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG △的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG △的最大面积．26．已知关于x 的一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0有实数根． （1）求m 的值；（2）先作y=x2﹣（m+1）x+（m2+1）的图象关于x 轴的对称图形，然后将所作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；（3）在（2）的条件下，当直线y=2x+n （n≥m ）与变化后的图象有公共点时，求n2﹣4n 的最大值和最小值．27．（本题满分10分）已知二次函数22y ax bx =+-的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(4,0)，且当2x =-和5x =时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值．（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动，当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将AEF △沿EF 翻折，使点A 落在点D处，得到DEF △．①是否存在某一时刻t ，使得DCF △为直角三角形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．②设DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式．参考答案及评分意见一、选择题 1-5 BDBCB ；6.【答案】C ；【解析】22242(4)(4)2y x y x y x =−−−−→=+−−−−→=+-向左平移向下平移个单位个单位． 故选C ． 7.【答案】B ；【解析】二次函数2242(2)6y x x x =+-=+-，∴对称轴2x =-， ∴当14x =-，23x =-，31x =时，213y y y <<．故选B ．8.【答案】C ；【解析】将(2,4)A -代入2y ax =中得：1a =，∴2y x =， 由题意知，2OB =，4BA =，∴2OD =，将2y =代入2y x =得，2x =±， ∴(2,2)P ．故选C ．9.【答案】C ；【解析】由题意知，AP t =，CQ t =，6CP t =-，222222(6)21236PQ PC CQ t t t t =+=-+=-+22(3)18t =-+，又∵02t ≤≤，故2t =时，220PQ =最小， 此时25PQ =．故选C ．10.【答案】B ；【解析】∵正方形OABC 的边长为2，∴22OB =，由题意知，15AOB =︒∠，∴30COB =︒∠，∴2BC =，6OC =，故(6,2)B --， 代入2y ax =中得：26a -=，26a =-．故选B ．二、填空题11．012=+-x x ； 12．1； 13．25%； 14．K=2；15．【答案】2；【解析】由题意知：对称轴202m x -==，解得2m =． 16．【答案】2(2)9y x =--+；【解析】∵抛物线在x 轴上截得的线段长为6，且对称轴为2x =， ∴抛物线与x 轴的两交点为(1,0)-，(5,0)，设2(2)9y a x =-+，将(5,0)代入得：1a =-， ∴2(2)9y x =--+．分分分分 分20． ⑴ 根据题意得：0)12482>--a （解得:4->a⑵ ∵ 4->a ∴ 最小的整数为﹣3 ------------------------------------------------------------ ∴ x 2＋8x ＋12﹣（﹣3）＝0 即：x 2＋8x ＋15＝0解得：x 1＝－3，x 2＝－521．设点P 运动了x 秒，则AP ＝x ，BQ ＝2x由AC ＝4，BC ＝6得：PC ＝4－x ，QC ＝6－2xP根据题意得：ABC ABQP S S △四边形21= ∴ ABC PQC S S △△21= ∵ ∠C ＝90 ∴642121)26)4(21⨯⨯⨯=⋅-⋅x x －（ 解得：11=x ，62=x 经检验，x ＝6舍去答：点P 运动的时间是1秒．22．解：设降价x 元后销售这款工艺品每天能盈利3000元. 根据题意可得：3000)550)(4080(=+--x x解这个方程得：201021==x x ，（不合题意，舍去） 当x ＝10时，80－x ＝70>65；当x ＝20时，80－x ＝60<65（不符合题意，舍去）答：此时销售单价应定为75元.23．【解析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x ，则：22(1) 2.88x +=， 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去） 故这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业的年利润为 2.88(120%) 3.456+=，3.456 3.4>，故该企业2017年的利润能超过3.4亿元． 24．【解析】（1）(30)w x y =-⋅(60)(30)x x =-+-2901800x x =-+-，w 与x 之间的函数解析式：2901800w x x =-+-．（2）根据题意得：22901800(45)225w x x x =-+-=--+， ∵10-<，当45x =时，w 有最大值，最大值是225．（3）当200w =时，2901800200x x -+-=，解得140x =，250x =， ∵5048<，250x =不符题意，舍去，故销售单价应定为40元． 25．【解析】（1）由已知得：(0,3)C -，(1,0)A -，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得09303a b c a b c C -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，∴223y x x =--．（2）存在．∵(1,4)D -，∴直线CD 的解析式为：3y x =--，∴E 点的坐标为(3,0)-， 由A 、C 、E 、F 四点的坐标得：2AE CF ==，AE CF ∥，∴以A 、C 、E 、F 为顶点，的四边形为平移四边形，∴存在点F ，坐标为(2,3)-． （3）过点P 作y 轴的平行线与AG 交于点Q ，易得(2,3)G -，直线AG 为1y x =--， 设2(,23)P x x x --，则(,1)Q x x -，22PQ x x =-++，21(22)32APG APQ GPQ S S S x x =+=-++⨯△△△，当12x=时，APGS△最大，此时115,24P⎛⎫-⎪⎝⎭，APGS△最大为278．26.解：（1）对于一元二次方程x2﹣（m+1）x+（m2+1）=0，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有实数根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，图象如图所示：平移后的解析式为y=﹣（x+2）2+2=﹣x2﹣4x﹣2．（3）由消去y得到x2+6x+n+2=0，由题意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n ≤m ，m =1， ∴1≤n ≤7，令y ′=n 2﹣4n =（n ﹣2）2﹣4，∴n =2时，y ′的值最小，最小值为﹣4， n =7时，y ′的值最大，最大值为21， ∴n 2﹣4n 的最大值为21，最小值为﹣4．27．【解析】（1）由题意得：164204222552a b a b a b +-=⎧⎨--=+-⎩，解得：12a =，32b =-．（2）①由（1）知213222y x x =--，∵(4,0)A ，∴(1,0)B -，(0,2)C ，∴4OA =，1OB =，2OC =，∴5AB =，25AC =，5BC =， ∴22225AC BC AB +==，∴ABC △为Rt △，且90ACB =︒∠，∵2AE t =，5AF t =，52AF AB AE AC ==，又∵EAF CAB =∠∠，∴AEF ACB △∽△， ∴90AEF ACB ==︒∠∠，∴翻折后，A 落在D 处，∴DE AE =，∴24AD AE t ==，12EF AE t ==， 若DCF △为Rt △，点F 在AC 上时，i ）∴若C 为直角顶点，则D 与B 重合，∴1522AE AB ==，55224t =÷=，如图2 ii ）若D 为直角顶点，∵90CDF =︒∠，∴90ODC EDF +=︒∠∠，∵EDF EAF =∠∠，∴90OBC EAF +=︒∠∠，∴ODC OBC =∠∠，∴BC DC =， ∵OC BD ⊥，∴1OD OB ==，∴3AD =，∴34AE =，∴34t =，如图3 当点F 在AC 延长线上时，90DFC >︒∠，DCF △为钝角三角形，综上所述，34t =或54．②i ）当504t <≤时，重叠部分为DEF △，∴2122S t t t =⨯⨯=．ii ）当524t <≤时，设DF 与BC 相交于点G ，则重叠部分为四边形BEFG ，如图4，过点G 作GH BE ⊥于H ，设GH x =，则2x BH =，2DH x =，∴32xDB =，∵45DB AD AB t =-=-，∴3452x t =-，∴2(45)3x t =-，∴1122(45)(45)223DEF DBG S S S t t t t ===⨯⨯--⨯-△△2134025533t t =-+-．iii ）当522t <≤时，重叠部分为BEG △，如图5，∵2(45)52BE DE DB t t t =-=--=-，22(52)GE BE t ==-，∴21(52)2(52)420252S t t t t =⨯-⨯-=-+．。

2018-2019学年北京市海淀区七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.4的算术平方根是（）A. 16B. ±2C. 2D. √22.在平面直角坐标系中，点P（-3，2）在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A. B.C. D.4.如图所示，AB∥CD，若∠1=144°，则∠2的度数是（）A. 30∘B. 32∘C. 34∘D. 36∘5.在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法，这种画平行线方法的依据是（）A. 内错角相等，两直线平行B. 同位角相等，两直线平行C. 两直线平行，内错角相等D. 两直线平行，同位角相等6.如图，平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的面积是（）A. 4B. 5C. 6D. 77.小明和妈妈在家门口打车出行，借助某打车软件，他看到了当时附近的出租车分布情况．若以他现在的位置为原点，正东、正北分别为x轴、y轴正方向，图中点A 的坐标为（1，0），那么离他最近的出租车所在位置的坐标大约是（）A. (3.2,1.3)B. (−1.9,0.7)C. (0.7,−1.9)D. (3.8,−2.6)8.我们知道“对于实数m，n，k，若m=n，n=k，则m=k”，即相等关系具有传递性．小敏由此进行联想，提出了下列命题：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余．其中正确的命题是（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③9.如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值x后，输出的y值为4，则输入的x值可能为（）A. 1B. 6C. 9D. 1010.根据表中的信息判断，下列语句中正确的是x1515.115.215.315.415.515.615.715.815.916 x2225228.01231.04234.09237.16240.25243.36246.49249.64252.81256（）A. √25.281=1.59B. 235的算术平方根比15.3小C. 只有3个正整数n满足15.5<√n<15.6D. 根据表中数据的变化趋势，可以推断出16.12将比256增大3.19二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.将点A（-1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为______．12.如图，数轴上点A，B对应的数分别为-1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数______．13.如图，直线a，b相交，若∠1与∠2互余，则∠3=______．14.依据图中呈现的运算关系，可知a=______，b=______．15.平面直角坐标系xOy中，已知线段AB与x轴平行，且AB=5，若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标是______．16.一副直角三角板如图放置，其中∠C=∠DFE=90°，∠A=45°，∠E=60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是______．17.如图，电子宠物P在圆上运动，点O处设置有一个信号转换器，将宠物P的位置信号沿着垂直于线段OP的方向OQ传送，被信号接收板l接收．若传送距离越近，接收到的信号越强，则当P点运动到图中______号点的位置时，接收到的信号最强（填序号①，②，③或④）．18.若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交．回答下列问题：（1）如图1，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域______时，线段PQ与AB相交（直接填写区域序号）；（2）在设计印刷线路板时，常常会利用折线连接元件，要求所有连线不能相交．如图2，如果沿着图中的格线连接印有相同字母的元件，那么一共有______种连线方案．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）19. 有一张面积为100cm 2的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为5：3，面积为150cm 2，能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请通过计算说明你的判断．四、解答题（本大题共8小题，共50.0分）20. 计算：（1）√(−4)2+（√13）2-√83； （2）√2(3−√2)−5√2．21. 求出下列等式中x 的值：（1）12x 2=36；（2）x 38−3=38．22.下图是北京市三所大学位置的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（-3，2）．（1）请在图中画出平面直角坐标系，并写出北京语言大学的坐标：______；（2）若中国人民大学的坐标为（-3，-4），请在坐标系中标出中国人民大学的位置．23.如图，点D，点E分别在∠BAC的边AB，AC上，点F在∠BAC内，若EF∥AB，∠BDF=∠CEF．求证：DF∥AC．24.已知正实数x的平方根是m和m+b．（1）当b=8时，求m；（2）若m2x+（m+b）2x=4，求x的值．25.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（a，a-3），其中a为整数．点C在线段AB上，且点C的横纵坐标均为整数．（1）当a=1时，画出线段AB；（2）若点C在x轴上，求出点C的坐标；（3）若点C纵坐标满足1＜y＜√5，直接写出a的所有可能取值：______．26.如图，已知AB∥CD，点E是直线AB上一个定点，点F在直线CD上运动，设∠CFE=α，在线段EF上取一点M，射线EA上取一点N，使得∠ANM=160°．时，α=______；（1）当∠AEF=a2（2）当MN⊥EF时，求α；（3）作∠CFE的角平分线FQ，若FQ∥MN，直接写出α的值：______．27.对于平面直角坐标系xOy中的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），给出如下定义：，1），B（2，1）若x1x2=1，y1y2=1，则称点A，B互为“倒数点”．例如，点A（12互为“倒数点”．（1）已知点A（1，3），则点A的倒数点B的坐标为______；将线段AB水平向左平移2个单位得到线段A′B′，请判断线段A′B′上是否存在“倒数点”．______（填“是”或“否”）；（2）如图所示，正方形CDEF中，点C坐标为（12，12），点D坐标为（32，12），请判断该正方形的边上是否存在“倒数点”，并说明理由；（3）已知一个正方形的边垂直于x轴或y轴，其中一个顶点为原点，若该正方形各边上不存在“倒数点”，请直接写出正方形面积的最大值：______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵2的平方为4，∴4的算术平方根为2．故选：C．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．2.【答案】B【解析】解：点P（-3，2）在第二象限，故选：B．根据各象限内点的坐标特征解答即可．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．3.【答案】D【解析】解：根据垂线段的定义可知，过点B画线段AC所在直线的垂线段，可得：故选：D．垂线段满足两个条件：①经过点B．②垂直于AC；由此即可判断．本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．4.【答案】D【解析】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CAB=144°，∵∠2+∠CAB=180°，∴∠2=180°-∠CAB=36°，故选：D．根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质的应用，能求出∠1+∠2=180°是解此题的关键．5.【答案】B【解析】解：有平行线的画法知道，得到同位角相等，即同位角相等两直线平行．∴同位角相等两直线平行．故选：B．根据平行线的判定定理即可得到结论．本题考查了作图-复杂作图，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：根据题意得：平移折线AEB，得到折线CFD，则平移过程中扫过的图形为矩形ABCD，所以其面积为2×3=6，故选：C．根据平移的性质确定平移过程中扫过的图形的形状，从而确定面积；考查了平移的性质，能够确定平移形成的图形是确定面积的基础，难度不大．7.【答案】B【解析】解：由图可知，（-1.9，0.7）距离原点最近，故选：B．根据平面直角坐标系的定义建立平面直角坐标系，然后根据象限特点解答即可．本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的定义和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法．8.【答案】A【解析】解：①a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c，是真命题．②a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，是假命题．③若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α=∠γ，是假命题；故选：A．根据平行线的判定、垂直和互余进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9.【答案】D【解析】解：A．将x=1代入程序框图得：输出的y值为1，不符合题意；B．将x=6代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；C．将x=9代入程序框图得：输出的y值为3，不符合题意；D．将x=10代入程序框图得：输出的y值为4，符合题意；故选：D．将各个选项的x的值代入程序框图得输出的y值，依次进行判断即可．此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．10.【答案】C【解析】解：A．根据表格中的信息知：，∴=1.59，故选项不正确；B．根据表格中的信息知：＜，∴235的算术平方根比15.3大，故选项不正确；C．根据表格中的信息知：15.52=240.25＜n＜15.62=243.36，∴正整数n=241或242或243，∴只有3个正整数n满足15.5，故选项正确；D．根据表格中的信息无法得知16.12的值，∴不能推断出16.12将比256增大3.19，故选项不正确．故选：C．根据表格中的信息可知x2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．11.【答案】（-1，7）【解析】解：将点A（-1，4）向上平移三个单位，得到点A′，则A′的坐标为（-1，7），故答案为：（-1，7），直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．本题考查了坐标与图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．12.【答案】√3（答案不唯一，无理数在-1与2之间即可）【解析】解：由C点可得此无理数应该在-1与2之间，故可以是，故答案为：（答案不唯一，无理数在-1与2之间即可），根据无理数的估计解答即可．此题考查实数与数轴，关键是根据无理数的估计解答．13.【答案】135°【解析】解：∵∠1与∠2互余，∠1=∠2，∴∠1=∠2=45°，∴∠3=180°-45°=135°，故答案为：135°．依据∠1与∠2互余，∠1=∠2，即可得到∠1=∠2=45°，进而得出∠3的度数．本题主要考查了余角，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．14.【答案】-2019 -2019【解析】解：依据图中呈现的运算关系，可知2019的立方根是m，a的立方根是-m，∴m3=2019，（-m）3=a，∴a=-2019；又∵n的平方根是2019和b，∴b=-2019．故答案为：-2019，-2019．利用立方根和平方根的定义及性质即可解决问题．本题考查了立方根和平方根的定义及性质，熟练掌握定义及性质是解题的关键．15.【答案】（-2，2）或（8，2）【解析】解：∵线段AB与x轴平行，∴点B的纵坐标为2，点B在点A的左边时，3-5=-2，点B在点A的右边时，3+5=8，∴点B的坐标为（-2，2）或（8，2）．故答案为：（-2，2）或（8，2）．根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，再分点B在点A的左边与右边两种情况讨论求解．本题考查了坐标与图形性质，熟记平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键，难点在于要分情况讨论．16.【答案】15°【解析】解：∵DF∥BC，∴∠FDB=∠ABC=45°，∴∠EDB=∠DFB-∠EDF=45°-30°=15°，故答案为15°．利用平行线的性质即可解决问题．本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】①【解析】解：根据垂线段最短，得出当OQ⊥直线l时，信号最强，即当当P点运动到图中①号点的位置时，接收到的信号最强；故答案为：①．根据垂线段最短得出即可．本题考查了直角三角形的性质和垂线的性质，能知道垂线段最短是解此题的关键．18.【答案】② 6【解析】解：（1）当点Q落在区域②时，线段PQ与AB相交；（2）点A沿向上两个格、向右三个格、向下一个格连接，也可以沿向上两个格、向右两个格、向下一个格、向右一个格连接，两种方法；点B沿向下两个格、向右一个格连接，或向下一个格、向右一个格、向下一个格连接，或向右一个格、向下两个格连接，或向右一个格、向下一个格、向左一个格、向下一个格、向右一个格连接，共四种方法；点C只有一种连接方法，所以共6种方法．故答案为：②，6．（1）由相交线的定义可以找到点Q所在的区域；（2）因为要求所有连线不能相交，所以可按图示6种方法连接．本题考查了直线、射线、线段的画法，掌握它们的定义是解题的关键．19.【答案】解：设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．由题意得：5x•3x=150，解得：x=√10（负值舍去）所以长方形信封的宽为：3x=3√10，∵√100=10，∴正方形贺卡的边长为10cm．∵（3√10）2=90，而90＜100，∴3√10＜10，答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中．【解析】设长方形信封的长为5xcm，宽为3xcm．根据长方形的面积列出关于x的方程，解之求得x的值，再由其宽和长与10的大小可得答案．本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据长方形的面积得出关于x的方程．−220.【答案】解：（1）原式=4+13=73（2）原式=3√2−2−5√2=−2−2√2．【解析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据实数的混合计算解答即可．此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答．21.【答案】解：（1）x2=3∴x=±√3（2）x3-24=3x3=27∴x=3【解析】（1）根据等式的性质方程两同时除以12，再由平方根的定义问题可解．（2）方程可先去分母，得x3-24=3，再移项合并同类项，最后根据立方根定义可求解．本题考查用平方根，立方根定义法解方程，理解平方根，立方根定义是解题的关键．22.【答案】（3，1）【解析】解：（1）北京语言大学的坐标：（3，1）；故答案是：（3，1）；（2）中国人民大学的位置如图所示：（1）利用清华大学的坐标为（0，3），北京大学的坐标为（-3，2）画出直角坐标系；（2）根据点的坐标的意义描出中国人民大学所表示的坐标．本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．23.【答案】证明：∵EF∥AB，∴∠CEF=∠A，∵∠BDF=∠CEF，∴∠BDF=∠A，∴DF∥AC．【解析】想办法证明∠BDF=∠A即可解决问题．本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：（1）∵正实数x的平方根是m和m+b∴m+m+b=0，∵b=8，∴2m+8=0∴m=-4；（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，∴（m+b）2=x，m2=x，∵m2x+（m+b）2x=4，∴x2+x2=4，∴x2=2，∵x＞0，∴x=√2．【解析】（1）利用正实数平方根互为相反数即可求出m的值；（2）利用平方根的定义得到（m+b）2=x，m2=x，代入式子m2x+（m+b）2x=4即可求出x值．本题考查了平方根的定义及平方根的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．25.【答案】2，3，4，5【解析】解：（1）（2）由题意可知，点C的坐标为（a，a），（a，a-1），（a，a-2）或（a，a-3），∵点C在x轴上，∴点C的纵坐标为0．由此可得a的取值为0，1，2或3，因此点C的坐标是（0，0），（1，0），（2，0），（3，0）（3）a的所有可能取值是2，3，4，5．故答案为：2，3，4，5．（1）根据坐标与图形的特点解答即可；（2）根据x轴的点的特点解答即可；（3）根据无理数的估计和坐标特点解答即可．本题考查了坐标与图形，关键是根据坐标与图形的特点和代数式求值解答．26.【答案】解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠CFE=α，∠AEF=a，2∴α+α=180°，2∴α=120°；（2）如图1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD．∵∠ANM=160°，∴∠NMP=180°-160°=20°，又∵NM⊥EF，∴∠NMF=90°，∠PMF=∠NMF-∠NMP=90°-20°=70°．∴α=180°-∠PMF=180°-70°=110°；（3）如图2所示，∵FQ平分∠CFE，∴∠QFM=α，2∵AB∥CD，∴∠NEM=180°-α，∵MN∥FQ，∴∠NME=α，2∵∠ENM=180°-∠ANM=20°，∴20°+α+180°-α=180°，2∴α=40°．【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图1所示，过点M作直线PM∥AB，由平行公理推论可知：AB∥PM∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图2，根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．27.【答案】（1，1）是 13【解析】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵x1x2=1，y1y2=1，A（1，3），∴x2=1，y2=，点B的坐标为（1，），将线段AB水平向左平移2个单位得到线段A′B′，则A′（-1，3），B′（-1，），∵-1×（-1）=1，3×=1，∴线段A′B′上存在“倒数点”，故答案为：（1，）；是；（2）正方形的边上存在“倒数点”M、N，理由如下：①若点M（x1，y1）在线段CF上，则x1=，点N（x2，y2）应当满足x2=2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则y1=，点N（x2，y2）应当满足y2=2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则y1=，点N（x2，y2）应当满足y2=，∴点N只可能在线段DE上，N（，），此时点M（，）在线段EF上，满足题意；∴该正方形各边上存在“倒数点”M（，），N（，）；（3）如图所示：一个正方形的边垂直于x轴或y轴，其中一个顶点为原点，则该正方形有两条边在坐标轴上，∵坐标轴上的点的横坐标或纵坐标为0，∴在坐标轴上的边上不存在倒数点，又∵该正方形各边上不存在“倒数点”，∴各边上点的横坐标和纵坐标的绝对值都≤1，即正方形面积的最大值为1；故答案为：1．（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得出x2=1，y2=，点B的坐标为（1，），由平移的性质得出A′（-1，3），B′（-1，），即可得出结论；（2）①若点M（x1，y1）在线段CF上，则x1=，点N（x2，y2）应当满足x2=2，可知点N不在正方形边上，不符题意；②若点M（x1，y1）在线段CD上，则y1=，点N（x2，y2）应当满足y2=2，可知点N不在正方形边上，不符题意；③若点M（x1，y1）在线段EF上，则y1=，点N（x2，y2）应当满足y2=，得出N（，），此时点M（，）在线段EF上，满足题意；（3）由题意得出各边上点的横坐标和纵坐标的绝对值都≤1，得出正方形面积的最大值为1即可．本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、新定义“倒数点”、平面直角坐标系、平移的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，正确理解新定义“倒数点”是解题的关键．。