频率特性的基本概念

频率特性的基本概念大中小在稳定的线性系统（或线性环节）的输入端作用一个正弦信号，当系统相对稳定后，系统的稳态输出也必定是一个同频率的正弦信号。

稳态输出与输入的振幅比值以及它们之间的相位差取决于系统本身的结构和输入信号的频率。

这种现象在如图5-1所示的强迫振动实验中可以观察得到。

(图5-1)图中的系统为稳定的线性定常系统。

当输入信号R为时，输出C在稳态时也为正弦信号两者的频率相同，但振幅和相位角不同。

当输入信号的频率改变时，输出信号的振幅和相位角会发生变化。

一、频率特性的数学本质以上介绍的是频率响应特性（简称频率特性）的实验现象，下面我们将证明频率特性和传递函数之间的数学关系，以便可以很方便地由系统传递函数得到频率特性，反之也能够由频率特性得到传递函数。

输出的拉普拉斯变换式为设输入R(t)为正弦函数，表示为由拉普拉斯变换表查得故部分分式中及B、D均为待定系数。

对于一个稳定的系统，由于特征方程的所有特征根均具有负实数部分，的第一个分量总是随着t的增长逐渐消失，系统最终将以作稳态运动。

上式恰恰是我们需要求解的，其中系数由上式得到同理将系数B、D代入，则式中Im为G(jω)的虚部，Re为G(jω)的实部。

而输出端响应的振幅和输入端的振荡之比为输出端响应和输入端的相位差为由此可见，作用有正弦输入时的稳定线性定常系统，输出响应具有与输入同一频率的正弦稳定信号。

但是输出的振幅和相位角通常不等于输入量的振幅和相角，输出响应的振幅是输入量的倍，输出响应和输入量相位差为。

因此，系统的频率特性可以直接由G(jω)表示，系统的频率特性为式中是ω的函数，称为幅频特性，也是频率特性的模；是ω的函数，称为相频特性。

在上述数学推导中，我们可以清楚地看到所以，在已知系统或环节的传递函数时，只要令，就可以很方便地得到系统或环节的频率特性。

为了进一步说明频率特性的意义，现以图5-2所示的R-C电路为例。

图5-2频率特性可通过传递函数来求取，当电容两端电压uc为输出量，输入电压ui为输入量时，传递函数可用复阻抗串联的知识求取式中 T=RC频率特性只要将S以jω代替，频率特性为幅频特性（模）为相频特性（幅角）为当ui以低频信号输入时（）；这表明，当输入正弦电压ui的频率很低，则输出电压uc的振幅与的振幅几乎相等，相位近似同相。

自动控制原理第5章频率特性频率特性是指系统对输入信号频率的响应特点。

在自动控制系统设计中，了解和分析系统的频率特性是非常重要的，因为它可以帮助工程师评估系统的稳定性，性能和稳定裕度。

本章主要介绍频率特性的相关概念和分析方法，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性、对数坐标图等。

1.频率响应函数频率响应函数是描述系统在不同频率下的输出和输入之间的关系的函数。

在连续时间系统中，频率响应函数可以表示为H(jω)，其中j是虚数单位，ω是频率。

频率响应函数通常是复数形式，它包含了系统的振幅和相位信息。

2.频率幅频特性频率幅频特性是频率响应函数的模的图形表示，通常用于表示系统的增益特性。

频率幅频特性通常用对数坐标图绘制，以便更好地显示系统在不同频率下的增益特性。

对数坐标图上，增益通常以分贝（dB）为单位表示。

3.相频特性相频特性是频率响应函数的相角的图形表示，通常用于表示系统的相位特性。

相频特性可以让我们了解系统对输入信号的相位延迟或提前情况。

在相频特性图上，频率通常是以对数坐标表示的。

4. Bode图Bode图是频率幅频特性和相频特性的综合图形表示。

它将频率幅频特性和相频特性分别绘制在纵轴和横轴上，因此可以直观地了解系统在不同频率下的增益和相位特性。

5.系统的稳定性分析频率特性可以帮助工程师判断系统的稳定性。

在Bode图上，当系统的相位角趋近于-180度，且增益在此处为0dB时，系统即将变得不稳定。

对于闭环控制系统，我们希望系统在特定频率范围内保持稳定，以便实现良好的控制性能。

6.频率特性的设计频率特性的设计是自动控制系统设计中的一个重要任务。

工程师需要根据系统对不同频率下的增益和相位的要求，设计出合适的控制器。

常见的设计方法包括校正器设计、分频补偿、频率域设计等。

总结：本章重点介绍了自动控制系统的频率特性，包括频率响应函数、频率幅频特性、相频特性和Bode图。

频率特性的分析和设计对于掌握自动控制系统的稳定性、性能和稳定裕度非常重要。

·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性，其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。

系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系：ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法：（1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist ）曲线或极坐标图。

它是以ω为参变量，以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。

（2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode ）图。

这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。

横坐标为ω，按常用对数lg ω分度。

对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ，单位为“°”（度）。

而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =，单位为dB 。

（3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。

该方法以ω为参变量，)(ωϕ为横坐标，)(ωL 为纵坐标。

3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为3dB 。

对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时，有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时，有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式（5.5）、式（5.6）得︒=︒-=45 45b a因此：⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)（2）振荡环节：振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时，在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为2121lg20ξξ-。