一类矩阵乘积秩的恒等式及应用

矩阵的几种乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：矩阵是线性代数中非常重要的概念，而矩阵的乘法是其中一个重要的操作。

在实际应用中，矩阵的乘法有多种不同的形式，每种形式都有相应的规则和特点。

在本文中，我们将讨论一些常见的矩阵乘法，包括普通矩阵乘法、Hadamard乘积、克罗内克积等，并对它们的性质和应用进行介绍。

普通矩阵乘法是最常见的一种矩阵乘法。

给定两个矩阵A和B，它们的乘积C的定义如下：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列元素是A的第i行的元素与B的第j列的元素的乘积之和。

普通矩阵乘法遵循结合律，但不遵循交换律。

也就是说，对于任意三个矩阵A、B、C，(AB)C=A(BC)，但一般情况下，AB≠BA。

普通矩阵乘法可以用于解线性方程组、矩阵求逆、矩阵的特征值等方面。

Hadamard乘积是一种逐元素操作，不会改变矩阵的形状。

它常用于矩阵的逐元素运算，比如矩阵的逐元素求和、逐元素平方等。

Hadamard乘积满足交换律和结合律，即对于任意两个矩阵A、B，有A∘B=B∘A，(A∘B)∘C=A∘(B∘C)。

克罗内克积常用于矩阵的融合、扩展等操作，可以将两个不同大小的矩阵整合在一起，得到一个新的更大的矩阵。

克罗内克积满足结合律，但不满足交换律，即对于任意三个矩阵A、B、C，(A⊗B)⊗C≠A⊗(B⊗C)，但一般情况下，A⊗B≠B⊗A。

除了以上提到的三种常见矩阵乘法，还有其他一些特殊的矩阵乘法，比如深度学习中常用的Batch矩阵乘法、图像处理中的卷积运算等。

每种矩阵乘法都有其独特的性质和应用场景，熟练掌握各种矩阵乘法是理解线性代数和计算机科学的重要基础。

矩阵的乘法是线性代数中的重要概念，不同的矩阵乘法具有不同的性质和应用。

通过学习不同种类的矩阵乘法，我们可以更好地理解和应用线性代数知识，为实际问题的求解提供更多的方法和思路。

矩阵乘法运算公式矩阵乘法是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、计算机科学等众多领域都有着广泛的应用。

咱先来说说矩阵乘法的运算规则。

简单来讲，就是第一个矩阵的行元素与第二个矩阵的列元素对应相乘再相加。

比如说，有一个 2 行 3列的矩阵 A 和一个 3 行 2 列的矩阵 B，那它们相乘得到的矩阵 C 就是一个 2 行 2 列的矩阵。

咱举个具体的例子哈。

比如说矩阵 A 是[1 2 3; 4 5 6]，矩阵 B 是[7 8;9 10; 11 12]，那矩阵 C 的第一个元素 C11 就是 A 的第一行和 B 的第一列对应元素相乘再相加，也就是 1×7 + 2×9 + 3×11 = 58 。

我还记得之前给学生们讲矩阵乘法的时候，有个特别有趣的事儿。

当时有个学生，特别较真儿，一直纠结为啥要这么乘，不能按自己想的来。

我就给他打了个比方，我说这矩阵乘法就好比是工厂里的生产线。

矩阵 A 里的元素就是原材料，矩阵 B 里的元素就是加工步骤，经过特定的规则（也就是矩阵乘法的运算规则），最后生产出来的产品就是矩阵 C 。

这孩子一听，眼睛一下子就亮了，好像突然就明白了。

再来说说矩阵乘法的一些性质。

比如说，矩阵乘法一般不满足交换律，也就是说 A×B 不一定等于 B×A 。

但它满足结合律和分配律。

矩阵乘法在实际生活中的应用那可太多啦！像图像处理中，对图像进行旋转、缩放等操作，就会用到矩阵乘法。

还有在机器学习里，预测模型的计算也离不开它。

咱继续深入讲讲矩阵乘法的应用。

比如说在密码学中，通过复杂的矩阵乘法运算来加密和解密信息，增加信息的安全性。

还有在经济学中，分析多个变量之间的关系时，也会用到矩阵乘法。

我之前去参加一个学术研讨会，就听到有专家分享了一个关于矩阵乘法在交通流量预测中的应用案例。

他们通过收集大量的道路数据，构建出相关的矩阵，然后利用矩阵乘法运算来预测不同时间段、不同路段的交通流量，为交通规划和管理提供了有力的支持。

两矩阵相乘秩的关系1.引言1.1 概述概述部分的内容可以包括以下内容：矩阵相乘是线性代数中一个重要的运算，它可以用来描述线性系统的行为和变换。

在实际应用中，矩阵相乘有着广泛而重要的作用，例如在图像处理、信号处理、机器学习等领域。

本文将围绕着矩阵相乘的秩展开讨论，探究两个矩阵相乘时秩的变化规律以及相关性质。

在研究秩的关系时，我们将分析矩阵相乘的定义和性质，以及秩的定义和性质，进一步揭示它们之间的联系。

了解两个矩阵相乘的秩的关系对于理解矩阵相乘的本质和应用都具有重要意义。

其不仅能帮助我们更好地理解矩阵的代数结构，还能为我们解决实际问题提供指导和方法。

通过深入研究两个矩阵相乘秩的关系，我们可以发现一些有用的规律和结论，并将其应用于实际问题中。

这些规律和结论不仅有助于简化矩阵相乘的计算过程，还能为我们提供更多解决线性系统的思路和方法。

综上所述，本文将从引言、正文到结论，系统地探讨两个矩阵相乘秩的关系。

通过对这一关系的研究，我们可以更好地理解矩阵相乘的本质，同时为实际问题的求解提供指导和方法。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的目的是介绍整篇文章的组织结构和每个部分的主要内容，以帮助读者更好地理解文章的结构和主题。

首先，文章提供了一个简要的概述，概述了文章将要讨论的主题——两矩阵相乘秩的关系。

这个概述可以简要介绍两矩阵相乘的基本概念和秩的概念，以引起读者的兴趣。

其次，文章结构部分可以介绍文章的主要内容分为几个部分。

例如，本文将分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分将提供对文章主题的背景和概述；正文部分将详细讨论矩阵相乘的定义和性质以及矩阵相乘的秩的定义和性质；结论部分将总结两矩阵相乘秩的关系，并探讨其实际应用和意义。

最后，文章结构部分可以提供一段简要的介绍，以激发读者的兴趣并引导他们阅读后续的章节。

例如，本文将深入探讨两矩阵相乘秩的关系，通过对矩阵相乘定义、性质和秩的定义、性质的分析，我们将揭示出两矩阵相乘秩的关系，并探讨其在实际应用中的重要性。

矩阵乘积的运算法则的证明矩阵乘积的运算法则1 乘法结合律：若n m CA ⨯∈,p n CB ⨯∈ , qp CC ⨯∈，则C AB BC A )()(=.2 乘法左分配律：若A 和B 是两个n m ⨯矩阵，且C 是一个p n ⨯矩阵，则BC AC C B A +=+)(.3 乘法右分配律：若A 是一个n m ⨯矩阵，并且B 和C 是两个p n ⨯矩阵，则BC AC C B A +=+)(.4 若α是一个标量，并且A 和B 是两个m n ⨯矩阵，则B A B A ααα+=+)(. 证明 1①先设n 阶矩阵为)(ij a A =,)(ij b B =, )(ij c C =,)(ij d AB =,)(ij e BC =)(ij f ABC =,)()(ij g BC A =,有矩阵的乘法得： n j i b a b a b a d nj in j i j i ij 2,1,.2211=+++= n j i c b c b c b e nj in j i j i ij 2,1,.2211=+++= n j i c d c d c d f nj in j i j i ij 2,1,.2211=+++= n j i e a e a e a g nj in j i j i ij 2,1,.2211=+++=故对任意n j i 2,1,=有：nj in j i j i ij c d c d c d f +++= 2211++++=j n in i i c b a b a b a 11212111)(++++j n in i i c b a b a b a 22222121)( nj nn in n i n i c b a b a b a )(2211++++ ++++=)(12121111nj n j j i c b c b c b a++++)(22221212nj n j j i c b c b c b a)(2211nj nn j n j n in c b c b c b a ++++ nj in j i j i e a e a e a +++= 2211=ij g故)()(BC A C AB =②再看 mn ik a A )(= ,np kj b B )(=,pq jt c C )(=, mp ij d AB )(= , nq kt e BC )(= ,mq it g BC A )()(=,有矩阵的乘法得：n j i b a b a b a d nj in j i j i ij 2,1,.2211=+++=q t n k c b c b c b e pt kp t k t k kt 2,1,2,1.2211==+++= q t m i c d c d c d f pt ip t i t i it 2,1,2,1.2211==+++=q t m i e a e a e a g nt in t i t i it 2,1,2,1.2211==+++=故对任意的,2,1m i = ,2,1p j = ,2,1n k = q t 2,1=有：pt ip t i t i it c d c d c d f +++= 2211++++=t n in i i c b a b a b a 11212111)(++++t n in i i c b a b a b a 22222121)( pt np in p i p i c b a b a b a )(2211++++ ++++=)(12121111pt p t t i c b c b c b a++++)(22221212pt p t t i c b c b c b a)(2211pt np t n t n in c b c b c b a ++++6nt in t i t i e a e a e a +++= 2211 =ij g故)()(BC A C AB = 证明 2设ij A 表示矩阵A 的第i 行，第j 列上的元素，则有 []kj kik ikij C B AC B A ∑+=+)()(kj kikkkj ikC BC A∑∑+==ij ij BC AC )()(+ 故证出矩阵乘法左分配律. 证明 3同理矩阵乘法左分配律可得 ij ij BC AC )()(+kj kikk kj ikC BC A∑∑+=kj kik ikC B A∑+=)(= []ij C B A )(+ 故证出矩阵乘法左分配律.证明 4设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m n n mnij a a a a a a a a a a A212222111211)(，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==mn m m nn mnij b b b b b bb b b b B212222111211)(， 可得=+B A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m nn n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111， )(B A +α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=)()()()()()()()()(221122222221211112121111mnmn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ααααααααα=A α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mnm m nn a a a a a a a a a ααααααααα212222111211，B α⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mnm m nn b b b b b b b b b ααααααααα212222111211， B A αα+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=)()()()()()()()()(221122222221211112121111mnmn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a ααααααααα， 所以)(B A +α=B A αα+.。

矩阵应用知识点总结1. 矩阵的基本概念矩阵是一个二维数组或表格，其中的元素可以是数字、符号或函数。

矩阵通常用方括号表示，如A=[aij]。

其中i表示行号，j表示列号，aij表示第i行第j列的元素。

矩阵的大小则由行数和列数确定。

例如2*2的矩阵表示为：A = | a11 a12 || a21 a22 |2. 矩阵的运算矩阵可以进行加法、减法和数乘运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和C为C=A+B，差D为D=A-B，数乘运算E=αA，其中α为实数。

矩阵乘法也是矩阵运算中的重要内容，对于两个矩阵A(m*n)和B(n*p)，它们的乘积AB=C，其中C为m*p的矩阵。

矩阵的转置即将矩阵的行和列互换。

3. 矩阵的特殊矩阵对角矩阵是指在矩阵中除了主对角线外，其它元素都为0的矩阵。

单位矩阵是一种特殊的对角矩阵，它的主对角线上的元素都为1，其它元素都为0。

零矩阵的所有元素都为0。

正交矩阵的转置等于它的逆矩阵。

4. 矩阵的应用线性方程组的求解是矩阵应用的重要方面。

将线性方程组转化成矩阵形式Ax=b，通过矩阵的运算来求解未知数。

矩阵的特征值与特征向量在物理、化学等领域有着重要的应用。

特征值和特征向量可以描述线性变换的效果。

在图像处理中，矩阵也有着广泛的应用，如图像的平移、旋转和缩放等都可以用矩阵表示和运算。

5. 矩阵的分解将矩阵分解成几个特殊形式的乘积可以简化矩阵的运算。

LU分解、Cholesky分解、QR分解和奇异值分解等都是常见的矩阵分解方法。

这些分解方法可以用来求解矩阵的逆、求解线性方程组、傅里叶变换等。

在计算机图形学中，矩阵的分解也有着很多应用，例如在三维空间中的旋转和变换。

总之，矩阵是数学中一个非常重要的概念，具有广泛的应用。

矩阵的运算、特殊矩阵、应用和分解等内容都是矩阵应用的重点。

矩阵在科学、工程和计算机等领域都有着重要的应用，对于理解和掌握矩阵的知识，有助于我们更好地理解和解决实际问题。

矩阵恒等式
矩阵是线性代数中的重要概念，它是由数个数排成的矩形阵列。

在矩阵的运算中，恒等式是一种非常重要的概念。

本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍矩阵恒等式。

一、定义
矩阵恒等式是指两个矩阵在某种运算下相等的式子。

其中，运算可以是加法、乘法或其他线性运算。

例如，对于任意的矩阵A，都有
A+0=A和A×I=A，其中0是全零矩阵，I是单位矩阵。

二、性质
矩阵恒等式具有以下性质：
1. 反身性：对于任意的矩阵A，都有A=A。

2. 对称性：如果A=B，则B=A。

3. 传递性：如果A=B，B=C，则A=C。

4. 可加性：如果A=B，C=D，则A+C=B+D。

5. 可乘性：如果A=B，C=D，则AC=BD。

这些性质使得矩阵恒等式在矩阵运算中具有重要的作用。

三、应用
矩阵恒等式在各个领域都有广泛的应用。

以下是一些例子：
1. 线性方程组的求解：将线性方程组转化为矩阵形式，然后利用矩阵恒等式进行变形，最终求解出未知数的值。

2. 物理学中的矩阵：矩阵恒等式在量子力学中有广泛的应用，例如波函数的变换等。

3. 图像处理：矩阵恒等式可以用于图像的旋转、缩放、平移等操作。

4. 机器学习：矩阵恒等式在机器学习中也有重要的应用，例如矩阵分解、矩阵求逆等。

总之，矩阵恒等式是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

掌握矩阵恒等式的定义、性质和应用，对于深入理解线性代数和应用数学都有很大的帮助。

一、矩阵的线性运算定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵记,称为矩阵的负矩阵, 显然有.由此规定矩阵的减法为.定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则(1)(2) ;(3)(4)(5)(6)(7)(8)注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中，(记号常读作左乘或右乘.注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：（1）（2）（3）（4）注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如, 设则而于是且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设则但定义4如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。

命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：（1）（2）（3）（4）三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：(2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、矩阵的转置定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1)(2)(3)(4)五、方阵的幂定义5设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：(1)(2)注: 一般地,为自然数命题3 设均为n阶矩阵，则有为自然数，反之不成立。

第27卷第3期武汉科技大学学报(自然科学版)Vol.27,No.32004年9月J.of Wuhan Uni.of Sci.&Tech.(Natural Science Edition)Sep.2004收稿日期:2003-06-20作者简介:胡付高(1964-),男,孝感学院数学系,副教授1关于一类矩阵秩的恒等式注记胡付高(孝感学院数学系,湖北孝感,432100)摘要:讨论矩阵秩的Sylvester 与Frobenius 不等式取等号的充分必要条件,刻画了一类矩阵的秩特征。

关键词:矩阵的秩;Sylvester 公式;Frobeni us 公式中图分类号:O15112 文献标识码:A 文章编号:1672-3090(2004)03-0322-02矩阵的秩是线性代数中一个基本而深刻的概念。

关于矩阵的秩有一系列的基本不等式,其中Sylvester 不等式与Frobenius 不等式占有重要的地位。

下面是关于著名的Sylvester 与Frobenius 的不等式:定理1[1](Sylvester 不等式) 设A ,B 分别为m @n,n @l 矩阵,则r (AB)\r(A)+r (B)-n(1)定理2[2](Frobenius 不等式) 设A,B,C 分别为m @n,n @l,l @s 矩阵,则r(ABC )\r (AB )+r(BC)-r (B )(2)文献[1]中考虑了使式(1)中等号成立的条件,仅限于一些非常特殊的情形,有研究者考虑了某些特别的矩阵(如幂等阵与对合阵等)的秩等式。

本文中首先给出几个引理,借助它们获得一个重要的矩阵秩恒等式,该结果能把上述文献中的结论统一起来,最后讨论了它的一些应用。

文中用记号r (A )表示矩阵A 的秩,I 表示单位矩阵,P 表示数域,所有概念、术语、符号与文献[2]相同。

引理1 设A ,B 分别为m @n 和n @m 矩阵,则r (AB)=r(A)+r (B)-n 的充分条件为r A 0I B =r A 00B证明:由I -A 0I A0I BI -B 0I=0-AB I得r A 0IB =r 0-AB I 0又r 0-AB I 0=r (AB )+n,r A 00B=r (A )+r (B)故引理1得证。

矩阵的性质与运算矩阵是线性代数中一个重要的概念，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等多个学科中发挥着重要的作用。

矩阵的性质和运算是我们研究和应用矩阵的基础，本文将详细介绍矩阵的性质和运算，使读者对矩阵有更加深入的理解。

一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数表，其中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

一个矩阵有m行和n列，我们通常以大写字母表示矩阵，如A、B等。

1.2 矩阵的维度如果一个矩阵有m行和n列，我们称其为m×n维矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

特殊地，如果一个矩阵的行数和列数相等，我们称其为方阵。

1.3 矩阵的元素矩阵中的每个数称为一个元素，我们通常用小写字母表示矩阵中的元素。

例如，矩阵A的第i行、第j列的元素用aij表示。

1.4 矩阵的转置对于一个m×n维矩阵A，将其行与列互换得到的n×m维矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。

即A的第i行第j列的元素aij在AT中就是第j行第i列的元素。

二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B。

矩阵A +B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的和。

即(A + B)ij = Aij + Bij。

2.2 矩阵的减法对于两个维度相同的矩阵A和B，它们的差记作A - B。

矩阵A - B的第i行第j列的元素等于矩阵A和矩阵B对应位置上元素的差。

即(A - B)ij = Aij - Bij。

2.3 矩阵的数乘对于一个维度为m×n的矩阵A和一个实数或复数c，我们可以将A的每个元素都乘以c得到一个新的矩阵cA。

即(cA)ij = c·Aij。

2.4 矩阵的乘法对于两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

要使得两个矩阵A和B可以相乘，A的列数必须等于B的行数。

如果A是一个m×n维矩阵，B是一个n×p维矩阵，那么它们的乘积AB是一个m×p维矩阵。

关于一个矩阵秩等式的注记及其应用
秩等式是矩阵理论中一个重要的概念。

它指明了矩阵的最大秩，也就是说它定义了矩阵拥有多少不相关的行（或列）。

秩等式可以用来证明矩阵的性质，如行(或列)秩的最大值为min(n,m)，其中n为矩阵的行数，m为矩阵的列数。

秩等式的精确定义是求解矩阵A的rank（r）的等式，即r = min(m1,
m2,m3,...m)，其中mi为A在第i个置换后的秩；本质就是行列式的值与秩之间的确定性关系。

简而言之，秩等式是研究给定矩阵的行列式和秩之间关系的一种数学方法。

秩等式应用于最小二乘法求解线性方程组，它可以帮助我们确定拟合所需的参数数量，也可以帮助我们确定方程的解的精确性。

此外，它还可以帮助我们确定矩阵的逆等数学问题，因为就本质而言，秩等式可以帮助我们决定矩阵是否可逆。

在线性代数中，秩等式还可以用于解决关于矩阵是否有解、有多少解以及解的结构等问题。

秩等式也被用于进行图论分析，用于分析网络中节点之间关系的复杂性及其共同特征。

总之，秩等式是矩阵理论中一个重要概念，它有助于我们研究矩阵的一些基本性质，同时也可以用于最小二乘法求解线性方程组，以及进行图论分析。

从上述可以看出，秩等式可以为研究行列式和秩之间的关系提供重要参考，是探究矩阵理论最基本的工具。

（算法学习）矩阵乘法及其应⽤好像⽬前还没有这⽅⾯题⽬的总结。

这⼏天连续看到四个问这类题⽬的⼈，今天在这⾥简单写⼀下。

这⾥我们不介绍其它有关矩阵的知识，只介绍矩阵乘法和相关性质。

不要以为数学中的矩阵也是⿊⾊屏幕上不断变化的绿⾊字符。

在数学中，⼀个矩阵说穿了就是⼀个⼆维数组。

⼀个n⾏m列的矩阵可以乘以⼀个m⾏p列的矩阵，得到的结果是⼀个n⾏p列的矩阵，其中的第i⾏第j列位置上的数等于前⼀个矩阵第i⾏上的m个数与后⼀个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。

⽐如，下⾯的算式表⽰⼀个2⾏2列的矩阵乘以2⾏3列的矩阵，其结果是⼀个2⾏3列的矩阵。

其中，结果的那个4等于2*2+0*1：下⾯的算式则是⼀个1 x 3的矩阵乘以3 x 2的矩阵，得到⼀个1 x 2的矩阵：矩阵乘法的两个重要性质：⼀，矩阵乘法不满⾜交换律；⼆，矩阵乘法满⾜结合律。

为什么矩阵乘法不满⾜交换律呢？废话，交换过来后两个矩阵有可能根本不能相乘。

为什么它⼜满⾜结合律呢？仔细想想你会发现这也是废话。

假设你有三个矩阵A、B、C，那么(AB)C和A(BC)的结果的第i⾏第j列上的数都等于所有A(ik)*B(kl)*C(lj)的和（枚举所有的k和l）。

经典题⽬1 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。

操作有平移、缩放、翻转和旋转这⾥的操作是对所有点同时进⾏的。

其中翻转是以坐标轴为对称轴进⾏翻转（两种情况），旋转则以原点为中⼼。

如果对每个点分别进⾏模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。

利⽤矩阵乘法可以在O(m)的时间⾥把所有操作合并为⼀个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。

假设初始时某个点的坐标为x和y，下⾯5个矩阵可以分别对其进⾏平移、旋转、翻转和旋转操作。

预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可⼀步得出最终点的位置。

经典题⽬2 给定矩阵A，请快速计算出A^n（n个A相乘）的结果，输出的每个数都mod p。