高中数学 第二章推理与证明检测题 新人教A版选修2-2

人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ， 由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2， 即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0， 从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

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第二章 推理与证明微测试1 2。

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1合情推理一、选择题:本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．某小朋友按如下规则练习数数,1大拇指，2食指,3中指，4无名指,5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指,...,一直数到2017时，对应的指头是A ．小指B ．中指C ．食指D ．大拇指2．已知下列等式：222233+=,333388+=44441515+=55552424+=,1010a a b b+=， 则推测=+b a A ．109 B ．1033 C ．199D ．293．观察下列算式：122=,224=,328=，4216=,5232=，6264=，72128=，82256=，…用你所发现的规律可得20172的末位数字是 A ．2 B ．4 C ．6D ．84．设ABC △的三边长分别为a ,b ，c ，ABC △的面积为S ，内切圆半径为r ,则2Sr a b c=++；类比这个结论可知：四面体P ABC -的四个面的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，内切球的半径为r ，四面体P ABC -的体积为V ,则r = ABCD二、填空题：本大题共3小题，将正确的答案填在题中的横线上．5．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A B C 、、做了一项预测：A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．B 说：“我觉得冠军不会是甲,冠军会是丙”．C 说:“我认为冠军不会是丙，而是甲”．比赛结果出来后，发现A B C 、、三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错,还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是_____________． 6．观察下列各式：2251233++<；222111712344+++<；……照此规律，当n ∈*N 时，1(1)n +++． 7．设a ,b ，c 是直角三角形的三边长，斜边上的高为h ,c 为斜边长,则给出四个命题： ①a b c h +>+； ②2222a b c h +<+； ③3333a b c h +>+; ④4444a b c h +<+．其中真命题的序号是_____________,进一步类比得到的一般结论是_____________． 三、解答题:本大题共2小题,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．8．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…,第n 个三角形数为2(1)11222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：正方形数：2(,4)N n n =；六边形数：2(,6)2N n n n =-；……由此推测(,)(3)N n k k ≥的表达式，并求(10,24)N 的值．9．(1）试计算下列各式:（只需写出计算结果，不需写出计算过程）222sin 45sin 105sin 165︒+︒+︒=_____________； 222sin 30sin 90sin 150︒+︒+︒=_____________； 222sin 15sin 75sin 135︒+︒+︒=_____________．（2）通过观察上述各式的计算规律，请你写出一般性的命题，并给出你的证明．1．D 【解析】由题意得，大拇指对应的数是18n +，其中n ∈N ,因为201725281=⨯+,所以数到2017时,对应的指头是大拇指．故选D ．2．A 【解析】分析所给的等式,可归纳出等式22(2,)11n n n n n n n n +=≥∈--*N ，在1010a ab b+=中，10a =，210199b =-=，于是109a b +=．故选A ． 3．A 【解析】通过观察可知，末尾数字周期为4，201745041=⨯+,故20172的末位数字是2．故选A ．4．C 【解析】ABC △的三条边长a ，b ,c 类比为四面体P ABC -的四个面的面积1S ，2S ，3S ，4S ，三角形面积公式中的系12类比为三棱锥体积公式中的系13，从而可知12343VS S r S S +++=．证明如下：以四面体各面为底,内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，则123411113333V S r S r S r S r =+++，故12343V S S r S S +++=．故选C ． 5．甲 【解析】由题知B 、C 的预测截然相反，必一对一错，因为只有一个对，不论B 、C 谁对，A 必是一对一错,假设B 的预测是对的，则丙是冠军，那么A 说冠军也不会是乙也对，这与题目中“还有一人的两个判断一对一错”相矛盾,即假设不成立，所以B 的预测是错误的,则C 的预测是对的,所以甲是冠军．故填甲．6．211n n ++ 【解析】观察所给的几个不等式的左右两边可以看出：不等式的右边的分子是21n +的形式,分母是1n +的形式，故由归纳推理的模式可得该不等式的右边是211n n ++．故填211n n ++．7．②④ ()n n n n a b c h n +<+∈*N 【解析】在直角三角形ABC 中，sin a c A =，cos b c A =,ab ch =，所以sin cos h c A A =．于是(sin cos )n n n n n a b c A A +=+，(1sin cos )n n n n n c h c A A +=+．因为(sin cos 1sin cos )sin 1)1cos )0n n n n n n n n n nn n a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<（（， 所以n n n n a b c h +<+．891cos(2)1cos(2)1cos 233222ααα---+-=++ 3122[cos(2)cos 2cos(2)]2233αααππ=--+++ 3.2=微测试2 2。

第二章推理与证明综合检测一、选择题1.自然数都是整数,4是自然数,所以4是整数.以上“三段论”推理().A.正确B.推理形式不正确C.两个“自然数”概念不一致D.“两个整数”概念不一致【解析】“三段论”中的大前提,小前提及推理形式都是正确的.【答案】A2.余弦函数是偶函数,f(x)=cos(x+1)是余弦函数,因此f(x)=cos(x+1)是偶函数,以上推理().A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【解析】因为f(x)=cos(x+1)不是余弦函数,所以小前提错误.【答案】C3.下列推理不是合情推理的是().A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】A是类比推理,B、D是归纳推理,C不是合情推理.【答案】C4.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则当n=2时,f(n)等于().A.1+B.C.1++++D.均不正确【解析】∵f(n)=1+++…+,分子是1,分母是1,2,3,…,2n+1,故当n=2时,f(n)=1+++…+=1++++.【答案】C5.下列推理是归纳推理的是().A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积S=πr2,猜想出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由S1,S2,S3猜想出数列的前n项和S n的表达式,是从特殊到一般的推理,所以选项B中的推理是归纳推理,故选B.【答案】B6.函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1,x2∈D都有|f(x1)-f(x2)|<1,则称函数y=f(x)为“Storm”函数.那么下列函数是“Storm”函数的是().A.f(x)=x2(x∈[-1,2])B.f(x)=x3(x∈[0,1])C.f(x)=-2x+1(x∈[-1,0])D.f(x)=(x∈[1,3])【解析】由定义知|f(x1)-f(x2)|小于等于函数f(x)的最大值与最小值之差的绝对值,故要判断一个函数是否为“Storm”函数,只需看这个函数的最值之差的绝对值是否小于1即可.在选项D中,因为f(x)=在x∈[1,3]上是减函数,所以令m=f(3)=,M=f(1)=1,所以|M-m|==<1,所以该函数是“Storm”函数.【答案】D7.下列推理正确的是().A.把a(b+c)与log a(x+y)进行类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)进行类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n进行类比,则有(x+y)n=x n+y nD.把(a+b)+c与(xy)z进行类比,则有(xy)z=x(yz)【答案】D8.用数学归纳法证明:12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=.从n=k到n=k+1,等式左边应添加的式子是().A.(k-1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)[2(k+1)2+1]【解析】当n=k时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12;当n=k+1时,左边=12+22+…+(k-1)2+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12.所以从n=k到n=k+1,左边应添加的式子为(k+1)2+k2.【答案】B9.如表所示,若数列{x n}满足x0=5,且对任何自然数均有x n+1=f(x n),则x2019=().x 1 2 3 4 5f(x) 4 1 3 5 2A.1B.2C.4D.5【解析】因为x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,所以数列{x n}是周期为4的数列,所以x2019=x3=4.故选C.【答案】C10.在△ABC中,角A,B,C分别为边a,b,c所对的角.若a,b,c成等差数列,则角B的取值范围是().A. B.C. D.【解析】∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b,∴cos B===-≥-=.又∵余弦函数y=cos x在区间内单调递减,∴0<B≤.故选B.【答案】B11.观察数表:1 2 3 4…第一行2 3 4 5…第二行3 4 5 6…第三行4 5 6 7…第四行……………………第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律,第n行第n列交叉点上的数应为().A.2n-1B.2n+1C.n2-1D.n2【答案】A12.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则().A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形【解析】由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,故△A1B1C1是锐角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形,由得故A2+B2+C2=,这与三角形内角和为π相矛盾,所以假设不成立.又由已知可得△A2B2C2不是直角三角形,所以△A2B2C2是钝角三角形.【答案】D二、填空题13.已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1.在用反证法证明时,假设应为.【解析】“x,y中至多有一个大于1”包括“x,y都不大于1”和“x,y有且仅有一个大于1”,故假设应为“x,y都大于1”.【答案】x,y都大于114.观察下列等式:×=1-,×+×=1-,×+×+×=1-,…,由以上等式推测得到一个一般的结论:对于任何n∈N*,×+×+…+×= .【解析】由已知的等式得对于任何n∈N*,×+×+…+×=1-.【答案】1-15.如图,若对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:则由此规律,52的“分裂”中最大的数是,53的“分裂”中最小的数是.【解析】由题意可知,因此52的“分裂”中最大的数为9,53的“分裂”中最小的数为21.【答案】92116.已知在数列{a n}中,a1=1,且S n,S n+1,2S1成等差数列(S n表示数列{a n}的前n项和),则S2,S3,S4分别为,由此猜想S n= .【解析】由S n,S n+1,2S1成等差数列得2S n+1=S n+2S1.∵S1=a1=1,∴2S n+1=S n+2.令n=1,则2S2=S1+2=1+2=3⇒S2=.同理分别令n=2,n=3,可求得S3=,S4=.由S1=1=,S2==,S3==,S4==, 猜想S n=(n∈N*).【答案】,,(n∈N*)三、解答题17.实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,求证:a,b,c,d至少有一个负数.【解析】假设a,b,c,d都是非负数,则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd,这与已知ac+bd>1矛盾.故a,b,c,d至少有一个负数.18.已知A,B都是锐角,且A+B≠90°,(1+tan A)(1+tan B)=2.求证:A+B=45°.【解析】∵(1+tan A)(1+tan B)=2,∴tan A+tan B=1-tan A tan B.∵A+B≠90°,∴tan(A+B)==1.∵A,B都是锐角,∴0°<A+B<180°.∴A+B=45°.19.已知a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-<a<c+.【解析】要证c-<a<c+,只需证-<a-c<,即证|a-c|<,只需证(a-c)2<()2,只需证a2-2ac+c2<c2-ab,即证2ac>a2+ab.因为a>0,所以只需证2c>a+b.又因为2c>a+b成立.所以原不等式成立.20.已知△ABC的三边长都是有理数,求证:(1)cos A是有理数;(2)对任何正整数n,cos nA和sin A·sin nA都是有理数.【解析】(1)由AB,BC,AC的长为有理数及余弦定理知,cos A=是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数.①当n=1时,由(1)知cos A是有理数,从而有sin A·sin A=1-cos2A也是有理数.②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,cos kA和sin A·sin kA都是有理数,那么当n=k+1时,cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA,sin A·sin(k+1)A=sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA)=(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A,由①和归纳假设知,cos(k+1)A和sin A·sin(k+1)A都是有理数.即当n=k+1时,结论成立.综合①②可知,对任何正整数n,cos nA和sin A·sin nA都是有理数.21.如图,已知在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=2,D为线段AC 的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【解析】(1)∵PA⊥AB,PA⊥BC,且AB∩BC=B,∴PA⊥平面ABC.又∵BD⊂平面ABC,∴PA⊥BD.(2)∵AB=BC,D为线段AC的中点,∴在△ABC中,BD⊥AC.又由(1)知,PA⊥BD,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面BDE,∴平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,由D是AC的中点知,E为PC的中点.因此ED=PA=1,ED⊥平面BDC.由AB=BC=2,AB⊥BC,D为AC的中点知,BD=CD=.又由BD⊥AC知,BD⊥DC,即∠BDC=90°.因此V E-BCD=S△BCD·ED=××××1=.22.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=+-1,且a n>0,n∈N*.(1)求a1,a2,a3;(2)猜想{a n}的通项公式,并用数学归纳法证明.【解析】(1)a1=S1=+-1,即+2a1-2=0,∵a n>0,∴a1=-1.S2=a1+a2=+-1,即+2a2-2=0,∴a2=-.S3=a1+a2+a3=+-1,即+2a3-2=0,∴a3=-.(2)由(1)猜想a n=-,n∈N*.下面用数学归纳法证明:当n=1时,由(1)知a1=-1,猜想成立;假设当n=k(k∈N*)时,a k=-, 猜想成立,那么当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k=-=+-.∴+2a k+1-2=0.∴a k+1=-,即当n=k+1时猜想也成立.综上可知,对任何n∈N*猜想都成立.。

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于()A.28B.32C.33D.27解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案B2用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()A.将结论与条件同时否定,推出矛盾B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件答案B3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面”.()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.答案C4已知c>1,a=,b=,则正确的结论是()A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b大小不定解析∵a=,b=,而,∴a<b.答案B5下列结论正确的是()A.当x>0,且x≠1时,lg x+≥2B.当x>0时,≥2C.当x≥2时,x+的最小值为2D.当0<x≤2时,x-无最大值解析选项A错在lg x的正负不明确;选项C错在等号成立的条件不存在;根据函数f(x)=x-的单调性,当x=2时,f(x)取最大值,故选项D错误.答案B6观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18= 47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案C7设x i,a i(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题“若x1+x2=1,则≤()2”分别推理得出了新命题:甲:若x1+x2+x3=1,则≤()2;乙:若x1+x2+x3+x4=1,则≤()2.。

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第二章 推理与证明本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、 选择题（本题共8小题，每小题7分，共56分） 1.已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的（ ）Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 2．设a 、b 、c 都是正数，则1a b +,1b c +,1c a+三个数（ ）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于23．在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos a bA B=，则△ABC 一定是（ ） Ａ. 等腰三角形 Ｂ. 直角三角形 Ｃ.等边三角形 Ｄ. 等腰直角三角形4．给定正整数n(n ≥2)按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数.例如n=6时数表如图所示，则当n=2 007时最后一行的数是（ ）A ．251×22 007 B.2 007×22 006 C.251×22 008 D.2 007×22 005 5.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去,则 a 2 009+a 2 010+a 2 011等于( )A.1 003B.1 005C.1 006D.2 0116.平面内有4个圆和1条抛物线，它们可将平面分成的区域的个数最多是（ ）A.29B.30C.31D.32 7.下面使用类比推理正确的是A ．“若33,a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅，则a b =B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”D ．“()nn nab a b =”类推出“()nnna b a b +=+ 8.已知函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，都有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为（ ）Ａ.2log y x = B.y x =C.2y x =D.3y x =二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 9.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>0解析∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.答案D2函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解析f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)·(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2,故选D.答案D3已知在等差数列{a n}中,a5+a11=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析已知在等差数列{a n }中,a 5+a 11=16,又a 5+a 11=2a 8,所以a 8=8.又2a 8=a 4+a 12,所以a 12=15.故选A. 答案A4已知a ≥0,b ≥0,且a+b=2,则( )A.ab ≤12B.ab ≥12C.a 2+b 2≥2D.a 2+b 2≤3解析由a+b=2,可得ab ≤1,当且仅当a=b=1时取等号.又a 2+b 2=4-2ab ,∴a 2+b 2≥2. 答案C5已知实数a ≠0,且函数f (x )=a (x 2+1)-(2x +1a )有最小值-1,则a= .解析f (x )=ax 2-2x+a-1a 有最小值,则a>0,对称轴为x=1a ,f (x )min =f (1a)=-1,即f (1a )=a ·(1a )2-2×1a +a-1a =-1,即a-2a =-1,所以a 2+a-2=0(a>0),解得a=1. 答案16设p ,q 均为实数,则“q<0”是“关于x 的方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的 条件.(填“充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”)解析因为q<0,所以Δ=p 2-4q>0.所以“方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.因为“方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”,所以q<0.答案充要7设a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a+1b+1c>√a +√b +√c . 分析解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证. 证明因为a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,所以1a+1b+1c=bc+ca+ab.又bc+ca ≥2√bc ·√ca =2√c ,ca+ab ≥2√ca ·√ab =2√a ,ab+bc ≥2√ab ·√bc =2√b ,且a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不能同时成立.所以2(bc+ca+ab )>2(√c +√a +√b ), 即bc+ca+ab>√a +√b +√c . 故1a +1b +1c >√a +√b +√c .8在△ABC 中,三边a ,b ,c 成等比数列.求证:a cos 2C 2+c cos 2A 2≥32b. 证明∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac. ∵左边=a (1+cosC )2+c (1+cosA )2=12(a+c )+12(a cos C+c cos A )=12(a+c )+12(a ·a 2+b 2-c 22ab+c ·b 2+c 2-a 22bc)=12(a+c )+12b ≥√ac +b 2=b+b 2=32b=右边,当且仅当a=c 时,等号成立,∴a cos 2C2+c cos 2A2≥32b.9若a ,b ,c 是不全相等的正数,求证:lga+b 2+lg b+c 2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c. 证明∵a ,b ,c ∈(0,+∞),∴a+b2≥√ab >0,b+c2≥√bc >0,a+c2≥√ac >0.又a ,b ,c 是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a+b 2·b+c 2·c+a2>abc 成立. 上式两边同时取常用对数,得lg (a+b 2·b+c 2·c+a2)>lg(abc ),∴lga+b 2+lg b+c 2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c. 能力提升1若a ,b ,c 是常数,则“a>0,且b 2-4ac<0”是“对任意x ∈R ,有ax 2+bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为a>0,且b 2-4ac<0⇒ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立.反之,ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立不能推出a>0,且b 2-4ac<0,反例为:当a=b=0,且c>0时也有ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立,所以“a>0,且b 2-4ac<0”是“对任意x ∈R ,有ax 2+bx+c>0”的充分不必要条件. 答案A2在面积为S (S 为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为θ,半径为r ,当扇形的周长p 最小时,θ,r 的值分别是( ) A.θ=1,r=√S B.θ=2,r=√S 4C.θ=2,r=√S 3D.θ=2,r=√S解析因为S=12θr 2,所以θ=2S r2.又扇形周长为p=2r+θr=2(r +Sr)≥4√S ,所以当r=S r,即r=√S 时,p 取最小值,此时θ=2. 故选D. 答案D★3若O 是平面上的定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心解析因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|). 所以AP 是△ABC 中∠BAC 的内角平分线.故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案B4已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 . 解析∵sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=-12.答案-125已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i∈M ,i=1,2,…,n }. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2)设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. (1)解当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)·q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.6已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1.(1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32.证明(1)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列.a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (2)由(1)知1a n=23n-1. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1,所以13n-1≤12×3n -1.于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32(1-13n)<32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.★7设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在(12,1)内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n+1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n (12)=1+12+(12)2+…+(12)n-2=1-(12)n+11-12-2=-12n <0,所以F n (x )在(12,1)内至少存在一个零点.又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0,故F n (x )在(12,1)内单调递增,所以F n (x )在(12,1)内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1-x n n+11-x n-2=0,故x n =12+12x n n+1.(2)解当x=1时,f n (x )=g n (x );当x ≠1时,f n (x )<g n (x ). 证明如下:由假设,g n (x )=(n+1)(1+x n )2. 设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n+1)(1+x n )2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n+1)x n -12. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n+1)2x n-1=n (n+1)2x n-1-n (n+1)2x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n+1)2x n-1 =n (n+1)2x n-1-n (n+1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x );当x≠1时,f n(x)<g n(x).。

2019-2020年高中数学第二章推理与证明测评B 新人教A版选修2-2 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(xx·山东高考)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.答案:A2.(xx·北京高考)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.答案:B3.(xx·湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.B.C.D.解析:由题意可知:L=2πr,即r=,圆锥体积V=Sh=πr2h=π·h=L2h≈L2h,故,π≈,故选B.答案:B4.(xx·广东高考)设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析:如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,对于A,设l为AA1,平面B1BCC1,平面DCC1D1为α,β.A1A∥平面B1BCC1,A1A∥平面DCC1D1,而平面B1BCC1∩平面DCC1D1=C1C;对于C,设l为A1A,平面ABCD为α,平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD,A1A∥平面DCC1D1,而平面ABCD∩平面DCC1D1=DC;对于D,设平面A1ABB1为α,平面ABCD为β,直线l为D1C1,平面A1ABB1⊥平面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而D1C1∥平面ABCD.故A,C,D都是错误的.而对于B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知B正确.答案:B5.(xx·辽宁高考)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析:若∠OBA为直角,则=0,即a2+(a3-b)·a3=0,又a≠0,故b=a3+;若∠OAB为直角时,则=0,即b(a3-b)=0,得b=a3;若∠AOB为直角,则不可能.所以b-a3-=0或b-a3=0,故选C.答案:C6.(xx·浙江高考)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2解析:由题意知,运算“∧”为两数中取小,运算“∨”为两数中取大,由ab≥4知,正数a,b中至少有一个大于等于2.由c+d≤4知,c,d中至少有一个小于等于2,故选C.答案:C7.(xx·陕西高考)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x]解析:令x=1.1,[-1.1]=-2,而-[1.1]=-1,所以A错;令x=-=0,=-1,所以B错;令x=0.5,[2x]=1,2[x]=0,所以C错;故选D.答案:D8.(xx·四川高考)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是()A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]解析:当a=0时,f(x)=为增函数,∴b∈[0,1]时,f(b)∈[1,].∴f(f(b))≥>1.∴不存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,故D错;当a=e+1时,f(x)=,当b∈[0,1]时,只有b=1时,f(x)才有意义,而f(1)=0,∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故B,C错.故选A.答案:A9.(xx·浙江高考)设a>0,b>0,e是自然对数的底数,()A.若e a+2a=e b+3b,则a>bB.若e a+2a=e b+3b,则a<bC.若e a-2a=e b-3b,则a>bD.若e a-2a=e b-3b,则a<b解析:考查函数y=e x+2x为单调增函数,若e a+2a=e b+2b,则a=b;若e a+2a=e b+3b,∴a>b.故选A.答案:A10.(xx·江西高考)观察下列事实:|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4,|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8,|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12,…,则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为()A.76B.80C.86D.92解析:由已知条件得,|x|+|y|=n(n∈N*)的不同整数解(x,y)的个数为4n,所以|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为80,故选B.答案:B第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题中的横线上)11.(xx·陕西高考)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱5 6 9五棱锥6 6 10立方体6 8 12猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案:F+V-E=212.(xx·课标全国Ⅰ高考)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.解析:根据甲、乙、丙说的可列表得A B C甲√×√乙√××丙√答案:A13.(xx·山东高考)观察下列各式:=40;=41;=42;=43;……照此规律,当n∈N*时,+…+=.解析:观察各式有如下规律:等号左侧第n个式子有n项,且上标分别为0,1,2,…,n-1,第n行每项的下标均为2n-1.等号右侧指数规律为0,1,2,…,n-1.所以第n个式子为+…+=4n-1.答案:4n-114.(xx·陕西高考)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N*,则f2 014(x)的表达式为.解析:依题意,f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=f,f3(x)=f(f2(x))=f,…,由此可猜测f n(x)=,故f2 014(x)=.答案:15.(xx·福建高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算 义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.解析:若1≤k≤3,则x4=1,x5=1,x6=0,x7=1,不满足x4x5x6x7=0;若k=4,则二元码为1100101,不满足x1x3x5x7=0;若k=5,则二元码为1101001,满足方程组,故k=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题8分)(xx·安徽高考)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{x n}的通项公式;(2)记T n=,证明:T n≥.(1)解:y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-.(2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n=.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为,所以T n>×…×.综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.17.(本小题8分)(xx·山东高考)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,记T n=-b1+b2-b3+b4-…+(-1)n b n,求T n.解:(1)由题意知(a1+d)2=a1(a1+3d),即(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2,所以数列{a n}的通项公式为a n=2n.(2)由题意知b n==n(n+1),所以T n=-1×2+2×3-3×4+…+(-1)n n·(n+1).因为b n+1-b n=2(n+1),可得当n为偶数时,T n=(-b1+b2)+(-b3+b4)+…+(-b n-1+b n)=4+8+12+…+2n=,当n为奇数时,T n=T n-1+(-b n)=-n(n+1)=-.所以T n=18.(本小题10分)(xx·北京高考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;(2)求证:C1F∥平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥底面ABC.所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明:取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FG∥AC,且FG=AC.因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1.所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.(3)解:因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=.所以三棱锥E-ABC的体积V=S△ABC·AA1=×1×2=.19.(本小题12分)(xx·江苏高考)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解:(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=(t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2+=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2++3=(k+1)+2+,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++2=(k+1)+2+,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++1=(k+1)+2+,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.20.(本小题12分)(xx·陕西高考)设f n(x)是等比数列1,x,x2,…,x n的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(1)证明:函数F n(x)=f n(x)-2在内有且仅有一个零点(记为x n),且x n=;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n(x),比较f n(x)和g n(x)的大小,并加以证明.(1)证明:F n(x)=f n(x)-2=1+x+x2+…+x n-2,则F n(1)=n-1>0,F n=1++…+-2=-2=-<0,所以F n(x)在内至少存在一个零点.又F n'(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在内单调递增,所以F n(x)在内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即-2=0,故x n=.(2)解法一:由假设,g n(x)=.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-.若0<x<1,h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.若x>1,h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-x n-1=x n-1-x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).解法二:由题设,f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=,x>0.当x=1时,f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时,f2(x)-g2(x)=-(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=+x k+1=.又g k+1(x)-=,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0),则h k'(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1).所以,当0<x<1时,h k'(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减;当x>1时,h k'(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).解法三:由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m k'(x)=·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,x n-k+1<1,m k'(x)<0;若x>1,x n-k+1>1,m k'(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k(x)>m k(1)=0.所以当m>0且m≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时,f n(x)=g n(x);当x≠1时,f n(x)<g n(x).2019-2020年高中数学第二章 推理与证明章末小结 新人教A 版选修1-2合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个点，第n 个图案中圆点的总数是S n .••••， • • •• •• • •， • • • •• •• •• • • •，… n ＝2，S 2＝4；n ＝3，S 3＝8；n ＝4，S 4＝12；…，按此规律，推出S n 与n 的关系式为________．解析：依图的构造规律可以看出：S 2＝2×4－4， S 3＝3×4－4，S 4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)．答案：S n ＝4n －4(n ≥2，n ∈N *)若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列b n ＝na 1·a 2·…·a n (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{c n }是等差数列，则有d n ＝________也是等差数列．解析：类比猜想可得d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn也成等差数列，若设等差数列{c n }的公差为x ，则d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn＝nc 1＋n （n －1）2xn＝c 1＋(n －1)·x2.可见{d n }是一个以c 1为首项，x2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：c 1＋c 2＋…＋c nn已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)·g (2)和f (9)－5f (3)·g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝（－x ）13－（－x ）－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 131－x －1315－x 132－x －1325＝15(x 131－x 132)⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1x 131·x 132. ∵x 131－x 132<0，1＋1x 131·x 132>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得f (4)－5f (2)·g (2)＝0，f (9)－5f (3)·g (3)＝0. 由此概括出对所有不等于零的实数x 有f (x 2)－5f (x )·g (x )＝0.∵f (x 2)－5f (x )·g (x )＝x 23－x －235－5·x 13－x －135·x 13＋x －135＝15(x 23－x －23)－15(x 23－x －23)＝0， ∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性．►变式训练1．已知数列{a n }的相邻两项a 2k －1，a 2k 是关于x 的方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k＝0的两个根且a 2k －1≤a 2k (k ＝1，2，3，…)．(1)求a 1，a 3，a 5，a 7及a 2n (n ≥4)，不必证明； (2)求数列{a n }的前2n 项和S 2n .解析：(1)方程x 2－(3k ＋2k )x ＋3k ·2k ＝0的两根为x 1＝3k ，x 2＝2k.当k ＝1时，x 1＝3，x 2＝2，∴a 1＝2； 当k ＝2时，x 1＝6，x 2＝4，∴a 3＝4； 当k ＝3时，x 1＝9，x 2＝8，∴a 5＝8； 当k ＝4时，x 1＝12，x 2＝16，∴a 7＝12. ∵当n ≥4时，2n＞3n ，∴a 2n ＝2n(n ≥4)．(2)S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(3＋6＋9＋…＋3n )＋(2＋22＋ (2))＝3n 2＋3n 2＋2n ＋1－2.直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用．设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：证法一(综合法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 证法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab≥8， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab≥8， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b≥4， 即证b a ＋a b ≥2. 由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，∴原不等式成立．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点G .∵EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， ∴四边形AGEF 为平行四边形．∴AF ∥EG .∵EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FG ，∵EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFG 为菱形，∴CF ⊥EG .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EG ＝G .∴CF ⊥平面BDE .►变式训练2．在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，数列{b n }满足b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，且b 1·b 2·b 3＝164. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.(1)解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ， 所以b 1＝12，b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋d ，b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2d . 由b 1b 2b 3＝164，解得d ＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)证明：由(1)得b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 设T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，① 则12T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 所以T n ＝2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ＝2－12n －1－n 2n ， 又因为2－12n －1－n2n ＜2，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＜2.点评：本题考查了等差数列的性质以及利用综合法证题的过程．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要。

选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题一.选择题: （以下题目从4项答案中选出一项，每小题5分，共50分） 1. 集合P ={1, 4, 9, 16…}，若a ∈P , b ∈P 则a ⊕b ∈P ，则运算⊕可能是（ ） A ．加法 B ．减法 C ．除法 D ．乘法2. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（ ） A ．直角梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形3.给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若a,b b a b a R =⇒=-∈0,则”类比推出“若a,b b a b a C =⇒=-∈0,则”； ②“若a,b,c,d d b c a di c bi a R ==⇒+=+∈,,则复数”类比推出“若a,b,c,d ,Q ∈ 则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”；③“若a,b b a b a R >⇒>-∈0,则” 类比推出“若a,b b a b a C >⇒>-∈0,则”； 其中类比结论正确的个数是（ ） (A)0 (B)1 (C)2(D)34.平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到(3)n n ≥维向量，n 维向量可用 123(,,,,)n x x x x 表示.设123(,,,,)n a a a a a =,123(,,,,)n b b b b b =,规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====n i ni i i ni ii b a ba 11221))((cos θ.当(1,1,1,1)a =,(1,1,1,1)b =--时，cos θ=（ ）A ．n n 1- B ．nn 3- C ．n n 2- D ．n n 4- 5. 下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是（ ）A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 6. 若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为 y =x 2、值域为{0,4}的“同族函数”共有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D.无数7.对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若 ,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（ ） A ．92 B ．92- C ．41D ．4- 8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

第二章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若实数a ，b 满足b >a >0，且a ＋b ＝1，则下列四个数最大的是( )A ．a 2＋b 2B ．2ab C.12 D ．a答案 A2．下面用“三段论”形式写出的演练推理：因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，y ＝(12)x 是指数函数，所以y ＝(12)x在(0，＋∞)上是增函数．该结论显然是错误的，其原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都可能解析 大前提是：指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数，这是错误的．答案 A3．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定解析 a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，∵c ＋1＋c >c ＋c －1，∴a <b .答案 B4．下面使用类比推理正确的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )·c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )·c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋b c(c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n b n ”类比推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ” 解析 由类比出的结果应正确知选C. 答案 C5．函数y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18B.14C.12D ．1解析 ∵y ＝ax 2＋1，∴y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＝1，y 0＝x 0，y 0＝ax 2＋1，⇒a ＝14.答案 B6．已知f (x )＝sin(x ＋1)π3－3cos(x ＋1)π3，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2011)＝( )A ．2 3 B. 3 C ．－ 3D ．0解析 f (x )＝2[12sin(x ＋1)π3－32cos(x ＋1)π3]＝2sin π3x ，∴周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝2(32＋32＋0－32－32＋0)＝0，∴f (2011)＝f (6×335＋1)＝f (1)＝2sin π3＝ 3.答案 B7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，且n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数为( )A ．2k －1B ．2k ＋1C ．2k －1D ．2k解析 当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k＋1－1，所以增加的项数为(2k＋1－1)－2k＋1＝2k＋1－2k＝2k.答案 D8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列解析设等比数列{a n}的公比为q，则a n＋a n＋1＝a n(1＋q)．∴当q≠－1时，{a n＋a n＋1}一定是等比数列；当q＝－1时，a n＋a n＋1＝0，此时为等差数列．答案 C9．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为：a n＝an＋2，b n＝bn ＋1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析假设存在相同的项是第n项，即an＋2＝bn＋1，∴(a－b)n＝－1(a>b，n∈N*)，矛盾．答案 A10．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是( )A．平行四边形的对角线相等B．正方形的对角线相等C．正方形是平行四边形D．以上都不是解析大前提②，小前提③，结论①.答案 B11．观察下表：1 2 3 4……第一行2345……第二行3456……第三行4567……第四行⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮第一列第二列第三列第四列根据数表所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为( ) A．2n－1 B．2n＋1C．n2－1 D．n2解析观察数表可知，第n行第n列交叉点上的数依次为1,3,5,7，…，2n－1.答案 A12．对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p，q ∈R，若(1,2)⊗(p，q)＝(5,0)，则(1,2)⊕(p，q)等于( ) A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－4)解析 由(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2.所以(1,2)⊕(p ，q )＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)． 答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析 ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒(a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒a ＋b 2>a ＋b2⇒lga ＋b2>lga ＋b2.答案 m >n14．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．解析 等式左边从n 项起共有(2n －1)项相加，右边为(2n －1)2，∴n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.答案 n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2 15．若数列{a n }是等差数列，则有数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．类比上述性质，相应地，若数列{c n }为等比数列，且c n >0(n ∈N *)，则d n ＝________时，{d n }也是等比数列．答案nc 1c 2…c n16．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________”．答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知0<a <1，求证：1a ＋41－a ≥9.证法1 (分析法) 要证1a ＋41－a ≥9，∵0<a <1，∴1－a >0，∴只需证1－a ＋4a ≥9a (1－a )， 即证1＋3a ≥9a (1－a )， 即证9a 2－6a ＋1≥0， 即证(3a －1)2≥0， 上式显然成立． ∴原命题成立． 证法2 (综合法) ∵(3a －1)2≥0， 即9a 2－6a ＋1≥0， ∴1＋3a ≥9a (1－a )． ∵0<a <1，∴1＋3a a (1－a )≥9， 即1－a ＋4aa (1－a )≥9，即1a ＋41－a ≥9. 证法3 (反证法) 假设1a ＋41－a <9，即1a ＋41－a －9<0， 即1－a ＋4a －9a (1－a )a (1－a )<0，即9a 2－6a ＋1a (1－a )<0，即(3a －1)2a (1－a )<0， 而0<a <1，∴a (1－a )>0，∴(3a －1)2<0，与(3a －1)2≥0相矛盾， ∴原命题成立．18．(12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知2和3都是无理数，试证：2＋3也是无理数． 证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实数．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，解得－2<m <－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14<m 2<4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解 (1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．19．(12分)已知数列{a n }和{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n .求证：数列{c n }不是等比数列．证明 假设{c n }是等比数列，则c 1，c 2，c 3成等比数列．设{a n }，{b n }的公比分别为p 和q ，且p ≠q ，则a 2＝a 1p ，a 3＝a 1p 2，b 2＝b 1q ，b 3＝b 1q 2.∵c 1，c 2，c 3成等比数列， ∴c 22＝c 1·c 3，即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.∴p＝q与已知p≠q矛盾．∴数列{c n}不是等比数列．20．(12分)证明：若a>0，则a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明∵a>0，要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2，只需证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即证a2＋1a2＋4＋4a2＋1a2≥a2＋1a2＋4＋22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥22(a＋1a)，即证a2＋1a2≥12(a2＋1a2＋2)，即证a2＋1a2≥2，即证(a－1a)2≥0，该不等式显然成立．∴a2＋1a2－2≥a＋1a－2.21．(12分)如右图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：∵P，Q分别为AE，AB的中点，∴PQ∥EB，又DC∥EB.∴PQ∥DC，而PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，∴PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，∵Q 为AB 的中点，且AC ＝BC ，∴CQ ⊥AB .∵DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，∴EB ⊥平面ABC .∴CQ ⊥EB ，故CQ ⊥平面ABE .由(1)知，PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， ∴四边形CQPD 为平行四边形．∴DP ⊥平面ABE .故∠DAP 为AD 与平面ABE 所成角．在Rt △DAP 中，AD ＝5，DP ＝1，∴sin ∠DAP ＝55. 因此AD 与平面ABE 所成角的正弦值为55. 22．(12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2(x ≠－1a，a >0)，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解 (1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得 ⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13<0)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34，x 2＝(1－f (1))(1－f (2))＝34×(1－19)＝23，x 3＝23(1－f (3))＝23×(1－116)＝58，x 4＝58×(1－125)＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22n ＋2. 证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·[1－1(k ＋1＋1)2]＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。

高中数学第二章推理与证明综合检测新人教A版选修2-2时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A．10 B．14C．13 D．100[答案] B[解析] 设n∈N*，则数字n共有n个，所以n n＋12≤100即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( ) A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1[答案] C[解析] 左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n－1；由n＝k时，末项为12k－1到n＝k＋1时末项为12k＋1－1＝12k－1＋2k，∴应增加的项数为2k.故选C.[点评] 本题是基础题，考查用数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．4．下列说法正确的是( )A．“a<b”是“am2<bm2”的充要条件B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1≤0”C．“若a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数”D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题[答案] C[解析] A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件，故A错；B中“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1>0”，故B错；C正确；D中p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错．5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案] D[解析] 特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.证明如下：当k＝1时，已验证结论成立，假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，∴21(2＋7n)－36能被9整除，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．故命题对任何k∈N*都成立．6．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D. 7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1， ∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13 B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ， 由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛－20 (x 2＋2x )d x ＝⎪⎪⎪13x 3＋x 20－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c [答案] A [解析]令n ＝1、2、3，得{ 3a －bc ＝192a －bc ＝7273a －bc ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC中，D为边BC的中点，则AD→＝12(AB→＋AC→)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_________________________________________________________________ _______.[答案] 在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则AG→＝13(AB→＋AC→＋AD→)14．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________________.[答案]x2n－1x＋2n[解析] 观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见，f n(x)的分子为x，分母中x的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n.故f n(x)＝x2n－1x＋2n.15．(2014～2015·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________________．[答案] S2＝S21＋S22＋S23[解析] 类比如下： 正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ， ∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014～2015·洛阳部分重点中学质量检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝________________. [答案] 1－1n ＋12n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－122 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，3 1×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n∈N*，31×2×12＋42×3×122＋…＋n＋2n n＋1×12n＝1－1n＋12n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥1 3 .[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2. 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥1 3 .18．(本题满分12分)我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵c n＝a n＋b n (n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC 的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cos C＞0.∵cos C＝a2＋b2－c22ab，∴要证cos C＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：a n＋b n＝c n，于是将①等价变形为：(a2＋b2)c n－2＞c n.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴c n－2＞a n－2，c n－2＞b n－2，即c n－2－a n－2＞0，c n－2－b n－2＞0，从而(a2＋b2)c n－2－c n＝(a2＋b2)c n－2－a n－b n＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0， 这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．19．(本题满分12分)(2015·吉林市实验中学高二期中)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB 的值，并证明．[解析]设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x22，y 0＝y 1＋y 22.k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k OM ·k AB ＝y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22.将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1中可得：x 21a 2－y 21b 2＝1① x 22a 2－y 22b2＝1② ①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，∴y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.20．(本题满分12分)若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)12 >(x3＋y3)13 .[证明] 要证(x2＋y2)12 >(x3＋y3)13 ，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，故只需证3x2＋3y2>2xy.而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，所以(x2＋y2)12 >(x3＋y3)13 成立．21．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1x1－2x2＋1x1＋1x2＋1＝3x2－x1x 1＋1x2＋1>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝a x ln a＋x＋1x－2x ＋12＝a x ln a＋3x＋12∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3x ＋12>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立， 即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1)， ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1. ②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0. 综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1a1－1a2＋⎝⎛⎭⎪⎫1a2－1a3＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1an－1an＋1＝1d⎝⎛⎭⎪⎫1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式1 a1 a2＋1a 2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式1a 1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a 1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a 1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a 1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

2.2.2 反证法一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.2．用反证法证明“如果a b >>A =<=C D =<【答案】D【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程02=++b ax x 没有实根B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除【答案】B【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.6．设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵12c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则22122x x +≥，但()222212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424c c c c =+=<，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.二、填空题7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.【答案】1-≠x 且1≠x【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设．【答案】c b a ,,都小于31 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.。

第二章 推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半； 直角三角形的面积等于底乘高的一半； 钝角三角形的面积等于底乘高的一半； 所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半． 以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n(n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0， 所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a的大小关系是( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则ab ＞1，a －b ＞0，∴p q＞1； 若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴p q＞1； 若a ＝b ，则p q＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)－f (2k)＝________.[答案]12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 [解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k f (2k ＋1)－f (2k )＝12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α) ＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin (30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力． ①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1， 即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 22cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1. (1)求a 2、a 3、a 4； (2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式． [解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)， 即1a n －1－1a n －1－1＝1， 所以{1a n －1}是等差数列． 由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1， 变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0 则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根． 解法2：设x 0<0(x 0≠－1) ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1. ②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n＝a n＋b n(n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n， 于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n.② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞an －2，cn －2＞bn －2，即cn －2－an －2＞0，cn －2－bn －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)cn －2－a n －b n＝a 2(cn －2－an －2)＋b 2(cn －2－bn －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0. 证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立． 若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1 ＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋1.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1， 在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．。

第二章 推理与证明（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.证明：n ＋22＜1＋12＋13＋14＋…＋12n＜n ＋1（n ＞1），当n ＝2时，中间式子等于（ ） A.1 B.1＋12C.1＋12＋13D.1＋12＋13＋14解析：选D.n ＝2时中间式子的最后一项为14，所以中间式子为1＋12＋13＋14.2.用反证法证明命题：“若函数f （x ）＝x 2＋px ＋q ，那么|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是（ ）A.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都不小于12B.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12C.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有两个小于12D.假设|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|至多有一个小于12解析：选B.“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|中至少有一个不小于12”的反设为“|f （1）|，|f （2）|，|f （3）|都小于12”.3.设x ＞0，则不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，推广到x ＋axn ≥n ＋1，则a＝（ ）A.2nB.2nC.n 2D.n n解析：选D.结合已知的三个不等式可以发现第二个加数的分子是分母x 的指数的指数次方，可得a ＝n n.4.下面是一段“三段论”推理过程：若函数f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）>0恒成立.因为f （x ）＝x 3在（－1，1）内可导且单调递增，所以在（－1，1）内，f ′（x ）＝3x 2>0恒成立.以上推理中（ ）A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误解析：选A.f （x ）在（a ，b ）内可导且单调递增，则在（a ，b ）内，f ′（x ）≥0恒成立，故大前提错误，故选A.5.用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是（ ）A.2k （k ＋2）B.1k （k ＋1）C.1（k ＋1）（k ＋2）D.2（k ＋1）（k ＋2）解析：选D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是11＋2＋3＋…＋（k ＋1）＝2（k ＋1）（k ＋2）.故选D.6.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是（ ）A.a －b >0B.a －c <0C.（a －b ）（a －c ）>0D.（a －b ）（a －c ）<0解析：选C.要证明 b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2，只需证（a ＋c ）2－ac <3a 2，只需证－2a 2＋ac ＋c 2<0，即证2a 2－ac －c 2>0，即证（a －c ）（2a ＋c ）>0，即证（a －c ）（a －b ）>0.7.若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是（ ）A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin Cc，所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c.所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°，所以△ABC 是等腰直角三角形.8.已知f （x ）＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＞0，a ＋c ＞0，b ＋c ＞0，则f （a ）＋f （b ）＋f （c ）的值一定（ ）A.大于0B.等于0C.小于0D.正负都可能解析：选A.f （x ）为奇函数，也是增函数，因此由a ＋b ＞0可得a ＞－b ，所以f （a ）＞f （－b ），即f （a ）＞－f （b ），于是f （a ）＋f （b ）＞0，同理，f （a ）＋f （c ）＞0，f （b ）＋f （c ）＞0，所以f （a ）＋f （b ）＋f （c ）＞0.9.我们把平面中的结论“到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”拓展至空间中为“到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”，类似可得：已知A （－1，0，0），B （1，0，0），则点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹描述正确的是（ ）A.以A ，B 为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面B.以A ，B 为焦点的椭球体C.以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面D.以上都不对解析：选C.在平面中，点集{P （x ，y ）||PA |－|PB |＝1}是以A ，B 为焦点的双曲线的一支，点集{P （x ，y ，z ）||PA |－|PB |＝1}在空间中的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面，故选C.10.我国古代数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”是高，“幂”是截面积.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，区域①是一个形状不规则的封闭图形，区域②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，且当实数t 取[0，3]上的任意值时，直线y ＝t 被区域①和区域②所截得的两线段长总相等，则区域①的面积为（ ）A.4B.92 C.5D.112解析：选B.根据题意，由祖暅原理分析可得①的面积等于②的面积，又②是一个上底长为1、下底长为2的梯形，所以①的面积为（1＋2）×32＝92.11.已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个“整数对”是（ ）A.（7，5）B.（5，7）C.（2，10）D.（10，2）解析：选B.依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60个“整数对”是（5，7）.12.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形.假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos （90°－∠A 2）， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，所以（90°－∠A 2）＋（90°－∠B 2）＋（90°－∠C 2）＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立.若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π2，则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在（0，π）内无解.故选D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.补充下列证明过程： 要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac （a ，b ，c ∈R ），即证，即证Ｗ. 因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立，故命题结论成立. 答案：2（a 2＋b 2＋c 2）≥2ab ＋2bc ＋2ac （a －b ）2＋（b －c ）2＋（a －c ）2≥014.已知a ＝5－12，函数f （x ）＝a x，若实数m ，n 满足f （m ）>f （n ），则m ，n 的大小关系为Ｗ.解析：因为当0<a <1时，函数f （x ）＝a x为减函数，a ＝5－12∈（0，1），所以函数f （x ）＝（5－12）x为减函数.故由f （m ）>f （n ）得m <n .答案：m <n15.有三X 卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是Ｗ.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一X ，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .答案：1和316.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n （n ≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数（从左往右数）为Ｗ. 11 1212 131613 14112112141512013012015…解析：由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为17，由“每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝142.同理易知，第7行第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1140.答案：1140三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）定义在[－1，1]上的奇函数f （x ），当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b＞0.证明：函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.证明：假设函数f （x ）的图象上存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直，则A ，B 两点的纵坐标相同.设它们的横坐标分别为x 1和x 2，x 1＜x 2，且x 1，x 2∈[－1，1]，则f （x 1）＝f （x 2）. 又f （x ）是奇函数，所以f （x 1）－f （x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）＝f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）[x 1＋（－x 2）].又由题意，得f （x 1）＋f （－x 2）x 1＋（－x 2）＞0，且x 1＋（－x 2）＜0，所以f （x 1）＋f （－x 2）＜0，即f （x 1）－f （x 2）＜0， 这与f （x 1）＝f （x 2）矛盾，故假设不成立，即函数f （x ）的图象上不存在两个不同的点A ，B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直. 18.（本小题满分12分）已知：A ，B 都是锐角，且A ＋B ≠90°，（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2.求证：A ＋B ＝45°.证明：因为（1＋tan A ）（1＋tan B ）＝2， 展开化简为tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B . 因为A ＋B ≠90°，tan （A ＋B ）＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1.又因为A ，B 都是锐角，所以0°＜A ＋B ＜180°.所以A ＋B ＝45°.19.（本小题满分12分）已知a ＞0，b ＞0，2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ，只需证（a －c ）2＜（c 2－ab ）2， 只需证a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ，即证2ac ＞a 2＋ab ，因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b .因为2c ＞a ＋b 已知， 所以原不等式成立.20.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点C ），且AD ⊥DE ，F为B 1C 1的中点.求证：（1）平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； （2）直线A 1F ∥平面ADE .证明：（1）因为ABC ­A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以CC 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD .因为AD ⊥DE ，CC 1，DE ⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1. 因为AD ⊂平面ADE ， 所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.（2）因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点， 所以A 1F ⊥B 1C 1，因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F ⊂平面A 1B 1C 1， 所以CC 1⊥A 1F .因为CC 1，B 1C 1⊂平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1， 所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1. 由（1）知AD ⊥平面BCC 1B 1， 所以A 1F ∥AD .因为AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ， 所以A 1F ∥平面ADE .21.（本小题满分12分）设函数f （x ）＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1].证明：（1）f （x ）≥1－x ＋x 2；（2）34<f （x ）≤32.证明：（1）因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f （x ）≥1－x ＋x 2.（2）由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f （x ）＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f （x ）≤32.由第一问得f （x ）≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f （12）＝1924>34，所以f （x ）>34.综上，34<f （x ）≤32.22.（本小题满分12分）在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .（1）求a 1，a 2，a 3；（2）由（1）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 解：（1）易求得a 1＝1，a 2＝2－1，a 3＝3－ 2. （2）猜想a n ＝n －n －1（n ∈N *）证明：①当n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立. ②假设n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以，a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k .即n ＝k ＋1时，命题成立. 由①②知，n ∈N *时，a n ＝n －n －1.。

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.A.1个B.2个C.3个D.4个解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选C.答案C2有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案A3(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明此命题时可假设p+q≥2;(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证:关于x的方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于1.以下结论正确的是()A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题(1)结论的反面应为“p+q>2”;对命题(2),其结论的反面为“方程x2+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于或等于1”.故选D.答案D4如图,4个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位,第4次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第2 017次互换座位后,小兔所坐的座位号为()A.1B.2C.3D.4解析由题意得第4次互换座位后,4个小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2 017=4×504+1,所以第2 017次互换座位后结果与第1次互换座位结果相同,故小兔坐在1号座位上,故选A.答案A5若f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),…,f n+1(x)=f n'(x),n∈N*,则f2 017(x)等于()A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x解析由题意可知,函数f n(x)的表达式是呈周期性变化的,周期为4,而2 017=4×504+1, 故f2 017(x)=f1(x)=cos x,故选C.答案C6观察式子:1+,1+,1+,……,则可归纳出一般式子为()A.1++…+(n≥2,n∈N)B.1++…+(n≥2,n∈N)C.1++…+(n≥2,n∈N)D.1++…+(n≥2,n∈N)答案C7已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是()A.若a,b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b解析对于选项A,直线a,b有可能相交或异面;对于选项B,直线a,b有可能相交或异面;对于选项C,平面α,β有可能相交;对于选项D,若a⊥α,b⊥β,当a⊂β时,有b⊥a,当a⊄β时,因为α⊥β,所以a∥β,所以b⊥a,故选D.答案D8对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,则每组内奇数之和S n与其所在组的编号数n的关系是()A.S n=n2B.S n=n3C.S n=n4D.S n=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33;故归纳猜想S n=n3,故选B.答案B9古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:①②他们研究过图①中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图②中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289B.1 024C.1 225D.1 378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为a n=,第n个正方形数为b n=n2,由此可排除选项D(1 378不是平方数),将选项A,B,C中的数代入到三角形数与正方形数表达式中检验可知,符合题意的是选项C,故选C.答案C10六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图①所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),在如图②所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,A+B+C+D等于()A.2(AB2+AD2+A)B.3(AB2+AD2+A)C.4(AB2+AD2+A)D.4(AB2+AD2)解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A=2(A+AC2).连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,∴B+D=2(B+BD2).又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2).∵A=B,∴A+B+C+D=2(A+AC2)+2(B+BD2)=2(AC2+BD2+B+A)=2[2(AB2+AD2)+2A]=4(A B2+AD2+A).故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11用三段论证明f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数的步骤为.答案对定义域内的任意x,若满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数, 大前提因为x∈R,则-x∈R,f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sin x=-f(x), 小前提所以函数f(x)=x3+sin x(x∈R)为奇函数.结论12观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.解析因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想F+V-E=2.答案F+V-E=213为了保证信息安全传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密的原理如下:明文密文密文明文已知加密为y=a x-2(x为明文,y为密文),明文“3”通过加密后得到的密文为“6”,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方收到的密文为“14”,则原发送的明文为.解析由题意知,当x=3时,函数y=a x-2的函数值为6,即6=a3-2,∴a3=8,∴a=2.∴y=2x-2.则当y=14时,有14=2x-2,∴2x=16.∴x=4,故原发送的明文为4.答案414观察图象,第行的各数之和等于2 0172.解析观察知,题图中的第n行的各数构成一个首项为n,公差为1,共(2n-1)项的等差数列,其各项和为:S n=(2n-1)n+=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2.令(2n-1)2=2 0172,得2n-1=2 017,∴n=1 009.答案1 00915蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数,则用n表示的f(n)=.解析由于f(2)-f(1)=7-1=6,f(3)-f(2)=19-7=2×6,推测当n≥2时,有f(n)-f(n-1)=6(n-1),∴f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n-2)]+[f(n-2)-f(n-3)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1=3n2-3n+1.又f(1)=1=3×12-3×1+1,∴f(n)=3n2-3n+1.答案3n2-3n+1三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)实数的乘法与向量的数量积有以下类似的性质:a·b=b·a,a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c,(a+b)·c=a·c+b·c.则由①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c,猜想对于向量的数量积有什么样的结论,猜想是否正确?解猜想:①(a·b)·c=a·(b·c),②若a≠0,a·c=a·b,则b=c.这两个结论都不正确.①式左边表示与c共线的向量,右边表示与a共线的向量,c与a不一定共线,故等式不一定成立.②设a与c的夹角为α,a与b的夹角为β,由a·c=a·b,得|a||c|cos α=|a||b|cos β,可得|c|cos α=|b|cos β,则c,b在a方向上的投影相等,b,c不一定相等.故等式不一定成立.17(8分)已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,证明角B为锐角.分析在△ABC中,要证角B为锐角,只要证cos B>0,结合余弦定理可解决问题.证明要证明角B为锐角,只需证cos B>0.又因为cos B=,所以只需证明a2+c2-b2>0,即a2+c2>b2.因为a2+c2≥2ac,所以只需证明2ac>b2.由已知,得,即2ac=b(a+c).所以只需证明b(a+c)>b2,即只需证明a+c>b.而已知a,b,c为△ABC的三边,即a+c>b成立,所以角B为锐角.18(9分)设{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,c n=a n+b n,证明数列{c n}不是等比数列.分析假设数列{c n}是等比数列,利用{a n},{b n}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立.证明假设数列{c n}是等比数列,则当n≥2时,(a n+b n)2=(a n-1+b n-1)(a n+1+b n+1).①因为{a n},{b n}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q,所以=a n-1a n+1,=b n-1b n+1.代入①并整理,得2a n b n=a n+1b n-1+a n-1b n+1=a n b n,即2=.②当p,q异号时,<0,与②相矛盾;当p,q同号时,因为p≠q,所以>2,与②相矛盾.故数列{c n}不是等比数列.19(10分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:y=kx-与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|=,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.(1)解由题意知,b=1.由a2=b2+c2可得c=b=1,a=,所以椭圆的方程为+y2=1.由消去y得(2k2+1)x2-kx-=0.Δ=k2-4(2k2+1)×=16k2+>0恒成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.所以|AB|=·|x1-x2|=,化简得23k4-13k2-10=0,即(k2-1)(23k2+10)=0,解得k=±1.(2)证明因为=(x1,y1-1),=(x2,y2-1),所以=x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=0.所以不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.20(10分)已知数列{a n}的各项均为正数,b n=n a n(n∈N*),e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)=1+x-e x的单调区间,并比较与e的大小;(2)计算,由此推测计算的公式,并给出证明;(3)令c n=(a1a2…a n,数列{a n},{c n}的前n项和分别记为S n,T n,证明:T n<e S n.解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=1-e x.当f'(x)>0,即x<0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>0时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞).当x>0时,f(x)<f(0)=0,即1+x<e x.令x=,得1+,即<e.①(2)=1·=1+1=2;=2·2=(2+1)2=32;=32·3=(3+1)3=43.由此推测:=(n+1)n.②下面用数学归纳法证明②.(ⅰ)当n=1时,左边=右边=2,②成立.(ⅱ)假设当n=k时,②成立,即=(k+1)k.当n=k+1时,b k+1=(k+1)a k+1,由归纳假设可得=(k+1)k(k+1)=(k+2)k+1.所以当n=k+1时,②也成立.根据(ⅰ)(ⅱ),可知②对一切正整数n都成立.(3)由c n的定义、②、算术-几何平均值不等式、b n的定义及①得T n=c1+c2+c3+…+c n=(a1+(a1a2+(a1a2a3+…+(a1a2…a n=+…+≤+…+=b1+b2+…++…+b n·=b1+b2+…+b n+…+a1+a2+…+a n<e a1+e a2+…+e a n=e S n,即T n<e S n.。