2020-2021学年山西省大同市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案 - 副本

山西省大同市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学理试题第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π 2．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱 长等于A ．2 2B ．223C ．423D ．4333．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．x ＋2y －3＝04．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A(12，12，12)，B(12，12，0)，C(13，13，13)，则A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥ACC ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC5．若P(2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝06．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n7．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN ＝90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x有两个交点时，其斜率k 的取值范围是A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18) 9．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A ．85B ．25C ．285D ．12511．点P(4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －4)2＋(y －2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －1)2＝112．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为 A ．26＋2 B ．26－2 C ．5D ．6第II 卷 主观卷（共36分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分)13．顺次连结A(1,0)，B(1,4)，C(3,4)，D(5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是________．14．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为________．15．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝________，E ＝________.16．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．三、解答题（本题共6个小题，每小题8分）17．如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD.(1) 证明PA ⊥BD ；(2) 设PD ＝AD ＝1，求棱锥D －PBC 的高．18．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在直线上．(1) 求AD 边所在直线的方程；(2) 求矩形ABCD 外接圆的方程．19．已知圆的半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，圆被直线x －y ＝0截得的弦长为42，求圆的方程．20．如图，几何体E －ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD.(1) 求证：BE ＝DE ；(2) 若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －5)2＝4和圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.(1) 若直线l 1过点A(2,0)，且与圆C 1相切，求直线l 1的方程；(2) 直线l 2的方程是x ＝52，证明：直线l 1上存在点P ，满足过P 的无穷多对互相垂直的直线l 3和l 4，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等．22．如图已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是AB 、BB 1的中点．(1) 证明：BC 1∥面A 1CD ；(2) 设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE的体积．一、选择题B 、 D 、 D 、C 、 A 、D 、 D 、 C 、 C 、 D 、 A 、 B二、填空题13、184π314、 4x －y －2＝0或x ＝1 15、6 －2 16、x ＋y －3＝0 三、解答题17.(1)证明：因为∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，由余弦定理得BD ＝3AD.从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD.所以BD ⊥平面PAD.故PA ⊥BD.(2)如图，作DE ⊥PB ，垂足为E.已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC.由(1)知BD ⊥AD ， 又BC ∥AD ，所以BC ⊥BD.故BC ⊥平面PBD ，所以BC ⊥DE.则DE ⊥平面PBC.由题设知PD ＝1，则BD ＝3，PB ＝2.根据DE·PB ＝PD·BD ，得DE ＝32， 即棱锥D －PBC 的高为32.18.解： (1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T(－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标为 (0，－2)．因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又r ＝|AM|＝(2－0)2＋(0＋2)2＝2 2.所以矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.19.解：方法一：设圆的方程是(x －a)2＋(y －b)2＝10.因为圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a. ①解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，(x －a )2＋(y －b )2＝10，得2x 2－2(a ＋b)x ＋a 2＋b 2－10＝0， 所以x 1＋x 2＝a ＋b ，x 1·x 2＝a 2＋b 2－102.由弦长公式得2·(a ＋b )2－2(a 2＋b 2－10)＝42， 化简得(a －b)2＝4. ② 解①②组成的方程组，得a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.方法二：设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝10，则圆心为(a ，b)，半径r ＝10，圆心(a ，b)到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2. 的直角三角形得d 2＋(422)2＝r 2，即由弦长、弦心距、半径组成(a －b )22＋8＝10， 所以(a －b)2＝4.又因为b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，或a ＝－2，b ＝－4.故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10，或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.20. 解：(1)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC ＝CD 知，CO ⊥BD ，又已知CE ⊥BD ，所以BD ⊥平面OCE.所以BD ⊥OE ，即OE 是BD 的垂直平分线，所以BE ＝DE.(2)取AB 中点N ，连接MN ，DN ，∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ，∵△ABD 是等边三角形，∴DN ⊥AB.由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°＋30°＝90°，即BC ⊥AB ，所以ND ∥BC ，所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC.21. 解： (1)若直线斜率不存在，x ＝2符合题意；当直线l 1的斜率存在时，设直线l 1的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0， 由条件得|4k －5－2k|k 2＋1＝2，解得k ＝2120， 所以直线l 1的方程为x ＝2或y ＝2120(x －2)，即x ＝2或21x －20y －42＝0. (2)由题意知，直线l 3，l 4的斜率存在，设直线l 3的斜率为k ，则直线l 4的斜率为－1k， 设点P 坐标为(52，n)，互相垂直的直线l 3，l 4的方程分别为：y －n ＝k(x －52)，y －n ＝－1k (x －52)，即kx －y ＋n －52k ＝0，－1k x －y ＋n ＋52k＝0， 根据直线l 3被圆C 1截得的弦长与直线l 4被圆C 2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂径定理得：圆心C 1到直线l 3与圆心C 2到直线l 4的距离相等． 有⎪⎪⎪⎪4k －5＋n －52k k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪3k －1＋n ＋52k 1k 2＋1，22．解： (1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD ，由已知AC ＝CB ，D 为AB 中点，所以，CD ⊥AB ，又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1，由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得，∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D ，所以VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.。

山西省大同市 2020 版高二上学期期中数学试卷（理科）C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 直线 x﹣y+1=0 的倾斜角是（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2017 高一下·天津期末) 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 7 名学生在一次数学测试中的 成绩，已知甲组学生成绩的平均数是 m，乙组学生成绩的中位数是 n，则 n﹣m 的值是（ ）A . ﹣2 B . ﹣1 C.0 D.1 3. （2 分） (2016 高一下·咸阳期末) 一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出 1 个 球，若摸出红球的概率是 0.45，摸出白球的概率是 0.25，那么摸出黑球或白球的概率是（ ） A . 0.3 B . 0.55第 1 页 共 12 页C . 0.75 D . 0.7 4. （2 分） (2017·池州模拟) 某学校有 2500 名学生，其中高一 1000 人，高二 900 人，高三 600 人，为了了 解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数分别为 a，b， 且直线 ax+by+8=0 与以 A（1，﹣1）为圆心的圆交于 B，C 两点，且∠BAC=120°，则圆 C 的方程为（ ） A . （x﹣1）2+（y+1）2=1 B . （x﹣1）2+（y+1）2=2C . （x﹣1）2+（y+1）2=D . （x﹣1）2+（y+1）2= 5. （2 分） 已知两条直线 y=ax﹣2 和 3x﹣（a+2）y+1=0 互相平行，则 a 等于（ ） A . 1 或﹣3 B . ﹣1 或 3 C . 1或3 D . ﹣1 或﹣3 6. （2 分） 平面直角坐标系中直线 y=2x+1 关于 y=x﹣2 对称的直线 l 方程为（ ） A . x﹣4y﹣11=0 B . 4x﹣y+11=0 C . x﹣2y+7=0 D . x﹣2y﹣7=0 7. （2 分） (2016 高二下·南城期末) 某海滨游乐场出租快艇的收费办法如下：不超过十分钟收费 80 元；超 过十分钟，超过部分按每分钟 10 元收费（对于其中不足一分钟的部分，若小于 0.5 分钟则不收费，若大于或等于 0.5 分钟则按一分钟收费），小茗同学为该游乐场设计了一款收费软件，程序框图如图所示，其中 x（分钟）为航行 时间，y（元）为所收费用，用[x]表示不大于 x 的最大整数，则图中①处应填（ ）第 2 页 共 12 页A . y=10[x] B . y=10[x]﹣20C . y=10[x﹣ ]﹣20D . y=10[x+ ]﹣208. （2 分） (2018 高一上·广西期末) 直线与圆的位置关系（ ）A . 相切B . 相离C . 相交但不过圆心D . 相交且过圆心9. （2 分） 一空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）第 3 页 共 12 页A.B.C.D. 10. （2 分） 若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是 （） A . (x－2)2＋(y－1)2＝1 B . (x－2)2＋(y－3)2＝1 C . (x－3)2＋(y－2)2＝1 D . (x－3)2＋(y－1)2＝1 11. （2 分） (2016 高二上·河北开学考) 如图，三棱锥 P﹣ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB=1，BC= ， 若三棱锥 P﹣ABC 的四个顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）A.πB . 2πC . 3πD . 4π12. （2 分） 下列命题是真命题的为（ ）A.若，则B.若，则第 4 页 共 12 页C.若，则D.若，则二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 已知直线 l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若 l1⊥l2 ， 则 a=________14. （1 分） (2016 高二上·杭州期中) 设实数 a，b 满足约束条件 ________．，则的取值范围为15. （1 分） (2018 高三上·北京月考) 若原点 到直线 的距离不大于 ，则在下列曲线中：；；；________（写出你认为正确的所有序号)．与直线 一定有公共点的曲线的序号是16. （1 分） (2019 高二上·湖南期中) 已知数列 满足： ，，函数，记，则数列 的前 项和为________.三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)，且，17. （5 分） 求圆（x﹣2）2+（y+3）2=4 上的点到 x﹣y+2=0 的最远、最近的距离．18. （10 分） (2018 高一下·唐山期末)知.中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，已（1） 若，求角 ；（2） 若，，求边 上的高 .19. （10 分） (2018 高二下·大名期末) 已知等差数列 列.的公差不为零，，且成等比数（1） 求 的通项公式；（2） 求数列的前 项和.第 5 页 共 12 页20. （10 分） (2016 高一上·杭州期末) 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示．（1） 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2） 假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是 8018km，试求汽车在行驶这段路程时里程表读数 s（km） 与时间 t （h）的函数解析式，并作出相应的图象．21. （10 分） (2017·松江模拟) 上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号 称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、P 点为塔尖、 点 P 在地面上的射影为点 H．在塔身 OP 射影所在直线上选点 A，使仰角 k∠HAP=45°，过 O 点与 OA 成 120°的地面 上选 B 点，使仰角∠HPB=45°（点 A，B，O 都在同一水平面上），此时测得∠OAB=27°，A 与 B 之间距离为 33.6 米．试 求：（1） 塔高（即线段 PH 的长，精确到 0.1 米）； （2） 塔身的倾斜度（即 PO 与 PH 的夹角，精确到 0.1°）．22. （10 分） (2019 高二下·宁夏月考) 在直角坐标系中，直线 的参数方程为第 6 页 共 12 页为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 的极坐标方程为．（1） 求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程：（2） 设直线 与曲线 交于点,若点 的坐标为,求的值．第 7 页 共 12 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、 18-1、第 9 页 共 12 页18-2、 19-1、 19-2、 20-1、第 10 页 共 12 页20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

大同四中联盟学校2020-2021学年第一学期期中考试试题高二理科数学本试卷共4页满分：150分考试用时：120分钟一､选择题(本题包括12小题､每小题5分､共60分)1.已知直线12:3(2)30,:(2)(2)20l mx m y l m x m y +++=-+++=，且12//l l ，则m 的值为（ ）A.1-B.12 C.12或2- D.1-或2-2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）A.(1,1)-B.22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.( D.(3.圆221:46120O x y x y +--+=与圆222:86160O x y x y +--+=的位置关系是（ ）A.内切B.外离C.内含D.相交4.已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是（ ）A.若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B.若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C.若a //b ，则a ，b 与c 所成的角相等D.若a b ⊥，b c ⊥，则a //c5.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为 ）6.已知圆22:(1)(1)8C x y +++=与直线l 切于点(1,1)P ，则直线l 的方程是（ ）A.0x y -=B.210x y --=C.20x y +-=D.20x y ++=7.平面α截球O 所得截面的面积为4π，球心4π ）B. C. D.8.直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线l 与平面α的位置关系是（ ）A.平行B.垂直C.在平面α内D.无法确定9.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.410.若三棱锥P ABC -中，,,PA BP PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且1,2,3PA PB PC ===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A.72π B.14π C.28π D.56π11.三棱锥A BCD -的所有棱长都相等，M ，N 别是棱AD ，BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A.13B.13 D.2312.若,x y 满2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值是（ ）5 B.5 C.30- D.无法确定二､填空题(本题包括4小题､每小题5分､共20分)13.一个圆柱侧面展开是正方形，它的高与底面直径的比值是__________.14.，则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为__________. 15.如图所示，在圆锥 SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径AB CD O ⋂=，且,2AB CD SO OB ⊥==，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.16.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 表面上，2,1,60AB BD CD BCD ∠====，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为__________.三､解答题(本大题共6小题，共70分)17.(本题10分)如图所示，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=，BC =DA AC ⊥于点A ，DA AB ⊥于点A ，若1DA =，且E ､F 为DA ､AC 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值.18.(12分)已知直线l 的倾斜角为135，且经过点(1,1)P（1）求直线l 的方程；（2）求点()3,4A 关于直线l 的对称点A '的坐标.19.(12分)已知圆22:40C x y x +-=.（1）直线l 的方程为0x -=，直线l 交圆C 于A .B 两点，求弦长AB 的值；（2）从圆C 外一点(4,4)P 引圆C 的切线，求此切线方程.20.(12分)已知圆心为C 的圆经过点()1,0A 和()1,2B --，且圆心C 在直线:10l x y -+=上. （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点D 的坐标是(4,3)，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨迹方程.21.(本题12)在三棱锥S ABC -中，90ACB ∠=，SA ⊥面ABC ，8AC =，BC SB ==.（1）证明SC BC ⊥；（2）求点C 到平面SAB 的距离.22.(本题12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，设E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC（2）设异面直线BP 与CD 所成角为45︒，1,AP AD ==E ACD -的体积.大同四中联盟校2020—2021学年第一学期期中考试高二年级理科数学学科参考答案及评分标准一､选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分)1-5ADACD 6-10CCDCB 11-12DC二､填空题(本题包括4小题，每小题5分，共20分)13.π 14.3π16.163π三､解答题17.如图所示，取AC 的中点F ，连接EF 和BF .在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD.∴∠BEF 和其补角二者当中的锐角即所求的异面直线BE 和CD 所成的角 (2)又△ABC 为等腰直角三角形，且BC =，∴AB =AC =1.在Rt △BAE 中，AB =1，AE =，∴BE = (4)在Rt △EAF 中，AF =，AE =，∴EF = (6)在Rt △BAF 中，AB =1，AF =，∴BF = (8)在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB = (10)∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为.18.【答案】（1）20x y +-=；（2）(2,1)--.【解析】（1）∵直线l 的倾斜角为135︒，∴直线l 的斜率tan1351k ︒==-，由此可得直线l 的方程为1(1)y x -=--，化简得20x y +-= (6)（2）设点(3,4)A 关于直线l 的对称点为(,)A a b '，∵r AA 与直线l 相互垂直，且r AA 的中点34(,)22a b ++在直线l 上， ∴4(1)13342022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，可得A '的坐标为(2,1)--19.【答案】(2)x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.试题分析：（1）计算圆心到直线的距离为，再利用勾股定理得到答案.6 （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案. 【详解】 （1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2， 故圆心到直线的距离，∴； (8)（2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线；当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）．由，解得．此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0 (12)20【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设圆心的坐标为，则有， 整理求得，故圆心为，，则圆的方程为． (6)（2）设线段中点，，由题意知，， ∵点在圆上运动，∴，∴的轨迹方程为.....................................12．21.(1)因为SA ⊥面ABC ，所以SA ⊥BC ，又因为AC ⊥BC ,所以BC ⊥面SAC ，所以SC ⊥BC ; (6)(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，因为SA ⊥面ABC ，所以平面SAB ⊥面ABC ，2131d ==+2131d ==+22223AB R d =-=24221kk -=+34k =22(1)4x y ++=2233()()122x y -+-=(,1)t t +2222(1)(1)(1)(3)t t t t -++=+++1t =-(1,0)-222(1)(1)4r t t =-++=22(1)4x y ++=CD (, )M x y 11(,)C x y 124x x =-123y y =-C 22(1)4x y ++=22(241)(23)4x y -++-=M 2233()()122x y -+-=则CD⊥面SAB,即CD是点C到平面SAB的距离，则CD=AC·BCAB =2√22117 (12)22.(1)连BD交AC于F,F为BD中点,连EF；又在三角形PBD中,E为PD的中点,所以PB//EF,因为EF⊆平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB//平面AEC (6)(2)∵AB//CD,∴异面直线BP与CD所成角的平面角为∠ABP=450,∴AB=AP=1,所以V E−ACD=12V P−ACD=12×13×12×1×√3×1=√312. (12)。

2020-2021学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共12小题60分）1．（5分）直线3310x y -+=的倾斜角是( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒2．（5分）已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数(λ= )A ．13-B ．3-C ．13D ．63．（5分）下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直4．（5分）如图，在四面体ABCD 中，AB CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，若AB 与CD 所成的角的大小为30︒，则MN 和CD 所成的角的大小为( )A ．15︒B ．75︒C ．30︒或60︒D ．15︒或75︒5．（5分）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或16．（5分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为( )A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=7．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为( )A ．25:1B ．1:25C ．1:5D ．5:18．（5分）若点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，则直线y kx b =+在y 轴上的截距是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）过两直线310x y -+=和330x y +-=的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条10．（5分）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的最大值是( ) A ．4 B ．10 C ．5 D ．1011．（5分）如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，则:(AB A B ''= )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:312．（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是( )A ．[17,5]B ．[4，5]C ．[3，5]D ．17]二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）已知点(1,0)M 是圆22:420C x y x y +--=内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 ．14．（5分）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦的长为8，则m = ．15．（5分）已知三棱锥S ABC -，满足SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ．16．（5分）过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，则下列说法中所有正确的序号是 ．①若PA PB PC ==，90C ∠=︒，则点O 是AB 的中点；②若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的外心；③若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的垂心；④若2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则四面体PABC 外接球的表面积为29π．三．解答题（6个大题共70分）17．（10分）已知直线:3470l x y +-=．（1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程．18．（12分）已知直线:50l x y +-=，圆22:4430C x y x y +--+=．（1）求直线l 被圆截得的弦长；（2）在直线l 取一点(5,0)P ，设Q 为圆C 上的点，求||PQ 的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，11AB AC ⊥， AC BC ⊥，E 是AC 的中点，22AB BC ==．()I 求证：1//B C 平面1A BE ；（Ⅱ）若直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，求1A B 的长20．（12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，22CD =，E ，F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ⊥平面PCD ．（2）求三棱锥P EFC -的体积．21．（12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，2EC =，2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒． （Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A CE B --的余弦值．22．（12分）已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 3P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山西省大同一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每题只有一个正确答案，每题5分，共12小题60分）1．（5分）直线310x +=的倾斜角是( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【分析】根据直线求出它的斜率，再求出倾斜角．【解答】解：直线310x +=的斜率为k ==tan α∴∴倾斜角是60︒． 故选：B ．【点评】本题考查了根据直线方程求倾斜角的问题，是基础题．2．（5分）已知空间向量(3m =，1，3)，(1n =-，λ，1)-，且//m n ，则实数(λ= )A ．13-B ．3-C ．13D ．6【分析】由//m n ，可设km n =，可得1313k k k λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解出即可得出．【解答】解：//m n ，∴可设km n =，∴1313k k k λ-=⎧⎪=⎨⎪-=⎩， 解得13k λ==-． 故选：A ．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）下列说法不正确的是( )A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【分析】根据证明平行四边形的条件判断A，由线面垂直的性质定理和定义判断B和C，利用实际例子判断D．【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 符合题意．故选：D．【点评】本题考查了平面几何和立体几何中的定理和定义，只要抓住定理中的关键条件进行判断，可借助于符合条件的几何体进行说明，考查了空间想象能力和对定理的运用能力．4．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB CD=，M、N分别是BC、AD的中点，若AB 与CD所成的角的大小为30︒，则MN和CD所成的角的大小为()A．15︒B．75︒C．30︒或60︒D．15︒或75︒【分析】取BD中点E，连结ME、NE，推导出//ME CD，从而MEN∠是ABNE AB，//与CD所成的角（或所成角的补角），由AB CD=，AB与CD所成的角的大小为30︒，得MENME CD，得MN和CD所成的角为NME∠，由此能求出∠=︒，由//∠=︒或15030MENMN和CD所成的角的大小．【解答】解：取BD中点E，连结ME、NE，在四面体ABCD中，AB CD=，M、N分别是BC、AD的中点，ME CD，∴，//NE AB//∴∠是AB与CD所成的角（或所成角的补角），MEN=，AB与CD所成的角的大小为30︒，AB CD∠=︒，∴∠=︒或150MEN30MENME CD，//∠，MN∴和CD所成的角为NME75NME ∠=︒或15NME ∠=︒，MN ∴和CD 所成的角的大小为15︒或75︒．故选：D ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（5分）已知直线20ax y a +-+=在两坐标轴上的截距相等，则实数(a = )A ．1B ．1-C ．2-或1D ．2或1【分析】根据题意讨论直线它在两坐标轴上的截距为0和在两坐标轴上的截距不为0时，求出对应a 的值．【解答】解：20a -+=，即2a =时，直线20ax y a +-+=化为20x y +=，它在两坐标轴上的截距为0，满足题意；20a -+≠，即2a ≠时，直线20ax y a +-+=化为122ax y a a+=--， 它在两坐标轴上的截距为22a a a-=-，解得1a =； 综上所述，实数2a =或1a =．故选：D ．【点评】本题考查了直线在两坐标轴上的截距应用问题，是基础题．6．（5分）已知直线l 过点(2,1)P -，且与直线210x y +-=互相垂直，则直线l 的方程为( )A ．20x y -=B ．240x y --=C ．230x y +-=D ．250x y --=【分析】根据题意设出直线l 的方程，把点(2,1)P -代入方程求出直线l 的方程．【解答】解：根据直线l 与直线210x y +-=互相垂直，设直线l 为20x y m -+=， 又l 过点(2,1)P -，22(1)0m ∴-⨯-+=，解得4m =-，∴直线l 的方程为240x y --=．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．7．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为( )A ．25:1B ．1:25C ．1:5D ．5:1【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，利用正三棱柱的内切球的半径为正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，求出内切球的半径1R ，再利用正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连接线段的中点，结合勾股定理求出外接球的半径2R ，从而得到外接球与内切球表面积之比．【解答】解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a ，当球内切于正三棱柱时，球的半径1R 等于正三棱柱的底面正三角形的内切圆半径，所以136R a =， 故正三棱柱的高为33263a a ⨯=， 当球外接于正三棱柱时，设球的半径为2R ，则球心是上下底面中心连接线段的中点，如图所示：， 因为113OO R ==，1132sin 60a CO =⨯=︒， 所以222222135()12OC R R a ==+=， ∴外接球与内切球表面积之比为222221544125:1434()a R R a ππππ⨯==⨯， 故选：D ．【点评】本题主要考查了三棱柱的内切球与外接球的问题，考查了学生的空间想象能力，是中档题．8．（5分）若点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，则直线y kx b =+在y 轴上的A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】由中点坐标公式求出AB 中点的坐标，代入直线方程，再由AB 的斜率与直线y kx b =+的斜率互为负倒数求得k ，即可求出b 的值．【解答】解：点(1,1)A 关于直线y kx b =+的对称点是(3,3)B -，由中点坐标公式得AB 的中点坐标为13(2-，13)(12+=-，2)， 代入y kx b =+得2k b =-+，①直线AB 得斜率为311312-=---，则2k =． 代入①得，24b k =+=．∴直线y kx b =+在y 轴上的截距是4．故选：D ．【点评】本题考查了点关于直线的对称点的求法，关键是掌握该类问题的解决方法，是基础题．9．（5分）过两直线10x +=0y +的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【分析】解方程组可得直线交点，由点到直线的距离公式可得满足题意的直线斜率，验证无斜率直线，综合可得．【解答】解：联立10x +=0y +=可解得12x =且y =，∴直线10x +=0y +的交点为1(2， 当直线无斜率时，方程为12x =，到原点的距离等于12，不合题意；当直线斜率存在时设方程为1()2y k x -=-，即220kx y k -=，1=，解得k =， 故满足题意的直线共有1条．故选：B ． 【点评】本题考查点到直线的距离公式和直线的交点坐标，涉及分类讨论思想，属中档题．10．（5分）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB 的最大值是( )A ．4B ．10C ．5D ．10 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【解答】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点(1,3)B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， 则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||5PA PB ==时取“=” )， 故选：C ．【点评】本题考查了直线系、直线相互垂直与斜率的关系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A '、B '，则:(AB A B ''= )A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:3【分析】设AB 的长度为a 用a 表示出A B ''的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB '和A B '，设AB a =，可得AB 与平面α所成的角为4BAB π'∠=，在Rt BAB '∆中有2AB '=，同理可得AB 与平面β所成的角为6ABA π'∠=， 所以12A A a '=，因此在Rt △AAB ''中22211()()222A B a a a ''=-， 所以1::2:12AB A B a a ''==， 故选：A ．【点评】本题主要考查直线与平面所成的角以及线面的垂直关系，要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系．有一定的难度12．（5分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，P 是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），若1//C P 平面CMN ，则线段1C P 长度的取值范围是( )A ．[17,5]B ．[4，5]C ．[3，5]D ．17]【分析】取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ，则平面//CMN 平面1C EF ，由此推导出P ∈线段EF ，当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，由此能求出线段1C P 长度的取值范围．【解答】解：取11A D 中点E ，在1DD 上取点F ，使12D F DF =，连结EF 、1C E 、1C F ， 则平面//CMN 平面1C EF ，是侧面四边形11ADD A 内一动点（含边界），1//C P 平面CMN ，P ∴∈线段EF ，∴当P 与EF 的中点O 重合时，线段1C P 长度取最小值PO ，当P 与点E 或点F 重合时，线段1C P 长度取最大值PE 或PF ，在长方体1111ABCD A B C D -中，16AA =，3AB =，8AD =，点M 是棱AD 的中点，点N 在棱1AA 上，且满足12AN NA =，22111345max C P C E C F ∴==+，42EF =2221125(22)17min C P PO C E EO =--∴线段1C P 长度的取值范围是[175]．故选：A ．【点评】本题考查线段长取值范围的求法，突出对运算能力、化归转化能力、空间想象的考查，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二．填空题（每题5分共20分）13．（5分）已知点(1,0)M 是圆22:420C x y x y +--=内的一点，那么过点M 的最短弦所在的直线方程是 10x y +-= ．【分析】数形结合，点M 是圆C 的一点，故最短的弦与CM 垂直，点斜式可求得最短弦的方程．【解答】解：最短的弦与CM 垂直，圆22:420C x y x y +--=的圆心为(2,1)C ，10121CM k -==-， ∴最短弦的方程为01(1)y x -=--，即10x y +-=．【点评】本题通过直线和圆的位置关系来求直线方程，体现数形结合的数学思想．14．（5分）若圆2225x y +=与圆22680x y x y m +-++=的公共弦的长为8，则m = 55-或5 ．【分析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到|25|310m d +==．从而解得55m =-或5． 【解答】解：2225x y +=①22680x y x y m +-++=②两式相减得68250x y m ---=．圆2225x y +=的圆心为(0,0)，半径5r =．圆心(0,0)到直线68250x y m ---=的距离为22|25|1068m d +==+．则公共弦长为8=2216r d ∴-=．29d ∴=．|25|310m d +∴==． 解得，55m =-或5d =故答案为：55-或5．【点评】本题考查两圆相交的性质，公共弦以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．15．（5分）已知三棱锥S ABC -，满足SA ，SB ，SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 ． 【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以SA ，SB ，SC 为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面ABC 的距离，即可求出点Q 到平面ABC 的距离的最大值．【解答】解：三棱锥S ABC -中，SA SB ⊥，SB SC ⊥，SC SA ⊥，且2SA SB SC ===，∴三棱锥的外接球即为以SA ，SB ，SC 为长宽高的正方体的外接球，正方体的体对角线长为，∴球心到平面ABC 的距离为12=，∴点Q 到平面ABC =．【点评】本题考查点Q 到平面ABC 的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面ABC 的距离是关键．16．（5分）过ABC ∆所在平面α外一点P ，作PO α⊥，垂足为O ，连接PA ，PB ，PC ，则下列说法中所有正确的序号是 ①②③ ．①若PA PB PC ==，90C ∠=︒，则点O 是AB 的中点；②若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的外心；③若PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，则点O 是ABC ∆的垂心；④若2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则四面体PABC 外接球的表面积为29π．【分析】根据PA PB PC ==，结合平面几何中三角形的外心的定义可以判断选项①②，根据PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理以及性质定理可以判断选项③，利用四面体外接球的几何性质求出球的半径，再利用球的表面积公式进行求解判断选项④，从而得到答案．【解答】解：若PA PB PC ==，连结OA ，OB ，OC ，则POA POB POC ∆≅∆≅∆，则OA OB OC ==，所以O 为ABC ∆的外心，故选项②正确；又90C ∠=︒，则O 为AB 的中点，故选项①正确；因为PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA BC ⊥，又PO ⊥平面ABC ，所以PO BC ⊥，所以BC ⊥平面PAO ，所以BC AO ⊥，同理AB CO ⊥，AC BO ⊥，则O 为ABC ∆的垂心，故选项③正确；因为2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，所以四面体PABC 的对棱相等，如图所示，要求四面体PABC 外接球的表面积，即求以该四面体的棱为面对角线的长方体的外接球的表面积，设长方体的棱长为a ，b ，c ，则有222222222222()()()2()29PA PB BC b c a b a c a b c ++=+++++=++=，故外接球的半径12r =所以四面体PABC 外接球的表面积为2229442S r πππ==⨯=，故选项④错误． 故答案为：①②③．【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，涉及了平面几何中三角形的外心和垂心、球的表面积公式的应用．对于①②中，解题的关键是利用三角形全等得到OA OB OC ==，对于④中，关键是将四面体的外接球转化为长方体的外接球进行求解．三．解答题（6个大题共70分）17．（10分）已知直线:3470l x y +-=．（1）求直线l 的斜率；（2）若直线m 与l 平行，且过点(2,5)P -，求m 的方程．【分析】（1）把直线的方程化为斜截式，可得它的斜率．（2）设直线m 的方程为：340x y c ++=，再把点P 的坐标代入，求得c 的值，可得直线m 的方程．【解答】解：（1）直线:3470l x y +-=，即3744y x =-+，故它的斜率为34-． （2）设直线m 的方程为：340x y c ++=，再把点(2,5)P -代入，可得14c =-，故m 的方程34140x y +-=．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．18．（12分）已知直线:50l x y +-=，圆22:4430C x y x y +--+=．（1）求直线l 被圆截得的弦长；（2）在直线l 取一点(5,0)P ，设Q 为圆C 上的点，求||PQ 的取值范围．【分析】（1）利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求得直线l 被圆截得的弦长；（2）由两点间的距离公式求得||PC ，得到||PC r +与||PC r -，则||PQ 的取值范围可求．【解答】解：（1）由224430x y x y +--+=，得22(2)(2)5x y -+-=，∴圆心C 的坐标为(2,2)，半径5r =， 圆心(2,2)到直线50x y +-=的距离|225|222d +-==， 则直线l 被圆截得的弦长为221225322r d -=-=； （2）(5,0)P ，22||(52)(02)13PC ∴=-+-=，||135PC r ∴+=+，||135PC r -=-．||||||PC r PQ PC r -+，||PQ ∴的取值范围是[135,135]-+．【点评】本题考查圆的一般方程化标准方程，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，11AB AC ⊥， AC BC ⊥，E 是AC 的中点，22AB BC ==．()I 求证：1//B C 平面1A BE ；（Ⅱ）若直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，求1A B 的长【分析】（Ⅰ）设1A B 与1AB 的交点为F ，连结EF ，则1//EF B C 由此能证明1//B C 平面1A BE ． （Ⅱ）连结FC ，推导出1AB ⊥平面1A BC ，从而1B CF ∠是直线1B C 与平面1A BC 所成角，进而160B CF ∠=︒，推导出1BC B C ⊥，由此能求出1A B 的长．【解答】证明：（Ⅰ）设1A B 与1AB 的交点为F ，连结EF ，则1//EF B C ，又EF ⊂面1A BE ，1B C ⊂/平面1A BE ，1//B C ∴平面1A BE ．解：（Ⅱ）连结FC ，11AB A B ⊥，11AB AC ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BC ，1B CF ∴∠是直线1B C 与平面1A BC 所成角，直线1B C 与平面1A BC 所成的角为60︒，160B CF ∴∠=︒，1AB BC ⊥，AC BC ⊥，BC ∴⊥平面1AB C ，1BC B C ∴⊥，1Rt BCB ∆中，1BC =，12BB =，13B C ∴=，在Rt △1B CF 中，160B CF ∠=︒，13cos602CF B C ∴=︒=， 在Rt BCF ∆中，2272BF BC CF =+=， 17A B ∴=．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，22CD =，E ，F 分别是AB 、PD 的中点．（1）求证：AF ⊥平面PCD ．（2）求三棱锥P EFC -的体积．【分析】（1）推导出AF PD ⊥，PA CD ⊥，AD CD ⊥，从而CD ⊥平面PAD ，进而AF CD ⊥，由此能证明AF ⊥平面PCD ．（2）取PC 的中点G ，连结EG ，GF ，则四边形AEGF 为平行四边形，从而//EG AF ，进而GF ⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E PFC -的高，由此能求出三棱锥P EFC -的体积．【解答】证明：（1）2PA AD ==，F 为AD 中点，AF PD ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，PA CD ∴⊥，AD CD ⊥，PA AD A =，CD ∴⊥平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，AF CD ∴⊥，PD CD D =，AF ∴⊥平面PCD ．解：（2）取PC 的中点G ，连结EG ，GF ，则//GF CD ，12GF CD =， 又//EA CD ，12EA CD =，//AE GF ∴，AE GF =， ∴四边形AEGF 为平行四边形，//EG AF ∴，由（1）知AF ⊥平面PDC ，GF ∴⊥平面PCD ，EG 为三棱锥E PFC -的高，又2GF AF EG ===，122PF PD ==， 122PCF S PF CD ∆=⋅=， ∴三棱锥P EFC -的体积12233PCF V S EG ∆=⋅=．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．（12分）如图，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是线段AD ，BD 的中点，90ABD BCD ∠=∠=︒，2EC 2AB BD ==，直线EC 与平面ABC 所成的角等于30︒． （Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求二面角A CE B --的余弦值．【分析】（Ⅰ）推导出EF FC ⊥，AB BD ⊥，//EF AB ，EF BD ⊥，从而EF ⊥平面BCD ，由此能证明平面EFC ⊥平面BCD ．（Ⅱ）法一：取AC 中点M ，则//ME CD ，推导出CD AC ⊥，CD BC ⊥，从而CD ⊥平面ABC ，进而ME ⊥平面ABC ，ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角，由此能求出二面角A CE B --的余弦值．法二：在平面BCD 中，作x 轴BD ⊥，以B 为坐标原点，BD ，BA 为y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A CE B --的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）在Rt BCD ∆中，F 是斜边BD 的中点，所以112FC BD ==． 因为E ，F 是AD ，BD 的中点，所以112EF AB ==，且2EC 所以222EF FC EC +=，EF FC ⊥，又因为AB BD ⊥，//EF AB ，所以EF BD ⊥，且BD FC F =，故EF ⊥平面BCD因为EF ⊂平面EFC ，所以平面EFC ⊥平面BCD ．解：（Ⅱ）方法一：取AC 中点M ，则//ME CD 因为122CE AD ==CD AC ⊥． 又因为CD BC ⊥，所以CD ⊥平面ABC ，故ME ⊥平面ABC因此ECM ∠是直线EC 与平面ABC 所成的角，22cos306AC MC EC ==⋅︒2CD BC ==过点B 作BN AC ⊥于N ，则BN ⊥平面ACD ，23AB BC BN AC ⋅==， 过点B 作BH EC ⊥于H ，连接HN ，则BHN ∠为二面角A CE B --的平面角，因为2BE BC EC ===， 所以223661,cos 2263HN BH BE HN BH BN BHN BH ===-=∠== 因此二面角A CE B --的余弦值为13． 方法二：如图所示，在平面BCD 中，作x 轴BD ⊥， 以B 为坐标原点，BD ，BA 为y ，z 轴建立空间直角坐标系． 因为2CD BC ==（同方法一，过程略）则(1C ，1，0)，(0A ，0，2)，(0E ，1，1)，所以(1,0,1)CE =-，(0,1,1)BE =，(0,1,1)AE =-设平面ACE 的法向量111(,,)m x y z =则00AE m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111100y z x z -=⎧⎨-+=⎩取11x =，得(1,1,1)m =， 设平面BCE 的法向量222(,,)n x y z =则00BE n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222200y z x z +=⎧⎨-+=⎩取21x =，得(1,1,1)n =- 所以11cos ,||||333m n m n m n ⋅<>===⨯， 因此二面角A CE B --的余弦值为13．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．（12分）已知圆22:(2)1M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线PA 3P 的坐标；（2）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，利用圆的切线，转化求解||MP ，推出b ，然后得到P 的坐标．（2）设(2,)P b b -，求出圆系方程222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=，然后求解结果的定点． 【解答】解：（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设(2,)P b b -，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒， 所以2222||(02)(2)||||2MP b b AM AP =++-+=，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为(0,0)P 或84(,)55P -． （2）设(2,)P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为222224(2)()()24b b b x b y ++-++-=， 即22(22)(2)0x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得2xy=⎧⎨=⎩或4525xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N过定点(0,2)，42 (,)55 -．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。

2015~2016学年度第一学期 期中试卷高 二 数 学(理)第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题 (每小题3分，共36分) 1． 下列说法正确的是（ ）.A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．共点的三条直线确定一个平面2． 已知过点(2,)P m -，(,4)Q m 的直线的倾斜角为45°，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 4 3． 两条平行直线34120x y +-=与68110x y ++=的距离是（ ） A ．72 B ．27C ．2D ．74．直线130kx y k -+-=，当k 变动时，所有直线都通过定点( )A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(1,3)5．两圆229x y +=和228690x y x y +-++=的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 6．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++=7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβC ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，n α⊥，则//m n8．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上皆有可能 9．已知球的内接正方体棱长为1，则球的表面积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 11．如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长相等的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体是（ ）.A ．棱柱B ．圆柱C ．圆台D ．圆锥12．如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图②）， 则图①中的水面高度为（ ）A ．2aB ．3aC ．37aD ．371a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭第II 卷 主观卷（共64分）二、填空题（本题共4题,每小题3分，共12分） 13．空间直角坐标系中点A 和点B 的坐标分别是(1,1,2)、(2,3,4) ，则AB =．14．实数x ，y 满足 22(3)(4)1x y -+-=，则22x y +的最小值是 ．15．已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出以下四个论断：（1）m n ⊥；（2）αβ⊥；（3）n β⊥；（4）m α⊥. 以以上四个论断中的三个作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．16．若直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则222111.h a b =+类比以上性质，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ， PO 为棱锥的高，记22221111,M N PO PA PB PC==++，那么 M ，N 的大小关系是M N （填 >,<或 =）三、解答题：（本大题共6小题，满分52分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．（本小题满分8分）如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是(3,0)、(1,3)，点D 是线段AB 上的动点。

2017—2018学年度第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是 A. ()0,2,2 B.()2,0,4 C. ()2,0,2- D.()2,0,22.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A. 若//,,a b αβαβ⊂⊂，则 //a bB.若//,,a b αβαβ⊥⊥，则 //a bC.若,//,//a b a b αβ⊥，则 αβ⊥D.若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则 αβ⊥3.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. 2π+4π+C. 2π+D. 4π+4.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点A. 1,32⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A. ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在底面BCD 内的射影，则异面直线BM 与AO 所成角的余弦值是A.6 B. 3 C.4 D.57.20y +-=截圆224x y +=所得的弦长为A. 1B. 8.在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱1AA 上一动点，Q 为底面ABCD 上一动点，M 是PQ 的中点，若点,P Q 都运动时，点M 构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是A. 棱柱B. 棱台C.棱锥D. 球的一部分9.已知点(),P x y 在直线10x y --=上运动，则()()2222x y -+-=的最小值是A.12 B. 2 C. 2D.2 10.三棱锥的三组相对棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长分,m n ，其中226m n +=，则该三棱锥体积的最大值为A.12 B. 11.若直线()220,0ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为A. 1B. 5C. 3+12.在菱形ABCD 中，60AB A ==，将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角P BD C --的大小为120，三棱锥P BCD -的外接球球心为O ，BD 的中点为E ，则OE =二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知两条直线0x ky k --=与()1y k x =-平行，则k 的值为 . 14.在三棱锥中P ABC -，6,3,PB AC G ==为PAC ∆的中心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 .15.从原点O 向圆2212270x y x +-+=作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧的长度为 .16.已知圆22:4O x y +=，直线:l x y m +=，若圆O 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则实数m = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）如图1，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ∠=分别为,AC AB A 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2.（1）求证：//DE 平面1ACB ； （2）求证：1A F BE ⊥.18.（本题满分12分）已知点()1,A a ，圆224.x y +=（1）过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；（2）若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为a 的值.19.（本题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1BAC AB AC AA ∠====,点,M N 分别为11,A B B C 的中点. （1）求证：//MN 平面11A ACC ；（2）求三棱锥1A MNC -的体积（锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高）20.（本题满分12分）已知圆C 的圆心在直线上4y x =-，且与直线10x y +-=相切于点()3,2.P -（1）求圆C 的方程；（2）是否存在过点()1,0N 的直线l 与圆C 交于,E F 两点，且OEF ∆的面积为O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知三棱柱111A B C ABC -中，12AB AC A A ===侧面11ABB A ⊥底面,ABCD 是BC 的中点，1160,.B BA B D AB ∠=⊥（1）求证：AC ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1AC 与平面ABC 所成角的正弦值.22.（本题满分12分）已知圆C 经过点()()2,0,2,0A B -，且圆心C 在直线y x =上，又直线:1l y kx =+与圆C 交于P,Q 两点.（1）求圆C 的方程；（2）（文科）若2OP OQ ⋅=-，求实数k 的值；（2）（理科）过点()0,1作直线1l l ⊥，且1l 交圆C 于M,N 两点，求四边形PMQN 的面积的最大值.23.（仅实验班做）（本题满分20分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y -+=与圆C 相切. （1）求圆C 的方程；（2）过点()0,3Q -的直线l 与圆C 交于不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，且当12123x x y y +=时，求AOB ∆的面积.2017~2018学年度第一学期期中试卷高二数学答案一、选择题（每小题5分，共60分。

山西省大同市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 若椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2 ， P是两曲线的一个交点，则△F1PF2的面积是（）A . 4B . 2C . 1D .2. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .3. （2分）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率为，则此双曲线的方程为（）A . 5x2﹣=1B . 5x2﹣=1C . ﹣=1D . ﹣=15. （2分） (2017高二下·宾阳开学考) 命题“∀n∈N* ， f（n）≤n”的否定形式是（）A . ∀n∈N* ， f（n）＞nB . ∀n∉N* ， f（n）＞nC . ∃n∈N* ， f（n）＞nD . ∃n∉N* ， f（n）＞n6. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 下列求导运算正确的是（）A . （3x）′=x•3x﹣1B . （2ex）′=2ex（其中e为自然对数的底数）C . （x2 ）′=2xD . （）′=7. （2分）已知点P（x，y）在以原点为圆心的单位圆上运动，则点Q（x+y，xy）的轨迹是（）A . 圆B . 抛物线C . 椭圆D . 双曲线8. （2分）(2014·四川理) 已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A . ①②③B . ②③C . ①③D . ①②9. （2分）(2018·湖北模拟) 已知，则（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·山东模拟) “（m﹣1）（a﹣1）＞0”是“logam＞0”的一个（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）(2016·肇庆模拟) 已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，g（x）= x3﹣ x2+ax﹣（a＞1）若对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[0，4]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A . （1， ]B . [9，+∞）C . （1，]∪[9，+∞）D . [ ，]∪[9，+∞）12. （2分） (2015高二下·上饶期中) 已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0 ， y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）=0．若函数f（x）=x3﹣3x2 ，则可求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值为（）A . 4029B . ﹣4029C . 8058D . ﹣8058二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·苏州期中) 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，已知，则△ABC的形状是________．14. （1分）(2020·杨浦期末) 己知数列的通项公式为，是数列的前项和，则 ________.15. （1分） (2015高一下·太平期中) 在等差数列{an};中，已知公差，且a1+a3+a5+…+a99=60，则a1+a2+a3+…+a100=________．16. （1分） (2017高二上·南通期中) 已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=10，若{an+1﹣an}是等比数列，则 i=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2018高一下·威远期中) 已知(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的值18. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值．19. （10分） (2016高二上·高青期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=6，△ABC的面积是9 ，求三角形边b，c的长．20. （10分） (2017高二下·沈阳期末) 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且，（1）求的度数；（2）若，，求b和c的值．21. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足4nSn=（n+1）2an（n∈N*）．a1=1（Ⅰ）求an；（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ，求证：Tn ．22. （5分） (2016高一上·浦东期中) 设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2020-2021学年度大同一中高三年级第六次质量监测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,3,5,7,9,10},{1,3,5}U A ==，则UA =（）A.{1,3,5}B.{7,9}C.{5,7,9}D.{7,9,10}2.“2x <”是“ln(1)0x -<”的（） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线221x y m-=的焦距为8，则实数m 的值是（）C.15D.174.已知,x R y R ∈∈∣，且,x y 满足460x y x y y +⎧⎪+≤⎨⎪⎩，若2z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b + |的值是（） A.9-B.4-C.7D.115.在52y x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，42x y 的系数为（） A.20B.10C.10-D.20-6.函数2()2log ||xf x x -=⋅的大致图象为（）A. B.C. D.7.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值是（）A.4B.4C.2D.28.函数()f x =的最大值是（）A.14 B.12C.2D.19.某几何体的三视图如图所示，则其各个面的面积中最大的面积是（）A.2B.92C.4D.15210.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为1，过点F M (M 在第一象限)，MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，若||MD =，则抛物线的方程是（） A.2y x =B.22y x =C.24y x =D.28y x =11.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对于任意的实数x ，有2()()2f x f x x +-=，当(,0)x ∞∈-时，()32f x x +'，若2(2)()222f m f m m m ++--，则实数m 的取值范围是（）A.1m .B.1mC.1m -D.1m -12.若ABC 的三个内角A ，B ，C 满足tan ,tan ,tan tan ,tan (tan tan )A B A C B A C ++依次成等比数列，则sin()sin()C B B A --值是（）A.10B.10C.5D.5二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数满足(12)i z i +=，则||z =__________. 14.已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.2.2ˆ3yx =+，则a 的值为__________. 15.已知函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，始边与x 轴的正半轴重合，则tan3α的值为__________.16.定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x=，则函数()f x 的零点个数为__________. 三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分. 17.(12分)已知等差数列{}n a 中，()12lg 1a a +=，且()1324lg lg lg a a a a +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若16,,k a a a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和n S 18.(12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，,//AB AD AB CD ⊥，PC ⊥底面ABCD ，22AB AD CD ===E 是PB 的中点.（1）求证：PA CB ⊥；（2）若三棱锥D ACE -的体积为1，求二面角P AC E --的正弦值. 19.(12分)某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）；若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为X (单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为Y (单位：元). ①试写出Y 关于X 的表达式；②求Y 的概率分布列，并计算P (600)P Y .（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？ 20.(12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的的离心率为23，点,,,A B D E 分别是C 的左､右､上､下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，记直线,AP BQ 的交点为T ，求证：点T 在定直线l 上，并求出直线l 的方程. 21.(12分) 已知函数ln (),0xf x a ax=> （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[2,8]上的最值；（2）若对0x ∀>，总有21()1ax e f x x ++a 的取值范围(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(10分)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(θ为参数).将曲线C 上的点按坐标变换x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩得到曲线C '，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设A 点的极坐标为3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求曲C '极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为的直线l 与曲线C '交于,M N 两点，求||||AM AN ⋅的值. 23.【选修4-5：不等式选讲】(10分) 已知正实数,x y 满足21x y +=（1）解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤； （2）证明：22114136x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 2020-2021学年度大同一中高三年级第六次质量监测理科数学参考答案一､选择题 1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.D8.A9.A 10.C 11.C 12.C 二､填空题14.215.91316.9 三､解答题17.解：（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d .由()1324lg lg lg a a a a +=+知132432a a a a a =+=，且30a >，故12a =. 再由()12lg 1a a +=，得1210a a +=，故6d =. 所以：2(1)664n a n n =+-⨯=-（2）若16,,k a a a ，是等比数列{}n b 的前3项则216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到：64k a k =-，代入上式解得：:2k =而等数列{}n b 中，c 11222,8b a b a ====， 所以：等比数列{}n b 的公比为4q =.于是：124n n b -=⨯ 则16424n n n a b n -+=-+⨯故()2(264)41223412413n n n n n S n n +--=+⨯=-+--18.（1）证明：PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PC ∴⊥因为直角梯形ABCD 中，AB AD CD ===2AC BC ==，所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥， 又AC PC C ⋂=，所以BC ⊥平面PAC . 又因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥（2）解：以C 为坐标原点，,,CB CA CP 为,,x y z 轴的正 方向建系如图，易知(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)C B A设(0,0,2)P h ，则(1,0,)E h ，易知ACD △的面积为112=， 由三棱锥D ACE -，即三棱锥E ACD -的体积为1， 得1113h ⨯⨯=，故3h = 即(0,0,6),(1,0,3)P E ，由（1）知，(2,0,0)m CB ==是平面PAC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =是平面EAC 的一个法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即(,,)(0,2,0)0(,,)(1,0,3)0x y z x y z ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得03y x z =⎧⎨=-⎩ 故(3,0,1)n =-是平面EAC 的一个法向量 设二面角P AC E --大小为θ，则cos ||210mn m n θ⋅===⨯于是sin 10θ==19.解：（1）当17X 时，17(10060)680Y =⨯-=当16X 时，(10060)(060)(17)1001020Y X X X =-+-⨯-=-①1001020(1516)680(1720)X X Y X -⎧=⎨⎩②由①可知Y 的概率分布列为故(600)0.7P Y =（2）由（1）②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值4800.15800.26800.7640EY =⨯+⨯+⨯=与（1）类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为Z 的分布列为故4200.15200.26200.37200.4620EZ =⨯+⨯+⨯+⨯= 由于EY EZ>故每天应该制作17个生日蛋糕. 20.解：（1）设椭圆C 的半焦距长为c ，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故22:195x y C +=（2）由（1）知(3,0),(3,0),(2,0)(2,0)A B F B - 设()()()001122,,,,,T x y P x y Q x y 由010133TA PA y yk k x x =⇒=++① 020233TB QB y y k k x x =⇒=--② 两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++ 又2211195x y +=故()()22211111331,9595x x x y y -+-=-=-故11113539y x x y -=-⋅+ 于是()()120120121233335339x x x y x x x y y y ----=⋅=-⋅++③ 由于直线PQ 经过F 点，设直线PQ 的方程为2x my =+，代入22195x y +=整理，得()225920250m y my ++-=把12212220592559m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩代入③ ()()()()()212121212001212123311135553999x x my my m y y m y y x x y y y y y y -----++-=-⋅=-⋅=-⋅+ 得2220022520135159592539559m m m x m m x m -⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭=-⋅=+-+得到092x =，故点T 在定直线9:2l x =上 21.解：（1）当1a =时，ln ()x f x=，21ln ()xf x -'=故故当x e =时，max ()f x e= 当8x =时，min3()ln28f x =（2）由题意，21ln 1ax e x axx ++恒成立即()11)ln 12axx eax ⨯+⋅，也即()1axeax +⋅故()1ln axax ee +，①令()(1)ln g x x x =+，则221111()ln 1,()x g x x g x x x x x-=++=-=''' 显然，当01x <<时，()0g x ''<，当1x >时，()0g x ''>，故当01x <<时，()g x '递减，当1x >时，()g x '递增，故()(1)20g x g '='>， 因此()g x 递增， 又①等价于()axg g e故 ax e ，即11ln ln ,22xxax a x 由（1）可知，ln 1,x x e ，故1ln 122x x e 故102a e< (二)选考题22.（1）曲线C 的普通方程为2212x y +=，由2x x y y⎧'='=⎪⎨⎪⎩，得到x y y ''⎧=⎪⎨=⎪⎩代入曲线C 的普通方程得到()()221x y ''+= C '的极坐极方程为1ρ=。

2019~2020-1 高二年级期中考试数学一、选择题（本大题12 个小题，每题5 分，共60 分）1．点(1，1)到直线x－y＋1＝0 的距离是( )．A．1B．3C． 2 D．3 2 2 2 2 22．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线mx＋3y－2＝0 平行，则m＝( ) A．2 B．－3 C．2 或－3 D．－2 或－3 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )4．设l，m，n 表示三条直线，α，β，γ 表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若m ⊂β，n 是l 在β 内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若m ⊂α，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中真命题有( )A．①②B．①②③C．②③④D．①③④ 5．直线x cos α＋3y＋2＝0 的倾斜角的范围是( )7.已知 a ≠0，直线 ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0 与直线 ax ＋(b －2)y －3＝0 互相垂直，则 ab 的最大值为()A ． 0B ．2C ．4 8.已知直线 y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点 C 的坐标为() A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4) D ．(2，－4)9．如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，M ，N 分别是 BC 1，CD 1 的中点，则下列说法错误的是() A ．MN 与 CC 1 垂直B ．MN 与 AC 垂直 C ．MN 与 BD 平行 D ．MN 与 A 1B 1 平行10. 在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l ：ax ＋y －1＝0 与过定点Q 的直线 m ：x －ay ＋3＝0相交于点 M ，则|MP |2＋|M Q|2 的值为()B ． 10C ．5D ．1011. 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD ⊥平面 ABCD ，M 是线段 ED 的中点，则()A ．BM =EN ，且直线 BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线 BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线 BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线 BM ，EN 是异面直线 12. 在棱长均为 2 的正四棱锥 P －ABCD 中，点E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是( )．A ．BE ∥平面 PAD ，且 BE 到平面 PAD 的距离为B．BE ∥平面 PAD ，且 BE 到平面 PAD 的距离为 2 6 3C ．BE 与平面 PAD 不平行，且 BE 与平面 PA D 所成的角大于 30°D ．BE 与平面 PAD 不平行，且 BE 与平面 PAD 所成的角小于 30°二、填空题（本大题 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）13. 在 y 轴上的截距为－6，且与 y 轴相交成 30°角的直线方程是 ． 14. 已知直线 l ：ax ＋y －1＝0 和点 A (1,2)，B (3,6)．若点 A ，B 到直线 l 的距离相等，则实数 a的值为． D ． 2 3 A15. 如图所示，在四面体 ABCD 中，点 M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN 平行的是．16. 已知三棱锥 P −ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E ，F 分别是 PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球 O 的体积为.三、解答题(本小题 6 个题，共 70 分 )17．（10 分） 求斜率为 3 4，且与坐标轴所围成的三角形的面积是 6 的直线方程．18．（12 分）如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是 AB ，AD ，EF 的中点，求证：(1) BE ∥平面 DMF ；(2) 平面 BDE ∥平面 MNG .19．（12 分）如图，射线 OA ，OB 分别与 x 轴正半轴成 45°和 30°角，过点P (1，0)的直线 AB 分别交 OA ，OB 于 A ，B 两点，当 AB 的中点 C恰好落在直线 y20．（12 分） 1 ＝2x上时，求直线 AB 的方程．如图，已知一四棱锥P －ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，且侧棱 PC ⊥底面 ABCD ，且PC ＝2，E 是侧棱 PC 上的动点.（1） 证明：BD ⊥AE .（2） 求二面角 P-BD-C 的正切值.20．（12 分）如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C ，D 的点．（1） 证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ； （2） 在线段 AM 上是否存在点P ，使得 MC ∥平面 PBD ？说明理由．22．（12 分）如图 ， 已知三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 ， 平面 A 1 ACC 1 ⊥ 平 面 ABC , ∠ABC = 90︒ ，∠BAC = 30︒, A 1A = A 1C = AC , E , F 分别是 AC ，A 1B 1 的中点.（1） 证明： EF ⊥ BC ；（2） 求直线 EF 与平面 A 1BC 所成角的余弦值.。

山西省大同一中2020-2021学年高二上学期月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱2．（3分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3．（3分）圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的4．（3分）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍B．2倍C．倍D．倍5．（3分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．36．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1 B．，1 C．，D．，7．（3分）如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12 D．189．（3分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面的中心，E是CC1的中点，那么异面直线A1D与EO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．0二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上）11．（4分）圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为．12．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．13．（4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于cm3．14．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．15．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．三、解答题（本大题共5个大题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．17．（10分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．18．（10分）如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD．[20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．山西省大同一中2020-2021学年高二上学期月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱考点：棱台的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用几何体的结构特征进行分析判断，能够求出结果．解答：解：图①不是由棱锥截来的，所以①不是棱台；图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥．图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱．故选C．点评：本题考查几何体的结构特征，解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．2．（3分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．解答：解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．点评：本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．3．（3分）圆锥的高扩大到原来的2倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（）A．缩小到原来的一半B．扩大到原来的2倍C．不变D．缩小到原来的考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：圆锥的体积等于底面积乘高乘，假设原来圆锥的底面半径为r，原来的高为h，求出现在的体积，一步得出答案．解答：解：V现=π（）2×2h=πr2h=V原，圆锥的体积缩小到原来的一半．故选A．点评：此题考查计算圆锥的体积，关键是已知底面半径和高，直接用公式计算．4．（3分）三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（）A．1倍B．2倍C．倍D．倍考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：利用三个球的体积之比等于半径比的立方，即可得出答案．解答：解：设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：=．故选C．点评：本题考查学生对于球的体积公式的使用，相似比公式的应用，是基础题．5．（3分）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设出上底面半径为r，利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，求出上底面半径，即可．解答：解：设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积=π（r+3r）l=84π，r=7故选A点评：本题是基础题，考查圆台的侧面积公式，考查计算能力，送分题．6．（3分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（）A．，1 B．，1 C．，D．，考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．解答：解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱=πR2×2R=2πR3，V球=πR3．∴==，S圆柱=2πR×2R+2×πR2=6πR2，S球=4πR2．∴==．故选C．点评：本题考查球和圆柱的体积和表面积的计算及其应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．7．（3分）如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，当中为三个正方体，上面为两个正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可．解答：解：由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，当中为三个正方体，用表示，上面为两个正方体，用表示，所以答案B是符合题意的，故选B．点评：本题考查几何体的正视图的画法，解题关键是注意用什么样的小正方形，代表几个小正方体．8．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12 D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．9．（3分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．10．（3分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面的中心，E是CC1的中点，那么异面直线A1D与EO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．0考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；转化思想．分析：本题可以建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线A1D与EO所成角的余弦值解答：解：如图以DA所在直线为X轴，以DC所在直线为Y轴，以DD1所在直线为Z轴建立如图的坐标系，由题设条件棱长为2，O为底面的中心，E是CC1的中点，故有A1（2，0，2），D（0，0，0），O（1，1，0），E（0，2，1）故=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，1，1），cos＜，＞===0故选D点评：本题考查异面直线所成角的求法，由于本题中两个异面直线所存在的背景是一个正方形，故采取向量法求两线的夹角比较方便，用向量法求两异面直线的夹角最大的好处是不用再作角，证角，简化了思维．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中横线上）11．（4分）圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为24π2+18π或24π2+8π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；分类讨论．分析：已知圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，分两种情况：①6π=2πr，②4π=2πr，然后再求解；解答：解：∵圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，①若6π=2πr，r=3，∴圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+18π；②若4π=2πr，r=2，∴圆柱的表面积为：4π×6π+2×πr2=24π2+8π；故答案为：24π2+18π或24π2+8π．点评：此题主要考查圆柱的性质及其应用，用到了分类讨论的思想，此题是一道中档题．12．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为36．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意知，这个几何体的体积为V=S梯形ABCD×6，由此能求出结果．解答：解：由题意知，这个几何体的体积为：V=S梯形ABCD×6=×6=36．故答案为：36．点评：本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（4分）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于1cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1和3的直角三角形，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2，这是三棱锥的高，根据三棱锥的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知，几何体是一个三棱锥，底面是直角边长为1cm和3cm的直角三角形，面积是cm2，三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2cm，这是三棱锥的高，∴三棱锥的体积是cm3，故答案为：1．点评：本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是根据三视图看出几何体的形状和长度，注意三个视图之间的数据关系，本题是一个基础题．14．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1﹣EDF的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，进行等体积转化V D1﹣EDF=V F﹣D1ED 后体积易求．解答：解：将三棱锥D1﹣EDF选择△D1ED为底面，F为顶点，则=，其==，F到底面D1ED的距离等于棱长1，所以=××1=S故答案为：点评：本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略．15．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题三、解答题（本大题共5个大题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（8分）如图，已知正四棱锥V﹣ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=6cm，VC=5cm，求正四棱锥V﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积解答：解：∵正四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=6cm∴BD=6cm，且AC⊥BD∴（cm2）∵VM是棱锥的高，且VC=5cm∴Rt△VMC中，（cm）∴正四棱锥V﹣ABCD的体积为V=（cm3）点评：本题考查求几何体的体积，关键是求底面积和高，有些题可以用割补法，把原几何体构造成比较规则的几何体后再求体积，也有些题可以用等积转化求体积．属简单题17．（10分）（如图）在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；图表型．分析：由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则由三角形相似得r=1 （2分）∴，∴．（6分）点评：本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．18．（10分）如图所示（单位：cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+半球面面积，该几何体的体积为V圆台﹣V半球．由此能求出结果．解答：解：由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积+圆台的侧面积+一半球面面积．又S球=×4π×22=8π（cm2），S圆台侧=π（2+5）=35π（cm2），S圆台下底=π×52=25π（cm2），即该几何全的表面积为8π+35π+25π=68π（cm2）．又V圆台=×（22+2×5+52）×4=52π（cm3），V半球=××23=（cm3）．所以该几何体的体积为V圆台﹣V半球=52π﹣=（cm3）．点评：本题考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意圆台、半球的体积的求法和应用．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面PAD．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：取CD的中点E，连接ME，NE，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，进而得到NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，利用平行四边形的性质可得四边形AMED是平行四边形，可得ME∥平面PAD．进而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性质可得MN∥平面PAD．解答：证明：取CD的中点E，连接ME，NE．由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，∵NE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，∴NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形AMED是平行四边形，∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．点评：熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理是解题的关键．20．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AO⊥平面BCD；O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（2）求点E到平面ACD的距离．考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取AC的中点M，连接OM，ME，OE，直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB 与CD所成的角，由此能求出异面直线AB与CD所成角的余弦值．（2）设点E到平面ACD的距离为h，由V E﹣ACD=V A﹣CDE，能求出点E到平面的距离．解答：（1）解：取AC的中点M，连接OM，ME，OE由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC，∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，，∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线，∴，∴．（2）解：设点E到平面ACD的距离为h．∵V E﹣ACD=V A﹣CDE∴，在△ACD中，，∴，而∴，∴点E到平面的距离为．点评：本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。

数学文试题第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分）1. 圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别是 A ．（0，2）2 B ．（2，0）4 C ．（－2，0）2 D ．（2，0）22．已知两直线0x ky k --=与(1)y k x =-平行，则k 的值为A ．1B ．－1C ．1或－1D ．23． 在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P -关于XOY 面对称的点的坐标是A ．(1,3,5)--B ．(1,3,5)-C ．(1,3,5)D ．(1,3,5)--4．已知直线0ax by c ++=(0abc ≠)与圆221x y +=相切，则三条边长分别为||a 、||b 、||c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在5．与圆222212:26260,:4240C x y x y C x y x y ++--=+-++=都相切的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．关于空间两条直线a 、b 与平面α，下列命题正确的是A ．若//,a b b α⊂，则//a αB ．若//,a b αα⊂，则//a bC ．//,//a b αα，则//a bD ．若,,a b αα⊥⊥则//a b7．已知矩形ABCD 的顶点在半径为13的球O 的球面上，且AB=8,BC=6，则棱锥O-ABCD 的高为A ．12B ．13C ．14D ．58．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误．．的是 A ．//BD 平面11CB DB ．1AC BD ⊥C ．平面ACC 1A 1⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60°9. 圆2226150x y x y ++--=与直线(13)(32)4170m x m y m ++-+-=的交点个数是A ．2B ．1C ．0D ．与m 有关10．已知两点(2,3)M -、(3,2)N --，直线l 过点(1,1)P 且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是A ．344k -≤≤B ．34k ≥或4k ≤-C ．344k ≤≤D ．344k -≤≤ 11．若直线:l x y m +=与曲线2:1C y x =-有且只有两个公共点，则m 的取值范围是A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．[1,2)D ．(1,2]12．圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，M 、N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值A ．524-B ．171-C ．622-D ．17第II 卷 主观卷（共64分）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）13．一个球的外切正方体的表面积等于6，则此球的表面积为 ．14. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ．15．以点A （1，4），B （3，－2）为直径的两个端点的圆的一般式方程为___________．16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点，则直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为____________．17．已知圆O ：224x y +=，直线l ： x y m +=，若圆O 上恰有3个点到l 的距离为1，则实数m= ____________．14题 16题19．（10分）已知直线l 经过两点A （2，1），B （6，3）（1）求直线l 的方程（2）圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于点（2，0），求圆C 的方程(3) 若过B 点向(2)中圆C 引切线，BS 、BT ，S 、T 分别是切点，求ST 直线的方程．20（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，已知3,2,2AB AD PA ===，22,60PD PAB ︒=∠=（I ）证明AD ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AD 所成的角的正切值；（III ）求四棱锥P ABCD -的体积。