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数字图像处理--第4章 图像增强.概要

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数字图像处理第四章图像增强

数字图像处理第四章图像增强

数字图像处理第四章图像增强
3
上节知识点回顾
一、图像平滑 1、邻域平均 2、低通滤波 3、中值滤波
二、图像锐化
1、一阶微分法
2、二阶微分法
3、高通滤波
数字图像处理第四章图像增强
4
4.5.1 图像的彩色表示
人眼对于彩色的观察和处理是一种 生理 和 心理 现象，其机理还没有完全搞清楚，
因而对于彩色的许多结论都是建立在实验 基础之上的。
如果采用其他色系进行了处理，最终一定 要转换到RGB色系，才能正常显示结果。
数字图像处理第四章图像增强
15
数字图像处理第四章图像增强
16
2、HIS彩色模型
RGB色系虽然是目前各类显示器使用的色 系，但颜色的构成与人对颜色的理解方式 不同，因此在进行处理与调整时，不易获 得准确的参数。
这种彩色系统格式的设计反映了人类观察
m＝X＋Y＋Z
x X X XYZ m
y Y Y XYZ m
z Z Z XYZ m
m为色模，表示某彩色光所 含标准三基色单位总量，与 光通量有关； x、y、z为相对色度系数(色 度坐标)
且x＋y＋z＝1则z是一个非独立参量，因此配色数 据可换算为x－y坐标值，即x－y标准色度图
数字图像处理第四章图像增强
数字图像处理第四章图像增强
5
一、彩色概念
1、可见光谱
☻可见光谱：人眼能够感觉到的可见光谱集
中在5×1014 Hz附近的一个很窄的光谱范围 内，波长为380～780nm。
数字图像处理第四章图像增强
6
2、光的特性：
(1).可见光的波长范围有限； (2).不同波长的光呈现的颜色不同，随波长
由长到短颜色依次为：红、橙、黄、绿、 青、蓝、紫(品红)； (3).只含单一波长的光称为单色光，含两种 或两种以上波长的光称为复合光； (4).太阳发出的光包含了所有的可见光，若 用三棱镜可以将太阳光分解。

数字图像处理第04章 图像增强..

数字图像处理第04章 图像增强..

1 1 1 1 0 1 H3 1 8 1 1 1
0 0 1 4 1 1 1 H4 1 2 4 4 1 0 4 0
【例4.4】分别采用4种模板对图像进行处理。
I1 = imread('blood1.tif'); I=imnoise(I1,'salt & pepper'); %对图像加椒盐噪声 imshow(I); h1= [0.1 0.1 0.1; 0.1 0.2 0.1; 0.1 0.1 0.1]; %定义4种模板 h2=1/16.*[1 2 1;2 4 2;1 2 1]; h3=1/8.*[1 1 1;1 0 1;1 1 1]; h4=1/2.*[0 1/4 0;1/4 1 1/4;0 1/4 0]; I2=filter2(h1,I); %用4种模板进行滤波处理 I3=filter2(h2,I); I4=filter2(h3,I); I5=filter2(h4,I); figure,imshow(I2,[]) %显示处理结果 figure,imshow(I3,[]) figure,imshow(I4,[]) figure,imshow(I5,[])
对数变换可以增强低灰度级的像素，压制高 灰度级的像素,使灰度分布与视觉特性相匹配。
4.2.3 灰度直方图变换 直方图（ 图 4.5 ）： 指图像中各种不同 灰度级像素出现的相对频率 。
相 对 频 率 灰度级
灰度直方图描述了图像的概貌。
直方图变换后可使图像的灰度间距拉开或使 灰度分布均匀，从而增大对比度，使图像细 节清晰，达到增强的目的。 直方图变换有
s7 int[( L 1) s ' k 0.5] / 7

（2）计算 sk

数字图像处理--第4章图像增强

数字图像处理--第4章图像增强
数字图像处理--第4章图像增强
f (i,j)
数字图像处理--第4章图像增强
②指数变换 指数变换的一般表达式为
这里参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这种变 换能对图像的高灰度区给予较大的拉伸。
g(i,j)
f (i,j)
数字图像处理--第4章图像增强
4. 图像求反 直线 技术基础：点处理
数字图像处理--第4章图像增强
空间域增强是直接对图像各像素进行处理； 频率域增强是将图像经傅立叶变换后的频谱成分进 行处理，然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
数字图像处理--第4章图像增强
图像增强所包含的主要内容:
图像增强
空间域
灰度变换
点运算
直方图修正法
局部统计法
局部运算
图像平滑
图像锐化
高通滤波
频率域
低通滤波
任何一幅原始图像，在其获取和传输等过程中，会受 到各种噪声的干扰，使图像恶化，质量下降，图像模糊， 特征淹没，对图像分析不利。
为了抑制噪声改善图像质量所进行的处理称图像平滑 或去噪。它可以在空间域和频率域中进行。本节介绍空间 域的几种平滑法。
4.4.1 空间低通滤波法
邻域平均法可看作一个掩模作用于图像f(x,y)的低通空
的。
先讨论连续图像的均衡化问题，然后推广到离散图像。
设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正
后的图像灰度。即
0r,s1
（4.3-1）
在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且 (4.3-2)
s T(r)
数字图像处理--第4章图像增强
T(r)作为变换函数，满足下列条件： ①在0≤r≤1内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白 的次序不变； ②在0≤r≤1内，有0≤T(r)≤1，确保映射后的像素灰 度在允许的范围内。 反变换关系为

数字图像处理_胡学龙等_第04章_图像增强

数字图像处理_胡学龙等_第04章_图像增强

直方图均衡化
通过对原图像进行某种变换，使得图像的直 方图变为均匀分布的直方图 。
灰度级连续的灰度图像：当变换函数是原图 像直方图累积分布函数时，能达到直方图均 衡化的目的。 对于离散的图像，用频率来代替概率 。 【例4.2】假定有一幅总像素为n＝64×64的图 像，灰度级数为8，各灰度级分布列于表4.1 中。试对其进行直方图均衡化。
• 4.3.2増晰原理 • 同态増晰采用合适的滤波特性函数，可以即使图 像灰度动态范围压缩，又能让感兴趣的物体图像 灰度扩展，从而是图像清晰。 • 图像是物体对照明光的反射，自然景物图像是由 两个分量乘积组成的，即照明函数和反射函数的 乘积。 • 图像的灰度由照明分量和反射分量合成，反射分 量反映了图像的实际内容（细节，纹理，边缘 等），随图像细节不同在空间上做快速变化，其 频谱落在空间高频区域。 • 而照明分量在空间上均具有缓慢变化的性质，其 频谱落在空间低频区域。 • 因此可通过傅里叶变换将两者分开，进行同态滤 波。
a’=0，b’=255。
实现的程序：
• • • • • A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 figure,imhist(A); %显示图像的直方图 J1=imadjust(A,[0.3 0.7],[]); %函数将图像在0.3*255~0.7*255灰度之间 的值通过线性变换映射到0~255之间 • figure,imshow(J1); %输出图像效果图 • figure,imhist(J1) %输出图像的直方图
• 基本思想：按照高通滤波器设计，压缩低 频分量，提升高频分量。 • 照明函数频率变化缓慢，幅度变化大，数 字化占用位数多，所以要压缩； • 反射函数频率变化快，灰度变化很小，层 次不清，细节不明，应该扩展。

数字图像处理_第四章_频域图像增强

数字图像处理_第四章_频域图像增强

2
u 0.1.2. M 1 v 0.1.2. N 1 f ( x, y ) F (u , v)e j 2 (ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
可以证明：
x y f ( x , y )( 1) F (u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.2.3 频率域滤波 频率域滤波基本步骤： 1、(1) x y 原图像 2、F (u, v) 3、 H (u, v) F (u, v) 4、反DEF 5、实部 x y 6、用 (1) (5) 结果。 1 被滤波图像 G(u, v)
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
4.3 平滑的频率域滤波器
4.3.1 理想低通滤波器
c ~ e均有“振铃”特征 为什么会有“振铃”现象呢？ 其根本原因是空域滤波器有负 值，具体具体解释右图（b）
右图用5个脉冲图像来说明“振 铃”的产生，可看作5个冲激， 只是简单地复制 h( x, y ) → “振铃”。
F (u ) F (u ) e j (u ) F (u ) R (u ) I (u )
2 2
1 2
(u ) arct g
2(u ) R(u )
数字图像处理
Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain
1 M x 1 v N y u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍

数字图像处理第四章

数字图像处理第四章
(6) 统计映射后新的灰度级Sk的像素数目nk
(7) 计算输出图像的直方图
35
例 例：设图象有64*64=4096个象素，有8个灰 度级，灰度分布如表所示。进行直方图均衡化。
rk r0=0 r1=1/7 r2=2/7 r3=3/7 r4=4/7 r5=5/7 r6=6/7 r7=1
nk 790 1023 850 656 329 245 122 81
37
(2) 计算s k
rk r0=0 r1=1/7 r2=2/7 r3=3/7 r4=4/7 r5=5/7 r6=6/7 r7=1
nk 790 1023 850 656 329 245 122 81
P (r k ) 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02
S k计算 0.19 0.44 0.65 0.81 0.89 0.95 0.98 1.00
图像噪声的分类
加性噪声：噪声和图像信号的强度不相关，如图像在 传输过程中引入的信道噪声，摄像机扫描噪声等。
g=f+n
乘性噪声：噪声和图像信号相关，往往随图像信号的 变化而变化，如飞点扫描图像中的噪声、电视扫描光
栅、颗粒噪声等。 g=f+ fn
量化噪声：数字图像的主要噪声源，其大小显示出数 字图像与原始图像的差异。对这类噪声减小的最好办 法是采用按灰度级概率密度函数选择量化级的最优量 化措施。 椒盐噪声：即黑图像的白点、白图像上的黑点，往往 由图像切割引起。
设备元器件及材料本身引起的噪声。如磁带、 磁盘表面缺陷所产生的噪声;
系统内部设备电路所引起的噪声，包括电源系 统引入的交流噪声，偏转系统和箝位电路引起的噪 声等;
电器部件机械运动产生的噪声。如数字化设备 的各种接头因抖动引起的电流变化所产生的噪声， 磁头、磁带抖动引起的抖动噪声等;

遥感数字图像处理-第四章_遥感数字图像增强处理(一)[研究材料]

遥感数字图像处理-第四章_遥感数字图像增强处理(一)[研究材料]
度值或亮度值区间像元出现的频率的分布图。
计算方法：
Pi
mi M
M表示整幅图像的像元个数
M表示整幅图像的像元个数
Pi表示第i灰度级的像元比例频率
X和
调研学习
13
直方图的性质
（1）直方图反映了图像中的灰度分布规律，描述每个灰度 级具有的像元个数，但不包含这些像元在图像中的位置；
（2）任何图像有唯一的直方图，不同的图像可能有相同的 直方图；
六、图像运算 Image Calcu.
七、多光谱增强 M调u研l学ti习-spectral Enhancement
1
一、图像增强概述
➢ 什么是图像增强？
Image enhancement is the process of making an image more interpretable for a particular application ( Faust, 1989).
空间域增强：空间域是指图像平面所在的二维平面。 直接处理图像上的像素，主要对灰度进行操作；
1）点处理：每次对单个像元进行灰度增强的处理 2）邻域处理或模板处理：对一个像元及其周围的小区域子
图像进行处理
频率域增强：对图像经傅立叶变换后的频谱成分进 行操作，然后经傅立叶逆变换获得所需结果
调研学习
6
➢图像增强的分类
调研学习
2
➢ 图像增强的目的
主要目的：（1）采用一系列技术改善图像的视觉效 果，提高图像的清晰度；（2）将图像转换成一种 更适合于人或机器进行解译和分析处理的形式。
改变图像的灰度等级，提高图像的对比度； 消除边缘和噪声，平滑图像； 突出边缘和线状地物，锐化图像； 合成彩色图像； 压缩图像数据量，突出主要信息等。

第4章 图像增强(第1讲)

第4章 图像增强(第1讲)

增强对比度的典型变换曲线与图4-9中的曲线类 似。可以看出通过这样一个变换，原图中灰度值 在 0 到 和 b 到 Mf 间的动态范围减少了，而 原图中灰度值在 和 b 之间的动态范围增加了， 从而这个范围内的对比度增强了。变换结果如图 4-11所示。 实际应用中 、b 、 、 可取不同的值进行组 d 合，从而得到不同的效果。如果a c、 b d ， 则变换曲线为一条斜率为1 的直线，增强图将和 原图相同。
应该明确的是增强处理并不能增强原始图像的
信息，其结果只能增强对某种信息的辨别能力， 而这种处理有可能损失一些其他信息。
•
图像增强是数字图像处理的基本内容之一。
• 图像增强技术主要包括: 注： 在实用中可以采用单
• 直接灰度变换
• 直方图修改处理 • 图像平滑化处理 • 图像尖锐化处理 • 彩色处理技术
针对一幅图像在这个坐标系中作一曲线来。这条
曲线在概率论中就是分布密度曲线（见图4—
21）。
pr (r)
pr (r)
0
1
r
0
1
r
(a)
(b)
图4—21
图像灰度分布概率密度函数
从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度 分布特性。例如，从图4—21中的(a)和(b)两个灰 度密度分布函数中可以看出：(a)的大多数像素灰 度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗， 一般在摄影过程中曝光不足就会造成这种结果；
0
f ( x, y )
a
图4-7 图像的反色变换关系
图4-8 a) 原图
图像的反色变换 b) 进行反色变换后的图
2.分段线性变换
在图像增强中，为了突出感兴趣的目标或 灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区间， 可以采用分段线性变换。常用的方法是分三段 做线性变换，如图4-9所示，其数学表达式

数字图像处理图像增强

数字图像处理图像增强
(a) 直方图
1 0.8 0.6 0.4 0.19 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 ( b)均衡化变换函数（即累积直方图）
0.98 1 0.95 0.89 0.81 0.65 0.44
0.3 0.2 0.1 0
0.19
0.25
0.24 0.21 0.11
0 1 2 3 4 5 6 7
(c) 均衡化后的直方图
t k EH s sk ps si
i 0
k 0,1,, M 1
2) 规定需要的直方图，并计算能使规定的直方图均 衡化的变换： l
vl EH u ul pu u j
j 0
l 0,1,, N 1
这里M和N分别为原始图和规定图中的灰度等级，且只考 虑N≤M的情况。
其中， f(x,y)是输入图像； F(u,v)是f(x,y)经变换后的频域函数，并不一 定是傅立叶变换，也可能是其它任意一种变换； G(u,v)是频域处理后的函数； g(x,y)是G(u,v)经反变换后得到的空域函数。
4.1 图像增强引言
1) 频域增强的理论基础
– 卷积理论
• 被处理图像f(x,y) • 变换函数h(x,y) /*线性、位置无关操作 • 目标图像g(x,y)
(1) EH(s)在 0s1 范围内是一个单值单增 函数。 (2) 对0s1 有0 EH(s) 1。
4.3.1 直方图均衡化
累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF)就是我们要找的变换函数 T(s) 。
t Ts ps w dw
固定函数：指数函数、正弦函数、分段直线、 对数函数，如显示傅立叶的s=c log(1+|r|)

数字图像处理_图像增强

数字图像处理_图像增强
22
pt (t1 ) 1023/ 4096 0.25 pt (t3 ) 985/ 4096 0.24
直方图均衡化
结果
原始直方图
变换函数
23
直方图均衡化结果
直方图均衡化
效果
原 图
均 衡 化 后 效 果 图
24
直方图规定化
2． 直方图规定化
（1）对原始图像的直方图进行均衡化：
k
tk T (sk ) ps (si ) k 0,1, , M 1 i0
数字图像处理
Digital Image Processing
第四章 图像增强
2
4.1 概 述
3
概述
图像增强方法
空域方法 频域方法
基于像素的点处理 基于模板的空域滤波
以图
“ 好 ” ， 更 “ 有 用 ” 的 图 像
得 到 对 具 体 应 用 来 说 视 觉 效 果
像 增 强 的 目 的 是 对 图 像 进 行 加
k i0
ps (si )
则： sk T 1(tk )
18
0 tk L 1
直方图均衡化
例
原始图像各灰度级对应的概率分布
灰度级 像素 概率
01 2 3
45
6
7
790 1023 850 656 329 245 122 81
0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06 0.03 0.02
19
直方图均衡化
例
图像直方图均衡化过程如下：
（1）得到变换后的值：
0
t0 T (s0 ) ps (si ) 0.19 i0 1
t1 T (s1) ps (si ) 0.19 0.25 0.44 i0

数字图像处理 第四章图像增强

数字图像处理 第四章图像增强

Pr（rk） 0.19 0.25 0.21 0.16 0.08 0.06
0.03
0.02
计算每个sk对应的像素数目 计算均衡化后的直方图
Tr
Sk并
sk
nsk Ps（sk）
0.19
1/7
0.44
3/7
S0=1/7 S1=3/7 S2=5/7
790 0.19 1023 0.25 850 0.21
0.65
✓ 校正后的原始图像 f (i, j) C g(i, j) gc(i, j)
9
灰度级校正注意问题：
对降质图像进行逐点灰度级校正所获得的图像， 其中某些像素的灰度级值有可能要超出记录器 件或显示器输入灰度级的动态范围，在输出时 还要采用其他方法来修正才能保证不失真地输 出。
降质图像在数字化时，各像素灰度级都被量化 在离散集合中的离散值上，但经校正后的图像 各像素灰度极值并不一定都在这些离散值上， 因此必须对校正后的图像进行量化。
），使得结果图像s的直方图Ps(s)为一个常数
Pr(r)
Ps(s)
直方图均衡化 T(r)
r
s
26
直方图均衡化理论基础
-1 由概率论可知，若Pr(r)和变换函数s=T(r)已知，r=T (s)是单 调增长函数，则变换后的概率密度函数Ps(s)可由Pr(r)得到：
分 布 函 数 Fs(s)sp（ s s） ds=rp（ r r） dr
✓ 计算均衡后的直方图
s k 计
T（ rk）
k
=
i 0
P（r
r
）
i
k i 0
ni n
s k并
round（ sk计 * (L L 1
1)）
j
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由概率论理论可知，如果已知随机变量 r的概率密度为 pr(r),而随机变量s是r的函数，则s的概率密度ps(s)可以由 pr(r) 求出。假定随机变量 s 的分布函数用 Fs(s) 表示，根据 分布函数定义
利用密度函数是分布函数的导数的关系，等式两边对s 求导，有：
d r p dr p d T 1 ( s ) Ps ( s) p ( r ) dr r r r ds ds ds
2．分段线性变换
为突出感兴趣目标所在的 灰度区间，相对抑制不感兴趣 的灰度区间，可采用分段线性 变换。 设原图像f(x,y)在[0,Mf], 感 兴趣的灰度范围在[a,b],欲使其 拉伸到[c,d],则对应的分段线性 变换表达式为:
( c / a ) f ( x, y ) 0 f ( x, y ) a g ( x, y) [(d c) /(b a)][ f ( x, y) a] c a f ( x, y) b [(M d ) /(M b)][ f ( x, y) b] d b f ( x, y) M f f g


（4.3-5）
可见，输出图像的概率密度函数可以通过变换函数 T(r)控制原图像灰度级的概率密度函数得到,因而改善原图 像的灰度层次,这就是直方图修改技术的基础。 从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的直方图如果是均 匀分布的，即Ps(s)=k(归一化时k=1)时，该图像色调给人的 感觉比较协调。因此将原图像直方图通过T(r)调整为均匀分 布的直方图，这样修正后的图像能满足人眼视觉要求。
其基本思想是对在图像中像素个数多的灰度级进行展宽 而对像素个数少的灰度级进行缩减。从而达到清晰图像的目 的。 先讨论连续图像的均衡化问题，然后推广到离散图像。 设r和s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正 后的图像灰度。即 0 r, s 1 （4.3-1） 在[0,1]区间内的任一个r值，都可产生一个s值，且 (4.3-2)
k
k
nj n
上式表明，均衡后各像素的灰度值sk可直接由原图像的 直方图算出。
一幅图像sk同rk之间的关系称为该图像的累计灰度 直方图。 Pr(rk) 1.0
S(rk)
rk 1.0 1.0
rk
下面举例说明直方图均衡化过程。
设 r、s 分别为原图象和处理后的图像。
1) 求出原图象 r 的灰度直方图，设为 h 。 h 为一个256维的向量。
第四章 图像增强
4.1 概述
图像增强是采用一系列技术去改善图像的视觉效果, 或将图像转换成一种更适合于人或机器进行分析和处理 的形式。例如采用一系列技术有选择地突出某些感兴趣 的信息，同时抑制一些不需要的信息，提高图像的使用 价值。 图像增强方法从增强的作用域出发，可分为空间域 增强和频率域增强两种。 空间域增强是直接对图像各像素进行处理； 频率域增强是将图像经傅立叶变换后的频谱成分进 行处理，然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
s T (r )
T(r)作为变换函数，满足下列条件： ①在0≤r≤1 内为单调递增函数，保证灰度级从黑到白 的次序不变； ②在 0≤r≤1 内，有 0≤T(r)≤1 ，确保映射后的像素灰 度在允许的范围内。 反变换关系为
r T 1 (s)
（4.3-3）
T-1(s)对s同样满足上述两个条件。
通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的 斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。
3．非线性灰度变换
当用某些非线性函数如对数函数、指数函数等，作为 映射函数时，可实现图像灰度的非线性变换。
①对数变换
对数变换的一般表达式为 g(i,j) a,b,c是为了调整曲线的位 置和形状而引入的参数。当 希望对低灰度区较大拉伸而 对高灰度区压缩时，可采用 这种变换，能使图像灰度分 布与人的视觉特性相匹配。
图像增强所包含的主要内容:
灰度变换 均衡化 点运算 直方图修正法 规定化 空间域 局部统计法 图像平滑 局部运算 图像锐化 图像增强 高通滤波 频率域 低通滤波 同态滤波增强 假彩色增强 彩色增强伪彩色增强 彩色变换及应用 图像的代数运算
4.2 灰度变换
灰度变换可调整图像的灰度动态范围或图像对比度，是 图像增强的重要手段之一。 1．线性变换 令图像f(i,j)的灰度范围为[a,b]， 线性变换后图像g(i,j)的范围为 [a´,b´]，如图: g(i,j)与f(i,j)之间的关系式为：
在曝光不足或过度的情况下，图像灰度可能会局限 在一个很小的范围内。这时看到的是一个模糊不清、没 有层次的图像。采用线性变换对图像每一个像素灰度作 线性拉伸，可有效地改善图像视觉效果。
f 表达式为
这里参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这种变 换能对图像的高灰度区给予较大的拉伸。 g(i,j)
f (i,j)
4. 图像求反 直线 技术基础：点处理
5.尺度切分 与增强对比 度相仿，将某 灰度范围突出
4.3 直方图均衡化
直方图均衡化是将原图像通过某种变换，得到一幅灰度 直方图为均匀分布的新图像的方法。
1 3 1 6 9 3 0 9 7 6 8 3 4 2 3
0 1 2
3 2 4 4 1 1 4 1 2 3
r
h
3 4 5 6 7 8 9
6
2
8
9
2
2
0
6
5
0
2）求出图像 r 的总体像素个数
Nr=m*n （m,n分别为图像的长和宽） 计算每个灰度级的像素个数在整个图像中所占的 百分比。 hs(i)=h(i)/Nr (i=0,1,…,255)
因为归一化假定
由（4.3-5）则有
ds pr (r )dr
两边积分得
上式表明，当变换函数为r的累计直方图函数时，能达 到直方图均衡化的目的。 对于离散的数字图像，用频率来代替概率,则变换函数 T(rk)的离散形式可表示为:
sk T (rk ) pr (r j )
j 0 j 0