高一第一次月考测试卷数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知tan 5α=，则2sin 3cos 3sin 2cos αααα+=-（）A ．1713B ．1C ．35D ．7132．若3a = ,4b = |,,a b 的夹角为135︒,则a b ⋅ 等于().A ．32-B ．62-C ．62D ．23．已知平面向量()()sin ,1,cos ,2a b θθ==- ，若//a b r r，则tan θ=（）A ．12-B ．2-C ．2D ．124．已知2b a = ，若a 与b的夹角为120 ，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．3b- B ．32b- C ．12b- D ．3b5．已知角α的顶点与直角坐标系原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,其终边上有一点)()cos ,cos P θθ,且π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,若()0,2π∈α,则α=（）A ．θB ．π2θ+C ．π4D ．5π46．已知π3cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．23-B ．23C ．13-D ．137．在平行四边形ABCD 中，13AE AD = ，13CF CD = ，则BA =（）A ．6955AF CE -B ．2355AF CE -C ．6955AF CE +D ．2355AF CE+8．如图，A ，B 是函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭图像上的两个最高点，点C 是()f x 图像上的一个对称中心，若ABC 为直角三角形，则ϕ=（）A ．π3-B ．π4-C ．π3D ．π4二、选择题：本题共有4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错的得0分.9．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A ．若a b b c ⋅=⋅，则a c= B ．()()1,1,2,a b x == ，若a b +与b a - 平行，则2x =C ．非零向量a 和b 满足a b a b ==- ，则a 与a b +的夹角为30︒D ．点()()1,3,4,1A B ==-，与向量AB 同方向的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭10．下列各式中，值为12的是（）A ．22cossin 1212ππ-B ．2tan 22.51tan 22.5︒-︒C ．2sin15cos15︒︒D ．1cos32π+11．为了得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π8个单位长度B ．所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π8个单位长度C ．向右平移π2个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变D ．向左平移π2个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的14，纵坐标不变12．关于函数π()2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述正确的是（）A ．其图像关于直线π4x =对称B ．其图像可由π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图像上所有点的横坐标变为原来的12得到C ．其图像关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．其值域是[]1,3-三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13．写出使“函数()()cos 2f x x φ=+为奇函数”的ϕ的一个取值______．14．已知平面向量()1,2a =- ，(),3b m =- ，若2a b + 与a共线，则m =______.15．已知向量a ，b满足2a = ，1b = ，3a b += ，则a b -=r r _________.16．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知6AB =分米，FG =3分米，点P 在正方形ABCD 的四条边上运动，当AE AP ⋅ 取得最大值时，A E 与AP夹角的正切值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）已知4sin 5θ=，θ为第二象限角．(1)求sin 2θ的值；(2)求πcos 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．18．（12分）已知(1,0),(2,1)a b ==.(1)当k 为何值时，ka b - 与2a b +共线(2)若23,AB a b BC a mb =+=+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.19．（12分）已知函数31()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x R ∈.（1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域.20．（12分）已知tan α<0，（1）若25sin ,5α=-求2sin()cos(2)3cos()sin()22αππαππαα++---+的值;（2）若21sin sin cos ,5ααα+=-求tan α的值.21．（12分）在ABC 中，点D ，E 分别在边BC 和边AB 上，且2DC BD =，2BE AE =，AD 交CE 于点P ，设BC a = ，BA b =.(1)若EP tEC = ，试用a ，b 和实数t 表示BP ；(2)试用a ，b 表示BP；(3)在边AC 上有点F ，使得5AC AF =，求证：B ，P ，F 三点共线.22．（12分）设向量()2sin ,3cos a x x ωω= ，(cos ,1)b x ω= ，(0)>ω，函数()32f x a b =⋅- ，将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，已知()g x 的最小正周期为π.（1）求()f x 取得最大值时，x 的取值集合；（2）令函数()()2sin 3h x g x x m =++-，对任意实数2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，恒有()0h x ≥，求实数m 的取值范围.参考答案：1．B【分析】利用同角三角函数的基本关系式即可求得结果．【详解】2sin 3cos 2tan 325313sin 2cos 3tan 2352αααααα++⨯+===--⨯-，故选：B ．2．B【详解】因为3,4a b == ，,a b 的夹角为135︒，所以2cos13534622a b a b ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭.故选:B.3．A【分析】根据向量共线得2sin cos θθ-=，则1tan 2θ=-.【详解】//a b ，2sin cos θθ∴-=，显然cos 0θ≠，1tan 2θ∴=-，故选：A.4．B【分析】先计算(2)a b b -⋅，再根据投影向量公式即可计算.【详解】2223(2)22cos1202a b b a b b a b b b ︒-⋅=⋅-=⋅⋅-=- 2a b ∴- 在b 上的投影向量为23(2)322b a b b b b bb b b b--⋅⋅=⋅=-故选：B 5．D【分析】根据点()cos ,cos P θθ在角α终边上,利用正弦函数余弦函数的定义,写出其等式,将π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭代入进行化简,即可求得结果.【详解】解:因为π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 0θ<,因为点()cos ,cos P θθ在角α终边上,所以22cos cos 2sin 22cos cos cos ===-+θθαθθθ,22cos cos 2cos 22cos cos cos ===-+θθαθθθ,因为()0,2π∈α,所以5π4α=.故选:D6．D【分析】2ππππsin 2sin 212cos 6626ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，代入数据计算得到答案.【详解】2πππππsin 2sin2cos 212cos 66266αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111233=-⨯=.故选：D7．C【分析】设AB a=，AD b = ，将BA ，AF ，CE 都用a ，b 表示，设BA mAF nCE =+ ，解出m ，n .【详解】设AB a=，AD b = ，因为13AE AD = ，所以23CE CD DE a b =+=-- ，因为13CF CD = ，所以23AF AD DF b a =+=+ ，设BA mAF nCE =+，则22()()33a m b a n a b -=++-- ，213203m n m n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得65m =，95n =，即6955BA AF CE =+ .故选：C.8．B【分析】由题意得3A =，π2ACB ∠=，设()f x 的最小正周期为T ，分别用T 表示出2AC ，2BC ，2AB ，由勾股定理解出T ，进一步求出ω，又因为点A 在图像上，代入即可求出ϕ.【详解】由题意得3A =，π2ACB ∠=.设()f x 的最小正周期为T ，所以()22234T AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()222334T BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22AB T =，所以222961616T T T =++，即4T =，所以2ππ2T ω==.因为3π33sin 3222f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，即()π2π4k k ϕ=-+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.故选：B.9．BCD【分析】根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.【详解】对于A ，若,a b c b ⊥⊥ 且|||a c ≠ ，可满足条件，但a c ≠，故A 不正确；对于B ，由条件(3,1),(1,1)a b x b a x +=+-=-，若这两向量平行，有3(1)1x x -=+，解得2x =，故B 正确；对于C ，由条件可知，以向量a 和b 为边对应的四边形为一个角是60︒的菱形，则a 与a b + 的夹角为30︒，故C 正确；对于D ，可得(3,4)AB =- ，因此与AB同方向的单位向量为22(3,4)34(,)55||(3)(4)AB AB -==-+-，故D 正确.故选：BCD.10．BC【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的倍角公式，准确化简，即可求解.【详解】由余弦的倍角公式，可得223cos sin cos 2cos 12121262ππππ⎛⎫-=⨯==⎪ ⎭⎝，所以A 不正确；由正切的倍角公式，可得2tan 22.51tan 22.5︒-︒212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒=⋅=︒=-︒，所以B 正确；由正弦的倍角公式，可得12sin15cos15sin 302︒︒=︒=，所以C 正确；由11cos1332222π++==，所以D 不正确.故选：BC .11．AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，得到πsin 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π8个单位长度，得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，A正确；将πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度，得到πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数πsin 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，C 正确.故选：AC12．BD【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π2sin 11244f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以直线π4x =不是函数图象的对称轴，故A 错误；对于B ，函数π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标变为原来的12，可得π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，因为3π2sin π118f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点3π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误；对于D ，因为[]πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]π()2sin 211,34f x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BD.13．π2（答案不唯一）【分析】根据三角函数的性质得出ππ,Z 2k k ϕ=+∈，从而得出ϕ的一个取值.【详解】因为函数()()cos 2f x x φ=+为奇函数，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈.即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2（答案不唯一）13．32或1.5【分析】确定()212,4a b m +=-+-，根据平行得到()4312m m -=--+，解得答案.【详解】()1,2a =- ，(),3b m =-，则()212,4a b m +=-+- ，()2a b a + ∥，故()4212m =-+，解得32m =故答案为：3215．7【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由3a b += 可得，2223a a b b +⋅+= ，即4213a b +⋅+= ，解得：1a b ⋅=-，所以2242217a a b a b b -=+⋅++-== ．故答案为：7．16．12或0.5【分析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论P 点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果.【详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，39,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()6,6C.39(,)22AE = ，981310||442AE =+=，设(,)P x y ，(,)=AP x y uuu r ，AE AP ⋅= 3922x y +，当0y =时，06x ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +336922x =≤⨯=，当且仅当6x =时等号成立，当6x =时，06y ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +99362y =+≤，当且仅当6y =时等号成立，当6y =时，06x ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +327362x =+≤，当且仅当6x =时等号成立，当0x =时，06y ≤≤，AE AP ⋅= 3922x y +9272y =≤，当且仅当6y =时等号成立，由以上可知，当6,6x y ==时，AE AP ⋅取得最大值36，此时(6,6)P ，(6,6)AP = ，设A E与AP 的夹角为θ，则cos θ|||AE AP AE AP ⋅=⋅ 927310622+=⨯255=，所以45sin 155θ=-=，5sin 15tan cos 2255θθθ===.故答案为：1217．(1)2425-(2)43310-【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出cos θ，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.【详解】（1）4sin 5θ=，θ为第二象限角，2243cos 1sin 155θθ⎛⎫∴=--=--=- ⎪⎝⎭，则4324sin 22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；（2）πππ3341433cos cos cos sin sin 666525210θθθ-⎛⎫-=+=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭.18．(1)12k =-(2)32【分析】(1)根据向量共线坐标表示即可求；(2)三点共线可转化为向量共线，再根据向量共线坐标表示即可求.【详解】（1）(1,0)(2,1)(2,1),ka b k k -=-=--2(1,0)2(2,1)(5,2).a b +=+=因为ka b - 与2a b +共线，所以2(2)(1)50,k ---⨯=解得12k =-.故当12k =-时，ka b - 与2a b +共线.（2）因为A ，B ，C 三点共线，a 与b不共线，所以存在实数λ，使得(),AB BC R λλ=∈即23()a b a mb λ+=+，整理得(8,3)(2,),m m λλλ=+所以283m m λλλ+=⎧⎨=⎩，解得32m =.故m 的值为32.19．（1）32；（2）2π；（3）[0,1].【解析】（1）本题将3x π=代入()f x 中进行计算即可得出结果；（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可得出结果；（3）本题首先可根据20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后通过正弦函数性质即可求出值域.【详解】（1）313sin cos 322222f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）31()sin cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期2T π=.（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==；当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1].20．（1）5-；（2）1tan 2α=-或1tan 3α=-．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得cos α的值，可得tan α的值，再利用诱导公式求得要求式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系求得22tan tan 1tan 15ααα+=-+，由此求得tan α的值．【详解】（1）tan 0α< ，25sin 5α=-，α\为第四象限角，25cos 1sin 5αα∴=-=，sin tan 2cos ααα∴==-，∴2sin()cos(2)2sin cos 2tan 153sin cos tan 1cos()sin()22αππααααππααααα++--+-+===-++--+．（2）21sin sin cos 5ααα+=- ，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，1tan 2α∴=-，或1tan 3α=-．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题．21．(1)()213BP ta t b =+- (2)1477BP a b =+ (3)证明见解析【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【详解】（1）由题意2233BE BA b == ，所以23EC EB BC a b =+=- ，()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ ①（2）设DP k DA = ，由1133BD BC a == ，13DA DB BA b a =+=- ，()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ ②由①、②得，()()211133ta t b k a kb +-=-+ ，所以()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1477BP a b =+ ；（3）由AC a b =- ，得()1155AF AC a b ==- ，所以1455BF BA AF a b =+=+ ，所以75BF BP = ，因为BF 与BP 有公共点B ，所以B ，P ，F 三点共线.22．（1）,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ；（2）[)4,+∞.【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简()f x ，然后根据图象平移求解出()g x 的解析式，最后采用整体替换的方法求解出()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）根据已知条件将问题转化为“24sin sin 1m x x ≥-+对2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立”，由此采用换元法求解出()2max 4sin sin 1x x -+，则结果可求.【详解】解：（1）根据已知得到23313()sin cos 3cos sin 2cos 2cos 222226f x a b x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅-=+-=+=- ⎪⎝⎭ ，将()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象.则()cos 2cos 212666g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()g x 的最小正周期为π，得22ππω=，1ω=.由22()6x k k ππ-=∈Z ，得12x k ππ=+，k ∈Z .故当()f x 取最大值时，x 的取值集合为,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .（2）由（1）得()cos 2g x x =，所以()()()22sin 32cos 2sin 3212sin sin 3h x g x x m x x m x x m =++-=++-=-++-.根据()0h x ≥对任意2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，可得24sin sin 1m x x ≥-+对任意2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立.令sin t x =，()22115414816r t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，易得当1t =时，函数()r t 取得最大值4，所以4m ≥，故实数m 的取值范围为[)4,+∞.。
