第三章 第八节 曲线拟合

曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。

针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。

针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。

针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。

针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。

针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。

本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。

关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。

目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。

今天帮同学做了一个非线性函数的曲线拟合，以前没做过，所以是摸着石头过河。

费了一下午时间，终于把曲线拟合出来了，顺道也学习了使用Matlab进行曲线拟合的方法，把学习所得记录下来，和大家共享。

一、单一变量的曲线逼近Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。

下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。

假设我们要拟合的函数形式是y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。

1、在命令行输入数据：》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；2、启动曲线拟合工具箱》cftool3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：•Custom Equations：用户自定义的函数类型•Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) •Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)•Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)•Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving•Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~•Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c•Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型•Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）•Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)•Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。

简述曲线拟合原理曲线拟合是数学和统计学中的一项基本技术，它的目的是建立一条连接数据点的曲线，以描述这些数据之间的关系。

曲线拟合可由多种形式来完成，然而，核心原理是一致的：使用多项式（或其他形式）来模拟数据集合中存在的趋势，以更准确地描绘出这种趋势。

曲线拟合的原理是利用待拟合的观测点的位置，利用一组未知参数来计算拟合曲线的形状，这样就可以把拟合曲线和原来的观测点定位起来。

常用的拟合曲线包括多项式拟合曲线、对数拟合曲线、指数拟合曲线、正弦拟合曲线等，拟合曲线可以分为线性拟合曲线和非线性拟合曲线。

线性拟合曲线通过参数估计完成，是最常用的拟合方法，可以用最小二乘法（Least Squares）的方式，来拟合一条最佳的直线，最小二乘法是一种数学方法，它的目的是把观察值与实际值之间的差值最小化。

非线性拟合曲线则是更加复杂的一种拟合方法，主要的解决方案有“梯度下降”、“非线性最小二乘法”等，它们都有自己的特点，可以根据实际情况选择适合的拟合方法完成。

此外，曲线拟合同样也可以通过正则化（Regularization）来完成，正则化技术可以解决模型过度拟合的问题，它会利用给定的正则项（L1正则化和L2正则化）来引入模型训练中的一定程度的范式，以期待达到更好的拟合效果。

最后，曲线拟合也可以通过改进的加权技术来完成，这是一种改进的拟合方法，它的核心思想是对于观测值中的一部分点进行额外的考虑，考虑出其与拟合参数之间的敏感性，以此来进行更准确的拟合。

综上所述，曲线拟合是一种数学和统计学中的重要技术，它通过利用未知参数、最小二乘法、梯度下降、非线性最小二乘法、正则化和加权技术，以及其他一些更加复杂的算法，来完成对待拟合的观测点的数据进行准确的模拟。

许多形式的曲线拟合的方法都是用来模拟数据集合中存在的趋势，如多项式拟合曲线、对数拟合曲线、指数拟合曲线等，以更准确地描绘出这种趋势。

曲线拟合的理解和应用曹明轩 精仪学院 1014202029曲线拟合在我们的实验测试中，都会得到海量的数据.为了更好地了解这些数据或者从数据中，做出预测、判断,给实验者提供重要的参考。

我们必须对得到的数据做拟合,得到能充分反映数据的内在规律的函数。

在所有的拟合方法之中，曲线拟合具有重要的应用前景 。

曲线拟合，俗称拉曲线,是一种把既有数据通过数学方法代入一个数学表达式的方法。

科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据,我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。

曲线拟合主要是可以分为三步：确定曲线拟合的函数模型在科学实验和社会实践中，我们常常需要观测很多数据的规律, 通过实验或者观测得到量x 与y 的一组数据对（x i ，y i )（i=1，2, …，N)，其中x i 是彼此不同的。

我们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式,y=f （x,c ）来反映量x 与y 之间的依赖关系,即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据f(x ，c)。

常称作拟合模型，当c 在和x 满足中线性关系时,称为线性模型，否则称为非线性模型.线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，有时很难确定参数之间存在着何种关系,是线性还是非线性， 如果是非线性，那是多项式函数、 幂函数、指数函数、对数函数等，甚至是它们的复合函数，有时还需要分段分析，因此在整个拟合过程中，拟合曲线函数模型的确定是最困难的。

对于拟合函数的模型确定,一般来说，主要有观察法，近似法以及计算法。

目前使用比较多的是观察法。

观察法是利用数学工具对已有的数据点的分布，初步确定其最可能的函数关系，这种方法最大的特点是简单直观。

确定法方程求解参数实际上确定法方程求解参数就是对对误差平方和最小值的求解，假设已知数据点（x i ,y i ）（i=0，1，。

.，m ），Ф为所有的次数不超过m 的多项式构成的函数类,现求φ∈-=∑=mi i i k y x f xi fk 0])([)(，使得 min )(])([0020=-=-=∑∑∑===n i nk k i k m i i i k yi x a y x f I由于上式为多元函数，其最小值存在的必要条件是其对应偏导等于零，由此可得，)(200=-=∂∂∑∑==mijiikinikjxyxaaIj=0，1,...，n即∑∑∑===+=miijinkkmikjiyxax00)( j=0，1，。

第9章 实验八曲线拟合实验目的：明确曲线拟合的含义，会求数据的曲线拟合。

9.1 最小二乘拟合曲线在科学工程试验中，经常需要从试验数据中寻找拟合曲线。

曲线拟合是指用函数)(x g 拟合给定的节点n i y x i i ,,2,1),,( =，通常所拟合的节点数n 必须大于未知数个数k 。

确定函数)(x g 参数，使得拟合函数与节点的偏差最小，这种方法称为最小二乘法。

当n=k 时，由于拟合曲线通过所用节点，可使问题得到简化。

数据的线性拟合已知n i y x i i ,,2,1),,( =，最小二乘拟合曲线： B Ax y +=的系数是下列线性方程组的解，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∑∑∑∑∑======+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nk knk k nk kkn k k n k k y nB A x y xB x A x 111112 （9.1）例9.1 给定一组数据点（-1,10），（0,9），（1,7），（2,5），（3,4），（4,3），（5,0），（6，-1），求其最小二乘拟合曲线。

解：（１）在ＭＡＴＬＡＢ中作散点图 输入数据点并作图：x=[-1 0 1 2 3 4 5 6]; y=[10 9 7 5 4 3 0 -1]; plot(x,y ,’.’) 得到：图9.1 散点图可以知道x,y 近似成线性关系 y=Ax+B ，这里的A 与B 是待定常数。

（2）求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑∑=====81818181812k kk k k kkk k k k y nB A x y xB x A x （9.2）使用表9-1中的值很容易得到方程组（9.2）的解。

表（12-1） 求方程组（3.2）的系数含有参数A 和B 的线性方程组为：⎩⎨⎧=+=+37820252092B A B A （9.3）线性方程组的解为A ≈-1.071429和B ≈8.6428571。

曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于求解函数的统计学方法。

它可以利用已经收集到的数据，通过最小二乘法（Least Square Method）来求解该数据集所对应的函数，从而实现对数据和函数之间的拟合。

曲线拟合法主要用来估计定量数据的表达式，从而研究特定定性数据，如温度、压力等的变化规律。

该方法可以让我们更好地理解数据的特征，从而做出更好的决策。

曲线拟合法是一种基于样本数据的有效工具，它可以帮助我们更加准确地估计函数的形式。

它不仅能够对历史数据进行准确预测，而且可以用来探索定量数据变化的相关规律，从而更好地控制和平衡变量之间的关系。

曲线拟合法需要将被研究的函数表示为一个曲线，并使用最小二乘法来拟合该曲线。

在这个过程中，需要先把函数分解为一系列的函数部分，然后利用系数来表示它们之间的关系，最后再将这些系数拟合到原始函数上。

此外，曲线拟合法还可以用来估计和推断未知的数据。

它可以使用已知的数据来拟合函数，然后利用拟合函数来预测未知点的值。

这样，便可以获得更加准确的数据估计。

因此，曲线拟合法是一种有效的统计学方法，它可以帮助我们准确预测数据，并且能够发现和探索定量数据变化的规律。