无穷乘积的性质探究

目录摘要 (2)关键词 (2)Abstract (3)Key word (3)0.引言 (4)1.基本知识 (4)1.1相关定义 (4)2.收敛的无穷乘积的性质 (5)2.1收敛的无穷乘积的性质 (5)2.2无穷乘积收敛的充要条件 (6)2.3绝对收敛的无穷乘积的性质 (6)2.4无穷乘积重排 (7)3.简单应用 (8)4.结论 (9)参考文献 (9)致谢 (10)无穷乘积的性质探究摘要本文给出了无穷乘积的定义以及无穷乘积的一些重要性质，包括无穷乘积的敛散性，无穷乘积收敛的一些充要条件，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对绝对收敛的无穷乘积和条件收敛的无穷乘积的重排性质进行探究.关键词敛散性绝对收敛条件收敛重排应用Research of properties of infinite productAbstract this paper gives the definition of infinite product and some important properties of infinite products, including the infinite product of convergence, some necessary and sufficient conditions for the convergence of infinite products, some properties and the simple application of the infinite product of absolute convergence. Especially rearrangement nature of the absolute convergence of infinite multiplication and condition for the convergence of infinite products are explored.Key word Convergence of the absolute convergence of conditional convergence rearrangement application无穷乘积的性质探究0.引言级数是研究分析数学的重要工具，许多的问题导致无穷级数的研究，比如，研究函数时重要的工具是泰勒多项式及泰勒展开式.同时也能解决现实中的许多问题，比如工程技术等方面，在数学上，函数都能用级数来表示，因此，级数理论在分析数学以及实际应用中是研究函数的一种有效的数学工具.文献[1-3]主要对数项级数中的级数的收敛性，正项级数敛散性的判别法及其一般项级数敛散性的判别法和性质进行研究.无穷乘积同级数一样，分为收敛和发散的无穷乘积，收敛的无穷乘积又分为绝对收敛和条件收敛，但它们在性质上差异很大，绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.本问题在数学分析学习了级数相关理论后，对无穷乘积的性质类似于无穷个数求和进行探究，包括无穷乘积的敛散性，绝对收敛的无穷乘积的一些性质及其简单应用.尤其对无穷乘积的重排性质进行探究.1.基本知识1.1相关定义定理]3[1若级数∑∞=1||n nu绝对收敛，其和为s .而∑∞=1n j k u 是∑∞=1n k u 的任意一个重排，则∑∞=1n j ku也绝对收敛，且其和为s .定义]4[1一般说，若,...,21 p p 是一个序列，则形式积n n p ∞=∏1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n p p p p 321的式子称为无穷乘积.它的前n 项之积k n n p p ∞=∏=1n p p p p .....321⋅⋅=称为部分乘积.定义]4[2设n p 是无穷乘积n n p ∞=∏1的部分乘积，若n p 有极限p ,即p p n n =∞→lim (p 0≠),则称无穷乘积(1)收敛,称p 为无穷乘积(1)的积.记为n n p p ∞=∏=1.若n p 没有极限，或)(0∞→→n p n 则称n n p ∞=∏1发散.定义]4[3设有无穷乘积)1(1n n α+∏∞=，其中),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，若|)|1(1n n α+∏∞=收敛，则称)1(1n n α+∏∞=绝对收敛；若)1(1n n α+∏∞=收敛，而|)|1(1n n α+∏∞=发散，则称)1(1n n α+∏∞=条件收敛.即绝对收敛的无穷乘积一定收敛.定义]4[4设n n α∞=∏1为一个给定级数.所谓这个级数的项重排是指按照一定规则将其中第n 项n α变成某个第n k 项.更确切地说，设有自然数集合N 是自身的一个一一对应：f ：N →N ，令n k )(n f =，并令n k nαα='，(⋅⋅⋅=,2,1n )，则新的级数n n α'∏∞=1称为n n α∞=∏1的一个重排级数.定义]5[5设)0(1>∏∞=n n n p p 是任意项无穷乘积.(1)若级数||ln 1∑∞=n np收敛，则称无穷乘积n n p ∞=∏1绝对收敛.(2)若级数∑∞=1ln n np收敛，而级数||ln 1∑∞=n np发散，则称无穷乘积n n p ∞=∏1条件收敛.2.收敛的无穷乘积的性质2.1收敛的无穷乘积的性质定理]4[2若n n p ∞=∏1收敛，则1lim =∞→n n p .定理]4[3设n n p ∞=∏1收敛，则其余积)(11∞→→∏=∞+=m p n m n m π.定理]4[4设n n p ∞=∏1及n n q ∞=∏1收敛，则无穷乘积n n n q p ∞=∏1与nnn q p ∞=∏1收敛，并有 ⋅∏∞=n n p 1n n q ∞=∏1=n n n q p ∞=∏1，n n p ∞=∏1/n n q ∞=∏1=nnn q p ∞=∏1. 推论]6[1若无穷乘积n n p ∞=∏1收敛，其积为p ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=cn ccccn n p p p p p 3211也收敛，其积为cp ，其中c 是不为零的常数. 推论]6[2若无穷乘积n n p ∞=∏1收敛，其积为p ，则无穷乘积nn p 11∞=∏也收敛.其积为p 1. 定理]6[5若无穷乘积n n p ∞=∏1与n n q ∞=∏1都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=)())(()(22111n n n n n q p q p q p q p 也收敛，其积为AB .定理]6[6若无穷乘积n n p ∞=∏1与n n q ∞=∏1都收敛，其积分别为A 与B ，则无穷乘积⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∏∞=n n n n n q p q p q p q p 22111也收敛，其积为B A . 2.2无穷乘积收敛的充要条件定理]4[7设0>n p （⋅⋅⋅=,2,1 n ），则无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是级数n n p ln 1∞=∏收敛.定理]4[8设),2,1(0⋅⋅⋅=≥n n α，则无穷乘积)1(1n n α+∏∞=收敛的充要条件是级数∑∞=1n nα收敛.这个定理告诉我们，无穷乘积)1(1n n α+∏∞=收敛性的判别，在0≥n α（或0≤n α）的情况下，完全归结为级数∑∞=1n nα收敛性的判别.定理]4[9设∑∞=1n nα收敛，则)1(1n n α+∏∞=收敛的充要条件是∑∞=12n nα收敛.定理]6[10(cauchy 收敛准则)无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是N p N n N N ∈∀≥∀∈∃>∀,,,0ε，有εε+<<-∏++=111pn n k kp.定理]7[11若存在一个0>N ，当N n >时，有1>n p ，则无穷乘积n n p ∞=∏1收敛的充要条件是)1(1-∑∞=n np收敛.定理]6[12无穷乘积)1(1≥∏∞=n n n p p 收敛的充要条件是它的部分积数列}{n L 有上界.引理1若)1(1n n α+∏∞=条件收敛，则∑∞=1n nα条件收敛且∑∞=12n nα收敛.2.3绝对收敛的无穷乘积的性质定理]4[13设),2,1(1⋅⋅⋅=-≠n n α，则下面三条命题等价： (1))1(1n n α+∏∞=绝对收敛；(2))1(ln 1nn α+∑∞=绝对收敛；(3)∑∞=1n nα绝对收敛.定理]7[14若无穷乘积n n p ∞=∏1绝对收敛，则无穷乘积n n p ∞=∏1必收敛.2.4无穷乘积重排定理15 设)1(1n n α+∏∞=绝对收敛，则)1(1n n α+∏∞=在任意重排下不改变收敛性及积.证明 设无穷乘积)1(1n n α+∏∞=的积为s ，由定理]4[13知，)1(ln 1nn α+∑∞=也绝对收敛，且其和为s .设)1(ln 1kj k α+∑∞=是)1(ln 1k k α+∑∞=的任意一个重排.由定理]3[1知，)1(ln 1k j k α+∑∞=也绝对收敛，且其和为s .再由定理]4[13知，)1(1k j n α+∏∞=也绝对收敛，且其积为s .定理16 对于条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以等于任意给定的非零实数. 证明 由已知得)0(1>∏∞=n n n p p 条件收敛，由定义]5[5(2)知，要证)0(1>∏∞=n n n p p 条件收敛，只需证明级数∑∞=1ln n np收敛，而级数||ln 1∑∞=n np发散，要证条件收敛的无穷乘积)0(1>∏∞=n n n p p ，适当重排后可以等于任意给定的非零实数，只需整∑∞=1ln n n p 与||ln 1∑∞=n n p 的重排级数σ=∑∞=1n nb.不妨设0>σ.先依顺序取∑∞=1ln n np中的若干项，使其和大于或等于 σ，然后依次在||ln 1∑∞=n np中取足够多的项，使与前面的项相加，其和2n t 刚巧小于σ，回头再取∑∞=1ln n n p 中取足够多的项，使与前面的项相加，其和3n t 刚巧大于或等于σ，再取||ln 1∑∞=n np后面的项…这样便得到||ln 1∑∞=n np的重排，记为∑∞=1n n b ，显然01→∑∞=n n b ，记重排后级数∑∞=1n n b 的部分和为=n t ∑∞=1n nb，则前面构造的数列}{k n t 刚好是}{n t 的子数列，由)(0||||||1∞→→=-≤--k b t t t k k k k n n n n σ，知)(∞→→k t k n σ.而根据前述构造.当1+≤≤k k n n n 时，n t 夹在1+k n t 与k n t 之间，故σ→n t ，这就证明了∑∞=1n nb收敛到σ.由定义]5[5(2)知，条件收敛的无穷乘积)0(1>∏∞=n n n p p ，适当重排后可以等于任意给定的非零实数.3.简单应用例题1 讨论无穷乘积)12(221++∏∞=n n n 的敛散性. 解 11112222++=++=n n n p n ，又因为∑∞=+1211n n 收敛， 则由定理]4[8知，)12(221++∏∞=n n n 收敛. 例题2 讨论无穷乘积)1-1(1p n n∞=∏的收敛性. 解 p n n p 11-=-,其中p n 1-不变号.由定理]4[8知，由于级数∑∞=1)1(-n p n ，当1>p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 故无穷乘积)1-1(1p n n∞=∏当1> p 时收敛，而当1≤ p 时发散. 例题]4[3 讨论无穷乘积))1(-1(11pn n n+∞=+∏的敛散性. 解 当0≤p 时，pn n 1)1(1+-+不趋于)(1∞→n，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏发散. 下面只讨论0>p 的情况. 由于级数∑∞=+-11)1(n pn n 收敛，故))1(-1(11p n n n +∞=+∏收敛的充要条件是级数敛=-∑∞=+211])1([n pn n ∑∞=121n pn收敛.因此，当210≤<p ,由于∑∞=121n p n发散，故原无穷乘积发散.当21>p 时，原无穷乘积收敛. 斯特林公式的应用斯特林公式：)(2~!21∞→-+n e nn n n π，也即12!lim21=-+∞→nn n e nn π 证明见文献4215209~p p 页. 例题]2[4利用斯特林公式求nn n n !lim∞→的极限.解 由斯特林公式知，212122lim !limn ene n n n n nn n n θπ⋅⋅=-∞→∞→22122limn en enn θπ⋅=∞→e =例题]2[5利用斯特林公式求nn n n ln !ln lim∞→的极限.解 由斯特林公式知，n n n n ln !ln lim ∞→n n n n n n n n ln 12ln )ln ln 2(ln 21lim θπ+-+++=∞→1=4.结论通过本课题的研究，我们了解了无穷乘积的定义、性质、以及敛散性的判别法，同时我们知道了两条关于无穷乘积重排的重要性质:(1)绝对收敛的无穷乘积在任意重排下不改变其收敛性及积.(2)条件收敛的无穷乘积，适当重排后可以使其积等于任意给定的非零实数.在无穷乘积的应用中，不仅可以用无穷乘积的定义，也可以用无穷乘积的性质定理来讨论其敛散性.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析下册(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2001.1-25. [2]费定晖、周学圣.吉米多维奇《数学分析习题集题解4》[M].第三版.山东科学技术出版社.386-416.[3]邓东皋、尹小玲.数学分析简明教程(第二版)下册[M].北京：高等教育出版社， 2006.1-38.[4]李忠、方丽萍.数学分析教程下册[M].北京：高等教育出版社，2008.143-212. [5]高永东，任意项无穷乘积的敛散性[J].咸宁师专学报.2000,12,20(6).15-18[6]高永东、李相朋，无穷乘积的性质及其敛散性判别法[J].武汉科技学院学报， 2000，9，13(3).42-46 [7]唐敏、戴培良，无穷乘积的敛散性[J].常熟理工学院学报（自然科学），2010,8,24(8).1-5致谢非常感谢李云霞老师，在我大学的最后学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，从最初的定题，到资料收集，到写作、修改，到论文定稿，她给了我耐心的指导和无私的帮助。

第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132　N o13　M ay,2002　关于无穷小量乘积的讨论孟　健,　赵迁贵(中国矿业大学数学与系统科学系,江苏徐州　221008)摘要:　本文由有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量的证明入手,给出无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量的例子,并根据这种方法得到无穷多个无穷大量的和也不一定是无穷大量的结论.关键词:　无穷小量;无穷大量;无穷和;无穷乘积我们知道有限个无穷小量之和是无穷小量,而无穷多个无穷小量的和却不一定是无穷小量.那么关于它们的乘积结论又如何呢?首先有结论:在自变量同一变化中,有限个无穷小量的乘积是无穷小量.这里仅以自变量x趋于x0为例证明这个结论.设当x→x0时,函数f1(x),f2(x),…, f n(x)为无穷小量,由无穷小量的定义,对函数f i(x)(i=1,2,…,n)有对于任意给定的正数Ε,总存在正数∆i,使得对于适合不等式0< x-x0 <∆i的一切x,对应的函数值f i(x)都满足不等式f i(x) <nΕ取∆=m in1ΦiΦn{∆i},从而对适合0< x-x0 <∆的一切x,不等式∏n i=1f i(x)<∏ni=1nΕ=Ε都成立.故有限个无穷小量的乘积∏ni=1f i(x)是当x→x0时的无穷小量.有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量,那么无穷个无穷小量的乘积是否还是无穷小量呢?结论从直观上看似乎是肯定的,但是通过分析有限个乘积的证明看出,此时对无穷多个∆i(i=1,2,…),不一定能找到它们的最小值,从而结论不一定成立.事实上,我们从以下的两个例子中可以知道在自变量同一变化中,无穷多个无穷小量的乘积不一定是无穷小量.例1　考虑函数列f n(x)=x, x <1n, n, x Ε1n显然对每一个给定的n,函数f n(x)都是当x→0时的无穷小量,下面只需证明它们的无穷乘积当x→0时不是无穷小量.取定Ε0=1,对任意给定的正数∆,总存在自然数N,使得1N<∆,由函数f n(x)的定义f n1N=1N,当m<N时,m,当mΕN时故∏2Nn =1fn1N=∏N -1n =1fn(x )∏2Nn =Nfn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1注意到当m ΕN 时f m1N=m ,因此,函数列f n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积也大于给定的正数Ε0,故它不是x →0时的无穷小量.例2　考虑函数列g n (x )=n ,x Φn ,1x,x >n 根据定义对每一个给定的n ,函数f n (x )都是当x →∞时的无穷小量,这里同样可证,它们的无穷乘积也不是当x →∞时的无穷小量.对任意给定的正数X (不妨设X >1),总存在自然数N >X,由g n (x )的定义知g m (N )=1N,当m <N 时,m ,当m ΕN 时故∏2Nn =1gn(N )=∏N -1n =1gn(x )∏2Nn =Ngn(x )=1NN -1N (N +1)(N +2)…(N +N )Ε1由于当m ΕN 时,g m (N )=m >1,故可取Ε0=1,对任意的X >1,总有适应 x >X 的N ,使得函数列g n (x )(n =1,2,…)的无穷乘积的值大于等于Ε0,因此结论成立.根据以上讨论,我们还容易得到无穷多个负(正)无穷大量的和不一定是负(正)无穷大量的例子.例3　设函数列h n (x )=ln x ,x <1n,ln n ,x Ε1n由无穷大量的定义,对每个给定的n ,函数h n (x )为x →0时的无穷大量,由例1的方法可以证明,它们的无穷和却不是当x →0时的无穷大量.参考文献:[1]　复旦大学数学系1数学分析[M ].上海:上海科学技术出版社,1979.[2]　同济大学数学教研室1高等数学[M ].北京:高等教育出版社,19971[3]　张晓宁等1高等数学习题课教程[M ]1徐州:中国矿业大学出版社,19881815数　学　的　实　践　与　认　识32卷第32卷第3期2002年5月数学的实践与认识M A TH EM A T I CS I N PRA CT I CE AND TH EO R YV o l132　N o13　M ay,2002　On the I nf i n ite Product of the I nf i n itely S mall Quan tityM EN G J ian,　ZHAO Q ian2gu i(D epartm en t of M athem atics,Ch ina U n iversity of M in ing and T echno logy,Xuzhou221008,Ch ina)Abstract:　In th is no te,w e con struct som e examp les to show that the infin itely p roduct of theinfin itely s m all quan tity m ay be no t infin itely s m all quan tity.Keywords:　infin itely s m all quan tity;infin itely large quan tity;infin itely sum;infin ite p roduct数字技术与科技进步李　冰(中央民族大学物理与电子工程系,北京　100081)摘要:　本文讨论并提出数字技术与数学科学的内在联系.并根据实际的分析和研究,认为数字化技术只是信息化促进科技发展的一个阶段,尽管数字技术已经并将继续推动科技和生产力的发展速度.关键词:　数字技术;数字化程序设计;应用数学;科技发展0　序 言数字化和信息化有密不可分的联系,进而影响着科技进步的现代化进程.在上世纪末,美国麻省理工学院教授、媒体实验室负责人尼葛洛庞帝出版了《数字化生存》[4]一书,引起了世界范围的广泛讨论[6].在新千年到来之际,1999年12月,美国的副总统戈尔曾在加利福尼亚科学中心作了“数字地球——认识我们这颗星球”的演讲[6];2000年6月5日光明日报报道了中国国家主席江泽民在接见中科院、工程院部分院士时,也提到“数字地球”这一概念[6].在新世纪的新经济时代,推动时代发展的根本力量,仍必将是信息化和科技进步推动的全球经济一体化.对科技进步的现状(包括数字技术)与经济发展前景的联系,会引起人们的各种思考.一方面,数字技术对推动科技进步(以新颖性、创造性、实用性为标准)带来的机遇,不容忽略;另一方面,人类综合能力、实践能力和创新能力的提高,也会推动数字信息化在更宽阔的领域里有所新的创造.1　数字技术把数学和物理有机结合了起来李政道博士曾经讲过,(上世纪)的科学门类繁多,总体可以归于数学和物理两类.我们认为[1],数学可以被理解为指导思维(特别是创新思维)的科学;而人类对外部的物质世界的被称为“物理”的研究,可以归纳为对物质运动所表现出的信息进行“整理”和“条理”的工作.物质运动的信息,来自物体之间的相互作用,大致可以分为物体之间的力的相互作用、物质。

无穷乘积与无穷连乘积在数学中，我们常常会涉及到乘积的概念。

当我们考虑无穷序列的乘积时，可能会引入无穷乘积和无穷连乘积的概念。

这两种概念虽然都与乘积有关，但却有着不同的性质和表达方式。

无穷乘积的定义无穷乘积是指一个无穷序列的乘积，通常表示为$\\prod_{n=1}^{\\infty} a_n$。

在无穷乘积中，每一项a n都是序列中的一个元素，乘积是从n=1到无穷的所有元素的连乘积。

无穷乘积在数论、解析数论、概率论等领域有着重要的应用。

无穷连乘积的定义与无穷乘积相对应的概念是无穷连乘积。

无穷连乘积是由一个无穷序列中的项构成的无穷积，通常表示为 $\\prod_{n=1}^{\\infty} (1+a_n)$。

在无穷连乘积中，每一项(1+a n)都是序列中的一个元素，乘积是从n=1到无穷的所有元素的连乘积。

无穷连乘积在数论、概率论、动力系统等领域有广泛的应用。

无穷乘积与无穷连乘积的区别虽然无穷乘积和无穷连乘积都涉及到无穷序列的乘积，但它们之间存在一些重要的区别。

首先，无穷乘积的元素是直接相乘得到乘积，而无穷连乘积的元素是先加一再相乘得到乘积。

其次，无穷乘积的处理方式更多地集中在因子的乘积上，而无穷连乘积的处理方式更多地涉及因子的加法和乘法。

此外，无穷乘积更常用于解除一个无穷序列的极限值，而无穷连乘积更常用于描述一些不断迭代的过程。

应用无穷乘积和无穷连乘积在数学领域有着广泛的应用。

无穷乘积在数论中常用于解决整数的唯一分解问题，无穷连乘积在概率论中常用于描述连续的概率空间。

在动力系统中，无穷连乘积常用于描述分形的特征。

无穷乘积和无穷连乘积的研究不仅丰富了数学理论体系，也为实际问题的解决提供了数学工具。

结论无穷乘积和无穷连乘积作为数学中的重要概念，有着各自的特点和应用。

通过对两者的深入研究，我们可以更好地理解数学中的乘积运算，并应用于解决实际问题。

在今后的数学研究和应用中，无穷乘积和无穷连乘积将继续发挥重要作用。

目录摘要 (1)关键词 (1)1 数项无穷乘积的定义 (1)2 数项无穷乘积的敛散性的判别 (2)3 函数项无穷乘积的定义 (8)4 函数项无穷乘积的一致收敛的判别 (8)参考文献 (11)英文摘要 (12)无穷乘积的敛散性夏晓丹 学号：20101101890数学科学学院 数学与应用数学专业2010级汉一班指导老师 刘官厅摘要：给出了无穷乘积和函数项无穷乘积的定义以及与无穷乘积有关的重要定理，依据级数理论以及无穷乘积与级数的关系，给出了几种无穷乘积的收敛性判别方法、函数项无穷乘积的一致收敛性.关键词：无穷乘积 部分乘积 敛散性 一致收敛性1 数项无穷乘积的定义定义1[]1 给定数列1p ，2p ， ，n p ， .如果把这无穷多个数相乘，称nn np p p p 211＝∏∞= 为一个无穷乘积.定义2[]1 设∏∞=1n n p 是一个无穷乘积，称n nk k n p p p p S 211＝∏== （1=n ，2， ）为这个无穷乘积的部分乘积.如果当∞→n 时，数列{}n S 有有限的极限S ，且0≠S ，则称这个无穷乘积是收敛的，记为S p n n =∏∞=1.如果{}n S 的极限不存在，或者虽然存在但是等于0，则称它是发散的.例1[]1 证明无穷乘积)11(22nn -∏∞=是收敛的.证明：因为)1()1()11()11()11)(11()11(22222221k k k k k k k k k p n k n k n k n k n k n k n +∏-∏=+∏-∏=+-∏=-∏=======-)11453423)(1433221(n n n n n n +⋅-⋅⋅-⋅⋅=21121→+⋅=n n （∞→n ）.所以无穷乘积)11(22nn -∏∞=收敛.2 数项无穷乘积的敛散性的判别定理1（Cauchy 收敛原理）无穷乘积∏∞=1n n a 收敛的充要条件是0>∀ε，N ∃，当N n >时，对N ∈∀p ， 有ε<-+++121p n n n a a a .证明：“⇒” 因为无穷乘积∏∞=1n n a 收敛，所以当∞→n 时，nnk k n p p p p S 211＝∏==极限存在，由数列极限的定义得{}n S 有界，从而0,>∃M m ，02>∃N ,当2N n >时，有M S m n ≤≤，从而mx S M n 1)(11≤≤，再由数列收敛的柯西收敛原理得 0>∀ε，01>∃N ,当1N n >时，对N ∈∀p ，有εm S S n p n <-+.所以取{}21,max N N N =,对0>∀ε,当N n >时，对N ∈∀p ，有εε=<-=-++m mS S S S S nnp n np n 11，即ε<-+++121p n n n a a a . “⇐”当1=p 时，得ε<-+11n a ，即εε+<<-+111n a ，从而得{}n a 有界，从而∏=nk ka 1有界，即0>∃M ，01>∃N ,当1N n >时，有M a nk k ≤∏=1，由已知得 0>∀ε，02>∃N ,当2N n >时，对N ∈∀p ，有Ma a a p n n n ε<-+++121 ，从而()εε=<-+++MMa a a a a a p n n n n 12121 ，取{}21,m a x N N N =，对0>∀ε，当N n >时，有()ε<-+++12121p n n n n a a a a a a ，当∞→p 时，即{}n S 极限存在，所以无穷乘积∏∞=1n n a 收敛.推论1[]1 无穷乘积∏∞=1n n p 收敛的必要条件是1lim =∞→n n p .证明：设01≠=∏∞=p p n n ，则11=→=-ppS S p n n n （∞→n ）. 例2[]1 设21=n p （1=n ，2， ），则其部分乘积021→⎪⎭⎫⎝⎛=nn p （∞→n ），因而 21211⋅=∏∞=n n p 是发散的.由于收敛的无穷乘积的通项1→n p （∞→n ），所以从某个n 起，n p 都是正数，因此在整个无穷乘积中，负因子只能用有有限项，所以不妨假设所有的n p 都是正的，在下面的讨论中，把n p 写成n n a p +=1（1=n ，2， ），其中+∞<<-n a 1.这样∏∞=+1)1(n n a 收敛的必要条件就是0lim =∞→n n a .定理2[]1 无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛的充要条件是级数∑∞=+1)1ln(n n a 收敛.在收敛的情况下，如果∑∞=+1)1ln(n n a 的和是S ,那么S n n e a =+∏∞=1)1(.证明：因为∏=+=nk k n a p 1)1(，所以n nk n n S a p =+=∑=1)1ln(ln ，这里n S 是级数∑∞=+1)1ln(n na 的部分和，如果0>→p pn，那么p S n ln →.反之如果S S n →，则S n e p →.定理3[]1 如果从某个n 起都有0>n a （或者01<<-n a ），那么∏∞=+1)1(n n a 与∑∞=1n na 同敛散.证明：因为不论∏∞=+1)1(n n a 与∑∞=1n n a 何者收敛都有0lim =∞→n n a ，因此总可假定这个条件成立.这是有1)1ln(lim=+∞→n n n a a ，因而级数∑∞=+1)1ln(n n a 与∑∞=1n n a 同敛散，由定理1可得∏∞=+1)1(n n a 与∑∞=1n n a 同敛散.定理4[]1 如果+∞<∑∞=12n n a ，那么∏∞=+1)1(n n a 与∑∞=1n n a 同敛散.证明：由于+∞<∑∞=12n n a ，可推出0lim =∞→n n a ，因而21)1ln(lim2=+-∞→nn n n a a a ，从而 ∑∞=+-1)1ln(n n na a收敛，所以级数∑∞=+1)1ln(n n a 与∑∞=1n n a 同敛散，从而∏∞=+1)1(n n a 与∑∞=1n na同敛散.注意：如果+∞=∑∞=12n n a ，结论不一定成立.例3[]2 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=kk k k k a n 1111kn k n 212=-=，证明：∑∞=1n n a ，∑∞=12n n a 都发散，但是∏∞=+1)1(n na 收敛.证明：考虑k k k a a a 212+=-，则有k k k a k 11+= （1=k ，2， ），由于∑∞=11k k k 收敛，而∑∞=11k k 发散，从而正项级数∑∞=1k k a 发散，即原级数∑∞=1n n a 发散.再记k k k a a b 22122+=-，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛=332212123211k o k k k k k k k k k b k 由∑∞=131k k 收敛，而级数∑∞=12k k 发散，从而正项级数∑∞=1k k b 发散，即原级数∑∞=12n n a 发散.再考虑无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 对应的级数∑∞=1n n u ，其中)1ln(n n a u += （1=n ，2， ）令)1ln()1ln(212212k k k k k a a u u c +++=+=--⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k k k 1111ln 11ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211ln k于是级数∑∞=1k k c 收敛，注意到0→k u （∞→k ），从而级数∑∞=1n n u 收敛,由定理2得无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛.定理5[]1 ∏∞=+1)1(n n a 发散到0的充要条件是-∞=+∑∞=1)1ln(n n a .证明：因为∏∞=+1)1(n n a 发散到0，所以0)1(lim lim 1=+=∏=∞→∞→nk k n n n a p ，又因为∑=+=n k n n a p 1)1ln(ln ，所以-∞==+∞→=∞→∑n n n k k n p a ln lim )1ln(lim 1，即-∞=+∑∞=1)1ln(n n a .定理6[]1 如果01<<-n a ，且∑∞=1n n a 发散，那么∏∞=+1)1(n n a 发散到0.证明：由01<<-n a ，知0)1ln(<+n a ，因为∑∞=1n n a 发散，所以∑∞=+1)1ln(n n a 发散到∞-，从而∏∞=+1)1(n n a 发散到0.定理7[]1 如果∑∞=1n n a 收敛，但∑∞=12n n a 发散，那么∏∞=+1)1(n n a 发散到0.证明：从∑∞=12n n a 发散，即+∞=∑∞=12n n a ，以及21)1ln(lim2=+-∞→nn n n a a a ，可得 +∞=+-∑∞=1)1ln(n n na a，但是∑∞=1n n a 收敛，因而必有-∞=+∑∞=1)1ln(n n a ，由定理5，得 ∏∞=+1)1(n n a 发散到0.例4[]2 设1->a ，证明：0lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→n n α，这里10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛α，!)1()1(n n n +--⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αααα .证明：由已知得 !)1()1()1()1(n n n n n +--⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-αααα )11()211)(111(n+-+-+-=ααα)11(1knk +-∏==α因为01>+α，且∑∞=+11n nα发散，由定理6知无穷乘积)11(1kk +-∏∞=α发散到0，即0lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n α. 例5[]2 设0>a ，讨论无穷乘积)1)1(1(1αn nn -+∏∞=的敛散性. 解：记αn a nn 1)1(-=，则∑∞=1n n a 收敛.当21>a 时，∑∑∞=∞==12121n n n n a α收敛，由定理4知无穷乘积)1)1(1(1αn n n -+∏∞=收敛；当21≤a 时，∑∑∞=∞==12121n n n na α发散，由定理7知无穷乘积)1)1(1(1αn n n -+∏∞=发散到0.定义3[]1 如果无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛，则称无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 绝对收敛.定理8[]1 绝对收敛的无穷乘积一定收敛.证明：设无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛，由定理3知∑∞=1n n a 收敛，又因为1)1ln(lim=+∞→nn n a a ，所以∑∞=+1)1ln(n n a 收敛，从而∑∞=+1)1ln(n n a 收敛，再由定理1知∏∞=+1)1(n na 收敛.定理9[]1 任意改变绝对收敛的无穷乘积因子的次序，所得的新的无穷乘积仍然绝对收敛，且其积不变.证明：设∏∞=+1)1(n n a 绝对收敛，任意改变其因子的次序得到一个新的无穷乘积∏∞=+1)1(n nb ，由定理8的证明知，∑∞=+1)1ln(n na 绝对收敛，所以它可以任意改变求和的次序，因而∑∞=+1)1ln(n n b 也绝对收敛，而且∑∑∞=∞=+=+11)1ln()1ln(n n n n b a ，从而∏∞=+1)1(n nb 绝对收敛，且∏∏∞=∞=+=+11)1()1(n nn nb a .定义4[]1 如果无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛，但无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 发散，则称无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 条件收敛.例6 证明无穷乘积)1)1(1(1nn n -+∏∞=条件收敛.证明：记n a nn 1)1(-=，则∑∞=1n n a 收敛，又因为1)1ln(lim =+∞→nn n a a ，所以∑∞=+1)1ln(n n a 收敛，由定理1知 ∏∞=+1)1(n n a 收敛；由∑∞=1n n a 发散，由定理3 知∏∞=+1)1(n n a 发散，所以无穷乘积)1)1(1(1n n n -+∏∞=条件收敛.例7 讨论nn 11∞=∏的敛散性.解：由于通项01→=np n （当∞→n 时），由收敛的必要条件知n n 11∞=∏发散；且由于部分乘积0!111→=∏==n k S n k n （当∞→n 时），n n 11∞=∏发散到0.例8[]2 讨论无穷乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏∞=p n n 111的敛散性.解：由p n n p 11+=，其中p n 1不变号，由于级数∑∞=11n p n，当1>p 时收敛，而当1≤p 时发散，由定理3 知当1>p 时，无穷乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏∞=p n n 111收敛；当1≤p 时，无穷乘积⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏∞=p n n 111发散.3 函数项无穷乘积的定义定义 5 设)(1x u ，)(2x u ， )(x u n ，是定义在区间I 上的一列函数，称)()()()(211x u x u x u x u n n n ⋅=∏∞=是区间I 上的一个函数项无穷乘积.在区间I 上任意取一点0x ，那么)(01x u n n ∞=∏就是一个数项无穷乘积.如果)(01x u n n ∞=∏收敛，则称函数项无穷乘积)(1x u n n ∞=∏在点0x 处收敛；反之，则称)(1x u n n ∞=∏在点0x 处发散.定义6 设)(1x u n n ∏∞=是一个函数项无穷乘积，称n nk k n u u u u S 211＝∏== （1=n ，2，）为这个函数项无穷乘积的部分乘积.定义7 设)(1x u n n ∏∞=是定义在区间I 上的一个函数项无穷乘积，令)()(1x u x S n nk n =∏=为它的部分乘积，如果函数列{})(x S n 在I 上一致收敛与)(x S ，则称函数项无穷乘积)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛与)(x S .定义8 设{})(x f n 是定义在I 上的函数列，如果对I x ∈∀，都有正数)(x M ，使得)()(x M x f n ≤（1=n ，2， ）成立，则称函数列{})(x f n 在I 上逐点有界，这里)(x M 是随x 的变化而变化的.如果找到一个常数M ，使得M x f n ≤)(对I x ∈∀都成立，则称函数列{})(x f n 在I 上一致有界. 4 函数项无穷乘积的一致收敛的判别定理10 设)(1x u n n ∏∞=是定义在区间I 上的一个函数项无穷乘积，则函数项无穷乘积)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛的充要条件是对0>∀ε，)(εN ∃，当)(εN n >时，对I x ∈∀,N ∈∀p ，有不等式ε<-⋅+++1)()()(21x u x u x u p n n n .证明：“⇒” 由已知)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛，对I x ∈∀，都有)(1x u n n ∏∞=收敛，由定理1得，)(x S n 在I 上一致有界，从而0,>∃M m ，01>∃N ,当1N n >时，有M x S m n ≤≤)(，即mx S M n 1)(11≤≤再由函数列的一致收敛的柯西收敛原理得0>∀ε，2N ∃，当2N n >时，对N ∈∀p ，有εm x S x S n p n <-+)()(从而取{}21,max N N N =,对0>∀ε,当N n >时，对N ∈∀p ，都有εε=≤-=⋅-++++mmS S S x u x u x u nnp n p n n n )()()(121 ，命题得证.“⇐” 由已知，当1=p 时得，对I x ∈∀，)(1x u n n ∞=∏均收敛，从而)(x S n 一致有界，0>∃M ，对I x ∈∀，都有M x f n ≤)(，即M x u x u x u n ≤⋅)()()(21 ,由已知，0>∀ε，)(εN ∃，当)(εN n >时，对I x ∈∀,N ∈∀p ，有不等式Mx u x u x u p n n n ε<-⋅+++1)()()(21 ，从而εε=<⋅-⋅+++MMx u x u x u x u x u x u p n n n n )]()()(1)[()()(2121 ，即ε<-+)()(x S x S p n n ，由函数列一致收敛的柯西收敛原理得{})(x S n 在I 上一致收敛于)(x S ，从而)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛.推论 函数项无穷乘积)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛的必要条件是它的通项)(x u n I 上一致收敛于1.定理11 如果存在收敛的正项的无穷乘积∏∞=1n n a ，使得在区间I 上满足n n a x u ≤)(，（1=n ，2， ），则)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛. 证明：因为∏∞=1n n a 收敛，则0>∀ε，N ∃，当N n >时，对N ∈∀p ，有ε<-+++121p n n n a a a ，由n n a x u ≤)(，得 对I x ∈∀，ε<-⋅<-⋅++++++11)()()(2121p n n n p n n n a a a x u x u x u ，由定理10得)(1x u n n ∏∞=在I 上一致收敛.定理12 如果)(1x a n n ∑∞=在I 上一致收敛，则))(1(1x a n n ∏∞=+I 上一致收敛.证明：令())(1)(1x a x S n nk n +∏==，因为不等式x e x +≥1，（0>x ）所以()()∑≤+∏≤+∏====nn n x a n nk n n k n ex a x a x S 1)(11)(1)(1)( ；因为)(1x a n n ∑∞=在I 上一致收敛，从而)(1x a nk k ∑=在I 上一致有界，即0>∃M ，对I x ∈∀，都有M x a nk k ≤∑=1)(,从而Mn e x S ≤)(；因为)(1x a n n ∑∞=在I 上一致收敛，取210<<ε，N ∃，当N n >时，对N ∈∀p ，有ε<∑++=)(1x a pn n k k ；由于210<<ε，从而εε21<-e ，所以对210<<ε，N ∃，当N n >时，对N ∈∀p ，有()())(1)(1)()(11x a x a x S x S k nk k p n k n p n +∏-+∏=-=+=+()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∏+∏≤++==1)(1)(111x a x a k p n n k k nk 11)(-∑≤++=pn n k k x a n eSε2M e ≤. 所以))(1(1x a n n ∏∞=+I 上一致收敛.例7 证明n xn e n x -∞=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏11在区间](1,-∞-，[)+∞,1上一致收敛.证明：通项⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-22212111)(n O n x n x n x e n x x u n x n⎪⎭⎫⎝⎛+-=222121n o n x因为12≥x ，所以对(]1,-∞-∈∀x 或[)+∞,1，都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤221211)(n o n x u n 令⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22121n o n a n ，则当n 充分大时，有012122<⎪⎭⎫⎝⎛+-=n o n a n ，且级数 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=1221121n n n n o n a 收敛，由定理3 得 无穷乘积∏∞=+1)1(n n a 收敛，再由定理11 得 n xn e n x -∞=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏11在区间](1,-∞-，[)+∞,1上一致收敛.例8[]2 证明ππ22cos11=∏+∞=n n .证明：由部分乘积1322cos 2cos2cos +⋅=n n p πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=+++113212sin 22cos 2cos2cos2sin21n n n πππππππππππ222sin 22sin22sin111→⋅==+++n n n n （∞→n ） 故ππ22cos11=∏+∞=n n .例9[]2 证明：x xx n n sin 2cos1=∏∞=（0≠x ）. 证明：记2cos 2cos 2cos 2cos 11ππππ -=⋅=∏=n n n n k n p ，两边乘以n x2sin ，得2cos 2cos 2cos 2sin 2sin 1πππ -⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n n x p x2cos 2cos 2cos 2sin 21211πππ ---⋅=n n n x2cos 2cos 2cos 2sin 213222πππ ---⋅=n n n xx n sin 21=从而得 x x x x p nn n sin 2sin sin 21→⋅= （∞→n ），即xxx n n sin 2cos 1=∏∞=. 参考文献：[]1常庚哲史济怀数学分析教程（下册）第3版 2013-1[]2费定晖周学炎吉米多维奇数学分析习题集题解 2005-1英文摘要：Convergence and Divergence of Infinite Product Abstract：The infinite product is one part of mathematical analysis. The definition and many important properties of the infinite product are given in the paper. The paper especially discusses the convergence and divergence of infinite product with the series. It also discusses the convergence and divergence of positive infinite product with the relationship between series and infinite product. Besides, some ways are given to judge convergence of special infinite product.Key words：infinite product ；partial product ；series；convergence。

无穷个无穷小的乘积反例标题：无穷个无穷小的乘积：究竟是否存在反例？摘要：无穷个无穷小的乘积在数学领域中引起了广泛的关注和讨论。

本文将探讨这一问题的重要性、定义以及存在可能的反例。

通过列举数学历史上的经典案例和对该问题的深入分析，本文旨在为读者提供对这个复杂而有趣的数学概念的全面理解。

正文：1. 引言从柯西(Cauchy)时代开始，无穷个无穷小的乘积一直是数学中的一道困扰。

这个问题涉及到极限和无穷概念的交叉，引发了许多数学家的思考。

在本文中，我们将探讨无穷个无穷小的乘积这一重要且极具挑战性的概念，并思考是否存在反例。

2. 无穷个无穷小的乘积的定义在数学中，无穷个无穷小的乘积是指由无穷个无穷小元素相乘得到的结果。

无穷小是数学中的一个重要概念，表示极限趋于零的量。

无穷个无穷小的乘积的定义是相对复杂的，需要通过极限的观念来理解。

然而，我们将尽力从简单的例子开始，以便更好地理解这个概念。

3. 包含指定主题文字的案例现在，让我们考虑一个例子：无穷个无穷小的乘积。

假设有一个数列{a_n}，其中每个元素都是一个无穷小，即a_n → 0 当n → ∞。

我们考虑乘积 P_n = a_1 * a_2 * ... * a_n，其中 n 为正整数。

那么问题来了，P_n 的极限是什么？4. 经典案例与分析事实上，无穷个无穷小的乘积存在许多经典案例。

欧拉(Euler)在18世纪提出的无穷乘积公式就是一个重要的案例。

该公式用于计算正弦函数的近似值，并且被广泛应用于数学和物理领域。

然而，正如我们所看到的，欧拉的无穷乘积公式需要满足一定的条件才能成立，这在一定程度上限制了其应用范围。

5. 反例的可能性鉴于无穷个无穷小的乘积问题的复杂性，我们是否能找到一个反例来证明不存在无穷乘积的极限？这个问题一直困扰着数学家们。

然而，直到目前为止，还没有确凿的反例被找到。

这使得我们对于无穷个无穷小的乘积的研究更加深入和有价值。

6. 个人观点和理解在我看来，无穷个无穷小的乘积是数学中的一个非常有趣的领域。

目录一.论文题目 (1)二．中文摘要 (1)三．中文关键词 (1)四．基本内容 (1)五．无穷乘积的性质 (2)六．无穷乘积收敛的判别定 (3)七．例题 (6)八．英文摘要 (10)九．英文关键词 (10)十．参考文献 (10)无穷乘积的基本内容与性质的证明作者：王圣杰学号：200411010数学科学学院、数学与应用数学、2004级（1）班指导教师：斯钦摘要：本文叙述了无穷乘积的定义及一些基本性质，并且依据无穷乘积与级数的关系以及有关级数理论,对任意项无穷乘积的敛散性包括绝对收敛、进行讨论,并给出了几种敛散性判别法.最后，文章列举了一些有代表性的例题，欧拉公式是非常重要的，特别是欧拉当时的思维过程。

关键词：数列，无穷乘积，收敛一． 基本内容定义1：对于一个数列,,,321,,n p p p p 将这一列数连乘起来，用记号∏表示如下：∏∞==1321..n n n p p p p p称为无穷乘积。

其中0≠n p ， ,2,1=n 。

如果将数列{}n p 中前n 个数连乘起来，得n n p p p p P 321..=则称为部分乘积。

令n=1,2,3, …,就得到部分乘积的序列,,,,,321n P P P P对于这个数列{}n p ，只可能有三种情形：（ⅰ）存在非零的有穷极限)0(lim ≠=∞→p P n n ；（ⅱ）极限为零0l i m =∞→n n P ； （ⅲ）发散，即不趋向任何有穷极限。

在第（ⅰ）种情形下，称无穷乘积∏∞=1n np 为收敛的，并称P 为这个乘积的值，记为∏∞===1321..n n n p p p p p p而在第（ⅱ）种和第（ⅲ）种情形下，称这个无穷乘积为发散的。

我们也采用简化记号 ∏n p 。

这里要指出，将0lim =∞→n n P 的情况称为无穷乘积发散（于0）完全是为了便于和无穷级数的结果对应起来，而并不是这种情况没有价值或没有意义。

定义2：设 ∏∞=1n n p （0>n p ）是任意项无穷乘积若级数 ∑∞=1ln n n p 收敛，则称无穷乘积 ∏∞=1n n p 绝对收敛；若级数 ∑∞=1ln n n p 收敛，而级数 ∑∞=1ln n n p 发散，则称无穷乘积∏∞=1n n p 条件收敛；在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限为零，所以在无穷乘积的讨论中总是恒定0≠n p （ ,2,1=n ）。

无穷乘积摘要本文通过类比无穷级数，对无穷乘积的性质进行了研究和分析，给出类似于无穷级数的性质.通过类比无穷级数的审敛法，给出无穷乘积的审敛法，如比较判别法及其极限形式等.用棣莫弗公式与复变函数等知识将三角函数与双曲三角函数展开成无穷乘积的形式.但是无穷乘积又有其自身的特点.通过列举出常见的无穷乘积，从它的角度来解决部分极限与级数问题，即无穷乘积的应用.最后利用无穷乘积来探讨在考研过程中遇到的问题.关键词无穷乘积审敛法性质应用Infinite ProductAbstract In this paper, the properties of infinite product are studied and analyzed by analogy with infinite series, and the properties similar to infinite series are given. By comparing the convergence method of infinite series, in this paper, we give the convergence test of infinite product, such as the comparative test and its limit form, etc. Triangular function and hyperbolic trigonometric function are expanded into the form of infinite products by using the knowledge of De Moivre formula and complex variable function. However, infinite product has its own characteristics. By listing common infinite products, we can solve partial limit and series problems from the angle of infinite prducts, the application of infinite product, is solved from its angle. Finally, the problems encountered in the graduated entrance examination process are discussed by using infinite product.Key words infinite product criteria property application目录引言 (1)1 无穷乘积收敛的定义与性质 (4)1.1 无穷乘积的基本概念 (4)1.2 无穷乘积的性质 (5)2 无穷乘积的审敛法 (12)2.1 无穷乘积收敛性的一般判别法 (12)2.2 无穷乘积与无穷级数的关系 (14)3常用函数无穷乘积的展开 (18)3.1 正弦、余弦函数的无穷乘积的展开 (18)3.2 双曲函数的无穷乘积的展开 (20)4无穷乘积的应用 (23)4.1 沃利斯公式 (23)4.2 无穷乘积在考研的应用 (24)结语 (26)参考文献 (27)致谢 ................................................................. 错误!未定义书签。

无穷乘积收敛的充要条件
哎呀，“无穷乘积收敛的充要条件”？这对我一个小学生来说也太难懂啦！我都不知道从哪儿说起呢！
在数学的世界里，有好多复杂又神奇的概念，这“无穷乘积收敛的充要条件”就像一个藏在深深山洞里的神秘宝藏，让我这个小小的探险家有点摸不着头脑。

我想想啊，比如说我们平时做加法，一个数加一个数，很简单对吧？可这无穷乘积呢，就像是好多好多的数字在不停地相乘，相乘，一直乘下去。

这得多复杂呀！
那怎么才能知道它是不是收敛的呢？这就好比我们在找一条通往神秘城堡的正确
道路，如果找对了，就能顺利到达城堡，找到宝藏；要是找错了，就会在迷宫里迷路。

比如说，如果每个相乘的数都越来越小，越来越靠近1 ，那是不是就有可能收敛呢？这就好像我们走的路越来越窄，最后就能走到一个尽头。

可要是这些数一会儿大一会儿小，乱七八糟的，那是不是就很难收敛啦？这就像我们在森林里乱走，一会儿往东一会儿往西，怎么能走到目的地呢？
我觉得啊，搞清楚这个“无穷乘积收敛的充要条件”就像是解开一个超级难的谜题，需要我们有超级聪明的头脑和超级大的耐心。

反正对于我这个小学生来说，现在要完全搞懂它，简直就是不可能的任务！我还是先把基础的数学知识学好，等我长大了，变聪明了，再来挑战这个大难题吧！
以上就是我这个小学生对“无穷乘积收敛的充要条件”的一点点想法，虽然很幼稚，但是我是真的努力去想啦！。

一个连乘求极限的原理连乘求极限原理是数学中用于解决关于乘法运算的极限问题的一种方法。

在连乘求极限过程中，我们将乘法运算中的多个因子依次相乘，并通过观察因子的特性和极限定义等方法，来确定乘积的极限。

在连乘求极限的过程中，我们常常遇到一些特殊的乘法形式，比如无穷乘积、级数乘积和待定乘积等。

对于这些形式的乘积，我们需要特定的技巧和方法来处理。

首先，我们来看无穷乘积。

无穷乘积形式为：\( \prod\limits_{n=1}^{\infty}a_n \)其中\(a_n\) 是一个数列。

如果当\(n\) 趋向无穷时，乘积\( \prod\limits_{n=1}^{\infty}a_n \) 收敛到一个非零常数\(A\)，则称该无穷乘积收敛于\(A\)。

反之，如果乘积趋向无穷或者不存在极限，则称该无穷乘积发散。

对于绝对收敛的无穷乘积，我们可以使用常规的极限运算法则进行求解。

但是对于发散的无穷乘积，我们需要使用其他方法，比如对数变换或者利用级数求和的形式来计算。

接下来，我们来看级数乘积。

级数乘积形式为：\( \prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+a_n\right) \)其中\(a_n\) 是一个数列。

与无穷乘积类似，如果当\(n\) 趋向无穷时，乘积\( \prod\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+a_n\right) \) 收敛到一个非零常数\(A\)，则称该级数乘积收敛于\(A\)。

反之，如果乘积趋向无穷或者不存在极限，则称该级数乘积发散。

对于级数乘积的求解，我们可以将其转化为求和的形式，利用级数求和的技巧来求解。

最后，我们来看待定乘积。

待定乘积形式为：\( \prod\limits_{n=1}^{\infty}f(n) \)其中\(f(n)\) 是一个函数。

对于待定乘积，我们需要根据其函数性质和极限定义，结合数列收敛的概念，来确定乘积的极限。

c∞解的乘法在数学中，我们经常会遇到各种各样的数学问题和运算。

其中，乘法是一种基本的运算方式，用于计算两个数的积。

然而，在某些情况下，我们需要处理无穷大（∞）这样的特殊数值。

本文将介绍c∞解的乘法，探讨其特点和应用。

c∞解是指在数学中，当一个数与无穷大相乘时所得到的结果。

在一些数学领域，如复数、实数和函数等，c∞解的乘法都有着重要的应用。

下面我们将分别从这些领域来探讨c∞解的乘法。

首先，我们来看复数领域。

复数由实部和虚部组成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数部分和虚数部分。

当一个复数与无穷大相乘时，其结果也是一个复数。

根据乘法的定义，我们可以得到以下规律：1. 当实部和虚部都为有限值时，c∞解的乘法结果为无穷大。

2. 当实部或虚部中有一个为无穷大，另一个为有限值时，c∞解的乘法结果为无穷大。

3. 当实部和虚部都为无穷大时，c∞解的乘法结果为无穷大。

接下来，我们转向实数领域。

实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合。

当一个实数与无穷大相乘时，其结果也是一个实数。

根据乘法的性质，我们可以得到以下结论：1. 当实数为有限值时，c∞解的乘法结果为无穷大。

2. 当实数为零时，c∞解的乘法结果为零。

3. 当实数为正无穷大时，c∞解的乘法结果为正无穷大。

4. 当实数为负无穷大时，c∞解的乘法结果为负无穷大。

最后，我们来看函数领域。

函数是一种映射关系，将一个自变量映射到一个因变量上。

当一个函数与无穷大相乘时，其结果也是一个函数。

根据函数的性质，我们可以得到以下结论：1. 当函数在某个点处有定义且有限值时，c∞解的乘法结果为无穷大。

2. 当函数在某个点处为无穷大时，c∞解的乘法结果为无穷大。

综上所述，c∞解的乘法在数学中有着广泛的应用。

无论是在复数、实数还是函数领域，c∞解的乘法都遵循一定的规律。

通过对这些规律的研究和应用，我们可以更好地理解和解决各种数学问题。

总结起来，c∞解的乘法是数学中一个重要的概念。

高等数学吧
楼主：ygc136441788
关于无穷级数以及无穷乘积的计算许多都比较麻烦，现在楼主今天分享一些比较简单的计算方法。

至于级数以及乘积的收敛性教材讲解比较多，楼主今天不在重复，今天主要讲解一些计算。

一楼几个比较重要的无穷级数以及无穷乘积镇楼。

目录：
1：无穷级数的一些计算方法
裂项法、利用常用函数展开、微分方程、逐项微分与积分、运用留数定理以及一些特殊函数2：无穷乘积的一些计算方法
希望大家不要插楼，谢谢。

无穷级数解法一：裂项法
2无穷级数解法二：利用常用函数展开
无穷级数解法三：逐项微分积分
这一部分在教材比较多，不做详解。

无穷级数解法四：解微分方程
无穷级数解法无：留数定理的运用
无穷乘积的简单介绍;
几个简单的无穷乘积：
有理多项式的无穷乘积：
今天楼主想说的差不多完了，以上只是楼主一些简单介绍，有错误希望见谅。

像往常一样留几个问题。

补充一些zeta函数相关的
还有一类很相似的
There's one question I want to ask，how to find the original equation if the sum of roots or product of roots are given？I found it difficult when I tried to reslove an infinite product through the concept of vieta's formula？
for example，
这个问题相当於证明你给的那个四个等式。

一个无穷乘积的寻求和思考黄之 (上海智启教育培训有限公司 上海 200000)【摘要】通过把一个可在复平面上展开为多项式的整函数通过其零点展开为无穷乘积的思想寻求一个无穷乘积，并运用一些方法得到一些恒等式，展开一些思考. 【关键词】无穷乘积；无穷级数；连分数；复函数本文用一种简单方法寻求∏∞=++-12424))(1(n m m n x π并展开一些思考（m 为非负整数，x 为复变量）. 现在从无穷乘积∏∞=+13)11(n n 出发.考虑函数∏∞=+=133))(1()(n n x x f π,通过它的零点来将它展开为线性因子的乘积，它的零点是：,...3,2,,,2,3...,,...3,2,,,2,3...,,...3,2,,,2,3...,121212121212111111111111πδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδππππππ---------------------=x 其中2,1δ是方程013=+t 的两个虚根，事实上121=δδ.由此，考虑通过三个正弦的乘积来描述这个函数，即考虑x x x x g 21sin sin sin )(δδ=，它的零点为：,...3,2,,0,,2,3...,,...3,2,,0,,2,3...,,...3,2,,0,,2,3...,121212121212111111111111πδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδπδππππππ---------------------=x 其中0是三重零点.现在将这三个零点合起来考虑：0,,,1211≠-=--k k k k x πδπδπ .于是g(x)将包含这个因式：)1)(1)(1(1211πδπδπ----+k xk x k x 也即： )1(333πk x +所以得到∏∞-∞=+=n n x xx x x ）3333211(sin sin sin πδδ. 将它的正负零点合起来，进一步又得到：∏∞=-=16663211(sin sin sin n n x xx x x ）πδδ.由此可以得到很多恒等式，比如取it i x ,,2ππ=等等.可是还是未能得到∏∞=+13)11(n n.为此，先求出∏∞=-2611(n n ），不能在g(x)的乘积式中直接取π=x ，因为这样，将会一无所获. 所以，先将为0的因式移到左边的分母下：∏∞=-=-2666663211()1(sin sin sin n n x x x x x x ）ππδδ 两边令π→x ，有：πδπδππ21326sin sin 21611(=-∏∞=n n ） 计算πδπδ21sin sin ：)cos 3(cosh 21))cos()(cos(21sin sin 212121x x x x x x x x -=+--=δδδδδδ 所以)13(cosh 12111(226+=-∏∞=ππn n ）. (注：其中cosh(x)双曲余弦函数: 2cosh xx e e x -+=,以下还将用到双曲正弦函数sinh(x)：2sinh xx e e x --=，由欧拉公式，容易得到：coshix=cosx,sinhix=isinx.)显然∏∏∏∞=∞=∞=-+=-223326)11()11(11(n n n n n n ），为了得到右边两个无穷乘积，需要得到它们之间的某种关系.令∏∏∞=∞=-=+=223231)11(),11(n n n P n P ，此二者的比值正好能简单的算出： ∏∏∏∞=∞=∞=+-+++-=+-+++-=+-=222222233123)12(3)12(11111111n n n n n n n n n n n n n n n P P ∞→+-+++++++++--=n n n n n n n ),3)12(3)12(...373935373335)(112...7564534231(22222222 32]123)12()1(2[lim 2=+++=∞→n n n n . 故有)13(cosh 121,3222112+==ππP P P P .所以得到22221423cosh 813cosh ππππ=+=P ，所以ππ223cosh 1=P .最后得到：∏∞==+1323cosh 1)11(n n ππ. 在这个探索的过程中，可以得到很多恒等式，比如：1，∏∞=-=+136662)3cos (cosh sinh )1(n x x x x n x π 2，在1中将x 换为ix ，∏∞=-=-136662)cos 3(cosh sin )1(n x x x x n x π 3，在1中取2π=x ，有∏∞=-=+136)23cos2(cosh2sinh4))2(11(n n ππππ4，在2中取2π=x ，有∏∞==-13623cosh 4))2(11(n n ππ 5，用3除以4，可以得到)23cos 2(cosh 23cosh2sinh1)2(1)2(166ππππ-=-+∏∞=n n n6，用21P 除以4，得到∏∞=--=--+12334)2(1)12(1n n n π，此结论也可以由沃利斯公式得到. 等等.7，再借助ln(1+x)的幂级数展开∑∞=+-=+11)1()1ln(n nn n x x (x 在收敛域内)，得到另一个结果.由上述1中的结论可以得到∏∞=-=+1362)3cos (cosh sinh )11(n n ππππ.两边取对数，得： ∑∞=-=+1362)3cos (cosh sinh ln)11ln(n n ππππ 左边的无穷级数即：∑∑∞=∞=+-1161)1(n m mm n ，交换求和顺序后可化为 ∑∑∑∞=+∞=∞=+-=-111161)6()1()1(m m m n mm m m mn ζ所以得到)2ln()3cos ln(cosh sinh ln )6()1(311ππππζ--+=-∑∞=+m m m m .另外还可有：∑∞=-=-1)23ln(cosh)3ln(1)3(m mm ππζ ∑∞=+-=-11ln )23ln(cosh )3()1(m m m m ππζ 其中∑∞==11)(n xnx ζ为黎曼Zeta 函数.还能用某种方法将上式展开为一个漂亮的无穷连分数 ππζζζζζζζζζζln )23ln(cosh......)9(3)12(4)9(9)6(2)9(3)6(4)3(1)6(2)3()3(11222-=+-+-+-+--- (22))(()(--=x x ζζ)还能对别的结果取对数，如此等等.用各种联系还能得到很多别的级数，在此不再继续.现在再进一步，求∏∞=++-12424))(1(n m m n x π，m 为非负整数. 112=+m x的所有根为m k eex m k im k i,...,2,1,,,1122122==+-+ππ，记122+=m k ik eπδ，则所有这些零点可以表示为m k x k k ,...2,1,,,1==δδ. 考虑函数)sin (sin sin )(1x x xx g k k mk δδ∏==，g(x)的零点为πδπδπ1-1-,,k k n n n x =，这里n 取遍从负无穷到正无穷的一切整数，0为2m+1重零点，所以有：)1)(1)...(1)(1)(1()(11111112πδπδπδπδπ---∞-∞=-+-----=∏m m n m n x n x n x n x n x xx g 简化后有 )1()(12121212∏∞-∞=++++-=n m m m m n x x x g π 计算: )]cos()[cos(21sin sin x x x x x x k k k k k k δδδδδδ+--=)]122cos 2cos()122sin 2[cosh(21+-+=m k x m k x ππ最后得到])122cos 2cos()122sin 2[cosh(sin 2)1(1124242412∏∏=-∞=+++++-+=-mk mn m m m m m k x m k x x n x xπππ 注：1，取m=1就得到一开始的结论.将x 换为ix 又可以得到另一个无穷乘积.2，当m=0时，得到x n x x n sin )1(1222=-∏∞=π，在这里可以得到21)11(22=-∏∞=n n ，这个极限用初等方法也容易得到，取πi x =得到ππsinh )11(12=+∏∞=n n .等等…… 事实上用这种方法可以得到)1(122∏∞=-n m m n x ，m 为正整数.可是在尝试得到)1(1∏∞=-n q qn x 时会遇到问题，这是因为当q 为奇数的时候所考虑的函数(一些正弦的乘积)零点包含了从负无穷到正无穷的整数，这样，将他们合起来后，包含正负零点的因式就会变为一个二次因式，所以永远只能得到q 为偶数的情形.为了克服这一点，必须要找出一个这样的函数，它的零点只包含一半的整数(1,2,3,…..).事实上，通过欧拉gamma 函数)(x Γ可以找到这样的一种函数. 通俗地说，)(1x Γ的零点就是x=0,-1,-2,-3,……，所以)1(1x -Γ的所有零点就是x=1,2,3,……作为一个例子，可以得到：)1()1()1(1)1(1211133x x x n x n --∞=-Γ-Γ+Γ=+∏δδ 其中2,1δ是012=+-t t 的两个根.由此结合之前的结论，就得到：23cosh1)()(1)11(3313ππππ=ΓΓ=+-∞=∏i i n ee n 这一系列的无穷乘积或者级数是多么美妙，还能通过一个似乎是架在空中的桥梁欧拉gamma 函数联系起来，这一切难道不给人一种难以言表的感受吗？后记：1， 利用函数零点将函数展开为无穷乘积.通过考虑)sin()(t x x f -=的零点(注意保证常数项相等)，可以得到∑∑∞=∞=+-1221221,1n n x n x n 这两个级数的值.只要再将无穷乘积展开为多项式，比较两边x 一次项的系数(用f(x)的泰勒展开)即可，显然还可以深化，比如考虑更多的正弦的乘积.或者通过比较系数来得到所有零点的立方的倒数和，这样就能得到下面这个无穷级数32......7151311133333π=+-+- 还可以得到更高的幂，而且分母中的整数可以变为其他的，可是离全体正整数的反立方和还是差得远(Zeta(3)).另外，上面的交错级数可以展开为一个漂亮的无穷连分数32......5753531311136333363π=+-+-+-+对于∑∑∞=∞=+-1221221,1n n xn x n 这两个级数的值我一开始是通过考虑)2,0[,)(π∈=x e x f tx周期延拓后的傅里叶展开得到的，但是后来发现欧拉在无穷分析引论上卷里早已通过无穷乘积的方法得到的，我相信那是这个级数第一次来到这个世界上，在那之前，欧拉发现了他的欧拉公式，联系了复变量的三角函数，所以欧拉能从第一个级数轻松转化为第二个级数，而且欧拉还说这种方法他更喜欢，因为它还告诉我们怎么把虚弧化为实指数.在书里他还用他深刻的洞察力得到许多漂亮的结果，运算如呼吸般自然不做作，不得不敬佩欧拉！2，令 (1)41413131212+-+-+-=m m m m mm m Q ，m 是正整数. 显然∏∏∞=∞=+-=22)11()11(n n mm n n Q ，由文中的结论，可以得到：32,sinh ,0321===Q Q Q ππ，)3cos (cosh sinh 3)13(cosh ,2cos 2cosh sinh 64πππππππππ-+=-=Q Q ，…… (∏∏∞=∞==-=-24124444sinh )11(,sinh sin )1(n n n x x x n x πππ， ∏∏∞=∞=-=+-=+2241244442cos 2cosh )11(,22cos 2cosh )1(n n n x x x n x ππππ) 对于所有的偶数m ，Q 都可以用e 和圆周率来表示，而对于奇数m ，除了m=1是平凡的外，只有m=3可以表示，其余的只可能通过欧拉gamma 函数来表示.这些无穷乘积，无穷级数，无穷连分数在无穷处如此严整而美妙，同时又冷酷无情，如诗歌又如音乐，让人感动，让人不住地想探寻，在无穷处，它在发生着什么. 参考文献[1]欧拉.无穷分析引论。

无穷乘以有界函数等于什么当一个函数无穷乘以有界函数时，可以考虑函数的收敛性和积分的概念来解释。

首先，我们需要明确无穷乘积的定义和性质。

对于一列函数f1(f),f2(f),…，无穷乘积的定义如下：f(f)=∏(∞,f=1)ff(f)其中，f(f)是无穷乘积函数，ff(f)是逐项相乘得到的函数序列。

在数学中，我们称之为逐项相乘，表示将第f个函数连乘到一个新函数中。

当无穷乘积绝对收敛时，即保证无穷乘积得到一个有界函数。

现在假设f(f)是一个有界函数，即有存在f>0，使得对于所有的f，f(f)，≤f。

我们将有界函数f(f)与无穷乘积函数f(f)相乘，f(f)=f(f)∗f(f)。

为了研究无穷乘积与有界函数的乘积，我们可以使用积分的概念来推导答案。

首先，我们定义函数序列的部分和函数ff(f)如下：ff(f)=f1(f)∗f2(f)∗…∗ff(f)我们可以看出，ff(f)是f(f)的前f个因子的乘积。

现在考虑当f→∞时，即无穷乘积函数。

我们有：lim ff(f) = f(f)f→∞这就意味着，如果我们将有界函数与无穷乘积相乘，结果f(f)=f(f)∗f(f)会趋向于无穷乘积函数f(f)。

进一步，我们可以通过积分的性质来推导无穷乘积与有界函数的乘积的性质。

首先，考虑无穷乘积函数的对数形式。

如果f(f)是一个收敛的无穷乘积函数，那么它的对数形式可以表示为：ln(f(f)) = ∑ ff(f)f=1其中，ff(f)是函数ff(f)的对数形式。

接下来，使用积分的性质，我们可以得到：∫ ln(f(f)) ff = ∫ ∑ ff(f) fff=1由于对数函数的求和可以交换和积分运算的顺序，我们可以继续推导：∫ ln(f(f)) ff = ∑ ∫ ff(f) fff=1再次使用积分的性质，我们可以得到：∫f(f)ff=∑∫f(f)ff(f)fff=1我们知道，有界函数的积分一定存在，且结果也是有界的。

因此，我们可以得出结论：当一个函数无穷乘以有界函数时，结果的积分仍然可存在，并且是一个有界函数。