初二暑.第5讲.比例线段及相似的性质与判定.联赛班.课后作业

与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC ACA B B C A C ==''''''. 证明：因为AB A B ''∥，故AB OB OAA B OB OA ==''''． 同理可证BC OB B C OB ='''，AC OAA C OA ='''． 故AB BC ACA B B C A C ==''''''． 特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．二、线段等式：111x y z+=. 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z+=. 证明：由题意可得z CEx CA=，z AE y AC =， 则1z zx y +=， 即111x y z+=.三、线段等式：111EF AB CD λλλ=+++. 第５讲北京市初二数学竞赛专项训练FE DCBA在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AFEC FDλ==,则有如下等式成立111EF AB CD λλλ=+++． 证明：由面积关系有：ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+得到11111sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅(θ为底边和腰BC 的夹角)所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-可化简为CF BF EF AB CD BC BC =+，即111EF AB CD λλλ=+++． 这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．【例 1】 如图所示，在梯形ABCD 中，O 是底AB 的中点，OC 、OD 分别交对角线BD 、AC 于E 、F ，FE 交AD 、BC 于G 、H ，求证GF FE EH ==.GD FEHOC B A【例 2】 如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.板块一：线束定理Q NMP D CBA【例 3】如图所示，在ABC∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB∆和CDA∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD=.PQONMFEDCBA【例 4】如图所示，H是ABC∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH∠=∠．FEHD CBA【例 5】如图所示，AD是ABC∆的外接圆O⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON=.NMPCBDOA【例 6】 (全国初中数学联合竞赛试题) 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ，过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以点O 为圆心、OM 为半径的圆上的一点，求证OPF OEP ∠=∠.F PO E MCBA D板块二：线段等式相关【例 7】 (前苏联数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，已知正七边形127A A A …，证明121314111A A A A A A =+．A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有BK DMKA MC=.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.QPK M DC BA【例 9】 如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等于四边形EFHG 的面积的三倍．H DEG FCBA【例 10】 （2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：23S m =．A1AF1FE1ED1DC1CB1B习题 1.如图所示，AB是O⊙的直径，PA、PC是O⊙的切线，C是切点，CD AB⊥于D，PB交CD 于E.求证EC ED=.习题 2.如图所示，以线段AB为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD，使2AB AD=，P为半圆上的任意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证222AF BE AB+=.FEPD CBA习题 3. (苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是ABC∆的边BC、AB上的点，AD、CE交于F，BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH NH=.NMHGF E D CB A习题 4. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .BA CD ENM习题 5. 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求证abcAL ab bc ca=++．lLNF DE GBA C两个简单的“悖论”你知道11111111-+-+-+-+等于多少？解：设23111x x x x=-+-++，则当1x =时，有111112=-+-+即1111111112-+-+-+-+=， 另解1：11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+=-+-+-+=++++=，即111111110-+-+-+-+= 另解2：1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++=+++=即111111111-+-+-+-+=大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。

初二数学下册综合算式专项练习题形的相似性质与比例计算在初二数学下册综合算式专项练习中，我们将会遇到一些与相似性质和比例计算相关的题目。

理解和掌握这些概念非常关键，因为它们在解决实际问题和日常生活中的计算中起到了重要作用。

本文将详细介绍相似性质和比例计算的相关知识点，并通过实例进行说明。

一、相似性质1. 相似图形相似图形是指形状相同但尺寸不同的图形。

当两个图形相似时，它们的对应边的比例相等。

例如，如果两个三角形的对应边的比例相等，那么它们就是相似的。

假设有两个三角形ABC和DEF，且它们的对应边分别为AB和DE、BC和EF、AC和DF。

如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. 相似性质的应用相似性质在实际问题中有很多应用。

比如，当我们需要计算某个物体的高度却无法直接测量时，可以利用相似性质来求解。

假设一根高塔的阴影长度为10米，而同时一个人的阴影长度为1.6米。

如果我们知道高塔的实际高度为x米，那么我们可以建立一个相似三角形的比例关系：高塔的高度x与阴影长度10的比例等于人的身高h与阴影长度1.6的比例。

即x/10=h/1.6。

通过这个比例关系，我们可以求得高塔的实际高度为x = (10 * h) /1.6。

二、比例计算1. 比例概念比例是指两个或多个量之间的大小关系。

两个量之间的比例可以用等式表示，例如a:b，读作"a与b的比例为a比b"。

在比例中，a与b 称为比例的两个项。

2. 比例的性质比例具有以下性质：- 两个比例相等的充分必要条件是其四个项成比例。

- 若两个比例的两个项分别相等，则它们成反比。

例如，对于比例a:b和c:d，如果a/b = c/d，则可以得出(a+c)/(b+d)也等于a/b = c/d。

3. 比例的应用比例在日常生活中有广泛的应用。

比如，在购物时我们常常会遇到折扣和打折率的问题。

如果一件商品原价为x元，进行m%的折扣后，我们可以根据比例计算打折后的价格。

北师大版初二数学（下）《线段的比》讲义及练习题【知识点一】：线段的比1．线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a 、b 的长度分别为m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成a m=bn，和数的一样，两条线段的比a 、b 中，a 叫做比的前项 b 叫 做比 的后项．2．线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a c=bd或a ：b=c ：d ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、d 叫做比例内项，线段d 叫做 a 、b 、c 的第四比例项，当比例内项相同时，即争a bb c=或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项． 3．比例的性质要注意灵活地运用比例线段的多种不同的变化形式，即由a c =bd 推出b d=a c等，但无论怎样变化，它们都保持ad=bc 的基本性质不变．例题：1.已知ba ＝43，那么bb a +＝ . 2.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝3、. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么zy x z y x +--+33＝4．已知432zy x ==，且1832=-+z y x ，求x ，y ，z 的值5.若3x ＝4y ＝5z ，则yz y x +-∶xx z y -+＝ .6．已知)0(35≠++===g f e g c f b e a ，则=++++gf e c b a ； 练习一、选择题1、.已知32=ba ，则b b a +的值为（ ） (A)23 (B)34 (C)35 (D)532．两直角边的长分别为3和4的直角三角形的斜边与斜边上的高的比为（ ） A ．5：3 B ．5：4 C ．5：12 D ．25：12 3．如果a= 2，b= 9，c= 6，d= 3, 那么（ ）A ．a 、b 、c 、d 成比例B ．a 、c 、b 、d 成比例C 、 a 、d 、b 、c 成比例D 、a 、c 、d 、b 成比例4．已知 x ：y=3：2，则下列各式中不正确的是（ ） A 、x+y y = 52 B 、x-y y = 12 C 、xx+y= 35 D 、x y-x =315、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ）(A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米6．若x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为（ ）(A) －3 (B)－5 (C)－7 (D) －15二、填空题1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 .3.若ba ＝dc ＝fe ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ .4.若ba b+＝53，那么ba ＝ .5．已知32=y x ，则yx yx 3223-+= 。

初二数学教案线段的比例与相似初二数学教案：线段的比例与相似引言：数学中的线段的比例与相似是初中数学中的重要内容之一。

在几何学中，比例和相似性是解决各种图形问题的关键概念。

通过本教案，学生将学习如何计算线段的比例以及如何判断和应用相似的图形。

一、线段的比例在几何学中，比例是一种基本而重要的数学关系。

在线段的比例中，我们会涉及到两个或多个线段之间的比较。

学生需要了解以下几个关键概念和方法：1.1 比例的定义比例是指两个或多个具有相同单位的量之间的大小关系。

对于线段AB和线段CD来说，它们的比例可以表示为AB:CD或者AB/CD。

1.2 比例的性质- 比例关系具有传递性：如果AB:CD且CD:EF，那么AB:EF。

- 线段比例的倒数关系：如果AB:CD，则CD:AB。

1.3 线段比例的求解通过已知线段比例求解未知量的方法如下：- 方法一：使用类似分数比较大小的方法，将已知比例等式两端的线段相乘得到未知比例等式。

- 方法二：通过交叉乘积等于线段的乘积，得到线段的比例。

二、相似的概念与判断相似是指两个或多个图形在形状上具有相同的特征，但是大小不同。

在几何学中，相似性也是解决形状比较和计算的基础。

学生需要了解以下几个关键概念和方法：2.1 相似形的定义如果两个图形形状相同但大小不同，那么它们是相似的。

用符号"∼"表示相似。

2.2 相似形的性质- 相似形具有对应角相等的性质。

- 相似形的对应边成比例。

2.3 判断相似的条件- 三角形相似的判定条件之一：AAA相似判定法。

- 三角形相似的判定条件之二：AA相似判定法。

三、线段比例与相似的应用线段的比例与相似性广泛应用于解决各种几何问题。

学生需要学会将这些概念和方法应用于实际问题，并进行解答。

3.1 实际问题示例一：比例尺的应用比例尺是现实生活中广泛使用的一个概念，通过学习线段比例，学生可以应用比例尺解决地图、工程图纸等问题。

3.2 实际问题示例二：相似三角形的计算通过计算相似三角形的线段比例，学生可以解决各种涉及角度和线段的实际问题，如计算高楼大厦的高度、建筑物的阴影长度等。

比例线段与相似性质和判定内容基本要求略高要求相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题一、比例的性质1．,a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式； 2．a c b db d ac =⇔=（反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=（或d cb a =）（更比定理）； 4．a c a b c db d b d ++=⇔=（合比定理); 5．a c a b c db d b d --=⇔=(分比定理)； 6．a c a b c db d a bcd ++=⇔=--（合分比定理); 7．(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理）。

二、成比例线段1．比例线段对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的项在比例式a cb d=（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项,b c ，称为比例内项,d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（::a b b c =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3．黄金分割BAC如图,若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中知识讲解考纲要求510.6182AC AB AB -=≈，350.3822BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三、平行线分线段成比例定理1．定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例． 2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4．三角形一边的平行线性质平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，AB CD EF ∥∥，则AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全,上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下，，，下下上上全全全全．AB C D E FFEDC B A当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A ”字型，“X "字型．则有AE AF AE AF EFBC EF EB FC AB AC BC⇔===∥，． A BCE F F ECB A考点一：比例的性质☞考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质 【例1】 若345x y z==，则2332x y z x y z ++--的值为________【答案】254-学案提升【巩固】设14a c e b d f ===，则a c e b d f+-=+-_______ 【解析】由14a c e b d f ===及比例的性质可知：14a c e b d f +-=+-．也可用“过渡量”14来求！ 【答案】14【拓展】若a b a c b ck c b a+++===，则k 的值为_________ 【答案】2或1-[提示:等比性质，若0a b c ++≠时,2()2a b c k a b c ++==++，若0a b c ++=，则1k =-] 【例2】 已知::1:3:5x y z =，求33x y zx y z+--+的值【解析】解法一：设135x y zk ===，则35x k y k z k ===，，．∴39553953x y z k k k x y z k k k +-+-==--+-+． 解法二:由::1:3:5x y z =得35y x z x ==，．∴39553953x y z x y x x y z x x x +-+-==--+-+． 【答案】53-．【巩固】已知：234x y z==．求33x y z x y -+-。

八年级数学下册?相似图形?知识点归纳北师大版第四章相似图形一、线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,cD 的长度分别是、n, 那么就说这两条线段的比AB:cD=:n, 或写成.四条线段a、b、c、d 中, 如果a 与b 的比等于 c 与d 的比,即, 那么这四条线段a、b、c、d 叫做成比例线段, 简称比例线段.、/、, 1 ?4 4 r a注意点:①a:b二,说明a是b的倍；②由于线段a、b 的长度都是正数, 所以是正数;③比与所选线段的长度单位无关, 求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b片b:a,与互为倒数；⑤比例的根本性质: 假设, 那么ad=bc; 假设ad=bc, 那么二、黄金分割如图1,点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc,如果,那么称线段AB被点c黄金分割,点c叫做线段AB的黄金分割点,Ac与AB的比叫做黄金比.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点四、相似多边形一般地, 形状相同的图形称为相似图形.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比.五、相似三角形在相似多边形中, 最为简简单的就是相似三角形.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比.全等三角形是相似三角的特例, 这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形, 与证两个全等三角形一样, 应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形面积的比等于相似比的平方.六、探索三角形相似的条相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形根本定理: 平行于三角形的一边且和其他两边相交的直线所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等且夹角相等, ②两边对应成比例③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线与其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似.七、相似的多边形的性质相似多边形的周长等于相似比; 面积比等于相似比的平方.八、图形的放大与缩小如果两个图形不仅是相似图形, 而且每组对应点所在的直线都经过同一点, 那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中央; 这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中央的距离之比等于位似比.位似变换:①变换后的图形, 不仅与原图相似, 而且对应顶点的连线相交于一点, 并且对应点到这一交点的距离成比例. 像这种特殊的相似变换叫做位似变换. 这个交点叫做位似中央.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形, 这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法, 可以把一个图形放大或缩小.第五章数据的收集与处理一、每周干家务活的时间所要考察的对象的全体叫做总体;把组成总体的每一个考察对象叫做个体;从总体中取出的一局部个体叫做这个总体的一个样本.为一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查为一特定目的而对局部考察对象作的调查叫做抽样调查二、数据的收集抽样调查的特点: 调查的范围小、节省时间和人力物力优点. 但不如普查得到的调查结果精确, 它得到的只是估计值而估计值是否接近实际情况还取决于样本选得是否有代表性.第六章证实一、定义与命题一般地, 能明确指出概念含义或特征的句子, 称为定义.定义必须是严密的. 一般防止使用模糊不清的术语, 例.等不能在定义中出现差不多、大概、一些如．可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.正确的命题称为真命题, 错误的命题称为假命题.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的, 并且把它们作为判断其他命题真假的原始依据, 这样的真命题叫做公理.有些命题可以从公理或其他真命题出发, 用逻辑推理的方法判断它们是正确的, 并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据, 这样的真命题叫做定理.根据题设、定义以及公理、定理等, 经过逻辑推理, 来判断一个命题是否正确, 这样的推理过程叫做证实.二、为什么它们平行平行判定公理: 同位角相等,两直线平行.平行判定定理: 同旁内互补,两直线平行.平行判定定理: 同错角相等,两直线平行.四、如果两条直线平行两条直线平行的性质公理: 两直线平行, 同位角相等;两条直线平行的性质定理: 两直线平行, 内错角相等;两条直线平行的性质定理: 两直线平行, 同旁内角互补.五、三角形和定理的证实三角形内角和定理: 三角形三个内角的和等于180 °一个三角形中至多只有一个直角一个三角形中至多只有一个钝角一个三角形中至少有两个锐角六、关注三角形的外角三角形内角和定理的两个推论推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.。

证明比例线段练习题如图；在□ABCD 中；过B 做直线交AC 于F ；交DC 于G ；交AD 的延长线于E .试说明：BF 2＝FE •FG .如图；ΔABC 与ΔADB 中；∠ABC=∠ADB=90°；AC=5cm ；AB=4cm ；如果图中的两个直角三角形相似；求AD 的长.如图；点C 、D 在线段AB 上；且ΔPCD 是等边三角形. (1)当AC ；CD ；DB 满足怎样的关系时；ΔACP ∽ΔPCB ； (2)当ΔPCB ∽ΔACP 时；试求∠APB 的度数.如下图；已知在△ABC 中；AD 平分∠BAC ；EM 是AD 的中垂线；交BC 延长线于E.求证：DE 2=BE·CE.已知:如图；ΔABC 中；∠ABC=2∠C ；BD 平分∠ABC. 求证:AB ·BC=AC ·CD.FG E DC B A如图；点C 、D 在线段AB 上；且△PCD 是等边三角形．（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时；△ACP ∽△PDB ．（2）当△PDB ∽△ACP 时；试求∠APB 的度数．如图；已知在△ABC 中；BE 平分ABC ∠交AC 于E ；点D 在BE 延长线上；且BE BD BC BA ⋅=⋅．（1）求证：△ABD ∽△EBC ； （2）求证：DE BD AD ⋅=2．如图；已知在△ABC 中； AB =AC =6；BC =5；D是AB 上一点；BD =2；E 是BC 上一动点；联结DE ；并作DEF B ∠=∠；射线EF 交线段AC 于F ．（1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时；求线段BE 的长；（3）联结DF ；如果△DEF 与△DBE 相似；求FC 的长．EDABFBAC D BACD (备用图)。

初二数学暑假专题——图形的相似北师大版【本讲教育信息】一．教学内容：暑假专题——图形的相似二．教学目标：1．了解线段的比、成比例线段、黄金分割．2．了解相似多边形的性质，掌握两个三角形相似的条件．3．了解图形的位似，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小，利用图形的相似解决一些实际问题．三．知识要点分析： 1．线段的比（1）比例的性质：①a b ＝c d ⇔ad ＝bc ；②a b ＝c d ⇒b a ＝d c ；③a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d ；④a b ＝cd＝e f ＝…＝mn （b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0）⇒a ＋c ＋e ＋…＋m b ＋d ＋f ＋…＋n ＝a b． （2）点C 把线段AB 分成AC 和BC 两条线段．如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2．相似三角形的判定、性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例．（2）两个三角形相似的条件：①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 3．相似多边形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比． （2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．4．位似图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5．本讲内容结构如下：线段的比黄金分割形状相同的图形相似多边形的概念相似三角形及其判定条件的探索相似的综合应用，测量旗杆的高度相似多边形的性质图形的放大与缩小【典型例题】知识点1：线段的比例1．已知a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，求a ＋b ＋c ＋d b ＋c的值．题意分析：本例考查比例的性质，从已知和所求来看不能直接利用比例的性质解题． 思路分析：根据已知比例式的特点，设一个参数表示出a 、b 、c 、d ，再代入所求代数式求解．或利用比例的性质把已知和所求变形，以寻求中间比． 解：∵a 2＝b 3＝c 4＝d5≠0，∴a ＋b ＋c ＋d 2＋3＋4＋5＝a 2，b ＋c 3＋4＝b 3＝a 2， ∴a ＋b ＋c ＋d 14＝b ＋c 7，∴a ＋b ＋c ＋d b ＋c＝147＝2．解题后的思考：本例是等比性质与反比性质的综合运用．例2．已知线段AB ＝6，C 为AB 的黄金分割点，求AC －BC 的值．题意分析：黄金分割点把已知线段分成的较长线段与原线段的比是黄金比．思路分析：由黄金比和AB 的长度可求出AC 、BC 的长度，再求差即可．但应注意点C 的位置有两个．解：（1）若AC ＞BC ，如图所示：AB C∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC ＝5－12·AB ＝5－12×6＝35－3，BC ＝AB －AC ＝6－（35－3）＝9－35． ∴AC －BC ＝（35－3）－（9－35）＝65－12． （2）若AC ＜BC ，如图所示：ABC则BC ＝5－12·AB ＝35－3． ∴AC ＝AB －BC ＝6－（35－3）＝9－35， ∴AC －BC ＝（9－35）－（35－3）＝12－65． 综上所述，AC －BC 的值为65－12或12－65．解题后的思考：本例极容易忽视一条线段上有两个黄金分割点，即AC 不一定是较长线段，应分情况计算．注意，本例两种情况下的结果可分析出是互为相反数，因此可先计算其中一种的结果，另一种取其相反数即可．小结：解决比例问题除了要熟练掌握比例的性质，还有一种重要方法，那就是引入比值k 的方法．利用这种方法可以很方便地推导出比例的性质、解决比例式求值问题．知识点2：相似图形例3．如图所示，△ABC ∽△DBA ，∠BAC ＝80°，∠C ＝70°，AB ＝5cm ，AC ＝3cm ，BC ＝6cm ，求∠BDA 、∠BAD 、∠DAC 、BD 、AD 、DC ．BCD题意分析：本题根据相似三角形的性质求相似三角形的对应角的度数和对应边的长度． 思路分析：把已知的角、线段和所求的角、线段分类，化归到相应的相似三角形中，其中∠DAC 和DC 不能转化为相似三角形的角和边，应利用求差的方法来解．解：∵△ABC ∽△DBA ，∴∠BDA ＝∠BAC ＝80°，∠BAD ＝∠C ＝70°． ∴∠DAC ＝∠BAC －∠BAD ＝80°－70°＝10°．∵△ABC ∽△DBA ，∴AB DB ＝BC BA ＝ACDA．即5BD ＝65＝3AD ，解得BD ＝256，AD ＝52， ∴DC ＝BC －BD ＝6－256＝116．解题后的思考：解决相似三角形的性质问题时，注意对应位置上的字母必须对应，这样才能保证其中的角、线段的对应关系．例4．如图所示，在矩形ABCD 中，E 在AD 上，EF ⊥BE ，交CD 于F ，连接BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是（ ）A ．△EFBB ．△DEFC ．△CFBD ．△EFB 与△DEFAB CDEF题意分析：要判定两个三角形是否相似，只需看这两个三角形是否具备相似条件，另外还要注意矩形的四个角都是直角这一隐含条件．思路分析：由题中给的已知条件可知，∠EAB ＝∠FDE ＝90°，∠DEF ＋∠EFD ＝∠DEF ＋∠BEA ＝90°，故∠EFD ＝∠BEA ，所以△ABE 与△DEF 相似，选项A 、C 中均没有△DEF ，故可排除，而我们又无法找到△EFB 与△ABE 相似所具备的条件，因此选项B 是正确的．解：B解题后的思考：一般情况下，在判断两个三角形是否相似时，若不知道两个三角形各边长度关系时，应考虑两角是否对应相等．小结：判断两三角形相似的方法有三种，其中“两角对应相等，两三角形相似”最简单，也最常用．知识点3：相似图形的应用例5．有一块三角形形状的铁板，如图所示，其中，AB ＝90cm ，AC ＝60cm ，BC ＝45cm ，现要在AB 、AC 上确定两点D 、E ，然后沿DE 将上面部分剪去，使剩下的四边形部分BDEC 为梯形，且DE ＝15cm ，如何确定点D 和点E 的位置？B CDE题意分析：欲确定点D 、E 的位置，只要求出AD 、AE 的长即可．思路分析：由已知条件，较易推出△ADE ∽△ABC ，利用其对应边成比例，即可求出AD 、AE 的长．解：由四边形BDEC 为梯形，得DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，△ADE ∽△ABC ．所以DE BC ＝AD AB ＝AE AC ，即1545＝AD 90＝AE 60．因此AD ＝30（cm ），AE ＝20（cm ）．即点D 应距顶点A30cm ，点E 应距顶点A20cm ．解题后的思考：本题利用相似三角形的性质求出AD 、AE 的长，进而确定点D 和点E 的位置．题中要求“使剩下的四边形部分BDEC 为梯形”，如果将这一要求去掉，又该如何剪呢？例6．如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm ×3.5cm ，放映银幕的规格为2m ×2m ，若放映机的光源S 距胶片20cm 时，问银幕应在离镜头多远的地方才能使放映的图像刚好布满整个银幕？S题意分析：如图所示，可以看作一个正四棱锥．光源S 到胶片的距离正好是点S 到胶片中心的距离，光源S 到银幕的距离正好是点S 到银幕中心的距离．思路分析：设胶片和银幕两个正方形的中心（对角线交点）分别为O 2、O 1．则SO 1SO 2＝SD 1SD 2＝A 1D 1A 2D 2． B 1C 1D 1SA 1O 1O 2B 2A 2C 2D 2解：设银幕距镜头x cm ，根据题意，得2m ＝200cm ． x 20＝2003.5，解得x ＝80007． 80007cm ＝807m ． 答：银幕距镜头807m 时，放映的图像刚好布满整个银幕．解题后的思考：解决此类问题首先应建立数学模型，把实物立体图形转化为平面几何图形，从而构造出相似三角形．小结：图形相似与现实世界有着密切的联系，常见的应用问题有两类：一是阳光下测量物体的高度．二是从某一点观测物体．总结：学习本讲应注意两点：一是利用比例的性质、相似图形的性质解决一些计算类的题目；二是在判断三角形相似或说明角相等、线段之间的关系时逐步加强逻辑推理的力度，认识和把握更为复杂的图形，提高研究“空间与图形”的水平．【预习导学案】（暑假专题——证明）一．预习前知1．什么是定义、命题、定理、公理、推论、证明？2．平行线的性质有哪些？如何判定两直线平行？3．三角形内角和定理及其推论是什么？二．预习导学1．下列语句中不是命题的是（）A．相等的角不是对顶角B．两直线平行，内错角相等C．两点之间线段最短D．过点O作线段MN的垂线2．地理老师在黑板上画了一幅世界五大洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个洲来，5个同学的回答是：甲：3号是欧洲，2号是美洲乙：4号是亚洲，2号是大洋洲丙：1号是亚洲，5号是非洲丁：4号是非洲，3号是大洋洲戊：2号是欧洲，5号是美洲地理老师说：“你们每个人都认对了一半。

线段的比及相似图形（讲义）一、知识点睛成比例线段1. 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段． 地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．注意：①比例对应；②单位换算；③实际验证． 2.比例的性质 ①基本性质：若_______________，则__________________；若ad =bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），则_________________． ②合（分）比性质：若_______________，则______________． ③等比性质：若_________________，则________________，其中______________________________． 3. 平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的_______________的比相等． 推论：_____________________________________________． 4. 黄金分割： 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_____________，那么称线段AB 被点C _________，AC AB =________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点．相似图形 1.形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 2.相似多边形： _________________、_________________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 3. 相似三角形：_________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________．二、精讲精练1. 已知线段a =3，b =2，c =4，若a ，b ，c ，d 是成比例线段，则线段d =__________；若线段e 是3a ，(2a -b )的比例中项，则e =______．2. 在比例尺为1:6 000 000的中华人民共和国地图上，郑州到北京的距离约是10厘米，则郑州到北京的实际距离约是_______千米．3. 小明家有两幅中国地图，地图甲的比例尺为1：25 000 000，地图乙的比例尺为1：4 000000，则甲、乙两幅地图上，北京到上海的图上长度之比为________.F E D C B A4. 若438324x y z +++==，且x +y +z =12，则x z y z-+=__________． 5. 若△ABC 三边分别为a ，b ，c ，且2a =3b =4c ，则::a b c =______；a ，b ，c 对应三边上的高分别为123h h h ，，，则123::h h h =________．6. 若34a b =，则a b b +=______，a b a =+______，a b a =-______． 7. 若273a b b +=，则a b =________，b a b-=________； 若23a b a =-，则a b=________，a b a =+________． 8. 若43===f e d c b a ，则a c e b d f+-+-=________， 2=2a c e b d f+-4+-4________．（b +d -f ≠0，2b +d -4f ≠0） 9. 已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值．10. 如图，DE ∥BC ，且DB =AE ，若AB =5，AC =10，则AE =______．E BAC D FEC A BD 第10题图 第11题图11. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD :DB =3:5，那么CF :CB =（ ）A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:512. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 上一点，BD :DC =3:2，连接BF ，AD ，两线段相交于点E 且AE :AD =1:2，过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =________． GF A D C B E DC BA第12题图 第13题图13. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB =4，则CD =________．14. 如图，在正五角星中，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，若AC =555 ，求AB ，BC 的长．BC D A15. 一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来的视觉最美，则窗框的长和宽分别是________________．16. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度约为_________．（精确到0.1 cm ）17. 下列说法：①放大（或缩小）的图片与原图片是相似图形；②比例尺不同的中国地图是相似图形；③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似图形；④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相似图形；⑤形状相同的图形是相似图形．其中正确的说法有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18. 四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，其中AB =4，A 1B 1=6，CD =8，∠A =77°，∠B =83°，∠C =85°，则四边形A 1B 1C 1D 1中的∠D 1=____，其最大角是__________，C 1D 1的长为_________，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为_____________；如果它们周长的差是15，则较大四边形的周长为_________．19.已知△ABC∽△DEF，AB=6 cm，BC=4 cm，AC=9 cm，且△DEF的最短边边长为8 cm，则最长边边长为（）A．16 cm B．18 cm C．4.5 cm D．13 cm20.如图，已知△AOB∽△COD，其中AO=1，AD=3.5，BO=2，则△AOB与△COD的相似比为_______，它们的对应高比为________，它们的面积比为_________；若△AOB的面积为COD的面积为________．21.某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4 cm，3 cm，5 cm.现有两根钢条，一根长60 cm，另一根长180 cm，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有________种不同的做法.（焊接用料忽略不计）22.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的等腰直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A．B．C．D．23.下列说法正确的是（）A．所有的矩形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的正六边形都相似D．等腰梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形相似24.某小区有一矩形草坪，如图所示，其长为30米，宽为10米，若想沿草坪四周修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，请求出这一宽度；若不能，请说明理由．三、回顾与思考________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ OCBDA【参考答案】一、知识点睛成比例线段2．①a cb d =，ad =bc ；a c bd =或a b c d = ②ac bd =，a b c d b d ±±= ③a c m b d n === ，a c m a b d n b+++=+++ ，0b d n +++≠ 1. 对应线段，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得对应线段的比相等．2.BC AC AC AB =0.618，两 相似图形 2．各角对应相等、各边对应成比例．相似比3．三角对应相等、三边对应成比例．相似比，相似比的平方二、精讲精练1.83，6 2.600 3.425 4.17 5.6:4:3，2:3:4 6. 74，37，3 7. 13，23，25，278. 34，349. 12k =或1k =- 10. 10311. A12. 4:113. 6-14. AB =10，BC =15-15. 1.854米，1.146米16.7.5cm17.D18.115°，∠D1，12，2:3，4519.B20.4:5，4:5，16:2521.322.D23.C24.不能。

八年级下册数学同步拔高课堂实录（总分值冲刺）线段的比、黄金分割、相似的性质与判定一、单项选择题(共10道，每道10分)
，那么在①②③④四个式子中，
正确的式子个数为（）
个
个
个
个
，那么的值为（）
A.
B.
C.
D.
,那么的值为（）
或-2
或2
4.已知a、b、c为非零实数，且知足，那么一次函数y=kx+k的图象必然通过第（）象限.
A.一、二、三
B.二、四
C.一、二、三、四
D.二、三
，且，那么为（）
6.已知线段AB=8cm，点P为线段AB的黄金分割点，那么线段AP的长为cm.
A.
B.
C.或
D.或
7.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是，为尽可能达到好的成效，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）cm
8.如下图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，如此的三角形叫黄金三角形，已知腰长AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形，以此类推，第2007个黄金三角形的周长为（）
A.
B.
C.
D.
9.已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10cm，那么PQ长为（）
A.
B.
C.
D.
10.如下图，假设内外两个矩形相似，且对边平行，那么以下结论正确的选项是（）
A.
B.
C.
D.以上都不正确。

类比归纳专题：证明线段相等的基本思路——理条件、定思路，几何证明也容易◆类型一已知“边的关系(含公共边)”或“边角关系”，在两个三角形中用全等1．如图，已知AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：(1)AC＝AD；(2)CF＝DF.2．如图，∠C＝90°，BC＝AC，D，E分别在BC和AC上，且BD＝CE，M是AB的中点．求证：△MDE是等腰三角形．◆类型二已知角度或平行关系，要证的两条线段在同一个三角形中用“等边对等角”3．如图，在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB和△ACB的外角∠ACG，EF∥BC交AC于点D，求证：DE＝DF.4．(2016·孝南区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于D，过C作CN⊥AD交AD于H，交AB于N.(1)求证：AN＝AC；(2)试判断BN与CD的数量关系，并说明理由．◆类型三已知角平分线、垂直或垂直平分用相应的性质5．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE＝CF.6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.参考答案与解析1．证明：(1)在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，∴△ABC≌△AED，∴AC＝AD；(2)由(1)知AC＝AD，AF⊥CD，∴CF＝DF.2．证明：连接CM.∵∠C＝90°，BC＝AC，M是AB的中点，∴∠B＝∠A＝45°，∠ACM＝∠BCM＝12∠BCA＝45°＝∠B，∴CM＝BM.在△MBD和△MCE中，BM＝CM，∠B＝∠MCE，BD＝CE，∴△MBD≌△MCE，∴DM ＝EM，∴△MDE是等腰三角形．3．证明：∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠BCE.∵CF为△ABC 外角∠ACG的平分线，∴∠ACF＝∠GCF.∵EF∥BC，∴∠GCF＝∠F，∠BCE ＝∠CEF，∴∠ACE＝∠CEF，∠F＝∠DCF，∴CD＝ED，CD＝DF，∴DE＝DF.4．(1)证明：∵CN⊥AD，∴∠AHN＝∠AHC＝90°.又∵AD平分∠BAC，∴∠NAH＝∠CAH.又∵在△ANH和△ACH中，∠AHN＋∠NAH＋∠ANH＝180°，∠AHC＋∠CAH＋∠ACH＝180°∴∠ANH＝∠ACH，∴AN＝AC；(2)解：BN ＝CD .理由如下：连接ND .在△AND 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝AC ，∠NAD ＝CAD ，AD ＝AD ，∴△AND ≌△ACD (SAS)，∴DN ＝DC ，∠AND ＝∠ACD .又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠AND ＝2∠B .又∵∠AND ＝∠B ＋∠NDB ，∴∠B ＝∠NDB ，∴NB ＝ND ，∴BN ＝DN ＝CD .5．证明：连接BD ，CD .∵AD 是∠FAE 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF .∵DG 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD .∴Rt △CDF ≌Rt △BDE ，∴BE ＝CF .6．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .又∵BD ＝DF ，∴Rt △CFD ≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，AD ＝AD ，DC ＝DE ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE ，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .。