2019数学人教a版必修一优化练习：第三章 3.1 3.1.2 用二分法求方程的近似解 word版含解析

姓名，年级：时间：第三章3。

1 3.1.2 用二分法求方程的近似解课时分层训练‖层级一‖｜学业水平达标|1．下列函数中不能用二分法求零点的是（)A．f(x）＝2x＋3 B．f(x）＝ln x＋2x－6C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f（x）＝2x－1解析：选C f（x）＝x2－2x＋1＝(x－1）2≥0，零点是1,它的左、右两侧函数值同号．2．用二分法求如图所示函数f（x）的零点时,不可能求出的零点是( ）A．x1B．x2C．x3D．x4解析:选C 观察图象知，x3附近两边的函数值都是负值，因此不能用二分法求．3．根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确度0。

1)是（)f(1)＝－1f（2)＝3f(1。

5）＝－0。

125f(1。

75)＝1。

109375f（1。

625)＝0.416 01562f(1。

562 5）＝0。

127 19726A。

1.75C．1。

612 5 D．1。

56解析：选D ∵f（1。

5）·f(1。

562 5)<0，且｜1。

562 5－1.5｜＝0。

062 5<0。

1，∴函数f(x)在(1，2）上零点可以是（1。

5，1。

562 5)上的任何一个值,故选D.4．设函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是( ) A．(0,1）B．(1,2)C．(2，3) D．(3，4)解析:选B 令f(x)＝x2－错误!x－2,则f（0）＝－4<0，f(1）＝－1<0,f(2）＝3>0，∴f（x）的零点在区间(1,2）内，即函数y＝x2与y＝错误!x－2的图象交点的横坐标x0∈（1，2)．5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2）内近似解的过程中得f（1)<0，f（1.5)〉0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间( ）A．(1,1。

精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面关于二分法的表达中,正确的选项是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循,无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间,应选项A错误；二分法是一种程序化的运算,故可以在计算机上完成,应选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故D错误．应选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8 ,用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0 ,f(1.5)＞0 ,f(1.25)＜0 ,那么方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0 ,由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．应选B.【答案】 B3．假设函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下：()A ．1.25B ．1.375C ．1.42【解析】 由表格可得 ,函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知 ,方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.应选C.【答案】 C4．以下函数中 ,有零点但不能用二分法求零点近似解的是( )①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1x ≥0 x ＋1x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8 ,Δ＝0 ,不满足二分法求函数零点的条件．应选B .【答案】 B5．在用 "二分法〞求函数f (x )零点近似值时 ,第|一次所取的区间是[－2,4] ,那么第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 52 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1 【解析】 ∵第|一次所取的区间是[－2,4] ,∴第二次所取的区间可能为[－2,1] ,[1,4] ,∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 －12 ,⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 1 ,⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 52 ,⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤52 4. 【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时 ,取中点x 1＝3 ,那么下一个有根区间是________．【解析】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0 ,f(3)＝16＞0 ,f(4)＝51＞0 ,∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时,第|一次经过计算f(0)＜0 ,f(0.5)＞0 ,可得其中一个零点x0∈________ ,第二次应计算________.【导学号：02962022】【解析】∵f(0)·f(0.5)<0 ,∴x0∈(0,0.5) ,取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求 "方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)〞时,设f(x)＝lg x＋x－2 ,算得f(1)<0 ,f(2)>0；在以下过程中,他用 "二分法〞又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断：方程的近似解是x≈x的4个值依次是________．【解析】第|一次用二分法计算得区间(1.5,2) ,第二次得区间(1.75,2) ,第三次得区间(1.75,1.875) ,第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0 ,f(2)＝5>0 ,因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下：∵一个正零点．10．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】 令f (x )＝x 2－5 ,因为f (2.2)＝－0.16<0 ,f (2.4)＝0.76>0 ,所以f (2.2)·f (2.4)<0 ,即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0 ,取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3 ,f (2.3)＝0.29 ,因为f (2.2)·f (2.3)<0 ,所以x 0∈(2.2,2.3) ,再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25 ,f (2.25)＝0.062 5 ,因为f (2.2)·f (2.25)<0 , 所以x 0∈(2.2,2.25) ,由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1 , 所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时 ,经计算 ,f (0.64)＜0 ,f (0.72)＞0 ,f (0.68)＜0 ,那么函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7【解析】 f (0.64)＜0 ,f (0.72)＞0 ,那么函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72] ,又0.68＝12(0.64＋0.72) ,且f (0.68)＜0 ,所以零点在区间[0.68,0.72] ,且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此 ,0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】 C2．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点 ,其参考数据如下：________．【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0 ,f (1.556 2)＝－0.029<0 ,方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2 ,1.562 5)上 ,且满足精确度为0.01 ,所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点 ,但不能用二分法求出 ,那么a ,b 的关系是________.【解析】 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点 ,但不能用二分法 ,∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切 ,∴Δ＝a 2－4b ＝0 ,∴a 2＝4b .【答案】 a 2＝4b4．函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ,a ＋b ＋c ＝0 ,f (0)>0 ,f (1)>0 ,证明a >0 ,并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0 ,∴3a ＋2b ＋c >0 , 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0 ,∴－b －2c >0 , 那么－b －c >c ,即a >c . ∵f (0)>0 ,∴c >0 ,那么a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12 ,那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0 ,f (1)>0 ,∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 12和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 1上各有一个零点．又f (x )最||多有两个零点 ,从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．精品 "正版〞资料系列 ,由本公司独创 .旨在将 "人教版〞、〞苏教版 "、〞北师 大版 "、〞华师大版 "等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月 ,是当前最||新版本的教材资源 .包含本课对应 内容 ,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最||正确选择 .。

3．1.2用二分法求方程的近似解课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数，借助于学习工具，用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且____________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点______________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求___________________________________________________________________ _____．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a，b]，验证____________，给定精确度ε；(2)求区间(a，b)的中点____；(3)计算f(c)；①若f(c)＝0，则________________；②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈________)；③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈________)．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．一、选择题1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2007)<0，f(2008)<0，f(2009)>0，则下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2007,2008)内不存在零点B．函数f(x)在(2008,2009)内不存在零点C．函数f(x)在(2008,2009)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x)在(2007,2008)内可能存在零点4．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：x 0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…y＝2x 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.0638.010.556…y＝x20.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…A．(0.6,1.0) B．(1.4,1.8)C．(1.8,2.2) D．(2.6,3.0)6．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则()A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)<0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)>0，f(x2)>0二、填空题7．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)8.用“二分法”求方程x－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．9．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)．三、解答题10．确定函数f(x)＝12log x＋x－4的零点所在的区间．11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)能力提升12．下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的命题：①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为()A．0B．1C．3D．413．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：你最多称几次就可以发现这枚假币？1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为1 2n.3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．3．1.2用二分法求方程的近似解知识梳理1．f (a )·f (b )<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解 2．(1)f (a )·f (b )<0 (2)c (3)①c 就是函数的零点 ②(a ，c ) ③(c ，b ) 作业设计1．B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．] 2．A [由选项A 中的图象可知，不存在一个区间(a ，b )，使f (a )·f (b )<0，即A 选项中的零点不是变号零点，不符合二分法的定义．] 3．D4．B [∵f (1)·f (1.5)<0，x 1＝1＋1.52＝1.25. 又∵f (1.25)<0，∴f (1.25)·f (1.5)<0， 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内．]5．C [设f (x )＝2x －x 2，根据列表有f (0.2)＝1.149－0.04>0，f (0.6)>0，f (1.0)>0，f (1.4)>0，f (1.8)>0，f (2.2)<0，f (2.6)<0，f (3.0)<0，f (3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8,2.2)内．] 6．B [∵f (x )＝2x －1x －1，f (x )由两部分组成，2x 在(1，＋∞)上单调递增，－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )在(1，＋∞)上单调递增．∵x 1<x 0，∴f (x 1)<f (x 0)＝0，又∵x 2>x 0，∴f (x 2)>f (x 0)＝0.] 7．③④⑤ 8．[2,2.5)解析 令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝16>0， f (2.5)＝15.625－10＝5.625>0.∵f (2)·f (2.5)<0，∴下一个有根的区间为[2,2.5)． 9．0.75或0.6875解析 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1， 所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解． 10．解 (答案不唯一)设y1＝log x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函12数图象，如图．由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f(4)<0，当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f(8)＝1>0，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点．故函数f(x)的两零点所在的区间为(0,1)，(4,8)．11．证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.1875，f(1.1875)≈－0.16<0，f(1.1875)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.1875,1.25)．∵|1.25－1.1875|＝0.0625<0.1，∴1.1875可作为这个方程的实数解．12．A[∵①中x0∈[a，b]且f(x0)＝0，∴x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]13．解第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；若平衡，则剩余的是假币．∴最多称四次．。

第三章 3.1 3.1.21．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析：使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．答案：A2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]解析：∵f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，f(－2)·f(1)＜0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．答案：A3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)＝0.200f(1.587 5)＝0.133f(1.575 0)＝0.067f(1.562 5)＝0.003f(1.556 2)＝－0.029f(1.550 0)＝－0.060 据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01)为()A．1.55 B．1.56C．1.57 D．1.58解析：由参考数据知，f(1.562 5)＝0.003＞0，f(1.556 2)＜0，f(1.556 2)＝－0.029＜0，即f(1.562 5)·∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确到0.01为1.56)．答案：B4．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.解析：由题意x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝0.625.答案：0.6255．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞).x 12345 6f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.678 答案：③④⑤6．求32的近似值(精确度0.01)．解：设x＝32，则x3－2＝0，令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值．以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：区间中点中点函数值[1,2] 1.5 1.375[1,1.5] 1.25－0.046 9[1.25,1.5] 1.3750.599 6[1.25,1.375] 1.312 50.261 0[1.25,1.312 5] 1.281 250.103 3[1.25,1.281 25] 1.265 6250.027 3[1.25,1.265 625] 1.257 81－0.01[1.257 81,1.265 625]由于区间[1.257 81,1.265 625]的长度|1.265 625－1.257 81|＝0.007 815＜0.01，所以这个区间内的点 1.26可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是 1.26.。

课时作业(二十一)用二分法求方程的近似解I学业水平层次］一、选择题1.下列函数图象与兀轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【解析】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中，不满足/(G)呎历vO,不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.故选B.【答案】B2.(2014•河南中原名校联考)设/U) = lgx+x—3,用二分法求方程lgx+x- 3=0 在(2,3)内近似解的过程中得人2.25)<0, ./(2.75)>0,人2.5)<0, /(3)>0, 则方程的根落在区间()A. (2, 2.25) B・(2.25, 2.5)C・(2.5, 2.75) D・(2.75, 3)【解析】因为X2.25)<0, /2.75)>0,由零点存在性定理知，在区间(2.25, 2.75)内必有根，利用二分法得/(2.5)<0,由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5, 2.75),选 C.【答案】C3.用二分法研究函数Xx)=/ + 3x-l的零点吋，第一次经计算得几0)<0,/0.5)>0,可得其中一个零点_______________ ，第二次应计算 ________ ・以上横线上应填的内容分别为()A. (0, 0.5), /(0.25)B. (0, 1),人0.25)C. (0.5, 1), X0.25) D ・(0, 0.5),几0.125)【解析】・・・夬0)<0,夬0.5)>0,・・談0)呎0.5)v0,故7U)的一个零点x o e(O,(0+0 5、0.5),利用二分法，则第二次应计算/=/(0.25)・【答案】A4. 在用二分法求函数.心)的一个正实数零点时，经计算，,A0.64)<0,夬0.72) >0, /0.68)<0,则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A. 0.68B. 0.72 C ・ 0・7 D. 06【解析】 已知几0・64) V0, /(0.72) > 0,则函数/%)的零点的初始区间为［0.64,0.72］,又 0.68=|(0.64+0.72),且/(0.68)<0,所以零点在区间［0.68, 0.72］,且 该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的 一个正实数零点的近似值.【答案】C 二、填空题5. 用二分法求方程lnx —2+兀=0在区讪1, 2］上零点的近似值，先取区间3中点C=y 则下一个含根的区间是 ___________ ・【解析】 令Ax) = lnx-2+x, V/(l)=-l<0, /(2) = ln2>0,0,・・・下一个含根的区间是俘，2；【答案】(|，2)6. 若函数/U)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定./U)的零点所在区间为 _______ •(只填序号)①(一8，1］;②［1, 2］；③［2, 3］；④［3, 4］；⑤［4, 5］；⑥［5, 6］；⑦［6,3 '232+ °°)【解析】•••函数/(劝的图象是连续不断的，且/2)；/(3)<0, /3)-/4)<0,A4)7(5)<0,・•・函数零点分别在区间[2, 3], [3, 4], [4, 5]内.【答案】③④⑤7.用二分法求函数Xx) = 3A-x—4的一个零点，其参考数据如下:据此数据，可得方程3”一兀一4=0的一个近似解(精确度到0.01)为__________________________________________________________________ ・【解析】注意到夬 1.556 2)=-0.029 和./(1.562 5)=0.003,显然人1.556 2)说1.562 5)V0,区间的端点四舍五入都为1.56,故方程的一个近似解为1.56.【答案】1.56三、解答题8.求函数Xx)=?+2?-3x-6的一个正零点(精确度为0.1).【解】/1)=-6<0,夬2)=4>0,可取区间(1, 2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：由于11.75-1.687 5|=0.062 5<0.1,所以可将1.687 5作为函数零点的近似值.9. (2014-天津高一检测)借助计算机或计算器，用二分法求方程log2(x+4) =2“的一个正根的近似值.(精确度0.1)【解】令fix) = log2(%+4)—2v,其零点为xo,借助计算机作出函数/U)的图象如图所示.取正区间［1, 2］,夬1)5.322,久2戶一1.415.取区间［1, 2］的中点兀1 = 1.5,计算几1・5)~—0.369,所以夬1)呎l・5)V0,所以x o e(i, 1.5).再取区间(1, 1.5)的中点兀2=1・25,计算>(1.25)^0.014,所以x0e(1.25, 1.5).同理可得兀0丘(1・25, 1.375),x o e(1.25, 1.312 5),因为|1.312 5—1.251=0.062 5 V0」,故可取1.3125作为此函数的一个零点，所以方程Iog2(x+4) = 2X精确度到0」的正根的近似值为1.312 5.［能力提升层次］1.(2014-合肥高一检测)函数J(x)=2x+m的零点落在(一1, 0)内,则加的取值范围为()A. ( — 2, 0) B・(0, 2)C・［一2, 0］D・［0, 2］【解析】由题意一1)呎0)=(加一2)m<0,・・・0<m<2.【答案】B2.下列函数不宜用二分法求零点的是()A. Xx)=?-1B. /(x) = lnx+3C・人兀)=/+2迈兀+2 D・j(x)=-x1+4x-\【解析】因为,/U) =x2+2y/2x+2 = (x+^2)20,不存在小于0的函数值, 所以不能用二分法求零点.【答案】C3.(2014•广州高一检测)一块电路板的线路之间有64个串联的焊接点(如图3-1-2所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测______ 次.A C B图3-1-2【解析】第1次取中点把焊点数减半为—=32(^),第2次取中点把焊点64 64数减半为才=16(个)，第3次取中点把焊点数减半为y=8(个)，第4次取中点把64 64焊点数减半为話=4(个)，第5次取中点把焊点数减半为莽=2(个)，第6次取中点把焊点数减半为前=1(个)，所以至多需要检测的次数是6.【答案】64.已知函数Xx) = lnx+2x-6.(1)证明：夬力有且仅有一个零点.(2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于右【解】(1)因为函数y=\nx, y=2x—6在(0, +°°)上都是增函数, 所以fix) = \nx+2x—6在(0, +8)上是增函数，所以夬兀)至多有一个零点，由/2)=ln2-2<0, /3)=ln3>0,所以几2)呎3)V0,所以夬兀)在(2, 3)内至少有一个零点，所以人尢)有且仅有一个零点.(2)因为^2)<0, X3)>0,订2+3 5取兀1_二-_刁5、 5 5勺=ln ㊁+5—6=ln ㊁一1V0,所以X3)/lj<0, 所以夬尢)的零点心弟，3=1丹_*>0, 所以兀()W(5因为H_5 T~2所以满足题意的区间为。

3.1.2用二分法求方程的近似解1．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是()A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间…()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定3．已知f(x)＝ax2＋bx，ab≠0，且f(x1)＝f(x2)＝2 009，则f(x1＋x2)＝__________.4．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)①(－∞，1]②[1,2]③[2,3]④[3,4]⑤[4,5]⑥[5,6]⑦[6，＋∞)课堂巩固1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2]3．下图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是()A ．[－2.1，－1]B ．[4.1,5]C ．[1.9,2.3]D ．[5,6.1]4．下列是关于函数y ＝f(x)，x ∈[a ，b]的几个命题：①若x 0∈[a ，b]且满足f(x 0)＝0，则(x 0,0)是f(x)的一个零点；②若x 0是f(x)在[a ，b]上的零点，则可用二分法求x 0的近似值；③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值．那么以上叙述中，正确的个数为( )A ．0B ．1C ．3D ．45．已知x 0是函数f(x)＝2x －log 13x 的零点，若0<x 1<x 0，则f(x 1)的值满足( ) A ．f(x 1)>0B ．f(x 1)<0C ．f(x 1)＝0D ．f(x 1)>0与f(x 1)<0均有可能6．若方程(12)x ＝x 的解为x 0，则x 0所在的区间为 ( )A ．(0.1,0.2)B ．(0.3,0.4)C ．(0.5,0.7)D ．(0.9,1)7．奇函数f(x)的定义域为R ，在(0，＋∞)上，f(x)为增函数．若－3是f(x)的一个零点，则f(x)另外的零点是__________．8．证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)1．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个正根和一个负根，则有( )A ．a<0B ．a>0C ．a<－1D ．a>12．方程0.9x －x ＝0的实数根的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)＋2(a<b)，并且α，β(α<β)是函数y ＝f(x)的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系是( )A ．a<α<β<bB ．α<a<b<βC ．α<a<β<bD ．a<α<b<β4．函数y ＝lnx ＋2x －6的零点一定位于如下哪个区间上．( )A ．(0,1)B ．(1，74) C ．(74，52) D ．(52，4) 5.利用计算器，列出自变量和函数值的对应关系如下表：那么方程2x ＝x 2的一个根位于下列哪个区间内( )A ．(0.6,1.0)B ．(1.4,1.8)C ．(1.8,2.2)D ．(2.6,3.0)6．已知偶函数y＝f(x)有四个零点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和为__________．7．若奇函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的三个零点x1、x2、x3满足x1x2＋x2x3＋x1x3＝－2，则b ＋c＝__________.8．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．9．在一个风雨交加的夜晚，从水库闸房A到防洪指挥部B的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，如果沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，因为每查一个点就要爬一次线杆，而10 km长的线路约有200根线杆！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最为合理？10．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝x－13x＋2至少有一个零点．11．已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)．(1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度为0.1)．答案与解析3．1.2 用二分法求方程的近似解课前预习1．B 依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．2．B 根据根的存在性原理进行判断．3．0 由题意x 1、x 2是方程ax 2＋bx －2 009＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝－b a，从而f(x 1＋x 2) ＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b(－b a)＝0. 4．③④⑤课堂巩固1．B 因B 不是变号零点，故应选B.2．A 由于f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．3．B 用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，其值则不能使用二分法．4．A ∵①中x 0∈[a ，b]且f(x 0)＝0，∴x 0是f(x)的一个零点，而不是(x 0,0)，∴①错误；②∵函数f(x)不一定连续，∴②错误；③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，∴③错误；④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．5．B 在同一坐标系中作出函数y 1＝2x ，y 2＝log 13x 的图象，易知0<x 0<1，f(x 1)<0. 6．C 令f(x)＝(12)x －x ，f(1)＝12－1＝－12<0，f(0.5)＝(12)0.5－0.5＝12－14>0，f(0.7)＝(12)0.7－0.7<0， ∴f(x)的零点在区间(0.5,0.7)内．7．0,3 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0，f(3)＝－f(－3)＝0.又∵f(x)在x ∈(0，＋∞)上是增函数，∴x ＝3是x ∈(0，＋∞)上的唯一零点．8.解：证明：设函数f(x)＝2x ＋3x －6，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，所以f(1)·f(2)<0.又因为f(x)在R 上连续且是增函数，所以函数f(x)在区间[1,2]内有唯一的零点．所以方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设此解为x 0，则x 0∈[1,2]．取x 1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0.所以x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，所以x 0∈(1.187 5,1.25)．因为|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，所以可取x 0＝1.187 5，即方程6－3x ＝2x 的实数解的近似值可取为1.187 5.点评：用二分法求函数零点的近似值x 0，要精确度为ε，即零点的近似值x 0与零点的真值α的误差不超过ε，零点近似值x 0的选取有以下方法：(1)若区间(a ，b)使|a －b|<ε，则因零点值α∈(a ，b)，所以a(或b)与真值α满足|a －α|<ε或|b －α|<ε.所以只需取零点近似值x 0＝a(或b)．(2)在区间[a n ，b n ]使|a n －b n |<2ε，取零点近似值x 0＝a n ＋b n 2，则|x 0－α|<12|a n －b n |<ε. 课后检测1．A 由题意得两根x 1x 2<0，即1a<0，即a<0. 2．B 设f(x)＝0.9x －x ，则它在x ∈(－∞，＋∞)上是减函数．∵f(0)＝0.90－0＝1>0，f(1)＝0.9－1＝－0.1<0，∴它在(0,1)上存在零点，同时，也是唯一的零点．3．A 函数g(x)＝(x －a)(x －b)的两个零点是a 、b.由于y ＝f(x)的图象可看作是由y ＝g(x)的图象向上平移2个单位而得到的，所以a<α<β<b.4．D 令f(x)＝lnx ＋2x －6，则f(2.5)＝ln2.5＋2×2.5－6＝ln2.5－1＝ln 2.5e<ln1＝0. 又f(4)＝ln4＋2×4－6＝ln4＋2>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以方程lnx ＋2x －6＝0的根必定在区间(2.5,4)内．5．C 设f(x)＝2x －x 2，根据列表有f(0.2)＝1.149－0.04>0，f(0.6)>0，f(1.0)>0，f(1.4)>0，f(1.8)>0，f(2.2)<0，f(2.6)<0，f(3.0)<0，f(3.4)<0.因此方程的一个根在区间(1.8，2.2)内．6．0 不妨设它的两个正零点分别为x 1，x 2.由f(－x)＝f(x)可知它的两个负零点分别是－x 1，－x 2，于是x 1＋x 2－x 1－x 2＝0.7．－2 ∵f(x)是奇函数，∴b ＝0.∴f(x)＝x 3＋cx.令f(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝－－c ，x 3＝－c(c<0)．由x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝－2得c ＝－2，∴b ＋c ＝－2.8．解：设f(x)＝3x 2－5x ＋a ，则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f(x)＝0的两根分别在区间(－2,0)，(1,3)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f(－2)>0，f(0)<0，f(1)<0，f(3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3×(－2)2－5×(－2)＋a>0，a<0，3－5＋a<0，3×9－5×3＋a>0.解得－12<a<0.故所求a 的取值范围是{a|－12<a<0}．9．解：可以利用二分法的原理进行查找．首先从AB 的中点C 处开始，用随身带的话机通过向两端喊话进行测试，若AC 段正常，则断定故障在BC 段．再到BC 段中点D ，这次若发现BD 段正常，则断定故障在CD 段．再到CD 的中点E 去查，….这样每查一次，就可以把待查的线路的长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100米之间，即一两根电线杆附近．10．解：函数f(x)＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]． ∵f(12)＝－17<0，f(32)＝113>0， ∴在区间[12，32]内函数f(x)至少有一个零点．∴[12，32]就是符合条件的一个区间． 11．解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0. ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0. 于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知，当a ＝3时，f(x)＝3x ＋x －2x ＋1也在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增．因此f(x)＝0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根．由于f(0)＝－1<0，f(1)＝52>0，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：由于|0.312 5－0.25|＝0.062 5<0.1，∴原方程的近似解可取为0.312 5.点评：求函数零点的近似值时，由于所选的初始区间不同，最后得到的结果可以不同，只要它们符合所给定的精确度，就是正确的．用二分法求方程的近似解可按下面的口诀进行记忆：函数连续值两端，相乘为负有零点，区间之内有一数，方程成立很显然．要求方程近似解，先看零点的区间，每次区间分为二，先后两端近零点．。

3.1.2用二分法求方程的近似解班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．函数的零点落在内，则的取值范围为A. B. C. D.2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( )A.1.5B.1.25C.1.375D.1.437 53．设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x=2.5,那么下一个有根区间是.6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.7．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01).8．已知函数在上为增函数，求方程的正根.(精确度为0.01)【能力提升】利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).答案【基础过关】1．B【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即，∴，解得0＜m＜2.2．D【解析】由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D.3．B【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).4．D【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D.5．(2,2.5)【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).6．4【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.,即为, 7．令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值. 8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：因为｜0.2734375－0.28125｜＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.【能力提升】分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内.,利用计算器计算设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1得:∈(2,3);f(2)<0,f(3)>0⇒x1f(2.5)<0,f(3)>0⇒x∈(2.5,3);1∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.625);f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1f(2.562 5)<0,f(2.625)>0⇒x∈(2.562 5,2.625);1因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )答案：B2．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( ) A ．ε越大，零点的精确度越高 B ．ε越大，零点的精确度越低 C ．重复计算次数就是ε D ．重复计算次数与ε无关 答案：B3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2, 1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2]解析：f (－2)＝－3<0，f (1)＝6>0 逐次验证得出初始区间为A. 答案：A4．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，已知函数f (x )在区间(a ，b )上有一个零点x 0，且f (a )·f (b )<0，用二分法求x 0时，当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0时，则函数f (x )的零点是( ) A ．(a ，b )外的点 B ．x ＝a ＋b2C ．区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2或⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内的任意一个实数 D ．x ＝a 或x ＝b 答案：B5．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则由f(1.25)·f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上．答案：B6．用二分法研究函数f(x)＝x2＋6x－2的零点时，第一次经过计算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．解析：由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25，∴第二次应计算f(0.25)．答案：(0,0.5)f(0.25)7．求方程log3x＋x＝3的解所在区间是________．解析：构造函数f(x)＝log3x＋x－3，找出函数零点所在的初始区间，∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)．答案：(2,3)8．若方程x3－x＋1＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上有一根，则a＋b＝________.解析：设f(x)＝x3－x＋1，则f(－2)＝－5＜0，f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3.答案：－39．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．(精确度0.1)解析：设f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函数在(0,1)内存在零点，即方程在(0,1)内有实数解，取(0,1)作为初始区间，利用二分法逐次计算，列表如下：由于|0.687 5－0.75| 0.75.10．求32的近似值．(精确到0.01)解析：设x＝32，则x3－2＝0，令f (x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐步计算，列表如下：由于|1.265 63∴这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值，即32的近似值是1.26.[B组能力提升]1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3解析：图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.答案：D2．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列叙述正确的是()A．函数f(x)在(2 010,2 011)内不存在零点B．函数f(x)在(2 009,2 010)内不存在零点C．函数f(x)在(2 010,2 011)内存在零点，并且仅有一个D．函数在(2 009,2 010)内可能存在零点解析：f(2 009)·f(2 010)>0，只能说在(2 009，2 010)内可能存在零点，也可能不存在零点．f(2 010)·f(2 011)<0，说明在(2 010,2 011)内至少有一个零点，不能说是唯一，故答案选D.答案：D3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的对应值表：①函数f(x)在区间(－1,0)内有零点；②函数f(x)在区间(2,3)内有零点；③函数f(x)在区间(5,6)内有零点；④函数f(x)在区间(－1,7)内有三个零点．解析：f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0，f(5)·f(6)<0，又f(x)的图象连续不断，所以函数f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三个区间上均有零点，但不能断定有几个零点，故①②③正确，④不正确．答案：①②③4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，显然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.答案：1.565．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在位置？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子.10 km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：如图所示：可利用二分法的原理进行查找．设闸房和指挥部所在地分别为A，B，他首先从AB的中点C处查，用随身带的电话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段；再到BC段中点D 处来查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段；再到CD中点E处来查，这样每查一次，就可以把待查的线路长缩减一半，故经过7次查找，就可以把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，即一两根电线杆附近．6．已知函数f(x)＝3x＋x－2x＋1，方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内是否有根？若有根，有几个？请你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值．(精确度0.01)解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)内有根，f(x)＝3x＋x－2x＋1＝3x＋1－3x＋1，当x∈(－1，＋∞)时，函数f(x)为增函数，所以若方程f(x)＝0有根，则最多有一个根．∵f(0)＝－1<0，f(1)＝52>0，所以取(0,1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：所以x＝0.281 25.(实际上[0.273 437 5,0.281 25]内的任意一个值均可以．)。

2022-2022年人教版A版高中数学必修一第3章 3.1.2 用二分法求方程的近似解1填空题函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________.【答案】a2＝4b【解析】∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.选择题下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是()①y＝3x2－2x＋5；②③；④y＝x3－2x＋3；⑤y＝x2＋4x＋8.A. ①②③B. ⑤C. ①⑤D. ①④【答案】B【解析】由二分法的过程可知，函数零点左右的函数值异号时才可以用二分法求解，所以①②③④均可.⑤中y＝x2＋4x＋8=0，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B.选择题若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A. 1.25B. 1.375C. 1.42D. 1.5【答案】C【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.填空题用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．【答案】1.5625【解析】f(1.562 5)＝0.003>0，f(1.556 2)＝－0.0290可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．【答案】(0,0.5)f(0.25)【解析】因为f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号．选择题在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A. 0.68B. 0.72C. 0.7D. 0.6【答案】C【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．故选C.填空题某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．选择题下面关于二分法的叙述中，正确的是()A. 用二分法可求所有函数零点的近似值B. 用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C. 二分法无规律可循，无法在计算机上完成D. 只能用二分法求函数的零点【答案】B【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.选择题设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，则方程的根落在区间（）A、（1，1．25）B、（1．25，1．5）C、（1．5，2）D、不能确定【答案】B【解析】试题分析：，所以函数零点在区间（1．25，1．5）上，即方程的根在区间（1．25，1．5）上解答题已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．【答案】见解析【解析】试题分析：根据函数解析式代入f（0）＞0、f（1）＞0，得c＞0且3a+2b+c＞0，结合a+b+c=0化简即可得到a＞0；利用a+b+c=0化简得f()＝-,结合a>0，可得f())与f(0)，f(1)都异号，利用零点存在性定理得f(x)＝0在区间和上各有一个零点，由此可得f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根.试题解析：∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，即3(a＋b＋c)－b－2c>0.∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a0，f(1)>0，∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．解答题用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【答案】2.25【解析】试题分析：令f(x)＝x2－5，，计算可得f(2.2)＝－0.160，根据零点存在定理可取区间(2.2,2.4)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，直到区间端点的差精确度0.1即可．试题解析：令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.160，所以f(2.2)·f(2.4)0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5 D.【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为.填空题用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．【答案】(2,3)【解析】设函数f(x)＝x3－2x－5.∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝16＞0，f(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．。