【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第六章 数列 第一课

§6.4 数列求和1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( √ )(6)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )2．(2012·大纲全国)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101B.99101 C.99100D.101100 答案 A解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎨⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．2n ＋n 2－1 B ．2n ＋1＋n 2－1 C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n 2－2 答案 C解析 S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋(2n －1)) ＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n ＝________. 答案 4－n ＋42n解析 设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×12n ，则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×12n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋22n＝3＋12[1－(12)n －1]1－12－n ＋22n ＝4－n ＋42n .题型一 分组转化求和例1 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和S n .思维启迪 先写出通项，然后对通项变形，分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求解．解 由已知得，数列{a n }的通项公式为 a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n ) ＝n (2＋3n －1)2＋2(1－2n )1－2＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1－2. 思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．求和S n ＝1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋14＋…＋12n －1.解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋12k －1＝1－⎝⎛⎭⎫12k1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12k . ∴S n ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n －1＋2n －2. 题型二 错位相减法求和例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n . 思维启迪 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝68a 1＋28d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝－1.故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. 若q ≠1，将上式两边同乘以q 有 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2.若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，q ＝1nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q ≠1.思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{}对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练． (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用X 围．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.题型三 裂项相消法求和例3在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n －12. (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .思维启迪 第(1)问利用a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)后，再同除S n －1·S n 转化为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的等差数列即可求S n .第(2)问求出{b n }的通项公式，用裂项相消法求和． 解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎫S n－12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)， ∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝⎛⎭⎫S n －12， 即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N ＋.(1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)设b n ＝12S n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明 ∵S n ＝a n (a n ＋1)2，n ∈N ＋，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1＋1)2(a n >0)，∴a 1＝1.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a 2n ＋a n ，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －1.即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列． (2)解 由(1)可得a n ＝n ，S n ＝n (n ＋1)2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.四审结构定方案典例：(12分)(2012·某某)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[3分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .[6分]当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .(2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①[7分]所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2②②－①：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1[11分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[12分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案；(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数．方法与技巧非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 失误与防X1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n ＋1B.4n n ＋1C.3n n ＋1D.5nn ＋1 答案 B解析 a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4n (n ＋1)＝4(1n －1n ＋1)， ∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)] ＝4(1－1n ＋1)＝4n n ＋1. 2．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．21答案 C解析 由a 9＋3a 11<0，得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10>0， S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 故使S n 取值最小正值的n 为19.3．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于 ( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 200答案 B解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.故选B.4．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为( )A ．31B ．120C ．130D ．185答案 C解析 a 1＋...＋a k ＋...＋a 10＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－(2＋20)×102＝240－110＝130. 5．数列a n ＝1n (n ＋1)，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9答案 B解析 数列的前n 项和为11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910， ∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.二、填空题6．数列32，94，258，6516，…的前n 项和S n 为________． 答案 n (n ＋1)2＋1－12n 解析 ∵32＝1＋12，94＝2＋14，258＝3＋18， 6516＝4＋116，… ∴S n ＝32＋94＋258＋6516＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋122＋123＋…＋12n ) ＝n (n ＋1)2＋12[1－(12)n ]1－12＝n (n ＋1)2＋1－12n . 7．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________. 答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 8．(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________．答案 1 830解析 利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解．∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830. 三、解答题9．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14的等比数列，设b n ＋2＝3log 41a n (n ∈N ＋)，数列{}满足＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{}的前n 项和S n .解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N ＋)， 又b n ＝3log 41a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N ＋)．(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N ＋)，所以＝(3n －2)×(14)n (n ∈N ＋)． 所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n ， 于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1. 两式相减，得34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(14)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14)n (n ∈N ＋)． 10．若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求等比数列S 1，S 2，S 4的公比；(2)若S 2＝4，求数列{a n }的通项公式；(3)在(2)的条件下，设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈ N ＋都成立的最小正整数m .解 (1)因为{a n }为等差数列，设{a n }的公差为d (d ≠0)，所以S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .因为S 1，S 2，S 4成等比数列且设其公比为q ，所以S 1·S 4＝S 22.所以a 1(4a 1＋6d )＝(2a 1＋d )2.所以2a 1d ＝d 2.因为公差d ≠0.所以d ＝2a 1.所以q ＝S 2S 1＝4a 1a 1＝4. (2)因为S 2＝4，所以2a 1＋d ＝4.又d ＝2a 1，所以a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝2n －1.(3)因为b n ＝3(2n －1)(2n ＋1)＝32(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝32[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝32(1－12n ＋1)<32. 要使T n <m 20对所有n ∈N ＋都成立，则有m 20≥32，即m ≥30. 因为m ∈N ＋，所以m 的最小值为30.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( )A ．2 008B ．2 010C ．1D ．0答案 B解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.2．(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n 的三边长分别为a n 、b n 、，△A n B n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，…，若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝＋a n 2，＋1＝b n ＋a n 2，则( ) A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列答案 B解析 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13； 故S 1＝ 3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1， S 2＝ 3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21.显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a 12＝1312a 1， c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1， S 3＝ 3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 3．(2013·某某)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N ＋，则： (1)a 3＝________； (2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________.答案 (1)－116(2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1， ∴a n ＝(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＋12n . 当n 为偶数时，a n －1＝－12n ， 当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ， ∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116. 根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128. ∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…， ∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝⎛⎭⎫12＋122＋123＋…＋12100 ＝⎝⎛⎭⎫12＋123＋…＋1299－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12100 ＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥12. (1)解 当n ∈N ＋时，S n ＝2a n －2n ，则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2，∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴a n ＋2a n －1＋2＝2，当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－2；(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，∴b n a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2 ＝14＋14(1－12n )1－12－n ＋12n ＋2 ＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1， 当n ≥2时，T n －T n －1＝－n ＋32n ＋1＋n ＋22n ＝n ＋12n ＋1>0， ∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝12. 5．直线l n ：y ＝x －2n 与圆：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N ＋.数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1(n 为奇数)，a n (n 为偶数)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)由题意，知圆的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ， 半径r n ＝2a n ＋n ，所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n . 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23＋…＋2n －1) ＝n (n －1)2＋2(1－2n )1－4＝n 2－n 2＋23(2n －1)． 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＋1＝(n ＋1)2－(n ＋1)2＋23(2n ＋1－1) ＝n 2＋n 2＋23(2n ＋1－1)． 而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n，所以T n ＝n 2＋n 2＋13(2n －2)． 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－n 2＋23(2n －1)(n 为偶数)，n 2＋n 2＋13(2n －2)(n 为奇数).。

§9.1 直线的方程1． 平面直角坐标系中的基本公式(1)两点间的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则d (A ，B )＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点M (x ，y )是线段AB 的中点，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 2． 直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角． (2)倾斜角的范围：[0°，180°)． 3． 直线的斜率(1)定义：直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线斜率不存在； (2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 (x 1≠x 2)．若直线的倾斜角为θ (θ≠π2)，则k ＝tan_θ.4． 直线方程的形式及适用条件1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置． ( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． ( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． ( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × ) (6)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示． ( × ) (7)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(8)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 2． 如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．3． 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为_____________．答案 45°或135°解析 由|k |＝|tan α|＝1，知：k ＝tan α＝1或k ＝tan α＝－1.又倾斜角α∈[0°，180°)，∴α＝45°或135°.4． 直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为_________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π. 5． 过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．答案 x ＋y ＋1＝0或4x ＋3y ＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.思维启迪 本题考查斜率求解公式以及k 与α的函数关系，解题关键是在求倾斜角时要对其分锐角、钝角的讨论． 答案 [－1,1] [0，π4]∪[3π4，π)解析 如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k P A ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k P A <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角． 又k P A ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴－1≤k ≤1. 又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，π4]∪[3π4，π)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．(1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，5π6B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6答案 (1)B (2)B解析 (1)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.(2)由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.思维启迪 本题考查直线方程的三种形式，解题关键在于设出正确的方程形式． 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍． 解 (1)设直线l 在x 、y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya＝1，∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知：设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34. 又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0. 题型三 直线方程的综合应用例3 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程． 思维启迪 先求出AB 所在的直线方程，再求出A ，B 两点的坐标， 表示出△ABO 的面积，然后利用相关的数学知识求最值． 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1 (a >0，b >0)，点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3) (k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12. 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、均值不等式等)来解决．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. (3)解 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(5分)与点M (4,3)的距离为5，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________． 思维启迪 解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等，分类设出直线的方程求解．解析 当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0，∵点M (4,3)与所求直线的距离为5，∴|4＋3－a |2＝5，∴a ＝7±5 2.∴所求直线方程为x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0. 当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ， 即kx －y ＝0. 同理可得|4k －3|1＋k 2＝5，∴k ＝－43.∴所求直线方程为y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0. 答案 x ＋y －7－52＝0或x ＋y －7＋52＝0或4x ＋3y ＝0 温馨提醒 在选用直线方程时常易忽视的情况有(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况； (2)选用截距式时，忽视截距为零的情况； (3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2，故选D.2． 已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 答案 D解析 由题意得a ＋2＝a ＋2a，∴a ＝－2或a ＝1.3． 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( )A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3 答案 A解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.4． 两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是 ( )答案 A解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．5． 设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是 ( )A ．[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4答案 C解析 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C. 二、填空题6． 直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l的斜率是________． 答案 －23解析 设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2，∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23.7． 直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－12)∪(0，＋∞)解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或者－a a ＋1<0即可，解得－1<a <－12或者a <－1或者a >0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－12)∪(0，＋∞)．8． 若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案 16解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据均值不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 三、解答题9． 已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( )A ．－13B ．－3 C.13 D ．3答案 A解析 结合图形可知选A.2． 直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点( )A.⎝⎛⎭⎫－12，3 B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，－3 D.⎝⎛⎭⎫－12，－3 答案 D解析 ∵(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0恒成立， ∴2x ＋1＝0，y ＋3＝0，∴x ＝－12，y ＝－3，定点为(－12，－3)．3． 经过点P (1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0答案 B解析 方法一 直线过点P (1,4)，代入选项，排除A 、D ， 又在两坐标轴上的截距均为正，排除C.方法二 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，将(1,4)代入得1a ＋4b＝1，a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab)≥9，当且仅当b ＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小， ∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.4． 已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．答案 3解析 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2时，xy 取最大值3.5． 设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．6． 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．(1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程． 解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负． 设l ：y －4＝k (x －1)(k <0)．令y ＝0，可得A (1－4k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )． (1)|P A |·|PB |＝(4k)2＋16·1＋k 2 ＝－4k (1＋k 2)＝－4(1k ＋k )≥8.(注意k <0)∴当且仅当1k ＝k 且k <0即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值． 这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k)≥9.∴当且仅当k ＝4k 且k <0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.。

§1.1集合1．元素与集合(1)集合中元素的两个特性：确定性、互异性．(2)元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示方法有列举法、描述法和维恩(Venn)图法．(4)常见集合的符号表示A B或B A∅⊆A，∅B(B≠∅)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(2){1,2,3}＝{3,2,1}．(√)(3)∅＝{0}．(×)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. (×)(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N. (√)(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．(√) 2．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于() A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}答案 B解析∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．3．(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是() A．1 B．3 C．5 D．9答案 C－2，－1，0，1，2.解析x－y∈{}4．(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于() A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}答案 A解析化简集合M得M＝{x|－1<x<3，x∈R}，则M∩N＝{0,1,2}．5．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫34，43解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2， 所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎨⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.题型一 集合的基本概念例1 (1)已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“两性”．答案 (1)D (2)2解析 (1)由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ， 当y ＝1时，x 可取2,3,4,5，有4个； 当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个； 当y ＝4时，x 可取5，有1个． 故共有1＋2＋3＋4＝10(个)，选D. (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1，所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________. 答案 (1)C (2)0或98解析 (1)集合A 表示的是圆心在原点的单位圆，集合B 表示的是直线y ＝x ，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A ∩B 的元素个数为2. (2)∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素． 当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个(2)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. 答案 (1)A (2)4解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)． (2)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4. 题型三 集合的基本运算例3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩(∁R B )等于 ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}(2)(2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn 图计算． 答案 (1)C (2)－1 1解析 (1)A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．(2)先求出集合A ，再根据集合的交集的特点求解． A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ∈R |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋1≥0，x －3≤0，B ＝{x ∈Z |x －2>0}，则A ∩B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{3}C ．{2,3}D ．{x |－1≤x <2}(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________． 答案 (1)B (2)1或2解析 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x >2}， ∴A ∩B ＝{x ∈Z |2<x ≤3}＝{3}．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2.题型四 集合中的新定义问题例4 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]；②－3∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4思维启迪 解答本题要充分理解[k ]的意义，然后对选项逐一验证．答案 C解析 因为2 014＝402×5＋4， 又因为[4]＝{5n ＋4|n ∈Z }， 所以2 014∈[4]，故①正确；因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；因为所有的整数Z 除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确； 若a ，b 属于同一“类”，则有a ＝5n 1＋k ，b ＝5n 2＋k ， 所以a －b ＝5(n 1－n 2)∈[0]， 反过来，如果a －b ∈[0]，也可以得到a ，b 属于同一“类”，故④正确． 故有3个结论正确．思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“”，满足X Y ＝(∁U X )∪Y ，则对于任意集合X ，Y ，Z ，X (Y Z )等于( )A ．(X ∪Y )∪(∁U Z )B ．(X ∩Y )∪(∁U Z )C ．[(∁U X )∪(∁U Y )]∩ZD ．(∁U X )∪(∁U Y )∪Z 答案 D解析 因为X Y ＝(∁U X )∪Y ，所以Y Z ＝(∁U Y )∪Z ， 所以X (Y Z )＝(∁U X )∪(Y Z )＝(∁U X )∪(∁U Y )∪Z ，故选D.遗忘空集致误典例：(5分)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误：一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是忽略对字母的讨论，如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中元素的两个特性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图．这是数形结合思想的又一体现． 失误与防范1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解． 3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 4．Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)一、选择题1． (2013·重庆)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}答案 D解析 因为A ∪B ＝{1,2,3}，全集U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D. 2． 下列集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)} 答案 B解析 选项A 中的集合M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N 表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M 与N 不是同一个集合．选项C 中的集合M 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点组成的集合，集合N 表示由直线x ＋y ＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N ＝{y |x ＋y ＝1}＝R ，故集合M 与N 不是同一个集合．选项D 中的集合M 有两个元素，而集合N 只含有一个元素，故集合M 与N 不是同一个集合．对选项B ，由集合元素的性质，可知M ，N 表示同一个集合．3． 已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁S A ＝{3}，则实数a 等于 ( )A ．0或2B ．0C ．1或2D ．2答案 D解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4． 设集合M ＝{m ∈Z |m ≤－3或m ≥2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则(∁Z M )∩N 等于( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}答案 B解析 由已知，得∁Z M ＝{－2，－1,0,1}， N ＝{－1,0,1,2,3}，所以(∁Z M )∩N ＝{－1,0,1}．5． 已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 答案 B解析 ∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}． ∴M ∩N 的子集共有22＝4个．6． 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅答案 B解析因为A＝{x|x2－x－2<0}，所以A＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|－1<x<1}，画出数轴，可得B A.7．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．8. 设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A．3 B．4 C．7 D．8答案 C解析因为A＝{x∈N|y＝7x－x2－6}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．二、填空题9．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.10．已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝__________.答案{(0,1)，(－1,2)}解析A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．11．(2013·天津改编)已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________.答案{x|－2≤x≤1}解析易知A＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．12．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)1． 设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8答案 B解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.2． 已知集合M ＝{x |x x －1≥0，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3x 2＋1，x ∈R }，则M ∩N 等于 ( ) A ．∅B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x ≥1或x <0} 答案 C解析 由x x －1≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x (x －1)≥0， ∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}，M ∩N ＝{x |x >1}．3． 已知U ＝{x ∈Z |y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1}，M ＝{x ∈Z ||x －4|≤1}，N ＝{x ∈N |6x∈Z }，则集合{4,5}等于( ) A ．M ∩NB ．M ∩(∁U N )C ．N ∩(∁U M )D ．(∁U M )∪(∁U N )答案 B解析 集合U 为函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫9x －1的定义域内的整数集，由9x －1>0，即9－x x>0，解得0<x <9， 又x ∈Z ，所以x 可取1,2,3,4,5,6,7,8，故U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，解|x －4|≤1，得3≤x ≤5，又x ∈Z ，所以x 可取3,4,5，故M ＝{3,4,5}．集合N 是使6x为整数的自然数集合， 显然当x ＝1时，6x＝6； 当x ＝2时，6x＝3； 当x ＝3时，6x＝2； 当x ＝6时，6x＝1. 所以N ＝{1,2,3,6}．显然M ⊆U ，N ⊆U .而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N ，所以4∈M,4∈∁U N,5∈M,5∈∁U N ，即{4,5}＝M ∩(∁U N )．4． 已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x，x >2}，则∁U P ＝________. 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <12}， ∴∁U P ＝{y |y ≥12}＝⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5． 已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如右图所示，得c ≥1.6． 已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．。

第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．高考以考查通项公式及其性质为主，题型主要为：用归纳猜想法求通项；利用a n与S n的关系求通项；由递推数列的关系式求通项；判断数列的单调性等．1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成，其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n}．(2)通项公式：如果数列{a n}的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有、、、.2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、.(2)按项的增减规律分为、、和．递增数列⇔a n＋1a n；递减数列⇔a n＋1a n；常数列⇔a n＋1a n.递增数列与递减数列统称为．3．数列前n项和S n与a n的关系已知S n，则a n＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（nn4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n＝____________；(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n＝____________；(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n＝____________；(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n＝____________；(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n＝____________；(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为a n＝____________；(8)9，99，999，…的一个通项公式为a n＝.注：据此，很易获得数列1，11，111， (2)22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n－1)，…，89(10n－1)．【自查自纠】1．(1)项首项a1，a2，a3，…，a n，…(2)第n项n(3)函数值(4)a n a n－1(5)通项公式(解析法)列表法图象法递推公式2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列3．S1S n－S n－14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n(6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n n （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)nn 3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B .下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C .数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.故填a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.类型一 数列的通项公式已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．解：(1)各项的分子为22，32，42，52，…，分母比分子大1，因此该数列的一个通项公式为a n ＝（n ＋1）2（n ＋1）2＋1.(2)不妨令（n ＋1）2（n ＋1）2＋1＝0.98，得n 2＋2n －48＝。

专题二 高考中的三角函数的综合问题1． (2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件． 2． 已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a·b 的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 答案 B解析 f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 3． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2答案 B解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x <π2时，π6≤x ＋π6<2π3，f (x )的最大值是2.4． 已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB→的夹角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π4B.⎣⎡⎦⎤π4，512π C.⎣⎡⎦⎤512π，π2 D.⎣⎡⎦⎤π12，512π答案 D解析 由题意，得：OA →＝OC →＋CA →＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，所以点A 的轨迹是圆(x －2)2＋(y －2)2＝2，如图，当A 位于使向量OA →与圆相切时，向量OA →与向量OB →的夹角分别达到最大、最小值，故选D.5． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC 、ED ，则sin ∠CED ＝__________. 答案1010解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt △ADE 中，∠AED ＝45°， 在Rt △BCE 中，BE ＝2，BC ＝1， ∴CE ＝5，则sin ∠CEB ＝15，cos ∠CEB ＝25. 而∠CED ＝45°－∠CEB ， ∴sin ∠CED ＝sin(45°－∠CEB ) ＝22(cos ∠CEB －sin ∠CEB ) ＝22×⎝⎛⎭⎫25－15＝1010.方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解． 由题意得ED ＝2，EC ＝12＋22＝ 5. 在△EDC 中，由余弦定理得cos ∠CED ＝CE 2＋DE 2－DC 22CE ·DE ＝31010，又0<∠CED <π，∴sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.题型一 三角函数的图象和性质例1 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)＋sin(ωx －π6)－2cos 2ωx2，x ∈R (其中ω>0)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间．思维启迪 对三角函数的性质的讨论，首先要化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2(32sin ωx －12cos ωx )－1＝2sin(ωx －π6)－1. 由－1≤sin(ωx －π6)≤1，得－3≤2sin(ωx －π6)－1≤1，所以函数f (x )的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y ＝f (x )的周期为π， 所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin(2x －π6)－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．所以函数y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z )．思维升华 三角函数的图象和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图象求解．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[19π24，π]时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 f (x )＝sin 2x －2sin x cos x ＋3cos 2x ＝1－sin 2x ＋2cos 2x ＝2＋cos 2x －sin 2x ＝2＋2cos(2x ＋π4)．(1)函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为19π24≤x ≤π，所以116π≤2x ＋π4≤9π4.所以22≤cos(2x ＋π4)≤1. 所以3≤2＋2cos(2x ＋π4)≤2＋2，即3≤f (x )≤2＋ 2.所以函数f (x )的最小值为3，最大值为2＋ 2. 题型二 三角函数和解三角形例2 (2013·重庆)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 思维启迪 (1)利用余弦定理求C ；(2)由(1)和cos A cos B ＝325可求得A ＋B ，代入求tan α.解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22.又0<C <π，故C ＝3π4.(2)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2α＝25. 因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25， tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210.由①得tan 2α－5tan α＋4＝0，解得tan α＝1或tan α＝4.思维升华 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinB cos A ＝sin A cosC ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 解 (1)方法一 由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.方法二 由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一 因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.方法二 因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝ 1＋34＝72. 题型三 三角函数与平面向量的综合应用例3 已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．思维启迪 (1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC 中，求出∠A 的范围，再求f (A )的取值范围． 解 (1)m·n ＝3sin x 4·cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x2＋1＋cosx22＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，∵m·n ＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12.∵cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝12， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1. 又∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12. ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，32. 思维升华 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．已知a ＝(53cos x ，cos x )，b ＝(sin x,2cos x )，设函数f (x )＝a ·b ＋|b |2＋32.(1)当x ∈[π6，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)当x ∈[π6，π2]时，若f (x )＝8，求函数f (x －π12)的值；(3)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的表达式并判断奇偶性． 解 (1)f (x )＝a ·b ＋|b |2＋32＝53sin x cos x ＋2cos 2x ＋4cos 2x ＋sin 2x ＋32＝53sin x cos x ＋5cos 2x ＋52＝532sin 2x ＋5×1＋cos 2x 2＋52＝5sin(2x ＋π6)＋5.由π6≤x ≤π2，得π2≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，∴当π6≤x ≤π2时，函数f (x )的值域为[52，10]．(2)f (x )＝5sin(2x ＋π6)＋5＝8，则sin(2x ＋π6)＝35，所以cos(2x ＋π6)＝－45，f (x －π12)＝5sin 2x ＋5＝5sin(2x ＋π6－π6)＋5＝332＋7.(3)由题意知f (x )＝5sin(2x ＋π6)＋5→g (x )＝5sin[2(x －π12)＋π6]＋5－5＝5sin 2x ，即g (x )＝5sin 2x ，g (－x )＝5sin(－2x )＝－5sin 2x ＝－g (x )， 故g (x )为奇函数．(时间：80分钟)1． 函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )；(2)函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图象；(3)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0<a <1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和． 解 (1)∵T ＝2(712π－π4)＝23π，∴ω＝3，又∵sin(34π＋φ)＝1，∴3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|<π2，得φ＝－π4，∴函数的解析式为f (x )＝sin(3x －π4)．(2)y ＝sin x 的图象向右移π4个单位，得到y ＝sin(x －π4)的图象，再由y ＝sin(x －π4)的图象上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得到y ＝sin(3x －π4)的图象． (3)∵f (x )＝sin(3x －π4)的最小正周期为23π，∴f (x )＝sin(3x －π4)在[0,2π]内恰有3个周期，∴sin(3x －π4)＝a (0<a <1)在[0,2π]内有6个实数根且x 1＋x 2＝π2.同理，x 3＋x 4＝11π6，x 5＋x 6＝196π，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.2． (2013·安徽)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．3． (2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos 2A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.4． 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， ∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35.5. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值．解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32.又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )＝2sin(32x ＋π4)．(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)， ∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)， ∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4， ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，[g (x )]max ＝4. 6． 设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由△ABC 为锐角三角形可得B ＝π6. (2)由(1)可知A ＋C ＝π－B ＝5π6，故C ＝5π6－A . 故cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝32cos A ＋32sin A ＝3⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3， 由△ABC 为锐角三角形可得，0<C <π2， 故0<5π6－A <π2，解得π3<A <5π6， 又0<A <π2，所以π3<A <π2. 故2π3<A ＋π3<5π6，所以12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 所以32<3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32， 即cos A ＋sin C 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，32.。

第六单元 数列与算法第30讲 数列的概念与通项公式1.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，且a 8＝3421，则a 3＝( )A.32B.53C.85D.1382.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．643.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则其通项公式a n ＝( )A ．3·2n －1B ．2·3n －1 C ．2n D ．3n4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．555.已知数列{a n }中，a 1＝20，a n ＋1＝a n ＋2n －1，n ∈N *，则该数列{a n }的通项公式为________．6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn)(n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式a n ＝ .7.在数列{a n }中，a n ＝4n －52，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N *，其中a ，b 为常数，则ab ＝______.8.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2，3，…)，求a n .9.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，(n ∈N *)． (1)求通项a n ； (2)若b n ＝2n ·(a n －12)(n ∈N *)，求数列{b n }的最小项．第31讲等差数列的概念及基本运算1.设{a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝()A．18 B．20C．22 D．242.设数列{a n}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，S n是数列{a n}的前n项和，则有()A．S9<S10B．S9＝S10C．S11<S10D．S11＝S103.若等差数列{a n}满足a n a n＋1＝n2＋3n＋2，则公差为()A．1 B．2C．1或－1 D．2或－24.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差为d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()A．8 B．7C．6 D．55.已知数列{a n}中，a1＝－1，a n＋1·a n＝a n＋1－a n，则数列{a n}的通项公式为________．6.已知等差数列{a n}，若a1＝3，前三项和为21，则a4＋a5＋a6＝______.7.等差数列{a n}的公差d<0，且a21＝a211，则数列{a n}的前n项和S n取最大值时n＝________.8.已知数列{a n}中，a1＝35，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，数列{b n}满足b n＝1a n－1(n∈N*)．(1)求证：{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}中的最大项与最小项，并说明理由．9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a4＝－12，a8＝－4.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及其相应的n的值；(3)从数列{a n}中依次取出a1，a2，a4，a8，…，a2n－1，…构成一个新的数列{b n}，求{b n}的前n项和．第32讲 等比数列的概念及基本运算1.已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2＝2,2a 3＋a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －2B ．22－nC ．2n －1 D ．2n2.等比数列{a n }的公比q ＝12，a 8＝1，则S 8＝( )A ．254B ．255C ．256D ．2573.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13 B.13C ．－12 D.124.已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( ) A ．8 B ．6 C ．－8 D ．－65.已知数列{a n }为等比数列，且a 5＝4，a 9＝64，则a 7＝ .6.等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.7.设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.8.设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＝32(1a 3＋1a 4)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)b n ＝a 2n ＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .9.已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用1.在等差数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20－a 10等于( ) A.52 B.25 C.52或－52 D.25或－252.已知公比为2的等比数列{a n }中，a 2＋a 4＋a 6＝3，则a 5＋a 7＋a 9＝( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．63.设S n 表示等比数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，已知S 10S 5＝3，则S 15S 5＝( )A ．3B ．5C ．7D ．94.已知{a n }是等比数列，a 2＝4，a 5＝32，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．8(2n －1) B.83(4n －1)C.163(2n －1)D.23(4n －1) 5.在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.6.已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝______.7.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝________.8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，S 5＝4a 3＋6，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{1S n}的前n 项和．9.设各项均不为0的数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，且λa n ＋b n ＝1(λ∈R ，λ＞0)． (1)探求a n 、b n 、b n －1之间的关系式；(2)设λ＝1，求证：数列{1b n}是等差数列；(3)设λ＝2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <23.第34讲 数列求和1.若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2 D ．2n ＋n 2－22.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋2)，则S 10等于( )A.175264B.7255C.1012D.11123.已知数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ab n }前10项的和M 10等于( )A ．511B ．512C ．1023D ．10334.数列{(3n －1)·4n －1}的前n 项和S n ＝( )A ．(n －23)·4n ＋23B ．(n －23)·4n ＋1＋23C ．(n －23)·4n －1＋23D ．(n －23)·4n ＋435.已知等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝ .6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋5，则a 5＋a 6＋a 7＝______.7.已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.8.数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．9.已知f (x )＝－4＋1x 2，点P n (a n ，－1a n ＋1)在曲线y ＝f (x )(n ∈N *)上且a 1＝1，a n >0.(1)求证：数列{1a 2n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a 2n ·a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N *，存在正整数t ，使得S n <t 2－t －12恒成立，求最小正整数t 的值．第35讲 数列模型及综合应用1.某工厂2012年年底制订生产计划，要使工厂的总产值到2022年年底在原有基础上翻两番，则年平均增长率为( )A ．5110－1B ．4110－1C ．3110－1D ．4111－12.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．1＋log 35D ．2＋log 353.已知函数f (x )＝3x 2＋bx ＋1是偶函数，g (x )＝5x ＋c 是奇函数．若a 1＝1，f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，则正数数列{a n }的通项公式为( )A ．(23)n －1B ．(32)n －1C ．(23)nD ．(32)n4.已知f (x )＝sin 2x ，若等差数列{a n }的第5项的值为f ′(π6)，则a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝( )A ．2B ．4C ．8D ．165.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为______．6.王老师从2011年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2018年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回______元．7.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是________．8.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件；若做广告宣传，广告费为n 千元比广告费为n －1千元时多卖出b2n (n ∈N *)件．(1)试写出销售量S n 与n 的函数关系式；(2)当a ＝10，b ＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？9.已知正数数列{a n }中，a 1＝2.若关于x 的方程x 2－a n ＋1x ＋2a n ＋14＝0(n ∈N *)对任意自然数n 都有相等的实根．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)．第36讲算法与程序框图1.以下结论正确的是()A．任何一个算法都必须有的基本结构是条件结构B．任何一个算法都必须有的基本结构是顺序结构C．在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断的是循环结构D．在算法的逻辑结构中，要求根据结果进行不同处理的是顺序结构2.下面的问题中必须用选择结构才能实现的个数是()①已知三角形的三边长，求三角形的面积；②求方程ax＋b＝0(a，b为常数)的根；③求三个实数a，b，c中的最大者；④求1＋2＋3＋…＋100的值．A．4 B．3C．2 D．13.执行如图的程序框图，若输出的n＝5，则输入整数p的最小值是()A．6 B．7C．8 D．15(第3题)(第4题)4.已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填()A．2 B．3C．5 D．75.执行如图所示的程框图，若输入x＝4，则输出y的值为________．(第5题)(第6题)6.下图给出了一个算法流程图．若给出实数a，b，c为a＝4，b＝x2，c＝2x2－3x＋2，输出的结果为b，则实数x的取值范围是__________．7.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4(单位：吨)，根据下图所示的程序框图，若x 1、x 2、x 3、x 4分别为1、1.5、1.5、2，则输出的结果s 为________．8.试写出一个求分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1 (x ≥4)x 2－2x ＋3 (x <4)的函数值的算法，并画出框图．9.某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元；如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(假定通话时间均为整数，不足1分钟按1分钟计)．试设计一个计算通话费用的算法．要求画出流程图．第37讲基本算法语句和算法案例1.下列关于“赋值语句”叙述正确的是()A．3.6＝x是赋值语句B．利用赋值语句可以进行代数式的化简C．赋值语句中的等号与数学中的等号意义相同D．赋值语句的作用是先计算出赋值号右边表达式的值，然后把该值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值2.当a＝3时，下面的程序段输出的结果是()IF a<10THENy＝2]A．9 B．3C．10 D．63.读下面的甲、乙两程序：甲乙i＝1S＝0WHILE i<＝1000 S＝S＋ii＝i＋1WENDPRINT SENDi＝1000S＝0DOS＝S＋ii＝i－1LOOP UNTIL i<1 PRINT SEND对甲、乙两程序和输出的结果判断正确的是()A．程序不同，结果不同B．程序不同，结果相同C．程序相同，结果不同D．程序相同，结果相同 4.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x4＋3x3＋2x2＋6x＋1当x＝0.5时的值，需要做乘法的次数是()A．9 B．14C．4 D．55.程序如下：t＝1i＝2WHILE i<＝4t＝t×ii＝i＋1WENDPRINT t以上程序输出的结果是________．6.若k进制数123(k)与十进制数38(10)相等，则k＝.7.程序如下，若输入10,20,30，则输出结果为__________．INPUT“a，b，c＝”；a，b，ca＝bb＝cc＝aPRINT a，b，c8.用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.00833x5＋0.04167x4＋0.16667x3＋0.5x2＋x＋1，当x＝－0.2时的值．9.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．第六单元 数列与算法第30讲 数列的概念与通项公式1．A 由a 8＝3421＝1＋1a 7，得a 7＝2113＝1＋1a 6. 类似有a 6＝138＝1＋1a 5，a 5＝85＝1＋1a 4，a 4＝53＝1＋1a 3，从而a 3＝32，故选A. 2．A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15.3．B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1，又a 1＝S 1＝31－1＝2满足2·3n －1，故选B.4．C 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5.5．a n ＝n 2－2n ＋21 因为a n ＋1－a n ＝2n －1，所以a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，…，a n －a n －1＝2n －3，n ≥2，以上各式相加可得a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)⇒a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21(n ≥2)． 又a 1＝20适合上式，故a n ＝n 2－2n ＋21.6．6n －5 因为S n n＝3n －2，所以S n ＝3n 2－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2(n ∈N *)时，a n ＝S n －S n －1＝6n －5.所以a n ＝6n －5.7．－1 因为a n ＝4n －52， a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －[a (n －1)2＋b (n －1)]＝2an －a ＋b ，所以a ＝2，b ＝－12，则ab ＝－1. 8．解析：因为a n ＋1＝13S n ，所以a n ＝13S n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)， 所以a n ＋1＝43a n (n ≥2)． 又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13， 所以{a n }是从第2项起，公比为43的等比数列， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (n ＝1)13·(43)n －2 (n ≥2，n ∈N *). 9．解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.又n ＝1时，a 1＝2×1＋1＝3成立，所以a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)b n ＝2n ·(a n －12)＝2n ·(2n －11)，由⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤b n ＋1b n ≤b n －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧2n ·(2n －11)≤2n ＋1·(2n －9)2n ·(2n －11)≤2n －1·(2n －13) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ≥3.5n ≤4.5， 所以3.5≤n ≤4.5，所以n ＝4，所以最小项为b 4＝－48.第31讲 等差数列的概念及基本运算1．B 由S 11＝S 10⇒a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11－10d ＝0－10×(－2)＝20.2．B 由题意得，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 15－a 215－2＝1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2＋(n －2)d ＝n －10，则a 10＝0，所以S 9＝S 10，故选B.3．C a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝n ＋1或a n ＝－n －1，公差为1或－1，故选C.4．D 由题意S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋(k ＋1)d ＋a 1＋kd ＝24⇒k ＝5.5．a n ＝－1n 由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1， 即1a n ＋1－1a n＝－1，又1a 1＝－1， 则数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列， 于是1a n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1n. 6．57 由条件知3×3＋3d ＝21，d ＝4，所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×3＋4×12＝57.7．5或6 由题意知a 21＝a 211＝(a 1＋10d )2＝a 21＋20a 1d ＋100d 2，即a 1＝－5d ，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (n －11)2d ， 故当n ＝5或6时，S n 最大．8．解析：(1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1 ＝a n a n －1－1a n －1＝1，所以{b n }是公差为1的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝b 1＋(n －1)×1＝135－1＋(n －1)＝n －72， 所以1a n －1＝n －72，所以a n ＝2n －52n －7， 又a n ＝1＋1n －72， 由函数y ＝1＋1x －72的图象可知，n ＝4时，a n 最大；n ＝3时，a n 最小，所以最大项为a 4，最小项为a 3.9．解析：(1)设公差为d ，由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－12a 8＝－4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝－12a 1＋7d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－18d ＝2. 所以a n ＝2n －20.(2)由数列{a n }的通项公式可知，当n ≤9时，a n <0；当n ＝10时，a n ＝0；当n ≥11时，a n >0.所以当n ＝9或n ＝10时，S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90.(3)记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知b n ＝a 2n －1＝2×2n －1－20＝2n －20.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n＝2－2n ＋11－2－20n ＝2n ＋1－20n －2.第32讲 等比数列的概念及基本运算1．C 设等比数列的首项及公比分别为a 1，q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝22a 1q 2＋a 1q 3＝16，由此可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2， 故数列的通项公式为a n ＝2n －1，故选C.2．B 由a 8＝1，q ＝12，得a 1＝27. 所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝27[1－(12)8]1－12＝28－1＝255. 3．A 因为等比数列前n 项和可写为形如S n ＝kq n －k ，所以－a 2＝16，解得a ＝－13，故选A. 4．A S 4＝60，q ＝2⇒a 1(1－24)1－2＝60⇒a 1＝4，故a 2＝8，故选A. 5．16 因为a 5，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 5·a 9＝256.又a 5，a 7，a 9符号相同，所以a 7＝16.6.152由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1， 即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2.又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝12(1－24)1－2＝152. 7．15 对于S 4＝a 1(1－q 4)1－q，a 4＝a 1q 3，所以S 4a 4＝1－q 4q 3(1－q )＝15. 8．解析：(1)由题意得a 1a 2＝2，a 3a 4＝32，即a 21q ＝2，a 21q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2.所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝4n －1＋(n －1)，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(1＋0)＋(41＋1)＋(42＋2)＋…＋[4n －1＋(n －1)]＝(1＋41＋42＋…＋4n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝4n －13＋(n －1)n 2.9．解析：(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N *)． 又由a 1＝2，得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－2.所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4. 第33讲 等差、等比数列的性质及综合应用1．C 由等差数列性质，a 4＋a 14＝a 7＋a 11＝5，又a 7·a 11＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝2a 11＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝3a 11＝2， 此时d ＝a 11－a 711－7＝14或－14. 所以a 20－a 10＝10d ＝52或－52. 2．C 由题意a 5＋a 7＋a 9＝a 2·q 3＋a 4·q 3＋a 6·q 3＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)＝23×3＝24.3．C 由等比数列的前n 项和性质得S 10＝S 5＋S 5·q 5(q 为公比)．又S 10S 5＝1＋q 5＝3，则q 5＝2. 又S 15＝S 5＋(S 10－S 5)＋(S 15－S 10)＝S 5(1＋q 5＋q 10)＝7S 5，所以S 15S 5＝7. 4．B 由题意得等比数列{a n }的首项a 1＝2，公比q ＝2，则数列{a n a n ＋1}构成首项为8，公比为4的等比数列，所以S n ＝8×(1－4n )1－4＝83(4n －1)，故选B. 5．240 由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6．8 由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83， 由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8.7.12 由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列， 则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1， 即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12. 8．解析：(1)因为S 5＝4a 3＋6，所以5a 1＋5×42d ＝4(a 1＋2d )＋6.① 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1＋8d )＝(a 1＋2d )2.②由①②及d ≠0可得a 1＝2，d ＝2，所以a n ＝2n .(2)由a n ＝2n 可知S n ＝(2＋2n )×n 2＝n 2＋n . 所以1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＋1S n＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 所以数列{1S n }的前n 项和为n n ＋1. 9．解析：(1)由数列{a n }的前n 项之乘积是b n ，得a 1＝b 1，a n ＝b n b n －1. (2)令n ＝1，得λa 1＋b 1＝1，又a 1＝b 1，所以b 1＝1λ＋1，因为λ＝1，所以b 1＝12. 当n ≥2时，将a n ＝b n b n －1代入a n ＋b n ＝1中，得b n b n －1＋b n＝1， 则1b n ＝1b n －1＋1，数列{1b n }是以1b 1＝2为首项，以1为公差的等差数列． (3)因为2a 1＋b 1＝1，a 1＝b 1，所以3b 1＝1，b 1＝13. 当λ＝2时，将a n ＝b n b n －1代入2a n ＋b n ＝1中，得2b n b n －1＋b n＝1， 则1b n ＝2b n －1＋1，所以1b n ＋1＝2(1b n －1＋1)． 所以{1b n ＋1}是以1b 1＋1＝4为首项，以2为公比的等比数列． 所以1b n ＋1＝4·2n －1，解得b n ＝12n ＋1－1. 因为12n ＋1－1＜12n ＋1－2＝12·12n －1， 所以b n ＜12b n －1(n ∈N *，n ≥2)， 所以b 1＋b 2＋…＋b n≤b 1＋12b 1＋122b 1＋…＋12n －1b 1 ＝b 1·1－12n 1－12<b 11－12＝23， 即λ＝2时，b 1＋b 2＋…＋b n <23. 第34讲 数列求和1．C S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝2(1－2n )1－2＋n (1＋2n －1)2＝2n ＋1－2＋n 2.2．A S 10＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋19×11＋110×12＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(19－111)＋(110－112)] ＝12(1＋12－111－112) ＝175264. 故选A.3．D a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，依题意得M n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n －1＋1)＝2n －1＋n ，M 10＝210＋10－1＝1033，故选D.4．A S n ＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n －1)·4n －1，①4S n ＝4×2＋5×42＋…＋(3n －1)·4n ，②②－①得：3S n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋(3n －1)·4n＝2＋(3n －2)4n ，所以S n ＝(n －23)·4n ＋23，故选A. 5．33 由a 3＝a 2＋2，得d ＝2，所以a 6＝3，故S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝33. 6．39 a 5＋a 6＋a 7＝S 7－S 4＝39.7.511512 由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12， a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n ，因此S 9＝1－(12)9＝511512. 8．解析：(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得， a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)， 又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)． 从而S n ＝13×[1－(13)n ]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *)． (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327. 由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 9．解析：(1)因为－1a n ＋1＝－4＋1a 2n ，所以1a 2n ＋1－1a 2n＝4， 所以{1a 2n}是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以1a 2n ＝4n －3，因为a n >0，所以a n ＝14n －3. (2)b n ＝a 2n ·a 2n ＋1＝1(4n －3)(4n ＋1)＝14(14n －3－14n ＋1)． 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14[(1－15)＋(15－19)＋…＋(14n －3－14n ＋1)] ＝14(1－14n ＋1)<14. 对于任意的n ∈N *使得S n <t 2－t －12恒成立， 所以只要14≤t 2－t －12， 所以t ≥32或t ≤－12， 所以存在最小的正整数t ＝2符合题意．第35讲 数列模型及综合应用1．B 设2012年底总产值为a ，年平均增长率为x ，则a (1＋x )10＝4a ⇒x ＝4110－1.(切记翻两番为原来的4倍，而不是2倍) 2．B log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝log 3(310)＝10.3．A f (x )是偶函数⇒b ＝0，所以f (x )＝3x 2＋1，g (x )是奇函数⇒c ＝0，所以g (x )＝5x ，又f (a n ＋a n ＋1)－g (a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，即3(a n ＋a n ＋1)2＋1－5(a n ＋1a n ＋a 2n )＝1，(a n ＋a n ＋1)[3(a n ＋a n ＋1)－5a n ]＝0.由于{a n }为正数数列，即a n >0，故3(a n ＋a n ＋1)＝5a n ，a n ＋1a n ＝23，又a 1＝1， 所以{a n }是等比数列，且a n ＝(23)n －1(n ∈N *)． 4．B 因为f ′(x )＝2cos 2x ，所以a 5＝f ′(π6)＝2cos π3＝1， 所以a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝(a 1＋a 9)(a 8＋a 2)＝2a 5·2a 5＝4，故选B.5．8 设五位同学依次报出的数字构成的数列为{a n }，则a 1＝2，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝8，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，……易知此{a n }(n ≥3)是周期为6的数列，所以a 2014＝a 6×335＋4＝a 4＝8.6.a (1＋r )8－a (1＋r )r复利问题，本题为等比数列模型． a (1＋r )7＋a (1＋r )6＋…＋a (1＋r )＝a (1＋r )[1－(1＋r )7]－r＝a (1＋r )8－a (1＋r )r . 7．7月、8月 当n ＝1时，a 1＝S 1＝16. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 230＋n 2－310， 即a n ＝－n 230＋n 2－310. 当n ＝7或n ＝8时，a n >1.5.8．解析：(1)设S 0表示广告费为0元时的销售量．由题意知S n －S n －1＝b 2n ， S n －1－S n －2＝b 2n －1， ……S 2－S 1＝b 22，S 1－S 0＝b 2， 将上述各式相加得，S n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n ＝b [1－(12)n ＋1]1－12＝b ·(2－12n )． (2)当a ＝10，b ＝4000时，设获利为T n 元．由题意知T n ＝10S n －1000n ＝40000·(2－12n )－1000n . 欲使T n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ T n ≥T n －1T n ≥T n ＋1，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5n ≥5. 所以n ＝5，此时S 5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．9．解析：(1)由题意得Δ＝a n ＋1－2a n －1＝0，即a n ＋1＝2a n ＋1，进而可得a 2＝5，a 3＝11.(2)证明：由于a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．因为a 1＋1＝3≠0，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，公比为2的等比数列，则数列{1a n ＋1}是以13为首项，公比为12的等比数列． 于是11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n＝13(1＋12＋122＋…＋12n －1) ＝13·1－(12)n 1－12＝23[1－(12)n ] <23， 所以11＋a 1＋11＋a 2＋11＋a 3＋…＋11＋a n <23(n ∈N *)． 第36讲 算法与程序框图1．B 由顺序结构、条件结构和循环结构的含义可知应选B.2．C 只有②③符合条件，故选C.3．C 执行如图的程序框图，n ＝1，S ＝1；n ＝2，S ＝3；n ＝3，S ＝7；n ＝4，S ＝15；n ＝5输出，则p ＝8为最小值，故选C.4．B 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16，所以当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B.5．－54 第1次循环后，y ＝1，x ＝1；第2次循环后，y ＝－12，x ＝－12；第3次循环后，y ＝－54. 6．{x |x ＝2或－2≤x ≤1} 流程图的算法功能是求实数a ，b ，c 的最小值，则b ≤a ，b ≤c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2≤4x 2≤2x 2－3x ＋2， 解得x ＝2或－2≤x ≤1.7.32第一(i ＝1)步：s 1＝s 1＋x i ＝0＋1＝1； 第二(i ＝2)步：s 1＝s 1＋x i ＝1＋1.5＝2.5；第三(i ＝3)步：s 1＝s 1＋x i ＝2.5＋1.5＝4；第四(i ＝4)步：s 1＝s 1＋x i ＝4＋2＝6，s ＝14×6＝32； 第五(i ＝5)步：i ＝5>4，输出s ＝32. 8．解析：第一步：输入实数a ；第二步：若a ≥4，则执行第三步，否则执行第四步；第三步：输出2a －1；第四步：输出a 2－2a ＋3.9．解析：该题涉及分段函数，故设y (单位：元)表示通话费，t (单位：分钟)表示通话时间，则依题意有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.2 (0<t ≤3)0.2＋0.1(t －3) (t >3，t ∈N *)0.2＋0.1([t －3]＋1) (t >3，但t ∉N *).流程图如图所示：第37讲 基本算法语句和算法案例1．D 2.D 3.B4．C v 1＝3x ＋3，v 2＝v 1x ＋2，v 3＝v 2x ＋6，v 4＝v 3x ＋1，共需4次乘法，故选C.5．24 第1次运行后，t ＝2，i ＝3；第2次运行后，t ＝6，i ＝4；第3次运行后，t ＝24，i ＝5.6．5 由k 进制数123可判断k ≥4，若k ＝4，38(10)＝212(4)不成立．若k ＝5，38(10)＝123(5)成立，所以k ＝5.7．20,30,20 给a ，b ，c 赋初值分别为10,20,30，执行a ＝b 后a 的值为20，执行b ＝c 后b 的值为30，执行c ＝a 后c 的值为20.8．解析：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f (x )＝((((0.00833x ＋0.04167)x ＋0.16667)x ＋0.5)x ＋1)x ＋1.按照从内到外的顺序依次计算一次多项式，当x ＝－0.2时的值：v 0＝0.00833，v 1＝0.00833×(－0.2)＋0.04167＝0.04，v 2＝0.04×(－0.2)＋0.16667＝0.15867，v 3＝0.15867×(－0.2)＋0.5＝0.46827，v4＝0.46827×(－0.2)＋1＝0.90635，v5＝0.90635×(－0.2)＋1＝0.81873，所以当x＝－0.2时，多项式的值为0.81873.9．解析：购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．程序框图如下：程序如下：m＝60a＝150S＝0S＝S＋ai＝1WHILE i<＝20S＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1 WENDPRINT SEND。

§7.2 均值不等式1． 均值不等式ab ≤a ＋b2(1)均值不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2． 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 3． 算术平均值与几何平均值设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均值为a ＋b 2，几何平均值为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值． 4． 利用均值不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)ab ≤(a ＋b 2)2成立的条件是ab >0.( × ) (3)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × )(4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( × ) (5)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × ) (6)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．( √ ) 2． 当x >1时，关于函数f (x )＝x ＋1x －1，下列叙述正确的是( )A ．函数f (x )有最小值2B ．函数f (x )有最大值2C ．函数f (x )有最小值3D ．函数f (x )有最大值3答案 C3． 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4． 设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.5． (2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值．答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b4|a |＋|a |b≥2 b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.题型一 利用均值不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 思维启迪 利用均值不等式求最值可以先对式子进行必要的变换．如第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用均值不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用均值不等式． 答案 (1)3＋22 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．思维升华 (1)利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．(2)在求最值过程中若不能直接使用均值不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用均值不等式．(1)已知正实数x ，y 满足xy ＝1，则(x y ＋y )·(yx＋x )的最小值为________．(2)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 (1)4 (2)3解析 (1)依题意知，(x y ＋y )(y x ＋x )＝1＋y 2x ＋x 2y ＋1≥2＋2y 2x ×x 2y＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故(x y ＋y )·(yx ＋x )的最小值为4.(2)∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 题型二 不等式与函数的综合问题例2 (1)已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．思维启迪 对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围． 答案 (1)B (2)[－83，＋∞)解析 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22(当且仅当3x ＝23x ，即x ＝log 32时，等号成立)， ∴k ＋1<22，即k <22－1.(2)对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)．思维升华 (1)a >f (x )恒成立⇔a >(f (x ))max ， a <f (x )恒成立⇔a <(f (x ))min ；(2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用均值不等式的问题可考虑利用函数的单调性．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．－2C ．－52 D ．－3答案 C解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0. 当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立．又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.题型三 均值不等式的实际应用例3 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪 把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200元列等式，利用均值不等式即可求解．解 设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由均值不等式得3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故0<S ≤10，从而0<S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．思维升华 对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的范围，然后再利用均值不等式求最值．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件(2)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．答案 (1)B (2)乙解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.(2)设原价为1，则提价后的价格为 方案甲：(1＋p %)(1＋q %)， 方案乙：(1＋p ＋q 2%)2，因为(1＋p %)(1＋q %)≤1＋p %2＋1＋q %2＝1＋p ＋q2%， 且p >q >0，所以(1＋p %)(1＋q %)<1＋p ＋q2%，即(1＋p %)(1＋q %)<(1＋p ＋q 2%)2，所以提价多的方案是乙．忽视均值不等式等号成立的条件致误典例：(10分)(1)(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245 B.285 C ．5D ．6(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的最小值为________．易错分析 (1)对x ＋3y 运用均值不等式得xy 的范围，再对3x ＋4y 运用均值不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x <0这个条件误用均值不等式得2x ＋3x ≥2 6.解析 (1)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5， 当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 有最小值1＋2 6. 答案 (1)C (2)1＋2 6温馨提醒 (1)利用均值不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用均值不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.方法与技巧1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点．2．对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件． 失误与防范1．使用均值不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用均值不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0. ∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝34.当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．2． 若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2.∵x >2，∴x －2>0. ∴f (x )＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，“＝”成立． 又f (x )在x ＝a 处取最小值．∴a ＝3.3． 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地相距s ，则小王往返两地用时为s a ＋sb ，从而v ＝2s s a ＋s b＝2aba ＋b. ∵0<a <b ，∴ab <a ＋b 2，2ab a ＋b >2ab2b＝a ， ∴2a ＋b <1ab ，即2ab a ＋b<ab ， ∴a <v <ab .4． 若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14 B ．1 C ．4 D ．8 答案 C解析 由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a >0b >0.故1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥1(a ＋b 2)2＝1(12)2＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时上式取“＝”．5． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 应用均值不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意均值不等式的应用条件及取等号的条件． 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 运用均值不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由均值不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．二、填空题6． 设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________．答案 9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9， 当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．7． 已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为________． 答案 94解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，因为f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.8． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 三、解答题9． (1)已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值；(2)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值．解 (1)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )．∵0<x <25，∴5x <2,2－5x >0，∴5x (2－5x )≤(5x ＋2－5x 2)2＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(2)∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1，∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋2 8y x ·2xy＝18， 当且仅当8y x ＝2x y ，即x ＝23，y ＝13时等号成立，∴8x ＋2y的最小值是18. 10．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米． 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x)＋248×2x ＋80×162 ＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296(x ＋100x)＋12 960 ≥1 296×2 x ·100x＋12 960 ＝38 880(元)，当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号． ∴当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴818≤x ≤16. 设g (x )＝x ＋100x (818≤x ≤16)， g (x )在[818，16]上是增函数， ∴当x ＝818时(此时162x＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×(818＋80081)＋12 960＝38 882(元)． ∴当污水处理池的长为16米，宽为818米时总造价最低，总造价最低为38 882元． B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1． 已知a >0，b >0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析 因为a >0，b >0，所以由m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b 恒成立．因为3b a ＋3a b ≥2 3b a ·3a b＝6， 当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16， 所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.2． (2013·山东)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3 答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1， 当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2 ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.3． 定义“*”是一种运算，对于任意的x ，y ，都满足x *y ＝axy ＋b (x ＋y )，其中a ，b 为正实数，已知1*2=4，则ab 取最大值时a 的值为 .答案 1解析 ∵1*2=4，∴2a+3b=4，∵2a +3b ≥∴ab ≤23. 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝1时等号成立，所以当a ＝1时，ab 取最大值23. 4． (1)若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，求xy 的最小值．(2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值． 解 (1)xy ＝2x ＋y ＋6≥22xy ＋6，令xy ＝t 2，可得t 2－22t －6≥0，注意到t >0，解得t ≥32，故xy 的最小值为18.(2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t >0)，∴y ＝(t －1)2＋7(t －1)＋10t＝t ＋4t ＋5≥2 t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.5． 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N ＋)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N ＋)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝443 23， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．。

专题六 高考中的概率与统计问题1． (2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C解析 x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s 2男＝15[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2]＝8， s 2女＝15[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6. 2． 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 答案 C解析 ∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.3． (2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记D (ξ1)、D (ξ2)分别为ξ1、ξ2的方差，则 ( )A ．D (ξ1)>D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)<D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 答案 A解析 E (ξ1)＝0.2x 1＋0.2x 2＋0.2x 3＋0.2x 4＋0.2x 5 ＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)．E (ξ2)＝0.2×x 1＋x 22＋0.2×x 2＋x 32＋…＋0.2×x 5＋x 12＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． ∴E (ξ1)＝E (ξ2)，记作x ，∴D (ξ1)＝0.2[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]＝0.2[x 21＋x 22＋…＋x 25＋5x 2－2(x 1＋x 2＋…＋x 5)x ] ＝0.2(x 21＋x 22＋…＋x 25－5x 2)．同理D (ξ2)＝ 0．2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＋…＋⎝⎛⎭⎫x 5＋x 122－5x 2.∵⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，…，⎝⎛⎭⎫x 5＋x 122<x 25＋x 212. ∴⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＋…＋⎝⎛⎭⎫x 5＋x 122<x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25.∴D (ξ1)>D ( ξ2)．4． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78 答案 C解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤40≤y ≤4|x －y |≤2，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABCS 正方形＝4×4－2×12×2×24×4＝1216＝34. 5． (2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 答案 35解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 由古典概型概率公式得P ＝432720＝35.题型一 求事件的概率例1 某项专业技术认证考试按科目A 和科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B每次考试成绩合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否互不影响．(1)求他不需要补考就可获得证书的概率．(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率．思维启迪 准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键． 解 设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2，“科目B 第一次考试合格”为事件B 1，“科目B 补考合格”为事件B 2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立．(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M ， 则P (M )＝P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＝23×12＝13.(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次” 分别为事件E ，C ，D .则P (E )＝P (A 1B 1＋A 1 A 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (A 2)＝23×12＋13×13＝49，P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 1)＝P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)·P (B 1) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝49， P (D )＝P (A 1A 2B 1B 2＋A 1A 2B 1 B 2)＝P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2) ＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19. (另解：P (D )＝1－P (E ∪C )＝1－P (E )－P (C )＝1－49－49＝19)．思维升华 (1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为19(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有影响)．(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率．解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P 1， 则(1－P 1)2＝19，故选手甲答对一个问题的正确率P 1＝23.(2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为(23)3＝827；选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C 23(23)2·13·23＝827； 选手甲答了5道题目进入决赛的概率为C 24(23)2·(13)2·23＝1681. ∴选手甲可以进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝6481.题型二 求离散型随机变量的均值与方差例2 李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；路线L 2上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．思维启迪 走L 1或L 2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化： (1)转化为P 3(1)＋P 3(0)的值；(2)X 可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率； (3)转化为比较E (X )、E (Y )的大小．解 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720.(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，12，所以E (Y )＝3×12＝32.因为E (X )<E (Y )，所以选择路线L 2上班更好．思维升华 注意此题中独立重复试验与独立事件的区别，如走L 1是独立重复试验，而走L 2是一般地独立事件问题，不可按二项分布求均值．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率． (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X 2的分布列为(3)由(2)得E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)， E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)>E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． 题型三 概率与统计的综合应用例3 (2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．思维启迪 利润T 是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x 的取值范围有关，因此，T 关于x 的函数要用分段函数表示． 解 (1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为所以E (T )＝59 400.思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．(注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数 x ＝8＋8＋9＋104＝354； 方差s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝1116.(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.所以随机变量Y 的分布列为E (Y )＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×18＝19.(时间：80分钟)1． (2013·广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为17＋19＋20＋21＋25＋306＝1326＝22.(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝13，故推断该车间12名工人中有12×13＝4名优秀工人．(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18C 212＝1633. 2． 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340.P (A 2)＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120.3． 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，则P (A )＝C 14C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 23(1－23)2(23)1＝127＋29＝727， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的分布列为4. (单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x 的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．解 (1)依题意及频率分布直方图知1×(0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39)＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243，P (X ＝2)＝C 23×0.12×0.9＝0.027，P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.故随机变量X 的分布列为X 的数学期望为E (5． 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427， P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49. 综上知，ξ的分布列为从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.6． 一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝148.(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60. P (ξ＝40)＝12×12×23×34＝18；P (ξ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝1748； P (ξ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748； P (ξ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝748； P (ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.ξ的分布列为E (ξ)＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝57512.。

§1.2命题与量词、基本逻辑联结词1．命题的概念能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．全称量词与全称命题(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)全称命题：含有全称量词的命题．(3)全称命题的符号表示：形如“对M中的所有x，p(x)”的命题，用符号简记为“∀x∈M，p(x)”．3．存在量词与存在性命题(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)存在性命题：含有存在量词的命题．(3)存在性命题的符号表示：形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为∃x∈M，q(x)．(4)全称命题与存在性命题的否定4. 基本逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．(2)命题真值表：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,2n0>1 000，则綈p：∃n∈N,2n0≤1 000. (×)(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(√)2．命题p：∀x∈R，sin x<1；命题q：∃x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是() A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)答案 B解析p是假命题，q是真命题，∴綈p∧q是真命题．3．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为() A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得x20≥0D．存在x0∈R，使得x20<0答案 D解析因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B. p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案 A解析 “至少有一位学员没有落在指定范围”＝“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围”＝(綈p )∨(綈q )．5． 若命题“∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [－4,0]解析 “∃x ∈R ，x 2－mx －m <0”是假命题，则“∀x ∈R ，x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0， ∴－4≤m ≤0.题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断例1 命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”为真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．0思维启迪 先判断命题p 、q 的真假，然后利用真值表判断p ∨q 、p ∧q 、綈p 的真假． 答案 B解析 函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3， ∴命题p 是假命题． 又y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝12－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π2＝π，∴命题q 是真命题．由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真． 思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x－1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题答案 D解析 因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)， 所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x 的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D. 题型二 含有一个量词的命题的否定例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 30＋1＝0.思维启迪 否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假． 解 (1)綈p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14<0，假命题． (2)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． (4)綈s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题． 思维升华 (1)含一个量词的命题的否定方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． ②对原命题的结论进行否定．(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 (2)命题“存在实数x ，使x >1”的否定．．是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤1 答案 (1)C (2)C解析 (1)綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0. (2)利用存在性命题的否定是全称命题求解．“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用例3 (1)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(2)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__________．思维启迪 利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围． 答案 (1)A (2)[e,4]解析 (1)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0m ≤－2或m ≥2，即m ≥2. (2)若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x, 得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，a ≤4，因此e ≤a ≤4.思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．(1)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋2ax＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a ≤－2或a ＝1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a ≤－2或1≤a ≤2}D ．{a |－2≤a ≤1}(2)命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22]解析 (1)由题意知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 均为真命题，∴a ≤－2或a ＝1.(2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即－22≤a ≤2 2.借助逻辑联结词求解参数范围典例：(12分)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． 思维启迪 (1)p 、q 都为真时，分别求出相应的a 的取值范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的取值范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假． 规范解答解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.[2分] 即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.[3分] 又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1.[5分]又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 真q 假或p 假q 真．[6分] ①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[8分]②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1.[12分]第一步：求命题p 、q 对应的参数的范围． 第二步：求命题綈p 、綈q 对应的参数的范围． 第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题 “p 且q ”或“p 或q ”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围． 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点．方法与技巧1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”，要结合语句的含义理解．2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”． 失误与防范1．p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可；p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真． 2．p 或q 的否定：非p 且非q ；p 且q 的否定：非p 或非q . 3．命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题p 的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)一、选择题1． 设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 2． 下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0B ．∃x 0∈R ，tan x 0＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >0答案 C解析 对于A ，当x 0＝1时，lg x 0＝0，正确；对于B ，当x 0＝π4时，tan x 0＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x >0，正确． 3． (2012·湖北)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案 B解析 通过否定原命题得出结论．原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．4． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.5． 已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧qC ．綈p ∧綈qD ．綈p ∨綈q答案 D解析 不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有綈p ∨綈q 为真命题．6． 已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中(其中公差d ≠0)，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N ＋)． 则下面选项中真命题是( )A ．綈p ∧綈qB ．綈p ∨綈qC ．綈p ∨qD ．p ∧q答案 B解析 对于命题p ，如图所示，作出函数y ＝a x (a >1)与y ＝log a x (a >1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a >1时，函数y ＝a x 的图象在函数y ＝log a x 图象的上方，即当a >1时，a x >log a x 恒成立，故命题p 为真命题．对于命题q ，由等差数列的性质，可知当公差不为0时，m ＋n ＝p ＋q 是a n ＋a m ＝a p ＋a q 的充要条件，故命题q 为假命题． ∴命题綈p 为假，綈q 为真，故綈p ∨綈q 为真． 7． 下列命题中，真命题是( )A ．∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2 B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1C ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x 答案 B解析 对于选项A ，∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2， ∴此命题为假命题；对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0， ∴此命题为真命题；对于选项C ，∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0， ∴此命题为假命题；对于选项D ，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ， ∴此命题为假命题．故选B.8． 命题“函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝e x＋k 2e x －1k(其中e 为自然对数的底数，k 为实数)，且f (x )在R 上不是单调函数”是真命题，则实数k 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－22 B.⎝⎛⎭⎫－22，0 C.⎝⎛⎭⎫0，22D.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ 答案 C解析 当k ＝－1时，f ′(x )＝e x ＋1e x ＋1≥2＋1＝3，则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除A ； 当k ＝－12时，f ′(x )＝e x ＋14e x ＋2≥1＋2＝3，所以f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除B ； 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ＋1ex －1≥2e x ·1ex －1＝2－1＝1， 则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除D.选C. 二、填空题9． 命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m <x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)答案 真解析 由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， 因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1成立， 因此命题是真命题．10．命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是________________________．答案 存在能被5整除的数，末位不是0解析 此命题省略了全称量词“任何一个”，其否定是存在性命题．11．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是{x |x >－ba}，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x－b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p ∧q ”、“p ∨q ”、“綈p ”、“綈q ”中，是真命题的有________． 答案 綈p 、綈q解析 依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p ∧q ”为假、“p ∨q ”为假、“綈p ”为真、“綈q ”为真．12．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. B 组 专项能力提升 (时间：15分钟) 1． 下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2答案 B解析 A 正确；对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，错误；对于C ，当x ∈(0,1)时，lg x <0<1，正确；对于D ，∃x ∈R ，tan x ＝2，正确．2．“命题‘∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0’为假命题”是“－16≤a ≤0”的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为“∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0”为假命题，所以“∀x ∈R ，x 2＋ax －4a ≥0”为真命题．所以Δ＝a 2＋16a ≤0，即－16≤a ≤0.所以“命题‘∃x ∈R ，x 2＋ax －4a <0’为假命题”是“－16≤a ≤0”的充要条件．3． 设有两个命题，p ：不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，如果这两个命题中有且只有一个真命题，那么实数a 的取值范围是( )A ．1≤a <2B ．2<a ≤73C ．2≤a <73D ．1<a ≤2 答案 A解析 记A ＝{a |不等式e x 4＋1e x >a 的解集为R }； B ＝{a |f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数}．由于函数y ＝e x 4＋1e x 的最小值为1，故A ＝{a |a <1}．又因为函数f (x )＝－(7－3a )x 在R 上是减函数，故7－3a >1，即a <2，所以B ＝{a |a <2}．要使这两个命题中有且只有一个真命题，a 的取值范围为[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]，而(∁R A )∩B ＝[1，＋∞)∩(－∞，2)＝[1,2)，(∁R B )∩A ＝[2，＋∞)∩(－∞，1)＝∅，因此[(∁R A )∩B ]∪[(∁R B )∩A ]＝[1,2)，故选A.4． 下列四个命题：①∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②∀x ∈Q ，12x 2＋x －13是有理数； ③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④∃x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10.所有真命题的序号是________．答案 ①②③④解析 ①②显然正确；③中，若α＝π2，β＝0， 则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，等式成立，∴③正确；④中，x ＝4，y ＝1时，3x －2y ＝10成立，∴④正确，故填①②③④.5． 已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R,4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.6． 设p ：关于x 的不等式a x >1的解集是{x |x <0}；q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞) 解析 根据指数函数的单调性，可知命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}，对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立；当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12. 所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝{a |a ≥12}． 由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩{a |a <12}＝{a |0<a <12}； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩{a |a ≥12}＝{a |a ≥1}． 综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，12∪[1，＋∞)．。

§6.3 等比数列及其前n 项和1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示. 2.等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3.等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m ，(n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列.5.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6.等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列. ( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × ) (3)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列.( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列. ( × )(5)若{a n }是等比数列，则S 1·S 2·…·S k ＝0(k ≥2，k ∈N )的充要条件是a n ＋a n ＋1＝0. ( √ ) (6)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则Y (Y －X )＝X (Z －X )恒成立.( √ ) 2.(2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A.－24B.0C.12D.24答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6). 解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去). 故数列的第四项为－24.3.(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于 ( )A.7B.5C.－5D.－7答案 D解析 方法一 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，∴a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.4.(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40. 得20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.5．已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，则{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案 2n －n －1解析 ∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2，∴数列{a n ＋1－a n }，是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴ a n ＋1－a n ＝2n －1，∴a 2－a 1＝20，a 3－a 2＝21，a 4－a 3＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，∴a n －a 1＝20＋21＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，∴a n ＝2n －1－1，∴S n ＝(20＋21＋…＋2n －1)－n ＝1－2n1－2－n ＝2n －n －1.题型一 等比数列的基本运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和.已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 思维启迪 利用等比数列的通项公式与前n 项和公式列方程(组)计算. 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(1)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比为q ，且|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.12(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q 等于( ) A.3B.4C.5D.6(3)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158答案 (1)C (2)B (3)C 解析 (1)∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10， 即a m ＝a 1·q 10，∴m ＝11.故选C.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2 ②①－②得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4.(3)若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1， 则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n ＝(12)n －1.所以数列{1a n }是以1为首项，以12为公比的等比数列，其前5项和为S 5＝1×[1－(12)5]1－12＝3116.题型二 等比数列的性质及应用例2 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.思维启迪 利用等比数列的项的性质和前n 项和的性质求解.答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.(1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( )A.5 2B.7C.6D.4 2(2)记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A.4B.7C.10D.12(3)已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且S 3＝8，S 6＝7，则a 4＋a 5＋…＋a 9＝________. 答案 (1)A (2)A (3)－78解析 (1)把a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9看成一个整体，则由题意，知它们分别是一个等比数列的第1项，第4项和第7项，这里的第4项刚好是第1项与第7项的等比中项.因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝5×10＝5 2. (2)因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m ， 又由题中a m －1a m ＋1－2a m ＝0，可知a m ＝2.由等比数列的性质可知前(2m －1)项积为T 2m －1＝a 2m －1m， 即22m －1＝128，故m ＝4.(3)根据等比数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即8,7－8，S 9－7成等比数列，所以(－1)2＝8(S 9－7).解得S 9＝718.所以a 4＋a 5＋…＋a 9＝S 9－S 3＝718－8＝－78.题型三 等比数列的判定例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式.思维启迪 (1)由a n ＋S n ＝n 及a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1转化成a n 与a n ＋1的递推关系，再构造数列{a n －1}.(2)由c n 求a n 再求b n . (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ， ①∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列. 又a 1＋a 1＝1，∴a 1＝12，∵首项c 1＝a 1－1，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列.(2)解 由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法，另外第(2)问中要注意验证n ＝1时是否符合n ≥2时的通项公式，能合并的必须合并.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1). ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列. 所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，得a n ＝(3n －1)·2n －2.等比数列求和忽视公比q 的范围致误典例：(5分)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…).则q 的取值范围为________.易错分析 本题易忽视q 的范围，由于等比数列求和公式中分两种情况q ＝1和q ≠1，而本题未说明q 的范围，求解时应分类讨论，而不能直接利用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q .解析 因为{a n }为等比数列，S n >0， 可以得到a 1＝S 1>0，q ≠0， 当q ＝1时，S n ＝na 1>0； 当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n1－q >0(n ＝1,2,3，…)，上式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n <0，(n ＝1,2,3，…)， ①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0，(n ＝1,2,3，…). ②解①式得q >1，解②式，由于n 可为奇数，可为偶数， 得－1<q <1.综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞). 答案 (－1,0)∪(0，＋∞)温馨提醒 在应用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 或S n ＝a 1－a n q 1－q 求和时，应注意公式的使用条件为q ≠1，而当q ＝1时，应按常数列求和，即S n ＝na 1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论，体现了分类讨论思想.方法与技巧 1.已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列. (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同.(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列.失误与防范1.特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况.2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10等于( ) A.4B.5C.6D.7答案 B解析 利用等比数列的性质和通项公式求解.∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵等比数列{a n }的各项都是正数， ∴a 7＝4.又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25， ∴log 2a 10＝5.故选B.2.等比数列{}a n 中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2.a 5＞a 2，则a n 等于 ( )A.(－2)n －1B.－(－2)n －1C.(－2)nD.－(－2)n答案 A解析 ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1. ∵a 5＝－8a 2＝a 2·q 3，∴q 3＝－8，∴q ＝－2. 又a 5＞a 2，即a 2q 3＞a 2，∴a 2＜0. 而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)＜0，∴a 1＝1. 故a n ＝a 1·(－2)n －1＝(－2)n －1.3.(2013·课标全国Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13B.－13C.19D.－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1， 即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是 ( )A.13B.12C.11D.10答案 B解析 设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ， 则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9， (a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ， T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，∴n ＝12. 5.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 33＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1) C.9n －1D.14(3n －1) 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n≥2时，a1＋a2＋…＋a n－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，a n＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴a n＝2·3n－1，故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列.因此a21＋a22＋…＋a2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1).二、填空题6.等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________. 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7.(2012·江西)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________. 答案 11解析 利用“特殊值”法，确定公比.由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0. 由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， 则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.8.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________. 答案 －2解析 由已知条件得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.三、解答题9.已知等差数列{a n }满足a 2＝2，a 5＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)各项均为正数的等比数列{b n }中，b 1＝1，b 2＋b 3＝a 4，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2a 1＋4d ＝8.∴a 1＝0，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2.(2)设等比数列{b n }的公比为q ，则由已知得q ＋q 2＝a 4， ∵a 4＝6，∴q ＝2或q ＝－3.∵等比数列{b n }的各项均为正数，∴q ＝2.∴{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.10．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式a n ；(2)数列{b n }满足b n ＝(3n －1)·n2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和为T n .解 (1)由a n ＋1＝a n a n ＋3得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n ，即1a n ＋1＋12＝3(1a n ＋12)，又1a 1＋12＝32， 所以{1a n ＋12}是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，即a n ＝23n －1. (2)b n ＝n2n －1.T n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，T n 2＝1×121＋2×122＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 两式相减得T n 2＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n ×12n ＝2－n ＋22n ∴T n ＝4－n ＋22n －1.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为 ( )A.158或4B.4027或4C.4027D.158 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84. 而S 6＝6，两者不相等，因此不合题意.当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q .解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027.2.(2013·福建)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是 ( )A.数列{b n }为等差数列，公差为q mB.数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC.数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D.数列{c n }为等比数列，公比为qm m 答案 C解析 ∵b n ＝a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )∴b n ＋1b n ＝a mn (q ＋q 2＋…＋q m )a m (n －1)(q ＋q 2＋…＋q m )＝a mn a m (n －1)＝q m (常数). b n ＋1－b n 不是常数. 又∵c n ＝(a m (n －1))m q1＋2＋…＋m＝(a m (n －1)q )m ，∴c n ＋1c n ＝(a mn a m (n －1))m ＝(q m )m ＝qm 2(常数). c n ＋1－c n 不是常数. ∴选C.3.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是______________________________________________________.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝12×3n －2， n ≥2 解析 由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1 ①当n ≥3时，a n －1＝2S n －2②①－②整理得a na n －1＝3 (n ≥3)， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2×3n －2， n ≥2. 4.已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列.(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，① ∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②m ＋12①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2). 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列.5.(2013·天津)已知首项为32的等比数列{a n }不是．．递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大， 所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.56，最小项的值为－712.所以数列{T n}最大项的值为。

§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1． 充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的充要条件．(2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件． p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价． 2． 命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题． ( × ) (2)“sin 45°＝1”是真命题．( × )(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ ) (5)“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的必要不充分条件．( × ) (6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．( √ ) 2． 设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”，故选D. 3． 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.4． (2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．5． (2012·天津)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数， 但是若f (x )＝cos(x ＋φ) (x ∈R )是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分而不必要条件.题型一 命题的四种形式及其关系 例1 (1)下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (2)利用定义判断命题的四种形式是否正确，利用四种命题的关系判断命题是否为真． 答案 (1)B (2)D解析 (2)命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题． 思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 (1)C (2)C解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．(2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C. 题型二 充要条件的判定例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．(1)(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0(2)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)D (2)C解析 (1)∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.(2)因为A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)， B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，所以A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A ∪B ＝C .故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件. 题型三 充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是 ( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1D ．a ≤0或a >1(2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞思维启迪 (1)根据图象交点先求得f (x )有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系． 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}， ∴答案选A.(2)p ：|4x －3|≤1⇒－1≤4x －3≤1，∴12≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1.由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，则0≤a ≤12.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．(2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 (1)－1 (2)⎣⎡⎦⎤13，38解析 (1)由x 2>1，得x <－1，或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.(2)由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(12分)(2013·阜新模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 思维启迪 (1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于m 的不等式，求出实数m 的范围． 规范解答 解 化简集合A ， 由y ＝x 2－32x ＋1.配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴y min ＝716，y max＝2. ∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2. ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.[4分] 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．[6分] ∵命题p 是命题q 的充分条件， ∴A ⊆B .[8分]∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34.[11分]∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.[12分] 温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．失误与防范1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.A组专项基础训练(时间：30分钟)一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是() A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．下列命题中为真命题的是() A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎪⎨⎪⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.3． 已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.4． 与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列 答案 D解析 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 5． 已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ， 所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”； 当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推得m ＝－3，即“m ＝－3”D ⇐/“a ∥b ”． 故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．6． 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，而ab ＝0表示a ＝0或b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.7． 给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题； 它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限， 则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8． 函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 二、填空题 9． 下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________． 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________．答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11．“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的________条件．答案 充分不必要解析 若a ＝(x ＋2,1)与b ＝(2,2－x )共线，则有(x ＋2)(2－x )＝2，解得x ＝±2，所以“x ＝2”是“向量a ＝(x ＋2,1)与向量b ＝(2,2－x )共线”的充分不必要条件．12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)1． 若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．2． “λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)为递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N ＋都成立，于是可得3>2λ，即λ<32. 注意到由λ<1可得λ<32； 但反过来，由λ<32不能得到λ<1， 故“λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)是递增数列”的充分不必要条件．3． 下列结论正确的个数是 ( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件；③“M >N ”是“⎝⎛⎫23M >⎝⎛⎫23N ”的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ，因此③是错误的．故选C.4． “m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件． 答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立． 故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件． 5． 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.6． 下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．正确的是________．答案①④解析由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以③不正确，④正确．。

专题三 高考中的数列问题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4等于( )A ．－20B ．0C ．7D ．40答案 A解析 记等比数列{a n }的公比为q ，其中q ≠1， 依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2≠0. 即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，S 4＝1×[1－(－3)4]1＋3＝－20，选A.2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( ) A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35答案 B解析 等比数列{a n }中，a 5a 6＝a 4a 7， 又因为a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝9， log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝5log 3(a 5a 6)＝5log 39＝10.3．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为( )A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011答案 A解析 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n ＝1，即a n ＋1a n＝10，所以{a n }为公比是10的等比数列．因为(a 2 001＋…＋a 2 010)·q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2 013·1010，选A.4．已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1，则{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 2n ＋1－2－n解析 ∵a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，∴S n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－2－n .5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________． 答案 392解析 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.题型一 等差、等比数列的综合问题 例1 在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n －10，证明：数列{b n }为等比数列； (3)求数列{nb n }的前n 项和T n .思维启迪 (1)设出数列{a n }的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解； (2)由(1)写出b n 的表达式，利用定义法证明； (3)写出T n 的表达式，考虑用错位相减法求解． (1)解 由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. (2)证明 由(1)，得b n ＝2a n －10＝22n ＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列． (3)解 由nb n ＝n ×4n ，得 T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ，①4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，②①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.思维升华 (1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列． (2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{b n }是一个公差为d 的等差数列，则{ab n }(a >0，a ≠1)就是一个等比数列，其公比q ＝a d ；反之，若数列{b n }是一个公比为q (q >0)的正项等比数列，则{log a b n }(a >0，a ≠1)就是一个等差数列，其公差d ＝log a q .数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2且S n ＝S n －1＋2n (n ≥2，n ∈N ＋)．(1)求S n ；(2)是否存在等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 3，b 3＝a 9？若存在，求出数列{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 解 (1)因为S n ＝S n －1＋2n ，所以有S n －S n －1＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立． 即a n ＝2n 对n ≥2，n ∈N ＋成立，又a 1＝S 1＝2×1，所以a n ＝2n 对n ∈N ＋成立． 所以a n ＋1－a n ＝2对n ∈N ＋成立， 所以{a n }是等差数列，所以有S n ＝a 1＋a n 2·n ＝n 2＋n ，n ∈N ＋.(2)存在．由(1)知，a n ＝2n 对n ∈N ＋成立， 所以有a 3＝6，a 9＝18，又a 1＝2， 所以有b 1＝2，b 2＝6，b 3＝18， 则b 2b 1＝b 3b 2＝3， 所以存在以b 1＝2为首项，以3为公比的等比数列{b n }， 其通项公式为b n ＝2·3n －1.题型二 数列与函数的综合问题例2 已知二次函数y ＝f (x )的图像经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .思维启迪 (1)先求出函数f (x )，再利用n ，S n 的关系求a n .(2)可以利用裂项相消法求出T n .通过T n 的取值范围确定最小正整数m . 解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2， 所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N ＋)均在函数y ＝f (x )的图像上， 所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12·⎝⎛⎭⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)．因此，要使12(1－16n ＋1)<m 20对n ∈N ＋恒成立，则m 必须且仅需满足12≤m20，即m ≥10.所以满足要求的最小正整数为10.思维升华 数列与函数的综合一般体现在两个方面：(1)以数列的特征量n ，a n ，S n 等为坐标的点在函数图像上，可以得到数列的递推关系； (2)数列的项或前n 项和可以看作关于n 的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图像上，且过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设Q ＝{x |x ＝k n ，n ∈N ＋}，R ＝{x |x ＝2a n ，n ∈N ＋}，等差数列{c n }的任一项c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，110<c 10<115，求{c n }的通项公式． 解 (1)∵点P n (n ，S n )都在函数f (x )＝x 2＋2x 的图像上， ∴S n ＝n 2＋2n (n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)对f (x )＝x 2＋2x 求导可得f ′(x )＝2x ＋2.∵过点P n (n ，S n )的切线的斜率为k n ，∴k n ＝2n ＋2， ∴Q ＝{x |x ＝2n ＋2，n ∈N ＋}，R ＝{x |x ＝4n ＋2，n ∈N ＋}． ∴Q ∩R ＝R .又∵c n ∈Q ∩R ，其中c 1是Q ∩R 中的最小数，∴c 1＝6， ∵{c n }的公差是4的倍数， ∴c 10＝4m ＋6(m ∈N ＋)．又∵110<c 10<115，∴⎩⎪⎨⎪⎧110<4m ＋6<115m ∈N ＋，解得m ＝27，所以c 10＝114，设等差数列的公差为d ，则d ＝c 10－c 110－1＝114－69＝12，∴c n ＝6＋(n －1)×12＝12n －6， 所以{c n }的通项公式为c n ＝12n －6. 题型三 数列与不等式的综合问题例3 已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，其前n 项和S n 满足S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋1(n ∈N ＋)；数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＋1＝4b n ＋6(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2＋(－1)n －1λ·2a n (λ为非零整数，n ∈N ＋)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N ＋，都有c n ＋1>c n 成立．思维启迪 (1)先求a n ，再构造等比数列求b n ；(2)不等式c n ＋1>c n 恒成立，可以转化为求函数的最值问题．解 (1)由已知，得S n ＋2－S n ＋1－(S n ＋1－S n )＝1， 所以a n ＋2－a n ＋1＝1(n ≥1)． 又a 2－a 1＝1，所以数列{a n }是以a 1＝2为首项，1为公差的等差数列． 所以a n ＝n ＋1. 又b n ＋1＋2＝4(b n ＋2)，所以{b n ＋2}是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以b n ＝4n －2.(2)因为a n ＝n ＋1，b n ＝4n －2，所以c n ＝4n ＋(－1)n －1λ·2n ＋1.要使c n ＋1>c n 恒成立，需c n ＋1－c n ＝4n ＋1－4n ＋(－1)n λ·2n ＋2－(－1)n －1λ·2n ＋1>0恒成立，即3·4n －3λ(－1)n －12n ＋1>0恒成立．所以(－1)n －1λ<2n－1恒成立．①当n 为奇数时，即λ<2n －1恒成立，当且仅当n ＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；②当n 为偶数时，即λ>－2n －1恒成立，当且仅当n ＝2时，－2n－1有最大值－2.所以λ>－2，结合①②可知－2<λ<1. 又λ为非零整数，则λ＝－1.故存在λ＝－1，使得对任意n ∈N ＋，都有c n ＋1>c n 成立．思维升华 数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为函数的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．(2013·天津)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.(时间：80分钟)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N )，a 1＝12，判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 与{a n }是否为等差数列，并说明你的理由． 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 又因为a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又因为S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．综上，可知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，{a n }不是等差数列．2．设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列， 又11－a 1＝1，故11－a n＝n . 所以a n ＝1－1n.(2)证明 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－nn ＋1·n＝1n －1n ＋1， S n ＝∑k ＝1n b k ＝∑k ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1.3．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)， 曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2，再从P 2作x 轴的垂 线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1； P 2，Q 2；…；P n ，Q n .记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )． (1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋…＋|P n Q n |.解 (1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x 得Q k －1(x k －1，e x k －1)点处切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，由y ＝0得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )． (2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)， 所以|P k Q k |＝e x k ＝e－(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10. (1)求证：{lg a n }是等差数列；(2)设T n 是数列{3(lg a n )(lg a n ＋1)}的前n 项和，求T n ；(3)求使T n >14(m 2－5m )对所有的n ∈N ＋恒成立的整数m 的取值集合．(1)证明 依题意，得a 2＝9a 1＋10＝100，故a 2a 1＝10.当n ≥2时，a n ＋1＝9S n ＋10，a n ＝9S n －1＋10，两式相减得a n ＋1－a n ＝9a n ， 即a n ＋1＝10a n ，a n ＋1a n＝10，故{a n }为等比数列，且a n ＝a 1q n －1＝10n (n ∈N ＋)，∴lg a n ＝n .∴lg a n ＋1－lg a n ＝(n ＋1)－n ＝1， 即{lg a n }是等差数列．(2)解 由(1)知，T n ＝3[11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＝3(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝3nn ＋1.(3)解 ∵T n ＝3－3n ＋1，∴当n ＝1时，T n 取最小值32.依题意有32>14(m 2－5m )，解得－1<m <6，故所求整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a na n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)， 使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k ， 因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1，所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m 2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法： 因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N ＋，所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b 1、b m 、b k 成等比数列． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n ＋1.(1)证明：数列{a n2n }是等差数列；(2)若不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 对任意n ∈N ＋恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－22得a 1＝4. S n ＝2a n －2n －1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2n ，两式相减得 a n ＝2a n －2a n －1－2n ，即a n ＝2a n －1＋2n ，所以a n 2n －a n －12n －1＝2a n －1＋2n2n－a n －12n －1＝a n －12n －1＋1－a n －12n －1＝1. 又a 121＝2， 所以数列{a n2n }是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知a n2n ＝n ＋1，即a n ＝(n ＋1)·2n .因为a n >0，所以不等式2n 2－n －3<(5－λ)a n 等价于 5－λ>2n －32n ，记b n ＝2n －32n ，n ≥2时，b n －1b n ＝2n －12n ＋12n －32n ＝2n －14n －6，所以n ≥3时b n ＋1b n <1，(b n )max ＝b 3＝38，所以λ<178.。