平面向量复习

复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。

零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。

单位向量：模为1的向量。

平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。

规定：零向量与任何一个向量平行。

相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。

负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。

规定：零向量的负向量仍为零向量。

向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。

向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。

a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。

平面向量专题复习考点一、平面向量的概念，线性表示及共线定理题型一、平面向量的概念1．给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ＝DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3题型二、平面向量的线性表示1．(2014·新 课 标 全 国 卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC 2．(2013·江 苏 高 考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3．(2015·聊 城 二 模 )在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 4．若典例2条件变为：若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.题型三、平面向量共线定理典题：设两个非零向量e 1和e 2不共线．如果AB ＝e 1＋e 2，BC ＝2e 1－3e 2，AF ＝3e 1－k e 2，且A ，C ，F 三点共线，求k 的值．[变式1] 在本例条件下，试确定实数k ，使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线．考点二、平面向量基本定理及其坐标表示题型一、平面向量基本定理及其应用1．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .题型二、平面向量的坐标表示1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b ＝( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2)2．(2015·昆 明一 中 摸 底 )已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( )A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)3．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．题型三、平面向量共线的坐标表示典题：平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .[题点发散1] 在本例条件下，若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d .[题点发散2] 在本例条件下，若m a ＋n b 与a －2b 共线，求m n 的值．[题点发散3] 若本例条件变为：已知A (3,2)，B (－1,2)，C (4,1)，判断A ，B ，C 三点能能否共线考点三、平面向量的数积、模长、夹角题型一、平面向量的数量积1．(2015·云 南 统 一检 测 )设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12 C.32 D.522.(2013·湖 北 高 考 )已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A.322 B.3152 C ．－322 D ．－31523．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________.4．(2015·东 北 三 校 联 考 )已知正方形ABCD 的边长为2，DE ＝2EC ，DF ＝12(DC＋DB )，则BE ·DF ＝________.题型二、平面向量的模长1．已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a |＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB ＝2a ＋2b ，AC ＝2a －6b ，D 为BC 中点，则|AD |等于( )A ．2B ．4C ．6D ．82．(2014·北 京 高 考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.题型三：平面向量的夹角1．向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π62．(2014·江 西 高 考 )已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.3．在直角三角形ABC 中，已知AB ＝(2,3)，AC ＝(1，k )，则k 的值为________________．4．(2014·重 庆 高 考 )已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152。

平面向量全章复习推论及公式：● 设a =（x ，y ），则a 2=x 2+y 2，即|a |=x 2+y 2． ● 两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）间的距离公式为AB = ()()221212x x y y -+-．● a =(x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，它们的夹角为θ，则有121222221122cos x x y y x y x y θ+==+⋅+a b a b●0⊥⇔=a b a b 1212x x y y ⇔+=0．二．典型例题分析例1. 在四边形ABCD 中, 已知AD AB AC +=, 试判断四边形ABCD 是什么样的四边形?例2. 化简：（1）AB BC CD ++=______；（2）AB AD DC --=_____；（3）()()AB CD AC BD ---=_____． 例3. 若AB =3e 1,CD =－5e 1,且|AD |=|BC |，判断四边形ABCD 的形状． 例4. 若112()(3)032x a b c x b --+-+=，则x =__________．例5. 已知向量a 、b 不共线，实数x 、y 满足向量等式3x a +(10－y )b =2x b +(4y +4)a ,则x =_____________,y =_____________．例6. 向量(1,1)a =，且与b a 2+的方向相同，则b a⋅的取值范围是 ),1(+∞-． 例7. 已知OA =(-1，2)，OB =(3，m )，若OA ⊥OB ，则m 的值为__________．例8. 已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 例9. 已知向量),2,1(),1,3(-=-=b a 则b a 23--的坐标是_____．例10. 已知平面内三点AC BA x C B A ⊥满足),7(),3,1(),2,2(，则x 的值为_______．例11. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标．例12. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直，求实数k 的值．例13. 已知|p |=22，|q |=3，p 、q 的夹角为45°，求以a =5p +2q ，b =p －3q 为邻边的平行四边形过a 、b 起点的对角线长．例14. 设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（,0)()2=-⋅-+AC AB DA DC DB 试判断△ABC 的形状．例15. 已知|a |=3 ，|b |=4， (且a 与b 不共线)， 当且仅当k 为何值时， 向量a +k b 与a －k b 互相垂直?例16. 已知向量a 、b 满足b b a b a a 求，5,53=-=+=． 例17. 若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b +=________． 例18. △ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB ______（答：－9）例19. 已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12）； 例20. 已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；例21. 已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD 的坐标．例22. 已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角． 例23. 设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a =，，2(11)b a -=-，，则cos θ=_______．(31010)例24. 设向量(3,1),(1,2O A O B ==-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求,OD OA OC OD +=时的坐标．例25. 已知13(3,1),(,),22a b =-=若存在不为零的实数k 和角α，使得()sin 3,sin c a b d ka b αα=+-=-+⋅，且c d ⊥，试求实数k 的取值范围．例26. 已知M ＝(1+cos2x ，1)，N ＝(1，3sin2x +a )(x ，a ∈R ，a 是常数)，且y =OM ·ON (O 是坐标原点)⑴求y 关于x 的函数关系式y =f (x )；⑵若x ∈[0，2π]，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由y =2sin(x +6π)的图象经过怎样的变换而得到． 例27. 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝（1，2）。

平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如：2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如例1：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//ab bc ，则//a c 。

其中正确的是_______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

平面向量专题复习（含答案）1．若向量a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，2），则c 等于（ ）A ．b a 2321+-B ．b a 2321-C ．b a 2123-D ．b a 2123+-2．若取两个互相垂直的单位向量 i ， j 为基底, 且已知 a = 3i + 2j , b = i - 3j , 则5a 与3b 的数量积等于（ ）A ．–45 B ．45 C ．–1 D ．13． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（OB -OC ）·（OB +OC -2OA ）=0，则ΔABC 的形状一定为（ ）A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形 4．下面的四个命题：①||||||b a b a =⋅；②222)(b a b a ⋅=⋅；③若c a b a c b a ⋅=⋅-⊥则)(； ④若||||0b a b a b a -=+=⋅则。

其中真命题是（ ）A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④ 5．将抛物线742++=x x y 的图象按向量a 平移，使其顶点与坐标原点重合，则a =（ ）A ．（2，-3）B ．（-2，-3）C ．（-2，3）D ．（2，3）6．下列四个命题，其中正确的个数有（ ）①对于实数m 和向量b m a m b a m b a -=-)(,,恒有；②对于实数m, n 和向量a n a m a n m a -=-)(,恒有； ③若b a R m b m a m =∈=则有),(。

④若n m a R n m a n a m =≠∈=则有,0,,(。

A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个 7．已知12,5||,3||=⋅==b a b a 且，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A ．512B ． 3C ．4D ．58．已知向量OM =（3，-2），ON =（-5，-1），则MN 21等于（ ）A ．（8，1）B ．（-8，1）C ．（4，-21）D ．（-4，21） 9．已知|p |=22，|q |=3，p ，q 的夹角为4π，则以a =5p +2q ，b =p -3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15 B ．15 C ．14 D ．1610．设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a =3e 1+2e 2，b =-3e 1+4e 2，则a ·b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-211．若|a |=|b |=1，a ⊥b 且2a +3b 与k a -4b 也互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．-6 B ．6 C ．-3 D ．3 12．设a 、b 、c 为平面向量，下面的命题中：①a ·（b -c ）=a ·b -a ·c ；②（a ·b ）·c =a ·(b ·c )；③（a -b ）2=|a |2-2|a |·|b |+|b |2； ④若a ·b =0，则a=0或b=0。