模拟考试看新高考数学多选题趋势(20200615193406)

2023年高考数学选择题考试趋势随着科技的快速发展和教育改革的不断推进，高考数学选择题考试趋势也在逐渐发生变化。

下面将从题型数量、题目难度和题目内容等方面，探讨2023年高考数学选择题考试的趋势。

一、题型数量
2023年高考数学选择题的题型数量可能会继续保持多样化的趋势。

传统的选择题题型如单选题和多选题仍然占主导地位，但可能会有其他新兴的选择题题型加入。

例如，近年来，出现了填空题和判断题在选择题中的应用，未来也有可能在高考数学选择题中增加这些题型。

这样的变化将使考生需要掌握更多种类的选择题解题方法。

二、题目难度
对于高考数学选择题的难度，2023年可能会继续保持相对稳定的趋势。

选择题的难度会根据考试的高度和要求进行调整，以确保考生能够适应并发挥出他们的最佳水平。

通常会有一定比例的简单、中等和较难的选择题，以测试考生的不同能力水平和对数学知识掌握程度的理解。

三、题目内容
2023年高考数学选择题的题目内容可能会更加贴近实际生活和社会发展的需求。

数学是一门应用广泛的科学，因此考题内容很有可能与现实生活场景相关，例如金融、环境、科技等领域。

这样的题目设计
可以更好地提高考生解决实际问题的能力，并培养他们将所学数学知识应用于实际生活的能力。

结语
2023年高考数学选择题考试趋势将保持多样化的题型数量，保持相对稳定的难度水平，并且题目内容将更贴近实际生活。

考生们应积极适应这些变化，提前熟悉各种题型的解题方法，灵活运用数学知识，做好充分的复习准备。

只有如此，才能在高考数学选择题中取得更好的成绩。

祝愿所有考生都能取得优异的成绩！。

高中数学多选题荟萃一、《函数、导数》多选题1、设0,1a a >≠且，函数1()log 1ax f x x -=+在(1,)+∞单调递减，则()f x （ ACD ） A ．在(,1)-∞-上单调递减，在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增，在(1,1)-上单调递减 C ．在(,1)-∞-上，)(x f 的值域为)0,(-∞D ．在),1(+∞上，)(x f 的值域为)0(∞+，2、已知函数)(x f 在定义域)0(∞+，上的单调函数，若对于任意)0(∞+∈，x ，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值是（ AB ） A ．)(x f 为减函数B ．165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．6)5(=fD ．)(x f 值域为)0(∞+，【解】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x=+3、已知函数20()2(1)10a x f x x f x x ⎧+≤⎪=+⎨⎪-+>⎩，，，若对任意的),3(+∞-∈a ，关于x 的方程kx x f =)(都有3个不同的根，则k 的值不可能等于（ ABD ） A ．1B ．2C ．3D ．44、已知函数1()1f x x=-，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有6个不同的实数解，则,b c 的取值情况可能的是（ ACD ）A ．10,0b c -<<=B ．10,0b c c ++>>C ．10,0b c c ++<>D ．10,01b c c ++=<< 【方法】画出)(x f 的图像，注意对称性和渐近线；2()()0f x bf x c ++=有两个不等实数根2121,)(,)(t t t x f t x f <==假设或；则直线的图像有六个交点与)(;21x f y t y t y ===；令c bt t t t t ++=<221)(,ϕ， 则(1)10,021<<=t t 时，120;01)1(;0)0(<-<>++===bc b c ϕϕ (2)1,1021≥<<t t 时，01)1(;0)0(≤++=>=c b c ϕϕ5、已知函数f (x )＝e x ＋a ln x 的定义域是D ，关于函数f (x )给出下列命题其中正确命题的序号是（ BD ）A 、对于任意a ∈(0，＋∞)，函数f (x )是D 上的减函数；B 、对于任意a ∈(－∞，0)，函数f (x )存在最小值；C 、存在a ∈(0，＋∞)，使得对于任意的x ∈D ，都有f (x )>0成立； D 、存在a ∈(－∞，0)，使得函数f (x )有两个零点．6、定义在()+∞∞-,上的偶函数()x f 满足()()x f x f -=+1，且在[]0,1-上是增函数，下面是关于)(x f 的判断，其中正确的判断是（ ABD ）A 、()x f 的图像关于点对称B 、()x f 的图像关于直线1=x 对称；C 、()x f 在[0，1]上是增函数；D 、()()02f f =.7[]0,1上单调递增，则（ BC ）A ．实数a 的取值范围是()1,1-B 、实数a 的取值范围是[]1,1-C 、当0>a 时，函数)(x f 有最小值a 2D 、函数)(x f 为偶函数，则a = 1【解】当0a >在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-8、已知函数212,2()1|log |,2x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，()g x x b =+，若函数()()y f x g x =+有两个不同的零点，则实数b 的取值可以为( AB )A ．1-B ．32-C ．1D ．329、定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．则下列命题中正确的命题为（ AC ） A.0)2022()2021(=-+f f B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数 C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为]1,1[-【解】可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中0)2022()2021(=-+f f 正确；对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有1个交点，所以C 正确；对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是(1,1)-，所以D 错误．故选AC ．二、《不等式》多选题1、若)lg(lg lg ,0,0b a b a b a +=+>>，则（ ABC ）A 、b a +的最小值为4B 、ab 的最小值为4C 、211122≥+b aD 21122≥+b a2、已知()()()2f x x m x n =---,且α、β是方程f (x )=0的两根，则下列不等式不可能成立的是 （ BCD ） A m n βα<<< B m n αβ<<< C m n αβ<<< D n m αβ<<<3、设2()f x x bx c =++（R x ∈），且满足()()0f x f x '+>。

山东省2020年高考模拟考试数学试卷试题分析与备考启示
山东省2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷公布，通过这次模拟考试的数学试题可以出，数学试卷不仅考查了基础知识和基本能力，也凸显综合性和应用性。

从试题结构上看，增加了多项选择题、填空题一题两空和开放性试题等新题型，是本次高考数学转型的一大亮点。

试卷分析
1、对学科基本能力的考查
试题以数学基础知识为载体，突出学科能力考查。

12题和17题考查函数和数列性质的数学抽象；
7题和19题考查了考生的逻辑推理能力；
20题以水果人均占有量为背景，考查考生对数学建模素养的应用；
11题和21题通过立体和平面几何知识考查考生的直观想象素养；
9题通过数据分析的考查，引导考生对生活和社会数据的关注；
数学运算素养贯穿始终。

2、对课程培养目标的考查
试题能够很好地考查考生的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，以及发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。

立体几何和函数的考查，可以体现考生的自主学习和独立思考的素养。

9题和20题以实际生活背景为考查，能引导考生认识数学的科学价值和应用价值。

22题以函数和导数知识为载体，要求考生具备探究精神，善于思考和创新意识的能力。

3、对命题建议的考查
本次命题很好地遵循了《课程标准》对于高考命题的建议，符合命题原则和路径。

2024年高考第二次模拟考试高三数学（答案在最后）全解全析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．B ． C.1x x ≤-,或3x >D ．【答案】B【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，【详解】由题意得{}3A x x =>，{}1B x x =≤-，又{}1B x x =>-R ð则(){}1A B x x ⋃=>-R ð，故选：B.【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+，所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，又因为2z 为纯虚数，所以22020a b ab ⎧-=⎨≠⎩，即0a b =≠（舍）或0a b =-≠，所以i z a a =-，所以i z a a =+，所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z ---====-+++-.故选：D3.已知向量()2,4a =- ，()1,b t = ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为（）A.jB.j -C.2jD.2j- 【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a与b共线，则240t --=，所以2t =-，(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅⋅=⋅=，故选：C4.“1ab >”是“10b a>>”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当0a >时，由1ab >，可得10b a>>，当a<0时，由1ab >，得10b a<<；所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件.因为01010a b ab a a>⎧⎪>>⇔-⎨>⎪⎩，所以1ab >，所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（）A.60B.114C.278D.336【答案】D【解析】命题意图本题考查排列与组合的应用.录用3人，有353360C A =种情况；录用4人，有4232354333162C C A C A -=种情况；录用5人，有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A -+-=种情况.所以共有336种.6.已知D ：222210x y ax a +---=，点()3,0P -，若D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则a 的取值范围是（）A.()5,11,3⎡⎫--⋃-+∞⎪⎢⎣⎭ B.[)5,1,3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦C.(][) ,21,-∞-⋃+∞D.[)()2,11,---+∞ 【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+,要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，故sin sin 30rMPD PD∠=≥︒，由此可求解.【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a -+=+，圆心坐标为(),0D a ，半径为1r a =+.因为,PM PN MD ND ==，所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=︒.要使D 上总存在M ，N 两点使得PMN 为等边三角形，则D 上存在一点M ，使得30MPD ∠=︒,当PM 与D 相切时，MPD ∠最大，此时30MPD ∠≥︒，故1sin sin 302r MPD PD ∠=≥︒=，即()1132a a +≥+，整理得23250a a +-≥，解得[)5,1,3a ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选:B.7.已知ABC 中，60BAC ∠=︒，2AB =，Q 是边BC 上的动点．若PA ⊥平面ABC ，PA =，且PQ与面ABC 所成角的正弦值的最大值为3，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为（）A.4πB.6πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，则∠ACB ＝90°，结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥-P ABC 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积．【详解】三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ，∵sin θ的最大值是63，∴sin 3PA PQ PQ θ==≤，解得PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1，即A 到BC 的距离为1，直角三角形△ABQ 中，AB ＝2，所以∠BAQ =60°,又∠BAC ＝60°，所以,A Q 重合，则∠ACB ＝90°，则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点，又PA ⊥平面ABC ，从而外接球的球心O 为PB 的中点，外接球的半径2R OB =====，∴三棱锥-P ABC 的外接球的表面积2264π4π6π2S R ⎛==⨯= ⎝⎭．故选：B ．B．椭圆M的蒙日圆方程为D．长方形G的面积的最大值为【分析】由椭圆标准方程求得,a b后再求得c，从而可得离心率，利用特殊的长方形（即边长与椭圆的轴平行）求得蒙日圆方程，从而可得长方形边长的关系，结合基本不等式得面积最大值，并得出长方形为正方形时的边长．【详解】由椭圆方程知a2b=，则c==e==A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为4，=因此蒙2210x y+=，B正确；设矩形的边长分别为,m n，因此22402m n mn+=≥，即20mn≤，当且仅当m n=时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为C正确，D错误．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【分析】A，根据12||=MN x x p++结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当,,P M A三点共线时MF MP+；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x>，因为这些MN倾斜角不为0，则设直线MN的方程为32x ky=+，联立抛物线得2690y ky--=，则12126,9y y k y y+=⋅=-，所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=，则212||=3666MN x x k ++=+≥（当且仅当0k =时等号成立），A 正确；对B ，如图MA ⊥抛物线准线，MF MP MA MP +=+要使其最小，即,,P M A 三点共线时取得最小值，即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=，B 正确；对C ，由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++，C 错误；对D ，1212123339(()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=，解得1k =±,D 正确故选：ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a -=>的左、右焦点别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，则（）A.若E的两条渐近线相互垂直，则a =B.若EE 的实轴长为1C.若1290F PF ∠=︒，则124PF PF ⋅=D.当a 变化时，1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，b =，A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以1,ba b a===A 正确；B 选项，若E的离心率为c e a =====，解得1a =，所以实轴长22a =，故B 错误；C 选项，若1290F PF ∠=︒，则122221224PF PF aPF PF c⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=-==⋅=，故C 正确；D 选项，根据双曲线的定义可知，121222PF PF aQF QF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +-=+=+，所以1F PQ 周长为42a PQ +，当12PQ F F ⊥时，PQ 取得最小值224b a a=，所以8424a PQ a a +≥+≥=，当且仅当84a a=，即a =所以1F PQ周长的最小值为D 正确.故选：ACD【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行；B 选项，先求出242,,333P ⎛⎫⎪⎝⎭，得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =- ，根据数量积为0得到BC m ⊥，得到BC //平面1APB ；C 选项，先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值，进而求出余弦值；D 选项，求出平面1A EF 的法向量，根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项，以A 作坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ，则()()112,2,0,1,1,0B D EF =-=- ，由于112B D EF =，故11B D 与EF 平行，A 错误；B 选项，设(),,P x y z ，因为12A P PF =，所以()()2,,21,2,x y z x y z ----=，即224222x xy y z z=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，解得242,,333x y z ===，故242,,333P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⎧⎛⎫⋅=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⋅=⋅=+=⎩ ，令1a =，则0,1b c ==-，则()1,0,1m =-，因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=-= ，故BC m ⊥，BC //平面1APB ，故存在点P ，使得12A P PF =，且BC //平面1APB ，B 正确；C 选项，平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =r，故1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值为1113A F n A F n ⋅==⋅，则1A F 与平面1B EBC 正确；D 选项，设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =，则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1131,2y z ==，故131,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则点1B 到平面1A EF的距离为111141717A B n n ⋅=，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为【答案】240【解析】【详解】因为二项式2nx x ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数之和为64，所以264n =，得6n =，所以二项式为6x x ⎛+ ⎝，则二项式展开式的通项3662166C (C 2r r rr r rr T xx x--+==，令第1r +项的系数最大，则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧≥⎨≥⎩，解得111433r ≤≤，因为N r ∈，所以4r =，则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x-⨯==，所以填24013.若函数()sin f x ax x =+的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数a 是__________.【答案】0【解析】【详解】注意到，()cos f x a x =+'.若函数()f x 上存在两条切线垂直，则存在1x 、2x R ∈，使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ''=-⇔++=-()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +-⎛⎫⎛⎫⇔++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos cos 1,0x x a ⇔=-=±=.故答案为014.若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +-=于,,,A B C D 四点，则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+，当l y ⊥轴时，则1D A y y ==，可求3AB CD +的值；当直线方程为()1x n y =-时，代入抛物线方程，根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值，即可得结论．【详解】解：如图，其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ，抛物线的准线方程为：1y =-，圆()22114x y +-=的半径12r =又抛物线的定义可得：1,1A D AF y DF y =+=+，又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =-=+=-=+，当l y ⊥轴时，则1A D y y ==，所以113131622AB CD ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭；当l 不垂直于y 轴时，设l 的方程为：()1x n y =-，代入抛物线方程得：()2222240n y n y n -++=，所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。

一、试卷结构根据教育部发布的《关于深化普通高等学校考试招生制度改革的实施意见》，2023年新高考数学试卷将分为全国统一卷和地方卷，试卷结构如下：1. 选择题：共20题，每题3分，共60分。

2. 填空题：共10题，每题3分，共30分。

3. 解答题：共6题，每题15分，共90分。

二、预测内容及答案一、选择题1. 【预测】下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = x^2 + 2x + 1C. f(x) = -x^2 + 2x - 1D. f(x) = x^2 - 4x + 3【答案】A2. 【预测】已知函数f(x) = (x+1)/(x-1)，则f(x)的对称中心为（）A. (1, 0)B. (-1, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)【答案】B3. 【预测】已知等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a5 = 8，则d =（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C4. 【预测】若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处取得极值，则该极值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】A5. 【预测】已知平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(4, 6)，则线段AB的中点坐标为（）A. (3, 4)B. (3, 5)C. (4, 3)D. (4, 5)【答案】B二、填空题6. 【预测】若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则a = ，b = ，c = 。

【答案】a = 1，b = 0，c = 27. 【预测】已知等比数列{an}的公比为q，且a1 = 3，a3 = 9，则q = 。

【答案】q = 38. 【预测】已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(-1) = ，f(2) = 。

【答案】f(-1) = 8，f(2) = -19. 【预测】已知函数f(x) = |x - 1| + |x + 1|，则f(x)的最小值为。

2023届高三新高考数学原创模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．||OQB ．|5．若()20230112x a a x -=++A ．2-B ．-6．函数y=ax 2+bx 与y=log b aA ．．C ．．7．以()x φ表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量()2,N μσ，则概率(P ξμ-A ．()()φμσφμσ+--()() 11φφ--C ．1 μφσ-⎛⎫⎪⎝⎭．()2φμσ-8．若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量1111ABCD A B C D -，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（A ．1AB ，AC ，1AD 的长度B ．AC ，1B D ，1AC 的长度D ．1AC ，BD ，1CC 的长度二、多选题三、双空题13．设i 是虚数单位，已知2i 3-是关于x 的方程220(,)x px q p q ++=∈R 的一个根，则p =________，q =________．四、填空题五、双空题16．正方形ABCD 位于平面直角坐标系上，其中(1,1)A ，(1,1)B -，(1,1)C --，(1,1)D -．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L ：逆时针旋转90︒．（2）R ：顺时针旋转90︒．（3）S ：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A ，B ，C ，D 四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R 之后，顶点A 从(1,1)移动到(1,1)-，然后再作一次变换S 之后，A 移动到(1,1)-．对原来的正方形按1a ，2a ，L ，k a 的顺序作k 次变换记为12k a a a ，其中{,,}i a L R S ∈，1,2,,i k = ．如果经过k 次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k -恒等变换．例如，RRS 是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数n ，n -恒等变换共________种．六、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．(1)证明：PB DM ⊥．(2)求BD 与平面ADMN 所成角的正弦值．18．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持(1)在某次测量中，40AE =，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值．(2)在杆AB 上有两点1A ，2A 满足1212AA AA =．当横档CD 的中点E 位于度角为(1,2)i i α=，其中1α，2α都是锐角．证明：122αα<．19．设正项数列{}n a 满足11a =，12121n n n a a a ++=-，*n ∈N ．数列{}n x 满足π0,2n x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，*n ∈N ．已知如下结论：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x (1)求{}n x 的通项公式．(2)证明：222212π11112111n n n a a a -<+++<+++ ．20．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，O 为坐标原点．椭圆C 于A ，B 两点．(1)若直线l 与x 轴垂直，并且OA OB ⊥，求a 的值．(2)若直线l 绕点F 任意转动，当A ，O ，B 不共线时，都满足AOB ∠取值范围．21．某校20名学生的数学成绩(1,2,,20)i x i = 和知识竞赛成绩(1,i y i =学生编号i 123456789数学成绩i x 1009996939088858380知识竞赛成绩iy 29016022020065709010060参考答案：【详解】，，或是，，根据集合元素的互异性，集合为，共含有9．AC【分析】对于A：根据线面平行分析判断；对于D：根据线面、面面垂直的判定定理分析判断【详解】对于选项A：因为D，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF所以BC∥平面PDF，故A正确；对于选项B：因为D，E分别是且PA与AC夹角为60︒，所以异面直线对于选项C：因为E是BC的中点，且同理可得：AE BC ⊥，PE AE E = ，,PE AE ⊂平面PAE ，所以DF ⊥平面PAE ，且DF ⊂平面ABC ，所以平面PAE ⊥平面ABC ，故C 正确；对于选项D ：取底面ABC 的中心O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABC ，但PO 与平面PDF 相交，所以平面PDF 与平面ABC 不垂直，故D 错误；故选：AC.10．ABD【分析】由n S 与n a 的关系得出n a 与1n a -的关系式即可判断ABD ，通过举反例即可判断出C ．【详解】对于A ，当2n ≥时，n n S a =且11n n S a --=，两式相减可得11n n n n n a S S a a --=-=-，即10n a -=．所以{}n a 是恒为0的数列，即{}n a 是公差为0的等差数列，故A 正确；对于B ，当2n ≥时，n n S na =且11(1)n n S n a --=-，两式相减可得11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--，即1(1)(1)n n n a n a --=-，所以1n n a a -=，即{}n a 是常数列，是公差为0的等差数列，故B 正确；对于C ，如果10a ≠，令1n =可得21a =，当2n ≥时，1n n n S a a +=且11n n n S a a --=，两式相减可得()111n n n n n n a S S a a a -+-=-=-，如果0n a ≠，则111n n a a +--=，这并不能推出{}n a 是等差数列，例如：考虑如下定义的数列{}n a ：1，1，2，2，3，3，L ，则其通项公式可写成2n a n =，21n a n -=．则()222122111(2)(1)nnn k k n n k k S a a k n n a a -+===+==+=∑∑，）DN．由（1）可知PB⊥平面BDN∠是BD与平面ADMN所成角．2AD AB BC a====，于是另一方面，22BD AB AD=+=因此，在直角三角形BDN中，sinBD与平面ADMN所成角的正弦值为(1)8 17证明见解析【分析】（1）方法一，根据三边长度，利用余弦定理，求方法二，先求sin CAE∠，再根据二倍角公式求）如图：轴垂直，则直线l ：1x =，联立直线与椭圆方程可得2b a =±．所以不妨设1,A ⎛ ⎝，所以4210b OA OB a ⋅=-= ，则b a，所以210a a --=，解得）如图：（i ）若直线AB 与x 轴垂直，由（1）可知钝角，只需4210b OA OB a ⋅=-< ，即21b a >．代入152-（舍去）．）若直线AB 与x 轴不垂直，设()11,A x y ，221b a =-，椭圆方程变为222211x y a a +=-．联立直线与椭圆方程选做（ii ）问：根据()g x 的单调性，可知：()g x 在区间π3π2π,2π()22m m m ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 即()1,m m a b +()g x 在ππ2,2π()22m m m π⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 即(),m m b a 中的值域为结合①②两式以及()1(0)g g b >，可知当N m ∈时，()g x 在πππ,π[0,22m m ⎛⎫-+++∞ ⎪⎝⎭I 当21m k =-时，()()()211,k k k A g a g b --=；当2m k =。

一、单选题二、多选题1. 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ）A．B．C．D．2.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（ ）A．B．C．D．3. 函数的值域是（ ）A．B．C．D．4. 若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数是（ ）A．B．C．D．5. 设，，则等于（ ）A．B．C．D．6. 设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（ ）A ．2B ．-2C．D．7.已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．8.已知圆与圆相交于，两点，且，给出以下结论：①是定值；②四边形的面积是定值；③的最小值为；④的最大值为，则其中正确结论的个数是（ ）A．B．C．D．9.如图，在正方体中，E ､F ､G 分别为的中点，则（）A．B ．与所成角为C．D ．平面10. 与－835°终边相同的角有( )A ．－245°B ．245°C ．475°D ．－475°E ．－115°2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(高频考点版)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（二）（新高考九省联考题型）(高频考点版)三、填空题四、解答题11. 已知函数，则（ ）A ．为偶函数B．的最小值为C ．函数有两个零点D ．直线是曲线的切线12.已知数列满足，记的前项和为，则（ ）A．B．C．D．13. 若关于的不等式的解是,试求的最小值为_____.14.已知，若的展开式中含项的系数为40，则______.15.设函数的定义域为，满足，当时，，则______16.已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.(1)求函数的解析式；(2)设函数，若在区间上单调递减，求m 的最大值.17.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知．(1)求；(2)若，是外的一点，且，，则当为多少时，平面四边形的面积最大，并求的最大值．18. 若正项数列的首项为，且当数列是公比为的等比数列时，则称数列为“数列”.（1）已知数列的通项公式为，证明：数列为“数列”；（2）若数列为“数列”，且对任意，、、成等差数列，公差为.①求与间的关系；②若数列为递增数列，求的取值范围.19. 刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在40~100分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.如图有两个数据没有标注清晰（即图中），但已知此直方图的满意度的中位数为68.(1)求的值；并据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金.方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品.①求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到0.1）20. 已知函数有两个零点.(1)求a的取值范围.(2)记两个零点分别为x 1，x2，证明：.21. 已知,其中为自然对数的底数．(1)若在处的切线的斜率为，求；(2)若有两个零点，求的取值范围．。

2020年山东省新高考预测卷数学 参考答案及解析参考答案：1-4：DCBA 5-8：DBCB 9：AC 10：ABD 11：ACD 12：ACD 13：14 14：22＋2 15：2 23 16：[25－4，25＋4]解析：1、z ＝(2＋i)(3－2i)＝8－i ，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(8，－1)，故选D.2、由题意得，A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，故选C.3、根据线面垂直的判定和性质，可知由后者可推前者，但由前者不能推后者，故“直线l 与平面α内的无数条直线垂直”是“直线l 与平面α垂直”的必要不充分条件，选B.4、∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故排除B ，D.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2＞1，∴排除C.故选A.5、法一 设AB →＝a ，AD →＝b ，则a·b ＝0，a 2＝16，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋a ＝34a ＋12b ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＋34a ＋12b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54a ＋32b ＝54a 2＋32a ·b ＝54a 2＝20，故选D.法二 以A 为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD ＝t (t ＞0)，则B (4，0)，C (2，t )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ，所以AB →·(AC →＋AE →)＝(4，0)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2，t ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12t ＝(4，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫5，32t ＝20，故选D.6、由题意知，八卦中含1根与2根阴线的卦各有3种，含0根与3根阴线的卦各有1种，故从8种卦中取2卦的取法总数为C 28种，2卦中恰含4根阴线的取法为C 23＋C 13·1＝6种，所以所求概率P ＝6C 28＝314，故选B.7、由抛物线的定义知|AF |＝p 4＋p2＝3，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x ，A (1，a )，则a 2＝8，解得a ＝22或a ＝－22(舍去)，所以A (1，22).又焦点F (2，0)，所以直线AF 的斜率为－22，直线AF 的方程为y ＝－22(x －2)，代入抛物线C 的方程y 2＝8x ，得x 2－5x ＋4＝0，所以x A ＋x B ＝5，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝5＋4＝9，故选C.8、根据AB ⊥BC 可知AC 为三角形ABC 所在截面圆O 1的直径，又平面PAC ⊥平面ABC ，△APC 为等边三角形，所以P 在OO 1上，如图所示，设PA ＝x ，则AO 1＝12x ，PO 1＝32x ，所以PO 1＝32x ＝OO 1＋2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －22＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2⇒x 2－23x ＝0⇒x ＝23，所以AO 1＝12×23＝3，PO 1＝32×23＝3，当底面三角形ABC 的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时三棱锥P －ABC 的体积最大，此时V ＝13S △ABC ×PO 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×3×3＝3.9、因为a 2，a 3＋1，a 4成等差数列，所以a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，因此，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋3a 3＋2＝a 1＋14，故a 3＝4.又{a n }是公比为q 的等比数列，所以由a 2＋a 4＝2(a 3＋1)，得a 3⎝⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝2(a 3＋1)，解得q ＝2或12.10、由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故条形图中A ，C 一样高，扇形图中A 类占比与C 一样都为25%，A 和C 共占约50%，故D 也正确.D 的占比最小，A 正确.11、g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.g (x )的最小正周期为π，选项A 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有增有减，选项B 错误；g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故x ＝π12不是g (x )图象的一条对称轴，选项C 正确.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，且当2x ＋π3＝2π3，即x ＝π6时，g (x )取最小值－12，D 正确.12、∵φ(x )＝e x·f (x )－g （x ）ex只有一个零点，∴2m (x 2＋1)－e x－（m ＋2）（x 2＋1）2e x＝0只有一个实数根，即(m ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1e x 2－2m ·x 2＋1e x ＋1＝0只有一个实数根.令t ＝x 2＋1e x ，则t ′＝（x 2＋1）′e x －（x 2＋1）e x （e x ）2＝－（x －1）2e x≤0，∴函数t ＝x 2＋1ex在R 上单调递减，且x →＋∞时，t →0，∴函数t ＝x 2＋1ex的大致图象如图所示，所以只需关于t 的方程(m ＋2)t 2－2mt ＋1＝0(*)有且只有一个正实根. ①当m ＝2时，方程(*)为4t 2－4t ＋1＝0，解得t ＝12，符合题意；②当m ＝3时，方程(*)为5t 2－6t ＋1＝0，解得t ＝15或t ＝1，不符合题意；③当m ＝－3时，方程(*)为t 2－6t －1＝0，得t ＝3±10，只有3＋10>0，符合题意. ④当m ＝－4时，方程(*)为2t 2－8t －1＝0，得t ＝4±322，只有4＋322>0，符合题意.故选A ，C ，D.13、根据题意得：f (－2)＝(－2)2＝4， 则f (f (－2))＝f (4)＝24－2＝16－2＝14. 14、由题意得2b a ＋1b ＝2b a ＋a ＋2b b ＝2b a ＋ab＋2≥22b a ·ab＋2＝22＋2，当且仅当a ＝2b ＝2－1时，等号成立，所以2b a ＋1b的最小值为22＋2.15、由已知可得(2－12)(1＋a )3＝27，则a ＝2，∴(2－x 2)(1＋ax )3＝(2－x 2)(1＋2x )3＝(2－x 2)(1＋6x ＋12x 2＋8x 3)，∴展开式中含x 2的项的系数是2×12－1＝23.16、由题意可知，直线OP 的方程为y ＝k 1x ，OQ 的方程为y ＝k 2x ，因为OP ，OQ 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝22，|k 2x 0－y 0|1＋k 22＝22， 分别对两个式子进行两边平方，整理可得k 21(8－x 20)＋2k 1x 0y 0＋8－y 20＝0，k 22(8－x 20)＋2k 2x 0y 0＋8－y 20＝0，所以k 1，k 2是方程k 2(8－x 20)＋2kx 0y 0＋8－y 2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1k 2＝8－y 208－x 20.又k 1·k 2＝－1，所以8－y 208－x 20＝－1，即x 20＋y 20＝16.又|TO |＝4＋16＝25，所以|TO |－4≤|TM |≤|TO |＋4，所以25－4≤|TM |≤25＋4. 答案 [25－4，25＋4]17. (1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①：b n ＝42n ·2（n ＋1）＝1n （n ＋1），S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 选条件②：∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)na n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ， 当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]＝n2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝(n －1)－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数.选条件③：∵a n ＝2n ，b n ＝2a n ·a n ，∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ×4n，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)×4n ＋2n ×4n ＋1，②由①－②得，－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）1－4－2n ×4n ＋1＝8（1－4n ）－3－2n ×4n ＋1，∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.18. (1)法一 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ， 由正弦定理得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3cos A sin C ， 得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，所以3sin B ＝2sin B cos A ，因为sin B >0，所以cos A ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6. 法二 因为m ∥n ，所以3a cos C ＝(2b －3c )cos A ，易知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，代入上式得，3a ×a 2＋b 2－c 22ab ＝(2b －3c )×b 2＋c 2－a 22bc，整理得，3bc ＝b 2＋c 2－a 2，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)由(1)得3bc ＝b 2＋c 2－a 2，又b 2－a 2＝12c 2，所以c ＝23b ，又S △ABC ＝12bc sin A ＝12b ×23b ×12＝332，得b 2＝9，所以b ＝3. 19. (1)E ，F 分别为BP ，CD 的中点，证明如下： 连接ME ，MF ，EF ，∵M ，F 分别为AD ，CD 的中点，∴MF ∥AC .又E 为BP 的中点，且四边形PBCD 为梯形，∴BC ∥EF .∵MF ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MF ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ， 又∵MF ∩EF ＝F ，MF ，EF ⊂平面MEF ， ∴平面MEF ∥平面ABC .(2)由题意知AP ，BP ，DP 两两垂直，以P 为坐标原点，PB ，PD ，PA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，∵在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，AD ＝3，BP ⊥AD ，∴AP ＝1，BP ＝1，PD ＝2， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，P (0，0，0)，C (1，1，0)，A (0，0，1)，PC →＝(1，1，0)，PM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12.设平面MPC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PC →＝0，n 1·PM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝－1，∴n 1＝(－1，1，－2)为平面MPC 的一个法向量. 同理可得平面PAC 的一个法向量为n 2＝(－1，1，0). 设二面角M －PC －A 的平面角为θ，由图可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝26×2＝33.∴二面角M －PC －A 的余弦值为33. 20. (1)根据表中数据，描点如图：(2)由已知数据得t －＝ 1＋2＋3＋4＋5＋66＝3.5，y －＝3＋5＋8＋11＋13＋146＝9，∑6i ＝1t i y i ＝3＋10＋24＋44＋65＋84＝230，∑6i ＝1t 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91， b ^＝∑6i ＝1t i y i －6t － y－∑6i ＝1t 2i －6t－2＝230－6×3.5×991－6×3.52≈2.34，a ^＝y －－b ^ t －＝9－2.34×3.5＝0.81， 所以y 关于t 的线性回归方程为y ^＝2.34t ＋0.81.(3)由(2)可知，当t ＝1时，y ^1＝3.15；当t ＝2时，y ^2＝5.49；当t ＝3时，y ^3＝7.83；当t＝4时，y ^4＝10.17；当t ＝5时，y ^5＝12.51；当t ＝6时，y ^6＝14.85.与年利润数据y i 对比可知，满足y ^i －y i <0的数据有3个，所以X 的所有可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 23C 26＝15，P (X ＝1)＝C 13C 13C 26＝35，P (X ＝2)＝C 23C 26＝15，X 的分布列为数学期望E (X )＝0×15＋1×35＋2×5＝1.21. (1)由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点为(3，0)，知a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3，则x 2a 2＋y 2a 2－3＝1，a 2>3.又椭圆过点M (－2，1)，∴4a 2＋1a 2－3＝1，又a 2>3，∴a 2＝6.∴椭圆Γ的标准方程为x 26＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝k （x －1）得x 2＋2k 2(x －1)2＝6，即(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－6＝0，∵点N (1，0)在椭圆内部，∴Δ>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k21＋2k2， ①x 1x 2＝2k 2－62k 2＋1， ②则t ＝MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋(kx 1－k －1)·(kx 2－k －1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2－k 2－k )(x 1＋x 2)＋k 2＋2k ＋5 ③， 将①②代入③得，t ＝(1＋k 2)·2k 2－62k 2＋1＋(2－k 2－k )·4k22k 2＋1＋k 2＋2k ＋5，∴t ＝15k 2＋2k －12k 2＋1，∴(15－2t )k 2＋2k －1－t ＝0，k ∈R ， 则Δ1＝22＋4(15－2t )(1＋t )≥0，∴(2t －15)(t ＋1)－1≤0，即2t 2－13t －16≤0， 由题意知t 1，t 2是2t 2－13t －16＝0的两根， ∴t 1＋t 2＝132.22.(1) ∵a ＝0时，∴f (x )＝e x －ln x ，f ′(x )＝e x－1x(x >0)，∴f (1)＝e ，f ′(1)＝e －1，∴函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程为：y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.(2)证明 ∵f ′(x )＝ex ＋a－1x(x >0)，设g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x ＋a＋1x2>0，∴g (x )是增函数，∵ex ＋a>e a ，∴由e a >1x⇒x >e －a，∴当x >e －a时，f ′(x )>0； 若0<x <1⇒ex ＋a<ea ＋1，由ea ＋1<1x⇒x <e －a －1，∴当0<x <min{1，e －a －1}时，f ′(x )<0，故f ′(x )＝0仅有一解，记为x 0，则当0<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )递增；∴f (x )min ＝f (x 0)＝e x 0＋a －ln x 0，而f ′(x 0)＝e x 0＋a －1x 0＝0⇒e x 0＋a ＝1x 0⇒a ＝－ln x 0－x 0，记h (x )＝ln x ＋x ， 则f (x 0)＝1x 0－ln x 0＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，a >1－1e ⇔－a <1e－1⇔h (x 0)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，而h (x )显然是增函数， ∴0<x 0<1e ⇔1x 0>e ，∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0>h (e)＝e ＋1. 综上，当a >1－1e时，f (x )>e ＋1.。

新高考数学趋势分析真题近年来，新高考数学考试的趋势日益凸显，考生们也面临着更加严峻的挑战。

为了更好地应对新高考数学考试，考生们需要深入分析历年真题，把握考试趋势，做好充分的准备。

本文将结合历年真题，对新高考数学考试的趋势进行分析，帮助考生更好地备战考试。

一、单选题与填空题增加难度从历年的高考数学真题来看，单选题和填空题的难度逐年增加。

这反映了考试试题对于考生能力的更高要求，更注重考查考生的综合运用能力。

因此，考生在备考过程中，应该注重对基础知识点的掌握，并能够灵活运用知识解决问题。

同时，要注重平时练习，增强解决问题的能力，以更好地适应考试要求。

二、实际问题解决能力的考查增多新高考数学试题更加注重考查考生解决实际问题的能力，不再是简单的计算或应试技巧。

因此，考生在备考过程中，需要注重理解题目背后的实际问题，培养解决问题的独立思考能力。

同时，要注意提高数学建模能力，灵活运用数学知识解决现实中的实际问题，做到理论联系实际。

三、综合运用能力考查增加新高考数学试题更加强调综合运用能力，要求考生能够综合运用数学知识解决复杂问题。

这就要求考生平时多做综合性的练习题，培养解决问题的整体思维能力。

同时，要注重将不同的知识点相互联系，形成知识的网络，提高综合运用能力，做到举一反三。

四、考试知识点覆盖面更广新高考数学试题的知识点覆盖面更广，考生需要掌握的知识点更多。

因此，考生在备考过程中，要注重对各个知识点的系统学习和掌握，不能有遗漏。

同时，要灵活运用各种知识解决问题，做到知识面广，深入掌握，做到举一反三。

五、题型结构更加灵活多样新高考数学试题的题型结构更加灵活多样，考生需要面对不同类型的题目。

因此，考生在备考过程中，要注重熟悉各类题型的解题方法，增强解决问题的能力。

同时，要注重平时练习，做到举一反三，多角度思考，善于灵活运用知识解决问题。

综上所述，新高考数学试题趋势分析真题表明，考生在备考过程中需要注重对基础知识的掌握和综合运用能力的提高，同时要注重解决实际问题的能力，做到理论联系实际。

2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。

从11月份山东数学模拟考试看新高考数学多选题出题趋势2019年11月末,山东省组织高三学生进行了一次统一的模拟考试.因为此前传说高考数学试卷会出现多选题,所以这次考试被很多人看作是了解高考新动向的风向标。

这次考试也确实没有让关心的人失望，确实出现了传言中的多项选择题，这在几十年的高考数学题目中还是首次出现。

2017年9月，北京、天津、山东、海南四省市成为高考改革第二批试点地区，采用“3+3”高考模式。

2019年4月河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆八省市启动第三批高考改革，确定将采用“3+1+2”模式。

随着越来越多的地区加入新高考阵营，未来出题在难度上、题型上有什么变化，逐步成为广大家长、学生、教师们关心的热点。

而这次山东组织的模拟考试，无疑为大家提供了一个明确的信号——数学加入多选题不再是传闻，并且未来有更多的改变也不是不可能。

首先来说一下山东省11月末的这次考试。

从试卷上来看，题目数量未发生变化，依然是22个题目。

但是在题型设置上有了巨大变化，分别是8个单选题、4个多选题、4个填空题、6个解答题。

此外，在第17题（第一个解答题）中，出现了从3个条件中选取一个条件组成一道题目，再解答的问题。

难度虽然不大，却改变了以往固定题目的方式，也是值得注意的。

对这次考试，我们从以下几个方面加以总结，以便更多人能了解这次出题的风格和反映出来的趋势：1.题型发生变化，引入多选题将原来的12个单选题分成了8个单选题和4个多选题。

试卷形式也从原来的3部分变成了4部分.这是最直观的变化。

无论是单选题还是多选题，每个题目的分值都是5分。

2.多选题的引入可能会增加学生答题时间如果只是单选题，那么只要确定一个满足题意的选项就行了。

但是对于多选题，每一个选项都可能是满足题意的，所以需要逐一的计算审核，这无疑会增加学生答题时间。

因此对于基础薄弱，平时做题马虎、判断不果断、计算拖沓的学生来说更有考验性。

平时复习要更加侧重基础知识的理解和做题速度的训练，否者很容易答题时间不够。

2023年普通高等学校招生全国统一考试�新高考仿真模拟卷数学（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B = （）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（）A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（）A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cm D ．312900cm 6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（）A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（）A B ．4C ．4D ．2二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=+>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（）A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠= ，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（）A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______．14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x>的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-．(1)判断ABC 的形状；(2)若a =，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1ACD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积；(3)求直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=．(1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围.【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤∴{}12A B x x ⋂=≤<故选：B.2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数.【详解】()523x + 展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅；当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C.4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---,故选：A.5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果.【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ，所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm .因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm .故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==，又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==，故选：D .7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可.【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中，如图①所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD ==，则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ，则PH ⊥平面ABCD ，又112AH AD ==，所以在Rt PAH △中，3PH =，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ，连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心，且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ，所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形.如图②连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==，在图①中连接OB ，由112O B BD ==，所以在1Rt OO B中，OB ====即四棱锥P ABCD-外接球的半径为3R OB ==，所以四棱锥P ABCD-外接球的表面积为：221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C.8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =，∴12121612k k y y ==-∴1232y y =-，∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,M y --，同理：24(1,N y --∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==，设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，又∵1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =，∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ，∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9.方法1：1211||1321||||2888y y MN y y -==+≥⨯，当且仅当1||y =.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△，∴△PMN的面积的最小值为2.方法2：12||||8y y MN -====∵20m ≥∴||MN ≥=m =0时取得最小值.∴19||9||222PMN S MN MN =⨯=≥△，∴△PMN的面积的最小值为2.故选：D.9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=.故选：AD.10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD正方向为,x y轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD == ，60DAB ∠= ，2BD ∴=，OA OC ==()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，AC BD ^ ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B，)1AB =-，)AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C，12OE ⎫=⎪⎪⎝⎭，()BA = ，31122OE BA ∴⋅=-+=- ，C 错误；对于D，12OE ⎫=⎪⎪⎝⎭，12AE ⎫=⎪⎪⎝⎭ ，915442OE AE ∴⋅=+= ，D 正确.故选：ABD.11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误，这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误，这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误，因为1()()35P AB P A ==，所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===，故D 正确，故选：ABC.12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-，所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781c c c x x x xx x c +=+-=--=-+对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x +=-+>⨯-⨯+=.即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'，消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得：123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值，()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确.故选：BCD.13．710##0.7【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦.所以21475410s t ==.故答案为:710.14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切,圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--==,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩,且已知半径为1,所以圆的方程可以为:()2221x y +-=或()2221x y ++=或()2221x y ++=故答案为:()2221x y +-=(答案不唯一)15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a =±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+，解得：12e =.故答案为：12.16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x =++，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =++-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数，得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >；当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞17．(1)1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ；（2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a + 成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩，当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去；12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++，1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++，()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形(2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得，2sin cos sin cos sin C B B C A+=即()2sin sin B C A+=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c ，又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos cB a ==在ABD △中，由余弦定理可得，222222423cos 23b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠==⋅解得AD =，在ABD △中由余弦定理可得，22222224233cos 0233b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠=⋅19．(1)证明见解析(2)235【分析】（1）连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积；（3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值.【详解】（1）证明：连接1AC 交1AC 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD .（2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB ==222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得5AC BC CM AB ⋅==，因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--=+=⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形111123353C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅=⨯=四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ，设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z = ，()12,0,2CA = ，()0,1,1CE = ，则12200n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,1,1n =- ，因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC nBC n BC n⋅<>==--⋅，因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望.【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：X123P72421407401120∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.21．(1)22145x y-=(2)2y x =2y x =-【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程.【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =-- ，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =，∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--，11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k k x x x x k k+=++++=-++=--，解得：2k =±，满足252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：2y x =+2y x =.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).(2)证明过程见详解【分析】(1)因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =；当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（新高考）数学试题及答案一、单选题（20分）请从每题的选项中选择一个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

1.若函数f(x)在区间[-1,3]上连续，则其必定是 A. 递减函数 B. 倒U型函数 C. 奇函数 D. 偶函数2.已知三角形ABC，AB=AC，角A=40°，则角B的度数等于 A. 40° B. 70° C. 80° D. 100°3.设a,b都是正数，且logₐ1/3=log₃b/2，则a/b的值等于 A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 24.若a,b>0，且a+b=1，则a²+b²的最小值是 A. 1/2 B.1/√2 C. 1/4 D. 15.若直线y=mx+2与曲线y=4x²-3x-1有两个公共点，则m的取值范围是 A. (-∞,1/8) B. (-∞,0)∪(0,1/8) C. (-∞,1/8]∪[0,+∞) D. (-∞,0)二、多选题（20分）请从每题的选项中选择一个或多个最符合题意的答案，并在答题卡上将相应的字母涂黑。

6.设实数x满足条件|x-3| < 2，下列等式成立的是 A.x > 5 B. x < 1 C. x ≠ 3 D. x > 17.在直角坐标系中，下列函数中具有对称中心为(2,-1)的是 A. y=x-1 B. y=-(x-2)²-1 C. y=√(x²-4x+4) D. y=1/x-38.设集合A={a, a², a³}，则以下命题成立的是 A. 若a>1，则a>1/a² B. 若a<0，则a³<0 C. 若a=1, 则A={1} D. 若a=0，则A={0}9.已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c，若它与y=x+3有恰有一个交点，并且这个交点横纵坐标都是正数，则以下命题成立的是 A. a+b = -1 B. a+c = -3 C. a+c > 0 D. a+b+c > 010.设集合A={x | x=x²-2x-3, x∈R}，B={x | x²+x-6=0,x∈R}，则以下命题成立的是A. A⊂B B. A∩B=∅ C. B⊆A D.B∪A=∅三、填空题（20分）请根据题目要求填写空缺，并在答题卡上写出完整的答案。

２０２４年高考数学模拟试题(新高考)林国红(广东省佛山市乐从中学ꎬ广东佛山５２８３１５)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００８４－１０收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:林国红(１９７７－)ꎬ男ꎬ广东省佛山人ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀说明:(１)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分１５０分.考试时间１２０分钟.(２)本试卷适用省份:(新高考Ⅰ卷)山东㊁福建㊁湖北㊁江苏㊁广东㊁湖南㊁河北等省ꎻ(新高考Ⅱ卷)海南㊁辽宁㊁重庆等省市.一㊁选择题:本题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的.１.设集合Ａ＝ｘ(ｘ＋１)(ｘ－４)<０{}ꎬＢ＝ｘ２ｘ＋ａ<０{}ꎬ且ＡɘＢ＝ｘ－１<ｘ<３{}ꎬ则ａ＝(㊀㊀).Ａ.６㊀㊀㊀Ｂ.４㊀㊀㊀Ｃ.－４㊀㊀㊀Ｄ.－６２.已知ｉ(１＋ｚ)＝１(其中ｉ为虚数单位)ꎬ则ｚ－ｚ－＝(㊀㊀).Ａ.－２Ｂ.０Ｃ.２ｉＤ.－２ｉ３.已知２ｓｉｎα＝３＋２３ｃｏｓαꎬ则ｓｉｎ(２α－π６)＝(㊀㊀).Ａ.－１８Ｂ.－７８Ｃ.３４Ｄ.７８４.已知等比数列{ａｎ}的首项ａ１＝２ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ且ａ１ꎬ２ａ２ꎬ４ａ３成等差数列ꎬ则(㊀㊀).Ａ.Ｓｎ＋１＝３２Ｓｎ㊀㊀㊀Ｂ.Ｓｎ＋１＝１２Ｓｎ＋２Ｃ.Ｓｎ＋１＝ａｎ＋１㊀㊀㊀Ｄ.Ｓｎ＋１＝１２ａｎ＋１５.某款对战游戏ꎬ总有一定比例的玩家作弊ꎬ该游戏每１０个人组成一组对局ꎬ若一组对局中有作弊玩家ꎬ则认为这组对局不公平.现有５０名玩家ꎬ其中有２名玩家为作弊玩家ꎬ一次性将５０名玩家平均分为５组ꎬ则５组对局中ꎬ恰有一组对局为不公平对局的概率为(㊀㊀).Ａ.７２０Ｂ.１６Ｃ.９４９Ｄ.１５６.ａ>２是函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减的(㊀㊀).Ａ.充分不必要条件㊀㊀㊀㊀Ｂ.必要不充分条件Ｃ.充要条件㊀㊀㊀㊀Ｄ.既不充分也不必要７.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的右焦点为Ｆꎬ关于原点对称的两点ＡꎬＢ分别在双曲线的左㊁右两支上ꎬＡＦң ＦＢң＝０ꎬ３ＢＦң＝ＦＣңꎬ且点Ｃ在双曲线上ꎬ则双曲线的离心率为(㊀㊀).Ａ.１０３㊀Ｂ.１０２㊀Ｃ.５２㊀Ｄ.２３３８.已知曲线ｙ＝－ｘ３－３ｘ２＋９ｘ＋９与曲线ｙ＝１－２ｘｘ＋１交于点Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＡ２(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ ꎬＡｎ(ｘｎꎬｙｎ)ꎬ则ðｎｉ＝１(ｘｉ＋ｙｉ)＝(㊀㊀).Ａ.－１６㊀Ｂ.－１２㊀Ｃ.－９㊀Ｄ.－６二㊁选择题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项符合题目要求.全部选对的得５分ꎬ部分选对的得２分ꎬ有选错的得０分.９.袋子中有６个相同的球ꎬ分别标有数字１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ从中有放回的随机取５次ꎬ每次取一个球.记录每次取到的数字ꎬ统计后发现这５个数字的平均数为２ꎬ方差小于１ꎬ则(㊀㊀).Ａ.可能取到数字４㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.中位数可能是２Ｃ.极差可能是４㊀㊀㊀㊀㊀Ｄ.众数可能是２１０.如图１ꎬ正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＰ是体对角线ＡＣ１上的动点ꎬＭ是棱ＤＤ１上的动点ꎬ则下列说法正确的是(㊀㊀).图１㊀第１０题图Ａ.异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角的最小值为π６Ｂ.异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角的最大值为π３Ｃ.对于任意的Ｐꎬ存在点Ｍ使得ＡＭʅＢ１ＰＤ.对于任意的Ｍꎬ存在点Ｐ使得ＡＭʅＢ１Ｐ１１.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ的准线与ｘ轴交于点ＤꎬＯ为坐标原点ꎬ点ＡꎬＢ是抛物线Ｃ上异于点Ｏ的两个动点ꎬ线段ＡＢ与ｘ轴交于点Ｔꎬ则(㊀㊀).Ａ.若Ｔ为抛物线Ｃ的焦点ꎬ则线段ＡＢ的长度的最小值为４Ｂ.若Ｔ为抛物线Ｃ的焦点ꎬ则ＯＡң ＯＢң为定值Ｃ.若әＡＯＴ与әＢＯＴ的面积之积为定值ꎬ则Ｔ为抛物线Ｃ的焦点Ｄ.若直线ＤＡ和直线ＤＢ都与抛物线Ｃ相切ꎬ则Ｔ为抛物线Ｃ的焦点１２.已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｌｎ(ｘ＋１)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(０ꎬｆ(０))处的切线方程为ｙ＝２ｘ㊀Ｂ.ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增Ｃ.对任意的ｘ１ꎬｘ２ɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬ有ｆ(ｘ１＋ｘ２)>ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)Ｄ.对任意的ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ɪ(０ꎬ＋ɕ)ꎬｘ１<ｘ２<ｘ３ꎬ则ｆ(ｘ２)－ｆ(ｘ１)ｘ２－ｘ１ɤｆ(ｘ３)－ｆ(ｘ１)ｘ３－ｘ１三㊁填空题:本题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.１３.在(ｘ＋１ｘ)６的二项展开式中ꎬ常数项为.(用数字作答)１４.已知同一平面内的单位向量ａꎬｂꎬｃꎬ满足ａ＋ｂ＋１３ｃ＝０ꎬ则ａ－ｂ＝.１５.已知圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＝ｍ２(ｍ>０)与圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ－２０＝０恰有两条公切线ꎬ则实数ｍ的取值范围为.１６.有ｎ个编号分别为１ꎬ２ꎬ ꎬｎ的盒子ꎬ第１个盒子中有２个白球１个黑球ꎬ其余盒子中均为１个白球１个黑球ꎬ现从第１个盒子中任取一球放入第２个盒子ꎬ再从第２个盒子中任取一球放入第３个盒子ꎬ以此类推ꎬ则从第２个盒子中取到白球的概率是ꎬ从第ｎ个盒子中取到白球的概率是.四㊁解答题:本题共６小题ꎬ共７０分.解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.１７.已知等比数列{ａｎ}的各项均为正数ꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ若ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝１２ａｎ(ｎɪＮ∗)ꎬＳ５＝１２１.(１)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)若ｂｎ＝ａｎ＋ｌｎａｎꎬ求数列{ｂｎ}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.如图２ꎬ在平面内ꎬ四边形ＡＢＣＤ的对角线交点位于四边形内部ꎬＡＢ＝３ꎬＢＣ＝７ꎬәＡＣＤ为正三角形ꎬ设øＡＢＣ＝α.图２㊀第１８题图(１)求ＡＣ的取值范围ꎻ(２)当α变化时ꎬ求四边形ＡＢＣＤ面积的最大值.１９.如图３ꎬ在梯形ＡＢＣＤ中ꎬＡＤʊＢＣꎬＡＤʅＡＢꎬＢＣ＝２ＡＤ＝６ꎬＡＢ＝３ꎬＡＣ与ＢＤ交于点Ｍꎬ将әＡＢＤ沿ＢＤ翻折至әＰＢＤꎬ使点Ａ到达点Ｐ的位置.图３㊀第１９题图(１)证明:ＢＤʅＰＣꎻ(２)若平面ＰＢＣ与平面ＰＢＤ的夹角的余弦值为７７ꎬ求三棱锥Ｐ－ＢＣＤ的体积.２０.已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的长轴长为２６ꎬ且其离心率小于２２ꎬＰ为椭圆Ｃ上一点ꎬＦ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ的左㊁右焦点ꎬәＦ１ＰＦ２的面积的最大值为２２.(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)Ａ为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ过点Ｄ(０ꎬ－１)且斜率为ｋ的直线ｌ与椭圆Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ直线ｌ１为过点Ｄ且与ＡＭ平行的直线ꎬ设ｌ１与直线ｙ＝－５２的交点为Ｑ.证明:直线ＱＮ过定点.２１.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中ꎬ硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注.这种起搏器体积只有传统起搏器的１１０ꎬ其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症.在起搏器研发后期ꎬ某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产ꎬ试产期同步进行产品检测ꎬ检测包括智能检测与人工抽检.智能检测在生产线上自动完成ꎬ包含安全检测㊁电池检测㊁性能检测等三项指标ꎬ人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测ꎬ且仅设置一个综合指标ꎬ四项指标均达标的产品才能视为合格品.已知试产期的产品ꎬ智能检测三项指标的达标率约为９９１００ꎬ９８９９ꎬ９７９８ꎬ设人工抽检的综合指标不达标率为ｐ(０<ｐ<１).㊀(１)求每个芯片智能检测不达标的概率ꎻ(２)人工抽检３０个芯片ꎬ记恰有１个不达标的概率为φ(ｐ)ꎬ求φ(ｐ)的极大值点ｐ０ꎻ(３)若芯片的合格率不超过９６％ꎬ则需对生产工序进行改良.以(２)中确定的ｐ０作为ｐ的值ꎬ判断该企业是否需对生产工序进行改良.２２.已知ａɪＲꎬ函数ｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｌｎ(１－ｘ)－ｘ－ａｃｏｓｘꎬｆᶄ(ｘ)为ｆ(ｘ)的导函数.(１)当ａ＝０时ꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(２)讨论ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上的零点个数ꎻ(３)比较１１０ｃｏｓ１１０与ｌｎ１０９的大小ꎬ并说明理由.参考答案１.Ａ＝{ｘ－１<ｘ<４}ꎬＢ＝{ｘｘ<－ａ２}ꎬ由ＡɘＢ＝{ｘ－１<ｘ<３}ꎬ得－ａ２＝３ꎬ所以ａ＝－６ꎬ故选Ｄ.２.１＋ｚ＝１ｉ＝ｉｉ２＝－ｉꎬ所以ｚ＝－１－ｉꎬ从而ｚ－ｚ－＝－１－ｉ－(－１＋ｉ)＝－２ｉꎬ故选Ｄ.３.由２ｓｉｎα＝３＋２３ｃｏｓαꎬ得１２ｓｉｎα－３２ｃｏｓα＝３４.即ｓｉｎ(α－π３)＝３４.所以ｓｉｎ(２α－π６)＝ｓｉｎ[２(α－π３)＋π２]＝ｃｏｓ２(α－π３)＝１－２ｓｉｎ２(α－π３)＝１－２ˑ(３４)２＝－１８.故选Ａ.４.设等比数列{ａｎ}的公比为ｑꎬ由于ａ１ꎬ２ａ２ꎬ４ａ３成等差数列ꎬ所以４ａ２＝ａ１＋４ａ３ꎬ４ａ１ｑ＝ａ１＋４ａ１ｑ２.由于ａ１＝２ꎬ所以４ｑ２－４ｑ＋１＝(２ｑ－１)２＝０.解得ｑ＝１２.所以ａｎ＝ａ１ ｑｎ－１＝２ (１２)ｎ－１＝２２－ｎ.所以Ｓｎ＝ａ１(１－ｑｎ)１－ｑ＝２(１－１/２ｎ)１－１/２＝４(１－１２ｎ)＝４－２２－ｎ.则Ｓｎ＋１＝４－２１－ｎ.所以Ｓｎ＋１＝１２Ｓｎ＋２.故选Ｂ.５.所有对局中ꎬ恰有一组对局是不公平对局的情况为:２名外挂玩家都分到了同一组对局ꎬ记该事件为事件Ａꎬ则Ｐ(Ａ)＝Ｃ１５ Ｃ８４８ Ｃ１０４０ Ｃ１０３０ Ｃ１０２０ Ｃ１０１０Ｃ１０５０ Ｃ１０４０ Ｃ１０３０ Ｃ１０２０ Ｃ１０１０＝Ｃ１５Ｃ８４８Ｃ１０５０＝９４９.故选Ｃ.６.ｙ＝ｘ－ａ＝－ｘ＋ａꎬｘ<ａꎬｘ－ａꎬｘȡａꎬ{显然函数ｙ＝ｘ－ａ的单调递减区间为(－ɕꎬａ)ꎬ所以ａ>２时ꎬ函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减ꎻ若函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减ꎬ则ａȡ２ꎬ所以ａ>２是函数ｙ＝ｘ－ａ在(－ɕꎬ２]单调递减的充分不必要条件ꎬ故选Ａ.７.由题设Ｆ(ｃꎬ０)ꎬ令Ａ(ｍꎬｎ)且ｍ<－ａꎬＣ(ｘꎬｙ)ꎬ则Ｂ(－ｍꎬ－ｎ)ꎬ且ｍ２ａ２－ｎ２ｂ２＝１.①由ＡＦң ＦＢң＝(ｃ－ｍꎬ－ｎ) (－ｍ－ｃꎬ－ｎ)＝ｍ２－ｃ２＋ｎ２＝０ꎬ即ｍ２＋ｎ２＝ｃ２.②由３ＢＦң＝ＦＣңꎬ得３(ｃ＋ｍꎬｎ)＝(ｘ－ｃꎬｙ).所以ｘ＝４ｃ＋３ｍꎬｙ＝３ｎ.{即Ｃ(４ｃ＋３ｍꎬ３ｎ).又Ｃ在双曲线上ꎬ则(４ｃ＋３ｍ)２ａ２－９ｎ２ｂ２＝１.③由①得ｎ２ｂ２＝ｍ２ａ２－１.代入③并整理ꎬ得２ｃ２＋３ｍｃ＋ａ２＝０.由①②及ａ２＋ｂ２＝ｃ２ꎬ得ｎ２＝ｍ２ｂ２ａ２－ｂ２＝ｃ２－ｍ２.所以ｍ２＝２ａ２－ａ４ｃ２.所以(２ｃ２＋ａ２)２＝９ｍ２ｃ２＝１８ａ２ｃ２－９ａ４.即２ｃ２－７ａ２ｃ２＋５ａ４＝(２ｃ２－５ａ２)(ｃ２－ａ２)＝０.显然ａ２ʂｃ２ꎬ则ｅ２＝ｃ２ａ２＝５２.所以ｅ＝１０２.故选Ｂ.８.令ｆ(ｘ)＝－ｘ３－３ｘ２＋９ｘ＋９ꎬ则ｆ(ｘ－１)＝－(ｘ－１)３－３(ｘ－１)２＋９(ｘ－１)＋９＝－ｘ３＋１２ｘ－２ꎬｆ(－ｘ－１)＝－(－ｘ－１)３－３(－ｘ－１)２＋９(－ｘ－１)＋９＝ｘ３－１２ｘ－２.所以ｆ(ｘ－１)＋ｆ(－ｘ－１)＝－４所以ｆ(ｘ)关于(－１ꎬ－２)中心对称.因为ｙ＝１－２ｘｘ＋１＝－２(ｘ＋１)＋３ｘ＋１＝－２＋３ｘ＋１ꎬ所以ｙ＝１－２ｘｘ＋１关于(－１ꎬ－２)中心对称.因为ｆᶄ(ｘ)＝－３ｘ２－６ｘ＋９＝－３(ｘ＋３)(ｘ－１)ꎬ所以当ｘɪ(－ɕꎬ－３)ɣ(１ꎬ＋ɕ)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘɪ(－３ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０.所以ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３)ꎬ(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ在(－３ꎬ１)上单调递增.所以ｆ(ｘ)的极小值为ｆ(－３)＝２７－２７－２７＋９＝－１８ꎬ极大值为ｆ(１)＝－１－３＋９＋９＝１４.当ｘɪ(－１ꎬ＋ɕ)时ꎬｙ＝－２＋３ｘ＋１单调递减ꎬ且ｙ＝－２＋３ｘ＋１>－２.当ｘ＝１时ꎬｙ＝－２＋３１＋１＝－１２<１４.作出ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在ｘ>－１时的图象如图４所示.由图象可知:ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在(－１ꎬ＋ɕ)上有且仅有两个不同的交点.由对称性可知:ｆ(ｘ)与ｙ＝１－２ｘｘ＋１在(－ɕꎬ－１)上有且仅有两个不同的交点.图４㊀第８题解析图所以ð４ｉ＝１(ｘｉ＋ｙｉ)＝(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４)＋(ｙ１＋ｙ２＋ｙ３＋ｙ４)＝(－１)ˑ２ˑ２＋(－２)ˑ２ˑ２＝－１２.故选Ｂ.９.设这５个数字为ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３ꎬｘ４ꎬｘ５ꎬ对于Ａ:若取到数字４ꎬ不妨设为ｘ１＝４ꎬ则４＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５５＝２.可得ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝６.可知这４个数中至少有２个１ꎬ不妨设为ｘ２＝ｘ３＝１ꎬ则这５个数字的方差ｓ２＝１５[(ｘ１－２)２＋(ｘ２－２)２＋(ｘ３－２)２＋(ｘ４－２)２＋(ｘ５－２)２]ȡ１５[(４－２)２＋(１－２)２＋(１－２)２]＝６５>１ꎬ不合题意ꎬ故Ａ错误ꎻ对于Ｃ:因为这５个数字的平均数为２ꎬ这５个数字至少有１个１ꎬ或５个２ꎬ不妨设为ｘ１＝１ꎬ若极差是４ꎬ这最大数为５ꎬ不妨设为ｘ２＝５ꎬ则这５个数字的平均数ｘ－＝１５(ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５)＝１５(１＋５＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５)＝２ꎬ则ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝４ꎬ可知这３个数有２个１ꎬ１个２ꎬ此时这５个数字的方差ｓ２＝１５[(１－２)２＋(５－２)２＋(１－２)２＋(１－２)２＋(２－２)２]＝１２５>１ꎬ不合题意ꎬ故Ｃ错误ꎻ对于ＢＤ:例如２ꎬ２ꎬ２ꎬ２ꎬ２ꎬ可知这５个数字的平均数为２ꎬ方差为０ꎬ符合题意ꎬ且中位数是２ꎬ众数是２.故选ＢＤ.１０.以Ｃ１为坐标原点ꎬ建系如图５ꎬ设正方体的边长为１ꎬ则Ａ１Ｄң＝(０ꎬ－１ꎬ１).图５㊀第１０题解析图设Ｃ１Ｐң＝λＣ１Ａң＝(λꎬλꎬλ)ꎬλɪ[０ꎬ１]ꎬ则Ｂ１Ｐң＝Ｂ１Ｃ１ң＋Ｃ１Ｐң＝(λꎬλ－１ꎬλ).设异面直线Ｂ１Ｐ与Ａ１Ｄ所成的角为θꎬ则ｃｏｓθ＝ｃｏｓ<Ｂ１ＰңꎬＡ１Ｄң>＝１２λ２＋(１－λ)２＋λ２＝１２ ３λ２－２λ＋１.当λ＝１３时ꎬ(ｃｏｓθ)ｍａｘ＝３２ꎬθｍｉｎ＝π６ꎬ故Ａ正确ꎻ当λ＝１时ꎬ(ｃｏｓθ)ｍｉｎ＝１２ꎬθｍａｘ＝π３ꎬ故Ｂ正确ꎻ设Ｍ(１ꎬ０ꎬｍ)ꎬｍɪ[０ꎬ１]ꎬ则ＡＭң＝(０ꎬ－１ꎬｍ－１)ꎬＡＭң Ｂ１Ｐң＝１－λ＋λ(ｍ－１)＝１＋λ(ｍ－２)ꎬ当λ＝０时ꎬＡＭң Ｂ１Ｐң＝０无解ꎬ故Ｃ错误ꎻ∀ｍɪ[０ꎬ１]ꎬ令ＡＭң Ｂ１Ｐң＝０ꎬ得λ＝１２－ｍɪ[１２ꎬ１]ꎬ即对于任意的Ｍꎬ存在点Ｐ使得ＡＭʅＢ１Ｐꎬ故Ｄ正确.故选ＡＢＤ.１１.设直线ＡＢ方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔ(ｔ>０)ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ２ｐ＝４ꎬｐ＝２ꎬ由ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬｙ２＝４ｘ{得ｙ２－４ｍｙ－４ｔ＝０.所以ｙ１＋ｙ２＝４ｍꎬｙ１ｙ２＝－４ｔ.则ｘ１＋ｘ２＝ｍ(ｙ１＋ｙ２)＋２ｔ＝４ｍ２＋２ｔꎬｘ１ｘ２＝ｙ２１ｙ２２１６＝ｔ２.Ｔ为焦点时ꎬｔ＝１ꎬｘ１＋ｘ２＝４ｍ２＋２ꎬＡＢ＝ｘ１＋ｐ２＋ｘ２＋ｐ２＝４ｍ２＋４ꎬ显然ｍ＝０时ꎬＡＢｍｉｎ＝４ꎬＡ正确ꎻｔ＝１ꎬｘ１ｘ２＝１ꎬｙ１ｙ２＝－４ꎬＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝１－４＝－３ꎬＢ正确ꎻ由ＳәＡＯＴＳәＢＯＴ＝１２ＯＴｙ１１２ＯＴｙ２＝１４ｔ２ｙ１ｙ２＝ｔ３为定值ꎬ所以ｔ为定值ꎬ但不一定有ｔ＝１ꎬＣ错ꎻ又Ｄ(－１ꎬ０)ꎬ设过点Ｄ的切线方程是ｙ＝ｋ(ｘ＋１)ꎬｋʂ０ꎬ由ｙ＝ｋ(ｘ＋１)ꎬｙ２＝４ｘ{得ｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０ꎬә＝１－ｋ２＝０ꎬｋ＝ʃ１.当ｋ＝１时ꎬｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０的解为ｙ＝２ꎬ因此ｘ＝１ꎬ即Ａ(１ꎬ２)ꎬ当ｋ＝－１时ꎬｋ４ｙ２－ｙ＋ｋ＝０的解为ｙ＝－２ꎬ因此ｘ＝１ꎬ即Ｂ(１ꎬ－２).直线ＡＢ方程为ｘ＝１ꎬ过焦点Ｆ(１ꎬ０)ꎬＤ正确.故选ＡＢＤ.１２.由题意可知:ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ[ｌｎ(ｘ＋１)＋１ｘ＋１]ꎬｆ(０)＝０ꎬ则ｆᶄ(０)＝１ꎬ则曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(０ꎬｆ(０))处的切线方程为ｙ＝ｘꎬ故Ａ错误ꎻ令ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｅｘ[ｌｎ(ｘ＋１)＋２ｘ＋１－１(ｘ＋１)２].令ｈ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋１)＋２ｘ＋１－１(ｘ＋１)２ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ＋１－２(ｘ＋１)２＋２(ｘ＋１)３＝ｘ２＋１(ｘ＋１)３>０.则ｈ(ｘ)在[０ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ｈ(ｘ)ȡｈ(０)＝１>０ꎬ则ｇᶄ(ｘ)>０.则ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ故Ｂ正确ꎻ令ｍ(ｘ)＝ｆ(ｘ＋ｘ２)－ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ２)(ｘ>０)ꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ＋ｘ２)－ｆᶄ(ｘ)>０.则ｍ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ｍ(ｘ)>ｍ(０)＝ｆ(ｘ２)－ｆ(０)－ｆ(ｘ２)＝０.则ｍ(ｘ１)>０.所以ｆ(ｘ１＋ｘ２)>ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ故Ｃ正确ꎻ令φ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｘ１)ｘ－ｘ１(ｘ>ｘ１)ꎬ则φᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)－ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ１)(ｘ－ｘ１)２.令ω(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)－ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ１)ꎬ则ωᶄ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)(ｘ－ｘ１)>０.则ω(ｘ)在(ｘ１ꎬ＋ɕ)上单调递增.则ω(ｘ)>ω(ｘ１)＝０.则φᶄ(ｘ)>０.则φ(ｘ)在(ｘ１ꎬ＋ɕ)上单调递增.则φ(ｘ２)<φ(ｘ３).则φ(ｘ２)ɤφ(ｘ３)ꎬ故Ｄ正确.故选ＢＣＤ.１３.二项展开式通项为Ｔｒ＋１＝Ｃｒｎｘ６－ｒ２(１ｘ)ｒ＝Ｃｒｎｘ６－３ｒ２ꎬ所以当ｒ＝２时ꎬ常数项Ｔ３＝Ｃ２６＝１５.１４.由题意可知:ａ＋ｂ＝－１３ｃꎬ则(ａ＋ｂ)２＝１＋１＋２ａ ｂ＝１９.则２ａ ｂ＝－１７９.所以ａ－ｂ＝(ａ－ｂ)２＝２－２ａ ｂ＝３５３.１５.由ｘ２＋ｙ２－２ｘ－４ｙ－２０＝０ꎬ即(ｘ－１)２＋(ｙ－２)２＝２５ꎬ可知圆Ｃ２的圆心为(１ꎬ２)ꎬ半径为５.因为圆Ｃ１与圆Ｃ２恰有两条公切线ꎬ所以圆Ｃ１与圆Ｃ２相交ꎬ则｜５－ｍ｜<｜Ｃ１Ｃ２｜<５＋ｍ.又｜Ｃ１Ｃ２｜＝(１－０)２＋(２－０)２＝５ꎬ所以５－５<ｍ<５＋５.即ｍ的取值范围是(５－５ꎬ５＋５).１６.记事件Ａｉ表示从第ｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)个盒子里取出白球ꎬ则Ｐ(Ａ１)＝２３ꎬＰ(Ａ１)＝１－Ｐ(Ａ１)＝１３.所以Ｐ(Ａ２)＝Ｐ(Ａ１Ａ２)＋Ｐ(Ａ１Ａ２)＝Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２Ａ１)＋Ｐ(Ａ１)Ｐ(Ａ２Ａ１)＝２３ˑ２３＋１３ˑ１３＝５９ꎬＰ(Ａ３)＝Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ａ３Ａ２)＋Ｐ(Ａ２)Ｐ(Ａ３Ａ２)＝Ｐ(Ａ２)ˑ２３＋Ｐ(Ａ２)ˑ１３＝１３ˑＰ(Ａ２)＋１３＝１４２７ꎬＰ(Ａ４)＝Ｐ(Ａ３)Ｐ(Ａ４Ａ３)＋Ｐ(Ａ３)Ｐ(Ａ４Ａ３)＝Ｐ(Ａ３)ˑ２３＋Ｐ(Ａ３)ˑ１３＝１３Ｐ(Ａ３)＋１３ꎬ进而可得Ｐ(Ａｎ)＝１３Ｐ(Ａｎ－１)＋１３ꎬＰ(Ａｎ)－１２＝１３[Ｐ(Ａｎ－１)－１２].又Ｐ(Ａ１)－１２＝１６ꎬＰ(Ａ２)－１２＝１１８ꎬ所以Ｐ(Ａ２)－１２＝１３[Ｐ(Ａ１)－１２].所以{Ｐ(Ａｎ)－１２}是首项为１６ꎬ公比为１３的等比数列.所以Ｐ(Ａｎ)－１２＝１６ˑ(１３)ｎ－１＝１２ˑ(１３)ｎ.即Ｐ(Ａｎ)＝１２ˑ(１３)ｎ＋１２.故答案为:５９ꎻ１２ˑ(１３)ｎ＋１２.１７.(１)设{ａｎ}的公比为ｑ(ｑ>０)ꎬ因为ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝１２ａｎꎬ即ａｎ ｑ＋ａｎｑ２＝１２ａｎꎬ且ａｎʂ０ꎬ可得ｑ２＋ｑ－１２＝０ꎬ解得ｑ＝３或ｑ＝－４(舍去).又因为Ｓ５＝ａ１(１－３５)１－３＝１２１ꎬ解得ａ１＝１.所以ａｎ＝ａ１ ｑｎ－１＝３ｎ－１.(２)由(１)可得:ｂｎ＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｌｎ３ꎬ所以Ｔｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ ＋ｂｎ＝(３０＋３１＋３２＋ ＋３ｎ－１)＋[１＋２＋３＋＋(ｎ－１)]ｌｎ３＝１－３ｎ１－３＋(ｎ－１)ｎ２ｌｎ３＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｎｌｎ３２.所以Ｔｎ＝３ｎ－１＋(ｎ－１)ｎｌｎ３２.１８.(１)因为四边形ＡＢＣＤ的对角线交点位于四边形内部ꎬ所以øＢＡＣ＋øＣＡＤ<π.又因为әＡＣＤ为正三角形ꎬøＣＡＤ＝π３ꎬ所以０<øＢＡＣ<２π３.在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理ꎬ得ＡＢ２＋ＡＣ２－ＢＣ２２ＡＢ ＡＣ＝ｃｏｓøＢＡＣ.又因－１２<ｃｏｓøＢＡＣ<１ꎬ将ＡＢ＝３ꎬＢＣ＝７代入并整理ꎬ得ＡＣ２＋３ＡＣ－４０>０且ＡＣ２－６ＡＣ－４０<０.解得５<ＡＣ<１０.所以ＡＣ的取值范围是(５ꎬ１０). (２)在әＡＢＣ中ꎬ由余弦定理可得ꎬＡＣ２＝ＡＢ２＋ＢＣ２－２ＡＢ ＢＣ ｃｏｓα＝９＋４９－２ˑ３ˑ７ｃｏｓα＝５８－４２ｃｏｓα.由(１)知５<ＡＣ<１０ꎬ所以ｃｏｓαɪ(－１ꎬ１１１４).又因为әＡＣＤ为正三角形ꎬ所以ＳәＡＣＤ＝３４ＡＣ２＝２９３２－２１３２ｃｏｓα.又ＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ ＢＣ ｓｉｎα＝２１２ｓｉｎαꎬ所以Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝ＳәＡＢＣ＋ＳәＡＣＤ＝２１２ｓｉｎα＋２９３２－２１３２ｃｏｓα＝２１ˑ(１２ｓｉｎα－３２ｃｏｓα)＋２９３２＝２１ｓｉｎ(α－π３)＋２９３２.所以当α－π３＝π２ꎬ即α＝５π６时ꎬ且ｃｏｓ５π６＝－３２ɪ(－１ꎬ１１１４)成立.㊀四边形ＡＢＣＤ的面积取得最大值ꎬ最大值为２１＋２９３２.㊀１９.(１)因为ｔａｎøＡＤＢ＝ＡＢＡＤ＝３６/２＝２ꎬｔａｎøＣＡＢ＝ＢＣＡＢ＝６３＝２ꎬ所以øＡＤＢ＝øＣＡＢ.所以øＡＤＢ＋øＭＡＤ＝øＣＡＢ＋øＭＡＤ＝９０ʎ.所以ＡＣʅＢＤ.即ＡＭʅＢＤꎬＣＭʅＢＤ.所以ＰＭʅＢＤꎬＣＭʅＢＤ.又ＰＭɘＣＭ＝Ｍꎬ所以ＢＤʅ平面ＰＭＣ.所以ＢＤʅＰＣ.(２)在ＲｔәＡＢＣ中ꎬＡＣ＝ＡＢ２＋ＢＣ２＝３ꎬ因为ＡＤʊＢＣꎬ所以ＡＭＣＭ＝ＡＤＢＣ＝１２.所以ＡＭ＝１ꎬＣＭ＝２ꎬＢＭ＝２.由(１)ＢＤʅ平面ＰＭＣꎬ以Ｍ为坐标原点建立如图６所示的空间直角坐标系Ｍ－ｘｙｚꎬ则Ｂ(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＣ(０ꎬ２ꎬ０)ꎬＤ(－２２ꎬ０ꎬ０)ꎬ设Ｐ(０ꎬｃｏｓθꎬｓｉｎθ)ꎬ其中０<θ<πꎬ图６㊀第１９题解析图所以ＭＢң＝(２ꎬ０ꎬ０)ꎬＣＢң＝(２ꎬ－２ꎬ０)ꎬＢＰң＝(－２ꎬｃｏｓθꎬｓｉｎθ).设平面ＰＢＤ的一个法向量为ｎ＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ则ｎ ＭＢң＝２ｘ１＝０ꎬｎ ＢＰң＝－２ｘ１＋ｙ１ｃｏｓθ＋ｚ１ｓｉｎθ＝０. {取ｙ１＝ｓｉｎθꎬｎ＝(０ꎬｓｉｎθꎬ－ｃｏｓθ)ꎬ设平面ＰＢＣ的一个法向量为ｍ＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬ则ｍ ＣＢң＝２ｘ２－２ｙ２＝０ꎬｍ ＢＰң＝－２ｘ２＋ｙ２ｃｏｓθ＋ｚ２ｓｉｎθ＝０.{取ｙ２＝ｓｉｎθꎬ则ｍ＝(２ｓｉｎθꎬｓｉｎθꎬ２－ｃｏｓθ)ꎬｃｏｓ<ｍꎬｎ>＝ｎ ｍｎｍ＝１－２ｃｏｓθ３ｓｉｎ２θ＋(２－ｃｏｓθ)２＝７７ꎬ解得ｃｏｓθ＝４５ꎬｓｉｎθ＝３５或ｃｏｓθ＝０ꎬｓｉｎθ＝１.故ＶＰ－ＢＣＤ＝１３ＳәＢＣＤ ｚＰ＝３２１０或２２.２０.(１)由题意可知:２ａ＝２６ꎬｂｃ＝２２ꎬａ２＝ｂ２＋ｃ２.ìîíïïïï因为ｅ＝ｃａ<２２ꎬ所以ａ＝６ꎬｂ＝２ꎬｃ＝２.故椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２６＋ｙ２４＝１.(２)设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭＮ:ｙ＝ｋｘ－１ꎬ联立直线ＭＮ与椭圆Ｃ的方程可得(２＋３ｋ２)ｘ２－６ｋｘ－９＝０.则ｘ１＋ｘ２＝６ｋ２＋３ｋ２ꎬｘ１ｘ２＝－９２＋３ｋ２.ìîíïïïï所以２ｋｘ１ｘ２＝－３(ｘ１＋ｘ２).因为ｋＡＭ＝ｋＤＱ＝ｙ１－２ｘ１ꎬ则ｌ１:ｙ＝ｙ１－２ｘ１ｘ－１.令ｙ＝－５２ꎬ解得ｘ＝３ｘ１４－２ｙ１.所以Ｑ(３ｘ１４－２ｙ１ꎬ－５２).故直线ＱＮ的方程为ｙ－ｙ２＝－５/２－ｙ２３ｘ１/(４－２ｙ１)－ｘ２(ｘ－ｘ２).根据对称性ꎬ直线ＱＮ所过的定点在ｙ轴上ꎬ不妨令ｘ＝０ꎬ则ｙ＝ｙ２＋５ｘ２/２＋ｘ２ｙ２３ｘ１/(４－２ｙ１)－ｘ２＝１０ｘ２－５ｘ２ｙ１＋３ｘ１ｙ２３ｘ１－４ｘ２＋２ｘ２ｙ１＝１０ｘ２－５ｘ２(ｋｘ１－１)＋３ｘ１(ｋｘ２－１)３ｘ１－４ｘ２＋２ｘ２(ｋｘ１－１)＝－２ｋｘ１ｘ２＋３ｘ１－１５ｘ２２ｋｘ１ｘ２＋３ｘ１－６ｘ２＝－－１８ｘ２－９ｘ２＝－２.故直线ＱＮ过定点(０ꎬ－２).２１.(１)设每个芯片智能检测中安全检测㊁电池检测㊁性能检测三项指标达标的概率分别记为Ｐ１ꎬＰ２ꎬＰ３ꎬ并记芯片智能检测不达标为事件Ａ.视指标的达标率为任取一件新产品ꎬ该项指标达标的概率Ｐ１＝９９１００ꎬＰ２＝９８９９ꎬＰ３＝９７９８ꎬ由对立事件的性质及事件独立性的定义得:Ｐ(Ａ)＝１－Ｐ１Ｐ２Ｐ３＝１－９９１００ˑ９８９９ˑ９７９８＝３１００ꎬ所以每个芯片智能检测不达标的概率为３１００.(２)人工抽检３０个芯片恰有１个不合格品的概率为φ(ｐ)＝Ｃ１３０ｐ１(１－ｐ)２９(０<ｐ<１)ꎬ因此φᶄ(ｐ)＝Ｃ１３０[(１－ｐ)２９－２９ｐ(１－ｐ)２８]＝Ｃ１３０(１－ｐ)２８(１－３０ｐ).令φᶄ(ｐ)＝０ꎬ得ｐ＝１３０.当ｐɪ(０ꎬ１３０)时ꎬφᶄ(ｐ)>０ꎻ当ｐɪ(１３０ꎬ１)时ꎬφᶄ(ｐ)<０.则φ(ｐ)在(０ꎬ１３０)上单调递增ꎬ在(１３０ꎬ１)上单调递减ꎬ所以φ(ｐ)有唯一的极大值点ｐ０＝１３０.(３)设芯片人工抽检达标为事件Ｂꎬ工人在流水线进行人工抽检时ꎬ抽检一个芯片恰为合格品为事件Ｃꎬ由(２)得:Ｐ(Ｃ)＝Ｐ(Ｂ｜Ａ－)＝１－ｐ＝２９３０.由(１)得:Ｐ(Ａ－)＝１－Ｐ(Ａ)＝９７１００.所以Ｐ(Ａ－Ｂ)＝Ｐ(Ａ－) Ｐ(Ｂ｜Ａ－)＝２９３０ˑ９７１００ʈ９３.８％<９６％.因此ꎬ该企业需对生产工序进行改良.２２.(１)当ａ＝０时ꎬｆ(ｘ)＝(ｘ－１)ｌｎ(１－ｘ)－ｘꎬ其定义域为(－ɕꎬ１)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＝０ꎬ得ｘ＝０.当ｘɪ(－ɕꎬ０)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ故ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ０)上单调递增ꎻ当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ故ｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的单调递增区间为(－ɕꎬ０)ꎬ单调递减区间为(０ꎬ１).(２)令ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝－１１－ｘ＋ａｃｏｓｘ＝ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).因为ｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则１－ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｃｏｓｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则(１－ｘ)ｃｏｓｘɪ(０ꎬ１).当ａɤ１时ꎬ则ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１<０ꎬ故ｇᶄ(ｘ)<０ꎬ从而ｇ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.而ｇ(０)＝０ꎬ故当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｇ(ｘ)<ｇ(０)＝０ꎬ故ｇ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上无零点.即ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上无零点.当ａ>１时ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａ(１－ｘ)ｃｏｓｘ－１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ａ[ｃｏｓｘ＋(１－ｘ)ｓｉｎｘ].因为ｘɪ(０ꎬ１)ꎬ则ｃｏｓｘ＋(１－ｘ)ｓｉｎｘ>０.从而ｈᶄ(ｘ)<０.即ｈ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减.而ｈ(０)＝ａ－１>０ꎬｈ(１)＝－１<０ꎬ因此存在唯一的ｘ０ɪ(０ꎬ１)ꎬ使得ｈ(ｘ０)＝０ꎬ并且当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｈ(ｘ)>０ꎻ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｈ(ｘ)<０.即当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０.故当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ꎬｇ(ｘ)单调递增ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ１)时ꎬｇ(ｘ)单调递减.而ｇ(０)＝０ꎬ故ｇ(ｘ０)>０.取Ｎ＝１－ｅ－２ａɪ(０ꎬ１)ꎬ当ｘ>Ｎ时ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘ<ａ＋ｌｎ(ｅ－２ａ)＝ａ－２ａ＝－ａ<０.所以存在唯一的ｍɪ(ｘ０ꎬ１)ꎬ使得ｇ(ｍ)＝０ꎬ即ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬ１)上有唯一零点.综上所述ꎬ当ａ>１时ꎬｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ１)上有唯一的零点ꎻ当ａɤ１时ꎬｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ１)上没有零点. (３)由(２)可得ꎬ当ａɤ１时ꎬｌｎ(１－ｘ)＋ａｓｉｎｘ<０在(０ꎬ１)上恒成立.即当ａ＝１时ꎬｓｉｎｘ<ｌｎ１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).以下证明不等式:当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬ有ｘ<ｔａｎｘ.令ｍ(ｘ)＝ｘ－ｔａｎｘꎬ则ｍᶄ(ｘ)＝１－１ｃｏｓ２ｘ<０.故ｍ(ｘ)在(０ꎬπ２)上单调递减.则ｍ(ｘ)<ｍ(０)＝０.即ｘ<ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).即有ｘｃｏｓｘ<ｓｉｎｘ.而ｓｉｎｘ<ｌｎ１１－ｘ.故ｘｃｏｓｘ<ｌｎ１１－ｘꎬｘɪ(０ꎬ１).取ｘ＝１１０ꎬ则有１１０ｃｏｓ１１０<ｌｎ１０９.[责任编辑:李㊀璟]。

山东省模拟考试答案解析1、C[解析]C y x y x xy y x ，故选或解得根据题意⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+421122本题考查集合运算以及求解曲线的交点，本质是解一元二次方程，属于基础题。

2、D [解析]Db a b a i bi a i i i i i i 故选所以，所以根据题意,1,1,0,)1)(1()1(112=+===+-=-+-=+-本题考查复数的运算以及共轭复数的概念，属于基础题。

3、A [解析]Ac b c a c b a ，故选所以根据题意0,0)32(3)(==+--=∙-∙=∙-λλλλ本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题。

4、B [解析]()()BT x r r x C x C T r x x r r r r rr r 故选的系数所以得到由项是的展开式中第根据题意,120,74102,1211)1(84102101010110-===--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+---+本题考查二项式定理中二项展开式的系数问题，属于基础题。

5、C [解析]CV ABC S AS ABCAS AS AC SC AS AC SC AS SB AB AS AB SAB AC BC AB BC AB ABC ABC S ，故选的高为三棱锥面得再由又，又3432631,32,32,4,2,2,102,6,22222=⨯⨯=∴-∴⊥∴⊥∴=+==∴==⊥∴=∠=∴==⊥∴=∠- ππ本题考查立体几何中求三棱锥的体积，考查同学们的空间想象能力，属于基础题。

6、A [解析]()A AB B A y x x xx y 故选有最小值时，由数形结合易知当的图象，和圆（角坐标系中作出根据题意，可在同一直,3)1,2(),4,2(2)20422=+->+=本题考查圆锥曲线中圆的最值问题，属于基础题。

7、C [解析]根据全称命题和特称命题的关系，全称命题的否定是特称命题，故选C 本题考查全称命题的否定，属于基础题。

数学
▲题型（顺序）变化情况：
选择题由原“12个单选题”变为“8个单选题和4个多选题”；填空题由原“4个单空题”变为“3个单空题和1个多空题”；解答题由原“5个必考题和2个选考题”变为“6个必考题，无选考题”。

▲题量（小题量）变化情况：
选择题总题量不变，共12个；填空题总题量不变，共4个；解答题原来是必答题5个，选答题二选一，现在是必答题6个，无选答，故总答题量不变，但试卷上呈现的解答题的量减少一个。

▲分值变化情况：
选择题和填空题总分值无变化，解答题分值有变化，解答题第一题10分，其余5道大题每题12分。

▲考查知识点的分布（各模块的知识占比、是否为常规意义的高频等）变化情况：
选择题的多选题的难度增加，重视统计、圆锥曲线、立体几何的部分以及函数专题，对其要求的学科思想与学科核心素养要求较高。

填空题，增加多空题，也为圆锥曲线的内容考查，难度加大，但所占的比重与全国卷的相当。

解答题，原来的全国卷，17题的位置是解三角的问题及数列的问题二选其一，且考查形式较新颖，本次模考来看，两部分内容都呈现了，可见数列及解三角形的模块地位凸显。

不分文理之后，文科生增加了立体几何空间向量的部分，19题的第二问正是很好的体现。

选考题第22,23,不再考查，故不等式的选讲及极坐标与参数方程不做考试要求。

其余专题部分基本保持不变。

2020届新高考数学模拟试题（9）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则12(z z = ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒4.已知数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5(a = )A ．23B ．32C ．43D ．345.已知点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．16.在ABC ∆中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则( ) A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7.已知双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．12y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y =8.已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则( )A ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>B ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>C ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>D ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分． 9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 2C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3 10.要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 怎样变化得到？( )A ．将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位11.已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{}2(,)|1M x y y x ==+；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M12.德国著名数学家狄利克雷(,1805~859)Dirichlet l 在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1,()0,Rx Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，其中真命题的是( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀，2R x Q ∈，1212()()()f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立D ．不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ；14.已知直线2y x =+与曲线()y ln x a =+相切，则a 的值为 ．15.5.2019l 年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T （单位：年）的衰变规律满足5730002(TN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 ；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．（参考数据：20.3lg ≈，70.84lg ≈，30.48)lg ≈16.已知ABC ∆的顶点A ∈平面α，点B ，C在平面α异侧，且2AB =，AC 若AB ，AC 与α所成的角分别为,36ππ，则线段BC 长度的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知()2cos (sin )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-的取值范围．18．（12分）在ABC ∆，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2228sin 3()ab C b c a =+-，若10,5a c ==． ()I 求cos A（Ⅱ）求ABC ∆的面积S ．19．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=，*n N ∈． ()I 证明：{1}n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．20．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu ；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑()bienao 指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． ()I 求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（Ⅱ）若12C C BC ==，当鳖臑1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．21．（12分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C 的离心率22，点2)在C 上． ()I 求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l ，2l ，使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长||MN 为定值．22．（12分）已知函数()2sin f x lnx x x =-+，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）求证：()f x '在(0,)π上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点2020届新高考数学模拟试题（9）答案解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)，则12(z z = ) A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -【解析】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)，(0,1)， 11z i ∴=+，2z i =．∴1221(1)1z i i i i z i i +-+===--． 故选：D ．2.“sin cos αα=”是“sin 21α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】sin cos αα=，可得4k παπ=+，k Z ∈，222k παπ=+，sin21α∴=，“sin cos αα=”是“sin 21α=”的充分条件，sin 21α=，可得222k παπ=+，4k παπ∴=+，k Z ∈，可得sin cos αα=，“sin cos αα=”是“sin 21α=”的必要条件， 所以“sin cos αα=”是“sin 21α=”的充要条件． 故选：C ．3.向量a ，b 满足||1a =，||2b =，()(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【解析】设向量a 与b 的夹角为θ．()(2)a b a b +⊥-，2222()(2)221(2)1cos 0a b a b a b a b θ∴+-=-+=⨯-+=，化为cos 0θ=，[0θ∈，]π，90θ∴=︒．故选：C ．4.已知数列{}n a 中，32a =，71a =．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5(a = )A ．23B ．32C ．43D ．34【解析】设等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则73114d a a =+，即1142d =+，解得18d =． 则53111132244d a a =+=+=，解得543a =． 故选：C ．5.已知点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】由点(2,4)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，可得164p =，4p =， 抛物线2:8C y x =，焦点坐标(2,0)F ，准线方程为2x =-， 点M 到抛物线C 的准线方程的距离为4， 则点M 到抛物线C 焦点的距离是：4， 故选：A ．6.在ABC ∆中，2AB AC AD +=，20AE DE +=，若EB xAB y AC =+，则( ) A ．2y x = B ．2y x =- C ．2x y = D ．2x y =-【解析】如图， 2AB AC AD +=，∴点D 为边BC 的中点，20AE DE +=，∴2AE DE =-，∴11()36DE AD AB AC =-=-+，又11()22DB CB AB AC ==-，∴1121()()2633EB DB DE AB AC AB AC AB AC =-=-++=-，又EB xAB y AC =+，∴21,33x y ==-， 2x y ∴=-．故选：D ．7.已知双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．12y x =±B ．2y =C ．y x =±D ．2y x =±【解析】双曲线2222:1,(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，21212||2||2,(0),PF PF m m PF PF m ==>=，可得2m a =，21242cos 4a a F PF a ∠=，所以1260F PF ∠=︒， 则222214416242122c a a a a a =+-⨯⨯⨯=，即2223a b a +=， 所以2ba= 所以双曲线的渐近线方程为：2y x =． 故选：D ．8.已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则( )A ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>B ．233231(log )(2)(2)4g g g -->>C ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>D ．233231(2)(2)(log )4g g g -->>【解析】由奇函数()f x 是R 上增函数可得当0x >时，()0f x >， 又()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==， 即()g x 为偶函数，且当0x >时单调递增，根据偶函数的对称性可知，当0x <时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，因为331()(log 4)4g log g =，233(2)()4g g -=，322(2)()4g g -=，所以为233231()(2)(2)4g log g g -->>故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的0分． 9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 2C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4πD ．三棱柱1111AA D BB C -3 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于选项A ：直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确．对于选项B ：点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h ，故选项B 正确． 对于选项C ：两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误．对于选项D ：三棱柱1111AA D BB C -外接球半径r ==，故选项D 正确． 故选：ABD ．10.要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 怎样变化得到？( ) A ．将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位B ．sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位C ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位 D ．先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向左平移12π个单位【解析】要得到cos2y x =的图象1C ，只要将sin(2)3y x π=+图象2C 将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向左平移12π个单位即可，故选项A 正确．或将sin(2)3y x π=+的图象2C 沿x 轴方向向右平移1112π个单位，也可得到，故选项B 正确．或先作2C 关于x 轴对称图象3C ，再将图象3C 沿x 轴方向向右平移512π个单位，故选项C 正确．故选：ABC ．11.已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e ==；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【解析】由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立 即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y =所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P '，使得OP OP ⊥'． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '． 所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．12.德国著名数学家狄利克雷(,1805~859)Dirichlet l 在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1,()0,Rx Qy f x x Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集，Q 为有理数集．则关于函数()f x 有如下四个命题，其中真命题的是( ) A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀，2R x Q ∈，1212()()()f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对任意的x R ∈恒成立D ．不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形【解析】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x Q ∈，则R x Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,2R R x Q x Q ==-∈，则12()(0)1f x x f +==，12()()0f x f x +=，10≠，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x Q ∈，则R x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点1(A x ，1())f x ，2(B x ，2())f x ，3(C x ，3())f x ，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知直线0x y a -+=与圆22:2O x y +=相交于A ，B 两点(O 为坐标原点），且AOB ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为【解析】根据题意，圆22:2O x y +=的圆心为(0,0)，半径r 若直线0x y a -+=与圆O 交于A ，B 两点，且AOB ∆为等腰直角三角形， 则圆心到直线的距离1d ==，解可得a =故答案为：14.已知直线2y x =+与曲线()y ln x a =+相切，则a 的值为 3 ． 【解析】依题意得1y x a '=+，因此曲线()y ln x a =+在切点处的切线的斜率等于1x a+， ∴11x a=+，1x a ∴=-． 此时，0y =，即切点坐标为(1,0)a - 相应的切线方程是1(1)y x a =⨯-+， 即直线2y x =+， 12a ∴-=， 3a =故答案为：3．15.5.2019l 年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间T （单位：年）的衰变规律满足5730002(TN N N -=表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的 12；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的37至12，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到 年之间．（参考数据：20.3lg ≈，70.84lg ≈，30.48)lg ≈【解析】573002T N N -=，∴当5730T =时，100122N N N -==， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12， 由题意可知：3573072T ->，两边同时取以2为底的对数得：573022327T log log ->， ∴3377 1.2573022lgT lg lg lg lg -->=≈-， 6876T ∴<，∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间．16.已知ABC ∆的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α异侧，且2AB =，3AC =，若AB ，AC 与α所成的角分别为,36ππ，则线段BC 长度的取值范围为 [7,13] ． 【解析】分别过B ，C 作底面的垂线，垂足分别为1B ，1C ． 由已知可得，13BB =，13CC =，11AB =，132AC =． 如图，当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影1B ，1C 在A 点同侧时BC 长度最小，当AB ，AC 所在平面与α垂直，且B ，C 在底面上的射影1B ，1C 在A 点两侧时BC 长度最大．过C 作1CD BB ⊥的延长线，垂足为D ，则33BD =，12CD =， 则BC 2331()724+=23325()1324+ ∴线段BC 长度的取值范围为[713]，故答案为：[7,13]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知()2cos (sin )f x x x x =+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,0]2π-的取值范围．【解析】（Ⅰ） 由题意，化简得2()2cos sin 1)sin 22sin(2)3f x x x x x x x π=-==-，所以函数()f x 的最小正周期π． sin y x =的减区间为3[2,2],22k k k Z ππππ++∈， 由3222232k x k πππππ+-+， 得5111212k x k ππππ++， 所以函数()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈． （Ⅱ）因为[,0]2x π∈-，所以42[,]333x πππ-∈--．所以22sin(2)33x π--．所以函数()f x 在区间[,0]2π-上的取值范围是[-．18．（12分）在ABC ∆，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2228sin 3()ab C b c a =+-，若5a c ==． ()I 求cos A（Ⅱ）求ABC ∆的面积S ．【解析】()I 由题意得2228sin 3()22ab C b c a bc bc+-=， 由余弦定理得：4sin 3cos a CA c=，由正弦定理得4sin 3cos A A =， 所以3tan 4A =， 可得ABC ∆中，4cos 5A =．（Ⅱ）由4cos 5A =，5a c ==．可得余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得28150b b -+=， 解得3b =或5b =， 可得3sin 5A =， 由1sin 2S bc A =，得152S =或92S =．19．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=，*n N ∈． ()I 证明：{1}n S +为等比数列，求出{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n nnb a =，求{}n b 的前n 项和n T ，并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：121n n S S +-=，*112(1)n n S S n N +∴+=+∈ {1}n S ∴+为等比数列， 112S +=，公比为2，∴12n n S +=，21n n S =-，∴1121n n S --=-，当2n 时，112n n n n a S S --=-=，11a =也满足此式，∴12n n a -=；（Ⅱ）12n n n n n b a -==，01112222n n nT -=++⋯+， 121122222n n n T =++⋯+，两式相减得：011111122222222n n n n n n T -+=++⋯+-=-， 1242n n n T -+=-， 代入1250n n T n -=+，得2260n n --=，令()226(1)x f x x x =--，()2210x f x ln '=->在[1x ∈，)+∞成立，()226x f x x ∴=--，(1,)x ∈+∞为增函数；由f （5）f （4）0<，所以不存在正整数n 使得1250n n T n -=+成立．20．（12分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵()qiandu ；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖臑()bienao 指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥． ()I 求证：四棱锥11B A ACC -为阳马；（Ⅱ）若12C C BC ==，当鳖臑1C ABC -体积最大时，求锐二面角11C A B C --的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：1A A ⊥底面ABC ，AB ⊂面ABC ，1A A AB ∴⊥，又AB AC ⊥，1A A AC A =，AB ∴⊥面11ACC A ，又四边形11ACC A 为矩形，∴四棱锥11B A ACC -为阳马．（Ⅱ）解：AB AC ⊥，2BC =，224AB AC ∴+=，又1A A ⊥底面ABC ，∴122111112323323C ABC AB AC V C C AB AC AB AC -+===，当且仅当2AB AC ==113C ABC V AB AC -=取最大值，AB AC ⊥，1A A ⊥底面ABC ∴以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，(2,0,0)B ，2,0)C ，1(0A ，0，12)(2,0,2)A B =-，(2,2,0)BC =-，11(0,2,0)A C =，设面1A BC 的一个法向量1111(,,)n x y z =， 由11100n A B n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1(22,1)n =， 同理得2(2,0,1)n =，∴12121215cos ,5||||n n n n n n <>==二面角11C A B C --的余弦值为15． 21．（12分）给定椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，称圆心在原点O 22a b +的圆是椭圆C 的“卫星圆”．若椭圆C 2，点2)在C 上． ()I 求椭圆C 的方程和其“卫星圆”方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 的“卫星圆”上的一个动点，过点P 作直线1l ，2l ，使得12l l ⊥，与椭圆C 都只有一个交点，且1l ，2l ，分别交其“卫星圆”于点M ，N ，证明：弦长||MN 为定值．【解析】（Ⅰ）由条件可得：222421c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得22,2a b ==所以椭圆的方程为22184x y +=，⋯（3分）卫星圆的方程为2212x y +=⋯（4分）()II 证明：①当1l ，2l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为22x =22x =- 当1l 方程为22x =1l 与“卫星圆”交于点(22,2)和(22,2)-，此时经过点(22,2)(22,2)-且与椭圆只有一个公共点的直线是2y =或2y =-，即2l 为2y =或2y =-，所以12l l ⊥，所以线段MN应为“卫星圆”的直径，所以||MN =（7分） ②当1l ，2l 都有斜率时，设点0(P x ，0)y ，其中220012x y +=， 设经过点0(P x ，0)y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y t x x y =-+，则，联立方程组0022()184y tx y tx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得2220000(12)4()2()80t x t y tx x y tx ++-+--=，⋯（9分）所以222000(648)163280x t x y t y =-++-=⋯（10分） 所以2200122200328328(12)1648648y x t t x x ---===-⋯--（11分）所以121t t =-，满足条件的两直线1l ，2l 垂直． 所以线段MN 应为“卫星圆”的直径， 所以||MN =综合①②知：因为1l ，2l 经过点0(P x ，0)y ，又分别交其“卫星圆”于点MN ，且1l ，2l 垂直，所以线段MN 为“卫星圆” 220012x y +=的直径， 所以||MN =⋯（12分）22．（12分）已知函数()2sin f x lnx x x =-+，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）求证：()f x '在(0,)π上存在唯一零点； （Ⅱ）求证：()f x 有且仅有两个不同的零点 【解析】（Ⅰ）设1()()12cos g x f x x x'==-+， 当(0,)x π∈时，21()2sin 0g x x x'=--<，()g x ∴在(0,)π上单调递减． 又32()110,()1032g g ππππ=-+>=-<，()g x ∴在(,)32ππ上有唯一的零点．（Ⅱ）①由（Ⅰ）知，当(0,)x α∈时，()0f x '>，()f x 在(0,)α上单调递增； 当(,)x απ∈时，()0f x '<，()f x 在(,)απ上单调递减； ()f x ∴在(0,)π上存在唯一的极大值点()32ππαα<<，∴()()2202222f f lnππππα>=-+>->．22221111()22sin 220f e e e e=--+<--+<，()f x ∴在(0,)α上恰有一个零点． ()20f ln ππππ=-<-<，()f x ∴在(,)απ上也恰有一个零点；②当[x π∈，2)π时，sin 0x ，()f x lnx x -． 设()h x lnx x =-，1()10h x x'=-<， ()h x ∴在[π，2)π上单调递减，()()0h x h π∴<，∴当[x π∈，2)π时，()()()0f x h x h π<恒成立，()f x ∴在[π，2)π上没有零点．③当[2x π∈，)+∞时，()2f x lnx x -+， 设()2x lnx x ϕ=-+，1()10x xϕ'=-<， ()x ϕ∴在[2π，)+∞上单调递减，()(2)0x ϕϕπ∴<，∴当[2x π∈，)+∞时，()()(2)0f x x ϕϕπ<恒成立，()f x ∴在[2π，)+∞上没有零点．综上，()f x 有且仅有两个零点．。