全等难题——倍长中线法

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板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

全等三角形的性质及判定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

知识点睛 中考要求 第二讲

全等三角形与

中点问题

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版块一 倍长中线

【例1】 (2002年通化市中考题)在△ABC中，9,5ACAB，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？

【补充】已知：ABC中，AM是中线．求证：1()2AMABAC．

MCBA

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)已知：如图，梯形ABCD中，ADBC∥，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求证：BCEFDE≌． 重点：主要掌握中线的处理方法，遇见中线考虑中线倍长法 重、难点

例题精讲

3 DFECBA

【例3】 (浙江省2008年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试卷)如图，在ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE∥．求证：BDECDF≌．

FEDCBA

【例4】 如图，ABC中，

GFEDCBA

【例5】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE．

4 FEDCBA

【例6】 如图所示，在ABC和ABC中，AD、AD分别是BC、BC上的中线，且ABAB，ACAC，ADAD，求证ABCABC≌．

EDCAB B'A'C'D'E'

【例7】 如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EFAD∥交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BGCF，求证：AD为ABC的角平分线．

FGEDCBA

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【例8】 已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F．求证：BECFEF．

FEABDC

【例9】 在RtABC中，90A，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

FEDCBA

【例10】 如图所示，在ABC中，D是BC的中点，DM垂直于DN，如果2222BMCNDMDN，求证22214ADABAC．

NMDCBA

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【例10】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足90DFE．若3AD，4BE，则线段DE的长度为_________．

【例11】 如图所示，90BACDAE，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD．

MEDCBA

版块二、中位线的应用

【例12】 AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：13AEAC．

7 FADECB

【例13】 如图所示，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证2CDEC．

EDCBA

【例14】 已知：ABCD是凸四边形，且AC∠GNM．

HABGNMFEDCBA

【例15】 在ABC中，90ACB，12ACBC，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AEEB且AEBE．

8 EDCBA

【例16】 如图，在五边形ABCDE中，90ABCAED，BACEAD，F为CD的中点．求证：BFEF．

EDFCBA

【例17】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P是ABC内的一点，PACPBC，过P作PMAC于M，PLBC于L，D为AB的中点，求证DMDL．

LPMDCBA

9 【例18】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DEDF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：

(1) DEMFDN≌；

(2) PAEPBF．

PFEDCBA

【例19】 已知，如图四边形ABCD中，ADBC，E、F分别是AB和CD的中点，AD、EF、BC的延长线分别交于M、N两点． 求证：AMEBNE．

ACDMFENB

【例20】 (2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在ABC中，BCAC，动点D绕ABC 的顶点A逆时针旋转，且ADBC，连结DC．过AB、DC的中点E、F作直线，直线EF与直线AD、BC分别相交于点M、N．

10 F图3图2图1FNMDCEBANMDCEBAHF(N)DMCEBA ⑴ 如图1，当点D旋转到BC的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论AMFBNE(不需证明)．

⑵ 当点D旋转到图2或图3中的位置时，AMF与BNE有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．

【例21】 如图，AE⊥AB，BC⊥CD，且AE=AB，BC=CD，F为DE的中点，FM⊥AC．证明：FM=12AC．

HAEMFEDCBA

【例22】 (1991年泉州市初二数学双基赛题)已知：在△ABC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是边BC的中点．求证：PM＝PN

11 NMPCBA

【习题1】 如图，在等腰ABC中，ABAC，D是BC的中点，过A作AEDE，AFDF，且AEAF．

求证：EDBFDC．

DFECBA

【习题2】 如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？

FEDCBA

【习题3】 如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点．求证：2ABDE． 家庭作业

12 EDCBA

【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．

求证：∠E=∠F

【备选2】如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F．求证：BEAF，AECF．

ABCDEF

月测备选