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浙教版八年级数学下4.2证明(2)课件(一)

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浙教版八年级数学下4.2证明(3)课件(一)

浙教版八年级数学下4.2证明(3)课件(一)
A D
B
C
例6 已知:如图,AD是三角形纸片ABC的高.将 纸片沿直线EF折叠,使点A和点D重合. A 求证:EF∥BC. 探讨证明的思路: E F
BC⊥AD(已知)
要证EF∥BC B C
D
只需证 EF⊥AD
EF是AD的对称轴
点A与点D重合(已知)
你听说过费马点吗?如图,P为△ABC所在平面上的一点.如 果∠APB=∠BPC=∠CPA=120 ,则点P就是费马点.费马点有许多 有趣并且有意义的性质,例如,平面内一点P到△ABC三顶点的距 离之和为PA+PB+PC,当点P为费马点时,距离之和最小.假设 A,B,C表示三个村庄,要选一处建车站,使车站到三个村庄的公 路路程的和最短.若不考虑其他因素,那么车站应建在费马点上. 请按下列步骤对费马点进行探究: (1)查找有关资料,了解费马点被发现
B A
的历史背景;
P
C
(2)在特殊三角形中寻找并验证费马点.例如,当△ABC是等边三 角形,等腰三角形或直角三角形时,费马点有哪些性质?
(3)把你的探究结果写成一篇小论文,并通过与同学交流来修改 完善你的小论文.(课本第82页)
本节课你学到什么
不论从已知出发，还是从证明的结论出发， 在探索证明途径的思考过程时，都要充分利 用已知条件，不断尝试推出一些正确结果， 并鉴别其中哪些对完成证明是有用的。
根据这两天的实践，你认为证明应该注意什么？
言必有据
例题精讲
例3 如图，已知AD是△ABC的高，E是 AD上一点。若AD＝BD，DE＝DC， A 求证：∠1＝∠C
E D
∟
B
1
C
例3 如图，已知AD是△ABC的高，E是AD上一 点。若AD＝BD，DE＝DC，求证：∠1＝∠C

八年级数学下册 4.2 平行四边形及其性质课件1 (新版)浙教版

八年级数学下册 4.2 平行四边形及其性质课件1 (新版)浙教版
第五页，共11页。
• 例2：已知，如图所示，E，F分别(fēnbié)是 ABCD的边AD，BC上的点，
• 且AF∥CE. • 求证：DE=BF, ∠BAF=∠DCE
第六页，共11页。
悟学提高(tí gāo)
• 学校(xuéxiào)买了四棵树，准备栽在花园里， 已经栽了三棵（如图），现在学校(xuéxiào) 希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉 得第四棵树应该栽在哪里？
第七页，共11页。
课后练习
• 1．ABCD中，AB∥ ，AD∥ . • 2．Aห้องสมุดไป่ตู้CD中，∠A＋∠D＝ ，∠A＋∠B
＝ ，∠B＋∠C＝ ，∠C＋∠D＝ . • 3．已知ABCD中，∠A＝55°，则∠B＝
°，∠C＝ °，∠D＝ °.
第八页，共11页。
• 4．在平行四边形ABCD中，∠BAC＝26°， ∠ACB＝34°，则∠DAC＝ °，∠ACD＝ °，∠D＝ °
4.2平行四边形及其性质 (xìngzhì)
第一页，共11页。
• 自学 • 认真阅读教材P80~5完成以下(yǐxià)问题（时间：6
分钟） • 1.平行四边形的概念： • _______________________叫做平行四边形. • 平行四边形用符号”____________”表示，平行
四边形ABCD可记作“______________”. • 2、平行四边形的性质定理： • 1）______________________________ • 2）_____________________________
第九页，共11页。
• 5．学校门口的伸缩门应用了四边形的 ____________性.
• 6．已知平行四边形相邻(xiānɡ lín)两个角的 度数之比为3∶2，求平行四边形各个内角的 度数.

浙教版八年级下册 4.1 多边形 课件(20张PPT)

浙教版八年级下册 4.1 多边形 课件(20张PPT)
4.1 多边形（一）
知识回顾
A
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所形成的图形叫三角形.
新课讲解
四边形的定义…
A D
B
C
在同一平面里, 由不在同一条直线上的四条线段 首尾顺次相接所形成的图形叫四边形 .
新课讲解
……
三角形 四边形 五边形 六边形 依此类推， 边数为5的多边形叫五边形, 边数为6的多边形叫六边形, 边数为n的多边形叫n边形. (n为正整数，且n≥3)
B.2π米2
C.3π米2
D.0.5π米2
练一练
4.如图，在四边形ABCD中，∠A=85°,
D
∠D＝110°, ∠1的外角是71°， 则∠1＝ 109 °，∠2＝ 56°.
A 85° 110°
71° 1 B
2 C
5.如图，在四边形ABCD中， ∠C=110°，∠BAD,∠ABC的外 角都是120°,则∠ADC的外角a 的度数是 50 度.
∴∠1+∠2+∠3+∠4 = 4×180°－ 360° = 360°
A1 D 4
2
C
B
3
四边形的外角和等于360°.
例题讲解
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比为1:1:0.6:1.求它的四个内角的度数．
解 ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° （四边形的内角和为360°）
顶点个数 边的条数
表示法
内角和 外角和
3个 3条
可以表示为△ABC、 △BCA、△CAB等
180˚ 360°
4个
4条
可以表示为四边形ABCD、 四边形BCDA、四边形 CDAB、四边形DABC等.

浙教版八年级下册数学课件第1章开放与探究(一)探究一：二次根式的大小比较

浙教版八年级下册数学课件第1章开放与探究(一)探究一：二次根式的大小比较
解：∵5－a≥0，∴a≤5. ∴a－6＜0. ∴3 a－6＜0. 又∵ 5－a≥0，∴ 5－a＞3 a－6.
2）＝
3＋
2.
∵2＋
3＞
3＋
2，∴2－1
＞ 3
1 3－
2.
分类训练
4．已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，试比较 x，y 的大
小．(倒数法)
解：1x＝
1 n＋3－
n＋1＝
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0.
∵ n＋3＋ n＋1＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
分类训练 5．当 0＜x＜1 时，将 x，1x，x2， x用“<
B．1x＜ x＜x＜x2
C．x2＜x＜ x＜1x
D．x2＜x＜1x＜ x
【点拨】取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x＝12，
∴x2＜x＜ x＜1x. 故选 C.
分类训练 6．比较 5－a与3 a－6的大小．(定义法)
典例剖析
解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66， ( 14＋ 3)2＝17＋2 42，17＋2 66＞17＋2 42， 所以( 6＋ 11)2＞( 14＋ 3)2. 又因为 6＋ 11＞0， 14＋ 3＞0， 所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
分类训练 1．比较 aa＋＋12与 aa＋ ＋23的大小．(作商法)
浙教版 八年级下
第1章 二次根式
开放与探究(一) 探究一：二次根式的大小比较
习题链接
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 见习题
3 见习题 4 见习题
5C
6 见习题
答案显示

浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)课件(共19张PPT)

浙教版八年级下册 2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)课件(共19张PPT)

方x1＋程xa2x＝2＋__－b_x_ba＋__c_＝,x01x(2a＝≠_0_)_的_a_c根__如. 果是x1，x2，那么
一般地，一元二次方程根与系数有如下关系：
如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两
个根，那么x1＋x2＝－
b a
c ，x1x2＝ a
.
你能证明上面的结论吗？
深入探究
拓展训练
1 方程 2x2－3x＋1＝0的两个根记作x1 ， x2
不解方程，求x1 －x2的值.
解：由根与系数的关系，得
x1＋x2＝
3 2
，x1
x2＝
1 2
.
x1－x2 2 ＝ x1＋x2 2 －4x1x2
＝
3 2
2
－4
1＝ 2
1 4
.
∴x1－x2＝
1 2
.
总结归纳
求与根有关的代数式的值时，看代数式 是否具有对称性，若具有对称性，则直接变 形，将两根之和或积代入求值；若不具有对 称性，则将其中的某一个根单独代入方程中， 得到与待求值的代数式相关的结构，进行整 体代入求值．
方法规律总结
(1)不用解方程，即可求得两根之和、两根之积
(2)可根据已知一根求另一根，也可求一元二次方程
的待定系数
课堂小结
利用根与系数关系解决问题的一般步骤： 第一步：先将方程化为一般式
ax2+bx+c=0 （a≠0） 第二步：计算b2-4ac的值
b2-4ac≥0 有实数根 b2-4ac＜0 无实数根 第三步：有实数根写出两根之和，两根之积
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
7 5
3 5
7 5
5 3

浙教版八年级数学上册《证明(2)》课件(共13张PPT)

浙教版八年级数学上册《证明(2)》课件(共13张PPT)
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. ∠ACD=∠A+∠B(∠A= ∠ACD- ∠B)
A
B
C
D
做一做
1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°，A D
∠B=50°，则∠C= 70 °，请说明理由.
B
C
2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断 .
A
E1D
2
B
3
C
已知:如图，∠B+ ∠D=∠BCD,
已知：∠A , ∠B, ∠C是三角形的三个内角
求证： ∠A ＋∠B＋ ∠C＝180°
证明:
方法一 : 过A 作 AE // BC
A
E
1
方法三 : 在BC上任取一点D
过D 作 DE // AB, 作 DF // AC A
F
3
E
B
C
方法二 : 过A 作 AE // BC
延长CA到F点
F
２
E
1
A
1
2
B
D
C
将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式
如果 两个角是对顶角， 那么 这两个角相等
如何证明它是真命题?
A C1
3 D
2
B
已知：∠1 与∠2 是对顶角，
求证：∠1 =∠2
证明： ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠3=180° ∴ ∠1 =∠2
证明几何命题时，一般步骤是怎样的?
证明几何命题时，表述的一般格式：
（1）根据题意画出图形
（2）分清命题中的条件、结论，结合图形， 在“已知”中写出条件，在“求证”写出结论
（3）在“证明”中写出推理过程

浙教版八年级下册 4.2 平行四边形性质 课件(共20张PPT)


∴ AB∥CD，AD∥BC （平行四边形的定义）
∴ ∠A+∠B=180° ∠C+∠B=180°
∠A+∠D=180° ∠C+∠D=180°
（两直线平行，同旁内角互补）
推论： 平行四边形邻角互补.
做一做 1.已知在□ABCD中，∠A=55°.求其余内角的度
数.
2.已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3:2， 周长为20cm，求平行四边形各条边长.
新课讲解
验证 平行四边形的对角相等.
平行四边形的对边相等.
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，
C
求证：∠A＝∠C，∠ABC＝∠CDA．
AB＝CD， AD＝BC.
A
B
新课讲解
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ ∠A＝∠C，∠B＝∠D．
A
B
（平行四边形的对角相等）
AB＝CD，AD＝BC．
（平行四边形的对边相等）
∴AD-AE=CB-CF 即 DE=BF
∵∠BAD=∠DCB，∠EAF=∠FCE （平行四边形对角相等）
∴∠BAD-∠EAF=∠DCB-∠FCE 即∠BAF=∠DCE
做一做
已知：如图，在□ABCD中，E是CD上一点，BE=BC.
求证：AD=BE，∠A=∠ABE.
DE
C
A
B
新课讲解 与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性.
BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
求证：BE=DF.
A
D
E
F
B
C
拓展提高
1.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经 栽了三棵（如图），现在学校希望这四棵树 能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应 该栽在哪里？

浙教版八年级上册 4.2 平面直角坐标系 课件(共19张PPT)


1234
②有坐标（a,b），能否确定对应点P的位置. C
O
–1
Ex
小结：坐标可以确定点的位置.
–2
D
–3
–4
点P
(a,b)
情境升华，二生三
笛卡尔(1596-1660)
做中所悟，三生万物
活动4：小组活动 若需将现有10个点根据位置和坐标进行分类， 小组交流分类方式并分享你们分类的依据， 小组确定汇报人进行汇报交流.
点的位置
形
点P
有序数对 数
(a,b)
说说点的坐标
直角坐标系中，点P的坐标，其中a是 点P的横坐标，b是点P的纵坐标.
情境升华，二生三
活动3：2在该直角坐标系内，已知G,H,M,N
y
A
B
4
对应的坐标（3,2）,（-3,-3）,（0,2）,（-4,2）
3
请你在坐标系内找到四点的位置；
2
1
–4 –3 –2 –1
终章活动，做中所固
2.在平面直角坐标系中，点P的坐标是（a,b），若ab＞0，则 点P在第________象限；若ab＜0，则点P在第________象限； 若ab=0，则点P在_________.
瓢城东望水漫漫，行到下菰城畔望
4.2 平面直角坐标系2022来自5.31情境引入，一生二
活动1：根据“数学灯谜”，推理出信息.
A：江 E：成 I：南
B：晶 F：水 J：修
C：德 G：正 K：苏
D：盐 H：才 L：浔
推理线索 -1，-5，-5，3，6
水晶晶南浔
修正德成正才 4 1 -4 -2 1 2
情境引入，一生二
情境升华，二生三
平面直角坐标系

浙教版数学八年级下册反证法课件

聪明的同学们，_假__设__不成立，所求证的结论成立.
你能说出下列结论的反面吗?
1. a⊥b
a不垂直于b
2. d是正数 d不是正数，即d ≤0
3. a≥0 a＜0
4. a∥b a 、b不平行
5．“a＜b”的反面应是（ D ）
A．a≠b B．a＞b C．a＝b D．a＝b或a＞b 6．用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，
延伸拓展
B
1．已知：如图，△ABC中，若∠C是直角，
求证：∠B一定是锐角.
C
A
证明：假设结论不成立，则∠B是_直__角__或_钝__角___．
① 当∠B是_直__角__时，则_∠__B_+__∠__C_=__1_8_0_°_，
这与_三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1__8_0_°_矛盾；
∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等）
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a与b不平行
A
课内练习：P 87 第1题
证明：假设结论不成立，即： B
C
∠A_＜__ 60°, ∠B _＜__ 60°,∠C _＜__ 60°,
则∠A+∠B+∠C＜180 °.
这与_三__角__形__三__个__内__角__的__和__等__于__1_8_0__°_相矛盾.
他运用了怎样的推理方法？ 在中国古代有一个叫“路边苦李”的 故事：王戎7岁时，与小伙伴一起外出游 玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙 伴们纷纭去摘果子，只有王戎站着不动。 有人问为什么，王戎回答“树在道边而多 子，此必苦李。”小伙伴摘取李子尝一下， 果然是苦李。 王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了 怎样的推理方法？

浙教版八年级上册4.2 平面直角坐标系(2) 课件(共20张PPT)


拓展
2.如图，点A的坐标是(2,2)，若 点P在x轴上，且△APO是等腰 三角形，求点P的坐标.
y
2
A
1
-1 0
x
P
1 2 34
达标
3.若点P在第三象限且到x轴的距 离为2, 到y轴的距离为1.5，则点 P的坐标是____(_-1_._5,__-2_)______. 4.若点(a,b-1)在第二象限,则a的
点如的何坐选标择分y轴别？为（2）根据所 根据上述坐标在直角坐标系中 标注（的-１尺,寸０，）如，何（选２择,０坐）标 作点A,B,C,D,并用线段依次连 （轴２的.单５位,１长.度５？），（０,３.５）结各点,
如图中的四边形ABCD就是所求作的图形
若以A为坐标原点, 建立适当的坐标系，你能
D
写出ABCD各点的y坐标吗?
3.在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、D（3，4） 中,属第一象限的点是 点D ，属第二象限的点是 点B , 属第三象限的点是 点A , 属第四象限的点是 点C .
纵轴 y
4
第二象限 3
（－，＋） 2
1
-4 -3 -2 -1 o
原点
-1
第三象限 -2
（－，－） -3
-4
第一象限
解：A点在第二象限；B点在第四象限；
C点在第三象限；D点在第一象限；
E点在x轴上；F点在y轴上
3、已知点P(0,a)在y轴的负半轴,则Q(-a2-2,-a+2)在( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
4.如xy＞0，且x+y＜0，那么P(x,y)在（ C ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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A
B
图1
C
B
A
图2
C
BA
图3
C
BAC
图4
实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们
拼凑在一起。
A 1
3 1 2 C 1 B 2
D
在证明三角形内角和时，小明
的想法是把三个角“凑”到A处，
D
辅助线 A
E
他过点A作直线DE//BC，（如
图）。他的想法可行吗？
B C
证明
过点A作DE∥BC.则
∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）
A
O D
C
（2）∵ AC⊥DC（已知）， ∴ ∠D+∠CAD＝90º（直角三角形的两个锐角互余）. ∵ BC⊥AD（已知）， ∴ ∠B+∠BAD＝90º（直角三角形的两个锐角互余）. ∵ ∠BAD＝∠CAD（角平分线的定义）， ∴ ∠B＝∠D（等角的余角相等）.
练一练
证明命题：如果三角形的一个内角的平分线垂直对
∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠BAD+∠CAE
＝∠DAE＝180º （平角的定义） 你还有其他的证明方法么？
A
已知：如图， △ABC.
E 1 2 B C D
求证：
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° 证明:
作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则 ∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）

∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
A
已知： 如图，∠ACD是△ABC的一个外角 求证： ∠ACD =∠A+∠B
B
C
D
证明：
三角形内角和定理的几何表述：
1、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C=1800. 2、三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和 ∴∠1+∠2 ＝ ∠Ａ+∠Ｂ 3、三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角 ∴ ∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B
B C
A
B
A E
C
1
2 D
做一做
1、在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120°， A
∠B=50°，则∠C= 70° °，请说明理由.
B D
C
2、如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断.
A
E 3
2 1 D
B
C
例2、已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点
O，AC⊥DC于点C.
线上，且AD＝BE，AC∥DF，则△ABC≌△DEF.
这个命题是真命题还是假命题？
C F
A
D
B
E
如果是真命题，请给出证明；
如果是假命题，请添加适当的条件，使它成为
真命题.你有几种不同的添加方法？
3、添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系
已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的做题时要注意总结.
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
回顾与思考
☞
证明命题的一般步骤:
(1)根据题意,画出图形； (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已
知”中写出条件，在“求证”中写出结论；
(3)在“证明”中写出推理过程. 依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰 地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.
合作探索
对于三角形，我们已经有哪些认识？
边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点O. 求证：△ABC是等腰三角形；
A
B
D
C
练一练
1、已知，如图，AD是△ABC的高. 求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.
B D C A
2、已知：如图，A，C是线段BD的垂直平分 线上的任意两点.求证：∠ABC＝∠ADC
求证：(1) △ABC是等腰三角形 (2) ∠D=∠B ；
A
O B
C
D
证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线（已知） ∴∠BAO＝∠CAO（角平分线的定义）. ∵ BC⊥AD（已知）， ∴ ∠AOB＝∠AOC＝Rt∠(垂线的定义). B 又∵ AO＝AO（公共边）， ∴ △ABO≌△ACO（ASA）. ∴ AB＝AC（全等三角形的对应边相等）. ∴ △ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）
∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°
∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°
A
E
A
F E
B 图1
C
B
D 图2
C
A S Q P R M B M 图3 T C N Q
S P
N
A R
B T 图4
C
关于辅助线：
1、辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线 通常画成虚线） 2、它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显 现出来，起到牵线搭桥的作用.
B C A
D
练一练
3、已知：如图，△ABC≌△BAD，BC与AD交于点O。
求证：OC=OD
C
D
O A
B
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=500，把 △ABC绕点A按顺时针方向旋转300，得△DAE，DE交AB C 于点F，求∠BFD的度数。 E A F B D
已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直
定义
A
分类 内角和 外角和
B
C
…………
三角形的三个内角的和等于180°. 例1、求证： 已知：如图，∠A，∠B，∠C是△ABC
A
的三个内角.
求证：∠A+∠B+∠C=180°
B C
例1、求证：三角形三个内角的和等于180º. 实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点 落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处 两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合 （图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。