量子力学5-2
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量子力学5条基本假设
量子力学5条基本假设
量子力学是研究微观物理系统的一门分支，它提出了关于物体的
行为的5条基本假设：
1、不确定性原则：即在同一时刻，只能得知一个物体的一个特征，而不能确切地知道该物体的两个数据。
也就是说，量子力学中的物体
有一定的不确定性，不能同时确定所有特征。
2、波函数原则：根据量子力学，物体只有当它被测量时才会显示
出粒子特征，而在未被测量时，只会出现波函数，并且它表示物体可
能处于多个位置或状态中的概率。
3、局域性原则：量子力学的局域性原则指的是，不同的物体之间
的作用是相互独立的，必须发生分开的碰撞，才能令这些物体相互作用。
4、统一性原则：量子力学表示，物体作用与它们自身的特性（如
电荷和质量）和它们之间的作用（如重力和引力）都可以通过相同的
方式描述。
5、狭义相对论原则：它表示物体之间产生的作用是由它们相对位置、相对运动和它们的性质决定的。
相对论的影响使得量子力学实验
结果得以精确描述。
高等量子力学5-1--5-2
{
m
2
}
（n1 +n2）个基矢
α ⊕ ψ = ∑ ν i αi ⊕ ∑ ε m ψ m
i m
(+) (+)
= ∑ ν i αi ⊕ φ i
( 2)
2)
( ×)
( =∑( ν
i i
= ∑ ν i αi ⊕ φ (
i
⊕ φ(
2)
( )α + ∑ ( φ
m i m
)
(1) + φ ⊕ ∑ εm ψ m m + ∑ φ( ) + εm ψ m
Pr oof ( ∆′ ) : ( A ⊗ L )( B ⊗ M ) ( α ⊗ ψ
（□）
= ( A ⊗ L)( B α ⊗ M ψ = A( B α ) ⊗ L ( M ψ = AB α ⊗ LM ψ
（□） 算符乘积定义
)
)
)
（□）
= ( AB ⊗ LM ) ( α ⊗ ψ
A指A ⊗ I (
1 2)
基矢
Eim = ν i ⊗ ε m = ν i ε m 共n1 × n2个，是R1 ⊗ R2的维数
∴以 Eim 为基矢的表象是K ⊗ P( KP)表象
讨论R1 ⊗ R2中，矢量 α ⊗ ψ 和算符A ⊗ L的矩阵表示 例：n1 = 2, n2 = 3
α1ψ 1 K ⊗ P表象中 α ⊗ ψ α1ψ 2 ψ 1 α1 α1ψ 3 α ⊗ ψ = ⊗ ψ 2 = α 2 ψ α 2ψ 1 3 α 2ψ 2 α ψ 2 3
R1 R2
K 表象
KP表象
P表象
量子力学五个基本假设内容
量子力学五个基本假设内容量子力学的发展对于现代科学的发展起着至关重要的作用，它为科学家提供了一种新的理解视角，引发了新的科学领域的发展。
自1924年建立量子力学以来，这门学科在物理学、化学等众多学科方面都取得了巨大的进步。
当今，量子力学是世界上最重要的物理学理论之一。
量子力学的基本假设可以归纳为五个：1、物质由基本粒子组成：物质世界充满着各种各样的粒子，如电子、质子、强子等，它们成为物质世界的基本组成部分。
2、粒子可以用数值表示：粒子的状态可以用数值进行描述，比如位置、速度等。
3、量子行为描述粒子的特性：施密特-波动方程描述了量子行为的数学原理，可以用来解释粒子的行为。
4、粒子的作用力是由量子场定义的：量子场可以用来描述粒子之间的作用力，因此它是粒子之间作用力的抽象概念。
5、粒子可以从一种状态转换到另一种状态：量子力学描述了粒子可以在不同状态间进行转换的过程，这叫做“量子跃迁”。
量子力学的五大基本假设提供了一种新的理解视角，为科学家开发新的研究领域提供了思路，同时也解决了许多物理学相关问题。
量子力学是迄今为止最重要的物理学理论之一，它的发展已经深刻地影响和改变了科学发展的历史经过。
量子力学中的物质由基本粒子组成，这些粒子可以用数值表示，它们通过施密特-波动方程来解释其行为，而且它们之间的作用力也是由量子场来定义的。
粒子之间的作用力使得它们可以从一种状态转变到另一种状态，这就是量子力学五大基本假设概念的核心。
量子力学的发展不仅是科学史上的一个重大进程，而且也促进了当今科学的不断进步。
量子力学的五大基本假设为科学家们提供了一条新的研究思路，并且解决了许多物理学与化学领域的问题。
回顾这些基本假设，我们可以看到它们给科学发展带来了巨大影响，它们不仅是当今科学发展的基础，还将为未来的科学研究提供重要的指导。
今天，在我们的每一步科学研究中，量子力学都在发挥着不可磨灭的作用。
量子力学习题第二部分
量子力学习题第二部分1.利用Schrodinger方程证明几率守恒。
2.证明在束缚态下，不显含时间的物理量对时间倒数的平均值为零。
3.对处于均匀外磁场的原子，不考虑自旋，确定体系的守恒量。
4.利用测不准关系估计谐振子的基态能量。
5.用微弱论计算带电谐振子在外电场中的能级。
6.设在H0表象中H为3×3矩阵，且H11=E10，H22=E20，H33=E30，H13=a,H23=b, H31=a*, H32=b*, 其它为零，其中E10<E20<E30, 用微扰论求能级修正。
7.对于(L2，L z) 的共同本征态，计算L x2和L y2的平均值，以及ΔL x,ΔL y, 并验证粗不准关系。
8.证明自由粒子波函数ψ(r,t)=expi(p·r−Et) 是定态波函数。
9. 氢原子处于Ψ(r,θ,ϕ)=12R2,1Y1,0−√32R2,1Y1,−1态中，求(1)氢原子的能量值E n；(2)角动量平方L2的可能取值，对应几率，以及角动量平方的平均值L2；(3)角动量在z轴投影量L z的可能取值，对应几率，以及z轴投影量L z的平均值L z。
10. 已知体系在未受微扰时有两个能级E(0)1,E(0)2，现在受微扰H的作用，H的矩阵元为H11=H22=b, H12=H21=a，求(1)能量表象中无微扰时体系能量算H(0)，微扰算符H，受微扰时总能量算符H的矩阵形式；(2)受微扰时两能级至二级修正的值。
11 已知在S z表象中，自旋投影算符S x和S y的矩阵形式，求在S z表象中(1)自旋投影算符S z的矩阵形式；(2)S x，S y和S z的本征值；(3)算符S x，S y和S z的本征函数。
12. 考虑自旋后，氢原子的状态波函数Ψ在自旋空间表示的两个分量分别为 C1R21(r)Y11(θ,ϕ)和−C2R21(r)Y10(θ,ϕ) ，求(1)轨道角动量在z轴的分量L z的可能取值，对应几率和平均值L z；(2)自旋角动量在z轴的分量S z的可能值，对应几率和平均值S z；(3)求总磁矩M =e2µL+eµS 在z轴上的分量的平均值M z. 13.在S z表象下，求S x，S y和S z的本征值和本证矢量。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
量子力学五个基本假设内容
量子力学五个基本假设内容量子力学五个基本假设是物理学界最引人注目的话题之一，近年来，它不仅引发了理论物理学家的广泛研究，而且也引起了其他科学领域的关注。
本文的目的是介绍量子力学的五个基本假设，并将它们与其它科学领域的研究联系起来。
【简介】量子力学作为物理学的一个分支，提出了一系列有关粒子及其环境间相互作用的基本假设。
这些基本假设是：（1）粒子具有粒子性质，可以把它们看做绝对的微小点，粒子的行为受其内部能量的驱动；（2）粒子受其环境的影响而改变其状态，不同的环境会导致不同的状态；（3）粒子的行为与其运动轨迹的变化是可预测的；（4）不同的粒子由于它们的不同性质而具有不同的性质；（5）粒子的行为存在一定的概率，即粒子不存在绝对确定性。
【深入细节】第一个基本假设是粒子具有粒子性质。
量子力学要求粒子可以被看做绝对的微小点，粒子的行为受其内部能量的驱动，而不受外部能量的影响。
也就是说，粒子具有内在的自治性，可以独自行动。
而且，粒子的行动也受限于内部能量。
这一基本假设与当时认为粒子是由外在环境影响而变化的观点不同，这种假设更贴近实际。
第二个基本假设是粒子受其环境的影响而改变其状态，不同的环境会导致不同的状态。
这一基本假设提出了粒子与环境间的相互作用。
从量子力学的角度来看，只有粒子与它的环境之间的相互作用才能够解释粒子的行为。
也就是说，粒子的状态不仅受其内部能量的驱动，也可以受到外在因素的影响，因而具有多态性，可以多次变换其状态。
第三个基本假设是粒子的行为与其运动轨迹的变化是可预测的。
这一基本假设认为，粒子的运动轨迹是可以预测的，即粒子可以根据它们内部能量的变化预测其未来的行为。
这一基本假设极大地促进了量子力学的发展，它为我们理解量子世界提供了一定的依据。
第四个基本假设是不同的粒子由于它们的不同性质而具有不同的性质。
这一基本假设提出，粒子的性质不仅受到其内部能量的驱动，而且受到它的环境的影响。
也就是说，它们的性质不仅受到它们自身的能量，而且还受到它们周围的环境影响。
量子力学5条基本假设
量子力学5条基本假设
量子力学的五条基本假设是：
1．原子和分子振动只能采用特定的可能频率，这种频率称为量子
频率。
振动频率的变化是量子力学中一组不可观察的数字，叫做能级。
2．实验的影响因素会导致能级的改变，称为能量跃迁。
3．质点的性质和能级之间的关系称为波函数。
4．量子力学的结果描述了质点的行为模式，而不是精确的历史记录。
5．量子力学中没有绝对坐标系，运动只能用相对论的方法来描述。
量子力学的五条基本假设是由20世纪几位科学家所研究而得，其
结果成为现代物理学的基础。
该学说被广泛应用于原子和微观物理学
领域，如原子、核物理、分子物理和化学等。
量子物理学的基本假设
是物质本质上是由不可观察的量子粒子构成的，既是波又是粒子；实
验的影响会导致能级的变化；质点的性质和能级之间的关系称为波函数；量子力学的结果描述了质点的行为模式，而不是精确的历史记录；量子力学中没有绝对坐标系，运动只能用相对论的方法来描述。
量子力学五个假设
量子力学五个假设量子力学是研究物质世界微观粒子运动规律的物理学分支，其基本原理和假设是构成量子力学体系的基础。
以下是量子力学的五个假设：1.波函数假设波函数是量子力学中的基本概念，用于描述微观粒子的状态。
波函数假设认为，任意时刻微观粒子的状态都可以由一个波函数来描述。
这个波函数满足一定的波动方程，如薛定谔方程。
通过波函数，可以计算出微观粒子的各种性质，如位置、动量、能量等。
2.演化假设演化假设是指微观粒子随时间的演化规律。
根据量子力学的原理，微观粒子的演化是确定性的，也就是说，在给定初始条件下，微观粒子的未来状态是可以确定的。
演化假设还指出，微观粒子的演化过程满足时间反演对称性，即如果知道了一个粒子的初始状态和演化规律，那么就可以推断出该粒子过去的状态。
3.算符假设算符假设是量子力学中描述物理量的数学工具。
在经典物理学中，物理量通常是用数值来描述的，而在量子力学中，物理量被表示为算符。
算符具有一些特殊的性质，如厄米特算符、酉算符等。
通过算符，可以计算出微观粒子的各种物理量的数值。
4.对易关系假设对易关系假设是指在量子力学中，不同的物理量之间存在一定的对易关系。
这个假设表明，不同的物理量不能同时具有确定的值，即不确定性原理。
具体来说，如果两个物理量不对易，那么它们可以同时具有确定的值；如果两个物理量对易，那么它们不能同时具有确定的值。
对易关系假设是量子力学不同于经典物理学的另一个重要特征。
5.测量假设测量假设是指在量子力学中，测量会对被测系统的状态产生一定的干扰。
这个假设表明，在测量过程中，被测系统的波函数会塌缩到一个确定的状态。
塌缩过程是不可逆的，也就是说，一旦波函数塌缩，就不能再回到原来的状态。
测量假设是量子力学中最为神秘和争议的假设之一，因为它涉及到测量过程的本质和微观粒子的实在性问题。
总之，量子力学的五个假设构成了量子力学体系的基础。
通过这些假设，可以描述和解释微观粒子的运动规律和性质。
虽然这些假设有时会让人感到困惑和神秘，但它们是探索和理解宇宙微观世界的必要工具。
量子力学5-2
因此，只能取有界解 这样方程的解可表为
l
Rl ~ e
1 r2 2
1 r2 2
( r )
Rl (r ) r e
u (r )
4
将式 Rl (r ) r l e
1 r2 2
u (r ) 代入方程
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) 2 2 E r Rl 0 2 2 dr r dr r
ˆ ,H ˆ ,H ˆ H x y z
相应的量子数为
nx , n y , nz
20
其共同本征函数为 nx n y nz ( x, y, z )
对于基态N=0，能级是不简并的，两种 守恒量完全集的共同本征态应该相同。 事实上，
n 0 ,l 0 , m 0
r
3 / 4 e
e V (r ) r
22
径向波函数满足方程 d 2 Rl 2 dRl 2 Ze 2 l (l 1) 2 (E ) Rl 0 2 2 dr r dr r r
(0 r )
令 l (r ) rRl (r ), 利用复合函数求导方法可知
这样的解不满足束缚态边界条件,所以必须 使合流超几何函数中断为一个多项式 即αl=0或负整数。 或
3 l (l E ) / 2 nr 2 nr 0,1,2,
7
加上能量的自然单位，得
3 E (2nr l ) , nr 0,1,2, 2
令
N 2nr l
E ( x, y, z )
15
用分离变量法，哈密顿算符可写为
ˆ H ˆ H ˆ H ˆ H x y z 1 2 1 2 2 ˆ ˆ Hi pi xi 2 2 i 1, 2, 3 ( x, y, z )
l
Rl ~ e
1 r2 2
1 r2 2
( r )
Rl (r ) r e
u (r )
4
将式 Rl (r ) r l e
1 r2 2
u (r ) 代入方程
d 2 Rl 2 dRl l (l 1) 2 2 E r Rl 0 2 2 dr r dr r
ˆ ,H ˆ ,H ˆ H x y z
相应的量子数为
nx , n y , nz
20
其共同本征函数为 nx n y nz ( x, y, z )
对于基态N=0，能级是不简并的，两种 守恒量完全集的共同本征态应该相同。 事实上，
n 0 ,l 0 , m 0
r
3 / 4 e
e V (r ) r
22
径向波函数满足方程 d 2 Rl 2 dRl 2 Ze 2 l (l 1) 2 (E ) Rl 0 2 2 dr r dr r r
(0 r )
令 l (r ) rRl (r ), 利用复合函数求导方法可知
这样的解不满足束缚态边界条件,所以必须 使合流超几何函数中断为一个多项式 即αl=0或负整数。 或
3 l (l E ) / 2 nr 2 nr 0,1,2,
7
加上能量的自然单位，得
3 E (2nr l ) , nr 0,1,2, 2
令
N 2nr l
E ( x, y, z )
15
用分离变量法，哈密顿算符可写为
ˆ H ˆ H ˆ H ˆ H x y z 1 2 1 2 2 ˆ ˆ Hi pi xi 2 2 i 1, 2, 3 ( x, y, z )
量子力学的奥秘是什么
量子力学的奥秘是什么关键信息项：1、量子力学的基本概念和原理2、量子力学中的微观粒子特性3、量子力学的应用领域4、量子力学与经典力学的差异5、量子力学的发展历程6、量子力学的实验验证7、量子力学中的不确定性原理8、量子纠缠现象1、引言量子力学是物理学中一个极其重要且充满神秘的领域，它挑战了我们传统的认知和直觉，揭示了微观世界中令人惊奇的现象和规律。
本协议旨在探讨量子力学的奥秘，从多个方面深入分析其核心概念、特性、应用以及对科学和技术的深远影响。
11 研究量子力学的重要性量子力学不仅在理论物理学中具有基石般的地位，而且对现代科技的发展产生了巨大的推动作用。
从半导体技术到激光原理，从量子计算到量子通信，量子力学的应用无处不在。
2、量子力学的基本概念和原理21 波粒二象性微观粒子有时表现出粒子的特性，有时又表现出波的特性，这种奇特的现象被称为波粒二象性。
211 电子的双缝干涉实验通过这个著名的实验，清晰地展示了电子的波动性。
212 波函数的意义波函数用于描述微观粒子的状态，但其本身并不具有直接的物理意义。
22 量子化能量、角动量等物理量在微观世界中呈现出离散的、不连续的取值，称为量子化。
221 原子的能级结构解释了原子中电子只能处于特定的能级。
3、量子力学中的微观粒子特性31 不确定性原理无法同时精确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
311 对微观粒子行为的限制影响了我们对微观世界的理解和预测。
32 量子纠缠处于纠缠态的两个或多个粒子之间存在一种超越空间的神秘关联。
321 量子通信中的应用为实现安全、高效的通信提供了新的可能性。
4、量子力学与经典力学的差异41 适用范围经典力学适用于宏观物体，而量子力学适用于微观世界。
411 尺度的重要性不同尺度下物理规律的显著变化。
42 决定论与概率性经典力学是决定论的，而量子力学中存在概率性。
421 对未来事件预测的方式量子力学中的概率性引发了对因果关系的重新思考。
量子力学第五节、电子的准经典运动
v K 1 K E K 1 K E K 1 K E K v K
一个完全填满电子的能带，电子在 k空间具有中心对称性。 即一个电子处于k态，能量为E（K），则必有另一个与其能量相 同的E（- K）=E（K）电子处于-k态。
（2）当不存在外电场时，尽管每一个电子都带有一定的电流-ev， 但是k态和-k态的电子电流-ev（k）和-ev（-k）正好一对对相互 抵消，所以没有宏观电流。 电场不为零时 （1）对于填满的能带 由k(r)=k+Gh(r)知，从一端离开第一布里渊区的电子，相 当于从另一端进入该区。从总的效果看，电子的分布没有发生变 化，总电流为零 （2）对于未填满的能带 在外场作用下，电子 在布里渊区内不再是对称 分布，因而产生净电流 3、满带对电导没有贡献， 只有未完全填满电子的能 带才对电导有贡献。
二电子的速度按照准经典近似电子的速度可用波包的运动速度群速度表示电子的群速度总是与k空间的等能面垂直三外力作用下电子状态的变化加速度与有效质量1准动量当有外加电磁场时晶体电子受到外力的作用能量发生变化
这时波矢（动量）的不准确度比布里渊区的尺度小得多， 从而波矢k的精度也得到满足
从宏观角度来说，满足上述关系的电子处在某一“点”，或者说 电子是定域在这个点的。
二、电子的速度 按照准经典近似，电子的速度可用波包的运动速度（群速度）表示
dx 1 dE d 一维v dt dK dK 1 三维v K E K
电子的群速度总是与k空间的等能面垂直 三、外力作用下电子状态的变化——加速度与有效质量 1、准动量 当有外加电磁场时，晶体电子受到外力的作用，能量发生变化： dE=Fvdt 单位时间内能量增量dE/dt=Fv=F‧(1/ħ)(dE/dK) 又dE/dt=(dE/dK) ‧（dK/dt) 对比上面两式，得到：F=ħ（dK/dt）=d(ħk)/dt 此式与自由粒子的牛顿第二定律F=dP/dt形式上相当。
量子力学解答(5章)
1 1 < Y10 | ( L+ + L− ) 2 | Y10 >= < Y10 | ( L+ + L− )h 2 (| Y11 > + | Y1−1 >) 4 4
co
而 L± | Ylm >= h (l m m)(l ± m + 1) | Ylm±1 > ，所以，在Y10中的平均值为：
m
展开系数分别为：
网
ww
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ φ1 = ⎜ 0 ⎟ φ0 = ⎜ 1 ⎟ φ−1 = ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
案
，
w.
kh
Lz的本征函数为：
⎛1⎞ 2⎜ ⎟ < φ0 | ψ 0 >= (0,1,0) ⎜0⎟ = 0 2 ⎜ ⎟ ⎝1⎠
da
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 1⎜ 2⎜ ⎟ 1⎜ 1⎜ 1⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ϕ1 = ⎜ 2 ⎟ ϕ 0 = ⎜ 0 ⎟ ϕ−1 = ⎜ − 2 ⎟ ψ 1 = ⎜ i 2 ⎟ ψ 0 = ⎜ 0 ⎟ ψ −1 = ⎜ − i 2 ⎟ 2⎜ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ 2⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 2⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝ −1 ⎠
w.
co
m
1 1 ( L+ + L− ) ， L2 ( L+ + L− ) 2 x = 2 4
(b) 设对应Lz三个本征值ħ，0，-ħ的本征态的展开系数分别为a,b,c, 则相对概率之比为： a2：b2：c2=1：4：1，归一化得概率为： Lz测值 概率=|系数|
量子力学 第五章 微扰理论
分成两部分：
Hˆ Hˆ (0) Hˆ ,
Hˆ (0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
待求解的体系Ĥ叫做微扰体系。本征值和本征
函数可精确求解的体系Ĥ(0)叫做未微扰体系，Ĥ′可
以看做微扰。微扰论的具体形式多样但基本精神
相同，即逐级近似。
微扰理论适用范围：分立能级及所属波函数的修正 7
§5.1 非简并定态微扰理论
而此处所讨论的两个级数的高级项都不知道。无法
判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，
后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件
是：
H m n
E(0) n
注意：ψn(1) 和ψn(1) +aψn(0)（a为任意常数）都是
第二个方程的解。
12
§5.1 非简并定态微扰理论
由这组方程可以逐级求得其各级修正项，即求得
能量和波函数的近似解. λ的引入只是为了按数量级 分出以上方程，达到此目的后，便可省去。
Hˆ Hˆ (1)
En
E(0) n
E (1) n
E(2) n
l
a(1) (0) ll
可使得展开式中不含ψn(0)
n
(0) n
n(1（) 假定波函数只含一级修正，且是归一化的）
n nd
(
(0) n
(1) n
)
(
(0) n
(1) n
)d
(0)
n
n(0)d
n(0) n(1)d
(1)
n
n(0)d
n(1) n(1)d
1
(an(1)
a(1) n
一.非简并微扰体系方程 Hˆ Hˆ (0) Hˆ
量子力学第五章微扰理论
量子力学第五章微扰理论微扰理论在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。
因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就显得十分重要。
常用的近似方法有微扰论、变分法等。
不同的近似方法有不同的适用范围。
在本章中将讨论分立谱的微扰理论、变分法。
由于体系的哈密顿算符既可以显含时间，又可以不显含时间，因此，近似方法也可以分为适用于定态的和适用于非定态的两类。
本章将先讨论定态的微扰理论、变分法，然后再讨论含时间的微扰理论以及光的发射和吸收等问题。
§5. 1 非简并定态微扰理论近似方法的精神是从已知的简单问题的准确解出发，近似地求较复杂一些的问题的解。
当然，我们还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似解和准确解之间的最大偏离。
本节将讨论体系在受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。
假定体系的哈密顿量H不显含t，能量的本征方程：Hψ=Eψ (5.1.1)满足下述条件:(1) H可分解为H(0)和H'两部分，而且H'远小于H(0)H=H(0) + H' (5.1.2) H'H(0) (5.1.3)（5.1.3）式表示，H与H(0)的差别很小，H'可视为加于H(0)上的微扰。
（5.1.3）式的严格意义将在后面再详细说明。
由于H 不显含t，因此，无论H(0)或是H'均不显含t。
(2) H(0) 的本征值和本征函数已经求出，即H(0)的本征方程(0)(0)(0)H(0)ψn=Enψn (5.1.4)中，能级En及波函数ψn都是已知的。
微扰论的任务就是从H(0)的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。
(3) H(0)的能级无简并。
严格说来，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并，例如，要通过微扰论计算H'对H(0)的第n个能级En的修正，就要求En不简并，它相应的波函数(0)ψn只有一个。
量子力学习题
量子力学习题量子力学习题：1一.微观粒子的波粒二象性 1、在温度下T=0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子；（4）温度T=1k时，具有动能的氦原子，其中k为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5、设一电子为电势差U所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000（可见光）（x射线），（射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？量子力学习题：2二.波函数与薛定谔方程 1、设粒子的归一化波函数为，求（1）在范围内找到粒子的几率；（2）在范围内找到粒子的几率；（3）在及范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为，求：（1）在球壳内找到粒子的几率；（2）在方向的立体角内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）（2）（3）4、对于一维粒子，设，求。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
（1）（2）从所得结果证明：表示沿轴正方向传播的平面波。
表示沿轴反向传播的平面波。
7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）；（2）从所得结果证明表示向外传播的球面波，表示向内传播的球面波（即向原点） 8、求波函数的归一化常数A。
9、一粒子在一维势场中运动，求束缚态的能级所满足的方程。
10、若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为，求：（1）距势阱内左壁宽度内发现粒子的几率；（2）取向值时，在此区域内找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果与经典情况比较，说明了什么问题？ 11、一粒子在一维势场中运动，势能对原点对称，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
量子力学5-1 (2)
或
d2 2 d l (l 1) 2 Rl (r ) Rl (r ) 2 ( E V (r )) 2 2 Rl (r ) 0 dr r dr r
ˆ 2 1 2 L2 问题：角向部分跑哪里去了？ r V (r ) E 2 2 2r 2 r r
27
且
2 2 2 2 2 2 R 2 X Y Z
2 2 2 x y z
2 2 2 2 r
这样，能量本征值方程化为
2 2 2 2 R r V (r ) ET 2 2M
28
令
2
( R) (r )
ˆ2 , H ] 0 [L
ˆ ˆ ˆ 所以 {H , L2 , Lz } 构成守恒量的完全集合。
ˆ2和 上述Hamiltonia n能量本征值方程的解也是L ˆ L 的共同本征态。守恒量个数为何是3个？选择唯一吗？
z
14
ˆ2和L 的共同本征态为 设L ˆ z
(r , , ) Rl (r )Ylm ( , )
这是个重要的条件，以后会经常用到。
﹟
25
§5.1.3 两体问题化为单体问题 实际问题中出现的中心力场问题，常为二体 问题。
设二粒子质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (r ) V (| r1 r2 |)
只依赖于相对位置r，则
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 1 2 V (| r1 r2 |) (r1 , r2 ) Et (r1 , r2 ) 2m2 2m1
9
§5.1.1 角动量守恒与径向运动 若势场为V(r)，粒子的质量为μ ，则哈密顿量 可以写为
量子力学5
S是什么矩阵？满足什么条件？ 拿上面两个式子进行比较，不难发现：
SS
+
= S +S = I
S是么正矩阵。 结论：两个表象之间的变换是么正变换。 由 β i = φi ψ = 即 并且
α =S
+
计算两态之间的变换关系。
∑
n
φi ϕ n ϕ n ψ =
∑S
n
in
αn
β =Sα β , β = α S+ , α = β S
+
= ψ
它的厄米共轭态矢为：
* ψ = ∑ ϕ n c n = (c1* n * c2
... ...
)
两个态的内积记为： ψ ⋅ φ
ϕ1 = (1 0 0 ...) ϕ2 = (0 1 0 ...)
......
≡ ψ φ
注意
ψ φ = φ ψ
*
（这里注意一下与以前小括号内积的异同）
⎛ c1 ⎞ ⎜ ⎟ ... ⎜ c 2 ⎟ = ⎜ ... ⎟ ⎝ ⎠
表象变换
从一个表象变换到另一表象，就象两个坐标系之间的转换。 设 其中
i
ˆ A ϕi = αi ϕi ,
ˆ B φj = βj φj
一、表象之间的么正变换 二、态与算符的变换 三、表象变换下的不变量
{ϕ }− A 表象基矢，
φi =
{φ }− B 表象基矢
j
将B表象的基矢用A表象的基矢展开：
∑
n
ϕ n ϕ n φi =
ϕ1
ϕ2
对归一化的态：
ψ ψ = (c1*
* c2
)
∑c
n
2 n
=1
基矢的正交归一：
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d 2
u
[2(l
1)
]
d
d
u
[(l
1)
1
]u
0
29
化为标准型
d2u
d 2
(
)
du
d
u
0
其中参数为 2(l 1) 2 (l 1) 1
此方程在 0邻域有界的解为
合流超几何函数
u( , , ) 1 ( 1) 2 ( 1) 2
( 1)( 2) 3 ( )n 1 n
3
r→∞时，方程近似化为
d 2Rl dr 2
r 2Rl
0
其渐近行为是
1r2
Rl ~ e 2
1r2
但 Rl ~ e 2 不满足波函数在无穷远处的
边界条件（几率为0），故弃之
因此，只能取有界解
1r2
Rl ~ e 2
(r )
这样方程的解可表为
Rl
(r)
r
l
e
1 2
r
2
u(r)
4
将式
Rl
(r)
r
l
e
11
讨论：
1、能级简并度
E
EN
(N
3 2
),
能级也是等间距的。
N 0,1,2
但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。
这表现在 E EN N 2nr l
同一个N，可有不同的nr，l 这是V(r) ∝r2的结果。
其对称性显然比V(r) ∝x2高很多。 12
由
N 2nr l
对于给定的EN或N, nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2
§5.3 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
V (r) 1 2r 2
2
ω是刻画势阱强度的参量。
径向方程为
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
1 2
2r 2
l
(l r2
1)
Rl
0
采用自然单位来化简方程。即令 1
此时长度、能量、动量和时间的特征量分别为
32
因为 且 以及
Rl (r)
~
l (r)
r
l (r) rl1eru(r)
ξ=2βr
则相应的径向波函数可以写为
Rl
(r
)
~
l
e
2
u(nr
,2l
2,
)
这里
2r
2r
na0
（已添上r的自然单位a0）
33
归一化的径向波函数为
Rnl
(r)
Nnl
l
e2
u(n
l
1,2l
2,
)
归一化系数为
Nnl
2 a03/ 2n2 (2l
r
22
径向波函数满足方程
d 2 Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
Ze2 r
)
l(l 1)
r2
Rl
0
(0 r )
令 l (r) rRl (r), 利用复合函数求导方法可知
l (r) 满足下列方程
l
'
'
(r)
2
2
(E
e2 r
)
l(l 1) r2
l
(r)
0
边界条件为 l (0) 0 前面的条件可以保证
l (r) ~ er
28
因此方程
l
'
'[2E
2 r
l
(l r2
1)
]l
(r
)
0
的解可以表为
l (r) rl1eru(r)
r 0时起作用 r 时起作用
问题：u(r)是何种形式？ 将上述形式的解代入上面的方程，得
ru''[2(l 1) 2r]u'2[(l 1) 1]u 0
令ξ=2βr，有
d2
nr![(2l
2n1r)!!]12)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
F
nr
,
l
3 2
,
2r 2
此时
0 [Rnrl
(r)]2
r 2dr
1
nr表示径向波函数的节点数。
9
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1
R0l
3
2
2l 2 (2l
1)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
着三维谐振子的能级具有简并特点。
对于给定N， 利用 N nx ny nz 有
nx 0, 1, 2, , N 1, N
ny nz N, N 1, N 2, , 1, 0 则(nx, ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数)
N 1, N, N 1, , 2, 1
18
即当N 给定时, nx可取0,1,2,…,N 等N+1个值。
其中
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
Hˆ i
1
2
pˆ i2
1 2
2 xi2
i 1, 2, 3 (x, y, z)
令 nxnynz (x, y, z) nx (x) ny ( y) nz (z)
相应的本征能量为
其中
Enxnynz Enx Eny Enz
16
Enx
nx
1
2
nx
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可写为
Rl
2 r
Rl
l(l 1) r2
Rl
0
Rl(r)有两个解：Rl (r) ~ rl ,
r (l1)
后者要求 l 1 3
2
但因 l 0 解 r (l 1)
不满足波函数在r=0处的有限条件
因此，只能取 Rl ~ rl
(r ~ 0)
23
其中
memp
me mp
me , mp 分别为电子和质子的质量。
在以下计算中采用原子单位：e 1
计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。
此时方程化为
l
'
'[2E
2 r
l(l 1) r2
]l
(r)
0
显然此方程有两个奇点： r 0, r
24
根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识，显然方程
当nx固定时，ny可取0，1，2，…，N nx 等
N nx 1个取法。
nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即nz N nx ny
所以 (nx , ny , nz )可能取值的数目，即量子态数目
（简并度）为
N
fN (N nx 1) (N 1) N (N 1) 3 2 1
nx 0
(N 11) (N 1) (N 1)(N 2)
2
2
19
如何区分这些简并态？用守恒量完全集
在球坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ , Lˆ2, Lˆz 相应的量子数为 nr ,l, m
其共同本征函数为 nrlm(r, ,)
在直角坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ x , Hˆ y , Hˆ z 相应的量子数为 nx , ny , nz
1 2
r
2
u
(r
)
代入方程
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可知u(r)满足
d 2u dr 2
2 r
(l
1
r2
)
du dr
[2E
(2l
3)]u
0
令 r2 通过复合函数求导，上式化为
d 2u
d 2
(
)
du
d
lu
0
这是合流超几何方程，相应参数为
5
l
1 (l 2
但l的取值范围 l 0,1,2, （取遍） 决定了这一解不符合要求，故去掉，所以
l (r)~ rl1
即
Rl ~ r l ﹟
27
（2）当r→∞时 方程化为
l ''(r) 2El (r) 0
故
l (r) ~ er
(E 0)
且
2E （以后要用到）
但 l (r) ~ er 不满足∞边界条件，故
0, 1,
2,
Eny
ny
1
2
ny 0, 1, 2,
Enz
nz
1
2
则
nz 0, 1, 2,
其中
EN
Enx
Eny
Enz
N
3
2
N nx ny nz (N 0, 1, 2, )
17
能级简并度：
由上式可以看出，满足 N nx ny nz
的 nx , ny , nz 的值事实上不止一组，这意味
E
(2nr
l
3 ) ,
2
nr 0,1,2,
令
N 2nr l
则
E
EN
(N
3 ) ,
2
N 0,1,2
加上长度单位 1 ( 1 ,非整数参数)
r
可得相应的波函数为三项之积
8
Rnrl
(r
)
~
(r
)l
e
1 2
2r
2
F
u
[2(l
1)
]
d
d
u
[(l
1)
1
]u
0
29
化为标准型
d2u
d 2
(
)
du
d
u
0
其中参数为 2(l 1) 2 (l 1) 1
此方程在 0邻域有界的解为
合流超几何函数
u( , , ) 1 ( 1) 2 ( 1) 2
( 1)( 2) 3 ( )n 1 n
3
r→∞时，方程近似化为
d 2Rl dr 2
r 2Rl
0
其渐近行为是
1r2
Rl ~ e 2
1r2
但 Rl ~ e 2 不满足波函数在无穷远处的
边界条件（几率为0），故弃之
因此，只能取有界解
1r2
Rl ~ e 2
(r )
这样方程的解可表为
Rl
(r)
r
l
e
1 2
r
2
u(r)
4
将式
Rl
(r)
r
l
e
11
讨论：
1、能级简并度
E
EN
(N
3 2
),
能级也是等间距的。
N 0,1,2
但与一维谐振子不同，二维、三维谐振子 能级是简并的。
这表现在 E EN N 2nr l
同一个N，可有不同的nr，l 这是V(r) ∝r2的结果。
其对称性显然比V(r) ∝x2高很多。 12
由
N 2nr l
对于给定的EN或N, nr=0,1,2,…(N-1)/2或N/2
§5.3 三维各向同性谐振子
质量为μ的粒子在势场V(r)中运动
V (r) 1 2r 2
2
ω是刻画势阱强度的参量。
径向方程为
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
1 2
2r 2
l
(l r2
1)
Rl
0
采用自然单位来化简方程。即令 1
此时长度、能量、动量和时间的特征量分别为
32
因为 且 以及
Rl (r)
~
l (r)
r
l (r) rl1eru(r)
ξ=2βr
则相应的径向波函数可以写为
Rl
(r
)
~
l
e
2
u(nr
,2l
2,
)
这里
2r
2r
na0
（已添上r的自然单位a0）
33
归一化的径向波函数为
Rnl
(r)
Nnl
l
e2
u(n
l
1,2l
2,
)
归一化系数为
Nnl
2 a03/ 2n2 (2l
r
22
径向波函数满足方程
d 2 Rl dr 2
2 r
dRl dr
2
2
(E
Ze2 r
)
l(l 1)
r2
Rl
0
(0 r )
令 l (r) rRl (r), 利用复合函数求导方法可知
l (r) 满足下列方程
l
'
'
(r)
2
2
(E
e2 r
)
l(l 1) r2
l
(r)
0
边界条件为 l (0) 0 前面的条件可以保证
l (r) ~ er
28
因此方程
l
'
'[2E
2 r
l
(l r2
1)
]l
(r
)
0
的解可以表为
l (r) rl1eru(r)
r 0时起作用 r 时起作用
问题：u(r)是何种形式？ 将上述形式的解代入上面的方程，得
ru''[2(l 1) 2r]u'2[(l 1) 1]u 0
令ξ=2βr，有
d2
nr![(2l
2n1r)!!]12)!!
2
(r)l
1 2r2
e2
F
nr
,
l
3 2
,
2r 2
此时
0 [Rnrl
(r)]2
r 2dr
1
nr表示径向波函数的节点数。
9
Nr=0，1，2的径向波函数分别为
1
R0l
3
2
2l 2 (2l
1)!!
2
(r)l
1
e2
2r 2
1
R1l
3
2
2l 3 (2l
着三维谐振子的能级具有简并特点。
对于给定N， 利用 N nx ny nz 有
nx 0, 1, 2, , N 1, N
ny nz N, N 1, N 2, , 1, 0 则(nx, ny)可能取值的数目(注意ny取值的个数)
N 1, N, N 1, , 2, 1
18
即当N 给定时, nx可取0,1,2,…,N 等N+1个值。
其中
Hˆ Hˆ x Hˆ y Hˆ z
Hˆ i
1
2
pˆ i2
1 2
2 xi2
i 1, 2, 3 (x, y, z)
令 nxnynz (x, y, z) nx (x) ny ( y) nz (z)
相应的本征能量为
其中
Enxnynz Enx Eny Enz
16
Enx
nx
1
2
nx
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可写为
Rl
2 r
Rl
l(l 1) r2
Rl
0
Rl(r)有两个解：Rl (r) ~ rl ,
r (l1)
后者要求 l 1 3
2
但因 l 0 解 r (l 1)
不满足波函数在r=0处的有限条件
因此，只能取 Rl ~ rl
(r ~ 0)
23
其中
memp
me mp
me , mp 分别为电子和质子的质量。
在以下计算中采用原子单位：e 1
计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。
此时方程化为
l
'
'[2E
2 r
l(l 1) r2
]l
(r)
0
显然此方程有两个奇点： r 0, r
24
根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识，显然方程
当nx固定时，ny可取0，1，2，…，N nx 等
N nx 1个取法。
nx,ny都取定后,nz只有一种取法,即nz N nx ny
所以 (nx , ny , nz )可能取值的数目，即量子态数目
（简并度）为
N
fN (N nx 1) (N 1) N (N 1) 3 2 1
nx 0
(N 11) (N 1) (N 1)(N 2)
2
2
19
如何区分这些简并态？用守恒量完全集
在球坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ , Lˆ2, Lˆz 相应的量子数为 nr ,l, m
其共同本征函数为 nrlm(r, ,)
在直角坐标系中，守恒量完全集为
Hˆ x , Hˆ y , Hˆ z 相应的量子数为 nx , ny , nz
1 2
r
2
u
(r
)
代入方程
d 2Rl dr 2
2 r
dRl dr
2E
r2
l
(l r2
1)
Rl
0
可知u(r)满足
d 2u dr 2
2 r
(l
1
r2
)
du dr
[2E
(2l
3)]u
0
令 r2 通过复合函数求导，上式化为
d 2u
d 2
(
)
du
d
lu
0
这是合流超几何方程，相应参数为
5
l
1 (l 2
但l的取值范围 l 0,1,2, （取遍） 决定了这一解不符合要求，故去掉，所以
l (r)~ rl1
即
Rl ~ r l ﹟
27
（2）当r→∞时 方程化为
l ''(r) 2El (r) 0
故
l (r) ~ er
(E 0)
且
2E （以后要用到）
但 l (r) ~ er 不满足∞边界条件，故
0, 1,
2,
Eny
ny
1
2
ny 0, 1, 2,
Enz
nz
1
2
则
nz 0, 1, 2,
其中
EN
Enx
Eny
Enz
N
3
2
N nx ny nz (N 0, 1, 2, )
17
能级简并度：
由上式可以看出，满足 N nx ny nz
的 nx , ny , nz 的值事实上不止一组，这意味
E
(2nr
l
3 ) ,
2
nr 0,1,2,
令
N 2nr l
则
E
EN
(N
3 ) ,
2
N 0,1,2
加上长度单位 1 ( 1 ,非整数参数)
r
可得相应的波函数为三项之积
8
Rnrl
(r
)
~
(r
)l
e
1 2
2r
2
F