高等数学下册习题课件：XTK16曲面积分

投影区域为Dxy , R(x, y, z)在S上连续，则
R(x, y, z)dxdy R(x, y,（ z x, y）)dxdy.
S
D xy
其中，当S取上侧时，取“+”号。
其余的类似积分。
11-6 高斯公式
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
11-1 对弧长的曲线积分
11-2 对坐标的曲线积分
习题11-3 格林公式及其应用
设闭区间D由分段光滑的曲线L围成，函数P x, y及 Qx, y在D上具有一阶连续的偏导数，则有

D

Q x

P y
dxdx

L
Pdx

Qdy成立，其中L取正向。
需要说明以下几点：
（1）格林公式说明了平面闭区域D上的二重积分可通过
沿闭区域D的边界曲线上的曲线积分来表达，即面积分
可以转化为线积分。
（2）格林公式的简单应用：设闭区域D由分段光滑的
曲线L围成，则D的面积A=
1 2
L
xdy

ydx.
（3）在应用格林公式时，首先检验格林公式的条件
是否满足，即P x, y,Q x, y在由分段光滑的闭曲线
所围成的闭区域额D上具有一阶连续偏导数，当条件
不满足时，公式不能用。例如考虑积分
xdy ydx L x2 y2 ,
其中L是区域D的边界曲线，如果D包含原点，那么
P 与 Q 在原点就不存在，就不可能连续，这时就不 y x
能运用格林公式将其转化为二重积分。
解：
解：

L
a
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy

Dxy
(dS面元素(曲))
R( x, y, z)dxdy f [x, y, z( x, y)]dxdy

Dxy
(dxdy面元素(投影))
其中 L Pdx Qdy L(P cos Q cos )ds

第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
注意公式使用条件 (2) 利用高斯公式
添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
2
2
例 求柱面 x3 y3 1在球面 x2 y2 z2 1内
的侧面积.
2019/5/6
习题课
第十一章
线面积分的计算
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、主要内容
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲
曲
线
联计
联计 面
积
系算
系算 积
分
分
对坐标的 曲线积分
对坐标的 曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
其中 L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y 0.
2019/5/6
24
例 计算
L
xdy 4x2
yyd2x，其中L是以
1,
0

为
为中心，R为半径 R 1的圆，逆时针方向

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第126页/共221页
1. 若 曲 面: z z( x, y), 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
第181页/共221页
第155页/共221页
（一）曲线积分与曲面积分
在oxy面 上 的 投 影 区 域 为D , 则 的边界曲线 L 的曲线积分之间的联系.
五、物理意义---环流量与旋度
分割 把分成n小块Si （Si 也 表示第i 小块曲面的面积）.
取近似 (i ,i , i ) Si
求和 取极限
Mi (i ,i , i ) Si
n
M (i ,i , i ) Si .
i 1
n
M
lim
0
i 1
(
i
,i
,
i
)
Si .
第3页/共221页
定义1 设 S 为可求面积的曲面, f ( x, y, z)
f
(k ,k , k ) Sk
而
o
x
Sk
(k ,k , k )
(k ,k ) y
( k )xy
Sk
( k )x y
1
zx
2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
dxd
y
1
z
x
2
(
k
,
k
)
z
y
2
(
k
,
k
)
(
k
)
x
y
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f (x, y, z) dS
n
lim 0
f (k ,k , z(k ,k ))

曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0f(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt

随着数学与其他学科的交叉融合，曲面积分将与更多的学科领域相结合，如生物学、经济学、社会学等 。这种跨学科的研究将为曲面积分的理论和应用提供新的思路和方法。
随着计算机技术的进步，数值计算在曲面积分中的应用将更加广泛和深入。数值计算方法的发展将进一 步提高曲面积分的计算精度和效率，为解决实际问题提供更加可靠的数学模型和解决方案。
曲面的定义
曲面是三维空间中一种几何图形，它由多个点按照一定规律连接而成。 根据连接方式的差异，曲面可以分为规则曲面和不规则曲面。
03
积分的定义
积分是数学中用于描述变化和累积的数学工具，它可以通过对函数进行
极限运算来得到。在曲面积分中，需要将积分应用到曲面上。
曲面积分的几何意义
曲面积分的几何意义
曲面积分在几何上可以理解为对曲面上的曲线进 行积分。具体来说，曲面积分可以用来计算曲面 上的曲线长度、曲面面积以及曲面围成的体积等 几何量。
在解决工程问题时，常常会遇到各种复杂的几何形状和物理现象，例如机械零件的应力分 布、热传导、流体动力学等。在这些问题的求解过程中，常常需要用到曲面积分来得到精 确的结果。
数值分析
在数值分析中，常常需要用到各种数值方法来求解复杂的数学问题，例如有限元方法、有 限差分方法等。在这些方法的实现过程中，常常需要用到曲面积分来计算各种数值结果。
详细描述
在流体动力学中，曲面积分可以用于计算流 体流过曲面的流量，通过计算流体的速度矢 量在曲面上的积分，可以得到流体的流量。 此外，曲面积分还可以用于计算流体对曲面 上物体的作用力，包括压强和力矩等。这些 物理量对于流体动力学的研究和应用具有重 要意义。
在电磁学中的应用
总结词
电磁学中，曲面积分可以用于计算电场和磁 场在曲面上的分布以及能量传输等物理量。

(2)抛物线x y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧 ; (3) 有向折线 OAB，这里O, A, B依次是(点0,0)
(1,0),(1,1).
解 (1) 化为x对 的积. 分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0 4 1 x3dx 1. 0 2021/5/27
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
y)dy ,其中L
为圆周
x 2 y 2 a 2(按逆时针方向饶行)；
3、 dx dy ydz,其中为有向闭折线 ABCA,这里
32
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成 L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D总在他的左边.
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33
格 林 公 式 的 实 质 : 沟 通 了 沿 闭 曲 线 的 积 分 与 二 重 积 分 之 间 的 联 系 .
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34
y
例 1 计算 xdy,其中曲 AB
3.组合形式
L P( x, y)dx LQ( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy LF ds.
其 F P i Q j ,中 d d i s d j . x y
2021/5/27
13
4.推广
空间有向曲线弧 Pdx Qdy Rdz.
n
P(
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.

第十四章 曲线积分与曲面积分
§14.1 曲线积分 §14.2 曲面积分
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
§14.1 曲线积分
• 一、第一型曲线积分
• 定义 设f (x, y)在 x y 平面上一条可求长曲线
• C ( A, B)有定义. 用任意分法 T 将曲线 C 依次
6
二、第二型曲线积分
• 定义 设f (x, y)在平面上有光滑曲线 C ( A, B)
• 有 小 弧定弧Ak义1AA0k在.A用1 ,x 任A轴1A意与2,分 y 轴法An上 T1A将的n，曲投A0线影A区,CAn依间B次.的设分长Ak(n带1 A个k的有
符号)分别为 x k 与y k .
在
Ak 1
则
• C ( A ,B )P d x Q d y u ( x 2 ,y 2 ) u ( x 1 ,y 1 ) u ( x ,y )( ( x x 1 2 ,,y y 1 2 ) )
16
§14.2 曲面积分
• 一、第一型曲面积分
定义 设函数 f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的
•
分n
个小弧
A
0A
1
,A1A2,An1An.其中A0A,An B.
• 设它们的弧长分别为s1,,sn. 在小弧
• 上任取一点 Pk(k,k) k1,,n .作和数
n
•
f (k ,k )sk
（1）
k 1
3
• 令(T)ma s1 x , ,s0.若当 (T) 时0二元函数

z x2 y2
其中Σ 为柱面 被锥 面 割下的 部分.
z
o
y
x
二 题型练习 (一) 对面积的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算
二 题型练习 (一) 对面积的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算 1．用高斯公式计算
2．添加曲面后用高斯公式计算 3．分项直接计算

1
1



Σ
2
2
1
Σ22源自2Σ22
Σ
Σ
(一) 对面积的曲面积分的计算 1．简化计算
2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
(一) 对面积的曲面积分的计算 1．简化计算
2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
例计 : x y z 2az. 3 算 y 注 确定Σ的方程需考虑 x z 结合所给条件 是否分片； 1 计算曲 例 简化计算． o 4 其中 1 y 是 面积分 1 x 与坐标面所围成的 由平面 Σ的方程需考虑 Σ的 注确定 z 四面体的表面 . x y z 1 ( x z )dS , 计 例 其中 1 1 投影面积非零． C ( , 0, ) 、 5 上以 Σ 为2 2 算 A(1,0,0) B o y 为顶点的球面 B (0,1,0)、 A 确定Σ的方程需考虑Σ x 注
n



0
i 1
i
i
i
i

n
0
i 1
i
i
i
i xy





曲面积分习题课
一 、内容小结
二 、题型练习
曲面积分习题课

0
2a 4
4
2 cos5 d 8
2a4 4 2 1 64
2 a4
0
53
15
8
例4. 计算 ( x2 y2 z2 )dS，：x2 y2 z2＝2ax
解. 1 x a a2 z2 y2 , 2 x a a2 z2 y2
则 x
y
, x
z
y a2 z2 y2 z a2 z2 y2
3
4
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
7
例3. 计算 ( xy yz zx)dS其中Σ：锥面 z x 2 y 2
被柱面x2+y2=2ax（a>0）割下的部分
解：Dxy ：x2+y2 ≤ 2ax，dS
一、对面积的曲面积分的概念与性质
定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一
个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h
6
例2. 计算
其中 是由平面
坐标面所围成的四面体的表面.

Dxy （上侧取“+”, 下侧取“”)
• 若 : x x( y, z) , ( y, z) Dyz ,则有
P(x,
y,
z)
d
ydz
Dyz
P(x(
y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
• 若 : y y(z, x), (z, x) Dzx , 则有
Q(x, y, z) d z d x Dzx Q (x, y(z, x), z ) d z d x (右正左负)
2 a2 d s 4 π a3
3
3
例5. 求 I (z y) d x (x z) dy (x y) dz, 其中
:
x2 x
y
y
2
z
1 2
,
从 z 轴正向看为顺时针方向.
解: 取 的参数方程 x cos t, y sin t, z 2 cost sin t
y x
四、对面积的曲面积分
n
1. 定义: f (x, y, z) dS lim
0
f (i ,i , i ) Si
i 1
2. 计算:
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算二重积分
设 :z z(x, y),(x, y) Dxy , 则
f (x, y, z) dS
f (x, y, z(x, y) )
n
1. 定义
L
f
(x,
y) ds
lim
0 k 1
f (k ,k )sk
n
2. 性质
f (x, y, z) ds lim f
0 k 1
(k ,k , k )sk
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds