2021届高三第一次联考数学(理)试题

2021年高三上学期第一次联考数学理试题含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2. 已知，其中i为虚数单位，则＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33. 若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知服从正态分布，且，则B．已知命题;命题．则命题“”是假命题C．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位D．已知直线,，则的充要条件是 =-35. 已知单位向量满足，则夹角为（）A．B．C．D．6. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.7. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（）A. B. C. D.8. 记集合, M=}4,3,2,1,|10101010{4433221=∈+++i T a aa a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第xx 个数是（ ）A. B. C. D.第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）9． 在展开式中的系数为,则实数的值为 .10．计算定积分 .11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.12．在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 .．将石子摆成如图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,数 列第项 ;第项 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线（）截圆所得弦长是 .15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）是圆的直径，过、的两条弦和相交于点，若圆的半径是，那么的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

2021年河南省六市高三第一次联合教学质量监测数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．集合A ＝{x ｜211x x －＋≤0}，集合B ＝{x ｜y ，则集合A ∪B 等于 A ．[0，12] B ．（－1，＋∞） C ．（－1，1） D ．[－1，＋∞） 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()211i i z －＝＋，则｜z ｜等于A B ．2 C ．1 D3．等差数列{n a }的前n 项和为n S ，15S ＝30，10a ＝4，则9a 等于A ．2B ．3C ．4D ．84．为了得到函数g （x ）＝sin2x 的图象，需将函数()sin 26f x x π⎛⎫⎪⎝⎭＝－的图象 A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 5．132，log 26，3log 32的大小关系是A ．132＜log 26＜3log 32B ．132＜3log 32＜log 26C ．3log 32＜132＜log 26 D ．3log 32＜log 26＜132 6．()4112x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭－＋＋的展开式中x 的系数是 A ．10 B ．2 C ．－14 D ．347．函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋的部分图象大致形状是8．如图，在棱长为1正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB的中点，动点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥D 1M ，则动点P 的轨迹的长度为A ．2B ．5C ．16π D ．32 9．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制．二进制数据是用0和1两个数码来表示的数．它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”．当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”．如图所示，把十进制数（10）10化为二进制数（1010）2，十进制数（99）10化为二进制数（1100011）2，把二进制数（10110）2化为十进制数为1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝16＋4＋2＝22，随机取出1个不小于（100000）2，且不超过（111111）2的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是A ．932B ．931C ．1031D ．516 10．在三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ＝4，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝3，则该三棱锥的内切球的表面积为A ．45π B ．17π C ．32π D ．34π 11．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，M （x 0，12）为该抛物线上一点，若以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，∠AMF ＝120°，过F 且与y 轴垂直的直线l 与C 交于G ，H 两点，P 0为C 的准线上的一点，则△GHP 0的面积为A ．1B ．2C ．4D ．912．若函数()()3ln 2ln 1x f x ax x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－－有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．（0，224144e e e ＋－） B ．（1，224144e e e＋－） C ．（0，1）∪（1，224144e e e ＋－） D ．（0，1）∪{ 224144e e e＋－} 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a ＝（1，2），b ＝（k ，1），且2a ＋b 与向量a 的夹角为90°，则向量a 在向量b 方向上的投影为 __________．14．已知实数x ，y 满足220330240x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋－≥－－≤－＋≥，则z ＝x －3y 的最小值为__________．15．设正数数列{n a }的前n 项和为n S ，数列{n S }的前n 项之积为n T ，且n S ＋2n T ＝1，则数列{n a }的通项公式是__________．16．已知直线l：0x ＝交双曲线Γ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）于A ，B 两点，过A 作直线l 的垂线AC 交双曲线Γ于点C ．若∠ABC ＝60°，则双曲线Γ的离心率为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．必考题：共60分17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2c b －＝sinCtanA－cosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝32，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求a及AD．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥A—BCFE中，四边形EFCB为梯形，EF∥BC，且2EF＝BC，△ABC是边长为2的正三角形，顶点F在AC上的射影为点G，且FG＝3，CF＝212，BF＝52．（Ⅰ）求证：平面FGB⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E—AB—F的余弦值．19．（本小题满分12分）某种机器需要同时装配两个部件S才能正常运行，且两个部件互不影响，部件S有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为0．5）；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为0．5）（Ⅰ）若从4件一等品和2件二等品共6件部件S中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率．（Ⅱ）现有两种购置部件S的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件S的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221y xa b＋＝（a＞b＞0）3且过点（0，2）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x －1－2lnx ＋x ．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）证明：f （x ）≥（x －2）3－3（x －2）．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t ϕϕ⎧⎨⎩＝＋＝＋（t 为参数，ϕ∈[0，π））， 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos 3πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 的坐标为P （1，1），若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求｜PA －PB ｜的最大值．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝2，求证：（Ⅰ）ab ＋bc ＋ac ≤43； （Ⅱ）2a b －·2b c －·2c a －≥8．。

江西省横峰中学等四校xx 届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2021年高三上学期第一次联考数学（理）试题WORD 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k 的范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2.若集合}5|{},0162|{52≤=≤--=xC x B x x x A ，则中元素个数为 （ ）A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.若a 、b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据：得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. ,6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ）A.4B.5C.6D.77.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )A.150B.240C.60D.120 8.设函数在R 上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）9.在四棱锥，面，面中，PAB BC PAB AD ABCD P ⊥⊥-底面ABCD 为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．线段C ．抛物线的一部分D ．椭圆的一部分10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ） A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；；3322411214352132421213⨯-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于n n n n N n 21)1(22132421213,2*⨯++++⨯⨯+⨯⨯∈ = . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，.其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）．三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分）15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t 为参数）相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分）已知，求： （1）； （2）.17.（本小题满分12分）已知函数（1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.18. （本小题满分12分）如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值.19．（本小题满分12分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （），l 交椭圆于A 、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程；（2）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.y ABCDACD.21. （本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值；（3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围．xx 届高三年级第一次联考数学（理）参考答案一、选择题1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.，又因为f （x ）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以2222111()()2()()x x f x x f x x f x ϕ=-+，故④正确.三、选做题 15.（1）；（2）C DyxOBAFxA BCDMyz O17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1，∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立，则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，，∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】（1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, ,, 设为面的法向量, 则即,解得令,可得 …………9分又为面的一个法向量 …………10分 ∴∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛选手甲进入复赛的概率 …………6分(2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率2322324321128(X 5)()()()()333327P C C ==⋅+⋅=…………9分…………10分 …………12分20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为则…………4分∴椭圆方程为…………6分（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为，只需证明即可 …………7分设 直线 则联立方程 得 …………9分 …………11分 而()()()()()()2221211111211*********----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k所以故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知：当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由,∴，. …………6分 故3232()'()(2)222m mg x x x f x x x x ⎡⎤=++=++-⎢⎥⎣⎦，∴,∵ 函数在区间上总存在极值，∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得；综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。

2021年高三上学期第一次统一考试数学（理）试题 含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.设集合,集合为函数 的定义域，则（ ）(A) (B) ( C) (D)2. 若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（ ）(A) (B) (C) (D)3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（A ） （B ） （C ） （D ）4．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为(A) (B) (C) (D) 5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为 (A) (B) (C)(D)6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ²），则P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 7. 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（A ）16 （B ）20 （C ）26 （D ）30 8. 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 （A ） （B ） （C ） （D ） 9.设函数()11sin 3cos 222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且其图像关于轴对称，则函数的一个单调递减区间是（） 10．P 是所在的平面上一点，满足，若，则的面积为 （A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8 11． 右图可能是下列哪个函数的图象 （A ） （B ） （C ） （D ）12.若函数满足，且时，，，则函数在区间内的零点的个数为(A) (B) (C) (D)宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（理科）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同．．．的选法共有___ 14．已知的展开式中常数项为，则常数= __________15． 已知为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为___________. 16．设数列的前n 项和为.且，则=_________.三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程）17．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．18．（本小题满分12分）如图1在Rt 中，，．D 、E 分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2． （Ⅰ）求证： 平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值；19．（本小题满分12分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天ABCDE（图1）（图2）A 1BCD E数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.20．（本小题满分12分）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知为原点，求证：为定值.21．（本小题满分12分）设函数.（I）求的单调区间；（II）若存在实数，使得，求的取值范围，并证明：.四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，⊙的半径为6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（Ⅰ）求长；（Ⅱ）当⊥时，求证：.23．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，与直角坐标系取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线上的点到直线的最大距离.24．选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的解集为，，求证：．宁城县高三年级统一考试（xx.10.20）数学试题（理科）参考答案一、选择题：DCAC CBDA CBDC二、填空题：13、30；14、1；15、4；16、（等价形式也给分）.三、17．解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得，3sin A ＝2sin C sin A ．-------2分∵sin A ≠0，∴sin C ＝32， ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.--------------6分(2)∵C ＝π3，△ABC 面积为332，∴12ab sin π3＝332，即ab ＝6.①-------------------8分 ∵c ＝7，∴由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7.②------10分由②变形得(a ＋b )2＝3ab ＋7.③将①代入③得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.-------------------12分 18．（Ⅰ）证明： 在△中，.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE ⊥⋂=∴⊥面.--------------4分 由1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………6分（Ⅱ）如图,以为原点，建立空间直角坐标系．．设为平面的一个法向量， 因为 所以， 令，得.所以为平面的一个法向量． 设与平面所成角为． 则．所以与平面所成角的正弦值为． …………………12分 19．解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分 （II ）设“事件表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为天”， “事件表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为天”，其中则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为……8分设为B 型车出租的天数，则的分布列为()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02=3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()10.1420.2030.2040.1650.1560.1070.05E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…10分一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A 类型的出租车更加合理 . ………………12分 20．解：（Ⅰ）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为 ………………3分 （Ⅱ）设，，， 设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得：则由韦达定理得： ………………5分 直线的方程为：，即，令，得，同理可得： …………8分又 ，12124(2)(2)44(2)(2)M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+++ (11)分所以，即为定值 ………………12分 21．解:（Ⅰ），则--------------------1分 令，则-------------------------2分(Ⅱ) 当时，当时，----------------6分若函数有两个零点，只需，即，--------------8分 而此时，，由此可得，故，即，---------------------------10分 又0)(,0)(212211=-==-=ax ax e x x f ex x f11212211[((1ln )]()ln()12ax a ax ax a x x ae a a ax x e e e e e ae x e---∴===<==. ··············· 12分 22．证明（1）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ， ∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．∴，∵OC =OD =6，AC =4，∴，∴BD=9．…………………5分（2）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A． ∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ． ∴AD =AO ……………………10分 23．解：⑴由得 ，∴……………2分 由得.………………5分⑵在上任取一点，则点到直线的距离为|cos 3sin 4|)4|22d θθθϕ-+++==. ………………7分其中，∴当1，.………………10分24．解：（1）当时，不等式为，不等式的解集为； ---------------- 5分 （2）即，解得，而解集是， ，解得,所以所以．----------------- 10分37354 91EA 釪e29848 7498 璘lv\A22258 56F2 囲26107 65FB 旻!39502 9A4E 驎(38609 96D1 雑25660 643C 搼23428 5B84 宄--------4分。

2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2021届高三数学上学期第一次联考试题 理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合A ＝{x ｜lg(2)y x =-}，B ＝{2|30x x x -≤}，则A ∩B ＝.A. {x ｜0＜x ＜2}B. {x ｜0≤x ＜2}C. {x ｜2＜x ＜3}D. {x ｜2＜x ≤3} 2．若复数z 的共轭复数满足()112i Z i -=-+,则||Z =.A.2 B.32C.10D.123．下列有关命题的说法错误的是.A. 若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若αβ、是两个不同平面，m α⊥,m β⊂，则 αβ⊥；C. “1sin =2x ”的必要不充分条件是“=6x π”；D. 若命题p ：200,0x R x ∃∈≥，则命题：2:,0P x R x ⌝∀∈<；4．已知某离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3P827 49m127则X 的数学期望()E X =.A ．23B ．1C ．32D ．25．已知向量a 、b 均为非零向量，则a 、b 的夹角为.A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π6．若1cos =86πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为. A. 1718B. 1718-C. 1819D. 1819-7．若直线()m n +2=0m>0n>0x y +、截得圆()()2231=1x y +++的弦长为2，则13m n+的最小值为. A. 4B. 12C. 16D. 68．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=. A ．5B ．6C ．7D ．89．已知定义在R 上的偶函数()()3sin()cos()(0,),0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02f x f x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为. A.13 C.12D.3210．在如图直二面角A­BD­C 中，△ABD 、△CBD 均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将△ABE 沿BE 翻折到△A 1BE ，在△ABE 的翻折过程中，下列不可能成立的是.A ．BC 与平面A 1BE 内某直线平行B ．CD ∥平面A 1BEC ．BC 与平面A 1BE 内某直线垂直D ．BC ⊥A 1B11．定义12nnp p p ++⋅⋅⋅+为n 个正数12n p p p ⋅⋅⋅、、、的“均倒数”，若已知正整数数列{}n a的前n 项的“均倒数”为121n +，又1=4n n a b +，则12231011111=b b b b b b ++⋅⋅⋅+. A.111 B. 112 C. 1011 D. 1112 12．已知函数()2x mf x xe mx =-+在(0,)+∞上有两个零点，则m 的取值范围是. A. (0,)e B. (0,2)eC. (,)e +∞D. (2,)e +∞第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为 ；14．若3()nx x-的展开式中各项系数之和为32，则展开式中x 的系数为 ；15．已知点P 在双曲线()2222=10x y a b a b->>0,上，PF x ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为 ；16．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PA ABC ⊥平面，==2AB AC ， ∠BAC =120。

2021年高三上学期第一次统一考试数学理试题含答案一、选择题（共25题，每题2分，共50分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则∁U（A∩B）=（）A． {4} B．{3，5} C．{1，2，4} D．∅2．复数的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．3．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是（）A． l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α4．有一个正方体棱长为1，点A为这个正方体的一个顶点，在这个正方体内随机取一个点P，则点P到点A的距离大于1的概率为（）A． 1 B．C． 1 D． 1 5．给出性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（x+）6．已知命题p：∀x＞0，x+＞2，命题q：“x=2“x2﹣5x+6=0“的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧（￢q）B．q∧（￢p）C．p∨q D．p∨（￢q）7．（已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．1C．D． 38．已知某算法的程序框图如图，若将输出的（x，y）值一次记为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（x n，y n）…若程序进行中输出的一个数对是（x，﹣8），则相应的x值为（）A．80 B．81 C．79 D． 78 9．设x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[2，5]B．[1，5]C．[，5]D． [，2]10．△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A． 3 B．4C． 5 D． 6 12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若=（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的左焦点重合，则p的值为_________．14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为_________．15．（5分）二项式（2﹣）6展开式中常数项是_________．16．（5分）若向量=（x﹣1，2），=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为d，且方程ax2﹣3x+2=0的解为1，d．（1）求{a n}的通项公式及前n项和S n公式；（2）求数列{3n﹣1a n}的前n项和T n．18．（12分）某超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超市塑料购物袋的顾客，超市给予0.96折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购买费，也不享受折扣优惠．假设该超市在某个时段内购物的人数为36人，其中有12位顾客自己带了购物袋，现从这36人中随机抽取2人．（Ⅰ）求这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；（Ⅱ）设这2人中享受折扣优惠的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．（I）求证：EF⊥平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．20．（12分）已知过点F1（﹣1，0）且斜率为1的直线l1与直线l2：3x+3y+5=0交于点P．（Ⅰ）求以F1、F2（1，0）为焦点且过点P的椭圆C的方程．（Ⅱ）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣﹣bx（a≠0）．（I）若b=2，且y=f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（II）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．四、选考题：满分30分，在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（xx•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：．23．（10分）（已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P、Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．24．（10分）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）方程ax2﹣3x+2=0的两根为1，d．利用韦达定理得，解得a=1，d=2．由此知a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．（6分）（2）令，则，，（8分）两式相减，得（10分）==﹣2﹣2（n﹣1）•3n．∴．（12分）18．解析：（Ⅰ）设“两人都享受折扣优惠”为事件A，“两人都不享受折扣优惠”为事件B，则，．因为事件A，B互斥，所以．故这2人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率是．（Ⅱ）据题意，ξ的可能取值为0，1，2．其中，，．所以ξ的分布列是：ξ0 1 2p所以．19．解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，（4分）∵E、F为PA、PB的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥平面PAD；（6分）（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．取AO中点M，连OG，EO，EM，∵EF∥AB∥OG，∴OG即为面EFG与面ABCD的交线（8分）又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO，故OG⊥EO∴∠EOM 即为所求（11分）在RT△EOM中，EM=OM=1∴tan∠EOM=，故∠EOM=60°∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．（14分）20．解：（I）直线l1的方程为y=x+1，与直线l2：3x+3y+5=0联立可解得，x=﹣，y=﹣，则P（﹣，﹣），则|PF1|+|PF2|=+=2，则a=，c=1，b=1；则椭圆C的方程为．（II）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即=k，将y2=1﹣代入并整理得（k+）x2﹣k（s+t）x+kst﹣1=0（*）由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以k+=0，k（s+t）=0，kst﹣1=0；解得k=﹣，s=，t=﹣；或k=﹣，s=﹣，t=；．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．21．解：（I）当b=2时，f（x）=lnx﹣﹣2x（x＞0），则因为函数y=f（x）存在单调递减区间，所以f′（x）＜0有解．又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，若ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；则需△=4+4a＞0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）（II）设点A，B的坐标分别是（x1，0），（x2，0），0＜x1＜x2，则点AB的中点横坐标为∵f（x2）﹣f（x1）=lnx2﹣lnx1﹣=0∴lnx2﹣lnx1=f′（x0）==×[]设，则y==，t＞1令r（t）=，则因为t＞1时，r′（t）＜0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递减．故r（t）＜r（1）=0而＞0．故f′（x0）＜0．22．证明：（1）连接AB，AC，∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，∴△CEF∽△AGD，∴，∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知，∴．23．解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，进而x2+y2=4x；对于l：由（t为参数），得，即．（5分）（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，则弦心距，弦长，因此以PQ为边的圆C的内接矩形面积．（10分）24．解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．31932 7CBC 粼• 30677 77D5 矕o39969 9C21 鰡P34973 889D 袝38630 96E6 雦B40778 9F4A 齊23087 5A2F 娯22109 565D 噝。

【高三】2021届高三数学上册第一次联考理科试卷（带答案）来来源天津市2021届高三第一次六校联考数学试卷(理科)一、：（总共40分，每个子主题5分。

每个子主题中给出的四个选项中只有一个符合主题要求）1．i为虚数单位，则＝( )．a、－ib.－1c.id.12.设为向量，则“”是“”的（）a、充分和不必要条件B.必要和不充分条件C.充分和必要条件D.既不充分也不必要条件3.已设变量x，y满足约束条件x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()a．11b．10c．9d.1724.如果执行图1的框图并输入N=5，则输出的数量等于（）a．b.c.d.5.如果一个几何体的三个视图如图2所示，其体积为（）a．8－2π3b．8－π3c．8－2πd.2π36.让双曲线x2a2-y2b2=1（b>a>0）的半焦距为C，直线L穿过两点a（a，0）和b（0，b）。

如果原点o到L的距离为34C，双曲线的偏心率为（）a.233或2b．2c.2或233d.2337.在△ ABC，a=32，B=23，COSC=13，然后是△ ABC是（）a．33b．23c．43d.38.已知函数y=f（x）是一个定义在数字集R上的奇数函数，当x∈ (- ∞, 0），XF/（x）<f（-x）保持不变。

如果，，，那么a，B和C的大小关系是（）a.c>a>bb.c>b>ac.a>b>cd.a>c>b二、问题：（本主要问题共有6个子问题，每个子问题得5分，共计30分）9.某工厂生产a、b、c三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中a种型号产品有16件,那么此样本的容量______.10.如果展开式中的系数是7，那么实数____11．若数列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，则a2021＝________.12.被曲线切割的直线（）的弦长为13.如图，割线pbc经过圆心o，ob＝pb＝1，ob绕点o逆时针旋转120°到od，连pd 交圆o于点e，则pe＝________.14.如果已知点（a，b）不低于直线x+Y-2=0，则2A+2b的最小值为___三、解答题（本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）15.（13分）已知功能(1)当时，求函数的最小值和最大值（2）让你的对立面△ a、 B和C分别是a、B和C，C=，如果SINB=2sina，求a和B的值16．（13分）一个袋中装有10个个大小相同的小球．其中白球5个、黑球4个、红球1个.（1）随机触摸袋子中的两个球，找出至少获得一个白色球的概率；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望e(ξ)．17.（13点）如图所示，在金字塔中p-abcd，PD⊥ 底部ABCD，底部ABCD为正方形，PD=DC，e和F分别为AB和Pb的中点(1)求证：ef⊥cd；（2）在平面垫中找到一个点G来生成GF⊥ 平面PCB，并证明你的结论；(3)求db与平面def所成角的正弦值．18.（13分钟）在直角坐标系xoy中，从点P到两点（0，，（0，）的距离之和等于4。

2021年高三数学第一次联考试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，则（）B. C. D.2.在复平面内复数对应的点在第一象限，则实数的取值可以为（）A.0B.1C.-1D.23.设命题“任意”，则非为（）存在 B.存在C.任意 D。

任意4.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（）B. C. D.5.若点在函数的图像上，则=（）A.2B.4C.6D.86.已知，若，则=（）A.3B.2C.1D.-17.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A.2B.-4C.-1D.48.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A.10B.15C.20D.309.给出一个程序框图，则输出的值是A.39B.41C.43D.4510.已知直角梯形,90,224ABCD BAD ADC AB AD CD ∠=∠=︒===，沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（ ）B. C. D.11.若的一个对称中心为，则的值所在区间可以是（ ）B. C. D.12.已知定义在上的奇函数，其导函数为，对任意正实数满足，若，则不等式的解集是（ ）B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡的相应位置。

13.已知向量，则 。

14.已知圆的方程为。

若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的方程为 。

15.将4为大学生分配到三个工厂参加实习活动，其中工厂只能安排1为大学生，其余工厂至少安排1位大学生，且甲同学不能分配到工厂，则不同的分配方案种数是 。

16.在中，若，则的面积取最大值的边长等于 。

三、解答题：本大题共6小题，共70分,。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）已知数列是等差数列，且。

2021年高三数学第一次联考试题理一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.2.已知，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若某市8所中学参加中学生比赛的得分用茎叶图表示（如图）其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的平均数和方程分别是（）A.91 5.5B.91 5C.92 5.5D.92 54.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C.0 D.5.在等腰中，→→→→====︒=∠AEACBDBCACABBAC32,2,90，，则的值为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图（单位：）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.7.已知函数图像经过点，则该函数的一条对称轴方程为（）A. B. C. D .8.设不等式组所表示的区域为，函数的图像与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为（）A. B. C. D.9.函数的图像大致为（）10.已知映射，设点，点是线段上一动点，。

当在线段上从点开始运动到点结束时，点对应点所经过的路线长度为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.在数列中，，则通项。

12.已知是直线的动点，是圆的一条切线，是切点，那么的面积的最小值是。

13.已知表示两数中的最大值。

若，则的最小值为。

14.已知函数()xaxaxf cos123sin321⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=，将图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若对任意，都有成立，则的值为。

15.已知{}+++∈∈=<<=NnNmmxxxA nnn,,3,22|1，若表示集合中元素的个数则。

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分12分）已知圆和圆外一点。

2021年高三第一次统一考试—数学（理）xx.4（考试时间120分钟，满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共40分）1．设集合U = R，集合M = {x| x > 0}, N = {x | x2≥x}，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．2．在△ABC中，sin 2A = sin 2B是A = B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a、，a∥β，b∥β，则α∥β；③a与α成30°的角，a⊥b，则b与α成60°的角；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．已知等比数列{a n}的前n项为S n，S3 = 3，S6 = 27，则此等比数列的公比q等于（）A．2 B．－2 C．D．－5．从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．186种C．180种D．90种6．已知函数在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（）A．[－2，2] B．[－2，0] C．[0，2] D．7．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．直线D．双曲线的一支8．已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m－n个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m + n个.现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数相同且个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时存储器中的数据个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上.9．设复数，则等于.10．若(1－ax)6的展开式中x4的系数是240，则实数a的值是.11．圆x2 + y2 + 4x－2y + 4 = 0上的点到直线x－y－1 = 0的最大距离与最小距离的差为. 12．已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是，球的体积是.13．已知向量a =(2,3)，，且a∥b，则|a| = ，b的坐标是.14．已知函数且不等式的解集是，则实数a的值是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知向量，函数（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；（Ⅱ）当时，求f(x)的单调减区间.16．（本小题满分13分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每场比赛均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出.（Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率；（Ⅱ）求乙队获胜的概率；（Ⅲ）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.17．（本小题满分13分）如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A 在平面BCD内的射影.（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；（Ⅲ）求二面角A—BE—F的大小.18．（本小题满分13分）已知函数处有极值，处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值.19．（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OEP 的面积为（Ⅰ）若点P的坐标为，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若，当取得最小值时，求此双曲线的方程.20．（本小题满分14分）已知数列{a n}的前n项为和S n，点在直线上.数列{b n}满足，前9项和为153.（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{c n}的前n和为T n，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值.（Ⅲ）设是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D二、填空题9．i 10．±2 11．2 12．16π，13．，（－4，－6）或（4，6） 14．1三、解答题15．解：（Ⅰ）因为……………………………2分…………………………………………4分…………………………………………6分所以的最小正周期是 …………………………………………7分（Ⅱ）依条件得 ………………………9分解得 …………………………………………11分 又.815811,8783],2,0[πππππ≤≤≤≤∈x x x 所以 即当时，f (x )的单调减区间是 ……………13分16．解：（Ⅰ）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为 ………………………………………………4分（Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为；乙队以2：1获胜的概率为∴乙队获胜的概率为352.0192.016.04.06.04.04.01222=+=⨯⨯⨯+=C P (8)分（Ⅲ）若三场两胜，则甲获胜的概率648.0288.036.06.04.06.06.01223=+=⨯⨯⨯+=C P 或;若五场三胜，则甲获胜的概率6.04.06.06.04.06.06.022*******⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+='C C P……………………………………12分，∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. ……………………………………… 13分17．方法一：（Ⅰ）因为E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点，所以EF ∥AC.所以∠BCA 是EF 与BC 所成角. …………………………………………………2分 ∵正四面体ABCD ，∴△ABC 为正三角形，所以∠BCA = 60°.即EF 与BC 所成角的大小是60° ……………………………………………… 3分 （Ⅱ）解法1：如图，连结AO ，AF ，因为F 是CD 的中点，且△ACD ，△BCD 均为正三角形，所以BF ⊥CD ，AF ⊥CD.因为BF∩AF = F ，所以CD⊥面AFB.因为CD在ACD，所以面AFB⊥面ACD.因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，所以OG⊥在ACD.即OG的长为点O到面ACD的距离.因为正四面体ABCD的棱长为1,在△ABF中,容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出OG =所以点O到平面ACD的距离是………………………………………… 8分解法2：如图，连结AO，CO，DO，所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O—ACD底面ACD上的高h.与解法1同理容易求出OF=，AO = ，所以V A—COD =因为V O—ACD = V A—COD，所以= V O—ACD =解得（Ⅲ）设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD.设HD的中点为K，则FK∥CH。

2021年高三数学上学期第一次联考试卷理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1设集合A={}，则满足AB={0，1，2}的集合B的个数是( )A 1B 3C 4D 62.为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+)(2+)的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．“”是“函数的最小正周期为”的（）．必要不充分条件．充分不必要条件．充要条件．既不充分也不必要条件4.右图是一容量为的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）A． B． C． D．5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（）A． B． C． D．6、由曲线围成的封闭图形的面积为（）A． B．C． D．7．已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（）A B C D 8．对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ），都有； （ⅱ），使得对，都有； （ⅲ），，使得； （ⅳ），都有，则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”： ①，运算“”为普通加法；②，运算“”为普通减法；③，运算“”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( ) A ①② B ①③ C ②③ D ①②③ 二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9. 若是奇函数，则实数=_________。

10.在△中，角的对边分别为，且，． 则角的大小为 ；11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有 种。

2021年高三第一次联考试卷（数学理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥=（ ）A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}2．复数的实部是（ ） A ．B ．C ．3D ．3．要得到一个奇函数，只需将函数的图象（ ） A ．向右平移个单位B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位4．为了了解某地区高三学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为17．5岁—18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如右图，根据上图可得这100名学生中体重在［56．5，64．5］的学生人数是（ ） A ．20B ．30C ．40D ．505．命题“对任意的”的否定是（ ） A ．不存在 B ．存在 C ．存在D ．对任意的6．如图，将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移，组成一个首尾相连的三角形，则三条线段一共至少需要移动（）A．12格 B．11格 C．10格 D．9格7．一水池有两个进水口，一个出水口，每水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定能确定正确．．．．．．．的诊断是（）A．①B．①②C．①③D．①②③8．若正四面体SABC的面ABC内有一动点P到平面SAB、平面SBC、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P在平面ABC内的轨迹是（）A．一条线段B．一个点C．一段圆弧D．抛物线的一段第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有__ ___种不同的选修方案．（用数值作答）10．在中，，，是边的中点，则∙= ．11．已知正实数满足等式，给出下列五个等式①，②，③，④，⑤，其中可能成立的关系式是（填序号）PA12．在如下程序框图中，已知：，则输出的是_________ _.13.（坐标系与参数方程选做题）设直线参数方程为（为参数），则它的截距式方程为 。

（全国卷）2021届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝ A.{2} B.{－1，0，1) C.{－2，2} D.{－1，0，1，2} 2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤- B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤- C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤- D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰A.2＋ln2B.3－ln2C.6－ln2D.6－ln4 4.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UAB φ= ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0) 6.已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 7.已知集合{}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤，定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤ 8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x－ a －x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) 10.对于任意x ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。

2021年高三数学毕业班第一次联考试题理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件、互斥，那么柱体的体积公式. 其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1. 已知全集，集合，则为A． B． C． D．2. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．0 B．3 C．6 D．123. 如图所示的程序框图输出的所有点都在函数A．y＝x＋1的图象上B．y＝2x的图象上C．y＝2x的图象上D．y＝2x-1的图象上4.下列说法正确的是A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．若，则“”是“”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D．若“”为假，则，全是假命题5. 已知双曲线C：的离心率，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为 A ． B ． C ． D ．6. 在中，内角的对边分别为，若的面积为，且，则等于 A ． B ． C ． D ．7. 如图，切于点，交于两点，且与直径交于点， ，则＝ A ．6 B ．8 C ．10 D ．148.已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9. 是虚数单位，复数 ．10. 在 的二项展开式中，的系数为 ．11. 已知曲线与直线轴围成的封闭区域为A ，直线围成的封闭区域为B ，在区域B 内任取一点，该点落在区域A 的概率为 ．12. 一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内 切于边长为3的正方形，则该机器零件的体积为 ．13．直线：（为参数），圆：（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若圆上至少有三个点到直线的距离恰为，则实数的取值范围为 ．14. 如图，在直角梯形中，//是线段上一动点，是线段上一动点，若集合，.则 ．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，(Ⅰ)求最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A 类题有4个不同的小题，B 类题有6个不同的小题, 某考生从中任抽取四道题解答.BD OA(Ⅰ)求该考生至少抽取到2道B 类题的概率；(Ⅱ)设所抽取的四道题中B 类题的个数为X,求随机变量X 的分布列与期望. 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，,，，，为的中点． (Ⅰ) 求证：；(Ⅱ) 求二面角的余弦值；(Ⅲ) 若直线与平面所成的角的正弦值 为,求实数的值．18．（本小题满分13分）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为. (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)是圆:的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程． 19．（本小题满分14分）已知非单调数列是公比为的等比数列，且，，记 (Ⅰ)求的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数，都成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)设数列，的前项和分别为，证明：对任意的正整数，都有 ． 20．（本小题满分14分）已知函数，．(Ⅰ)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (Ⅱ)若直线是函数图象的切线，求的最小值；(Ⅲ)当时，若与的图象有两个交点，试比较与的大小．（取为，取为，取为）Bxx 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分. 9． ； 10．90； 11．； 12．； 13．； 14．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数，(I)求最小正周期；(II)求在区间上的最大值和最小值. 解： ……2分……3分 ……5分 1) 函数的最小正周期 ……6分 2) 函数在单调递增，在单调递减。

31097221983212021-2022年高三上学期第一次联考 数学（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知复数，其中为虚数单位，则的虚部是（ ） A ．B ．C ．D ．2．集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间内的频率为（ ） A ． B ． C ．D ．4．已知等比数列满足，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知变量，满足约束条件241x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A ．B ．C ．D ．7．的展开式中，的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．8．如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．，B ．，C ．，D ．，9．关于函数，下列叙述有误的是（ ） A ．其图象关于对称直线对称B ．其图象可由图象上所有点的横坐标变为原来的得到C ．其值域是D ．其图象关于点对称10．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为（ ）A ．种B ．种C ．种D ．种 11．如图，等边的边长为，顶点，分别在轴的非负半轴， 轴的非负半轴上滑动，为中点，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知函数，则函数21()[()]()1F x f f x f x e =--（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题，都有，则为 ． 14．如图所示，在平面直角坐标系内，四边形为正方形， 且点坐标为．抛物线的顶点在原点，关于轴对称， 且过点．在正方形内随机取一点，则点在阴影 区域内的概率为 ．15．已知三棱锥，为等边三角形， 为直角三角形，， ，平面平面．若，则三棱锥外接球的表面积 为 ．B(公斤)16．已知，为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交于，两点，且，则双曲线的渐近线方程为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）的内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求面积的最大值； （2）若，求的值．18．（12分）已知正项数列的前项和为，满足． （1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值．19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，∥， ，为等边三角形，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角大小的余弦值．20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考 飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了 测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方 图（如图），已知图中从左到右的前个小组的频率 之比为，其中第小组的频数为．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．21．（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．20101 4E85 亅"22780 58FC 壼33049 8119 脙OR21525 5415 吕38407 9607 阇40555 9E6B 鹫H22864 5950 奐;32687 7FAF 羯s。

2021年高三第一次联考数学理试题 含解析一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设（为虚数单位），则 （ ）A ．B ．C ．D ．2．设U=R ，集合2{|2,},{|40}x A y y x R B x Z x ==∈=∈-≤，则下列结论正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．如果直线(2a +5)x +(a －2)y+4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则（ ） A ． 2 B ．－2 C ．2,－2 D ．2,0,－24. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数：①； ②；③； ④．其中“同簇函数”的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④ 5．右图为某几何体三视图，按图中所给数据,该几何体的体积为 （ ）A ．16B ．16C ．64+16D ． 16+6．已知实数，满足约束条件’则的取值范围是 （ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．[0，2]7．若等边的边长为，平面内一点满足，则( )A .B .C ．D ．8．定义：关于的不等式的解集叫的邻域．已知的邻域为区间，其中分别为椭圆的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的方程为（ ）正视图俯视图侧视图A 1C A ． B ． C ．D ．第二部分 （非选择题 满分110分）二、填空题：（本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9~13题）9．已知数列的首项，若，，则 ．10．执行程序框图，如果输入，那么输出 ．11．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种(用数字作答) 12．如图，在棱长为2的正方体内 （含正方体表面）任取一点，则 的概率 ．13.设函数在（，+）内有意义．对于给定的正数k ，函数，取函数=．若对任意的（，+），恒有=，则k 的最小值为 ．（二）选做题：考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作 的垂线，垂足为，则．三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤．）16．(本小题满分12分) 设, ,（1）求的最小正周期、最大值及取最大值时的集合； （2）若锐角满足，求的值．17．(本小题满分12分) 某市四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：第15题图人数为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率；（3）在参加问卷调查的名学生中，从来自两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用表示抽得中学的学生人数，求的分布列．18．(本小题满分14分) 如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为．、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为．（1）求证：平面平面；（2）求直线与面所成角的正弦值．19．(本小题满分14分) 已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线的方程；若不存在，简要说明理由．20．(本小题满分14分)设为数列的前项和，对任意的，都有（为正常数）．（1）求证：数列是等比数列；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和．21. (本小题满分14分)设函数(Ⅰ)当时，求函数的最大值；(Ⅱ)令（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．xx学年度高三第一次教学质量检测试题（理科数学）评分参考一、选择题 D C C C D D C B二、填空题9．，或；10．；11．30；12．；13．；14.15. 30º16．解：（1）解：…………………1分…3分……4分最小正周期……5分当，即时，有最大值，此时，所求x的集合为．………7分（2）由得，故…9分又由得，故，解得．……11分从而．………………12分17．解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为．…………… 4分（2）设“从名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，从名学生中随机抽取两名学生的取法共有种，… 5分来自同一所中学的取法共有．…………… 6分∴．答：从名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．… 7分（3）由（1）知，名学生中，来自两所中学的学生人数分别为．依题意得，的可能取值为，………… 8分，，．…… 11分∴的分布列为：…12分18．（1）证明：DEAE，CEAE，，AE平面，……3分AE平面，平面平面．……5分（2）（方法一）以E为原点，EA、EC分别为轴，建立空间直角坐标系……6分DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，……7分，，，A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．……9分、分别是、的中点，F，G ……10分=，=，……11分由（1）知是平面的法向量，……12分设直线与面所成角，则，故求直线与面所成角的正弦值为． ……14分（列式1分，计算1分） （方法二）作，与相交于，连接……6分由（1）知AE 平面，所以平面，是直线与平面所成角……7分是的中点，是的中位线，，……8分因为DEAE ，CEAE ，所以是二面角的平面角，即=…9分在中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 2222 （或）……11分（列式1分，计算1分） 平面，所以，在中， ……13分所以直线与面所成角的正弦值为……14分 19．解：（1）设椭圆的方程为， ……1分 离心率，右焦点为，，，…… 3分 故椭圆的方程为．…… 4分（2）假设椭圆上存在点（），使得向量与共线，……5分 ，， （1） ……6分又点（）在椭圆上， （2） ……8分由（1）、（2）组成方程组解得：，或， ……11分 当点的坐标为时，直线的方程为， 当点的坐标为时，直线的方程为， 故直线的方程为或． ……14分20．解：（1）证明：当时，，解得．…………………1分当时，．即．…………………2分又为常数，且，∴．………………………3分∴数列是首项为1，公比为的等比数列．……………………4分 （2）解：…5分 ∵，∴，即．…7分∴是首项为，公差为1的等差数列．………………………………………8分 ∴，即．……………………………9分 （3）解：由（2）知，则．所以， …10分即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ②………12分②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分故31112(12)2(21)22(23)612nn nnT n n-++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分21.解：（1）依题意，知的定义域为，当时，，……………………2分令，解得因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。