北师大数学选修新素养应用案巩固提升：第三章 章末综合检测三 含解析

第三章§3 3.2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题1．要证明3＋7＜25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．类比法D．归纳法解析：要证明3＋7＜25，只需证3＋7＜5＋ 5.两边平方有10＋221＜10＋10.即只要证221＜10.再两边平方有84＜100成立．故3＋7＜25成立．由证明过程可知分析法最合理．答案： B2．如果a、b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是()A．|a＋b|－|b|≤|a|B．2ab≤|a＋b|(ab＞0)C．|a－b|≥|b|－|a| D．|a＋b|≥a－b解析：A中，|a|＝|(a＋b)－b|≥|a＋b|－|b|成立；B中，要使2ab≤|a＋b|成立，只需4ab≤a2＋2ab＋b2，即(a－b)2≥0成立，∴B中不等式恒成立；C中，|a－b|≥|b|－|a|成立；但D中不一定恒成立，当a≤b时显然成立，当a＞b时，要使|a＋b|≥a－b成立，只需使(a＋b)2≥(a－b)2即4ab≥0成立，但a＞b不一定有ab≥0成立，所以D中不等式不恒成立．答案： D3．设正数a、b、c、d满足a＋d＝b＋c，且|a－d|＜|b－c|，则()A ．ad ＝bcB ．ad ＜bcC ．ad ＞bcD ．ad ≤bc解析： |a －d |＜|b －c |，∴|a －d |2＜|b －c |2，即a 2＋d 2－2ad ＜b 2＋c 2－2bc .∵a ＋d ＝b ＋c ，∴(a ＋d )2＝(b ＋c )2∴a 2＋d 2＋2ad ＝b 2＋c 2＋2bc .∴－4ad ＜－4bc .∴ad ＞bc .答案： C4．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．ab ＞0B ．ab ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＞0，b ＞0解析： ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b ＜0，b a ＜0，即ab ＜0.又若ab ＜0，则a b ＜0，b a＜0.∴a b ＋b a＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2， 综上，ab ＜0是a b ＋b a≤－2的充要条件， ∴a ＞0，b ＜0是a b ＋b a≤－2的一个充分而不必要条件． 答案： C二、填空题5．如右图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足____________________时，BD ⊥A 1C .(写出一个条件即可)．解析： 欲使BD ⊥A 1C ，只需BD ⊥面A 1ACC 1，∴可填条件：BD ⊥AC 或ABCD 为菱形(正方形)等．答案： BD ⊥AC (不唯一)6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________________．解析： a a ＋b b ＞a b ＋b a⇔a a －a b ＞b a －b b⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0⇔(a ＋b )(a －b )2＞0，只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b三、解答题7．已知a >6，求证：a －3－a －4<a －5－a －6.证明： 证法一：要证a －3－a －4<a －5－a －6， 只需证a －3＋a －6<a －5＋a －4 ⇐(a －3＋a －6)2<(a －5＋a －4)2，⇐2a －9＋2(a －3)(a －6)<2a －9＋2(a －5)(a －4) ⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)， ⇐(a －3)(a －6)<(a －5)(a －4)，⇐18<20因为18<20显然成立， 所以原不等式a －3－a －4<a －5－a －6成立． 证法二：要证a －3－a －4<a －5－a －6， 只需证1a －3＋a －4<1a －5＋a －6， 只需证a －3＋a －4>a －5＋a －6. ∵a >6，∴a －3>0，a －4>0，a －5>0，a －6>0.又∵a －3>a －5，∴a －3>a －5. 同样有a －4>a －6， 则a －3＋a －4>a －5＋a －6.∴a －3－a －4<a －5－a －6. 8．已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋b a ≥a ＋b . 证明： 证法一(比较法)： ∵a b ＋b a －a －b ＝b －a a ＋a －b b ＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0， ∴a b ＋b a ≥a ＋b . 证法二(分析法)：要证a b ＋b a≥a ＋b ， 只要证：a a ＋b b ≥ab (a ＋b )．即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )．即证a ＋b －ab ≥ab .也就是要证a ＋b ≥2ab .显然a ＋b ≥2ab 成立，故a b ＋b a≥a ＋b . 证法三(综合法，因为左边是分式型，利用基本不等式x ＋1x≥2(x >0)使左边向整式型过渡)： (法一)∵a b ＋b ＋b a ＋a ≥2a b ·b ＋2b a ·a ＝2a ＋2b ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋b a≥a ＋b . (法二)∵⎝⎛⎭⎫a b ＋b a (a ＋b )＝a ＋b ＋a a b ＋b b a≥a ＋b ＋2a a b ·b b a ＝a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a b ＋b a≥a ＋b .9．设a 、b 、c 为三角形的三边，且S 2＝2ab ，S ＝12(a ＋b ＋c )， 试证：S ＜2a .证明： 欲证S ＜2a ，∵S ＝12(a ＋b ＋c )， 即只需证12(a ＋b ＋c )＜2a ， 即需证b ＋c ＜3a ，再往下无法进行，故需另用其他证法．又由S 2＝2ab ，故只需证S ＜S 2b即b ＜S ，即2b ＜a ＋b ＋c故只需证b ＜a ＋c ，由三角形一边小于其他两边和，此式显然成立．原命题得证．。

[A 组 基础巩固]1．下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是( ) A ．三角形 B ．梯形 C ．平行四边形D ．矩形解析：因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C. 答案：C2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12解析：由题意得，(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －(a 2－a －1)>0对于任意x 恒成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，解得－12<a <32，故选C.答案：C3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋yb ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的方程为( ) A.x a ＋y b ＋zc＝1 B.x ab ＋y bc ＋zac ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zxca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：由类比推理可知，方程应为x a ＋y b ＋zc ＝1.答案：A4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是重心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心解析：由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心． 答案：D5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S -ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S -ABC 的体积为V ，则r 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V 四面体S -ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ， ∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.答案：C6．类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1、y 1、z 1)、B (x 2、y 2、z 2)、C (x 3、y 3、z 3)、D (x 4、y 4、z 4)为顶点的四面体A -BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 2＋x 3＋x 44y ＝y 1＋y 2＋y 3＋y44z ＝z 1＋z 2＋z 3＋z 447．在平面上，若两个正方形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 解析：V 1V 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶88．有如下真命题：“若数列{a n }是一个公差为d 的等差数列，则数列{a n ＋a n ＋1＋a n ＋2}是公差为3d 的等差数列．”把上述命题类比到等比数列中，可得真命题是 (填上你认为可以成为真命题的一种情形即可)．解析：可将加法类比为乘法，将公差中的倍数类比成公比的乘方得出相应结论．答案：“若数列{b n }是公比为q 的等比数列，则数列{b n ·b n ＋1·b n ＋2}是公比为q 3的等比数列”9．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．解析：如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面P AB 与平面PBC ，平面PBC 与平面PCA ，平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 3S 1cos γ.10.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解析：如图所示，在四面体P -ABC 中，设S 1，S 2，S 3，S 分别表示△P AB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面P AB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[B 组 能力提升]1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( ) A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)解析：设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A -BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：C2．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 解析：推广到空间以后，对于A 、C 、D 均有可能异面，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N ＋)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N ＋)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N ＋)，则可以得到b m ＋n ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m ，所以类比得b m ＋n ＝n －m d nc m .答案：n －m d nc m4．已知x ∈R 且f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，得f (x )的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期．(1)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为________； (2)已知a 为正的常数，x ∈R 且f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，则f (x )的一个周期为________．解析：(1)∵f (x ＋a )＝－f (x )， ∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a ＋a )＝－f (x ＋a ) ＝－[－f (x )]＝f (x )． ∴f (x )的一个周期为2a . (2)∵f (x ＋a )＝f (x )－1f (x )＋1，∴f (x ＋2a )＝f (x ＋a )－1f (x ＋a )＋1＝f (x )－1f (x )＋1－1f (x )－1f (x )＋1＋1＝－1f (x ).∴f (x ＋4a )＝－1f (x ＋2a )＝－1－1f (x )＝f (x )．∴f (x )的周期为4a . 答案：(1)2a (2)4a5.如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N＋，m≥2)．(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9 900，问a n是数列的第几项？解析：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3、4、5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)(n＋2)，n∈N＋.(3)a10＝11×12＝132.a10表示有11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵有99行100列．6.如图，点P为斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．解析：(1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，∴BB1⊥平面PMN，∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1S ACC1A1cos α.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．∵CC1⊥平面PMN，∴上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，∵PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP∴PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于S BCC1B1＝PN·CC1，S ACC1A1＝MN·CC1，S ABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，∴S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2S BCC1B1·S ACC1A1·cos α.。

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(三）导数应用（时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s＝错误!t4－3，则t＝5时的瞬时速度为( )A.5B.25C.125D.625【解析】∵v＝s′＝t3,∴t＝5时的瞬时速度为53＝125.【答案】C2.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ）A.(－∞，2) B。

(0,3)C。

（1,4）D。

（2，＋∞）【解析】f′（x)＝(x－2）e x,由f′（x)>0,得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是（2，＋∞）.【答案】D3.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是（）A。

a≥0 B。

a〉0C.a≤0D.a<0【解析】f′（x）＝3ax2＋1，当a＝0时，f′（x）＝1〉0，f（x)单调增加，无极值;当a≠0时,只需Δ＝－12a〉0,即a〈0即可。

【答案】D4.（2016·西安高二检测)函数f(x）的导函数f′（x)的图像如图1所示，那么f(x）的图像最有可能的是（）图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f′（x）〈0，f(x)是减函数；在(－2,－1)上，f′(x）>0，f（x）是增函数，从而得出结论。

章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．散点图在回归分析中的作用是( ) A ．查找个体个数B ．比较个体数据大小关系C ．探究个体分类D ．粗略判断变量是否相关 答案：D2．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x －＝3，y －＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ＝0.4x ＋2.3B ．y ＝2x －2.4C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4解析：选A.由变量x 与y 正相关，可知x 的系数为正，排除C 、D.而所有的回归直线必经过点(x －，y －)，由此排除B ，故选A.3．若线性回归方程中的回归系数b ＝0时，则相关系数为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．无法确定解析：选C.当b ＝0时，∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x －2＝0，即∑ni ＝1x i y i －n x －y －＝0， 所以r ＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑ni ＝1x 2i－n x －2∑ni ＝1y 2i －n y －2＝0.4．如图所示的电路有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A.12 B ．18C.14D ．13解析：选B.理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件A ，“b 闭合”为事件B ，“c 闭合”为事件C ，则灯亮应为事件AC B －，且A ，C ，B －之间彼此独立，且P (A ) ＝P (B －)＝P (C )＝12. 所以P (A B －C )＝P (A )P (B －)P (C )＝18.5．有一个回归方程为y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 的值的变化情况是( ) A ．平均增加3个单位 B ．平均减少5个单位 C ．平均增加5个单位 D ．平均减少3个单位 答案：B6．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (单位：千元)与居民人均消费水平y (单位：千元)统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%解析：选A.因为当y ＝7.675时，x ≈9.262，所以7.6759.262≈0.829≈83%.7得到如下几个判断：①有99%的把握认为患肝病与嗜酒有关；②有90%的把握认为患肝病与嗜酒有关；③认为患肝病与嗜酒有关出错的可能性为10%；④认为患肝病与嗜酒有关出错的可能性为1%.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.由已知的2×2列联表，得χ2＝577×（360×5－210×2）2570×7×215×362≈3.538>2.706，故有90%的把握认为患肝病与嗜酒有关．由此估计判断出错的可能性为10%.从而②③正确．8．下列说法正确的是( )A ．P (B |A )<P (AB ) B ．P (B |A )＝P （B ）P （A ）是可能的C ．0<P (B |A )<1D ．P (A |A )＝0解析：选B.显然当P (AB )＝P (B )时，选项B 成立．9．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D.D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 项不正确．10．从甲口袋内摸出1个白球的概率是13，从乙口袋内摸出1个白球的概率是12，从两个口袋内各摸出1个球，那么56等于( )A ．2个球都是白球的概率B ．2个球都不是白球的概率C ．2个球不都是白球的概率D ．2个球中恰好有1个是白球的概率解析：选C.记从甲口袋内摸出1个白球为事件A ，从乙口袋内摸出1个白球为事件B ，则A ，B 是独立事件，于是P (AB )＝P (A )P (B )＝13×12＝16，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故56为2个球不都是白球的概率．11．已知两个变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35，若有90%的把握认为“X 与Y 有关系”，则c 等于( )A ．8B ．5C ．6D ．7解析：选B.由a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35可得n ＝66，d ＝35－c ，a ＋b ＝31，a ＋c ＝10＋c ，b ＋d ＝56－c ，ad ＝10(35－c )，bc ＝21c .因为有90%的把握认为“X 与Y 有关系”，则随机变量χ2>2.706， 则66×（350－10c －21c ）231×35×（10＋c ）（56－c ）>2.706， 此时代入检验，得c ＝5符合题意．12．一个口袋内装有大小相同的8个白球和4个黑球，从中不放回地任取出两个球，在第一次取出是黑球的前提下，第二次取出黑球的概率为( )A.311 B ．12C.13D ．712解析：选A.法一：把第一次取出的是黑球记作事件A ，第二次取出的是黑球记作事件B ， 则P (A )＝412＝13，P (AB )＝4×312×11＝111，所以P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝11113＝311.法二：从袋中摸出一个黑球后，袋中还有11个球，其中有3个黑球，这时再从袋中任摸一球，摸到黑球的概率为311.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．一般来说，一个人的脚长与身高有相关关系，现对10名成年男性的脚长x (cm)与身高y (cm)进行测量，从而得出它们具有很强的线性相关性且线性回归方程为y ＝7x ，某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长26.5 cm ，请你估计案发嫌疑人的身高约为________cm.解析：由题意知，当x ＝26.5 cm 时，y ＝185.5 cm.答案：185.514．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝3e 2x ＋1的图像附近，则可通过转换得到的线性回归方程为________．解析：由y ＝3e 2x ＋1，得ln y ＝ln(3e 2x ＋1)， 即ln y ＝ln 3＋2x ＋1.令u ＝ln y ，v ＝x ，则线性回归方程为u ＝1＋ln 3＋2v .答案：u ＝ln 3＋2x ＋1(其中u ＝ln y )15．在某年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，则销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．解析：∑5i ＝1x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑5i ＝1(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ＝－3.2，所以，a ＝y －－b x －＝40，故回归直线方程为y ＝－3.2x ＋40.答案：y ＝－3.2x ＋4016．甲、乙二人从1，2，3，…，15中依次任取一个数(不放回)，已知甲取到的数字是5的倍数，则甲数大于乙数的概率是________．解析：记事件A ＝“甲数是5的倍数”，事件B ＝“甲数大于乙数”，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝4＋9＋1415×143×1415×14＝914.答案：914三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)某电视台联合报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：根据表中数据，是否有99%的把握认为对这一问题的看法与性别有关系？解：假设对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别无关，由列联表中的数据，可以得到χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝1 000×（198×109－217×476）2415×585×674×326≈125.161＞6.635，故有99%的把握认为对“男女同龄退休”这一问题的看法与性别有关．18．(本小题满分12分)一机器可以按各种不同的速度运转，其生产物件有一些会有缺点，每小时生产有缺点物件的个数随机器运转速度的变化而变化，用x 表示转速(单位：转/秒)，用y 表示每小时生产的有缺点物件的个数，现观测得到(x ，y )的4组观测的值为(8，5)，(12，8)，(14，9)，(16，11)．(1)假定y 与x 之间有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若实际生产中所容许的每小时生产的有缺点物件不超过10个，则机器的运转速度不得超过多少转/秒(精确到1转/秒)?解：(1)因为x －＝12.5，y －＝8.25，∑4i ＝1x 2i ＝660，∑4i ＝1x i y i ＝438，所以b ＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52＝25.535＝5170，a ＝y －－b x －＝8.25－5170×12.5＝－67，所以所求线性回归方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≤10，得x ≤76051≈15，即机器的运转速度不得超过15转/秒．19．(本小题满分12分)某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”做了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的23.若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？解：设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则k ＞3.841， 由k ＝3x 2×⎝⎛⎭⎫x 6×x 6－5x 6×x 32x ×x 2×x 2×x＝38x ＞3.841， 解得x ＞10.24，因为x 2，x6为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有12人．20．(本小题满分12分)某省的一次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人依次不放回地抽取两道题，问：(1)第一次抽到简答题的概率；(2)第一次和第二次都抽到简答题的概率；(3)在第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题的概率．解：设“第一次抽到简答题”为事件A ，“第二次抽到简答题”为事件B ，则 (1)法一：按位置排列法可得P (A )＝3×45×4＝35.法二：依次不放回地抽取两道题才算完成一个事件，而第一次抽到简答题后，分两种情况：第二次抽到简答题或抽到论述题．当第二次抽到简答题时，概率为35×24＝310；当第二次抽到论述题时，概率为35×24＝310.综上知，第一次抽到简答题的概率为以上两个互斥事件的概率之和，即310＋310＝35.(2)第一次和第二次都抽到简答题即为事件AB ，于是P (AB )＝35×24＝310.(3)第一次抽到简答题的条件下，第二次抽到简答题为一条件概率事件，即 P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝35×2435＝12.21．(本小题满分12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg ”，估计A 的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 新养殖法(3) 解：(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量<50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466χ2＝200×（62×66－34×38）2(100×100×96×104)≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．22．(本小题满分12分)研究“刹车距离”对于安全行车及分析交通事故责任都有一定的作用，所谓“刹车距离”就是指行驶中的汽车，从刹车开始到停止，由于惯性的作用而又继续向前滑行的一段距离．为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种汽车进行测试，测得的数据如表：刹车时的车速(km/h) 0 10 20 30 40 50 60 刹车距离(m)0.31.02.13.65.57.8(1)(2)观察散点图，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式．(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5 m ，请推测刹车时的速度为多少．请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：(1)散点图如图所示：(2)由图像，设函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将(0，0)，(10，0.3)，(20，1.0)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，100a ＋10b ＋c ＝0.3，400a ＋20b ＋c ＝1.0， 解得a ＝0.002，b ＝0.01，c ＝0.所以，函数的表达式为y ＝0.002x 2＋0.01x (0≤x ≤140)． 经检验，表中其他各值也符合此表达式． (3)当y ＝46.5时， 即0.002x 2＋0.01x ＝46.5， 所以x 2＋5x －23 250＝0. 解得x 1＝150，x 2＝－155(舍去)． 故可推测刹车时的速度为150 km/h ， 而150＞140，因此发生事故时，汽车属于超速行驶．。

三年级下数学教案巩固应用北师大版一、教学目标1. 让学生理解和掌握北师大版三年级下册数学的基本知识，提高数学思维能力。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的数学素养。

3. 培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。

二、教学内容1. 巩固和深化北师大版三年级下册数学教材中的重点知识。

2. 讲解和练习教材中的典型题目，提高学生的解题技巧。

3. 拓展学生的数学思维，提高学生的创新意识。

三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握教材中的重点知识，提高解题技巧。

2. 教学难点：培养学生的数学思维，提高学生解决实际问题的能力。

四、教具与学具准备1. 教具：教材、教案、PPT、投影仪等。

2. 学具：练习本、草稿纸、计算器等。

五、教学过程1. 导入：通过提问、讲解等方式，引导学生回顾上节课的内容，为新课的学习做好铺垫。

2. 新课导入：讲解教材中的重点知识，分析典型题目，引导学生掌握解题方法。

3. 练习巩固：让学生独立完成练习题，及时反馈，纠正错误，提高学生的解题能力。

5. 课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。

六、板书设计1. 三年级下数学教案巩固应用北师大版2. 教学目标3. 教学内容4. 教学重点与难点5. 教学过程七、作业设计1. 巩固练习：让学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。

2. 拓展练习：设计一些有针对性的题目，提高学生的数学思维能力。

3. 实践作业：让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。

八、课后反思1. 教师要关注学生的学习情况，及时调整教学策略，提高教学质量。

2. 注重培养学生的数学思维，提高学生解决实际问题的能力。

4. 鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。

重点关注的细节是“教学过程”。

一、新课导入新课导入是教学过程中的重要环节，通过有效的导入方式，可以激发学生的学习兴趣，为新课的学习做好铺垫。

在本节课的新课导入中，教师可以通过提问、讲解等方式，引导学生回顾上节课的内容，为新课的学习做好铺垫。

第三章 学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国Ⅱ卷文，8)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝( A )A ．2B ．32C ．1D ．12[解析] 由题意及函数y ＝sin ωx 的图像与性质可知， 12T ＝3π4－π4，∴ T ＝π，∴ 2πω＝π，∴ ω＝2. 故选A.2．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( A ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a .当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．3．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)，f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－12，b ＝log 32，则下列关系正确的是( A )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )＝f (b )D ．f (|a |)<f (b )[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋2f ′( π3)，∴f ′(π3)＝cos π3＋2f ′(π3)，即f ′(π3)＝－12.∴f (x )＝sin x －x . 又f ′(x )＝cos x －1≤0，故f (x )在R 上递减． 又∵－12<log 32，∴f (－12)>f (log 32)，即f (a )>f (b )．4．下列函数中，x ＝0是其极值点的函数是( B ) A ．f (x )＝－x 3 B ．f (x )＝－cos x C ．f (x )＝sin x －xD ．f (x )＝1x[解析] 对于A ，f ′(x )＝－3x 2≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于B ，f ′(x )＝sin x ，当x ∈(－π，0)时，f ′(x )<0，当x ∈(0，π)时，f ′(x )>0，故f (x )＝－cos x 在x ＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x ＝0是f (x )的一个极小值点；对于C ，f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，在R 上单调递减，没有极值点；对于D ，f (x )＝1x 在x ＝0没有定义，所以x ＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝( D ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 6．(2017·浙江卷)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则函数y ＝f (x )的图像可能是( D )[解析] 观察导函数f ′(x )的图像可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确，故选D.7．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( D )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 又因为在x ＝1处有极值， ∴a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0， ∴ab ≤(a ＋b2)2＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号， 所以ab 的最大值等于9.故选D.8．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( D )A ．－310<a <67B ．－85<a <－316C ．－83<a <－116D ．a <－310或a >67[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)， 要使函数f (x )的图像经过四个象限，则f (－2)f (1)<0， 即(103a ＋1)(－76a ＋1)<0，解得a <－310或a >67.故选D.9．(2019·衡水高二检测)已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为( B )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)，∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.10．(2017·全国卷Ⅱ理，11)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，则f (x )的极小值是( A )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3D ．1[解析] 函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1 则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1 ＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]． 由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0， 所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)． 由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0， 且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0； x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点． 所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A.11．(2019·河南八市质量监测)已知函数f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－5，若对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)－g (x 2)≥2成立，则a 的取值范围是( B )A ．(0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1][解析] 由于g (x )＝x 3－x 2－5⇒g ′(x )＝3x 2－2x ＝x (3x －2)，∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤12，23上单调递减，在⎣⎡⎦⎤23，2上单调递增，g ⎝⎛⎭⎫12＝18－14－5＝－418，g (2)＝8－4－5＝－1.由于对∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，f (x 1)－g (x 2)≥2恒成立，∴f (x )≥[g (x )＋2]max ，即x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )≥1恒成立，即ax ＋x ln x ≥1，在⎣⎡⎦⎤12，2上恒成立，a ≥x －x 2ln x 在⎣⎡⎦⎤12，2上恒成立，令h (x )＝x －x 2ln x ，则h ′(x )＝1－2x ln x －x ，而h ″(x )＝－3－2ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，h ″(x )<0， 所以h ′(x )＝1－2x ln x －x 在⎣⎡⎦⎤12，2单调递减，由于h ′(1)＝0，∴x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，h ′(x )>0，x ∈[1,2]时，h ′(x )<0，所以h (x )≤h (1)＝1，∴a ≥1.12．(2017·全国卷Ⅲ理，11)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( C )A ．－12B ．13C ．12D ．1[解析] 方法1：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数． ∵f (x )有唯一零点， ∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.故选C.方法2：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x . e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．一工厂生产某型号车床，年产量为N 台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C 2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量)．设每年每台的库存费为C 1元，求在不考虑生产能力的条件下，一年中库存费和生产准备费之和最小．[解析] 设每批生产x 台，则一年生产N x 批．一年中库存费和生产准备费之和y ＝C 1x ＋C 2Nx (0<x <N )．y ′＝C 1－C 2Nx 2.由y ′＝0及0<x <N ，解得x ＝C 2NC 1(台)．根据问题的实际意义，y 的最小值是存在的，且y ′＝0有唯一解．故x ＝C 2NC 1台是使费用最小的每批生产台数． 14．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞]上的最大值为33，则a 的值为3－1 .[解析] f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2.当x >a 时f ′(x )<0，f (x )在(a ，＋∞)上是递减的，当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )在(－a ，a )上是递增的．当x ＝a 时，f (a )＝a 2a ＝33，a ＝32<1，不合题意．∴f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1. 15．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)__．[解析] 记函数g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，因为当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，故当x >0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减；又因为函数f (x )(x ∈R )是奇函数，故函数g (x )是偶函数，所以g (x )在(－∞，0)单调递减，且g (－1)＝g (1)＝0.当0<x <1时，g (x )>0，则f (x )>0；当x <－1时，g (x )<0，则f (x )>0，综上所述，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．16．(2019·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为(－3，－2)__．[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图像有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在x ＝0处取得极值，并且在区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)求实数b 的值； (2)求实数a 的取值范围．[解析] (1)由导数公式表和求导法则得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0，解得x ＝0或x ＝－23a .依题意有－23a >0.因为函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以应有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表：∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4， ∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.19．(本小题满分12分)(2019·北京卷理，19)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程． (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x .(3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值．[解析] (1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫83＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2,4]． 由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下：故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x . (3)由(2)知，当a <－3时，M (a )＝F (0)＝|g (0)－a |＝－a >3； 当a >－3时，M (a )＝F (－2)＝|g (－2)－a |＝6＋a >3； 当a ＝－3时，M (a )＝3. 综上，当M (a )最小时，a ＝－3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由导数的几何意义，且切线与y ＝12x 垂直．得f ′(1)＝14－a －1＝－2，∴a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，∴f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0解得x ＝－1或5，－1不在定义域之内故舍去． ∴当x ∈(0,5)，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,5)递减． 当x ∈(5，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(5，＋∞)递增． ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0,5)∴f (x )在x ＝5时取极小值f (5)＝54＋14－ln5－32＝－ln5.21．(本小题满分12分)(2019·长沙高二检测)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x (万件)之间大体满足关系：P ＝⎩⎨⎧16－x，1≤x ≤c ，23，x >c ，(其中c 为小于6的正常数)(注：次品率＝次品数/生产量，如P ＝0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量．(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T (万元)表示为日产量x (万件)的函数． (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ [解析] (1)当x >c 时，P ＝23，所以T ＝13x ·2－23x ·1＝0.当1≤x ≤c 时，P ＝16－x， 所以T ＝(1－16－x )·x ·2－(16－x )·x ·1＝9x －2x 26－x.综上，日盈利额T (万元)与日产量x (万件)的函数关系为：T ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9x －2x 26－x ，1≤x ≤c ，0，x >c .(2)由(1)知，当x >c 时，每天的盈利额为0，当1≤x ≤c 时，T ′＝(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2， 令T ′＝0，解得x ＝3或x ＝9.因为1<x <c ，c <6，所以(ⅰ)当3≤c <6时，T max ＝3，此时x ＝3.(ⅱ)当1≤c <3时，由T ′＝2x 2－24x ＋54(6－x )2＝2(x －3)(x －9)(6－x )2知函数T ＝9x －2x 26－x在[1,3]上递增， 所以T max ＝9c －2c 26－c，此时x ＝c . 综上，若3≤c <6，则当日产量为3万件时，可获得最大利润；若1≤c <3，则当日产量为c 万件时，可获得最大利润．22．(本小题满分12分)(2019·全国Ⅰ卷理，20)已知函数f (x )＝sin x －ln(1＋x )，f ′(x )为f (x )的导数．证明：(1)f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点； (2)f (x )有且仅有2个零点．[解析] (1)证明：设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x －11＋x ，g ′(x )＝－sin x ＋1(1＋x )2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－1，π2时，g ′(x )单调递减，而g ′(0)＞0，g ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，可得g ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2有唯一零点，设为α.则当x ∈(－1，α)时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫α，π2时，g ′(x )＜0.所以g (x )在(－1，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，故g (x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点，即f ′(x )在⎝⎛⎭⎫－1，π2存在唯一极大值点． (2)证明：f (x )的定义域为(－1，＋∞)．①当x ∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x )在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－1,0)单调递减．又f (0)＝0，从而x ＝0是f (x )在(－1,0]的唯一零点．②当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，由(1)知，f ′(x )在(0，α)单调递增，在⎝⎛⎭⎫α，π2单调递减，而f ′(0)＝0，f ′⎝⎛⎭⎫π2＜0，所以存在β∈⎝⎛⎭⎫α，π2，使得f ′(β)＝0，且当x ∈(0，β)时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫β，π2时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，β)单调递增，在⎝⎛⎭⎫β，π2单调递减．又f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1－ln ⎝⎛⎭⎫1＋π2＞0，所以当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，f (x )＞0.从而，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，π2没有零点． ③当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减．而f ⎝⎛⎭⎫π2＞0，f (π)＜0，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤π2，π有唯一零点．④当x ∈(π，＋∞)时，ln(x ＋1)＞1.所以f (x )＜0，从而f (x )在(π，＋∞)没有零点．综上，f (x )有且仅有2个零点．。

[A 基础达标]1．某班级有一个8人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余5人座位不变，则不同的调整方案的种数为( ) A ．56 B ．112 C ．336D ．168解析：选B.从8人中任选3人有C 38种，3人位置全调有2种调法，所以不同的调整方案有2C 38＝112种．2．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种D ．150种解析：选C.由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C 26C 15＝75(种)．3．有7名同学排成一排，甲身高最高，排在中间，其余六名同学身高皆不一样，甲的左边和右边以身高为准，由高到低排列，共有不同排法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．40解析：选B.将甲以外的6个人，平均分成二组，每组3人，再按要求排在甲的左、右两边即可，方法数为C 36C 33＝20.4．空间五个点，其中任意三点不共线，任意四点不共面，经过任意两点作直线，其中异面直线有( ) A ．13对 B ．14对 C ．15对D ．16对解析：选C.法一：每对异面直线对应不共面的四点，而一组不共面的四点对应三组异面直线，所以共有C 45×3＝15(对)异面直线．法二：任取两点连成一直线有C 25＝10(种)，再在剩下的点中连一直线有C 23＝3(种)，它们必是异面直线，故这样的两条直线有10×32＝15(种)．5．用1，2，3，4，5，6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1，3，5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为( ) A ．18 B ．108 C ．216D ．432解析：选D.第一步，先将1，3，5分成两组，方法种数为C23；第二步，将2，4，6全排，有A33种方法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，并将相邻的两奇数全排，方法数为A24·A22.由分步乘法计数原理，有C23·A33·A24·A22＝432(种)．6．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．解析：联想一空间模型，注意到“有2个面不相邻”，既可从相对平行的平面入手正面构造，即C16·C12＝12，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即C36－8＝12.答案：127．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有__________种(用数字作答)．解析：可以3个人每人去一所学校，有A36种方法；可以有2个人到一所学校，另一个人去另外5所学校的一所，有C23·A26种方法，故共有A36＋C23·A26＝210(种)分配方案．答案：2108．用七种不同的颜色去涂正四面体的四个面，每个面只能涂一种颜色且每一个面都涂色，则不同的涂色方法有________种．解析：正四面体的四个面都没有区别，所以要对所用颜色的种数进行分类．用四种颜色涂，选颜色有C47种，选出后只有一种涂法，即有C47×1＝35(种)；用三种颜色涂，选颜色有C37种，必有一种颜色涂在两个面上，故有C37×C13＝105(种)；用两种颜色涂，选颜色有C27种，选出的每种颜色有涂1个面，2个面和3个面的选择，于是有3×C27＝63(种)；用一种颜色涂，选颜色有C17种，选出后只有一种涂法，即有C17×1＝7(种)．故所有涂色方法共有35＋105＋63＋7＝210(种)．答案：2109．车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？解：设A，B代表2位老师傅．A，B都不在内的选法有C45·C44＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选法有C22C25C44＝10(种)；A，B都在内且当车工的选法有C22C45C24＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选法有C22A22C35C34＝80(种)；A，B有一人在内当钳工的选法有C12C35C44＝20(种)；A，B有一人在内当车工的选法有C12C45C34＝40(种)．所以共有C45C44＋C22C25C44＋C22C45C24＋C22A22C35C34＋C12C35C44＋C12C45C34＝185(种)．10．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数．(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)在(1)中的七位数中，三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在(1)中的七位数中，任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，可有C45种情况；第三步，把3个偶数，4个奇数进行排列，可有A77种情况．所以符合题意的七位数有C34C45A77＝100 800(个)．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C34C45A33A55＝14 400(个)．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有：C34C45A33A44A22＝5 760(个)．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再把3个偶数分别插入5个空当中，共有C34C45A44A35＝28 800(个)．[B能力提升]11．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A．50种B．60种C．120种D．210种解析：选C.先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，(6，7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的五天中任选两天有序地安排其余两校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有C16·A25＝120种不同的安排方法．12．从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．解析：(1)若字母O、Q和数字0都不出现是C23·C29·A44种．(2)若数字0出现，字母O、Q不出现是C23C19A44种．(3)若字母O、Q出现其一，数字0不出现是C12C13C29A44种．综上，共有(C23C29＋C23C19＋C12C13C29)·A44＝8 424种．答案：8 42413．7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，问共有多少种旅游方案？解：此题可用排除法，7个人分赴7个地方共有A77种可能．(1)若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有A33＝6种；(2)若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有C34种，而4人中剩下1人旅游的地方是C13种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是A33种，所以共有C34C13A33＝72种；(3)若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有C 24种，余下的5个人分赴5个不同的地方的方案有A 55种，但是其中又包括了有条件的4人中的两人(不妨设甲、乙)同时去各自不能去的地方共A 33种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方有2A 13A 33种，所以共有C 24(A 55－A 33－2A 13A 33)＝468(种)；(4)若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有C 14种方案，而余下的6个人的旅游方案仍与(3)想法一致，共有C 14[A 66－A 33－C 23(A 44－A 33)－C 13(A 55－A 33－2A 13·A 33)]＝1 704(种)．所以满足以上情况的不同旅游方案共有A 77－(6＋72＋468＋1 704)＝2 790(种)．14．(选做题)如图所示，把一个圆分成n (n ≥2)个扇形，依次记为S 1，S 2，…，S n ，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？解：设分成n 个扇形时，涂法的总数为a n (n ≥2)，当n ＝2时，S 1有3种涂法，S 2与S 1的颜色不能相同，故对于S 1的每一种涂法，S 2仅有2种涂法，这样共有a 2＝3×2＝6(种)涂法． 当n >2时，由于S 1有3种涂法，S 2有2种涂法，接着S 3，S 4，…，S n －1，S n 依次有2种涂法，即共有3×2n－1种涂法，但其中S n 与S 1的颜色相同时有a n －1种涂法，故有a n ＝3×2n －1－a n－1(n >2)，则a n 2n ＝32－12×a n －12n －1， 即a n 2n －1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12n －1－1.显然数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1是首项为a 222－1＝12，公比为－12的等比数列， 所以a n2n －1＝（－1）n 2n －1， 即a n ＝2n⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋（－1）n2n －1＝2[2n －1＋(－1)n ](n >2)，当n ＝2时，a 2＝6. 故当n ≥2时，一共有2[2n －1＋(－1)n ]种涂色方法．。

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个面.”()A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点C.各正三角形的中心,边的中点对应正四面体的面的中心.“若直线AB,CD是异面直线,则直线AC,BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:①则A,B,C,D四点共面,所以AB,CD共面,这与AB,CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC,BD也是异面直线;③假设直线AC,BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②D.②③①,其正确步骤为③①②.()A.A,B为定点,动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得点P的轨迹为椭圆B.由a1=1,a n=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜出椭圆x 2a2+y2b2=1的面积S=πab,选B.,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足[f(x)]y=f(xy)”的是() A.指数函数 B.对数函数D.余弦函数f(x)=a x(a>0,a≠1)时,对任意的x>0,y>0,有[f(x)]y=(a x)y=a xy=f(xy),即指数函数(a>0,a≠1)满足[f(x)]y=f(xy),可以检验,B,C,D选项均不满足要求.5.观察下列各等式:22-4+66-4=2,55-4+33-4=2,77-4+11-4=2,1010-4+-2-2-4=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为()A.nn-4+8-n(8-n)-4=2B.n+1(n+1)-4+(n+1)+5(n+1)-4=2C.n n-4+n+4(n+4)-4=2D.n+1)-4+n+5(n+5)-4=22+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是()A.分析法B.综合法D.反证法,满足综合法的定义,故选B.7.(2017年广西南宁市高三上学期一模)给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数,f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x 的“拐点”是M(x0,f(x0)),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上y=4x上(x)=3+4cos x+sin x,f″(x)=-4sin x+cos x,由f″(x)=-4sin x+cos x=0,得4sin x0-cos x0=0,所以x0+4sin x0-cos x0=3x0,所以点M(x0,f(x0))在直线y=3x上,故选B.北京高考)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,选B.9.观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,……,猜想第n(n∈N+)个等式应为()A.9(n+1)+n=10n+9B.9(n-1)+n=10n-9C.9n+(n-1)=10n-11)+(n-1)=10n-10,可得第n(n∈N+)个等式的左边应为9(n-1)+n;再观察已知等式的右边结果1,11,21,31,…,知它们构成以1为首项,10为公差的等差数列,所以第n(n∈N+)个等式的右边应为1)=10n-9,故选B.10.如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,P i(i=1,2,3,…)分别是所在线段的中点,则线段P7P8的长为()A.√108B.√106C.√58D.√56ABCD的边长为1, P1,P2,P3分别是BC,CD,DA的中点,所以P1P2⊥P2P3,且P1P2=P2P3=√22.所以P2P5=√24,连接P3P5,则P3P5=√P2P52+P2P32=√(√24)2+(√22)2=√104,因为P7,P8分别是P3P4,P4P5的中点,所以P7P8∥P3P5,且P7P8=12P3P5=√108.11.在直角坐标系xOy中,一个质点从A(a1,a2)出发沿图中路线依次经过B(a3,a4),C(a5,a6),D(a7,a8),…,按此规律一直运动下去,则a2 017+a2 018+a2 019=()A.1 006B.1 007D.1 009a1=1,a2=1;a3=-1,a4=2;a5=2,a6=3;……归纳可得a1+a3=1-1=0,a5+a7=2-2=0,…,进而可归纳得a2 017+a2 019=0,a2=1,a4=2,a6=3,…,进而可归纳得a2 018=12×2 018=1 009,a2 017+a2 018+a2 019=1 009.答案:D导学号18334041(2017湖北武汉武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()B.乙C.丙D.丁,都提到乙,我们假设乙是罪犯,那么,甲和丙的供词是真话,乙和丁的供词是假话, .假设成立.如果我们假设其他人为罪犯,如果罪犯是丙,那么,说真话的就有甲、乙、丁三人;如果罪犯是丁,那么,说真话的只有甲;如果罪犯是甲,那么说真话的只有丙;后面三个假设都与题目要求不符合,假设.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2+y 2=r 2,则经过圆上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.类比上述性质,可以得到椭圆x 2a 2+y 2b2=1类似的性质为 .,经过圆上一点M (x 0,y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0,y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2+y 2b2=1类似的性质为:过椭圆x 2a 2+y 2b2=1上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0x a 2+y 0yb2=1. 经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0xa 2+y 0y b2=114.(2017年湖南省长沙市长郡高三上学期第三次月考)设函数f (x )=x2x+2(x>0),观察: f 1(x )=f (x )=x2x+2, f 2(x )=f (f 1(x ))=x6x+4, f 3(x )=f (f 2(x ))=x14x+8,f 4(x )=f (f 3(x ))=x30x+16,……根据以上事实,当n ∈N +时,由归纳推理可得:f n (1)= .f n (x )=x(2n+1-2)x+2n ,∴f n (1)=12n+1-2+2n=13×2n -1, 故填1n -1.,有(a-b )(a+b )=a 2-b 2,当n=2时,有(a-b )(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3,当n=3时,有(a-b )(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=a 4-b 4,当n ∈N +时,你能得到的结论是 .,由于当n=1时,有(a-b )(a+b )=a 2-b 2,当n=2时,有(a-b )(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3,n=3时,有(a-b )(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=a 4-b 4,当n ∈N +时,左边第二个因式可知为a n +a n-1b+…+ab n-1+b n ,那么对应的表达式为(a-b )(a n +a n-1b+…+ab n-1+b n )=a n+1-b n+1.答案:(a-b )(a n +a n-1b+…+ab n-1+b n )=a n+1-b n+116.导学号18334042如果一个凸多面体是n (n ∈N +)棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条,这些直线共有f (n )对异面直线,则f (4)= ,f (n )= .(答案用数字或n 的解析式表示)+底边数+对角线数=n+n+n (n -3)2=n (n+1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)=4×2+4×12×2=12,所以f (n )=n (n-2)+n (n -3)2·(n-2)=n (n -1)(n -2)2.12n (n -1)(n -2)2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)若x ,y ∈R ,且满足(x 2+y 2+2)·(x 2+y 2-1)-18≤0.(1)求x 2+y 2的取值范围; :xy ≤2.(x 2+y 2)2+(x 2+y 2)-20≤0,(x 2+y 2+5)(x 2+y 2-4)≤0. 因为x 2+y 2+5>0, 所以有0≤x 2+y 2≤4,2+y 2的取值范围为[0,4].(1)知x 2+y 2≤4,由基本不等式得xy ≤x 2+y 22≤42=2,所以xy ≤2.18.(12分)观察以下各等式:sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60°=34,sin 220°+cos 250°+sin 20°cos 50°=34,sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45°=34.,猜想出反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=34.证明如下:sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=sin 2α+(√32cosα-12sinα)2+sin α(√32cosα-12sinα) =sin 2α+34cos 2α-√32sin αcos α+14sin 2α+√32sin α·cos α-12sin 2α=3sin 2α+3cos 2α=3.19.(12分)点P 为斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥BB 1交AA 1于点M ,PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN ;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF ·EF ·cos ∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定,并予以证明.证明因为PM ⊥BB 1,PN ⊥BB 1,又PM ∩PN=P ,所以BB 1⊥平面PMN ,所以BB 1⊥MN. 又CC 1∥BB 1,所以CC 1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有S ABB 1A 12=S BCC 1B 12+S ACC 1A 12-2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下:因为CC 1⊥平面PMN ,所以上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中,因为PM 2=PN 2+MN 2-2PN ·MN cos ∠MNP ,所以PM 2·C C 12=PN 2·C C 12+MN 2·C C 12-2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP. 由于S BCC 1B 1=PN ·CC 1,S ACC 1A 1=MN ·CC 1,S ABB 1A 1=PM ·BB 1=PM ·CC 1,所以S ABB 1A 12=S BCC 1B 12+S ACC 1A 12-2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α. 20.(12分)(2015陕西高考)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a ,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点.将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置,得到四棱锥A 1-BCDE.(1)证明CD ⊥平面A 1OC ;A 1BE ⊥平面BCDE 时,四棱锥A 1-BCDE 的体积为36√2,求a 的值.①中,因为AB=BC=12AD=a ,E 是AD 的中点,∠BAD=π2,所以BE ⊥AC.②中,BE ⊥A 1O ,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC.,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,A 1BE ∩平面BCDE=BE , 又由(1),A 1O ⊥BE ,所以A 1O ⊥平面BCDE ,即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高.由题图①知,A 1O=√2AB=√2a ,平行四边形BCDE 的面积S=BC ·AB=a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V=13×S×A 1O=13×a 2×√22a=√26a 3,由√26a 3=36√2,得a=6. 21.导学号18334043(12分)已知a ,b ,c 都是不为零的实数,求证:a 2+b 2+c 2>45(ab+bc+ca ).a 2+b 2+c 2>45(ab+bc+ca ),5(a 2+b 2+c 2)>4(ab+bc+ca ),只需证5a 2+5b 2+5c 2-(4ab+4bc+4ca )>0,只需证(a 2-4ab+4b 2)+(b 2-4bc+4c 2)+(c 2-4ca+4a 2)>0, 只需证(a-2b )2+(b-2c )2+(c-2a )2>0. 因为(a-2b )2≥0,(b-2c )2≥0,(c-2a )2≥0,且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号,则必有a=b=c=0), 所以(a-2b )2+(b-2c )2+(c-2a )2>0, 所以原不等式成立. 22.导学号18334044(12分)已知函数f (x )=x cos x-sin x+1(x>0). (1)求f (x )的单调区间;(2)记x i 为f (x )从小到大的第i (i ∈N +)个零点,证明对一切n ∈N +,有1x 12+1x 22+…+1x n 2<23.f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x.令f'(x )=0,得x=k π(k ∈N +).当x ∈(2k π,(2k+1)π)(k ∈N )时,sin x>0,此时f'(x )<0; 当x ∈((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N )时,sin x<0,此时f'(x )>0.故f (x )的减区间为(2k π,(2k+1)π)(k ∈N ),增区间为((2k+1)π,(2k+2)π)(k ∈N ). (2)由(1)知,f (x )在区间(0,π)内是减少的.又f (π2)=0,故x 1=π2.当n ∈N +时,因为f (n π)f ((n+1)π)=[(-1)n n π+1][(-1)n+1(n+1)π+1]<0,且函数f (x )的图像是连续不断的,所以f (x )在区间(n π,(n+1)π)内至少存在一个零点.又f (x )在区间(n π,(n+1)π)内是单调的,故n π<x n+1<(n+1)π.因此,当n=1时,1x 12=4π2<23; 当n=2时,1x 12+1x 22<1π2(4+1)<23;当n ≥3时,1x 12+1x 22+…+1x n 2<12[4+1+122+…+1(n-1)2]<1π2[5+11×2+…+1(n-2)(n-1)]=1π2[5+(1-12)+(12-13)+…+(1n-2-1n-1)]=1π2(6-1n-1)<6π2<23.综上所述,对一切n∈N+,1x12+1x22+…+1x n2<23.。

(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( )A.5B.25C.125D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞).【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0D.a <0【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值； 当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.(2016·西安高二检测)函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】 数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0. 【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3)D.f (1)＝f (3)【解析】 由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)， 所以函数在[－2，－1]内单调递减， 所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】 因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0， 设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1， 由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)， ∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3]【解析】 当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max.设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0， ∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min.仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥0B.a <－4C.a ≥0或a ≤－4D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋a x，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立， ∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋a x≤0在(0，1)上恒成立， 即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4. ∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x， 所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2， 即12≤f (x )≤12e π2. 【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.(2016·洛阳高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】 －716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】 设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】4 00027π 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－52，求m 的值. 【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝23m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋2m 3＋2m 3－4＝－2，∴m ＝1.20.(本小题满分12分)证明：当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.【证明】 设f (x )＝ln(x ＋1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2＝ln(x ＋1)－x ＋12x 2，函数的定义域是(－1，＋∞)，则f ′(x )＝1x ＋1－1＋x ＝x2x ＋1.当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上是增函数. ∴当x >0时，f (x )>f (0)＝0， 即当x >0时，ln(x ＋1)>x －12x 2.21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大. 【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)， 底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元. 又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3).因为r >0，又由h >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0，53). (2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)(0<r <53)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2).令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去). 当r ∈(0，5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0，5)上为增函数； 当r ∈(5，53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5，53)上为减函数. 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大.22.(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点.(1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2＜2.【解】 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a ). ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，f (x )只有一个零点. ②设a ＞0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增. 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a2，则f (b )＞a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，故f (x )存在两个零点.③设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a ).若a ≥－e2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递增.又当x ≤1时，f (x )＜0，所以f (x )不存在两个零点. 若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(1，ln(－2a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此f (x )在(1，ln(－2a )内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增.又当x≤1时，f(x)＜0，所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0，＋∞).(2)证明：不妨设x1＜x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2＜2等价于f(x1)＞f(2－x2)，即f(2－x2)＜0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)e x2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)e x2.设g(x)＝－x e2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x).所以当x＞1时，g′(x)＜0，而g(1)＝0，故当x＞1时，g(x)＜0.从而g(x2)＝f(2－x2)＜0，故x1＋x2＜2.。

章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．每年的春运期间，购买火车票成为回家过年的人们的一大难题，人们用四个字来形容就是“一票难求”．在火车站的窗口买票，要有以下几个步骤：①取票；②向售票员说明目的地及乘车时间；③出示身份证；④付钱；⑤排队，则正确的流程是() A．②→⑤→①→③→④B．⑤→③→②→④→①C．②→③→①→⑤→④D．⑤→③→④→②→①解析：选B.根据我们日常购买火车票或汽车票的经验可以知道：第一步，要先排队；第二步，要向售票员出示身份证，确认身份信息；第三步，向售票员说明目的地及乘车时间；第四步，根据所购买车票的票价付钱；第五步，取票，购票结束．2．如图所示是某光缆的结构图，其中数字为各段的最大信息量，则从M到N的最大信息量为()A．6 B．7C．12 D．21解析：选A.从M到N分三层，上层分三段，按每一段上最少量计算，通过最大信息量为1；中间一层又分两条路线，分别按1和2来计算，通过最大信息量为3；下层按2来计算，所以最大信息量为6.故选A.3．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是()解析：选A.由各学校教职工组织结构易知选A.4．下面列出的是“平面向量”的知识结构图(如图所示)，其中向量的应用的下位要素是()A．向量的运算B．线段的定比分点C．线段的定比分点、平移、解斜三角形D．线段的定比分点、平移解析：选C.结构图反映了各部分之间的内在逻辑关系．5．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出的结果是()A．3 B．11C．38 D．123解析：选B.第一次循环：a＝3；第二次循环：a＝11；故该算法框图运行后输出的结果为11.6．如图是一个商场某一段时间制定销售计划时的局部结构图，从图中可以看出“计划”的制定主要受影响的因素个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.“计划”主要受“政府行为”“策划部”和“市场需求”三个因素的影响．7．要解决下面的四个问题，只用顺序结构画不出其流程图的是()A．利用公式1＋2＋…＋n＝n（n＋1）2计算1＋2＋…＋10的值B．当圆的面积已知时，求圆的周长C．给定一个数x，求其绝对值D．求函数f(x)＝x3＋4x－5的函数值解析：选C.求|x|，必须对x是否大于等于0进行判断，要用条件结构，不能只用顺序结构画流程图，故选C.8．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()A．34 B．55C．78 D．89解析：选B.运行程序：z＝x＋y＝1＋1＝2<50，x＝y＝1，y＝z＝2；第一次循环：z＝1＋2＝3<50，x＝y＝2，y＝z＝3；第二次循环：z＝2＋3＝5<50，x＝y＝3，y＝z＝5；第三次循环：z＝3＋5＝8<50，x＝y＝5，y＝z＝8；第四次循环：z＝5＋8＝13<50，x＝y＝8，y＝z＝13；第五次循环：z＝8＋13＝21<50，x＝y＝13，y＝z＝21；第六次循环：z＝13＋21＝34<50，x＝y＝21，y＝z＝34；第七次循环：z ＝21＋34＝55>50，输出z ＝55，故选B.9．如图(1)、(2)，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为( )A ．(1)n 3≥1 000？(2)n 3<1 000?B ．(1)n 3≤1 000？(2)n 3≥1 000?C ．(1)n 3<1 000？(2)n 3≥1 000?D ．(1)n 3<1 000？(2)n 3<1 000?解析：选D.图(1)、图(2)都表示当满足某条件时输出n ，否则结束程序，故应填入条件n 3<1 000？.故选D.10．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x ，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的时间最多为( )A ．2天B ．3天C ．4天D ．9天解析：选B.由题意可画出工序流程图如图所示：因为总工期为9天， 所以2＋x ≤5， 所以x ≤3.所以完成工序C 的最长时间为3天．11．某程序框图如图所示，现执行该程序，输入下列函数f (x )＝sin 2π3x ，f (x )＝cos 2π3x ，f (x )＝tan 4π3x ，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝sin 2π3xB ．f (x )＝cos 2π3xC ．f (x )＝tan 4π3xD ．三个函数都无法输出解析：选B.若输入函数f (x )＝cos 2π3x ，则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫－32－x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫－π－2π3x ＝cos 2π3x －cos 2π3x ＝0， f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎣⎡⎦⎤2π3⎝⎛⎭⎫32＋x ＝cos 2π3x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋2π3x ＝0. 故函数f (x )＝cos 2π3x 可由题中程序框图输出．易验证函数f (x )＝sin 2π3x 和f (x )＝tan 4π3x 均无法输出，故选B.12．设十人各拿水桶一只，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需时T i 分钟，假设这些T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花的时间)为最少( )A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近诸T i 平均数的一个开始，按依次小取一个大取一个的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变解析：选B.从T i 中最小的开始，由小到大的顺序接水可使总时间最少．如只有T 1，T 2两人接水，T 1需10分钟，T 2需5分钟，若T 1先接则需要10＋(10＋5)＝25(分钟)，若T 2先接则只需要5＋5＋10＝20(分钟)．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．小明晚上放学回家要做如下事情：复习功课用30分钟，休息用30分钟，烧水用15分钟，做作业用25分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为________分钟．解析：休息时可以烧水，故最少时间为30＋30＋25＝85(分钟)．答案：8514．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为________，③为________．答案：地龟哺乳动物长尾雀15．在平面几何中，四边形的分类关系可用以下框图描述，则在①中应填入________，在②中应填入________．解析：一组邻边相等的平行四边形是菱形，一条腰和底边垂直的梯形是直角梯形．答案：菱形直角梯形16．执行如图所示的算法框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内应填________．解析：a＝1时，b＝2，a＝2时，b＝22＝4，a＝3时，b＝24＝16.故判断框内应填a<4？.答案：a<4？(或a≤3？)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)汽车保养流程是：顶起车辆、更换机油、润滑部件、调换轮胎、放下车辆、清洁打蜡，试画出汽车保养的流程图．解：流程图如图所示：18．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <0，2，x ＝0，2＋x ，x >0，设计一个输入x 的值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示：19．(本小题满分12分)通过我们对0°<θ ≤360°角的认识及学习，试用树形结构图将其分类表示出来．解：树形结构图如图所示：20．(本小题满分12分)某“儿童之家”开展亲子活动，计划活动按以下步骤进行：首先，儿童与家长按事先约定的时间来到“儿童之家”，然后，一部分工作人员接待儿童，做活动前的准备；同时另一部分工作人员接待家长，交流儿童本周的表现；第三步，按照亲子活动方案进行活动；第四步，启导员填写亲子活动总结记录；同时家长填写反馈卡，最后启导员填写服务跟踪表．你能为“儿童之家”的这项活动设计一个活动流程图吗？解：流程图如下：21．(本小题满分12分)某汽车制造厂装配轿车有多道工序，各工序的先后关系如下表所示：工序代号工序名称工序所花时间(小时)紧前工序A 装配车身6无B 外表喷漆3A，IC 装配发动机11无D 安装发动机5CE 安装水泵4DF 安装汽化器5CG 安装点火、排气、发电、冷却装置12 E，FH 内部设施装配5无I 安装内部设施5G，H注：紧前工序，即与该工序相衔接的前一工序．(1)画出装配该轿车的工序流程图；(2)装配一辆轿车的最短时间是多少小时？解：(1)工序流程图如图所示．(2)装配一辆轿车的最短时间是11＋5＋4＋12＋5＋3＝40(小时)．22．(本小题满分12分)对于任意函数f(x)，x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如图所示：①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1＝f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，将x 1反馈回输入端，再输出x 2＝f (x 1)，并以此规律继续下去．现定义f (x )＝4x －2x ＋1.(1)若输入x 0＝4965，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出数列{x n }的所有项；(2)若使数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值．解：(1)依数列发生器的工作原理及给定函数f (x )可知，D ＝(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． 由x 0＝4965∈D ，则x 1＝f ⎝⎛⎭⎫4965＝1119， x 2＝f ⎝⎛⎭⎫1119＝15， x 3＝f ⎝⎛⎭⎫15＝－1∉D ， 所以数列发生器结束工作， 故数列{x n }只有三项： x 1＝1119，x 2＝15，x 3＝－1.(2)要使数列发生器产生一个无穷的常数列， 则f (x )＝4x －2x ＋1＝x ，即x 2－3x ＋2＝0， 解得x ＝1或x ＝2. 所以当x 0＝1或x 0＝2时，x n＋1＝4x n－2x n＋1＝x n.故当x0＝1时，x n＝1；当x0＝2时，x n＝2(n∈N＋)．。