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高考数学易错点【易错点23】在利用三角函数的图象变换中的周期变换和相位变换解题时。
易将ω和φ求错。
例23．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1sin 2y x =的图象（） A 、 先将每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向右平移3π个单位。
B 、 先将每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向左平移3π个单位。
C 、 先把每个x 值扩大到原来的4倍，y 值不变，再向左平移个6π单位。
D 、 先把每个x 值缩小到原来的14倍，y 值不变，再向右平移6π个单位。
【易错点分析】1sin 2y x =变换成sin 2y x =是把每个x 值缩小到原来的14倍，有的同学误认为是扩大到原来的倍，这样就误选A 或C ，再把sin 2y x =平移到sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭有的同学平移方向错了， 有的同学平移的单位误认为是3π。
解析：由1sin 2y x =变形为sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1sin 2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的14倍得到函数2sin 2y x =的图象， 再将函数2sin 2y x =的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6π单位。
即得函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭。
或者先进行相位变换，即将1sin2y x =的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向右平移23π个单位，得到函数121sin sin 2323y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将其横坐标变为原来的4倍即得即得函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象。
【练23】要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的A、横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。
B、横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。
C、横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π个单位长度。
三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。
然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。
下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。
一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。
例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。
很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。
2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。
在进行换算时，要注意系数的转换。
有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。
3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。
在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。
有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。
二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。
很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。
2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。
例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。
有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。
3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。
三角函数的图象与性质易错点 主标题：三角函数的图象与性质易错点 副标题：从考点分析三角函数的图象与性质易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。
关键词：三角函数，正弦函数，余弦函数，图象与性质，易错点难度：2重要程度：4内容：【易错点】1．周期性的判断(1)(教材习题改编)由sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期． (×) (2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为π2. (√) 2．判断奇偶性与对称性(3)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2是奇函数． (×) (4)函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝2k π＋π2(k ∈Z )．(×) 3．求三角函数的单调区间(5)函数f (x )＝sin(－2x )与f (x )＝sin 2x 的单调增区间都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．(×)(6)函数y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)4．求三角函数的最值(7)存在x ∈R ，使得2sin x ＝3.(×)(8)(教材习题改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. (√) [剖析]1．一点提醒 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．三个防范 一是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于y 轴的直线，如y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π，而不是x ＝2k π(k ∈Z )．二是对于y ＝ta n x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数，如(6)．三是函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的最大值为1，最小值为－1，不存在一个值使sin x ＝32，如(7).。
2018届高三数学成功在我专题三 三角函数与解三角形误区一：三角函数图象变换失误一、易错提醒三角函数的图象变换,是三角函数考查热点之一,也是易错点之一,虽然说图象变换不外乎平移、伸缩、翻折(对称)这三类,但考生在变换过程中出现的差错却比比皆是,究其原因,是对函数性质及其图象特征认识不够深入,因此在变换中,对变换的数据无法完全把握,从而造成失误. 二、典例精析 (一) 伸缩变换伸缩变换是容易出现错误的一个类型,是因为这类变换体现在横坐标和纵坐标上的变化似乎不一样,比如：将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝2f (x )的图象,需要将y ＝f (x )图象上每一点的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的2倍；而将函数y ＝f (x )的图象变换为y ＝f (2x )的图象,则需要将y ＝f (x )的图像上每一点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的12.之所以出现这个差异(一个是扩大,一个是缩小),原因很简单,注意到后一个关于横坐标的变化中,系数2就是x 的系数,而前一个关于纵坐标的变换,系数2并不是y 的系数,如果要将这个系数写到y 身上,则是12y ＝f (x ),这样以来,变换的“拉伸”和“压缩”与系数的关系就统一起来了. 【例1】【山西省运城市2017届高三上学期期中】把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图象向右平移6π个单位,这是对应于这个图象的解析式为（ ） A ．sin(2)3y x π=-B ．sin(2)6y x π=-C ．sin()23x y π=-D ．sin()26x y π=-【分析】本题的第一步变换容易出现失误,题目要求“把所得各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)”,不少考生将x 的系数由1变为12,导致解题错误【小试牛刀】【2018届辽宁省5校高三上学期期末考试】已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0- 【答案】A(二) 平移变换相对来说,平移变换似乎问题少一些,因为大家都记住了一个口诀：左加右减,上加下减.却很少有人追问：为什么向y 轴正方向(上方)平移就是加,而向x 轴正方向(右方)平移却是减？其实,理由与伸缩变换的理由很类似,y ＝f (x )变换为y ＝f (x )＋1,确实是纵坐标增大了一个单位,所以向上平移；而将y ＝f (x )变换为y ＝f (x ＋1),对应的x 应该减小1个单位,函数式才能保持等量关系,所以需要向左(负方向)平移1个单位. 【例2】【2017湖北省荆州市高三上学期第一次质检】将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m >个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为( ) A ．12π B ．3πC. 512π D ．712π 【分析】先得到平移后的解析式y sin 223x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,再根据所得函数的图象关于y 轴对称,写出m 的表达式,找出最小值.【解析】将函数sin 23()y x π=+的图象向右平移()0m m >个单位长度,可得()sin 23y x m π=-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦sin 223x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象,根据所得函数的图象关于y 轴对称,可得232m k k Z πππ-+=+∈，,即212k m k Z ππ=-∈，．又0m > ,所以则m 的最小值为512π,故选：C ． 【答案】C【点评】(1)平移变换中,记住“左加右减,上加下减”的口诀是没有错,但这只能确定平移方向,还需要注意平移的幅度,否则也是很容易出现差错的.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x ,±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴．【小试牛刀】【2018届福建高三上学期三校联考】要得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象,只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象A. 向左平移π2个单位长度B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度 D. 向右平移π4个单位长度【答案】D(三) 平移与伸缩综合问题现在的试题中,三角函数图象变换通常是平移与伸缩变换同时进行,即将y ＝sinx 变换为y ＝Asin (ωx ＋Φ)的形式,此类问题有两条路线可走：一是先平移,平移量为Φ个单位,然后横向伸缩变化,伸缩量为1ω倍,最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A 倍.二是先横向伸缩,伸缩量为1ω倍,然后横向平移,此时要特别小心,平移量为ϕω个单位(这往往也是命题者考查学生的关键点),最后做纵向伸缩变换,伸缩量为A 倍. 【例3】【天津六校2017届高三上学期期中联考】将函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图象．则()y g x =图象一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．23x π=【分析】先确定()3sin(2)6g x x π=-,再由2(),62x k k Z πππ-=+∈确定对称轴.【解析】函数()3sin(4)6f x x π=+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得3sin(2)6y x π=+,再向右平移6π个单位长度,得3sin(2())3sin(2)666y x x πππ=-+=-,对称轴为2(),(),6232k x k k Z x k Z πππππ-=+∈=+∈,所以选C. 【答案】C【点评】在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,而“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来． 【小试牛刀】【2017河南省豫北名校联盟高三年级精英对抗赛】若将函数sin(6)4y x π=+图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,再将所得图象沿x 轴向右平移8π个单位长度,则所得图象的一个对称中心是（ ） A ．(,0)16π B ．(,0)9π C. (,0)4π D ．(,0)2π【答案】D三、迁移运用1.【2017福建厦门一中上学期期中】将函数()()sin f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位,若所得图像与原图像重合,则ω的值不可能等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12 【答案】B【解析】因为将函数()()sin f x x ωϕ=+的图象向左平移2π个单位．若所得图象与原图象重合,所以2π是已知函数周期的整数倍,即22πωπ=⋅k （Z k ∈）,解得k 4=ω（Z k ∈）,A,C,D 正确．故选B ．2.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】为了得到函数sin 2y x =的图象,只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位 【答案】A【解析】因为sin 2sin 248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后可得sin 2sin 288y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象,所以为了得到函数sin 2y x =的图象,只需把sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位,故选A. 3.【2017山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C. 9 D ．12 【答案】B【解析】将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度,得cos ()cos()33y x x ωωωππ=-=-,又因为所得的图象与原图象重合,所以23k ωπ-=π,即6k ω=()k Z ∈,所以ω=64.【2017辽宁盘锦市高中11月月考】已知函数()3sin(2)3f x x π=-,则下列结论正确的是（ ）A ．导函数为'()3cos(2)3f x x π=-B ．函数()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．函数()f x 在区间5(,)1212ππ-上是增函数D ．函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到 【答案】C【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-='32cos 6πx x f ,故A 错误；B ．当2π=x 时,()33sin 3322sin 3±≠=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=πππx f ,不是最值,故()f x 的图象关于直线2x π=不对称,故B 错误；C ．当12512ππ<<-x 时,2322πππ<-<-x ,则x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上单调递增函数,故C 正确；D ．函数3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=322sin 332sin 3ππx x y ,则不能得到函数()x f 的图象,故D 错误,故选C.5.【2017湖北孝感高三上学期第一次联考】将函数()()1sin 22f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象关于3x =π对称,则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6π C. 3π D ．56π【答案】B6．【2018届贵州省贵阳市高三12月月考】将函数2sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则()y g x =图象的一条对称轴为（ ） A. 12x π= B. 3x π= C. 512x π= D. 23x π=【答案】C【解析】根据题意得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴为522,3212x k x k k z πππππ-=+⇒=+∈ 得到512x π=.故答案为：C. 7．【2018届江西省赣州市高三上学期期末】若将函数()22f x sin x cos x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A.8π B. 4π C. 38π D. 34π【答案】C【解析】函数()22f x sin x cos x =+ 224sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象是函数2224y sin x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 的图象，因为2224y sin x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图象关于y 轴对称，所以242k ππϕπ-=+，即28k ππϕ=--，当1k =-时， ϕ的最小正值是38π，故选D. 8．【2018届辽宁省凌源市高三上学期期末考试】将函数cos2y x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，再将函数()g x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()f x 的图象，则()f x =（ ） A. cos 8x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B. sin 8x π⎛⎫-⎪⎝⎭C. sin2xD. sin4x 【答案】D【解析】 把函数cos2y x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得()cos4g x x =， 将()cos2g x x =的图象向右平移8π个单位，得到()cos 4cos 4sin482f x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D.9．【2018届黑龙江省大庆市高三年级第一次教学质量检测】函数()()2sin f x x ωφ=+的图象过点29π⎛⎫⎪⎝⎭，，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是（ ） A. ()f x 的最小正周期为23π B. ()f x 的一条对称轴为49x π=C. ()f x 的图像向左平移9π个单位所得图像关于y 轴对称D. ()f x 在,99ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 【答案】D【解析】∵函数()f x 的图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23T π=，故23Tπω==，又∵函数()()2sin f x x ωφ=+的图象过点29π⎛⎫⎪⎝⎭，，∴2sin 329πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 2,6k k Z πϕπ=+∈，则()2s i n36fx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，最小正周期为23T π=，故A 正确； 442sin 32996f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的一条对称轴为49x π=，故B 正确；向左平移9π个单位得2sin 32cos396y x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为偶函数，即关于y 轴对称，故C 正确；当,99x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时， 3662x πππ-≤+≤，由三角函数的性质可得在该区间内有增有减，故D 错误，故选D.10．【2018届江西省抚州市高三上学期教学质量检测】将函数()()212sin cos cos 2sin 2f x x x πϕϕ⎛⎫=-++⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得函数图象关于原点对称，则ϕ的取值可能为（ ） A. 56π B. 3π- C. 2π D. 6π【答案】D11．【2018届河北衡水金卷高三高考模拟一】已知函数()23sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=-+（0ω>）的相邻两个零点差的绝对值为4π，则函数()f x 的图象（ ） A. 可由函数()cos4g x x =的图象向左平移524π个单位而得B. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移524π个单位而得C. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移724π个单位而得D. 可由函数()cos4g x x =的图象向右平移56π个单位而得【答案】B【解析】()23cos 3cos 2f x sin x x x ωωω=-+= 132cos22223sin x x sin x πωωω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为函数()23sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=-+（0ω>）的相邻两个零点差的绝对值为4π，所以函数()f x 的最小正周期为()2,2,442312T f x sin x sin x ππππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫==∴==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而()cos44428g x x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 512824x x πππ⎛⎫--+=-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可看作是()cos4g x x =的图象向右平移524π个单位而得，故选B. 12．【2018届吉林省实验中学高三上学期第五次月考】若将函数2sin2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为A. ()26k x k Z ππ=-∈B. ()26k x k Z ππ=+∈C. ()212k x k Z ππ=-∈D. ()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】函数2sin2y x =的图像向左平移12π个单位长度得2sin22sin 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()26262k x k k Z x k Z πππππ+=+∈∴=+∈ ，选B. 13．【2018届安徽省淮南市宿城高三第四次考试】把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位就得到了一个奇函数的图像，则ϕ的最小值是（ ）A.12π B. 6π C. 3π D. 512π【答案】D14.【2017浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再把得到的图象向右平移3π个单位,得到的新图像的函数解析式为()g x = ,()g x 的单调递减区间是 ．【答案】sin(2)6x π+；2(,)63k k ππππ++,k Z ∈【解析】将函数5()sin()6f x x π=+图象上各点横坐标缩短到原来的12倍,得5sin(2)6y x π=+,再把得图象向右平移3π个单位,得5()sin[2()]sin(2)366g x x x πππ=-+=+；由222262k x k ππ3ππ+≤+≤π+,即63k x k π2ππ+≤≤π+()k Z ∈,所以()g x 的单调递减区间是2(,)63k k ππππ++()k Z ∈． 15.【2017江苏徐州丰县民族中学高三上学期第二次月考】如图所示函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >,0ω>,||2πϕ<）的部分图像,现将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后,得到函数()y g x =的图象,则函数()g x 的解析式为 ．【答案】sin(2)6x π-【解析】由题设中提供的图象可得πππ436121143,1=-==T A ,即πωπ==2T ,故2=ω；又6361)612sin(πππϕϕπ-=-=⇒=-⨯,所以6321)612sin(πππϕϕπ=-=⇒=+⨯,故)62sin()(π+=x x f ,)62sin(]6)6(2sin[)(πππ-=+-=x x x g .故应填答案sin(2)6x π-.16.【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考】函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示,则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移 个单位得到．【答案】6π【解析】由图象可得,354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,解得T π=,由2T ππω==得2ω=. 因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭，,所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭,则5262k ππϕπ+=+,得()=23k k Z πϕπ-+∈,由22ππϕ-<<,得3πϕ=-, ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 17.【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知函数()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度,再向上平移32个单位长度,得到函数()g x 的图像,求当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()g x 的值域. 【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）3333,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】依题意,()2332cos 2sin cos 232f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21311cos 22cos cos sin cos 2cos 3sin cos 2222x x x x x x x x ⎛⎫=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭ 1cos 23133cos 2sin 2cos 2sin 23sin 2222223x x x x x x π+⎛⎫=++-=+=+ ⎪⎝⎭. （1）令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈,解得()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 即函数()f x 的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）将函数()f x 的图像向右平移3π个单位长度,得到函数3sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象, 再将其向上平移32个单位长度,得到()33sin 232g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭3,12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以()3333,22g x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即函数()g x 的值域为3333,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18.【2018届湖南师大附中高三上学期月考】函数()()(0,)2f x sin x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象．（Ⅰ）求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 1sin cos sin cos 3a A C c A A c +=，D 是AC 的中点，且25cos 5B =， 26BD =，求ABC ∆的最短边的边长．【解析】（1）由图知24126πππω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得2ω=， ∵sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22122k ππϕπ⨯+=+， k Z ∈，即23k πϕπ=+， k Z ∈， 由于2πϕ<，因此3πϕ=∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴sin 2sin 24436f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即函数()y g x =的解析式为()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由正弦定理可知： 2sin sin sin a b c R A B C===， 则2sin a R A =， 2sin b R B =， 2sin c R C =， 1sin sin cos sinCsinAcosA sin 3A A C C +=， 则()1sin sin sin 3A A C C +=，∴1sinAsinB sin 3C =， 由25cos 5B =，可得5sin 5B = ∵26BD =， ()12BD BA BC =+， ()221262cos 4c a ac B =++ ∴222510425c a ac =++⋅． ∵51sin sin 53A C ⨯=， ∴53a c =，∴解得： 25a =， 6c =． 又1c sin =232b A R R ⨯⨯，∴1sin 3b Ac =， 22b = ∴ABC ∆的最短边的边长为22．。
三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1： 角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1： 已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为 解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2： 已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值． 错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角 错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角 若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2： 如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3： 若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3： 若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4： 为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ． 错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4： 将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5： 已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响 解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5： （1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6： 已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6： （1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为 解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7： 函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为 错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7： 已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8： 在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为 错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8： 已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。
三角函数应用与像变换高考数学重要考点剖析三角函数是数学中的重要概念，是高中数学中的重点内容之一。
它有着广泛的应用领域，包括像变换等。
在高考数学中，三角函数应用与像变换属于重要的考点之一。
本文将对三角函数应用与像变换进行深入分析和剖析。
一、三角函数的基本概念与性质1. 正弦函数的定义与性质正弦函数是三角函数中的一种，记作sin(x)。
它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
正弦函数以原点为中心，关于y轴对称，是一个奇函数。
在周期为2π的区间上，正弦函数是周期性的，并且在(0, π/2)区间上单调递增，在(π/2, π)区间上单调递减。
2. 余弦函数的定义与性质余弦函数是三角函数中的一种，记作cos(x)。
它的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
余弦函数以y轴为中心，关于y轴对称，是一个偶函数。
在周期为2π的区间上，余弦函数是周期性的，并且在(0, π)区间上单调递减，在(π, 2π)区间上单调递增。
3. 正切函数的定义与性质正切函数是三角函数中的一种，记作tan(x)。
它的定义域是实数集，但是在x = (2k + 1)π/2 (k为整数)时无定义，值域是全体实数。
正切函数以原点为对称中心，是一个奇函数。
在周期为π的区间上，正切函数是周期性的。
二、三角函数的应用1. 三角函数在三角形求解中的应用三角函数在三角形求解中起到了重要的作用。
通过sin定理、cos定理和tan定理等，可以根据已知条件求解未知量，计算三角形的边长和角度等。
这在几何证明和实际问题中都具有重要的意义。
2. 三角函数在物理问题中的应用三角函数在物理学中也有广泛的应用。
例如，振动问题中的周期和频率可以通过三角函数来描述；力学中的合力和分力问题，也可以通过三角函数的向量分解来解决。
因此，三角函数在物理学中的应用不可忽视。
三、像变换的基本概念与性质1. 平移变换平移变换是指将图像按照指定方向和长度进行移动的变换。
在平面坐标系中，平移变换可以用向量表示。
专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y ＝a (sin x ±cos x )＋b s in x cos x (其中A ，B ，a ，b ∈R ，A ≠0，a ≠0). 三．函数图象与性质需要掌握的题型 （一）三角函数图象平移 （二）三角函数的零点 （三）函数的单调性 （四）函数的解析式 （五）三角函数图象综合 （六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
专题11 三角函数的图像与性质中的易错点一．学习目标1．理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性．2．会判断简单三角函数的奇偶性，会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期． 3．理解三角函数的对称性，并能应用它们解决一些问题． 二．方法总结1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致： (1)首先看定义域是否关于原点对称； (2)在满足(1)后，再看f (－x )与f (x )的关系.另外三角函数中的奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式. 2.三角函数的单调性(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，比如：由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z)解出x 的范围，所得区间即为增区间.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＜0，可用诱导公式将函数变为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间. 对函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上.(2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小，而比较三角函数值大小的一般步骤：①先判断正负；②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数；③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B ， (2)y ＝A (sin x －a )2＋B ，(3)y＝a(sin x±cos x)＋b s in x cos x(其中A，B，a，b∈R，A≠0，a≠0).三．函数图象与性质需要掌握的题型（一）三角函数图象平移（二）三角函数的零点（三）函数的单调性（四）函数的解析式（五）三角函数图象综合（六）三角函数的奇偶性（七）三角函数的对称性（八）三角函数的最值（九）三角函数与数列的综合（十）三角函数的周期性四．典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换.【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8 C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
三角函数典型超级易错题在学习三角函数时，有一些典型的超级易错题需要我们格外注意。
这些题目通常会使用一些常见的三角函数关系和恒等式，但可能涉及一些巧妙的代数推导或几何图形的变换，容易让人产生困惑。
在本篇文章中，我将针对其中的一个典型题目进行详细分析，帮助大家理解和解答。
题目：已知角A满足cos(A) = sin(75°)，求A的取值范围。
Step 1：将sin(75°)转化为cos的形式根据三角函数的基本性质，我们知道sin(90°-θ) = cos(θ)。
因此，sin(75°) = cos(90°-75°) = cos(15°)。
Step 2：利用三角函数之间的恒等式化简根据三角函数之间的一些常见的恒等式，我们可以化简cos(A) = cos(15°)，然后将A的取值范围进行推导。
首先，根据cos函数的周期性质，我们可以得到cos(A) = cos(2πn ± 15°)，其中n为整数。
此时，我们可以得到一个取值范围：A = 2πn ± 15°，其中n为整数。
但需要注意的是，余弦函数在一周期内是一个有界函数，其取值范围在[-1,1]之间。
因此，我们需要利用这个限制条件对取值范围进行进一步的推导。
对于cos(A) = cos(15°)，我们可以通过在单位圆上绘制出cosθ = cos(15°)的图像，注意到cos取值范围在[-1, 1]之间，从而推导出A的取值范围。
在以原点为中心的单位圆上，我们找到cos(15°)所对应的角度。
由于cos(15°) = cos(-15°)，我们只需在单位圆上找到这两个角度对应的弧度。
我们可以观察到，当我们从单位圆上的(1, 0)点逆时针旋转15°或者顺时针旋转15°时，所得到的点都落在单位圆上，即(1, 0)点的左侧。
三角恒等变换易错剖析
作者：熊习锋
来源：《高中生学习·高二文综版》2015年第08期
三角恒等变换是高考必考内容之一. 此类问题看似简单，但隐藏杀机，若思虑不周，极易出错. 考查内容主要是三角函数的化简、求值、证明，及运用公式转化三角函数，常与三角函数图象性质结合，有时与平面向量、解三角形相结合，是高考热点问题. 本文通过剖析几例典型例题，以期帮大家认识三角函数恒等变换的易错点.
点拨缺乏整体替换思想会导致对问题的本质认识不清，从而陷入繁琐的计算. 我们应该用已知角把所求角表示出来，进而分析角的范围，准确地求出三角函数值.。
三角函数题常见错误剖析湖南省临澧县第一中学 朱传秀三角函数是高中数学的重要内容,是高考考查的重点、热点.在高考中主要是以考查三角的求值、化简与三角函数的图象和性质.在解题中,常需对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论,若审题不严不细,很容易出错,要三思而后行,形成审慎思维的习惯.下面就学生在解三角函数题是常出现错误的原因剖析如下:一、定义不清,混淆象限角与区间角例1 若α、β为第一象限角,且α＞β,则( )A.sin α＞sin βB. sin α＜sin βC. sin α=sin βD.以上都不对错解：因函数x y sin =在第一象限是增函数，又α＞β，所以sin α＞sin β选（A ） 错因：角的概念不清，误将第一象限角看成区间)2,0(π上的角。
若取α=ππ26+，3πβ=，可知（A ）明显不对。
用排除法，可知应选（D ）。
二、不注意挖掘题设条件，扩大了角的取值范围例2已知),,0(πα∈且21cos sin =+αα，则α2cos 的值为（ ） A ．47 B. -47 C.± 47 D.41- 错解：将21cos sin =+αα两边平方，得412sin 1=+α，432sin -=∴α 又),,0(πα∈∴)2,0(2πα∈∴α2cos =-±=α2sin 12±47 故选C. 错因：解题中忽视了条件432sin -=α中隐含了αsin ＞0，αcos ＜0，可知2π＜α＜π.又αsin ＞αcos ，2π＜α＜43π。
即π＜α＜23π，472cos -=∴α。
应选B例3．在ABC ∆中，135cos ,53sin ==B A ，则=C cos ＿＿＿ 错解： 由135cos ,53sin ==B A 可得，1312sin ,54cos =±=B A 。
故。
或65566516cos cos sin sin )cos(cos =-=+-=B A B A B A C 错因：由.1312sin ,135cos ==B B B 为锐角，故知 由于B sin ＞A sin ，可得B ＞A ，于是A 也为锐角。
三角函数的图像与性质中的易错点典例分析（一）三角函数图象平移例1．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】B【分析】根据诱导公式将函数变为正弦函数，再减去得到.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.练习1．为了得到的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】逆用两角和的余弦公式，得=，再分析两个函数图象的变换. 【详解】因为，要得到函数，只需将的图象向右平移个单位长度即可．故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与变换，考查了两角和的余弦公式的应用；解决三角函数图象的变换问题，首先要把变换前后的两个函数化为同名函数.（二）三角函数的零点例2．函数的零点个数为A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题.【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，所以函数的零点个数为2个，故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中根据三角函数的恒等变换，把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点问题，在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了转化思想和数形结合思想的应用.练习1．设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为A．10 B．8C．16 D．20【答案】B【解析】根据函数是定义在R上的奇函数得函数图像关于原点对称，又由可得函数图像关于直线对称，故而得出函数是以4为周期的周期函数，然后利用数形结合便可得解。
三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
其中，像变换是指通过对三角函数的参数进行调整来改变函数图像在坐标平面上的位置、形状和大小。
本文将介绍一些利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧。
一、平移变换平移变换是指通过改变三角函数的参数来移动函数图像在坐标平面上的位置。
对于正弦函数sin(x)而言，平移变换可以通过改变函数参数中的常数项实现。
具体来说，对于函数y = A*sin(x - B)，其中A和B 分别表示振幅和相位角，改变相位角B可以实现图像在水平方向上的平移。
当B为正时，图像向右移动；当B为负时，图像向左移动。
例如，在处理图像变换问题时，常常需要将函数图像沿x轴或y轴平移一定距离。
可以通过调整三角函数的相位角来实现。
如果需要将函数y = sin(x)向右平移2个单位，可以通过改变函数参数为y = sin(x - 2)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)向上平移3个单位，可以通过改变函数参数为y = 3 + cos(x)来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的形状和大小。
对于正弦函数sin(x)而言，伸缩变换可以通过改变函数参数中的振幅A和频率k来实现。
具体来说，通过改变振幅A，可以改变函数图像的纵向拉伸或压缩；而通过改变频率k，可以改变函数图像的横向拉伸或压缩。
例如，在图像处理中，常常需要将函数图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
可以通过调整三角函数的振幅A和频率k来实现。
如果需要将函数y = sin(x)在x轴方向上拉伸为原来的两倍，可以通过改变函数参数为y = sin(2x)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)在y 轴方向上压缩为原来的一半，可以通过改变函数参数为y = 0.5*cos(x)来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的对称性。
三角函数易错点剖析初学三角函数，由于对某些概念或公式的理解不够彻底，对问题的思考不够严密，常常出现下列错误：一、忽视轴线角出错轴线角是指终边落在坐标轴上的角，它不属于任何象限，由于其特殊性，在解题中往往 忽视轴线角的存在而致误。
由函数值符号，如0cos ,0cos ,0sin ,0sin <><>αααα确定象限时，不仅可以得到α终边在两个相对的象限内，而且可以得到在这两个象限的交界线也就是坐标轴上，即含轴线角。
例1、若ααcos 1|cos |1=，求角α的取值范围错解：因为ααcos 1|cos |1=，所以0cos >α，所以α是第一、四象限角。
剖析：漏掉了轴线角)(2Z k k ∈=πα，角α的取值范围应是).(2222Z k k k ∈+<<-ππαππ这样就全面了。
例2、已知,0cos ,0sin ≥≥αα试确定α终边的位置错解：由0sin ≥α知，α终边在第一象限或第二象限或x 轴上；又由,0cos ≥α知，α终边在第一象限或第四象限或y 轴上，故α终边在第一象限。
剖析：解答中由0sin ≥α和,0cos ≥α确定α终边位置时，分别遗漏了y 轴非负半轴和x 轴非负半轴的情形，造成错误。
正解：由0sin ≥α知，α终边在第一象限或第二象限或x 轴或y 轴的非负半轴上； 又由,0cos ≥α知，α终边在第一象限或第四象限或y 轴或x 轴的非负半轴上， 故α终边在第一象限或x 与y 的非负半轴上。
二、混淆有关角的概念例3、已知α是第三象限角，问3α是哪个象限角？ 错解：由α是第三象限角，得0270180<<α，0090360<<α，故3α是第一象限角。
剖析：错解混淆了象限角和区间角的概念，α是第三象限角是指属于集合},270360180360|{0000Z k k k A ∈+⋅<<+⋅=αα的解。
正解：因为α是第三象限角，所以Z k k k ∈+⋅<<+⋅,2703601803600α，所以.,901203601200000Z k k k ∈+⋅<<+⋅α（1）当k 是3的倍数，即k ＝3n 时，.,90360360360000Z n n n ∈+⋅<<+⋅α所以3α是第一象限角。
