2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.4 正态分布 Word版含答案

_2.4正态分布[对应学生用书P39] 1．正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝12π·σ2e2xμσ()－－，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．[对应学生用书P40][例1]析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝12π·e x 2204()－－，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe x 2108()－－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：由正态曲线f (x )＝12πσx 22e 2()σ－－μ知，⎩⎨⎧2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A[例2] X 在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2， 所以P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝12P (－1<X <3)＝0.341 3.[一点通]解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.解析：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.答案：124．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c ＝________. 解析：∵μ＝2，P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，解得c ＝2. 答案：25．若X ～N (5,1)，求P (5<X <7)． 解：∵X ～N (5,1)，∴μ＝5，σ＝1. 因为该正态曲线关于x ＝5对称，所以P (5<X <7)＝12P (3<X <7)＝12×0.954 4＝0.477 2.[例3] 服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．[思路点拨]因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．[精解详析]因为身高X～N(174,9)，所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是3 000×0.477 2≈1 432(人)．[一点通]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10.∴P(30<X<70)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.答案：0.954 47．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位：小时)，已知X～N(1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡的使用寿命X～N(1 000,302)，故X在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．[对应课时跟踪训练(十七)]1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为()A．1B．－1C．0 D．不确定解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.答案：C2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于()A．0.8 B．0.64C．0.642D．6.4解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.答案：B3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－aC．2a D．1－2a解析：因为X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a.答案：B5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.26．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且E(X)＝3，D(X)＝1，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝________.解析：因为X ～N (μ，σ2)，E (X )＝3， D (X )＝1，故μ＝3，σ2＝1.又P (2≤X ≤4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6， 故P (X ＞4)＝1－0.682 62＝0.158 7.答案：0.158 77．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4， 所以该函数的解析式为 f (x )＝14 2πx 2e 32－，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P (－4<X ＜4)＝P (0－4<X ＜0＋4) ＝P (μ－σ<X ＜μ＋σ)＝0.682 6.8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X (kg)服从正态分布N (100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)； (2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)． 解：(1)由正态分布N (100,1.22)， 知P (100－1.2＜X ≤100＋1.2)＝0.682 6.所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024. (2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.。

课题：正态分布(二)〖教学目标〗(1)进一步加深理解并掌握正态分布和正态曲线对应函数式的意义和性质.(2)理解和掌握标准正态总体的意义及性质.(3) 掌握正态总体中，取值小于x的概率及在任一区间内取值的规律.(4)介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件，生产过程的质量控制图.〖教学重点〗正态分布、正态曲线、标准正态总体是教学的重点内容，在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想. 〖教学难点〗小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.〖教学方法〗探究式教学法〖课时安排〗1课时〖多媒体工具〗多媒体、实物投影仪〖教学过程〗一、复习引入1. 正态密度函数的解析式.其中字母的意义.2. 正态曲线的性质.二、讲解新课1.标准正态分布与一般正态分布的关系(1) 若ξ～()2,N μσ,则ξμησ-=～N(0，1). (2) 若ξ～()2,N μσ,则()P a b ξ<≤= ()()b a μμσσ--Φ-Φ,[来源:数理化网] 即通过查标准正态分布表中,a b x x μμσσ--==的()x Φ的值,可计算服从2(,)μσ的正态分布的随机变量ξ取值在a 与b 之间的概率.[来源:]2. 假设检验的基本思想与生产过程中质量控制图假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:[来源:数理化网](1) 提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布()2,N μσ.(2) 确定一次试验中的取值a 是否落入范围(3,3)μσμσ-+.(3) 作出推断:如果a ∈(3,3)μσμσ-+,接受统计假设.如果a ∉(3,3)μσμσ-+,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.3．例题评价例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的.如果某地成年男子的身高η～(175,36)N (单位: cm ),则车门高度应设计为多少?例2.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从正态分布, μ=8,σ=2.质检员在检查一大批钢筋的质量时,发现有的钢筋长度少于2m .这时,他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋呢?还是让钢筋工停止生产检修钢筋切割机?例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；[来源:]Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587[来源:]Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布1）求此县农民年平均收入在500 520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-= ∵()()()2()10.95200200200a a a P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥， ()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200a a ≥⇒≥ 三．练习 35面练习2. 习题1.5的2.3四.小结五.课后作业〖教学反思〗本节我们学习了一类重要的总体分部：正态分布.决定一个正态分布的两个重要的参数:平均数(期望、数学期望) μ 和标准差σ 。

正态分布第一课时
隆德县高级中学
姬彩霞
由德国10马克纸币谈高斯的科学贡献，引出课题
绍与动态演示
教师提问：
（1）X是一个随机变量吗？
（2）X是一个什么类型的随机变量？（3）X落在区间a,b]的概率如何计算？
生：结合频率分布直方图中小矩形的面积的求法，思考并回答
师：（追问）
1
σ2π
师：如何求随机变量X 落在区间（μ-a ，μa 】内的概率？
生：
思考：对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少怎样变化？ 生：该面积随着σ的减少而增大 师：这说明了什么？
师生总结：σ的越小，随机变量X
落在区间（μ-a ，μa 】内的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大 师：特别的，有以下特殊区间的概率
（教师利用几何画板验证这三个区间的概率）
师：利用上述所得概率，解释原则，感受原则在生产中的应用
,()()≤a a
P a X a x dx
μμσμμμϕ+--<+=⎰
（2） 求考试成绩 X 位于区
间
内的概率；
(]
500,600
教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导．
陶行知。

人教版高中选修2-3《正态分布》教案一、教学目标1.知识与技能：–能够通过计算、观察与分析进行正态分布的基本参数估计与计算；–能够根据数据特征确定正态分布的使用条件，并运用正态分布解决实际问题。

2.过程与方法：–提高学生数理思维能力及运用计算机软件进行数据统计和分析的能力；–提高学生观察、归纳、分析问题及解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：–培养学生科学态度，认识正态分布的重要性和应用价值，拓宽学生科学视野。

二、教学重、难点1.教学重点：–正态分布的基本概念与相关参数的计算；–正态分布的性质及模型的应用；–正态分布与假设检验。

2.教学难点：–正态分布在实际中的广泛应用。

三、教学内容1. 正态分布的基本概念与参数1.正态分布的定义–介绍正态分布的基本特征和概念。

2.正态分布的概率密度函数和分布函数–掌握正态分布的概率密度函数和分布函数的定义；–画出正态分布的概率密度函数和分布函数的图像。

3.正态分布的标准化–掌握正态分布的标准化转化法，以及标准正态分布表的使用方法。

2. 正态分布的参数估计与计算1.正态分布的基本形式–介绍正态分布的基本形式，以及参数的含义；–学习如何通过样本来估计总体的参数。

2.样本均值和样本标准差–掌握样本均值和样本标准差的定义和计算方法；–从样本中估计总体的均值和标准差。

3.抽样分布–掌握样本均值和样本标准差的概率分布，以及如何计算抽样分布。

3. 正态分布的应用1.正态分布的性质及模型的应用–描述正态分布的各种统计特征；–掌握利用正态分布进行概率估计的方法；–了解正态分布在实际问题中的应用，如质量控制、投资、风险评估等。

2.正态分布与假设检验–了解假设检验的基本内容及步骤；–学习如何从正态分布的角度来诠释假设检验。

四、教学方法1.授课讲解：对正态分布相关概念和公式进行讲解，以期解决学生对于正态分布不熟悉的情况。

2.讲解示范法：用实例向学生呈现正态分布的应用场景及应用方法，以期加深学生对于正态分布在实践中的应用认识。

2.4正态分布教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源②通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美教学重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题难点：正态分布密度曲线的特点教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础.但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难. 根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法.通过“观察—探究—再观察—再探究”等思维途径完成整个教学过程.而多媒体的辅助教学，不仅激发学生的学习兴趣，还有利于培养学生动向观察、抽象概括、分析归纳的逻辑思维能力，提高了课堂教学的有效性.2、学法纵观整堂课的设计，我注重培养学生以下学习方法：⑴观察探究：观察探究有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力.（如利用高尔顿板探究正态曲线的来源）⑵归纳分析：引导学生观察归纳，能缩短解决问题的时间，锻炼数学思维.（如通过几何画板的观察，归纳分析参数μ、σ对图像的影响）⑶理解应用在应用中体会到数学来源于生活又服务于生活，让学生感受到数学的价值，提高学习数学的兴趣.（如例题2及作业B组题的设置）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图以境激情通过对高尔顿板试验进行演示. 教师创设情境，为导入新知做准备.学生感悟体验，对试验的结果进行定向思考.学生经过观察发现：下落的小球在槽中的分布是有规律的.教师利用多媒体进行动态演示，能提高学生的学习积极性，提高学习数学的兴趣.研探论证1．用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，做出频率分布表.⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图.连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图.⑶将高尔顿板下面的球槽去掉，试验次数增多，频率分布直方图无限分割，于是折线图就越来越接近于一条光滑的曲线.引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程.在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距.教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，容易得到：长方形的面积代表的是相应区间内数据的频率教师引导学生得到：此时小球与底部接触时的横坐标X是一个连续型随机变量.通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移.通过这里的思考回忆，加深了对频率分布直方图的理解.这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡.教师通过课件动态演示频率分布直方图无限分割的过程. 通过几何画板让学生直观感受正态曲线的形成过程.教学环节教学内容师生互动设计意图研探论证2．正态曲线：曲线中任意的一个x均对应着唯一的一个y值，经过拟合，这条曲线是（或近似地是）下列函数的图像：()()()+∞∞-∈⋅=--,,21222,xexxσμσμσπϕ,其中π是圆周率，e是自然对数的底，实数μ和σ（σ＞0）为参数.我们称()xσμϕ,的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线.μ与σ分别反映的是均值与标准差.教师提出课题并板书：正态分布教师分析正态分布密度曲线表达式的特点，并指出两个参数的实际意义.与旧教材不同的是，该处在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观演示正态曲线来源.3．正态曲线对应的解析式中含有两个参数μ和σ.下面结合函数解析式研究曲线特点，并分析参数μ和σ对曲线的影响：⑴固定σ的值，观察μ对图像的影响学生研探新知，并进行推理论证.其中教师对学生进行学法指导，优化学生思维.教师利用几何画板，先后固定参数σ和μ，通过变化参数μ和σ的值得到一系列正态曲线，学生观察图像，分组讨论并派代表发言.学生通过观察得到：当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；结合解析式分析知=μ时它是个偶函数，于是参数μ决定了正态曲线的对称轴，0≠μ时的图像可由0=μ时的图像平移得到.（教师板书：曲线是单峰的，它针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析，教师通过固定一个参数，讨论另一个参数对图像的影响，这样的处理大大降低了难度.该环节教师利用多媒体引导学生归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力.关于直线μ=x 对称） 同时得到：曲线在μ=x 时达到峰值πσ21（教师板书）.教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 研 探 论 证⑵固定μ的值，观察σ对图像的影响⑶综合以上图像，你还能得到正态曲线的哪些特点？学生通过观察并结合参数μ与σ的意义可以分析得到：当μ一定时，σ影响了曲线的形状.即：σ越小，偏离均值的程度越小，则曲线越瘦高；σ越大，偏离均值的程度越大，则曲线越矮胖（教师板书）.综合以上的图像并结合解析式分析得到：曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交.（教师板书）. 最后引导学生由概率知识知：曲线与x 轴之间的面积为1（教师板书）.该环节通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳分类、化难为易、数形结合的思想. 这样的处理很好地突出了重点，突破了难点这为接下来提出问题，引入正态分布的定义做铺垫.4．曲线与x 轴之间的面积为1.根据对称性知，随机变量X 落在对称轴μ=x 两侧的概率都是21.请思考：对于任意一个随机变量X ，如何求出落在给定区间(]b a ,内的概率？引导学生回忆得到：X 落在区间(]b a ,的概率的近似值其实就是在(]b a ,上的阴影部分即曲边梯形的面积，曲边梯形面积等于函数()x ϕ在区间(]b a ,上的定积分.即：通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.()()dxx b X a P b a σμϕ,⎰≈≤＜教学环节 教学内容师生互动设计意图研 探 论 证5． 正态分布概念：一般地，如果对于任何实数a ＜b ，随机变量X 满足()()dx x b X a P b a σμϕ,⎰=≤＜，则称X的分布为正态分布，常记作()2,σμN .如果随机变量X 服从正态分布，则记作()2,~σμN X .教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法.引导学生分析得到，X 所落区间的端点是否能够取值，均不影响变量落在该区间内的概率.以旧引新，虽然概念较抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，易于接受新知识.同时培养了学生把前后知识联系起来进行思维的习惯.6．3σ原则几何画板演示3σ原则：()6826.0=+≤-σμσμX P ＜()9544.022=+≤-σμσμX P ＜引导学生分析，求定积分，通常需要求出原函数.根据现有知识，无法求()x σμϕ,原函数.得寻求别的方法求概率.教师通过利用几何画板演示随机变量X 落在区间(]σμσμ+-,, (]2,2σμσμ+-与(,3σμ-]3σμ+这三个区间内的概率，引入3σ原则的内容，并指出：在()σμσμ3,3+-区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生. 所以，在实际应用中，我们通常认为服从于正态分布的随机变量只取 ()σμσμ3,3+-之间的值，简称σ3原则.我们可以利用3σ原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题.(教师板书3σ原则的内容)学生发现了所学知识无法解决的问题，从而引起了他们的疑问，激发了他们要解决问题的欲望，变“要我学”为“我要学”.新知识的直接给出，学生接受或多或少会有点困难.教师利用几何画板，从数与形上体现了3σ原则的内容，能很好加深学生的印象便于理解.这为后面3σ原则的应用作了铺垫. Oyx ab()9974.033=+≤-σμσμX P ＜教学环节 教学内容师生互动设计意图 反 馈 矫 正例题1 把一条正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b ，下列说法不正确的是（） A ．曲线b 仍然是正态曲线 B ．曲线a 和b 的最高点的纵坐标相等 C ．以曲线b 为正态分布的总体的方差比以曲线a 为正态分布的总体的方差大2 D ．以曲线b 为正态分布的总体的期望比以曲线a 为正态分布的总体的期望大2学生独立分析，并学生间互问互检，质疑答辩.教师排难解惑，帮助学生巩固深化所学知识.学生易分析知：正态曲线a 经过平移仍是正态曲线，峰值不变.而曲线的左右平移与μ即均值（期望）有关.故C 选项的说法不正确.通过该例的设置，深化了学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数μ与σ的理解.例题 2 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如下图： ① 写出X 的分布密度函数； ②求成绩X 位于区间(]68,52的概率是多少？ ③求成绩X 位于区间(]68,60的概率是多少？ ④若该地区有10000名学生参加考试，从理论上讲成绩在76分以上的考生有多少人？ 学生相互讨论，根据对称轴可知60=μ，根据峰值可知8=σ，代入正态曲线表达式可得：()()12860,2281--⋅=x e x πϕσμ由8,60==σμ知： ()6852≤X P ＜ ()σμσμ+≤-=X P ＜ 6826.0=()6860≤X P ＜()685221≤=X P ＜ 3413.0=()()4476＜＞X P X P =()[]7644121≤≤-=X P ()9544.0121-=0228.0=通过一个贴近生活的实例，学生体会到了数学在实际问题中的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情.本例是由课本74页练习2进行变式处理，做到了一题多用. 该环节设置的②③④这三个小问，分别要求学生根据σ3原则直接求出对称区间概率，利用对称性及结合概率为1，求不对称区间的概率.体现了数形结合的思想，同时问题的设置由易到难，形成坡度.20 40 60 80100 y π281x O例3 设正态总体落在区间()1,-∞-和区间()+∞,3内的概率相等，落在区间()4,2-内的概率为%74.99，求该正态总体对应的正态曲线的最高点的坐标.学生分析易知：落在()1,-∞-和()+∞,3内概率相等知1=μ,由区间()4,2-概率为99.74%，知431=+σ,231-=-σ, 即1=σ，代入正态分布密度函数解析式知最高点的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛π21,1.要求学生能根据题意画出草图，分析已有条件得到两个参数的解，利用解析式求出结果.再一次强化了数形结合的解题思想.教学环节教学内容师生互动设计意图 应用评价1． 正态曲线有哪些具体的特点？2．σ3原则是什么？它对μ、σ取任何数，数据落到相对区间内的概率是不变的吗？ 3．思想方法：数形结合等.4．生活中的正态分布教师引导学生进行课堂小结，自我评价. 学生可以展示自己的所悟所得，与同伴分享成功的喜悦；还可以提出自己的困惑，师生共同探讨.将课堂小结作为自我评价的主阵地.教师结合例子对正态分布进行介绍.通过学生提出学习本节内容中的困惑和与同伴分享学习成果，引导学生进行反思与自我评价.教师不仅引导学生反思学习知识，还反思思想方法.通过教师的介绍，学生能够体会到生活中处处有正态分布，感受到数学的实际应用.思维创新 A 组课本75页 A 组第1题B 组第2题B 组在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N ，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.试问此次参赛的学生总数约有多少人？课外思考：请尝试从解析式角度分析正态曲线的对称性与最值.学生通过作业进行课外反思，通过思考发散思维，发现创新.教师通过布置作业，进行自我评价，更新教法.学生通过作业，及时反馈，巩固所学知识；教师通过分层次布置作业，提高了学生的学习效率，同时能在作业中发现教学的不足.板书设计正态分布1．解析式2．曲线性质⑴⑵⑶⑷⑸3．3 原则例1．例2①②③④例3多媒体投影。

《§2.4正态分布》教学设计§2.4正态分布一、教材分析正态分布是人教A版选修2-3第二章第四节的内容，该内容共一课时。

之前，学生已经学习了频率分布直方图、离散型随机变量等相关知识，这为本节课学习奠定了基础，而正态分布研究是连续型随机变量，既是对前面内容的补充、拓展，又为学生初步应用正态分布知识解决实际问题提供了理论依据。

二、学情分析学生已在必修三中学习过频率分布直方图、总体密度曲线，有一定的基础，但间隔时间较长，有些遗忘，可能会影响课堂进度。

正态曲线的特征较多，证明也较为复杂，需要学生敏锐的观察能力与动手动脑能力。

三、教学目标分析（1）从数据分析的角度，建立数据分布的概念，理解正态曲线的来源，建立钟形曲线的直观印象，从钟形曲线的形态角度理解数据分布。

（2）理解正态分布密度曲线的特点，借助直观图形对比不同参数的正态密度函数的图像，理解两个参数μ，σ的含义。

会根据对称性进行简单的正态分布的相关概率的计算，并能解决一些简单的实际问题。

（3）通过教学中一系列探索过程，使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。

四、教学重点、难点分析【教学重点】正态分布密度曲线的特点和性质【教学难点】正态分布密度曲线的特点和性质的推导五、教法、学法分析教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识线（二）过程线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．六、教学过程1.高尔顿版实验。

建构概念用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律．⑴将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表．⑵以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。

连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图．引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．师生互动通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．设计意图教学内容建构概念（3）随着试验次数增多，折线图就越来越接近于一条光滑的曲线．从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：()()()+∞∞-∈⋅=--,,21222,xexxσμσμσπϕ解析式中前有一个系数σπ21，后面是一个以e为底数的指数形式，幂指数为222)(σμ--x，解析式中含两个常数π和e，还含有两个参数μ和σ，分别指总体随机变量的平均数和标准差，可用样本平均数和标准差去估计．在学生从形的角度直观认识了正态曲线之后才给出曲线对应的表达式，这样处理能更直观，学生更易理解正态曲线的来源．定义导出1.正态曲线：2.正态分布：一般地，如果对于任何实数a＜b，随机变量X满足：()()dxxbXaP baσμϕ,⎰=≤＜，则称X的分布为正态分布，常记作()2,σμN．如果随机变量X服从正态分布，则记作()2,~σμNX．教师在前面分析的基础上引出正态分布的概念，并说明记法。

《人教B版选修2-3第2章正态分布》教学设计1教学内容解析:正态分布是高中新教材人教B版选修2-3的第二章的最后一节内容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面内容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修3频率分布直方图和概率知识的后续。

该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。

2．教学目标分析在上次教材改革中增加了正态分布，此次新课程标准中理科选修2-3仍然保留了正态分布的内容，只是在内容上作了一些调整，课本删除了标准正态分布和正态分布函数表，只要求利用对称性和“3σ”原则分析实际问题，从而考查难度有所降低，注重考查阅读理解能力。

正态分布在概率和统计中占有重要的地位，如现今德国10A.0.6试问该厂生产的这批零件是否合格？例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N110，2021且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格即90分以上的人数和130分以上的人数解：μ＝110，σ＝2021X≥90＝PX－110≥－2021X－μ≥－σ，∵PX－μ≤－σ＋P－σ≤X－μ≤σ＋PX－μ≥σ＝2PX－μ≤－σ＋＝1，∴PX－μ≤－σ＝5，∴PX≥90＝1－PX－μ≤－σ＝1－5＝∴54×≈45人，即及格人数约为45人∵PX≥130＝PX－110≥2021X－μ≥σ，∴PX－μ≤－σ＋P－σ≤X－μ≤σ＋PX－μ≥σ＝6＋2PX－μ≥σ＝1，∴PX－μ≥σ＝5，即PX≥130＝5∴54× 5＝9人，即130分以上的人数约为9人[再练一题]3某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X单位：分近似服从正态分布X～N50,102，求他在30,60]分内赶到火车站的概率解：∵X～N50,102，∴μ＝50，σ＝10∴P301>σ2>σ3>0σ2>1>σ3>0 <σ1<σ2＝1<σ3～Nμ，σ2，则PX≤μ＝________2，σ2，且PX<4＝，则PX≤0___答案：C D 错误!作业教材70第7题，71第6题。

2.4 正态分布【教学目标】①了解什么叫正态曲线和正态分布认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义； ②会根据正态曲线的性质求随机变量在某一范围内的概率。

【教学重点】正态曲线的性质。

【教学难点】对正态分布的理解及应用。

一、课前预习1.正态变量：服从_______的_________叫做正态随机变量，简称________。

2.正态曲线：（1）概念：正态变量的概率密度函数的图象叫做____________，它与x 轴一起围成的面积是______。

其函数表达式为R x e x f x ∈⋅=--,21)(222)(σμσπ其中σμ,是参数，且0,σμ>-∞<<+∞。

μ和σ分别为正态变量的________和______。

正态分布通常记作：______。

其中1,0==σμ的正态分布叫做______。

（2）性质：①曲线在x 轴的______，并且关于直线_____对称；②曲线在______时处于最高点，并且由此出向左右两边延伸时，曲线逐渐_______，呈现_________________的形状；③曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越______，σ越小，曲线越_______。

3.正态变量在三个特殊区间)3,3(),2,2(),,(σμσμσμσμσμσμ+-+-+-内取值的概率值分别为：__________________________。

二、课上学习例1、已知随机变量X 服从正态分布)1,3(N ，且6826.0)42(=≤≤X P ，则(4)_____P X >=。

例2、在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，及)100,90(~N X 。

（1）试求考试成绩X 位于区间（70，110）上的概率是多少？（2）若这次考试共有2000名考生试估计考试成绩在（80，100）间的考生大约有多少人？三、课后练习1.已知正态总体的数据落在区间（-3，-1）里的概率和落在区间（3，5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__________。

正态分布
1、正态分布
一般地，一个随机变量如果是 、 、 的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

2、正态曲线的定义
(
)()2221,x f x e x R μσ--=∈
其中μ和σ为参数，0σ＞，-+∞∞＜μ＜
()f x 的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

μ： σ：
当 时，叫做标准正态分布。

期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作 ； 即：如果随机变量X 服从正态分布，记为 ；
3、正态曲线的性质
（1）、曲线在轴的 ；
曲线关于 对称；
（2）、= 时，处于最高点；简述：函数的单调性如何？
思考：从方程中能否得到这些性质？
（3）形状由σ决定
σ越大，越“ ”
σ越小，越“ ”
4、3σ原则（正态变量的取值几乎都在距=μ三倍标准差之内）
(); ≈+≤<-σμσμX P (); 22≈+≤<-σμσμX P ().
33≈+≤<-σμσμX P
例如：当μ=0，σ=1时，正态变量X在（-1,1）内的概率约为，在（-2,2）内约为，在（-3,3）内约为。

例1：设随机变量X～N2，2σσ>0，若X在0,2内取值的概率为，试求：
1X在0,4内取值的概率；
2PX>4．
5、课堂小结
正态曲线有哪些特点？3σ原则是什么？
思想方法：数形结合生活中的正态分布。

§2.4正态分布三维目标1．知识与技能了解正态曲线的基本特点，理解正态曲线所表示的意义．2．过程与方法通过正态曲线的图象认识正态曲线，通过正态曲线了解正态分布，通过计算机的展示，了解正态曲线随着参数μ和σ变化而变化的特点及正态分布的3σ原则．从生活实践入手结合图象认识参数μ，σ的几何意义．3．情感、态度与价值观善于从复杂多变的现象中发现问题的本质，提高学生的识别能力以及用数学知识分析现实问题的能力．重点、难点重点：正态分布曲线的特点及所表示的意义．难点：利用正态分布解决实际问题．引导学生观察高尔顿板，不断分析、总结得出正态分布，借助图象，进一步认识正态曲线的特点，通过例题与练习，让学生掌握正态分布的应用，从而化解难点，突出重点．教学建议教学时通过高尔顿板试验的方法让学生认识正态分布密度曲线，引导学生认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义，使学生在观察活动中学习，在探究中创新．教学流程创设问题情境，提出问题．⇒引导学生回答问题，引出正态分布，掌握其意义、特点．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握正态曲线的图象的应用．⇒通过例2及互动探究，使学生掌握正态分布下的概率的计算．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握正态分布的实际应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正．课标解读1．了解正态分布的意义．2．能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质．3．了解正态曲线的意义和性质．4．会利用φ(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率. 知识正态分布【问题导思】函数f(x)＝12πσe－x－μ22σ2的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．【提示】由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为1102π，由函数式可知，函数图象的对称轴为x＝μ，∴μ＝72，且12πσ＝1102π，∴σ＝10.∴f(x)＝1102πe－(x－72)2200(x∈R)．1．正态曲线(1)正态曲线的概念若φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值12πσ；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝⎠⎛abφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．3σ原则(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋aφμ，σ(x)d x.(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率．P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.类型1正态曲线的图象的应用例1 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差．【思路探究】 给出一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，就能求出总体随机变量的均值、标准差以及解析式．解 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20， 12πσ＝12π， ∴σ＝ 2.于是φμ，σ(x )＝12π·e －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2.规律方法1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决μ，σ.2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征：(1)对称轴方程x ＝μ；(2)最值1σ2π.这两点把握好了，参数μ，σ便确定了，代入φμ，σ(x )中便可求出相应的解析式． 变式训练如图，曲线C 1：f (x )＝12πσ1e －(x －μ1)22σ21(x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝12πσ2e －(x －μ2)22σ22(x ∈R )，则( )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等【解析】 由正态曲线的特点易知：μ1＞μ2，σ1＜σ2，曲线C 1，C 2分别与x 轴所夹面积相等，故选D.【答案】 D类型2正态分布下的概率计算例2 在某项测量中，测量结果服从正态分布N (1,4)，求正态总体X 在(－1,1)内取值的概率．【思路探究】 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．解 由题意得μ＝1，σ＝2，所以P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1＜X ＜1)＝P (1＜X ＜3)＝12P (－1＜X ＜3)＝0.341 3.规律方法1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转化求值．2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述区间的哪一个． 互动探究本例条件不变，求P (3＜X ≤5)． 解 因为P (3＜X ≤5) ＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6) ＝0.135 9.类型3正态分布的应用例3 据调查统计，某市高二学生中男生的身高X (单位：cm)服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．【思路探究】 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解．解 因为身高X ～N (174,9)， 所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. 又因为μ＝174.所以身高在(168,174]和(174,180]范围内的概率相等，均为0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是3 000×0.477 2≈1 432(人)．规律方法1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出． 2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率． 变式训练某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N ( 1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．【解析】 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ， ∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P ＝(12×12＋12×12＋12×12)×12＝38.【答案】 38忽视数形结合致误典例 已知X ～N (μ，σ2)，且P (X ＞0)＋P (X ≥－4)＝1，则μ＝________.【错解】 ∵P (x ＞0)＋P (x ≥－4)＝1， ∴图像关于x ＝－4对称，∴μ＝－4. 【答案】 －4【错因分析】 正态分布曲线的对称轴应为x ＝－2，忽视了数形结合．【防范措施】 求解此类问题的关键是先对题设信息适当分析，再借助正态分布曲线的对称性解题，求解时，为增加解题的直观性，可画草图辅助求解．【正解】 ∵P (x ＞0)＋P (x ≥－4)＝1， 又∵P (x ＜－4)＋P (x ≥－4)＝1，∴P (x ＞0)＝P (x ＜－4)，又0与－4关于x ＝－2对称，∴曲线关于x ＝－2对称， 即μ＝－2.【答案】 －2课堂小结1．在正态分布N (μ，σ2)中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，即总体随机变量的均值，它可以用样本的均值去估计，其取值是任意的实数．参数σ是反映随机变量总体波动大小的特征数，即总体随机变量的标准差，它可以用样本的标准差去估计，其取值范围是正数，即σ＞0.2．因为P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体X 几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统计中常用的假设检验基本思想．当堂检测1．设随机变量ξ～N (μ，62)，线性函数η＝a ＋bξ(b ≠0)，则η( )A ．不服从正态分布B ．服从正态分布C ．服从二项分布D ．可能服从正态分布，也可能不服从正态分布 【解析】 由定义可知选B. 【答案】 B2．设随机变量X 的正态密度函数φμ，σ(x )＝12πe －(x ＋3)24，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 2 【解析】 把正态曲线化成标准形式为φμ，σ(x )＝12π2e －[x －(－3)]22(2)2，显然μ＝－3，σ＝ 2.【答案】 D3．正态分布总体N (2σ，σ2)在区间(σ，3σ)内取值的概率为________．【解析】 在N (2σ，σ2)中，μ＝2σ，P (σ＜X ＜3σ)＝P (2σ－σ＜X ＜2σ＋σ)＝P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826.【答案】 0.682 64．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，求ξ在(0,2)内取值的概率．解如图所示，易得P(0＜ξ＜1)＝P(1＜ξ＜2)，故P(0＜ξ＜2)＝2P(0＜ξ＜1)＝2×0.4＝0.8.。

2.4 正态分布【学习要求】1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

2．了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小。

3．会用正态分布去解决实际问题。

【学法指导】正态分布在自然界中最常见，可以结合正态密度曲线理解正态分布的性质，利用3σ原则求一些事件的概率。

【知识要点】1．正态曲线函数φμ，σ(x )＝12πσ()222x e μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ (σ>0)为参数， φμ，σ(x )的图象为 ，简称正态曲线。

2．正态分布如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝ ，则称随机变量X 服从正态分布。

正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作 ，如果随机变量X 服从正态分布，则记为 。

3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ(x )＝12πσ()222x e μσ--，x ∈R 有以下性质：（1）曲线位于x 轴 ，与x 轴 ；（2）曲线是单峰的，它关于直线 对称；（3）曲线在 处达到峰值 ；（4）曲线与x 轴之间的面积为 ； （5）当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着 的变化而沿x 轴平移，如图①；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②。

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝。

【问题探究】[课堂导入]常言道“瘦死的骆驼比马大”，尽管骆驼本身有胖有瘦，有大有小，但总体上，一个成年骆驼的身高与体重是在某个范围内变化的，那么为什么骆驼一般不会比马更小呢？这就是一种随机变量的特殊分布问题，骆驼的大小是服从正态分布的。

本节课我们就来研究该问题。

探究点一正态分布密度曲线问题1在频率分布直方图中，纵坐标的含义是，用小矩形的表示数据落在该组中的频率，在折线图中，随着分组越来越多，其越来越接近于一条。

最新人教版高中数学选修2-3《正态分布》示范教案2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。

它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。

因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。

教材分析：本章节的课时分配为1课时，教学目标包括掌握正态分布在实际生活中的意义和作用，加深对正态密度函数和正态曲线的理解，以及归纳正态曲线的性质。

教学方法主要是通过观察并探究规律，提高分析问题和解决问题的能力，同时培养数形结合、函数与方程等数学思想方法。

情感、态度与价值观方面，通过教学中的探究过程，使学生体验发现的快乐，培养学生的进取意识和科学精神。

重点难点：教学重点为正态曲线的性质和标准正态曲线N(0,1)；教学难点为通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学过程：复旧知：回顾曲边梯形的面积S=∫bf(x)dx的意义，以及频率分布直方图和频率分布折线图的作法和意义。

这一部分的设计意图是通过学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律。

探究新知：教师提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布。

活动设计包括教师板书课题和学生阅读课本中关于高尔顿板的内容。

接着，教师提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图。

(2)当n由1,000增至2,000时，观察频率分布直方图的变化。

(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)。

(4)样本容量越大，总体估计就越精确。

改写后的文章：2.4 正态分布整体设计：正态分布是高中数学新增内容之一，也是统计学中的重要内容。

它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，同时也是许多分布的近似描述。

因此，正态分布在理论研究中占有很重要的地位。

2.4 正态分布一、教学目标1．核心素养:学习正态分布的过程中，更进一步的体会数形结合思想的作用.培养了学生们直观想象和数学建模的能力.2．学习目标（1）通过道尔顿板重复实验，画出正态分布密度曲线.（2）随机变量取值的概率与面积的关系．（3）3σ原则的探索3．学习重点正态分布曲线的定义及其曲线特点，利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.4．学习难点正态分布的概念及其实际应用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1阅读教材P70－P75，思考：正态分布密度曲线的概念？正态分布的概念？任务2思考正态分布密度曲线与x轴之间的面积为多少？2．预习自测1．若随机变量满足正态分布N(μ，σ2)，则关于正态曲线性质的叙述正确的是() A．σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”B．σ越大，曲线越“瘦高”，σ越小，曲线越“矮胖”C．σ的大小，和曲线的“瘦高”、“矮胖”没有关系D．曲线的“瘦高”、“矮胖”受到μ的影响答案 A2．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)＝()A.15 B.14 C.13 D.12答案 D解析由正态分布图像可知，μ＝4是该图像的对称轴，∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝1 2.3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ<0)＝()A.12＋p B.12－p C．1－2p D．1－p答案 B解析P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝12[1－2P(ξ>1)]＝12－P(ξ>1)＝12－p.（二）课堂设计1．知识回顾（1）几何分布.（2）频率分布直方图、折线图.2．问题探究问题探究一重复操作高尔顿板实验，探索正态分布密度曲线●活动一通过道尔顿板重复实验，并画出小球在球槽内的分布曲线.问题探究二随机变量取值的概率与面积的关系．★▲●活动一探讨随机变量取值与面积的关系如果随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，那么对于任意实数a、b(a<b)，当随机变量ξ在区间(a，b]上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形的面积相等．如图(1)中的阴影部分的面积就是随机变量ξ在区间(a，b]上取值的概率．一般地，当随机变量在区间(－∞，a )上取值时，其取值的概率是正态曲线在x ＝a 左侧以及x 轴围成图形的面积，如图(2)．随机变量在(a ，＋∞)上取值的概率是正态曲线在x ＝a 右侧以及x 轴围成图形的面积，如图(3)．根据以上概率与面积的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解．●活动二 在实际例子中的应用例题1 若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________. 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】详解： 若X ～N (μ，σ2)，则其密度曲线关于X ＝μ对称，则P (X ≤μ)＝12. 点拨：随机变量取值的概率与面积的关系 问题探究三 3σ原则★▲ ●活动一 3σ原则含义的理解由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，由上所述，容易推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是 4.56%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.26%.于是，正态变量的取值几乎都在距x ＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．●活动二 3σ原则的实际应用设X ～N (1,32)，试求(1)P (－2<X ≤4)；(2)P (4<X ≤7)． 【知识点：正态分布的3σ原则；数学思想：数形结合】 详解：因为X ～N (1,32)，所以μ＝1，σ＝3. (1)P (－2<X ≤4)＝P (1－3<X ≤1＋3)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)因为P (4<X ≤7)＝12[P (－5<X ≤7)－P (－2<X ≤4)]＝12[P (1－6<X ≤1＋6)－P (1－3<X ≤1＋3)] ＝12[P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<X ≤μ＋σ)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 点拨：正态分布的3σ原则的反复使用. 3．课堂总结【知识梳理】（1）正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：.（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.（2）正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . （3）标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .（4）正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.（5）“3σ”原则. 【重难点突破】（1）正态分布求概率有时候转化为标准正态分布来解决. （2）用“3σ”原则解题时，有时需要数形结合来解决. 4．随堂检测1．正态总体N (0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为( ) A ．0.46 B ．0.997 4 C ．0.03 D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 D解：P (－2<ξ≤2)＝P (0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4， ∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为1－0.997 4＝0.002 6.2．若随机变量η服从标准正态分布N (0,1)，则η在区间(－3,3]上取值的概率等于( ) A ．0.682 6 B ．0.954 4 C ．0.997 4 D ．0.317 4 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 C解：μ＝0，σ＝1，∴(－3,3]内概率就是(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率0.997 4.4．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2 D ．可以是任意实数 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A5．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.2解：由于正态曲线关于直线x＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.6．已知X～N(2.5,0.12)，求X落在区间(2.4,2.6]中的概率．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解：∵X～N(2.5,0.12)，∴μ＝2.5，σ＝0.1.∴X落在区间(2.4,2.6]中的概率为P(2.5－0.1<X≤2.5＋0.1)＝0.682 6.（三）课后作业基础型自主突破1．ξ的概率密度函数f(x)＝12πe－x－22，下列错误的是()A．P(ξ<1)＝P(ξ>1) B．P(－1≤ξ≤1)＝P(－1<ξ<1) C．f(x)的渐近线是x＝0 D．η＝ξ－1～N(0,1)答案 C2．正态曲线φμ，σ(x)＝12πσe－x－μ22σ2，x∈R，其中μ<0的图像是()【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A解析因为μ<0，所以对称轴x＝μ位于y轴左侧．3．下列说法不正确的是()A ．若X ～N (0,9)，则其正态曲线的对称轴为y 轴B ．正态分布N (μ，σ2)的图像位于x 轴上方C ．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D ．函数f (x )＝12πe －x 22 (x ∈R )的图像是一条两头低、中间高、关于y 轴对称的曲线答案 C解析 并不是所有的随机现象都服从或近似服从正态分布，还有些其他分布．4．如下图是正态分布N 1(μ，σ21)，N 2(μ，σ22)，N 3(μ，σ23)相应的曲线，则有( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 A解析 σ反映了随机变量取值的离散程度，σ越小，波动越小，取值越集中，图像越“瘦高”．5．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．与标准差有关 答案 C6．设随机变量ξ～N (2,4)，则D (12ξ)的值等于( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 【知识点：正态分布】 答案 A解析 ∵ξ～N (2,4)，∴D (ξ)＝4. ∴D (12ξ)＝14D (ξ)＝14×4＝1. 能力型 师生共研7．在正态分布总体服从N (μ，σ2)中，其参数μ，σ分别是这个总体的( ) A ．方差与标准差B ．期望与方差C ．平均数与标准差D ．标准差与期望 答案 C解析 由正态分布概念可知C 正确．8．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P 1，P 2，则P 1，P 2的关系为( )A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．不确定 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 C解析 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P 1＝P 2.9．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，则P 的值为( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．不确定与σ无关 答案 C解析 ∵P (ξ≤C )＝P (ξ>C )＝P ，∴C ＝μ，且P ＝12.10．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 答案 C解析 因为随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，所以P (ξ<－2)＝0.023，所以P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝1－2×0.023＝0.954，故选C. 探究型 多维突破13．随机变量X ～N (μ，σ2)，则Y ＝aX ＋b 服从( ) A ．N (aμ，σ2) B ．N (0,1) C ．N (μa ，σ2a ) D ．N (aμ＋b ，a 2σ2) 【知识点：正态分布】 答案 D14．某中学共有210名学生，从中取60名学生成绩如下：【知识点：正态分布】解析 因为x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s 2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5， 以x ＝6，s ≈1.22作为总体预计平均成绩和标准差的估计值，即μ＝6，σ＝1.22， 则总体服从正态分布N (6,1.222)，所以，正态分布的概率密度函数式：μμ，σ(x )＝11.222πe －x －22×1.222 .自助餐1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1 B.32 C ．6 D ．36 答案 C解析 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 A解析 利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.3．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( ) A ．0.158 8 B ．0.158 7 C ．0.158 6 D ．0.158 5 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】 答案 B解析 由正态密度函数的对称性知P (X >4)＝1－PX2＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B.4．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (|ξ|>3)等于( )A ．0.997 4B ．0.498 7C ．0.974 4D ．0.002 6 【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 D5．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.6 D．0.8【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 A6．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110] B．(95,125] C．(100,120] D．(105,115]【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 C解析由于X～N(110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人．7．设离散型随机变量ξ～N(0,1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2<ξ<2)＝________.【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案12，0.954 4解析因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ>0)＝12.而P(－2<ξ<2)＝P(－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4.8．某种零件的尺寸X(cm)服从正态分布N(3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案 4.56%解析属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%.9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】答案0.810．设随机变量ξ～N(3,4)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，求c的值．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由ξ～N(3,4)可知，密度函数关于直线x＝3对称(如下图所示)，又P(ξ>c＋2)＝P(ξ<c－2)，故有3－(c－2)＝(c＋2)－3，∴c＝3.11．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析∵X～N(110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P(110－20<X≤110＋20)＝0.682 6.∴X>130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)．12．设随机变量X服从正态分布X～N(8,1)，求P(5<X≤6)．【知识点：正态分布；数学思想：数形结合】解析由已知得μ＝8，σ＝1，∵P(6<X≤10)＝0.954 4，P(5<X≤11)＝0.997 4，∴P(5<X≤6)＋P(10<X≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P(5<X≤6)＝P(10<X≤11)＝0.0432＝0.021 5.。