2014年7月高二选修2-1《求曲线的方程》

_2.1 曲线与方程曲线与方程在平面直角坐标系中：问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？提示：对．问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？提示：不对，还可能在直线x＝－5上．问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？提示：直线x＝±5.曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.求曲线的方程在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．问题1：平面上任一点P(x，y)到A的距离是多少？提示：|PA|＝x－2＋y2.问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？提示：x－2＋y2＝x＋2＋y2.问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题(1)根据已知条件，求出表示曲线的方程．(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．正确理解曲线与方程的概念(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)．(2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．曲线与方程的概念[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析．[精解详析] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.[一点通](1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形．变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．答案：B2.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是( )A．直线2x－y＝0B．直线2x＋y＋3＝0C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0解析：方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0. 答案：C[例2] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M (m2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值．[思路点拨] 对于(1)，只需判断点P ，Q 的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M 的坐标代入方程，从而得到关于m 的方程，进而求出m 的值．[精解详析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10.解之得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.[一点通](1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．已知直线l ：x ＋y －3＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2,1)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上解析：将M 点的坐标代入直线l 、曲线C 的方程验证可知点M 在直线l 上，也在曲线C 上．答案：B4．如果曲线ax 2＋by 2＝4过A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________.解析：曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点，∴A (0，－2)，B (12，3)的坐标就是方程的解．∴⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴b ＝1，a ＝4.答案：4 15．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R)，求k 的取值范围． 解：∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋12)2＋12.∴k ≤12，∴k 的取值范围是(－∞，1].[例3] 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程． [思路点拨] 关键是寻找Q 点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ ⊥OP ，还可考虑Q 是OP 的中点．[精解详析] 法一：(直接法)如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2， 即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9， 所以x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法二：(定义法)如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．法三：(代入法)设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝y 12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y . 又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4(y －32)2＝9，即x 2＋(y －32)2＝94(去掉原点)．[一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点6．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设动点C 的坐标为(x ，y )． ∵△ABC 为以A 为顶点的等腰三角形， ∴|AB |＝|AC |， ∴x －2＋y －2＝－2＋－2，即(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3,5)．所以点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10，它表示以(4,2)为圆心，以10为半径且去掉(3,5)，(5，－1)的圆．7．已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．解：设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1，y 1)． 由重心坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋0＋x 13，y ＝0－2＋y 13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ＋2，y 1＝3y ＋2.代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程．1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：∵y ＝－2x ≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上，但M 不一定在y ＝－2x 上．反之点M 在y ＝－2x 上时，一定在y 2＝4x 上．答案：B2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )解析：A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x (x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错；D中的方程y ＝|x |去绝对值得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，表示两条射线，所以D 正确．答案：D3．一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1解析：设动点C 的坐标为(x 0，y 0)，P 点坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式可得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋4y 2＝1. 答案：C4．已知A (－1,0)，B (2,4)，△ABC 的面积为10，则动点C 的轨迹方程是( ) A ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋16＝0 B ．4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0 C ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y ＋24＝0 D ．4x －3y ＋16＝0或4x －3y －24＝0 解析：由两点式，得直线AB 的方程是y －04－0＝x ＋12＋1， 即4x －3y ＋4＝0， 线段AB 的长度|AB |＝＋2＋42＝5.设C 的坐标为(x ，y )， 则12×5×|4x －3y ＋4|5＝10， 即4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0. 答案：B5．方程x 2＋y 2－3x －2y ＋k ＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k ＝________. 解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k ＝0. 答案：06．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA ―→·PB ―→＝x 2，则点P 的轨迹方程是________．解析： PA ＝(－x －2，－y )，PB ＝(3－x ，－y )， 则PA ·PB ＝(－x －2)(3－x )＋(－y )2＝x 2，化简得y 2＝x ＋6. 答案：y 2＝x ＋67．求方程(x ＋y －1)x －y －2＝0表示的曲线． 解：(x ＋y －1)x －y －2＝0写成 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，或x －y －2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0，表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)，∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)或直线x －y －2＝0.8．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解：法一：如图，设点M 的坐标为(x ，y )．∵M 为线段AB 的中点， ∴A 点坐标是(2x,0)，B 点坐标是(0,2y )．∵l 1，l 2均过点P (2,4)，且l 1⊥l 2， ∴PA ⊥PB .当x ≠1时，k PA ·k PB ＝－1. 而k PA ＝4－02－2x ＝21－x ，k PB ＝4－2y 2－0＝2－y1，∴21－x ·2－y 1＝－1. 整理，得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．当x ＝1时，A ，B 点的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)， 它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二：设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y )．连接PM ，如图．∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |. 而|PM |＝x －2＋y －2，|AB |＝x2＋y 2，∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2.化简，得x ＋2y －5＝0，即为所求轨迹方程． 法三：∵l 1⊥l 2，OA ⊥OB ，∴O ，A ，P ，B 四点共圆，且该圆的圆心为M . ∴|MP |＝|MO |.∴点M 的轨迹为线段OP 的中垂线． ∵k OP ＝4－02－0＝2，OP 的中点坐标为(1,2)，∴点M 的轨迹方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.。

求曲线方程常用的四种方法许成怀一、普通高中数学课程标准（2017年版）要求：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；二、情感、态度与价值观：培养学生的转化能力和全面分析问题的能力，帮助学生理解解析几何的思想方法，进一步理解数形结合的思想方法；三、高考导向：近几年高考对曲线与方程的知识直接考查较少，多是应用后面要学习的圆锥曲线的定义求动点的轨迹方程、判断曲线的形状等，常在解答题的第一问中出现，为研究圆锥曲线的几何性质提供模型；四、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；五、常用方法的应用举例：1、定义法：例1 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。

解析：以斜边AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系内。

因为在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，所以点C 到直线AB 的中点的距离为||AB 的一半，即1||=OC 。

所以点C 的轨迹是以O(0,0)为圆心，r=1为半径的圆，故圆的方程为：122=+y x 又因为点C 是ABC Rt ∆的顶点，所以A,B,C 不共线，即1±≠x 。

所以，点C 的轨迹方程为122=+y x （1±≠x ）。

易错点提示：求出曲线方程后易忽视点C 为三角形的顶点，从而忘记去掉点（1,0）与（-1,0）。

总结：定义法求曲线方程：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线定义的特征。

变式训练1：已知点A （-5,0），B （5,0），曲线上任意一点M 与A,B 连接的线段MA,MB 互相垂直，求曲线的方程。

解析：依题意，BM AM ⊥,所以点M 的轨迹是以O 为圆心，半径52||==AB r 的圆。

所以，点M 的轨迹方程为：)5(2522±≠=+x y x 。

2．6.2求曲线的方程●三维目标1．知识与技能能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件选择适当的坐标系，求出曲线的方程．2．过程与方法经过求曲线的方程的过程，培养学生发散思维和转化，归纳数形结合等数学思想方法，提高分析问题，解决问题的能力．3．情感、态度与价值观在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神．在民主，和谐的教学气氛中，充分的促进师生间的情感交流，形成学习数学的积极态度．激发学生热爱数学，学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神．●重点难点重点：求曲线方程的基本方法和步骤．难点：由已知条件求曲线方程．教学时，应通过基本例子，总结求曲线方程的基本方法和步骤，强调方程的得法及来源，通过不同的例子，体会求轨迹方程的各种方法：代入法、参数法、定义法等．●教学建议求曲线的方程是上节课内容曲线与方程的拓展与深化，也是解析几何两大基本问题之一，同时也是高考重点内容之一．它把高中数学中的解析几何和代数紧紧连在一起，容纳了高中数学教学中很多的数学思想，如函数与方程思想，数形结合思想，等价转换思想及运动变换思想，这正是高考中重点所要考察的数学思想，本节课宜采取启发式的教学方法，积极鼓励学生的行为参与和思维参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程，鼓励学生自主探索，发现解决问题的途径．在教学中，适当的对他们的数学学习过程进行评价，适当的评价他们的学习态度、在回答和思考中表现出来的自信、合作交流的意识，更进一步的激发了学生学习数学的兴趣，让他们体验成功的喜悦．在教学手段方面，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，对于教学中遇到的一些复杂的轨迹问题，几何画板更以形象直观的形式给学生以充分的理解和掌握．改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念．让学生主体参与，主题参与，让学生动手，动脑，通过观察，联想，猜测，归纳等合情推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索．在学生的活动中，教师谨慎驾驭，肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生，揭示内涵，不断培养和训练学生的逻辑思维能力．●教学流程回顾曲线与方程的概念，强调两个条件．展示实例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海上巡逻，巡逻过程中，从军舰上看甲乙两岛，保持视角为直角，你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？首先通过学生讨论，猜测军舰巡逻的路线，在用电脑演示军舰巡逻的动画效果，导入新课．⇒例谈直接法求动点轨迹方程的五步骤．由于学生已经学习直线与圆一个模块，教师引导学生解决例1并不困难，但重要的是引导学生总结求动点轨迹方程的五步骤，并且对每一步骤要强调注意问题，如坐标系的恰当与否，化简过程是否同解变形，特殊点的检验等．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握代入法求动点轨迹方程的方法．当一点随另一点运动时，求从动点轨迹方程一般利用代入法．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握参数法求动点轨迹方程的方法．当动点坐标满足的方程不易直接求出时，可选择设出参与运动变化的变量即参数，找出动点坐标满足的方程组，然后消去参数，得出方程．⇒通过易错易误辨析，体会曲线与方程定义的严谨性，曲线上的点与方程的解必须一一对应，对方程必须注意是否需要限制范围．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹(方程)的限制与检验．(易错点)求曲线的方程的一般步骤1．怎样建立坐标系较为适当？【提示】建立适当的坐标系应遵从垂直性和对称性原则，常见的建系方法有：①以已知定点为原点；②以已知定直线为坐标轴(x 轴或y 轴)；③以已知线段所在的直线为坐标轴(x 轴或y 轴)，以已知线段的中点为原点； ④以已知互相垂直的两定直线为坐标轴； ⑤让尽量多的已知点在坐标轴上． 2．怎样检验取舍特殊点？【提示】 对动点轨迹(方程)的检验，一般都是对特殊点进行检验，如三角形三顶点不共线，利用斜率列方程，动点必须保证斜率存在等．求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下： 建立适当的坐标系 ↓设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y ) ↓列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0 ↓化方程f (x ，y )＝0为最简形式 ↓证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 求曲线方程的流程图可以简记为： 建系→设点→列式→化简→证明求曲线方程的常用方法求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法.直接法求动点轨迹方程已知△ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是(－3,0)、(3,0)，边AC 、BC所在直线的斜率之积为－14，求顶点C 的轨迹方程．【思路探究】 设顶点C (x ，y )，把直线AC 、BC 的斜率之积为－14用坐标形式表示出来，化简后，即得到一个关于x ，y 的二元方程，注意形成三角形的条件．【自主解答】 设顶点C 的坐标为(x ，y )，则k CA ＝y x ＋3(x ≠－3)，k BC ＝yx －3(x ≠3)．∵k CA ·k BC ＝－14，∴y x ＋3·y x －3＝－14.化简得x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．当x ＝±3时，A 、B 、C 三点共线，则不能构成三角形，故x ≠±3. ∴所求顶点C 的轨迹方程为：x 29＋4y 29＝1(x ≠±3)．1．由于三角形三顶点，不共线，故应去掉两顶点．2．如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x 、y 的等式就得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以称之为直接法．其步骤是：①寻求动点满足的几何条件；②用坐标表示几何条件并化简可得方程；③剔除不合题意的点并下结论．设m ∈R ，在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(mx ，y ＋1)，向量b ＝(x ，y －1)，a ⊥b ，动点M (x ，y )的轨迹为E .求轨迹E 的方程，并说明当m ＝0,1时该方程所表示的曲线的形状．【解】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即(mx ，y ＋1)·(x ，y －1)＝0，得mx 2＋y 2－1＝0， 于是，轨迹E 的方程为mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时，轨迹方程为y 2－1＝0，即y ＝1或y ＝－1， ∴原方程表示直线y ＝1和直线y ＝－1； 当m ＝1时，轨迹方程为x 2＋y 2＝1， ∴原方程表示圆x 2＋y 2＝1.代入法求动点的轨迹方程已知△ABC 的两个顶点坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．【思路探究】 设重心坐标(x ，y )，C (x 0，y 0)，用x ，y 表示x 0，y 0，代入到y 0＝3x 20－1中．【自主解答】 设重心坐标为(x ，y )，顶点C (x 0，y 0)，依题意有⎩⎨⎧x ＝－2＋0＋x03，y ＝0－2＋y3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2. ①因为C 在y ＝3x 2－1上移动，所以y 0＝3x 20－1. ②将①代入②，得y ＝9x 2＋12x ＋3，即为重心的轨迹方程．1．根据重心坐标公式用重心坐标(x ，y )来表示顶点C 的坐标(x 0，y 0)是解答本题的关键． 2．利用一个动点是定曲线上的动点，而另一动点依赖于它，那么，可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解，得到原动点的轨迹的方法，叫做代入法或相关点法．其用法思路是：当互相联系着的两动点P 、Q 中的动点Q (x ′，y ′)在给定曲线上运动，求动点P (x ，y )的轨迹方程时，先建立(x ，y )与(x ′，y ′)的关系式，用x 、y 表示x ′，y ′，而后将x ′、y ′代入定曲线方程即得P (x ，y )的轨迹方程．已知抛物线y 2＝x ＋1，定点A (3,1)，B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA ＝1∶2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线．【解】 设P (x ，y )，B (x 1，y 1)，由题设，P 分线段AB 的比λ＝APPB ＝2，∴x ＝3＋2x 11＋2，y＝1＋2y 11＋2. 解得x 1＝32x －32，y 1＝32y －12.又点B 在抛物线y 2＝x ＋1上，其坐标适合抛物线方程， ∴(32y －12)2＝(32x －32)＋1. 整理得点P 的轨迹方程为(y －13)2＝23(x －13)，其轨迹为抛物线.参数法求动点的轨迹方程过点A (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程．【思路探究】 思路一：设出直线l 方程y －1＝k (x －2)，运用方程思想，用k 表示中点坐标x ，y ，消去k 得x ，y 满足方程；思路二：设弦端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，运用点差法，用x 1，y 1，x 2，y 2表示x ，y ，然后消去x 1，y 1，x 2，y 2.【自主解答】 法一 设直线l 斜率为k ，则l 方程为y －1＝k (x －2)，设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，则把l 方程代入椭圆方程消去y 得： (1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(1－2k )2－2＝0， Δ＝16k 2(1－2k )2－8(1＋2k 2)>0得－2k 2＋4k >0， ∴0<k <2，x ＝x 1＋x 22＝－2k 1－2k 1＋2k 2，∴中点满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2x ＝2k 2k －11＋2k 2，消去k 得轨迹方程x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)． 法二 设弦两端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，中点为M (x ，y )，⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1①x222＋y 22＝1②，由①－②得x 1＋x 2x 1－x 22＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，∴y 1－y 2x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，又∵k PQ ＝k AM ，∴y －1x －2＝－12×xy ，∴2y (y －1)＝－x (x －2)，即x 2＋2y 2－2x －2y ＝0，所以，弦的中点的轨迹方程为x 2＋2y 2－2x －2y ＝0(椭圆内部)．1．本例中，法一是引进了动直线的斜率k 作为参数，法二是引进了弦的端点坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)作为参数，目的是为了间接地找到x ，y 满足的等式关系．2．当动点坐标x ，y 满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x ，y 的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．设椭圆的方程为x 2＋y 24＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若O 是坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →)，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．【解】 当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1，得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k4＋k2，y 1＋y 2＝84＋k2.设P (x ，y )，则有x ＝－k 4＋k 2，y ＝44＋k 2，消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0. 经检验，当直线l 的斜率不存在时，点P 的坐标满足上述方程． 所以P 的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0.忽略变量范围而致错等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹表示的是什么．【错解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )， 则点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10.点C 的轨迹是以A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．【错因分析】 错误的原因是没有认真考虑题中所给的几何条件． 【防范措施】 根据动点满足的几何条件对动点坐标加以限制． 【正解】 设另一个端点C 的坐标为(x ，y )． 由题意得AC ＝AB ， 再由两点间的距离公式得x －42＋y －22＝4－32＋2－52，化简得(x －4)2＋(y －2)2＝10. ∵A ，B ，C 为三角形的三个顶点， ∴A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合，且B ，C 不能为圆A (圆A 是以A 为圆心，10为半径的圆)的一条直径的两个端点．∵点B ，C 不重合， ∴点C 的横坐标x ≠3，∵点B ，C 不能为圆A 的一条直径的两个端点， ∴x ＋32≠4，即点C 的横坐标x ≠5， 故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(x ≠3且x ≠5)．点C 的轨迹是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆除去(3,5)和(5，－1)两点．1．求曲线的方程常用的方法有直接法、代入法、定义法、参数法、几何法等． 2．求曲线的方程，其步骤严格来说有五步，即建系，设点，列式，化简，证明．建立坐标系要恰当，证明一般要省略，即使检验也是对特殊点进行检验．3．求动点轨迹方程一定要注意解题的严谨性，当动点的轨迹不是整条曲线时，要去掉某些特殊点，即对变量x ，y 进行限制.1．到A (2，－2)和B (4，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________．【解析】 到A 、B 距离相等的点的轨迹为线段AB 的垂直平分线，设其斜率为k ， ∵k AB ＝－1＋24－2＝12，∴k ＝－2.设AB 中点为(x 1，y 1)， 则⎩⎨⎧x 1＝2＋42＝3，y 1＝－2－12＝－32.∴其方程为y ＋32＝－2(x －3)，即4x ＋2y －9＝0.【答案】 4x ＋2y －9＝02．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵AM ⊥MB ，∴M 的轨迹是以AB 为直径的圆x 2＋y 2＝1. 【答案】 x 2＋y 2＝13．设P 为曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 中点，则点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则x 0＝2x ，y 0＝2y ，∵x 204－y 20＝1， ∴x 2－4y 2＝1. 【答案】 x 2－4y 2＝14．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足PA ＝3PO ，求点P 的轨迹方程． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x －12＋y －22＝3x 2＋y 2，化简得8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.∴点P 的轨迹方程为8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0.一、填空题1．已知点A (－5,0)，B (5,0)，动点P 到A ，B 距离的平方和为122，则动点P 满足的方程是________．【解析】 依题意，设动点P (x ，y )．由PA 2＋PB 2＝122，得(x ＋5)2＋y 2＋(x －5)2＋y 2＝122，即x 2＋y 2＝36. 故所求动点P 满足的方程为x 2＋y 2＝36. 【答案】 x 2＋y 2＝362．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为________．【解析】 设A (x ，y )，D (x 0，y 0)， 则⎩⎨⎧x 0＝x ＋02，y 0＝y ＋02，即x 0＝x 2，y 0＝y2，又(x 0－5)2＋(y 0－0)2＝9，∴(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)为所求A 点的轨迹方程． 【答案】 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)3．在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x 轴对称且OP →·MN →＝4，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 由已知M (0，y )，N (x ，－y )，则OP →·MN →＝(x ，y )·(x ，－2y )＝x 2－2y 2＝4， 即x 24－y 22＝1.【答案】 x 24－y 22＝14．已知A (1,0)，B (－1,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝2，则点M 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意知，AB ＝2，则点M 的轨迹方程为射线y ＝0(x ≤－1)． 【答案】 y ＝0(x ≤－1)5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足条件PA ＝2PB ，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积等于________．【解析】 设P (x ，y )，由PA ＝2PB ，知x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，化简整理，得(x －2)2＋y 2＝4，所以，动点P 的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.【答案】 4π6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是________．【解析】 由BP →＝2PA →及A 、B 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，知A (32x,0)，B (0,3y )，所以AB →＝(－32x,3y )．由点Q 与点P 关于y 轴对称，知Q (－x ，y )， 所以OQ →＝(－x ，y )，则由OQ →·AB →＝1，得(－32x,3y )·(－x ，y )＝32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)，即为点P 的轨迹方程．【答案】 32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)7．设点A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1长轴的两个端点，点P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为________．【解析】 由题意，不妨设A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)，直线A 1P 1与A 2P 2的交点P (x ，y )．∵点A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.①∵点A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.②由①②得x 0＝9x ，y 0＝3y x ，代入已知椭圆方程得x 29－y 24＝1.【答案】 x 29－y 24＝18．下列四个命题中不正确的是________(填序号)．①若动点P 与定点A (－4,0)，B (4,0)连线PA ，PB 的斜率之积为定值49，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分；②设m ，n ∈R ，常数a >0，定义运算“*”：m *n ＝(m ＋n )2－(m －n )2，若x ≥0，则动点P (x ，x *a )的轨迹是抛物线的一部分；③已知圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆B ：(x －1)2＋y 2＝25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆；④已知A (7,0)，B (－7,0)，C (2，－12)，椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线．【解析】 ①正确，轨迹是双曲线去掉两个顶点；②正确，P (x ，x *a )即为P (x ，4ax )，设y ＝4ax ，则此方程表示抛物线的一部分；③正确，设动圆的半径为r ，因为MA ＝r ＋1，MB ＝5－r ，所以MA ＋MB ＝6>2，满足椭圆的定义；④不正确，设另一个焦点为F ，则AC ＋AF ＝BC ＋BF ，即AF －BF ＝BC －AC ＝15－13＝2，又0<2<AB ＝14，故F 点的轨迹为双曲线的一支．【答案】 ④二、解答题9．在正三角形ABC 内有一动点P ，已知P 到三顶点的距离分别为PA 、PB 、PC ，且满足PA 2＝PB 2＋PC 2，求P 点的轨迹方程．【解】 以BC 的中点为原点，BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，设点P (x ，y )，B (－a,0)，C (a,0)，A (0，3a )，用点的坐标表示等式PA 2＝PB 2＋PC 2，有x 2＋(y －3a )2＝(x ＋a )2＋y 2＋(x －a )2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋3a )2＝(2a )2，即所求的轨迹方程为x 2＋(y ＋3a )2＝4a 2(y >0)．10．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝mOA →＋nOB →，其中m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1，求点C 的轨迹方程．【解】 设C (x ，y )，则(x ，y )＝m (3,1)＋n (－1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －n ，y ＝m ＋3n ， ∴x ＋2y ＝5m ＋5n ，又m ＋n ＝1，∴x ＋2y ＝5，即x ＋2y －5＝0.11．将圆x 2＋y 2＝4上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线设为E .(1)求曲线E 的方程； (2)若曲线E 与x 轴、y 轴分别交于点A (a,0)，B (－a,0)，C (0，b )，其中a >0，b >0.过点C 的直线l 与曲线E 交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .当点P异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值．【解】 (1)设曲线E 上任一点为M (x ，y )，相应圆上点为N (x 0，y 0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x y 0＝2yx 20＋y 20＝4消去x 0，y 0得x 24＋y 2＝1. (2)显然A (2,0)，B (－2,0)，C (0,1)．根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1.可得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x ＝0或x ＝－8k 4k 2＋1，代入直线l 方程得D 点坐标 为(－8k 4k 2＋1，1－4k 24k 2＋1)． 又直线AC 的方程为x 2＋y ＝1，直线BD 的方程为y ＝1＋2k 2－4k (x ＋2)， 联立⎩⎨⎧x 2＋y ＝1，y ＝1＋2k 2－4k x ＋2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝2k ＋1. 因此Q (－4k,2k ＋1)，又P (－1k，0)， 所以OP →·OQ →＝(－1k，0)·(－4k,2k ＋1)＝4. 故OP →·OQ →为定值．已知点B ′为圆A ：(x －1)2＋y 2＝8上任意一点，点B (－1，0)，线段BB ′的垂直平分线和线段AB ′相交于点M .求点M 的轨迹E 的方程．【思路探究】 利用线段的垂直平分线的性质，得出MA ＋MB ＝22，从而利用椭圆的定义求出轨迹方程．【自主解答】 连结MB ，由题意得： MB ＝MB ′，MA ＋MB ′＝AB ′＝22，故MA ＋MB ＝22，而AB ＝2，故点M 的轨迹是以A ，B 为焦点且长轴长为22的椭圆，所以点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.1．本例中，先分析动点M 满足的几何条件，根据椭圆定义得出轨迹的曲线类型是椭圆，从而利用待定系数法求其方程．2．利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程的步骤是：(1)找出动点满足的几何条件，由圆锥曲线定义判定曲线类型；(2)利用待定系数法求曲线方程．如图所示，已知抛物线过定点R (1,2)，准线l 的方程为x ＝－1.(1)求抛物线顶点O ′的轨迹方程；(2)求焦点弦RQ 的另一端点Q 的轨迹方程．【解】 (1)设抛物线的顶点O ′(x ，y )，则由定义知顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离x ＋1，∴焦点坐标F (2x ＋1，y )．由题意知R 到焦点的距离与R 到准线的距离相等，∴2x＋1－12＋y－22＝1＋1，即x2＋y－224＝1(x>－1)．故动点O′的轨迹方程为x2＋y－224＝1(x>－1)．(2)设点Q的坐标为(x′，y′)，过R作RR′⊥l于R′，过Q作QP⊥l于P，则RQ＝RF＋QF＝RR′＋QP，∴x′－12＋y′－22＝x′＋1＋2，即(y′－2)2＝8(x′＋1)(x′>－1)．故焦点弦RQ的另一端点Q的轨迹方程是(y′－2)2＝8(x′＋1)(x′>－1)．。

2．1．2 求曲线的方程（学案）【知识要点】1．坐标法； 2．求曲线方程的方法与步骤； 3．轨迹方程的求法． 【学习要求】1．学会根据条件，选择适当的坐标系求轨迹方程； 2．掌握求轨迹方程的基本方法．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 35 页～第 37 页）1．由上一节的学习得知曲线与方程之间的关系：通过曲线上的点的坐标建立起一一对应的关系，使方程成为曲线的代数表示．2．求曲线方程的一般步骤是：(1) ； (2) ; (3) ； (4) ； (5) ．3．两曲线有交点的充要条件是 ： ．4．求曲线方程常用的方法有：直接法、代入法、参数法、定义法、相关点法、待定系数法、向量法等． 【基础练习】1．已知点A(2，5)、B(3，一1)，则线段AB 的方程是( )． (A)6x+y-17=0(B)6x+y-17=0(x ≥3) (C)6x+y-17=0(x ≤3) (D)6x+y-17=0(2≤x ≤3)2．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( )． (A) 1=-y x (B) 1=-y x (C)1=-y x (D) 1=±y x ．3.设B A ,两点的坐标分别是()()7,3,1,1--,则线段AB 的垂直平分线的方程为： ．4.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是()())0,2(,0,2,3,0C B A -,中线)(为原点O AO 所在直线的方程是 ．5.已知方程222=+by ax 的曲线经过点⎪⎭⎫⎝⎛35,0A 和点(),1,1B 求b a ,的值．【典型例题】例1（直接法）已知一条直线l 和它上方的一个点F ,点F 到l 的距离是2,一条曲线也在直线l 的上方,它上面的每一个点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系,求这条直线的方程．例2 （相关点法） 动点M 在曲线x 2+y 2=1上移动，M 和定点B(3，O)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程，并指出点P 的轨迹．例3（定义法）已知直角三角形ABC, C ∠为直角，,求满足条件的点C 的轨迹方程．例4（参数法）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点())3,1(,1,3-B A 为，若点C 满足OB OA OC βα+=，其中R ∈βα,且1=+βα，求点C 的轨迹方程．【自我测评】1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )． (A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O) (C)y=24x --(D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点 (C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )． (A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1) (C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为 ．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为 ．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是 ．7．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B ,两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．8． 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．9.已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程． 10．设P 为曲线1422=-yx上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．11．如图，已知F(1，O)，直线l ：x=-1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．12．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．1.(2006重庆)已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点的轨迹方程为： ．2．（2005江苏）如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。

2.1.2求曲线的方程一、教学目标 （一）学习目标1．了解解析几何的基本思想；2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点； 3．初步掌握求曲线的方程的方法． （二）学习重点 求曲线的方程． （三）学习难点求曲线方程一般步骤的掌握． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第35页至第36页． （2）想一想：如何求曲线的方程？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程． 2．预习自测（1）方程22(2)(2)0x y -++=表示的图形是（ ）A ．圆B ．两条直线C ．一个点D ．两个点 【答案】C ．（2）已知直线:30l x y +-=和曲线22:(3)(2)2C x y -+-=，则点(2,1)M 满足（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线C 上B ．既在直线l 上，也在曲线C 上 C ．既不在直线l 上，也不在曲线C 上D ．不在直线l 上，但在曲线C 上 【答案】B ．（3= ） A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段 【答案】A ．（4）已知两定点(20),(10)=，则点P的轨迹PA PB-,,，如果动点P满足||2||A B所包围的图形的面积等于（）A．πB．4πC．8πD．9π【答案】B．（二）课堂设计1．知识回顾曲线的方程与方程的曲线的概念．2．新知讲解由曲线的方程、方程的曲线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质．我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法．在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何．解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科．它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质．例1．设A，B两点的坐标分别为（-1，-1），（3,7），求线段AB的垂直平分线的方程．【知识点】曲线的方程．【解题过程】如何求曲线的方程？法一：运用现成的结论──直线方程的知识来求．法二：若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法．解：（1）设M (x,y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点，即点M 属于集合{|||||}P M MA MB ==．由两点之间的距离公式，点M 所适合的条件可表示为：2222)7()3()1()1((-+-=+++y x y x化简整理得 x +2y -7=0 ① 证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程．（1）求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解． （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程①的解，即11270x y +-= 点1M 到A,B 的距离分别是：1||==M A )136(5121+-=y y212121211)7()24()7()3((||-+-=-+-=y y y x B M )136(5121+-=y y||||11B M A M =∴．即点1M 在线段AB 的垂直平分线上．由（1）（2）可知方程①是AB 的垂直平分线．【思路点拨】第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性．求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤，求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1．建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(x,y )； 2．写出适合条件P 的几何点集：{}()P M P M =；3．用坐标表示条件P (M ),列出方程f (x,y )=0； 4．化简方程f (x,y )=0为最简形式； 5．证明(查漏除杂)．同类训练 已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与x∴222816y x y y =+-+ ∴2816x y =-就是所求的轨迹方程．【思路点拨】根据已知的坐标系，结合两点间的距离公式，我们可通过点M 满足的关系式来求解．注意对于用坐标表示的距离，解题时一定要加上绝对值，确保不漏掉解．例2．经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程． 【知识点】曲线方程与方程的曲线．【解题过程】法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y 则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①② 由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----= ∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y y x y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx =由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩ 消去参数k 得22320x y x y +--=．由直线:l y kx =与圆交于不同两点知：22(64)36(1)0k k ∆=+-+>，故1205k <<，从而1513x <≤∴所求轨迹方程为2215320(13x y x y x +--=<≤．【思路点拨】先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数k ，然后消去参数求轨迹方程．例3．已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2．一条曲线也在直线l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到直线l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．【知识点】本题考查建立合理直角坐标系来求解方程【解题过程】设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ．设点M (x,y )是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么2=-MB MF ． 把M 点坐标代入上式得：2)2(22=--+y y x ，平方得：222)2()2(+=-+y y x ，化简得：281x y =． 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0， 所以曲线的方程是281x y =)0(≠x【思路点拨】先分析已知条件，建立合适的坐标系，然后建系，设点，找关系式，进行化简和求解．3．课堂总结知识梳理：求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:（1）建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(x,y);（2）列出适合条件P的几何点集：{}()P M P M=；（3）用坐标表示条件P(M),列出方程放f(x,y)=0;（4）化简方程f(x,y)=0为最简形式;（5）证明(查漏除杂)．重难点归纳：求动点的轨迹方程的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：文字语言中的几何条件−−−→解析化数学符号语言中的等式−−−→坐标化数学符号语言中含动点坐标(x,y)的代数方程f(x,y)=0−−−→等价变形简化了的含x,y的代数方程f(x,y)=0．（三）课后作业基础型自主突破1．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为（）A．3x－y－20＝0 B．3x－y－10＝0C．3x－y－12＝0 D．3x－y－9＝0【知识点】曲线的方程．【解题过程】设AC、BD交于点O，∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，∴O点坐标为(52，－2)，设B点坐标为(x，y)，∴D点坐标为(5－x，－4－y)，∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0，故选A．【思路点拨】由几何关系即可 【答案】A2．已知点M (－2,0)、N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是（ ） A ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝16D ．x 2＋y 2＝16(x ≠±4)【知识点】曲线的方程．【解题过程】由直角三角形斜边上中线等于斜边长的一半知|PO |＝2，即x 2＋y 2＝4，但M 、N 、P 不能共线，故P 点轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)． 【思路点拨】由直角三角形的性质，注意特殊点． 【答案】A3．已知A (－2,0)，B (2,0)，△ABC 的面积为10，则顶点C 的轨迹是（ ） A ．一个点 B ．两个点 C ．一条直线D ．两条直线 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设顶点C 到边AB 的距离为d ，则12×4×d ＝10，∴d ＝5．∴顶点C到x 轴的距离等于5．故顶点C 的轨迹是直线y ＝－5和y ＝5． 【思路点拨】知道底边与高，将高的方程求出即可． 【答案】D4．方程y ＝|x |x 2表示的曲线形状大致为（ ）【知识点】方程的曲线．【解题过程】解法1：当x >0时，y ＝x x 2＝1x ； 当x <0时，y ＝－x x 2＝－1x ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >0，－1x ，x <0.故选C ．解法2：∵y >0，∴排除A 、B 、D ，故选C ． 【思路点拨】考虑去掉绝对值符号． 【答案】C5．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线P A 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________________． 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ， ∵∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，∴∠OPB ＝30°， ∵|OB |＝1，∠OBP 为直角，∴|OP |＝2，∴x 2＋y 2＝4． 【思路点拨】用圆及切线的几何性质． 【答案】x 2＋y 2＝46．直线y ＝kx ＋1与y ＝2kx －3(k 为常数，且k ≠0)交点的轨迹方程是________． 【知识点】曲线的方程．【解题过程】由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y ＝2kx －3，得4(0)k x x =≠，把4(0)k x x =≠代入y ＝kx ＋1，得y ＝5．故交点的轨迹方程是y ＝5(x ≠0)．【思路点拨】反解出k ，再将其用x,y 表示． 【答案】y ＝5(x ≠0) 能力型 师生共研1．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ） A ．π B ．4π C ．8πD ．9π【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，∴(x －2)2＋y 2＝4，可知圆面积为4π．【思路点拨】算出P的轨迹方程即可．【答案】B2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是（）A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段【知识点】点的轨迹．【解题过程】由AC⊥BD，AC⊥DD1知AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1．由AB1⊥A1B，AB1⊥A1D1知，AB1⊥平面A1BD1，∴AB1⊥BD1．又AP⊥BD1，∴BD1⊥平面APC，BD1⊥平面APB1，∴平面APC与平面APB1重合，∴P点在线段B1C上，故P点的轨迹为线段B1C．【思路点拨】考虑几何关系．【答案】A探究型多维突破1．设△ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|＝|BC|．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设A(x，y)为轨迹上任一点，那么=，整理，得(x －1)2＋(y －1)2＝29．因为A 点不在直线BC 上，虽然点C (3,6)及点C 关于点B 的对称点C ′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x －1)2＋(y －1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)． 【思路点拨】用距离相等设点方程整理即可． 【答案】见解析2．已知两点M (－1,0)，N (1,0)且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于0的等差数列，则点P 的轨迹是什么曲线？ 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)得PM→＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)， ∴MP →·MN →＝2(1＋x )，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP→是公差小于零的等差数列，等价于 222211[2(1)2(1)]3202(1)2(1)0x y x x x y x x x ⎧⎧+-=++-+=⎪⇒⎨⎨>⎩⎪--+<⎩∴点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆(不含端点)． 【思路点拨】设出P 点代入题目中数学关系即可． 【答案】见解析 自助餐1．平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P的轨迹方程是（ ） A ．x ＋y ＝4 B ．2x ＋y ＝4 C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【知识点】曲线的方程．【解题过程】由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，x ＋2y ＝4即为所求轨迹方程，故选C ． 【思路点拨】算出P 的轨迹方程即可． 【答案】C2．若三角形ABC 的两个顶点,B C 的坐标分别是(1,0)-和(2,0)，而顶点A 在直线y x =上移动，则三角形ABC 的重心G 的轨迹方程是（ ）A ．13y x =+B ．13x y =+ C ．13x y =- D ．13y x =- 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设(,)G x y ，由重心坐标公式得(31,3)A x y -． 由于点A 在y x=上，故有331y x =-，即：13y x =-． 【思路点拨】设点G ，再利用几何关系代入即可．【答案】D ．3．点A (2,0)，点B 在圆x 2＋y 2＝1上，点C 是∠AOB 的平分线与线段AB 的交点，则当点B 运动时，点C 的轨迹方程为（ ）A ．(x －23)2＋y 2＝49B ．(x ＋23)2＋y 2＝49C ．(x －13)2＋y 2＝49D ．(x ＋13)2＋y 2＝49 【知识点】曲线的方程．【解题过程】设B (x 0，y 0)，C (x ，y )，由|AC ||BC |＝|OA ||OB |＝2，得AC→＝2CB →，即(x －2，y )＝2(x 0－x ，y 0－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝32x －1，y 0＝32y .因为点B (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，代入后化简得(x －23)2＋y 2＝49，故选A ．【思路点拨】设C 点利用几何关系代入即可．【答案】A4．一条线段长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB上，且AM→＝4MB →，则M 的轨迹方程是（ ） A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64C ．x 2＋16y 2＝8D ．16x 2＋y 2＝8【知识点】曲线的方程． 【解题过程】设M (x ，y )，因为AM→＝4MB →，且A 、B 分别在x 轴和y 轴上，则A (5x,0)，B (0，54y )，又|AB |＝10所以(5x )2＋(54y )2＝100，即16x 2＋y 2＝64，故选B ．【思路点拨】设M 点代入题目中数学关系即可．【答案】B5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且3AP PM =，则动点P 的轨迹方程为________．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设点M 、P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设可得AP →＝34AM →或AP →＝32AM →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝4x －43，y 0＝4y －23.或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2x ＋43，y 0＝2y ＋23.因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2×4x －43－4y －23＋3＝0或2×2x ＋43－2y ＋23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0．从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝0．【思路点拨】设点代入几何关系．【答案】8x －4y ＋3＝0或4x －2y ＋15＝06．直线x －3y ＝0和直线3x －y ＝0的夹角的角平分线所在直线方程为________．【知识点】曲线的方程．【解题过程】设P (x ，y )为角平分线上任意一点，根据角平分线的性质，P 到直线x －3y ＝0和3x －y ＝0的距离相等，∴|x －3y |12＋32＝|3x －y |32＋12，∴|x－3y|＝|3x－y|，∴x－3y＝±(3x－y)，∴x－3y＝3x－y或x－3y＝－(3x－y)，∴x＋y＝0或x－y＝0．∴所求角平分线方程为x＋y＝0或x－y＝0．【思路点拨】根据几何关系设点化简．【答案】x＋y＝0或x－y＝0．。