人教A版高中数学选修4-1 本讲整合2 (共34张PPT)

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【例1】 如图,锐角三角形ABC内接于☉O,∠ABC=60°, ∠BAC=40°,作OE⊥AB交劣弧 ������������ 于点E,连接EC,则∠OEC=(
)
A.5° C.15°
B.10° D.20°
解析:如图,连接OC,∵∠ABC=60°,∠BAC=40°,∴∠ACB=80°.
∴������������ = ������������,故 BC=
答案:C
������������
������������
������������· ������������ ������������
=
2×9 =6.Leabharlann 3知识网络专题归纳
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【例4】 如图,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上一点,且 PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB⊥EP,垂足为F.
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反思感悟在圆中解决计算问题时,要注意将相交弦定理、割线定 理、切割线定理、切线长定理与射影定理、勾股定理、相似三角 形等知识结合起来综合求解.
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变式训练3如图,AT切☉O于T.若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC等 于( )
A.3 B.4 C.6 D.8 解析:∵AT为☉O的切线,∴AT2=AD· AC. 又AT=6,AD=4,∴AC=9. ∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB, ∴△EAD∽△CAB,
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本 讲 整 合
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答案:①圆心角 ②判定 ③性质 ⑥割线 ⑦切割线 ⑧切线长
④弦切角 ⑤相交弦
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专题一:与圆有关的角的计算与证明 圆中的角有三类:圆心角、圆周角、弦切角,圆中有关角的计算 和证明问题多与这三类角有关,因此圆心角定理、圆周角定理、弦 切角定理是解决这类问题的知识基础,求解这类问题时,通常利用 圆心角、圆周角、弦切角以及圆弧之间的关系来进行转化,求解中 注意运用圆内接四边形的对角互补等性质.
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专题二:与圆有关的线段的计算与证明 解决与圆有关的线段的计算与证明问题时,首先要考虑利用相交 弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理等,由此获得成比例 的线段或相等的线段,然后结合直角三角形中的射影定理、相似三 角形的性质等进行等比例代换或等线段代换,从而证得结论,或者 建立方程(组),求得未知线段.
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解:设CB=AD=x,则由割线定理,得CA· CD=CB· CE, 即4(4+x)=x(x+10), 化简得x2+6x-16=0,解得x=2或x=-8(舍去), 从而CD=4+2=6,CE=2+10=12. 连接AB,因为CA为小圆的直径,所以∠CBA=90°, 即∠ABE=90°, 则由圆的内接四边形对角互补,得∠D=90°, 即△CDE是直角三角形,则CD2+DE2=CE2, 所以62+DE2=122,解得DE= 6 3.
A.120° B.136° C.144°D.150° 解析:由∠BCD∶∠ECD=3∶2,得∠ECD=72°.由圆内接四边形的 性质知∠A=∠DCE,所以∠A=72°,故∠BOD=2∠A=144°. 答案:C
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【例2】 如图,D,E分别是△ABC的BC,AC边上的点,且 ∠ADB=∠AEB.求证:∠CED=∠ABC.
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(2)如果点D在圆内,设圆与BD的延长线交于F,如图,连接AF, 则∠AFB=∠AEB. ∵∠AEB=∠ADB, ∴∠AFB=∠ADB. 这也与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不可能在圆内. 综上可得,点A,B,D,E在同一圆上.∴∠CED=∠ABC.
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(1)求证:AB为圆的直径; (2)若AC=BD,求证:AB=ED. 分析:对于(1),可利用弦切角与圆周角的关系及等腰三角形的底 角相等证∠BDA=90°;对于(2),应先证明△BDA≌△ACB,再证明 ∠DCE=90°即可.
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证明:(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 又PD为切线,所以∠PDA=∠DBA. 因为∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA, 所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD, 从而∠BDA=∠PFA. 因为AF⊥EP,所以∠PFA=90°,于是∠BDA=90°, 故AB是圆的直径. (2)连接BC,DC. 因为AB是直径,所以∠BDA=∠ACB=90°. 在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD, 从而Rt△BDA≌Rt△ACB,于是∠DAB=∠CBA. 又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA, 故DC∥AB.因为AB⊥EP, 所以DC⊥EP,∠DCE为直角,于是ED为直径. 因为AB和ED都是圆的直径,所以ED=AB.
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变式训练2如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两 点.求证:∠OCB=∠D.
证明:因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC,故∠OCB=∠B. 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点, 所以∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D,因此∠OCB=∠D.
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【例3】 如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是 CA和CB的延长线与大圆的交点.已知AC=4,BE=10,且CB=AD,求 DE的长.
分析:先由割线定理求出CB的长度,从而得出CD,CE的长度,再证 明△CDE为直角三角形,利用勾股定理求得DE的长度.
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∵OE⊥AB,∴E 为������������的中点. ∴������������ , ������������ 和 ������������ 的度数均为 80° ,因此∠EOC=80° +80° =160° ,
而△OEC 为等腰三角形,故∠OEC=10° .
答案:B
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变式训练1如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,延长BC到E. 若∠BCD∶∠ECD=3∶2,则∠BOD等于( )
分析:要证明∠CED=∠ABC,容易想到圆内接四边形的性质,需证 A,B,D,E四点共圆.用圆内接四边形的判定定理不易找到条件,故采 用分类讨论来解决.
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证明:作△ABE的外接圆,则点D与外接圆有三种位置关系:①点D 在圆外;②点D在圆内;③点D在圆上. (1)如果点D在圆外,设BD与圆交于点F,如图,连接AF. 则∠AFB=∠AEB. 而∠AEB=∠ADB, ∴∠AFB=∠ADB. 这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾. 故点D不能在圆外.