24.4弧长和扇形面积

人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。

本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。

但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。

2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。

3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。

4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。

5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。

6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。

《弧长和扇形面积》教学设计方案（第一课时）一、教学目标：1. 理解弧长和扇形面积的概念及其计算公式。

2. 能够运用弧长和扇形面积公式进行计算。

3. 培养数学应用意识和解决问题的能力。

二、教学重难点：1. 教学重点：理解弧长和扇形面积的概念及其计算公式。

2. 教学难点：运用公式解决实际问题，理解公式中各个参数的意义。

三、教学准备：1. 准备教学用具：黑板、白板、圆规、尺子等数学教具。

2. 准备教学材料：相关例题和练习题。

3. 设计教学流程：导入新课、讲解概念、演示公式应用、学生练习、总结反馈。

四、教学过程：1. 导入新课：通过回顾圆的周长和面积公式，引出弧长和扇形面积的概念。

2. 讲解新知：讲解弧长和扇形面积公式，并举例说明如何应用该公式。

3. 课堂练习：学生完成相关练习题，教师进行点评和指导。

4. 小组讨论：学生分组讨论弧长和扇形面积公式的应用，提出问题和解决方案。

5. 案例分析：通过具体案例，分析如何利用弧长和扇形面积解决实际问题。

6. 总结回顾：总结本节课的重点内容，回顾弧长和扇形面积公式及应用。

7. 布置作业：学生回家后，通过网络或图书资料预习下一节课的内容，并完成相关作业。

四、教学过程具体内容1. 创设情境：通过展示不同类型的扇形图，引导学生观察扇形图的特点，引出弧长和扇形面积的概念。

2. 讲授新知：教师详细讲解弧长和扇形面积的公式，并通过具体例子说明如何应用该公式。

同时，引导学生思考如何将弧长和扇形面积公式与圆的周长和面积公式联系起来。

3. 课堂活动：学生完成教师布置的有关弧长和扇形面积的练习题，教师进行批改和点评。

同时，鼓励学生通过小组讨论，提出自己在理解和应用弧长和扇形面积公式时遇到的问题和解决方案。

4. 实践活动：设计一个具体案例，引导学生利用弧长和扇形面积公式解决实际问题。

例如，计算公园中圆形喷泉的扇形区域的面积，或者估算某个区域的绿化面积所需要的植物数量等。

通过实践活动，培养学生的实践能力和创新思维。

§24.4 弧长和扇形面积公式教学目标：1、初步掌握圆周长、弧长公式, 扇形面积公式及相关计算及简单组合图形的长度、面积；2、通过弧长扇形面积公式的推导，培养学生探究新问题的水平；3、调动学生的积极性，培养学生的钻研精神;4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的水平，综合使用所学知识分析问题和解决问题的水平．教学重点：弧长扇形面积公式． 教学难点：准确理解弧长扇形面积公式． 教学活动设计： 一、 探索弧长公式1、已知圆的半径为R ，则圆的周长C=_________。

2、（1）圆心角是180°，占整个周角的____，则它所对的弧长是圆周长的_______； （2）圆心角是90°， 占整个周角的 ，则它所对的弧长是圆周长的_______； （3）圆心角是45°， 占整个周角的____，则它所对的弧长是圆周长的_______； （4）圆心角是1°， 占整个周角的____，则它所对的弧长是圆周长的_______； （5）圆心角是n °， 占整个周角的____，则它所对的弧长是圆周长的_______。

归纳：假如弧长为l ，圆心角为n °，圆的半径为R ，那么， 弧长的计算公式为：180Rn l π=二、弧长公式的简单应用1、 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，则此圆弧的长度为 。

（结果保留π） 2、已知圆弧的半径为15厘米，圆弧的长度为10π，则圆心角的度数为 。

三、例题例 1 弯制管道时，先按中心计算“展直长度”再下料，试计算图中所示管道的展直长度？（π≈3.14，单位：cm ，精确到1cm ，弯制管道的粗细不计）四、探索扇形面积公式扇形的概念：由组成圆心角的 和圆心角所对的 所围成 的图形叫扇形。

1、半径为R 的圆面积公式：S=_______________,2、圆心角是1°， 占整个周角的____ ，则它所对的扇形的面积是圆面积的_______ ；3、圆心角是n °， 占整个周角的____ ，则它所对的扇形的面积是圆面积的_______ ；归纳：假如弧长为l ，圆心角为n °，圆的半径为R ，那么， 扇形面积的计算公式为：S 扇形=3602R n π比较扇形面积公式与弧长公式，能够用弧长公式表示扇形面积：S 扇形=lR 21（其中l 为扇形的弧长，R 为半径）五、扇形面积公式的简单应用1、已知扇形的圆心角为210°，半径为6，则扇形的面积为______ ．2、扇形的半径为10，弧长为23π，则扇形的面积为 。

24.4 弧长和扇形面积（共2课时）第一课时： 弧长和扇形面积教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．难点：两个公式的应用．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教学过程一、复习引入老师口问，学生口答 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2（3）弧长就是圆的一部分． 课件）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

说明：没有特别要求，结果保留π。

例2、课本111页例题 课堂练习1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即 AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110∴ AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。

专题24.4弧长和扇形面积（讲练）一、知识点1.正多边形与圆2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式：圆锥S 侧==πrl ，S=πr （l+r ）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积二、标准例题：例1：如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B 在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.【答案】5 3028π【解析】（1）∵AB 2+BC 2=AC 2, AB=4,BC=3, ∴AC 2= 42+32=25, ∴AC=5；（2）转动一次B 的路线长是：0，转动第二次的路线长是：90331802π⨯=π，转动第三次的路线长是：90551802π⨯=π，转动第四次的路线长是：904180π⨯=2π，以此类推，每四次循环， 2019÷4=504余3，顶点B转动四次经过的路线长为：0+32π+52π+ 2π=6π,连续旋转2019次经过的路线长为：6π×504+0+32π+52π=3028π．故答案为：（1）5；（2）3028π．总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例2：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A2π-B2π+C．πD．2π【答案】A【解析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，tan∠A=3BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12AH=AO•cos∠32=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=2601123222360π⨯⨯-⨯⨯-=42π-，故选A.总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.例3：如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D【解析】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒， 60AOM ∴∠=︒，Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180lr ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D．总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.三、练习1．1．如图，已知在⊙O中，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A．8233π-B．16233π-C．8433π-D．16433π-【答案】D【解析】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，∴BF=DF，¶·BC DC=，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，2223BF AB AF=-=∴BD=2BF=43，连接OB、OD、BC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF•FC，即（2=6FC，∴FC=2，∴直径AC=AF+FC=6+2=8， ∴⊙O 的半径为4，∵AF=6，∴cosAF BAF AB ∠===∴∠BAF=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OC=4，FC=2， ∴OF=2，∴=BOD S S S ∆-阴影扇形21204116236023ππ⨯=-⨯=-故选择：D.2．圆锥的底面半径是5cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）A ．B ．10cmC ．6cmD ．5cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ， 根据题意得2π•5180180Rπ=， 解得R ＝10．即圆锥的母线长为10cm ，=．3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m ，n ，l ，则下列各式成立的是（ ）A ．m +n ＜lB ．m +n ＝lC ．m 2+n 2＞l 2D ．m 2+n 2＝l 2【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，m＝12×π×AC，n＝12×π×BC，1＝12×π×AB，∴m2＝14×π2×AC2，n2＝14×π2×BC2，12＝14×π2×AB2，∴m2+n2＝14×π2×（AC2+BC2）＝14×π2×AB2＝12，故选：D．4．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A．2πB．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】S=2120612360ππ⨯⨯=，故选C．5．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积是（）A．23πB．43πC．4πD．条件不足，无法计算【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC＝S扇形DAB＝2 40π6 360⨯＝4π，6．如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（ ）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】解：∵将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，∴CC 1∴线段CD 扫过的面积=12×2•π-12×π=12π， 故选：B ．7．已知的扇形的圆心角为45︒，半径长为12，则该扇形的弧长为 A ．12π B ．3πC ．2πD ．34π【答案】B 【解析】 根据弧长公式：l=4512180πg g =3π，8．一个圆锥形的圣诞帽高为 10cm ，母线长为 15cm ，则圣诞帽的表面积为（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ．π cm 2【答案】A【解析】解：高为10cm ，母线长为15cm ，由勾股定理得，底面半径cm ，底面周长，侧面面积=122． 故选：A ．9．如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定【答案】C【解析】设OA ＝a ，扇形OAB 的面积＝22903604a a ππ⨯=， 以OA ，OB 为直径在扇形内作的半圆的面积＝221a a ()228ππ⨯⨯=P ＝扇形OAB 的面积﹣（以OA 为直径的半圆的面积+以OB 为直径的半圆的面积）+Q ＝2248a a ππ-×2+Q＝Q 故选C ．10．如图，圆锥的底面半径r ＝6，高h ＝8，则圆锥的侧面积是（ ）A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π【答案】D【解析】解：圆锥的母线10l ===， ∴圆锥的侧面积10660ππ=⋅⋅=， 故选：D ．11．如图，四边形ABCD 为矩形，以A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 的延长线于点E ，连接BD ，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】434 【解析】解：BC 交弧DE 于F ，连接AF ，如图，AF=AD=4， ∵AD=2AB=4 ∴AB=2，在Rt △ABF 中，∵sin ∠AFB=24=12， ∴∠AFB=30°，∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，∴图中阴影部分的面积=S扇形ADF+S△ABF-S△ABD=2304360π⋅⋅+1212×2×4=434．12．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_____cm2．（结果保留π）【答案】1 4π【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≅△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝12，∴S扇形B′OB＝2120π1360⨯＝13π，S扇形C′OC＝1120π4360⨯＝π12，∵阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝13π﹣π12＝14π；故答案为：14π．13．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120︒，点A与点B的距离为OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.【答案】43【解析】解：连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，AM =∴2OA =， ∵24022180r ππ⨯=， ∴43r = 故答案是：43 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=o ，则该圆锥的母线长l 为___cm ．【答案】6.【解析】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=， 解得6R =，故答案为：6．15．已知圆锥的底面半径是1_____度．【答案】90【解析】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a 4＝ ，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒ ， 根据题意得n 421180ππ⨯⨯＝ ，解得90n ＝ ， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．16．如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C 、D 两点的O e 分别交AC 、BC 于点E 、F ，AD =60ADC ∠=︒，则劣弧»CD的长为_______________【答案】43π 【解析】连接DF ，OD ，∵CF 是⊙O 的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴∠DCF=30°，∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt △CAD 中，在Rt △FCD 中，CF=cos CD DCF∠=4， ∴⊙O 的半径=2， ∴劣弧»CD的长=1202180π⨯=43π， 故答案为：43π． 17．将圆心角为216︒，半径为5cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______cm ．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ， 根据题意得21652180r ππ⨯=，解得3r =，所以圆锥的高()4cm ==．故答案为4．18．如图所示，当半径为30cm 的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A 平移的距离为多少厘米？(保留π)【答案】20πcm 【解析】12038001π⨯ =20πcm ． 故答案为：20πcm ．19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，4），B （﹣5，2），C （﹣2，1）．（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2；（3）求（2）中点C 运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图所示：=点C 运动的路径长为:14π⨯⨯=20．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝5，且AC+BC ＝6，求AB 的长．【答案】4AB =.【解析】Rt ABC ∆，∵222AC BC AB +=， ∴222444AC BC AB πππ⋅+⋅=⋅， 即：AC BC AB S S S +=半圆半圆半圆，根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则12ABC S S S ∆+=，∵125S S +=， ∴152ABC S AC BC ∆=⋅=， ∴10AC BC ⋅=.∵6AC BC +=，∴()2222AC BC AC BC AC BC +-⋅=+2621016=-⨯=，即216AB =，∴4AB =.21．如图，AB 为O e 的直径，且AB =C 是¶AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O e 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．(1)求证：EC 是O e 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为4π．【解析】(1)如图，连接BC ，OC ，OE ，Q AB 为O e 的直径，ACB 90∠︒∴=，在Rt ΔBDC 中，BE ED =Q ，DE EC BE ∴==，OC OB =Q ，OE OE =，()ΔOCE ΔOBE SSS ∴≅，OCE OBE ∠∠∴=，Q BD 是O e 的切线，ABD 90∠︒∴=，OCE ABD 90∠∠︒∴==，Q OC 为半径，∴EC 是O e 的切线；(2)OA OB =Q ，BE DE =，AD OE ∴P ，D OEB ∠∠∴=，D 30∠︒=Q ，OEB 30∠︒∴=，EOB 60∠︒=，BOC 120∠︒∴=，AB =QOB ∴=BE 6∴==．∴四边形OBEC的面积为ΔOBE 12S 262=⨯⨯⨯=， ∴阴影部分面积为(2OBEC BOC 120πS S 4π360⋅⨯-==四边形扇形．22．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.【答案】31224π+- . 【解析】过A 作AM BC ⊥于M ，EN BC ⊥于N ，Q 等边三角形ABC 的边长为2，60BAC B ACB ∠=∠=∠=︒，222AM BC ∴===， 1AO AE ==Q ，,AD BD AE CE ∴==，12EN AM ∴==∴图中阴影部分的面积()ABC CEF BCD ADE DCF S S S S S ∆∆∆----扇形扇形＝122=⨯601360π⨯•12-⨯11303222360π⨯⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭•3124π=，故答案为：3124π．。

人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十四章圆《24.4弧长和扇形面积》是学生在学习了角的度量、圆的性质、圆的周长等知识的基础上，进一步探究圆的弧长和扇形面积的计算。

这一节内容不仅是前面学习内容的延续，也为后面学习圆锥、圆柱等几何体提供了基础。

教材通过生活中的实例，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，让学生感受数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的基本概念和性质有一定的了解。

但是，对于弧长和扇形面积的计算，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际操作、探究活动等，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法。

三. 教学目标1.理解弧长和扇形面积的概念。

2.掌握弧长和扇形面积的计算公式。

3.能够运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算公式。

2.难点：弧长和扇形面积公式的推导过程。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实际问题，探究弧长和扇形面积的计算方法。

2.利用几何画板等软件，直观展示弧长和扇形的计算过程，帮助学生理解。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在合作中交流、讨论，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件、几何画板软件。

2.准备一些实际的例子，用于引导学生探究。

3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如自行车轮子的周长，引出弧长的概念。

提问：如何计算这个弧长？引导学生思考，为下面的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）利用几何画板软件，展示一个圆的扇形，让学生直观地感受弧长和扇形面积的计算过程。

通过软件的动态演示，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用准备好的实际例子，计算弧长和扇形面积。

24.4弧长和扇形面积一、内容和内容解析1.内容弧长和扇形面积.2.内容解析弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式.应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题.学习这两个公式也为圆锥侧面积公式打下了基础.弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分与整体之间的联系推导出来的.运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：弧长和扇形面积公式的推导及应用.教学难点是:推导弧长和扇形面积公式的过程.二、目标和目标解析1.目标(1)理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形的面积.(2)在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够理解1°的圆心角所对的弧长等于圆周长的3601，所对的扇形面积等于圆面积的3601；能够发现n °的圆心角所对的弧长和扇形面积都是1°的圆心角所对的弧长和扇形面积的n 倍；能利用弧长表示扇形面积，能利用公式计算弧长和扇形面积.达成目标（2）的标志是：在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想.三、教学问题诊断分析圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和圆面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解.教师可以利用特殊情况进行引导：先知道360°的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后求1°的圆心角所对的弧长，再通过求2°的圆心角所对的弧长，逐渐认识到弧长；最后探索n °的圆心角所对的弧长，并通过n °圆心角与1°圆心角的倍数关系得出弧长公式.扇形面积公式的推导过程也类似.基于以上分析，本节课的教学难点是：推导弧长和扇形面积公式的过程.突破难点的关键是教师运用部分与整体之间的联系来推导弧长公式，再运用类比的思想引导学生推导扇形面积公式.四、教学过程设计1.创设情境，导入新知（预计时间2分钟）师生活动：教师播放视频，学生观看视频.观看后教师提出问题：在奥运会比赛中各国选手进入弯道后所跑的路线是什么几何图形？为什么各国选手的出发点不一样？学生回答问题，从而引出课题.设计意图：教师通过引导学生观看视频，能初步感知到弧长和这条弧所对的圆心角和圆的大小（半径）有关，同时激发学生的爱国热情和学习兴趣，为新课做铺垫.2.推导并应用弧长公式（预计时间15分钟）问题1 （1）半径为R 的圆周长公式是什么？（2）半径为R 的圆面积公式是什么？（3）什么是弧？(4)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？师生活动：教师提出问题，学生回答问题（1）、（2）、（3）.对于问题（4）学生能够感知弧长与半径和圆心角有关，但不容易推导出弧长公式，此时教师趁机引出课题.设计意图：教师确立延伸目标，让学生独立思考，为本课学习做好准备.教师追问1： （5）在同圆或等圆中，每一个 1°的圆心角所对的弧长有怎样的关系？（6） 1°的圆心角所对的弧长是多少？（7） n °的圆心角所对的弧长是多少？师生活动：教师引导学生回答问题（5）——-（7）：（5）相等，（6）圆周长的3601，（7）1°圆心角所对弧长的n 倍. 教师追问2:（8）你会计算半径为 R ，1°的圆心角所对的弧长吗？（9）你会计算半径为R ，2°的圆心角所对的弧长吗？师生活动：教师引导学生获得（8），（9）的解答；（8）1°的弧长是圆周长的3601，为1803602R R ππ=；（9）2°是1°的2倍，所以弧长也是1°的弧长的2倍，为901802R R ππ=⨯.设计意图：引导学生关注圆心角的大小，让学生出体验由特殊到一般的弧长公式的推导过程.教师追问3：（10）你会计算半径为 R ，n °的圆心角所对的弧长吗？师生活动：学生独立思考，n °的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n 倍，半径为R 的圆的周长是2πR ，利用1°的圆心角所对的弧长180R π，再乘n ，就可以得到n °的圆心角所对的弧长为180R n l π=.此时教师还要强调公式中n 的意义，n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中的180也是不带单位的.设计意图：让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式. 教师追问4：弧长的大小由哪些量决定？师生活动：学生独立思考，在弧长公式180R n l π=中，180和π是常量，n 和R 是变量，弧的长度与圆心角和圆的大小（半径）有关，当圆的大小一定时，圆心角越大，弧长越大；当圆心角的度数一定时，圆越大，弧的长也越大.设计意图：通过辨析弧长公式，让学生加深对公式的理解.例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示的管道的展直长度 L （结果取整数）．师生活动：（1）学生分析题中条件和解题思路：管道由三个图形组成（两条线段和一段弧），要求展直长度L ，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，要求弧长需要知道圆心角和半径；而圆心角和半径题目都已经给出了，由弧长公式即可直接求出弧长，进而可求出展直长度L.(2)学生独立完成解体过程，一名学生板书，师生共同交流.设计意图：通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识.3.推导扇形面积公式（预计时间10分钟）问题2 在小学的时候我们曾经研究过扇形，你还记得小学时扇形的定义吗？师生活动：教师提出问题，学生思考后回答.教师指出扇形的特征是：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形,然后引导学生判断下列图形哪些是扇形？设计意图：加深学生对扇形定义的理解，能准确的判断出扇形.教师追问：同学们既然已经学过扇形了，知道扇形是由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形，可以发现，扇形的面积除了与圆的半径有关外，还与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也越大，那么如何计算扇形的面积呢？你能否类比研究弧长公式的方法推导出扇形面积公式吗？师生活动：教师利用多媒体给出推导弧长公式的问题，学生独立思考并讨论.类比弧长公式的研究过程，可以发现在半径为R 的圆中，，360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR ²，所以1°的圆心角所对的扇形面积是圆面积πR ²的3601，即3602R π,则n °的圆心角所对的扇形面积为360n 2R S π=扇形. 设计意图：类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考，归纳出扇形的面积公式，同时让学生体会类比的数学思想.问题3 比较扇形面积公式360n 2R S π=扇形和弧长公式180R n l π=，你能利用弧长表示扇形面积吗？ 师生活动：学生独立思考.通过观察可以发现扇形面积公式3602R n π中，分子含有因式n πR ，则分子n πR ²可以写成R R n ∙π;分母360可以写成180×2.所以可以用弧长来表示扇形的面积，lR R R R S 212180n 360n 2=⋅==ππ扇形，其中l 为扇形的弧长，R 为圆的半径. 同时教师强调当已知弧长L 和半径R ，求扇形面积时，应选用lR S 21=扇；当已知半径和圆心角的度数，求扇形面积时，应选用360n 2R S π=扇形. 设计意图：通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长来表示扇形面积，为圆锥的侧面积公式的推导作准备..4.练习、巩固弧长和扇形面积公式（预计时间10分钟）例2如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m ，其中水面高 0.3 m ，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．教师追问：（1）你能否在图中标出截面半径和水高？（2）分析截面上有水部分图形的形状，如何求它的面积？（3）要求扇形面积，还需要求出公式中的哪个量？要求三角形的面积，还需要求出哪个量？（4）由已知中半径和水面高，怎样求圆心角和弦长？师生活动：（1）教师通过问题引导学生分析解题思路，并画出相应的图形（图3）.然后分析有水部分的形状为弓形，从而确定了弓形面积的计算方法（扇形面积-三角形面积）.进而通过已知求出相应线段和圆心角即可解决本题.（2）师生共同分析板书解题过程. 设计意图：结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识，同时小结不规则图形的解法，若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决.例2变式 如图4、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm ，其中水面高0.9cm ，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm ）师生活动：教师把例2的图形调过来，变成优弧弓形，学生根据例2的解题经验，了解到优弧弓形的面积的计算方法（扇形面积+三角形面积），教师引导学生口述解决问题，然后总结所有弓形面积的计算方法:如图5，若弓形为半圆，则221R S π=弓形; 若弓形AMB 的面积小于半圆的面积，则OAB OAB S S S ∆-=扇形弓形；若弓形AMB 的面积大于半圆的面积，则OAB OAB S S S ∆+=扇形弓形.图4练习 教科书第113页练习第1,2,3题.师生活动：学生在练习本上完成，教师巡视、指导.然后小组内交流、评价，教师派代表发言.设计意图：例1是对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响.练习2是巩固弧长公式.练习3是巩固扇形面积公式.5.小结（预计时间3分钟）教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题：（1）本节课我们主要研究了哪些内容？你有什么收获？在推导弧长和扇形面积公式的时，体现了哪些数学思想？（2）弧长与圆周长、扇形面积与圆面积之间有什么联系？设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心——弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系，及类比、转化的数学思想.6.布置作业（预计时间1分钟）教科书习题24.3第4,6,8题.五.目标检测设计(10分)（预计时间4分钟）（注：1、2、4题各2分，3题4分.A 、B 层次的全部完成，C 层次的只需完成1、2即可）1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π2.已知扇形的圆心角为100°，半径为6cm ，则这个扇形的面积为( )A ．6πB ．10πC ．12πD ．20π3.已知扇形的半径为3cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是 2cm ,扇形的圆心角为 °.4.如图6，在正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案，如图，则树叶型图案的面积为( )A.πaB.2πaC.a 21D.3a设计意图：考查学生对弧长和扇形面积公式的掌握.分层布置，体现了让不同学生在数学中都有不同发展的理念.。