人教A版高中必修二试题专题讲解+课后训练：空间几何体的表面积和体积

第二节 空间几何体的表面积和体积一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12D.92π＋18解析 该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×32＋43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π＋18，故选D.答案 D2．如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A．20＋3π B．24＋3πC．20＋4π D．24＋4π解析由三视图可知该几何体为一组合体，上面是一个棱长为2的正方体．下面是半个圆柱，其半径为1，母线为2.故S＝5×22＋π＋π×1×2＝20＋3π.答案 A3．(2014·唐山市期末)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()A．8π＋16 B．8π－16C ．8π＋8D ．16π－8解析 V ＝π·222·4－12·4·2·4＝8π－16，选B. 答案 B4．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A.163π B.1912π C.193πD.43π解析 由三视图可知该几何体是底面边长为2，高为1的正三棱柱．其外接球的球心为上下底面中心连线的中点．∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝1912，S ＝4πR 2＝193π.答案 C5．正六棱锥P —ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D —GAC 与三棱锥P —GAC 体积之比为( )A ．1:1B ．1:2C ．2:1D ．3:2解析 设棱锥的高为h ， V D —GAC ＝V G —DAC ＝13S △ADC ·12h ， V P —GAC ＝12V P —ABC ＝V G —ABC ＝13S △ABC ·h 2. 又S △ADC S △ABC ＝21，故V D —GACV P —GAC ＝2 1. 答案 C6．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A.33B.233C.433D.533解析 如图，设球心为O ，OS ＝OA ＝OC 得∠SAC ＝90°，又∠ASC ＝45°，所以AS ＝AC ＝22SC ，同理BS ＝BC ＝22SC ，可得SC ⊥面AOB ，则V S －ABC ＝13S △AOB ·SC ＝13×3×4＝433，故选C.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析 设底面半径为r ，如图所示． 12·2πr ·l ＝2π，∴rl ＝2. 又∵12πl 2＝2π，∴l ＝2，∴r ＝1. ∴h ＝l 2－r 2＝3， ∴V ＝13·π·12·3＝33π. 答案 33π8．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析 该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R ＝22＋22＋22＝23，所以该球的表面积为4πR 2＝12π.答案 12π9．(2013·江苏卷)如图，在三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点．设三棱锥F —ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 设三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的高为h ，底面△ABC 的面积为S ，V 1＝13×14S ×12h ＝124Sh ＝124V 2，所以V 1V 2＝124.答案 124三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是相邻两边长分别为6和8的矩形，高HO＝4，O点是AC与BD的交点，如图所示．∴该几何体的体积V＝13×8×6×4＝64.(2)如图所示，作OE⊥AB，OF⊥BC，侧面HAB中，HE＝HO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△HAB＝12×AB×HE＝12×8×5＝20.侧面HBC中，HF＝HO2＋OF2＝42＋42＝4 2.∴S△HBC＝12×BC×HF＝12×6×42＝12 2.∴该几何体的侧面积S＝2(S△HAB＋S△HBC)＝40＋24 2.11．(2014·滨州质检)一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解(1)直观图如图所示：(2)方法1：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的34，在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1 m.在Rt △BEB 1中，BE ＝1 m ，EB 1＝1 m ，∴BB 1＝ 2 m. ∴几何体的表面积S ＝S 正方形AA 1D 1D ＋2S 梯形AA 1B 1B ＋S 矩形BB 1C 1C ＋S正方形ABCD ＋S矩形A 1B 1C 1D 1＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1×2＋1＋1×2 ＝7＋2(m 2)．∴几何体的体积V ＝34×1×2×1＝32(m 3)． ∴该几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.方法2：几何体也可以看作是以AA 1B 1B 为底面的直四棱柱，其表面积求法同方法1，V 直四棱柱D 1C 1CD －A 1B 1BA ＝Sh ＝12×(1＋2)×1×1＝32(m 3)．∴几何体的表面积为(7＋2)m 2，体积为32 m 3.12．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ；(2)求三棱锥A —PBC 的体积．解 (1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD .所以四边形BCDF 为平行四边形．所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB .又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ，所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC .(2)取AD 的中点O ，连接PO .在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2，所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2，AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A —PBC 的体积V A —PBC ＝V P —ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.。

第一章1．3空间几何体的表面积与体积1．3．2球的体积和表面积课时分层训练‖层级一‖……………………|学业水平达标|1．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()A.8π3 B.32π3C．8π D.82π3解析：选C设球的半径为R，则截面圆的半径为R2－1，∴截面圆的面积为S＝π(R2－1)2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π.2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()A．16π B．20πC．24π D．32π解析：选A设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝13a2h＝a2＝6，得a＝ 6.由题意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋(3)2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A.3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()A．72π B．48πC．30π D．24π解析：选C 由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体．V ＝13π×32×4＋12×43π×33＝30π.4．等体积的球和正方体的表面积S 球与S 正方体的大小关系是( )A ．S 正方体>S 球B ．S 正方体<S 球C ．S 正方体＝S 球D ．无法确定解析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意，得V ＝43πR 3＝a 3，∴a ＝3V ，R ＝33V 4π，∴S 正方体＝6a 2＝63V 2＝3216V 2，S 球＝4πR 2＝336πV 2 ＜ 3216V 2.5．球的表面积S 1与它的内接正方体的表面积S 2的比值是( )A.π3B.π4C.π2 D ．π解析：选C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则3a 2＝4R 2，所以a 2＝43R 2，球的表面积S 1＝4πR 2，正方体的表面积S 2＝6a 2＝6×43R 2＝8R 2，所以S 1S 2＝π2. 6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．解析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径r ＝2，∴其表面积S ＝4π×(2)2＝8π.答案：8π7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为________． 解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以球的表面积S 1＝4πr 21＝πa 2.答案：πa 28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm ，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了53cm ，则这个铁球的表面积为________cm 2. 解析：设该铁球的半径为r ，则由题意得43πr 3＝π×102×53，解得r 3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S ＝4π×52＝100π(cm 2)．答案：100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R 1，R 2，R 3，∵三个球的表面积之比为1∶4∶9，∴4πR 21∶4πR 22∶4πR 23＝1∶4∶9，即R 21∶R 22∶R 23＝1∶4∶9，∴R 1∶R 2∶R 3＝1∶2∶3，得R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27，∴V 1∶V 2∶V 3＝43πR 31∶43πR 32∶43πR 33＝R 31∶R 32∶R 33＝1∶8∶27.10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3.‖层级二‖………………|应试能力达标|1．(2019·吉林白城四中二模)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是( )A．24π B．36πC．48π D．60π解析：选C由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．可得该几何体的外接球的半径r＝23，其外接球的表面积S＝4π×()232＝48π，故选C.2．一平面截一球得到直径是6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是()A.100π3cm3 B.208π3cm3C.500π3cm3 D.41613π3cm3解析：选C根据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝5(cm)，所以V球＝43πR3＝500π3(cm3)．3．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝()A．32＋π B．32＋2πC．28＋2π D．28＋π解析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×12＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.4．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：选B如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.5．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋22＋22＝23，所以该几何体的表面积为4πR2＝4π(3)2＝12π.答案：12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是________． 解析：设球的半径为r ，则43πr 3＝323π，得r ＝2，三棱柱的高为2r ＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V ＝34×(43)2×4＝48 3.答案：48 37．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为πr 2×6r＝6πr 3，高度为8 cm 的水的体积为8πr 2,3个球的体积和为3×43πr 3＝4πr 3，由题意得6πr 3－8πr 2＝4πr 3，解得r ＝4(cm)．答案：48．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm ，求球的体积．解：如图所示，作出轴截面，O 是球心，与边BC ，AC相切于点D ，E .连接AD ，OE ，∵△ABC 是正三角形，∴CD＝12AC .∵Rt △AOE ∽Rt △ACD ，∴OE AO ＝CD AC .∵CD ＝1 cm ，∴AC ＝2 cm ，AD ＝ 3 cm ，设OE ＝r ，则AO ＝(3－r )，∴r 3－r＝12，∴r ＝33 cm ，V球＝43π⎝⎛⎭⎪⎫333＝4327π(cm3)，即球的体积等于4327π cm3.。

《作业推荐》—8.3空间几何体的表面积与体积一、单选题(共45 分)1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（）A.22B.20C.10D.11【答案】A【解析】【分析】根据长方体的表面积公式计算即可.【详解】所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.故选：A.【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式,属于基础题型.2.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ （A.2πB.3πC.πD.4π【答案】D【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式，计算即可．【详解】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l（2（则它的侧面积为S侧（2πrl（2π×1×2（4π（故选D（【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．3.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，且ΔABC为等边三角形，AP=AB=2，则三棱锥P−ABC的外接球的表面积为（）A.272π B.283π C.263π D.252π【答案】B 【解析】计算出ΔABC 的外接圆半径r ，利用公式R =√r 2+(PA 2)2可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥P −ABC 的外接球的表面积. 【详解】ΔABC 的外接圆半径为r =AB 2sinπ3=2√33，∵PA ⊥底面ABC ，所以，三棱锥P −ABC 的外接球半径为R =√r 2+(PA 2)2=√(2√33)2+12=√213， 因此，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为4πR 2=4π×(√213)2=28π3.故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.4.把球的体积扩大到原来的2倍，那么表面积扩大到原来的（ ） A.2倍 B.√43倍C.√34倍D.√23倍【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积公式，分别求得原来球的体积和变大后的球的体积，进而得到变化前后半径之间的关系，再由球的表面积公式即可求解． 【详解】设变化前后球的半径分别为r,r 1，表面积分別为S,S 1.由条件可知43πr 13=43πr 3⋅2,∴r 1=√23r ，因此扩大后球的表面积S 1=4πr 12=4π(√23r)2=√43S .故选：B 【点睛】本题主要考查了球的体积和表面积的计算与应用，其中解答中熟记球的体积公式、表面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．5.若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ） A.1 B.√2C.√3D.2【答案】C 【解析】结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可.【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为ℎ，则πr2+πrl=3π，2πrl=π，所以l=2，r=1，ℎ=√3.【点睛】本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题.6.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥BC，且AB=2.若三棱锥P−ABC的外接球体积为36π，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )A.6+6√3B.8+6√3C.8+8√5D.6+8√5【答案】C【解析】【分析】第一步确定球心位置在PC的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，设PC的中点为O，则O到P−ABC的四个顶点的距离都相等，所以点O是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为43πR3=36π，得外接球半径R=3，所以PC=6.设PA=a,BC=b，则PA2+AB2+BC2=PC2，得a2+b2=32，所以V P−ABC=13×12×2b×a=13ab⩽13×a2+b22=163，当且仅当a=b=4时，V P−ABC取得最大值163.此时PB=AC=√42+22=2√5，所以，三棱锥的表面积S=2×12×2×4+2×12×4×2√5=8+8√5.故选：C.【点睛】本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积.其解题规律：(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的12.(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．7.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为（）A.4 : 3B.3 : 1C.3 : 2D.9 : 4【答案】C【解析】【分析】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，将圆锥的侧面积、球的表面积分别用r表示，即可得答案.【详解】画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则OD=r，PO=2r，∠PDO=90°，∴∠CPB=30°.又∠PCB=90°，PC=√3r，PB=2√3r，∴CB=√33∴圆锥的侧面积S1=π×√3r×2√3r=6πr2，球的表面积S2=4πr2，∴S1:S2=3:2.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的侧面积、球的表面积求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力.8.等体积的球和正方体的表面积S1,S2的大小关系是（）A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据体积相等得出正方体棱长和球的半径的大小关系，求出表面积即可得解.【详解】设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，由题意得V =43πR 3=a 3，所以a =√V 3，R =√3V4π3.所以S 1=6a 2=6√V 23=√216V 23， S 2=4πR 2=√36πV 23， 所以S 1>S 2. 故选：A 【点睛】此题考查正方体和球体的体积表面积计算，根据体积相等得出等量关系，关键在于对代数式的准确化简.9.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1,S 2，则（ ）A.如果S 1,S 2总相等，则V 1=V 2B.如果S 1=S 2总相等，则V 1与V 2不一定相等C.如果V 1=V 2 ，则S 1,S 2总相等D.存在这样一个平面α使S 1=S 2相等，则V 1=V 2 【答案】A 【解析】 【分析】由祖暅原理的含义直接判断即可得出答案. 【详解】 如图所示：由祖暅原理的含义可得当平面α∥β，并且和α平行的平面截得两个几何体的所得的截面面积S 1=S 2时，V 1=V 2，则A 选项正确. 故选：A. 【点睛】本题考查了祖暅原理的理解和应用，属于基础题. 二、填空题(共 25 分)10.若正方形ABCD 的边长为1，利用斜二测画法得到直观图A ′B ′C ′D ′，则直观图A ′B ′C ′D ′的周长等于_____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解，得到答案. 【详解】根据斜二测画法画出图形后求出周长，如图，因为正方形ABCD 的边长为1， 则由斜二测画法可得A ′D ′=1，B ′C ′=1，A ′B ′=12，D ′C ′=12，所以四边形A ′B ′C ′D ′的周长为1+1+12+12=3.【点睛】本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.11.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鱉臑.如图，四面体P −ABC 为鱉臑，PA ⊥平面ABC ，∠ABC 为直角，且PA =AB =BC =2，则P −ABC 的体积为________.【答案】43【解析】【分析】计算出△ABC的面积，然后利用锥体的体积公式可求得三棱锥P−ABC的体积.【详解】由题意知PA⊥平面ABC，∠ABC=π2，PA=AB=BC=2，所以△ABC的面积为S△ABC=12AB⋅BC=2，因此，V P−ABC=13S△ABC⋅PA=13×2×2=43.故答案为：43.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.12.在ΔABC中，AB=AC=6，BC=4，AD是BC边上的中线，将ΔABD沿AD折起，使二面角C−AD−B等于120∘，则四面体ABCD外接球的体积为______.【答案】32√3π【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD及底面外接圆的半径r，利用公式R=√r2+(AD2)2求出外接球的半径R，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，在折起的过程中，AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，所以AD⊥平面BCD，因为二面角C−AD−B等于120∘，所以∠BDC=120∘，且BD=CD=2，AD=√AB2−BD2=4√2，在ΔBCD中，∠CBD=∠BCD=30∘，ΔBCD外接圆半径为r=BD2sin30∘=2，设外接球的半径为R，则R=√r2+(AD2)2=√22+(2√2)2=2√3，因此，所以外接球的体积为V=43πR3=43π×(2√3)3=32√3π.故答案为：32√3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．13.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1B1作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为V1（三棱柱A1B1C1−FEC），V2两部分，那么V1:V2=______.【答案】3：4【解析】【分析】设三棱台的高为ℎ，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为ℎ，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，∴V台=13ℎ(S+4S+2S)=73Sℎ，∴V1=Sℎ,∴V1V2=Sℎ73Sℎ−Sℎ=34.故答案为：3:4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.14.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h 计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2ℎ.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2ℎ相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为____. 【答案】227【解析】 【分析】由题意，讲圆锥体积公式V=13Sℎ代入到近似公式中，即可求解圆周率π的近似值.【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则圆锥底面圆周长L =2πr ，∴r =L 2π，∴V =13πr 2ℎ=L 2ℎ12π，令L 2ℎ12π=7264L 2ℎ，得π=227.故答案为：227【点睛】本题考查中国传统文化，利用圆锥体积公式，近似计算圆周率，是基础题. 三、解答题(共 30 分)15.如图四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 正方形，E 为PD 中点.（1）求证：PB ∥平面ACE ；（2）已知PA ⊥平面ABCD 且PA =AB =2，求三棱锥D −ACE 体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】 【分析】(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE ,根据中位线定理即可证明OE ∥PB ,从而证明PB ∥平面ACE ; (2)根据V D−ACE =V E−ACD =12V P−ACD ,由三棱锥体积公式即可求解.【详解】(1)连接BD交AC与O,连接OE则OE∥PB,又OE⊆平面AEC,且PB⊄平面AEC 所以PB∥平面ACE(2)取AD的中点F,连接EF,则PA∥EF∵PA⊥平面ABCD∴V D−ACE=V E−ACD=12V P−ACD.=12[13×(12AD×CD)×PA]=12×[13×(12×2×2)×2]=23【点睛】本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.16.如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）.为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）【答案】14359(cm2)【解析】【分析】上部四棱柱的侧面积容易求出；要计算四棱台侧面积需先计算出斜高，再计算侧面积，两者相加即为需要瓷砖面积．【详解】解；由题意，需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积.S四棱柱侧=4×40×80=12800(cm2)，四棱台的斜高ℎ′=√102−(50−402)2=5√3(cm)，S四棱台侧=4×40+502×5√3≈1559(cm2)故需要瓷砖的面积为12800+1559=14359(cm2).【点睛】本题考查几何体的侧面积求解，关键是得出所需要的数据，准确利用公式，属于基础题．17.在平面几何中可利用等积变换求三角形的面积，通常有两种方案：一是同一三角形选不同的边作为底边所得面积相等；二是不同的三角形利用“等底同高”或“等高同底”得到三角形面积相等.在空间图形中能否借鉴平面几何的“等积变换”求三棱锥的体积？如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1，的棱长为1，E为线段B1C上的一点，在求三棱锥A−DED1的体积时，随着E点的变化，底面ΔDED1的面积在变化，点A到底面的距离也在变化，导致体积难求.（1）能否利用“等体积转换法”求解三棱锥A−DED1的体积？（2）求三棱锥E−ADD1的体积关键是求高，即求E点到平面AA1D1D的距离，如何求出E点到平面AA1D1D的距离？（3）求出三棱锥A−DED1的体积.【答案】（1）能；（2）见解析；（3）16【解析】【分析】（1）选ΔADD1为底面，底面积不变，点E到面ADD1的距离不变即可判断.（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，故E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离.（3）利用（1）（2）借助三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）选ΔADD1为底面，则底面积不变，利用同一几何体的等积变换得，三棱锥A−DED1的体积等于三棱锥E−ADD1的体积.（2）由于正方体的侧面AA1D1D与侧面BB1C1C平行，因此E点到平面AA1D1D的距离等于C点到平面AA1D1D的距离，利用“等底同高”体积相等得，三棱锥E−ADD1的体积等于三棱锥C−ADD1的体积.（3）由问题1、2得，V A−DED1=V E−ADD1=V C−ADD1=13×12×1×1×1=16.【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，属于基础题.。

空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。

1·3 空间几何体的表面积和体积1·3·1 柱体、锥体、台体的表面积与体积一. 柱体、锥体、台体的表面积（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由若干个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各表面的面积之和，我们可以把它们展开成一个平面图形，利用平面图形求面积的方法，求得它们的表面积.棱柱、棱锥、棱台的表面积等于各自的侧面积与底面面积之和.1.棱柱、棱锥、棱台侧面积的计算(1)直棱柱直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱.其侧面展开图是一个矩形.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱.S＝ch，其中c为棱柱的底面周长，h直棱柱的高.直棱柱侧（2）正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.性质：①正棱锥的各侧棱长相等，各侧面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）.②侧棱和底面所成的角相等.③正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱、棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的.正棱锥侧S ＝21'ch （其中c 为棱锥底面周长，'h 为侧面等腰三角形底边上的高——斜高）（3）正棱台定义：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面之间的部分叫做正棱台. 侧面展开图是由各个侧面组成的.正棱台侧S ＝ 21'')(h c c +（其中c ，c’为棱台上下底面的周长，h’为各个等腰梯形的高，即棱台的斜高）2. 棱柱、棱锥、棱台侧面积公式间的转化ch S h c c S ch S c c c 21210''''=−−→−+=−−−←===正棱锥侧正棱台侧直棱柱侧）（（二） 圆柱、圆锥、圆台的表面积1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积计算方法把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积，而圆柱、圆锥、圆台的底面均是圆面.2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积 （1）圆柱①圆柱的侧面展开图示一个矩形；②如果圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，则圆柱的表面积为222r rl S ππ+=. （2）圆锥①圆锥的侧面展开图为一个扇形；②如果圆锥的底面半径为径为r ，母线长为l ，则圆锥的表面积为2r rl S ππ+=. （3）圆台①圆台的侧面展开图为一个扇环；②如果圆台的上、下底面半径分别为21,r r ，母线长为l ，则圆台的表面积为)(212221l r l r r r S +++=π.4. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式间的转化202122212121)(22r rl S l r l r r r S r rl S r r r πππππ+=−−→−+++=−−−←+===圆锥表圆台表圆柱表例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径d ＝1m ，高h ＝2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效数字）.（例1题图） 解析：底面半径d r 21=∴S 侧面积＝ dh rh ch ππ==2= 2.3π∴S 表面积 ＝ S 侧面积＋ S 底面积＝2.3π＋≈π218.7 例2.一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解析：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为x cm 、y cm 、z cm 、l cm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由22）（得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系.例3.已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.解：设圆台的母线长为l ，则圆台的上底面面积为上S =22⋅π=4π， 圆台的上底面面积为ππ2552=⋅=下S ， 所以圆台的底面面积为π29=+=下上S S S ， 又圆台的侧面积 l l S ππ772=+=）（侧， 于是ππ297=l ，即729=l 为所求. 例4.有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.01 cm ）解析：如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD.由题意知，BC=10 cm, AB =ππ885.02=⨯⨯cm , 点A 与点C 就是铁丝的起止 位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度. ∴ AC =05.27)8(1022≈+π(cm ) .所以，铁丝的最短长度约为27.05 cm.点评：此题关键是把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面几何问题. 探究几何体表面上最短距离，常将几何体的表面或侧面展开，化折（曲）为直，使空间图形问题转化为平面图形问题. 空间问题平面化，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.（例4题图）二. 柱体、锥体、台体的体积1．祖暅原理两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.2．柱体的体积公式:为高）为底面面积，（h S Sh V =,圆柱的体积公式也可表示为：为高）为底面半径，（＝h r h r V 2π.3．锥体的体积公式：为高）为底面面积，（h S Sh V 31=，圆锥的体积公式也可表示为：为高）为底面半径，（＝h r h r V 231π.4．台体的体积计算公式：为高），分别是上、下底面面积（）（h S S h S SS S V ''',31++=,圆台的体积公式也可表示为，为高），分别为上、下底面半径（）（h r r h r rr r V '2''2,31++=π.5. 柱体、椎体、台体的体积公式之间的关系柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而它们的体积公式会有以下的关系：−−−←=='S S Sh V 柱体−−→−++==0'''31S h S SS S V ）（台体Sh V 31=锥体例1.如图是一个奖杯的三视图，（单位：cm ）试计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm 3）.（例1题图）解析：V 正四棱台＝667.851)11111515(53122≈+⨯+⨯⨯V 长方体＝886⨯⨯＝864 V 球 ＝097.1133342≈⨯πV ＝ V 正四棱台 ＋ V 长方体＋ V 球76.1828≈例2. 若一个六棱锥的高为10cm,底面是边长为6cm 的正六边形，求这个六棱锥的体积. 提示：根据题意，主要是求底面正六边形的面积，可以把正六边形分成6个全等的等边三角形，只需求一个正三角形面积即可.答案：例3．一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积.解析：设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则 6,3,2===bc ac ab ，三式相乘得36)(2=abc所以，长方体的体积为36.例4. 在边长为a 的正方形中剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.解析：剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的. 设扇形半径为x ，圆半径为r ，则36051)22(15311523)225(,2)25(2,)25(2,4224133222ππππa h r V r r x h ar a r a AB r r x AB r x r x -==∴=-=-==+∴=+=+==∴=⨯圆锥的高解得又 点评：求 已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系. 搞清平面图形上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.1·3·2 球的体积与表面积1.球的体积公式：334R V π=（R 为球的半径） 2.球的表面积公式:24R S π=（R 为球的半径）例1.（04 年辽宁卷.10）设A 、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB =BC =CD =DA =3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ） A π68 B π664 C π224 D π272 解析：由已知可得，A 、B 、C 、D 在球的一个小圆上.∵ AB =BC =CD =DA =3， ∴ 四边形ABCD 为正方形. ∴ 小圆半径323=r A.68)6(34346,)2()223(23222222所以选球的体积解得得由πππ===∴=+=+=R V R R R h r R点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质 R 2 = r 2 + h 2 ，体积和表面积公式.例2.推导球的表面积公式.解析：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用 ,,,,21i S S S ∆∆∆表示，则球的表面积.21 +∆++∆+∆=i S S S S以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于求的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“ 小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小锥体”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h .因此，第i 个小棱锥的体积i i i h V S 31∆⋅=，当“小锥体”的底面非常小时，“ 小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积为：即为球的表面积公式可得且又332112211434R 3131,,),(31R S R S S R V S S S S R h S h S h S h V i i i ππ=∴=⋅∴⋅≈+∆++∆+∆=≈+∆++∆+∆≈（例2题图） 点评：我们也可以类似以上极限分割，利用球的表面积公式推导球的体积公式. 若把半球中垂直于底面的半径OA 作n 等分，经过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n 层，每一层都近似于一个圆柱形的“薄圆片”， 这些“薄圆片”的体积之和就是半球的体积. 由于“薄圆片”近似于圆柱形状，它的体积近似于相应的圆柱的体积，从而把半球的体积化归为无限个圆柱的体积之和. 探究的关键都是先极限分割，然后求和.例3. A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积．（例3题图）解析： AB 2+BC 2=AC 2， ∆∴ABC 为直角三角形， ∆∴ABC 的外接圆O 1的半径r=15cm ，因圆O 1即为平面ABC 截球O 所得的圆面，因此有R 2=（2R ）2+152，∴R 2=300，∴S 球=4πR 2=1200π（cm 2）.。

§1.3 空间几何体的表面积与体积第1课时 柱体、锥体、台体的表面积一、基础过关1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A ．8 B.8π C.4π D.2π2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为 ( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π3．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )A ．6B ．6πC ．35πD ．65π 4．三视图如图所示的几何体的全面积是( )A ．7＋ 2B.112＋2C ．7＋ 3D.325．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．6．一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为________cm 2.7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 8．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A 出发沿长方体表面爬行到C 1来获取食物，求其路程的最小值． 二、能力提升9．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B ，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶810．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为()A．372 B．360 C．292 D．28011．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．12．有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．三、探究与拓展13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．答案1．B 2．A 3．C 4.A 5.60° 6.12 800 7.28．解 把长方体含AC 1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC 1的长分别为90、74、80.由此可见图②是最短路线，其路程的最小值为74. 9．A 10．B 11．3812．解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图所示)，由题意知BC ＝3π cm ，AB ＝4π cm ，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度． AC ＝AB 2＋BC 2＝5π cm ， 故铁丝的最短长度为5π cm.13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1.考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍． ∴S 表＝2S 下＋S 侧＝2×22＋4×[22＋(2)2＋12]＝36. ∴该几何体的表面积为36.第2课时 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积一、基础过关1．一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12时，它的体积是原来的( )A.12B.14C.18D.24 2．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为( )A ．1∶9B ．1∶27C ．1∶3D ．1∶13．已知直角三角形的两直角边长为a 、b ，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为() A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2D．b2∶a24．若球的体积与表面积相等，则球的半径是() A．1 B．2 C．3 D．45．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________ cm.6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D 的体积为______ cm3.7．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是______；(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是______．8．在球面上有四个点P、A、B、C，如果P A、PB、PC两两垂直且P A＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．二、能力提升9．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为()A．24π cm2,12π cm3B．15π cm2,12π cm3C．24π cm2,36π cm3D．以上都不正确10．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的体积和表面积分别为() A．2π，6π B．3π，5πC．4π，6π D．2π，4π11．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.12．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度． 三、探究与拓展13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．答案1．C 2.A 3.B 4.C 5.3 6．6 7．(1)球 (2)球8．解 ∵P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝PC ＝a .∴以P A 、PB 、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P 、A 、B 、C 四点是球面上四点，∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径．∴2R ＝3a ，R ＝32a ，∴V ＝43πR 3＝43π(32a )3＝32πa 3.9．A 10.A 11.9π＋1812．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r ，水面的半径为3r ，则容器内水的体积为V ＝V 圆锥－V 球＝13π·(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3，而将球取出后，设容器内水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积是V ′＝13π·(33h )2·h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r . 即容器中水的深度为315r .13．解 设正方体的棱长为a .如图所示．(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面， 所以有2r 1＝a ，r 1＝a 2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.(2)中球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面，2r 2＝2a ，r 2＝22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.。

柱体、锥体、台体的表面积一、选择题1．正四棱柱的对角线长是9cm ，全面积是144cm 2，则满足这些条件的正四棱柱的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，且侧面A 1ABB 1与侧面A 1ACC l 的面积相等，则∠BB 1C 1等于（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从正点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ）A ．10cmB ．52cmC ．512+πcmD ．4252+πcm4．中心角为43π，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于（ ）A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶85．正六棱台的上、下底面的边长分别为a 、b （a <b ），侧面和底面所成的二面角为60°，则它的侧面积是（ ）A ．33（b 2－a 2）B ．23（b 2－a 2）C ．3（b 2－a 2）D ．23（b 2－a 2）6．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶3∶5C ．1∶2∶4D ．1∶3∶97．若圆台的上、下底面半径的比为3∶5，则它的中截面分圆台上、下两部分面积之比为（ ）A ．3∶5B ．9∶25C ．5∶41D ．7∶98．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ421+C ．ππ21+D ．ππ241+9．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94C ．41D ．3110．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（ ）A ．40B ．)31(20+C ．)31(30+D ．303二、填空题11．长方体的高为h ，底面面积是M ，过不相邻两侧棱的截面面积是N ，则长方体的侧面积是______．12．正四棱台上、下底面的边长为b 、a （a ＞b ）且侧面积等于两底面面积之和，则棱台的高是______．13．圆锥的高是10 cm ，侧面展开图是半圆，此圆锥的侧面积是_____；轴截面等腰三角形的顶角为______．14．圆台的母线长是3 cm ，侧面展开后所得扇环的圆心角为180°，侧面积为10πcm 2，则圆台的高为_____；上下底面半径为_______．三、解答题15．已知正三棱台的侧面和下底面所成的二面角为60°，棱台下底面的边长为a ，侧面积为S ，求棱台上底面的边长．16．圆锥的底面半径为5 cm ，高为12 cm ，当它的内接圆柱的底面半径为何值时，圆锥的内接圆柱全面积有最大值？最大值是多少?17．圆锥底面半径为r ，母线长是底面半径的3倍，在底面圆周上有一点A ，求一个动点P 自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程．参考答案一、选择题1．C 设正四棱柱的底面边长为a ，高为c ，由题意2a 2＋c 2＝81①2a 2＋4ac 2＝144 即a 2＋2ac 2＝72②①×8－②×9得7a 2－18ac ＋8c 2＝0即（7a －4c ）（a －2c ）＝0，因此7a －4c ＝0或a ＝2c ，由此可见由①②构成方程组有两组满足条件的解，故正确答案选C ．2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 7．D8．A 设底面圆半径为r ，母线即高为h ．∴h ＝2πr ． ∴侧全S S ＝rh rh r πππ2222＋＝h h r ＋＝r r r ππ22＋＝ππ221＋．∴应选A ．9．A10．B 可计算出直截面的周长为5＋35，则S 侧＝4（5＋35）＝20（1＋3）．另解：如图，若∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°，则可证明□BB 1C 1C 为矩形，因此，S 侧＝2S □B B AA 11＋C C BB 11矩形S ＝2×4×5×sin60°＋4×5＝20（1＋3）．二、填空题11．2222Mh N ＋．设长方体的长和宽分别为a ，b 则有a ·b ＝M ，22b a ＋·h ＝N ，2（a ＋b ）h ＝22）＋（b a ·h ＝M h N 2222＋·h ＝2222Mh N ＋．12．b a ab ＋ 13． 3200；60° 14．33cm ；211cm ，229cm三、解答题．15．设O ，O 1分别为下，上底面中心，连接OO 1，则OO 1⊥平面AB C ，上底面边长为x ，连接AO ，A 1O 1并延长交BC ，B 1C 1分别于D 、D 1两点．则AD ⊥BC ，连接DD 1，则DD 1⊥BC ，∠ADD 1为二面角A －BC －D 1的平面角，即∠ADD 1＝60°，过D 1作D 1E ∥OO 1交AD 于E ，则D 1E ⊥平面ABC ．在正△ABC ，△A 1B 1C 1中，AD ＝a 23，A 1D 1＝x 23．在Rt △D 1ED 中，ED ＝OD －OE ＝1（AD －A 1D 1）＝63（a －x ）．则D 1D ＝2ED ＝33（a －x ），由题意S ＝3·233）－（）＋（x a a x ．即S ＝23（a 2－x 2）．解得x ＝S a 3322－．16．如图SAB 是圆锥的轴截面，其中SO ＝12，OB ＝5．设圆锥内接圆柱底面半径为O 1C ＝x ，由△SO 1C ∽△SOB ， 则C O SO 11＝OB SO ，SO 1＝OB SO ·O 1C ＝x 512，∴OO 1＝SO －SO 1＝12－x 512，则圆柱的全面积S ＝S 侧＋2S 底＝2π（12－x 512）x＋2πx 2＝2π（12x －257x ）．当x ＝730cm 时，S 取到最大值 7360cm 2．17．如图扇形SAA ′为圆锥的侧面展开图，AA ′即为所求的最知路程，由已知SA ＝SA ′＝3r ，θ＝SA r360°＝120°，在等腰△SAA ′中可求得AA ′＝r 33．柱体、锥体与台体的体积一、选择题1．若正方体的全面积增为原来的2倍，那么它的体积增为原来的（）A．2倍B．4倍C．2倍D．22倍2．一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2，它的全面积是32 cm2，且满足b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是（）A、28cm B．32 cm C．36 cm D．40 cm3．正六棱台的两底面的边长分别为a和2a，高为a，则它的体积为（）A．32321aB．3233aC．337a D．3237a4．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（）A ．1B ．3C ．2D ．215．一个球的外切正方体的全面积的数值等于6cm 2，则此球的体积为（ ）A ．334cm πB ．386cm πC ．361cm πD ．366cm π6．正六棱锥的底面边长为a ，体积为323a ，那么侧棱与底面所成的角为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．125π7．正四棱锥的底面面积为Q ，侧面积为S ，则它的体积为（ ）A 、S Q 31B ．)(2122Q S Q -C 、)(2122Q S S -D 、)(6122Q S Q -8．棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（ ）A ．1∶7B ．2∶7C ．7∶19D ．3∶169．正方体、等边圆柱与球它们的体积相等，它们的表面积分别为S 1、S 2、S 3，下面关系中成立的是（ ）A ．S 3＞S 2＞S 1B ．S 1＞S 3＞S 2C ．S 1＞S 2＞S 3D ．S 2＞S l ＞S 310．沿棱长为1的正方体的交于一点的三条棱的中点作一个截面，截得一个三棱锥，那么截得的三棱锥的体积与剩下部分的体积之比是（ ）A ．1∶5B ．1∶23C ．1∶11D ．1∶47二、填空题11．底面边长和侧棱长都是a 的正三棱锥的体积是_______．12．将4×6的矩形铁皮作为圆柱的侧面卷成一个圆柱，则圆柱的最大体积是_______．13．半径为1的球的内接正方体的体积是________；外切正方体的体积是_______．14．已知正三棱台上、下底面边长分别为2、4，且侧棱与底面所成角是45°，那么这个正三棱台的体积等于_______．三、解答题15．三棱锥的五条棱长都是5，另一条棱长是6，求它的体积．16．两底面边长分别是15cm和10cm的正三棱台，它的侧面积等于两底面积的和，求它的体积．17．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h．18．如图所示，已知正方体ABCD—A1B1C l D l的棱长为a，E为棱AD的中点，求点A1到平面BED1的距离．参考答案一、选择题1．D2．B 解：由已知⎪⎩⎪⎨⎧③＝②＝＋＋①＝ac b ca bc ab c b a 2168··③代入①得b 3＝8，b ＝2，ac ＝4，代入②a ＋c ＝6．∴长方体棱长的和为4（a ＋b ＋c ）＝4×8＝32（cm 2）．3．D 4．B 5．C 6．B7．D 设正四棱锥的底面边长和高分别为a ，h ，斜高为h ′，则h ′＝222）＋（a h ，S ＝21（4a ）h ′＝2a 224a h ＋解得 h ＝22244a a S －＝442Q Q S －＝Q Q S 2221－．V ＝31h ·Q ＝31（Q Q S 2221－）Q ＝）－（2261Q S Q ．8．C 9．B10．D 由E 、F 、G 分别为BB 1，B 1C 1，B 1A 1的中点，可证明平面EFG ∥平面BC 1A 1，因此1111A BC B EFGB V V －－＝31）（BC EF ＝（21）3＝81．即EFG B V －1＝81111A BC B V －＝81·31AD A BC B V 111－＝81（31·211111D C B A ABCD V －）＝4811111D C B A ABCD V －，EFG B D C B A ABCD EFGB V V V －－－－111111＝471．二、填空题．11．3122a 12． 3613．938；8 14．31415．三棱锥A －BCD 中，AB ＝6，设E 为AB 的中点，连结CE ，DE ，则CE ⊥AB ，DE ⊥AB ．在直角△AED 中，DE ＝22AE AD －＝2235－＝4．同理CE ＝4，F 为CD 中点，连接EF ，则EF ⊥CD ，在Rt △DFE 中，EF ＝2225）－（DE ＝22254）－（＝239． ∴S △CED ＝395．V A －BCD ＝V A －ECD ＋V B －ECD ＝31AE ·S △CED ＋31BE ·S △CED＝31（AE ＋BE ）S △CDE ＝31×6×4395＝3925．16．设正三棱台的高为h ，则斜高h ′＝22101563）］－（＋［ ⎝⎛h ＝12252＋h ， 由已知212251531032＋）＋（h ⨯⨯＝43（152＋102），解得h ＝32．因此V ＝31·32（43·102＋43·152＋2215·1043）＝2475（cm 3）．别解：设上、下底面面积分别是S 1，S 2（S 1＜S 2），侧面与底面成二面角为α，由已知，S 侧＝S 1＋S 2①．又S 侧cos α＝S 2－S 1②，②÷①，cos α＝2112S S S S ＋－＝22221043154310431543⨯⨯⨯⨯＋－＝5． 然后再求棱台的高和体积．17．设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为31πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π（2a）2h ． 根据题意，有31πR 2h ＝π（2a ）2h ，解得R ＝a 23．再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得a a 23＝a h ，所以h ＝a 23．18．解：E D A S 11∆＝21A 1D 1·AA 1＝22a ．D 1B ＝3a ，D 1E ＝BE ＝22AB AE ＋＝2221a a ＋）（＝a 25．等腰△EBD 1的高为2122）－（B D BE ＝222325）－（）（a a ＝a 22．1BED S ∆＝21（a 3）（a 22）＝246a ．设A 1到平面BED 1的距离为h ，而11BED A V －＝E D A B V 11－， 即131BED S ∆·h ＝E D A S 1131∆·AB ． ∴31·246a ·h ＝31·22a ·a ，解得h ＝a 631．球的体积和表面积一、选择题1．若球的大圆面积扩大为原来的4倍，则球的表面积比原来增加（ ）A ．2倍B ．3倍C ．4倍D ，8倍2．若球的大圆周长是C ，则这个球的表面积是（ ）A ．π42cB ．π42cC ．π2c D ．2πc 2 3．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）A ．916πB ．38πC ．4πD ．964π4、球的大圆面积增大为原来的4倍，那么球的体积增大为原来的（ ）A ．4倍B ．8倍C ．16倍D ．32倍5．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的（ ）A 、1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍6．棱长为1的正方体内有一个球与正方体的12条棱都相切，则球的体积为（ ）A ．4πB ．4πC ．π32D ．42π7．圆柱形烧杯内壁半径为5cm ，两个直径都是5 cm 的铜球都浸没于烧杯的水中，若取出这两个铜球，则烧杯内的水面将下降（ ）A 、35cmB ．310cmC ．340cmD ．65cm8．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积为（ ）A 、916π B ．38π C ．4π D ．964π9．长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，这个球的表面积为（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π10．等体积的球与正方体，其表面积的大小关系为（ ）A ．S 球＞S 正方体B ．S 球＝S 正方体C ．S 球＜S 正方体D ．大小关系不确定二、填空题11．已知三个球的表面积之比为1∶4∶9，若它们的体积依次为V 1、V 2、V 3，则V 1＋V 2＝_____V 3．12．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为l ，则球的体积为_________．13．将一个玻璃球放人底面面积为64πcm 2的圆柱状容器中，容器水面升高34cm ，则玻璃球的半径为__________．14．将一个半径为R 的木球削成一个尽可能大的正方体，则此正方体的体积为______．15．表面积为Q 的多面体的每个面都外切于半径为R 的一个球，则多面体与球的体积之比为______．16．国际乒乓球比赛已将“小球”改为“大球”，“小球”的外径为38 mm ，“大球”的外径为40 mm ，则“小球”与“大球”的表面积之比为__________．三、解答题17．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则这样的三棱柱内能否放进一个体积为的小球？18．用刀切一个近似球体的西瓜，切下的较小部分的圆面直径为30 cm ，高度为5 cm ，该西瓜体积大约有多大?19．三棱锥A －BCD 的两条棱AB ＝CD ＝6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的体积．20．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积．参考答案一、选择题1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．D 9．C 10．C二、填空题11．331V提示：三个球半径之比为1∶2∶3，体积为1∶8∶27．12．36π设球的半径为R ，由题意得52－R －82－R ＝1，∴R ＝3，∴V 球＝334R π＝36π．13．4cm 14．3938R 15．Q ∶4πR 2 16．361∶400三、解答题17．设球半径为R ，则343R π＝16π，∴R ＝433．而正三棱柱底面内切圆半径r ＝63，比较R 与r 的大小，R 6＝6243＝649＝62·327·641，r 6＝6627＝662·327＝62·327·2431，∴R 6＞r 6，∴R ＞r ，所以不能放进一个体积为16π的小球．18．解：如图，设球半径为R cm ，切下的较小部分圆面半径为15cm ，∴OO ′＝R －5．Rt △OO ′A 中，R 2－（R －5）2＝15，∴R =25（cm ）．V ＝334R π＝32534）（π＝362500π（cm 3）．19．设球半径为R ，三棱锥A －BCD 表面积为S ，则V 三棱锥＝3RS．取CD 中点M ，连结AM 、BM ．∵AC ＝AD ＝5，∴CD ⊥AM ．同理CD ⊥BM ，∴CD ⊥平面ABM ，∴V 三棱锥＝31（CM ＋MD ），S △AMB ＝2S △AMB ． ∵AM ＝BM ＝4，取AB 中点N ，连结MN ，则MN ⊥AB ，且MN ＝2234－＝7，∴S △ABM ＝73，∴V 三棱锥＝76．又三棱锥每个面面积和都为12，∴S ＝4×12＝48，∴V 三棱锥＝R 348＝16R ．20．解：设球的半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， ∵4πR 2＝324π，∴R ＝9，∴142＋（a 2）2＝182，∴a 2＝64，∴a ＝8． ∴S 四棱柱＝2a 2＋4a ·14＝64×2＋32×14＝576．。

空间几何体的表面积和体积【要点梳理】.空间几何体的表面积与体积公式ch S =正棱柱侧（其中c 是底面周长，h 是高）h c S '=21正棱锥侧(其中c 是底面周长，h '是侧面三角形的高) h c c S ''+=）（正棱台侧21（其中c 和c '分别是上下底面的周长，h '是侧面梯形的高）rh ch S π2==圆柱侧 rl cl S π==21圆锥侧（其中r 是底面圆的半径，l 是母线） ()l r r l c c S '+='+=π）（圆台侧21sh V =柱体（其中s 是底面面积，h 是柱体的高）sh V 31=锥体（其中s 是底面面积，h 是锥体的高） ）（台体s s s s h V '+'+=31（其中s s '、分别是上下底面的面积，h 是台体的高） 24R S π=球 334R V π=球题型一 平面展开图 例1、如图，正三角形ABC 的边长为4，D 、E 、F 分别为各边的中点，M 、N 、P 分别为BE 、DE 、EF 的中点，将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后；问：（1）∠NMP 等于多少度？（2）擦去线段EN 、EP 、EM 后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？A BCDEFNPMDACFE1.长方体1111D C B A ABCD 的三条棱AD 、1AA 、AB 的长分别为3,4,5，则从点A 沿表面到点1C 的最短距离为（ ）A.25B.74C.54D.1032.正三棱锥S-ABC 的侧棱长为a ，各侧面的顶角为30°，D 为侧棱SC 的中点，E 、F 分别在侧 棱SA 和SB 上移动（不与端点重合），当E 、F 在什么位置时△DEF 的周长最小，最小周长是多 少？题型二 空间几何体的表面积例1、设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85米，底面的边长是1.5米，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）例2、如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m 、高为3m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。

空间几何体的表面积、体积【考纲解读】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征．能正确描述现实生活中简单物体的结构． 2．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(不要求记忆台体的体积公式) 柱、锥、台、球等简单几何体的面积与体积(尤其是体积)是高考热点． 【知识回顾】1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是___________、______、_______．(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r ，母线长l ，则其表面积为S 柱＝ ，S 锥＝ (4)若圆台的上下底面半径为r 1，r 2，母线长为l ，则圆台的表面积为S ＝(5)球的表面积为 .2．几何体的体积(1)V 柱体＝ .(2)V 锥体＝ .(3)V 台体＝ ，V 圆台＝ ，V 球＝ (球半径是R )．【合作探究】 1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为________． 2. 如图所示，E 、F 分别是边长为1的正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，沿线AF ，AE ，EF 折起来，则所围成的三棱锥的体积为( ) A.13 B.16 C.112 D.124(【精讲点拨】题型一 多面体的表面积和体积 例1 (2014·安徽文)若一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为_______．变式训练1 下图是一个几何体的三视图，根据图中所给的数据，求这个几何体的表面积和体积_______．题型二 旋转体的表面积和体积例2.(2014·天津)若一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.变式训练2(2015·沧州七校联考)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12π 题型三 利用割补法求体积 例3 已知正方体AC 1的棱长为a ，E ，F 分别为棱AA 1与CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积变式训练3 (2014·重庆理)若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【检测达标】 1．若一个半径为2的球体经过切割之后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．2.如图所示，多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面A 1BC 1D 1而截得的，已知AA 1＝CC 1，截面A 1BC 1D 1与底面ABCD 成45°的二面角，AB ＝1，则这个多面体的体积为_______必修二第一章第三节空间几何体的表面积与体积解读论文一、教材分析（一）.教材地位和作用：本节是选自普通高中新课程人教版数学（必修2）《空间几何体》一章的内容，是在学生已从几何体的结构特征和视图两个方面认识空间几何体的基础上进一步从度量的角度认识空间几何体。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作学科：数学专题：空间几何体的表面积与体积题1如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( ) A.S 2S B.S 2S π C.S 4S D.S 4S π题2一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是( )A.6π6 B.π2 C.2π2 D.3π2π题3在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别绕BC 、AC 、AB 旋转三角形得三个旋转体，其体积V a 、V b 、V c 的大小顺序为________题4如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、BB 1的中点．(1)求三棱锥G －BEF 的体积；(2)若以B 为顶点，求此三棱锥的高．题5已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1，S 2，S 3，则它们之间的关系是________．题6三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是1、2、3，则此三棱锥的外接球的面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π题7题面：两个球的体积之和是12π，大圆周长之和是6π，这两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D.32题8棱台的体积为76 cm 3，高为6 cm ，一个底面面积为18 cm 2，则另一个底面面积为________．题9正六棱锥P -ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D -GAC 与三棱锥P -GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2题10 题面：如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．题11如图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是斜边长为2a 的直角三角形，侧(左)视图是半径为a 的半圆，则该几何体的体积是( )A.36πa 3 B.3πa 3 C.34πa 3 D ．23πa 3题12有一根长为10 cm ，底面半径是0.5 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕8圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？(精确到0.01 cm)课后练习详解题1答案：D详解:设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，∴S ＝2πr ×2r ＝4πr 2.∴r ＝S 4π.∴V ＝π×r 2×2r ＝π×S 4π×2×S 4π＝S 4·S π. 题2答案：A详解:设正方体的边长为a ，球的半径为R . 根据题意得6a 2＝4πR 2，∴a 2＝23πR 2，即a ＝6π3R .∵V 正方体＝a 3，V 球＝43πR 3. ∴V V 正方体球＝6π6π27R 343πR 3＝6π276π×34π＝6π6. 题3答案：V c <V a <V b .详解:绕BC 旋转三角形得一个圆锥，V a ＝13π×AC 2×BC ＝13π×32×4＝12π. 绕AC 旋转三角形得一个圆锥，V b ＝13×π×BC 2×AC ＝13π×42×3＝16π. 绕AB 旋转三角形得两个圆锥的组合体，V c ＝13π×(125)2×5＝485π.∴V c <V a <V b .题4答案：43；233. 详解: (1)因为S △BEF ＝12BE ·BF ＝12×2×2＝2，BG ＝2，所以三棱锥G －BEF 的体积V ＝13×2×2＝43； (2)若以B 为顶点，则底面为正三角形GEF ，其边长为EF ＝BE 2＋BF 2＝22，所以 S △GEF ＝34×(22)2＝2 3.又因为三棱锥B －GEF 和三棱锥G －BEF 的体积相等，所以当以B 为顶点时，三棱锥的高h ＝4313×23＝233. 题5答案：S 1>S 3>S 2.详解:设正方体的棱长为a ，球半径为r ，圆柱的底面半径为R . 则a 3＝43πr 3＝πR 2·2R ＝2πR 3＝V . ∴a ＝3V ，r ＝33V 4π，R ＝3V 2π. ∴S 1＝6a 2＝623V ，S 2＝4πr 2＝4π233()4V π. S 3＝2πR ·2R ＋2πR 2＝6πR 2＝6π23()2V π. ∴S 1>S 3>S 2.题6答案：A详解:由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它的长、宽、高分别是1、2、3，它的体对角线是球的直径， ∴外接球的直径为2R ＝2221(2)(3)++＝6，面积为6π.题7答案：A详解:设两球半径分别为r 、R ，由题意可得R 3＋r 3＝9，r ＋R ＝3，所以r ＝1，R ＝2. 题8答案：8 cm 2.详解:设另一个底面面积为x cm 2，则由V ＝13h (S ＋SS ′＋S ′)，得76＝13×6×(18＋x ＋18x )，解得x ＝8，即另一个底面的面积为8 cm 2.题9答案：C详解:∵G 为PB 中点，∴V P —GAC ＝V P —ABC —V G —ABC ＝2V G —ABC —V G —ABC ＝V G －ABC又多边形ABCDEF 是正六边形，∴S △ABC ＝12S △ACD .V D —GAC ＝V G —ACD ＝2V G —ABC ∴V D —GAC ∶V P —GAC ＝2∶1.题10答案：1:5详解:长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ， 则截出的棱锥的体积为1111326V abc abc =⨯=． 剩下的几何体的体积21566V abc abc abc =-=，所以，1215V V =∶∶． 题11答案：A详解: 由侧(左)视图半圆可知，该几何体与圆柱、圆锥、球有关，结合正(主)视图是一个直角三角形知该几何体是沿中心轴线切开的半个圆锥将剖面放置在桌面上，如图，由条件知，圆锥的母线长为2a ，底面半径为a ，故高h ＝a 2－a 2＝3a ，体积V ＝12×⎝⎛⎭⎫13×πa 2×3a ＝36πa 3.题12答案：27.05 cm.详解:如图，把圆柱表面及缠绕其上的铁丝展开在平面上，得到矩形ABCD .由题意知BC＝10 cm，AB＝2π×0.5×8＝8π cm，点A与点C就是铁丝的起止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．10+(8) ≈27.05 cm．∴AC＝22∴铁丝的最短长度约为27.05 cm.。