异面直线所成的角习题课

异面直线所成的角专题训练1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC和XXX所成的角为多少度？答案：90度。

2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是多少度？答案：60度。

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

4.在三棱锥ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，AB=4，AA1=6.若E是棱BB1上的点，且BE=B1E，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为多少？答案：1/3.5.在三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA=PC=4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为多少？答案：-1/2.6.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，直线AM与CN所成角的余弦值是多少？答案：-3/5.7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且CA=CC1=10，则直线B1C与直线AB1所成角的余弦值为多少？答案：5/13.8.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，A1B1=2，AB⊥BC，点M是AC1的中点，则异面直线MB与AA1所成角的余弦值为多少？答案：-1/3.9.正三棱锥A-PBC的侧棱两两垂直，D，E分别为棱PA，BC的中点，则异面直线PC与DE所成角的余弦值为多少？答案：-3/5.10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1D所成角的大小为多少度？答案：无法确定，题目中缺少信息。

中，ABCD是正方形，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与AC所成的角的正弦值为(。

)A．12B．13C．23D．110.在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BC的中点，异面直线EF与直线AC所成的角的正切值为(。

构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．三、平移(或构造)几何体图1C图21A 1B 1C 1D ABCD E FGPBCA有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF中，由余弦定理，得cos B 1GF＝2221112B G GF B F B G GF +-=•＝0，故∠B1GF＝，应选(D)． 2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决． 解：取AE 中点G, 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ．∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG∵A 的射影为B ．∴AB ⊥面BCDE ．∴∠B E A＝∠BAE ＝又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ． ∴MN 与AE 所成角的大小等于90度． 故填． 3解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan PDDBA DB∠==．点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -，从而将问题简1D 1B 1C PDBCAA BCSEFA BCDD1C1B1A1MN化．异面直线练习一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A）不平行的直线（B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线（D）既不相交又不平行直线2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为（）（A）0 （B）1 （C）0或1 （D）0，1或23．两条异面直线的距离是（）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线（B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c是空间的三条直线，下面给出三个命题：①如果a, b是异面直线，b, c是异面直线，则a, c是异面直线；②如果a, b相交，b, c也相交，则a, c相交；③如果a, b 共面，b, c也共面，则a, c共面．上述命题中，真命题的个数是（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）（A）[30°，90°] （B）[60°，90°]（C）[30°，60°] （D）[60°，120°]6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）BA CDA（A ）23（B ）1010（C ）53（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ②③CN 与BM 成ο60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交 10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形 （C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点， G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起， 使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ．三、解答题15．已知AB、BC、CD为不在同一平面内的三条线段，AB，BC，CD的中点P、Q、R满足PQ＝2，QR PR＝3，求AC与BD所成的角．16．已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC 的中点．（1）求证：EF与PC是异面直线；（2）EF与PC所成的角；（3）线段EF的长．17．如图，AB和CD是两异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD，M是BD的中点，N是AC的中点．（1）求证：MN⊥AC；（2）当AB＝CD＝a，BD＝b，AC＝c时，求MN的长．18．（如图）已知P、Q是棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D和A1B1C1D1的中心．（1）求线段PQ的长；（2）证明：PQ∥AA1B1B．§ 1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．MNC．MND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a, b是异面直线是指①a∩b=∅, 且a与b不平行；②a⊂面α，b⊂面β，且平面α∩β=∅；③a⊂面α，b⊂面β，且a∩b=∅；④不存在平面α，能使a⊂α且b⊂α成立。

异面直线及其所成的角(一)1.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A ．30︒ B ．45︒ C ．90︒ D ．60︒ 2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点M ，1DD 的中点N ，则异面直线1B M 与CN 所成的角是( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 3.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11AC 的中点，则异面直线DE 与1B C 所成角的大小为( )A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π 4．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，4AB =，16AA =．若E 是棱1BB 上的点，且1BE B E =，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为( )A 13B 213C 513D 8135.如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为( )A ．14B 2C ．2D ．126．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( ) A ．25- B ．25C ．35D ．10 7．如图，直三棱柱111ABC A B C -，AC BC ⊥，且12C A C C C B==，则直线1BC 与直线1AB 所成角的余弦值为( )A ．5 B ．5 C ．25 D ．358．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．22C ．32D ．129.正三棱锥A PBC -的侧棱两两垂直，D ，E 分别为棱PA ，BC 的中点，则异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为( )A ．3 B ．5 C ．3 D ．6 10.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若点E 为BC 的中点，点F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的余弦值为( )A ．23B 5C 5D 2511．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，2AB =，12AA =，则异面直线1AB 和1BC 所成角的正弦值为( )A ．1B 7C ．12D 312．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，F 为11B C 的中点，则异面直线AF 与1C E 所成角的正切值为( )A 5B ．23C 25D 5异面直线及其所成的角(二)1.正四棱锥的侧棱与底面边长都相等,E 是SB 的中点,则AE 与SD 所成角的余弦值为( )A ．13BC ．23D 2.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是( )3.四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,且PA ⊥平面ABCD ,PA AB =,则直线PB 与直线AC 所成角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 4.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点,2AB =,AD =,2PA =,则异面直线BC 与AE 所成的角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 5.在如图所示的正方体1111A B C D ABCD 中,E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A. B.120- C.1206.正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AD 的中点,则直线1C E 与BC 所成的角的余弦值是( )C.137.如图,在正四面体ABCD 中,E 为AB 的中点,F 为CD 的中点,则异面直线EF 与AC 所成的角为( )A.90︒B.60︒C.45︒D.30︒ 8.在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11AC 的中点,则直线1DC 与AP 所成角的余弦值为( )C.129.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,12AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )C.1510.已知直三棱柱111ABC A B C -,120ABC ∠=︒,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与BC 所成角的余弦值为( )A.1511.如图,在三棱锥A BCD -中,三条棱DA 、DB 、DC 两两垂直,且DA DB DC ==,M 、N 分别是棱BC 、AD 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )A.1212.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,M ,N 分别为11C D 和1CC 的中点,则异面直线AM 与BN 所成角的余弦值为( )13.三棱柱ABC A B C ''-'的所有棱长都等于2，并且AA '⊥平面ABC ,M 是侧棱BB '的中点,则直线MC '与A B '所成的角的余弦值是( )异面直线及其所成的角(一)答案1-6 DDCABB 7-12 ABDBAC异面直线及其所成的角(二)答案1-6 DDCBDC 7-13 CDABDAA。

2.在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．3.S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．4 .A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点 若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值是5.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与 SA 所成的角45°6．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3， M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值347.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值578.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与CD 所成角的余弦值61 9.设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．B M ANCS(第5题)F 1 ABC D 1 C 1A 1B 1ABDM(第8题)N4 3 ABD(第9题) E6688ABCDE(第117 85 445 FB CE S (第7题)111,111111(3)1111ABCD A B C D BA CC BA CB AC BD EC CB A B B B -1.如图：正方体中（1）求异面直线和所成的角。

异面直线所成角11.在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．2．正∆ABC的边长为a，S为∆ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC 和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角．3. A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成角的余弦值.4．如图所示的正方体中，E是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线?(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值B'A'A BC'D'CDFEF1ABCD1C1A1B1异面直线所成角21.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，求直线AM 与CN 所成角的余弦值。

2.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角.3.如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3， M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值.4.如图，四面体ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝6，BD ＝8，E 是AD 中点，求BE 与CD 所成角的余弦值.B 1A 1A BC 1D 1CD M NA B D MN 43 ABDE 6 6 8 FA BCE S。

异面直线所成的角一．例题与课堂练习题1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．题2．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．题3．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．题4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．题5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。

题6．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值【说明】(1)如图1—29，单独画出△A?BF，使图中线段与角的数量关系较直观图中清楚，使计算更为方便和准确，这是立体几何中常用的重要方法； (2)解法中用余弦定理求cos∠A?BF,其实有更简单方法，请找出简单方法(3)如果用余弦定理求出角的余弦值为负数，应如何写答案?B MANCS ACBNM ACB B?(图1－A?ABC?D? C DF E异面直线所成的角的作业一．判断是非(下列命题中，正确的打“√”，错误的打“×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内； (2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行； (4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面； (6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面； (8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线； (10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二．选择题1.没有公共点的两条直线的位置关系是( )(A)平行 (B)异面 (C)平行或异面 (D)不能确定2.分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是( )(A)异面 (B)平行 (C)平行或异面 (D)平行或异面或相交3.两条异面直线指的是( )(A)在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线 (D)不同在任一平面内的两条直线、b是异面直线，b、c也是异面直线，那么a、c的位置是( )(A)异面 (B)异面或平行 (C)异面或相交 (D)相交、平行或异面5.说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和CC 1； (2)A 1C 和BD 1； (3)A 1A 和CB 1； (4)A 1C 1和CB 1； (5)A 1B 1和DC ； (6)BD 1和DC. 6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )7.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )3013015()()()()2A B C D8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直9.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c； ②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 10.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线(A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条11.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）B 1(第6A 1ABC 1D 1C D (第7F 1 A B CD 1 C 1A 1B 1 B 1(第6题)A 1A B C 1D 1 CD MN(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°F A BC ES(第11题)。

一．异面直线所成的角
1、在正方体1AC 中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线1A M 和1D N 所成的角的余弦值.
2、空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小
3、四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角的大小.
4、A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值.
5、四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值.
6、如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，
M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点 求MN 与CC 1所成角的余弦值。

7．如图，在正方体中，E 是A′D′的中点 (1)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (2)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；
(3)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值
(第4题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 A
B C D M (第5题) N 4 3 (第6题) M A B C N C 1 A 1 B 1 F
B C E S (第3题) B '
(第7题) A ' A B C ' D ' C D F E。

1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23D.1115答案 B解析 分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建系，令AD ＝1， ∴DB 1→＝(1，1，1)，CM →＝(1，－12，0)．∴cos 〈DB 1→，CM →〉＝1－123·52＝1515.∴sin 〈DB 1→，CM →〉＝21015.2．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010B.15C.31010D.35答案 C解析 如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)． ∴BE →＝(0，－1，1)，CD 1→＝(0，－1，2)． ∴cos 〈BE →，CD 1→〉＝1＋22·5＝31010.3．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．150°答案 C解析 设直线l 与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝12，又0°≤θ≤90°.∴θ＝30°.4．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( ) A.32B.52C.105D.1010答案 C解析 由题意，连接A 1C 1，交B 1D 1于点O ，连接BO.∵在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，∴C 1O ⊥B 1D 1.易得C 1O ⊥平面DBB 1D 1，∴∠C 1BO 即为直线BC 1与平面DBB 1D 1所成的角．在Rt △OBC 1中，OC 1＝22，BC 1＝25，∴直线BC 1与平面DBB 1D 1所成角的正弦值为105，故选C.5.(2019·辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，则直线BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.13 B.33C.63D.223答案 A解析 如图所示，建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D 1(0，0，4)，B(2，2，0)，B 1(2，2，4)，AC →＝(－2，2，0)，AD 1→＝(－2，0，4)，BB 1→＝(0，0，4)． 设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－2x ＋4z ＝0，取x ＝2，则y ＝2，z ＝1，故n ＝(2，2，1)是平面ACD 1的一个法向量． 设直线BB 1与平面ACD 1所成的角是θ，则sinθ＝|cos 〈n ，BB 1→〉|＝|n ·BB 1→||n |·|BB 1→|＝49×4＝13.故选A.6．若正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( ) A.35 B.45 C.34 D.55答案 B解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B 1D ⊥平面ACD ，∴B 1D ⊥DC ，故△B 1DC 为直角三角形．设棱长为1，则有AD ＝52，B 1D ＝32，DC ＝52， ∴S △B 1DC ＝12×32×52＝158.设A 到平面B 1DC 的距离为h ，则有 V A －B 1DC ＝VB 1－ADC ，∴13×h ×S △B 1DC ＝13×B 1D ×S △ADC . ∴13×h ×158＝13×32×12，∴h ＝25. 设直线AD 与平面B 1DC 所成的角为θ，则s inθ＝h AD ＝45. 向量法：如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B 1(3，0，2)． 设n ＝(x ，y ，z)为平面B 1CD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0⇒⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，3x －y ＋2z ＝0⇒n ＝(0，2，1)．∴sin 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →|·|n |＝45.7．(2019·河南林州期末)如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝13AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为( )A.33535B.277C.33D.24答案 A解析 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0，3，1)，D 1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)， ∴DC 1→＝(0，3，1)，D 1E →＝(1，1，－1)，D 1C →＝(0，3，－1)．设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·D 1E →＝0，n ·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）·（1，1，－1）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，－1）＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝3y ，取y ＝1，得n ＝(2，1，3)．∵cos 〈DC 1→，n 〉＝DC 1→·n |DC 1→|·|n |＝（0，3，1）·（2，1，3）10×14＝33535，∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为33535，故选A.8．(2019·昆明市高三调研)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是( ) A ．2 3 B ．4 2 C ．4 6 D ．8 2答案 B解析 如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥MN ，∴MN ⊥平面A 1AE ，∴A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，∴∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，∴∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，∵AA 1＝2，∴AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，∴截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝42，故选B.9．(2019·保定模拟)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是( ) A.23 B.73 C.32D.37 答案 B解析 以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A(a ，0，0)，B(0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D(0，0，1)，∴E(a 2，a 2，1)，G(a 3，a 3，13)，GE →＝(a 6，a 6，23)，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE →⊥平面ABD ，∴GE →·BD →＝0，解得a ＝2. ∴GE →＝(13，13，23)，BA 1→＝(2，－2，2)，∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量． ∵cos<GE →，BA 1→>＝GE →·BA 1→|GE →|·|BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成的角的余弦值为73. 10．(2019·河北承德期末)已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，∠BAD ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝AB ，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上．若PF ∶FC ＝1∶2，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为________． 答案43535解析 如图，以D 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.设菱形ABCD 的边长为2，则D(0，0，0)，E(32，－12，0)，F(0，23，43)，所以EF →＝(－32，76，43)． 又平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0，0，1)， 所以cos 〈EF →，n 〉＝43（－32）2＋（76）2＋（43）2×1＝43535， 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为43535.11．(2019·上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知AE ⊥底面BCFE ，DF ∥AE ，DF ＝AE ＝1，CE ＝7，四边形ABCD 是正方形．(1)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体EABC 是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明理由． (2)记AB 与平面AEC 所成的角为θ，求cos2θ的值． 答案 (1)略 (2)17解析 (1)∵AE ⊥底面BCFE ，EC ，EB ，BC 都在底面BCFE 上，∴AE ⊥EC ，AE ⊥EB ，AE ⊥BC.∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面ABE.又∵BE ⊂平面ABE ，∴BC ⊥BE ，∴四面体EABC 是鳖臑，∠AEB ，∠AEC ，∠CBE ，∠ABC 为直角． (2)∵AE ＝1，CE ＝7，AE ⊥EC ， ∴AC ＝22，又ABCD 为正方形． ∴BC ＝2，∴BE ＝ 3.作BO ⊥EC 于O ，则BO ⊥平面AEC ，连接OA ，则OA 为AB 在面AEC 上的射影．∴θ＝∠BAO ，由等面积法得BE·BC ＝EC·OB. ∴OB ＝3·27，sin θ＝OB AB ＝217，cos2θ＝1－2sin 2θ＝17.12.(2014·福建，理)在平面四边形ABCD 中．AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图所示． (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)63解析 (1)∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ，AB ⊥BD ，∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ，如图所示．由(1)知AB ⊥平面BCD ，BE ⊂平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BE ，AB ⊥BD.以B 为坐标原点，分别以BE →，BD →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，12，则BC →＝(1，1，0)，BM →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12，AD →＝(0，1，－1)． 设平面MBC 的法向量n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋y 0＝0，12y 0＋12z 0＝0，取z 0＝1，得平面MBC 的一个法向量n ＝(1，－1，1)． 设直线AD 与平面MBC 所成角为θ， 则sinθ＝|cos 〈n ，AD →〉|＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝63，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63. 13．(2019·郑州一中测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB＝2AD.(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；(2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值． 答案 (1)略 (2)4214解析 (1)在△ABD 中，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD ，由余弦定理，得BD ＝3AD ， 从而BD 2＋AD 2＝AB 2，故BD ⊥AD ， 所以△ABD 为直角三角形且∠ADB ＝90°.因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BD. 又AD ∩DE ＝D ，所以BD ⊥平面ADE.因为BD ⊂平面BDEF ，所以平面BDEF ⊥平面ADE.(2)由(1)可得，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π3，BD ＝3AD ，又由ED ＝BD ，设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3. 因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊥AD ，所以可以以点D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(1，0，0)，C(－1，3，0)，E(0，0，3)，F(0，3，3)， 所以AE →＝(－1，0，3)，AC →＝(－2，3，0)．设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－2x ＋3y ＝0，令z ＝1，得n ＝(3，2，1)为平面AEC 的一个法向量． 因为AF →＝(－1，3，3)，所以cos 〈n ，AF →〉＝n ·AF →|n |·|AF →|＝4214，所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为4214. 14.(2019·太原模拟)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，CB ＝CD ＝CE ＝1，AB ＝AD ＝AE ＝3，EC ⊥BD. (1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在平面ABE 内运动，且DP ∥平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值． 答案 (1)略 (2)427解析 (1)如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ， ∵AD ＝AB ，CD ＝CB ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC ，易得△ADO ≌△ABO ，∴∠AOD ＝∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD.又EC ⊥BD ，EC ∩AC ＝C ，∴BD ⊥平面AEC ， 又OE ⊂平面AEC ，∴OE ⊥BD. 又底面ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ADC 中，由AD ＝3，CD ＝1，可得AC ＝2，AO ＝32，∴∠AEC ＝90°，AE AC ＝AO AE ＝32，易得△AEO ∽△ACE ，∴∠AOE ＝∠AEC ＝90°，即EO ⊥AC.又AC ，BD ⊂平面ABCD ，AC ∩BD ＝O ，∴EO ⊥平面ABCD ， 又EO ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD.(2)如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ， 则MN ∥BE ，由(1)知，∠DAC ＝∠BAC ＝30°，即∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为正三角形，∴DN ⊥AB ，又BC ⊥AB ， ∴平面DMN ∥平面EBC ，∴点P 在线段MN 上．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(32，0，0)，B(0，32，0)，E(0，0，32)，M(34，0，34)，D(0，－32，0)，N(34，34，0)，∴AB →＝(－32，32，0)，AE →＝(－32，0，32)，DM →＝(34，32，34)，MN →＝(0，34，－34)，设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AE →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，－3x ＋z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，3，3)，设MP →＝λMN →(0≤λ≤1)，可得DP →＝DM →＋MP →＝(34，32＋34λ，34－34λ)，设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sinθ＝|n ·DP →|n |·|DP →||＝1242×λ2＋λ＋4， ∵0≤λ≤1，∴当λ＝0时，sin θ取得最大值427. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为427.。

求角问题 异面直线所成的角1. 空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为（ ）A. 030B.045C.060D.0902.正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线BC 1与AC 所成的角 。

3.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱和底边长度相等，P A 与底面CD 所成的角为线面角1.正方体ABCD -1111D C B A 中，BC 1与平面ACC 1A 1所成的角为2.已知正四棱锥P ABCD-的侧棱和底边长OPDCBAO PDCBA度相等，P A 与底面ABCD 所成的角为3.在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60， 求：（1）直线PA 与底面ABCD 所成的角； （2）四棱锥P ABCD -的体积． 二面角1.如图长方体中，AB=AD=23，CC 1=2，则二面角C 1—BD—C 的大小为（ ）A.300B.450C.600D.9002.右图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的ABC DA 1B 1C 1D 1O PDCB A大小是（ ）A. 300B.450C. 600D. 9003.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________4.正方体ABCD -1111D C B A 中，过顶点B,D,C 1作截面，则二面角B -DC 1-C 的余弦值为（ ）A.1B.21 C.33D.2A BDA’B’D’CC。

立体几何-异面直线成角求法习题构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） 二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为1A1B 1C1D B C D EF G45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．三、平移(或构造)几何体 有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程. 例3(2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．1. 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF ＝222222111(2)(3)(5)2223B G GF B F B G GF +-=•••＝0， 故∠B 1G F ＝90°，应选(D)．2评注：本题是过异面直线FG 上的一点G ，作B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是所求的角，从而纳入三角形中解决．解：取AE 中点G , 连结GM 、BG C M 图1ACDMN G 图2PB C A∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ．∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ．∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG∵A 的射影为B ．∴AB ⊥面BCDE ．∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ．即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．故填90°．3解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan 2PDDBA DB ∠==2． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P -，从而将问题简化．异面直线练习 一、 选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ）（A ）不平行的直线 （B ）不相1D 1B 1C P D B CAA B C S E F 交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或23．两条异面直线的距离是 （ ）（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线（B ）和两条异面直线都垂直的直线（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ）（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为（ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°]（C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]A B CD D C B A M NN M FE D C B A 6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ）（A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30°7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ）（A ）23（B ）1010（C ）53（D ）54 8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线；② ③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ）J I H G F E D C B A B A CD A （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ）（A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．FE P C A 14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC和BD 的距离为 ．三、 解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QR 5PR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为PA和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线；（2）EF 与PC 所成的角；（3）线段EF 的长．N MDC B AD C B A PQ D 1C 1B 1A 117．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点．（1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．18．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长；（2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．§ 1 异面直线一、复习要点1．本节内容要点为：异面直线的定义和判定，异面直线所成的角，异面直线的距离．2．异面直线的定义和判定及异面直线所成的角是频考点，也是本节的重点．3．要把“不同在任何一个平面内的两条直线”和“分别在两个平面内的两条直线”的含义区别开，后者不一定是异面直线．4．在进一步复习理解异面直线的同时，要注意把这部分内容和平面联系在一起，即和线面、面面平行与垂直的判定联系在一起，以便开阔思路，使解题方法更具灵活性．5．对异面直线所成的角，要注意：①深刻理解异面直线所成的角的概念，领悟其所渗透的“空间向平面转化”的思想；②异面直线所成角的范围为0°＜θ≤90°，故有时平移后需求其补角；③解题时，应首先考虑两条异面直线是否互相垂直，可由三垂线定理及其逆定理或线面垂直来完成；④应熟练掌握“平移”这个通法，平移的途径有取中点、作平行线、补体（形）等；⑤理科学生应会用反三角函数表示异面直线所成的角．6．高考求异面直线的距离仅限于给出公垂线的情形．例见1999年高考立体几何解答题的第2问．二、例题讲解例1 已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供读者思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N的关系是（）．A．M=NB．M NC．M ND．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF 和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2 在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3 正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE 间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）aB．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）aD．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图7-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD 和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题一．选择题：1．直线a, b是异面直线是指① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。

异面直线所成的角专项训练1、异面直线的定义与取值范围2、求两条异面直线所成角的步骤：(1) ；(2) ；3) ；类型一、以正方体和长方体为载体的异面直线所成的角1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．正方体1111ABCD A BC D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）A ．30° B．45° C．60° D．90°3．在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是11BC 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） AB．．510- D． 4．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A 、910B 、45C 、710D 、355．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是A ．︒60B ．︒90C ．︒45D ．︒306．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为 A ．23 B ．33C ．22D ．217．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）A.B.C.D .8．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）A.0 B.45 C.60 D.909．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 则异面直线11AB 与1BD 的夹角大小A1等于 60°（作业）1、在正方体1AC 中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线CM 和1D N 所成的角？求异面直线1A M 和1D N 所成的角？7．如图1—28的正方体中，E 是A′D′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线? (2)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值6.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，求直线AM 与CN 所成角的余弦值6．如右图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。