65圆的切线判定与性质习题课

《圆的切线的性质和判定》课时练习(附答案）【回顾与思考】现实情境⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩圆的切线的性质--三角形内切圆应用:d=r圆的切线的判定判定定理圆的切线性质与判定综合应用【经典例题】关于三角形内切圆的问题例1。

如图,点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BＡC=8０°,则∠BOC=( )A.130°B．1００°Ｃ.50°D．65°【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．圆的切线性质的应用例2.已知:如图，ＡB是⊙Ｏ的直径,ＰA是⊙O的切线，过点Ｂ•作BC•∥ＯP交⊙Ｏ于点Ｃ,连结ＡC.(1)求证:△ＡＢC∽△PＯA;（2）若ＡＢ=２，PA=2,求BC的长.(结果保留根号)圆的切线的判定例3。

已知:如图，AB是⊙Ｏ的直径，P是⊙O外一点，PＡ⊥AB，•弦BC∥OP，请判断ＰC是否为⊙O的切线，说明理由.【点评】本题是一道典型的圆的切线判定的题目.解决问题的关键是一条常用辅助线，即连结OC．【考点精练】一、基础训练1．已知⊙Ｏ的半径为8cm,如一条直线和圆心O的距离为8cｍ,那么这条直线和这个圆的位置关系是（)Ａ.相离 B.相切 C.相交D．相交或相离2．如图1，AB与⊙Ｏ切于点B,AＯ=6cｍ，AB＝4cm,则⊙O的半径为（)A.45cmB.２5cm C．213ｃm D．13m（1) (2）（３) 3.如图2，已知∠AOB＝30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心，•2cｍ•为半径作⊙M,•当OM=______cm时，⊙M与OA相切．4．已知：如图3，AB为⊙O直径,BＣ交⊙O于点Ｄ,DＥ⊥AC于E，要使ＤE是⊙O的切线，•那么图中的角应满足的条件为_______(只需填一个条件）．5.如图4，AB为半圆O的直径,CＢ是半圆O的切线,B是切点,AC•交半圆Ｏ于点D,已知ＣＤ=1，AD=3,那么ｃoｓ∠CＡＢ＝____＿___．(４）（5) ６．如图５，BＣ为半⊙O的直径，点D是半圆上一点，过点Ｄ作⊙Ｏ•的切线ＡD，BA⊥DＡ于A，ＢA交半圆于E，已知BC=10,ＡD=4,那么直线ＣE与以点Ｏ为圆心，52为半径的圆的位置关系是___＿____.７.如图，⊙Ｏ的半径为1，圆心O在正三角形的边AB•上沿图示方向移动.当⊙O移动到与ＡC边相切时,OＡ的长为多少？8.如图，⊙Ｏ是△AＢC的内切圆，Ｄ、Ｅ、F分别是切点，判定△DＥF的形状(按角分类)，并说明理由.二、能力提升:9．如图,直线AB切⊙O于点A,点C、D在⊙O上．试探求：(1)当AＤ为⊙O的直径时,如图①，∠D与∠CＡB的大小关系如何?•并说明理由．(2)当AD不为⊙Ｏ的直径时，如图②，∠D与∠ＣAB的大小关系同②一样吗?•为什么？①②10.如图,⊙O的直径ＡB=6cm,D为⊙O上一点，∠BAD=３0°，过点Ｄ的切线交AB•的延长线于点C.求:(1）∠ADＣ的度数；（2)AＣ的长.11.在图1和图２中，已知OA＝OB,ＡB=24,⊙O的直径为1０.(１)如图１,ＡB与⊙Ｏ相切于点C，试求OA的值；（2）如图２，若ＡB与⊙O相交于D、Ｅ两点,且D、E均为AB的三等分点,试求taｎA 的值.１2.如图,在△ABＣ中，∠C=90°,以BＣ上一点O为圆心,以ＯB为半径的圆交AB•于点Ｍ,交ＢC于点Ｎ．（1）求证:BA·ＢM＝BC·BN;(2）如果ＣＭ是⊙O的切线,N为OC的中点,当AC＝3时,求ＡＢ的值．１3．已知:如图,△AＢC内接于⊙O,点Ｄ在OC的延长线上,siｎＢ=12，∠ＣＡD=３0°．(1)求证：AD是⊙O的切线;（２)若OＤ⊥AB，BＣ=５，求ＡD的长.三、应用与探究：14.已知在Rｔ△ABC中,∠C=９0°，ＡＤ是∠BAC的角平分线，以AB上一点Ｏ为圆心,A Ｄ为弦作⊙O．（1)在图中作出⊙O;（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证:ＢC为⊙O的切线;(3)若AＣ=3，ｔaｎＢ=34,求⊙Ｏ的半径长.15.（2014•德州,第22题１0分）如图,⊙O的直径ＡB为10cm,弦ＢC为5ｃm,Ｄ、Ｅ分别是∠AＣＢ的平分线与⊙Ｏ，AＢ的交点，P为AＢ延长线上一点,且PＣ=PＥ.(1）求AC、AD的长；（２）试判断直线ＰＣ与⊙O的位置关系,并说明理由．16．（２01４•菏泽，第１８题１０分）如图,ＡＢ是⊙O的直径，点C在⊙Ｏ上,连接BC,AC,作ＯD∥BC与过点Ａ的切线交于点D，连接DＣ并延长交ＡB的延长线于点Ｅ.(1）求证：DＥ是⊙Ｏ的切线;（2）若＝，求ｃoｓ∠AＢC的值．参考答案：例题经典例1：Ａ例2：(1)略（２）ＢC=233例3:略考点精练1．B 2．B 3．4 4．∠B＝∠C 36.相离238．△DEF•是锐角三角形.连结OD、ＯＥ、ＯF．综合应用圆的切线性质,四边形内角和定理和圆周角定理．可以证得∠ＤＥF=9０°-12∠A,∠ＤFＥ=９0°-12∠B，∠ＥＤF=90°-12∠C．△DＥF的三个内角都是锐角9.（1）∠D=∠CＡＢ，理由（略) （2)∠Ｄ=∠CＡB 作直径ＡE、连结CE 由(1）可知：•∠Ｅ＝∠ＣAB，而∠E=∠D，∴∠D=∠CＡB1０．（１)∠ADＣ的度数为1２0°（2）９cm１1．(1)解:连结ＯC ，∵ＡＢ与⊙O 相切于C 点，∴∠O ＣA ＝9０°,∵O Ａ=OB,∴ＡC ＝B Ｃ=12 在Rt•△ACO 中,OA ＝2222125AC OC +=+=13(2）作OF ⊥A Ｂ于点Ｆ点，连结ＯD ，∴DF=EF ；AF=AD+DF=8+４=12,在Rt•△OD Ｆ中,O Ｆ=222254OD DF -=-=3，在Rt △ＡＯF 中，tanA=31124OF AF == １2.(1）证明:连接ＭN 则∠BMN=90°＝∠ACB ，•∴△ACB ∽△ＮMB ，∴BC AB BM BN=，∴A Ｂ·BM ＝B Ｃ·BN(2)解：连接ＯM,则∠O ＭＣ=90°，∵Ｎ为OC•中点，•∴M Ｎ=ON ＝OM ，∴∠ＭＯN=６０°,∵OM ＝OB ，∴∠B=12∠M ＯN ＝３0°.∵∠A ＣB=90°,∴AB=２AC=2×3＝6 １3.(１)证明：如图，连结OA,因为ｓｉｎB=12,所以∠Ｂ=3０°，故∠O ＝６0°,又OA=OC ，•所以△ACO 是等边三角形,故∠OAC=60°,因为∠ＣA Ｄ=30°,所以∠OAD=9０°,所以AD•是⊙O 的切线（2)解:因为O Ｄ⊥AB,所以OC 垂直平分AB ，则AC=BC=5,所以OA=５,•在△ＯＡD 中,∠OA Ｄ=９0°,由正切定义，有ｔan ∠A ＯD=AD OA ,所以A Ｄ=５3 １4.15．解：(１）①如图，连接BD,∵AＢ是直径,∴∠ＡCＢ=∠AＤB=９０°,在RＴ△ABC中, AＣ==＝８，②∵CD平分∠ＡＣＢ,∴AＤ=BD,∴Rt△ABD是直角等腰三角形,∴AＤ=AB＝×1０=5cm;（2)直线ＰC与⊙O相切，理由:连接OC,∵ＯC=ＯA,∴∠CＡO=∠OCＡ,∵PＣ＝ＰE,∴∠P ＣE=∠PEC，∵∠PEC=∠ＣＡＥ＋∠ACE，∵CD平分∠ＡCＢ,∴∠ＡCE=∠ECB，∴∠PCB ＝∠ACO,∵∠ACB=90°，∴∠OCＰ=∠OCＢ+∠PCB=∠AＣO+∠ＯCB=∠ＡCB=９０°,OＣ⊥PC,∴直线ＰC与⊙O相切．１6.（1)证明：如图，连接O C.∵ＡＤ是过点Ａ的切线，AＢ是⊙O的直径，∴AD⊥ＡB，∴∠DＡB=90°.∵OD∥BC，∴∠1=∠２，∠3=∠４.∵OC=OB,∴∠２=∠４．∴∠1=∠３．在△COD和△ＡＯD中,,∴△ＣOD≌△ＡOＤ(SAS)∴∠OCＤ=∠ＤAB=9０°,即OC⊥DＥ于点C.∵OC是⊙O的半径,∴DE是⊙O的切线;（2）解:由=，可设CＥ=2k(k＞0),则DE=3k，∴ＡD=DC＝ｋ.∴在Rt△DAE中,AＥ=＝2k．∴tanE=＝.∵在Rt△OCE中,ｔaｎE==.∴=，∴OC=OA=.∴在Rt△AOD中，OD=＝k，∴cos∠ＡＢC=cｏs∠AＯＤ= =.。

圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。

圆的切线性质与判定的经典题型总结切线的判定辅助线：圆心与切点的半径证明思路：证平行得垂直分两角，转移为求两角和为 90 °已知一条切线证另一条切线用全等换位思考间接证垂直不忘点到直线距离等于半径证平行得垂直例 11 、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，以 A B 为直径作⊙ O 交 BC 于点 D ，过点 D 作 FE⊥A C 于点 E ，交 A B 的延长线于点 F 。

求证： EF 与⊙ O 相切；分两角，转移为求两角和为90°例 1 2 、已知：如图， AB 是⊙ O 的直径， AC 是⊙ O 的弦， M 为 AB 上一点，过点 M 作 DM⊥AB ，交弦 AC 于点 E ，交⊙ O 于点，且 DC ＝ DE ．求证： DC 是⊙ O 的切线；例 13 、如图，△ABC 中，E 是AC 上一点， ∠CAB=2∠EBC ，AE=AB ，以 AB 为直径的⊙ O 交AC 于点 D ，交 EB 于点 F 。

求证： BC 与⊙ O 相切；证明：已知一条切线证另一条切线用全等例1 4 、如图， C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点，过 O 作 OE ⊥AC 于点 E ，过点 A 作⊙ O 的切线交 OE 的延长线于点 F ，连结 CF 并延长交 BA 的延长线于点 P 。

求证： PC 是⊙ O 的切线 .换位思考，间接证垂直例1 5 、 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 ° ，点 D 是 AC 的中点，且 ∠ A+ ∠CDB=90 ° ，过点 A ， D 作 ⊙ O ，使圆心 O 在 AB 上， ⊙ O 与 AB 交于点 E ．（ 1 ）求证：直线 BD 与 ⊙ O 相切；（ 2 ）若 AD ： AE= ， BC=6 ，求切线 BD 的长．A不忘点到直线距离等于半径例16、已知：如图，△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，⊙ O 与腰 AB 相切于点 D 。

D.不能确定的切线的性质与判定副标题 题号 * 总分 得分一、选择题（本大题共2小题，共6.0分）1.己知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3,此时直线和圆的位置关系为（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】C 【解析】解：半径r = 5,圆心到直线的距离d=3,v 5 > 3, BPr > d,二直线和圆相交，故选C.由直线和圆的位置关系：r>d,可知：直线和圆相交.本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系： 设。

的半径为厂，圆心。

到直线/的距离为丈 ①直线/和0。

相交②直线 /和。

相切od=r ；③直线/和。

0相离^d>r.2. 在中，zC= 90°, BC=3cm, AC=4cm,以点 C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则。

C 与直线AB 的位置关系是（） A,相交 B.相切 C.相离 【答案】A 【解析】解：过C 作CD LAB 于。

，如图所示： A ABC 中，L.C — 90, AC= 4, BC = 3, ・・・AB =、泌=5,7 A ABC^Jm=^-ACxBC=预8x CD, 2 2・•. 3 X 4 = 5 CD ,CD= 2.4<2.5, 即』< r, .••以2.5为半径的。

C 与直线AB 的关系是相交； 故选A.过C 作CD LAB 于C,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出 d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论.本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此 题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CO 的长，注意：直线和圆的位置关系有: 相离，相切，相交.二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）3, 如图，已知。

是MBC 的内切圆，切点为。

、E 、 尸，如果AE=2, CD= 1, BF= 3,则内切圆的半 径『= .BD【答案】1【解析】解：・.・。

专题2.2 圆的切线的判定与性质--重难点题型【知识点1 切线的判定】（1）切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线（2）切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．【题型1 切线判定（连半径，证垂直）】【例1】（2021•新兴县一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．【变式1-1】（2020秋•思明区校级期末）如图，AB是圆O的一条弦，点E是劣弧AB的中点，直线CD经过点E 且与直线AB平行，证明：直线CD是圆O的切线．【变式1-2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过点C，过点A作AD ⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的切线．【变式1-3】（2021•芜湖模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB 交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线．【题型2 切线判定（作垂直，证半径）】【例2】（2020秋•原州区期末）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O 的切线．【变式2-1】（2020秋•北京期末）如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（）A．以OA为半径的圆B．以OB为半径的圆C．以OC为半径的圆D．以OD为半径的圆【变式2-2】（2020秋•曲靖期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC边于点D、F．过点D作DE⊥CF于点E．求证：DE是⊙O的切线；【变式2-3】（2021•南平模拟）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，过A，C，D三点的圆O交AB于点E，已知，BD＝AD，∠BAD＝2∠DAC＝36°．（1）求证：AD是圆O的直径；（2）过点E作EF⊥BC于点F，求证：EF与圆O相切．【题型3 切线判定（定义法）】【例3】（2020秋•北塘区期中）给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-1】（2020秋•锡山区校级月考）下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线【变式3-2】给出下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③垂直于圆的半径的直线是圆的切线；④过圆的半径的外端的直线是圆的切线；⑤经过圆心和切点的直线垂直于这条切线．其中正确的是．（填序号）【变式3-3】（2020•龙川县二模）如图，P A和⊙O相切于A点，PB和⊙O有公共点B，且P A＝PB，求证：PB是⊙O的切线．【知识点2 切线的性质】（1）切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（2）切线性质的推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【题型4 切线的性质（求长度问题）】【例4】（2020秋•衢江区期末）如图，直线AB与⊙O相切于点C，OA交⊙O于点D，连结CD．已知OD＝CD ＝5，求AC的长．【变式4-1】（2021•温州三模）在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝2，D 是AB 边上一点，以AD 为直径的⊙O 恰好与BC 相切于点C ，则BD 的长为（ ）A ．1B ．2√33C ．2D ．2√55【变式4-2】（2021•湖州一模）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 的切线DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：AB ＝AC ；（2）若AB ＝10，BD ＝8，求DE 的长．【变式4-3】（2021•陕西模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连接BC ，F 为BC 的中点，连接FO 并延长交⊙O 于点D ，过点D 的切线与CA 的延长线交于点E ．（1）求证：四边形CEDF 是矩形；（2）若AC ＝OA ＝2，求AE 的长．【题型5 切线的性质（求半径问题）】【例5】（2020秋•市中区期末）如图，BE 是⊙O 的直径，点A 和点D 是⊙O 上的两点，过点A 作⊙O 的切线交BE 延长线于点C ．（1）若∠ADE ＝28°，求∠C 的度数；（2）若AC ＝2√3，CE ＝2，求⊙O 半径的长．【变式5-1】（2020秋•沂水县期末）如图，已知⊙O 上三点A ，B ，C ，∠ABC ＝15°，切线P A 交OC 延长线于点P ，AP =√3，则⊙O 的半径为（ ）A ．√33B ．√32C ．√3D ．3【变式5-2】（2021•河南模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，作OF ⊥AD 于点E ，交CD 于点F ．（1）在不增加辅助线的情况下，请直接写出图中一对相等的角，并证明；（2）若BD ＝8，EF ＝2，求⊙O 的半径．【变式5-3】（2021•贵池区模拟）已知：在⊙O 中，AB 为直径，P 为射线AB 上一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为点C ，D 为弧AC 上一点，连接BD 、BC 、DC ．（1）如图1，求证：∠D ＝∠PCB ；（2）如图2，若四边形CDBP 为平行四边形，BC ＝5，求⊙O 的半径．【题型6 切线的性质（求角度问题）】【例6】（2021•红桥区三模）在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于点D，E，且DE＝BE．（Ⅰ）如图①，若∠CAB＝38°，求∠C的大小；（Ⅱ）如图②，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点G，若∠CAB＝52°，求∠BEF的大小．【变式6-1】（2021•三明模拟）从⊙O外一点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别为B，C，D是⊙O上不同于B，C的点，∠BAC＝60°，∠BDC的度数是（）A．120°B．60°C．90°或120°D．60°或120°【变式6-2】（2021•北辰区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，∠ABC＝58°．（Ⅰ）如图①，若∠AEC＝85°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DF，与AB的延长线相交于点F，求∠F的大小．【变式6-3】（2021•天津）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点D作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．。

圆的切线专题训练姓名：例题讲析：如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2=AB•BE．例题2、（2012•温州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E 是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．变式训练：1、如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA.（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）过点A作A D⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积.2、(2012•兰州)如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．(1)判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若ta n C＝，DE＝2，求AD的长．（10分）3、如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）求PD的长．（10分）课后作业4 .如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB 的延长线于点E , AD⊥EC 于点D 且交⊙O于点F ，连接BC , CF , AC 。

（1）求证：BC=C F；（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；（3）求证：AF + 2DF = AB。

（10分）5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ACB的平分线交AB于点O，以O为圆心的⊙O与AC相切于点D．（1）求证: ⊙O与BC相切；（2）当AC=3，BC=6时，求⊙O的半径．第二课时例题讲析：如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当OB=BE=1时，求AD的长．变式练习：1、如图，⊙O的直径AB=13，弦BC=l2．过点A作直线MN，使∠BAM=1∠AOB。

初中数学圆中切线的判定与性质综合应用专项练习题3（附答案详解）1．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．⑴求证：BE是⊙O的切线；⑵若BC=3，AC=5，求圆的直径AD的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径长为5，BF=2，求EF的长．⊥，垂足为点,E DA 3．如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，AE CD∠．平分BDE（1）AE是O的切线吗？请说明理由；AE=求BC的长．（2）若4,4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．（1）求证：BC是⊙F的切线；（2）若点A、D的坐标分别为A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半径；（3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．5．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm/s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠=，求点P 运动的时间；（2）如果点P 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线OA 与O 的位置关系，并说明理由．6．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2=CD•CA ，弦ED=弦BD ，BE 交AC 于F.(1)求证：BC 为⊙O 切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC=15，CD=9，求tan ∠ADE 的值.7．如图，AB 是⊙O 的直径， BC 交⊙O 于点D ，E 是BD 的中点，连接AE 交BC 于点F ，∠ACB =2∠EAB ．（1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．（1）求证：D E是⊙O的切线；（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC为半径．在△ABC同侧作半圆O．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若AB＝5，AC＝4，求⊙O的半径．10．如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；（2）若直径AB的长为4．①当PE＝时，四边形BOPQ为正方形；②当PE＝时，四边形AEOP为菱形．11．如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求cos∠ADF的值．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A、C两点，BC＝1，AD为⊙O的弦，连结BD，∠BAD＝∠ABD＝30°．（1）求证：直线BD是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠A＝43，点O是线段AC上一动点（不与点A，点C重合），以OC为半径的⊙O与线段BC的另一个交点为D，作DE⊥AB于E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O与AB相切于点F时，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，连接OB交DE于点M，点G在线段EF上，连接GO．若∠GOM ＝45°，求DM和FG的长．14．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：CE=CF；（3）若BD=1，CD=2，求弦AC的长．15．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图甲，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出两种情况，不需要证明）：①或②；（2）如图乙，AB是非直径的弦，若∠CAF=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图乙，若EF是⊙O的切线，CA平分∠BAF，求证：OC⊥AB．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)求证：2=⋅；AD AB AF(3)若BE=8，sinB=513，求AD的长，17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．18．已知：如图，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当AB＝10，BC＝8时，求BD的长．19．如图，在O中，AB为直径，点C、D都在O上，且BD平分ABC∠，过点D作DE BC⊥，交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是O的切线；（2）若3BC =，1CE =，求O 的直径．20．如图，在三角形ABC 中，10AB =，13AC BC ==，以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF AC ⊥于点F ，交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）求cos ADF ∠的值．21．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，过点B 作直线EF ∥AC ，又知∠ACB ＝∠BDC ＝60°，AC ＝3cm ．（1）请探究EF 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求⊙O 的周长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点D ，∠C ＝90°．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若∠CDB ＝60°，AB ＝18，求AD 的长．23．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，作BAC ∠的角平分线交BC 于点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆．（1）依据题意补充完整图形；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：O与直线AC相切；（3）在（2）的条件下，若O与直线AC相切的切点为D，O与BC相交于点F，连接BD，DF；其中CD23=，2CF=，求AB的长．24．如图，在△ABC中，AB = BC，以BC为直径作⊙ O交AC于点E，过点E作AB 的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G．（1）求证： EG是⊙O的切线；（2）若BG=OB，AC=6，求BF的长．25．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，直线DC与AB的延长线相交于点P，AD与PC延长线垂直，垂足为点D，CE平分∠ACB，交AB于点F，交€€⊙O于点E．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）求证：PC=PF；（3）若AC=8，tan∠ABC=43，求线段BE的长．26．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF 的长．27．如图①，已知点C 是以AB 为直径的圆O 上一点，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 是BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是圆O 的切线；（2）如图②，CF AB ⊥，垂足为F ，若O 的半径为3，4BE =，求CF 的长； （3）如图③，连接AE 交CF 于点H ，求证：点H 是CF 的中点．28．定义：当点P 在射线OA 上时，把OP OA 的的值叫做点P 在射线OA 上的射影值；当点P 不在射线OA 上时，把射线OA 上与点P 最近点的射影值，叫做点P 在射线OA 上的射影值．例如：如图1，△OAB 三个顶点均在格点上，BP 是OA 边上的高，则点P 和点B 在射线OA 上的射影值均为OP OA ＝13．（1）在△OAB 中，①点B 在射线OA 上的射影值小于1时，则△OAB 是锐角三角形；②点B 在射线OA 上的射影值等于1时，则△OAB 是直角三角形；③点B 在射线OA 上的射影值大于1时，则△OAB 是钝角三角形． 其中真命题有 ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③（2）已知：点C 是射线OA 上一点，CA ＝OA ＝1，以〇为圆心，OA 为半径画圆，点B 是⊙O 上任意点．①如图2，若点B 在射线OA 上的射影值为12．求证：直线BC 是⊙O 的切线； ②如图3，已知D 为线段BC 的中点，设点D 在射线OA 上的射影值为x ，点D 在射线OB 上的射影值为y ，直接写出y 与x 之间的函数关系式为 ．29．如图，ABC ∆内接于O ，BC 是O 的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ， AD ，使得FAC AOD ∠=∠，D BAF ∠=∠（1）求证：AD 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，2CE =，求EF 的长.参考答案1．（1）详见解析；（2）6【解析】【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；（2）利用三角形的中位线先求出OM，再用勾股定理求出半径r，最后得到直径的长．【详解】解：⑴证明：连接OB,CD,OB、CD交于点M∵BC=BD，∴∠CAB=∠BAD.∵OA=OB,∴∠BAD=∠OBA.∴∠CAB=∠OBA.∴OB∥AC.又AD是直径,∴∠ABD=∠ACD =90°，又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.又OB是半径,∴BE是⊙O的切线．⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD设⊙O的半径为r，则在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=3.∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).∴圆的直径AD的长是6．【点睛】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，勾股定理等，解本题的关键是作出辅助线．2．（1）证明见解析；（2）EF10【解析】【分析】（1）连接OE，易得∠ADB=90°，证明∠BOE=∠A，联立∠C=∠ABD可求证．（2）连接BE，根据同弧所对的圆周角先证明△BEF∽△BOE，根据相似三角形的性质求出EF的长度．【详解】解：（1）连接OE，∵AB是o的直径，∴∠ADB=90°，∴∠A+∠ABD=90°，由图可知∠BOE=2∠BDE又∵∠A=2∠BDE∴∠A=∠BOE∵∠C=∠ABD∴∠BOE+∠C=90°∴OE⊥EC∴CE是⊙O的切线．（2）连接BE，有图可知∠BED=∠A=∠BOE，∴△BEF∽△BOE∴BE BF EF BO BE OE==∵OB=OE=5,BF=2∴BE=EF∴EF2=OE·BF=1010故答案为：（1）证明见解析；（2）EF10=【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定及性质，解题的关键在于合理作出辅助线转化求解．3．（1）AE是O的切线，理由见解析；（2）8．【解析】【分析】（1）连接AO，由AO=DO，得∠OAD=∠ODA，由DA平分∠BDE，得∠ADE=∠ODA，则∠ADE=∠OAD，证明AO∥ED，得OA⊥AE；（2）延长AO交BC于点F，由∠C=∠FAE=∠AEC=90°，可证四边形AECF为矩形，则CF=AE=4，由垂径定理得BF=FC=4．【详解】()1AE是O的切线．连接AO，OA OD=，,OAD ODA∴∠=∠ADE ADB∠=∠，OAD ADE∴∠=∠//AO CE∴AE CD⊥AE AO∴⊥AE∴是O的切线．()2延长AO交BC于点F．∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90°．∴∠C=∠FAE=∠AEC=90°．∴四边形AECF为矩形，CF=AE=4．∵AF⊥BC，且AF过圆心，∴BC=2CF=8．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的运用．关键是连接AO并延长，证明直角和矩形．4．（1）证明见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD．【解析】【分析】（1）连接EF，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD，设⊙F的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四边形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE，∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，∴∠FEA=∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；（2）解：连接FD，设⊙F的半径为r，则r2=（r﹣1）2+22，解得，r=52，即⊙F的半径为52；（3）解：AG=AD+2CD．证明：作FR⊥AD于R，则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，∴四边形RCEF是矩形，∴EF=RC=RD+CD，∵FR⊥AD，∴AR=RD，∴EF=RD+CD=12AD+CD，∴AG=2FE=AD+2CD．考点：圆的综合题；探究型．5．（1）3s或9s（2）直线BP与O相切，理由见解析【解析】【分析】（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的14或34，所以分两种情况进行分析；（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．【详解】解：（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的14或34，设点P运动的时间为ts；当点P运动的路程为⊙O周长的14时，2π•t=14•2π•12，解得t=3；当点P运动的路程为⊙O周长的34时，2π•t=34•2π•12，解得t=9；∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s．（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切理由如下：当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA；∵半径AO=12cm，∴⊙O的周长为24πcm，∴AP的长为⊙O周长的16，∴∠POA=60°；∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，∴OP=OA=AP，∠OAP=60°；∵AB=OA，∴AP=AB，∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．6．（1）证明见解析；（2）△BCF为等腰三角形．证明见解析；（3）7 24【解析】【分析】（1）由BC2=CD•CA，根据三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根据三角形相似的性质得到∠CBD=∠BAC，而AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得∠ADB=90°，易证得∠ABD+∠CBD=90°，根据切线的判定即可得到答案；（2）由DE BD，根据圆周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，则∠CBD=∠DAE，根据同弧所对的圆周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根据等腰三角形三线的判定即可得到△BCF为等腰三角形；（3）由BC2=CD•CA，BC=15，CD=9，可计算出CA=25，根据等腰三角形的性质有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理计算出BD=12，得到AF=7，再根据等积可求出AE=71228 155⨯=，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通过相似比可计算出EF，则可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函数的性质可计算出tan∠ADE的值．【详解】（1）证明：∵BC2=CD•CA，∴BC：CA=CD：BC，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴∠CBD=∠BAC，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：∵DE BD=，∴∠DAE=∠BAC，又∵△CBD∽△CAB，∴∠BAC=∠CBD，∴∠CBD=∠DAE，∵∠DAE=∠DBF，∴∠DBF=∠CBD，∵∠BDF=90°，∴∠DBC=∠BDF=90°∵BD=BD∴△BDF≌△BDC∴BF=BC∴△BCF 为等腰三角形；（3）解：∵BC 2=CD•CA ，BC=15，CD=9，∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，∴=12，∴AF=25-18=7，∴S △ABF =12•AE•BF=12•AF•BD ， ∴AE=71228155⨯=， 易证Rt △AEF ∽Rt △BDF ，∴EF ：DF=AF ：BF ，即EF ：9=7：15，∴EF=215， ∴BE=15+215=965， ∵∠ADE=∠ABE ，∴tan ∠ADE=tan ∠ABE 287596245=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及三角形相似的判定与性质． 7．（1）AC 是⊙O 的切线，见解析；（2）83BF =【解析】【分析】（1）首先证明∠ACB =∠BAD ，然后根据圆周角定理的推论得出∠ACB +∠CAD=90°，则有∠BAD+∠CAD=90°，所以BA ⊥AC ，则可证明AC 是⊙O 的切线；（2）过点F 做FH ⊥AB 于点H ．首先通过角平分线的性质得出FH=FD ，且FH ∥AC ，然后利用锐角三角函数求出CD,BD 的长度，然后设 DF=x ，则FH=x ，143BF x =-，最后利用3cos 4FH BFH BF ∠==建立关于x 的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）AC是⊙O的切线理由:如图，连接AD．∵ E是BD中点，∴BE DE=．∴∠DAE=∠EAB．∵∠ACB =2∠EAB，∴∠ACB =∠BAD．∵ AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ACB +∠CAD=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．即BA⊥AC．∴ AC是⊙O的切线．（2）解：如图，过点F做FH⊥AB于点H．∵ AD⊥BD，FH⊥AB，∠DAE=∠EAB，∴ FH=FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵3cos4C=，8AC=，∴ CD=6．同理，在Rt△BAC中，可求得32 3BC=．∴143BD=．设DF=x，则FH=x，143BF x=-．∵ FH∥AC，∴∠BFH=∠ACB．∴3cos4FHBFHBF∠==．即31443xx=-．解得x=2，经检验，x=2是原分式方程的解，∴83BF=．【点睛】本题主要考查切线的判定及性质，圆周角定理的推论，解直角三角形，掌握切线的判定及性质，圆周角定理的推论，锐角三角函数，分式方程的解法是解题的关键．8．（1）证明见解析；（2）6．【解析】试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC 的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E 为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O 的切线；（2）设⊙O 的半径为r ，∵∠ODF=90°，∴OD 2+DF 2=OF 2，即r 2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O 的直径为6．考点：切线的判定与性质．9．（1）见解析；（2）⊙O 的半径长是32． 【解析】【分析】（1）过O 作OH ⊥AB 于H ，得到∠BHO=∠BCO=90°，根据角平分线的定义得到∠CBO=∠HBO ，根据全等三角形的性质得到OH=OC ，于是得到AB 与⊙O 相切； （2）求得BC 的长，然后证明BC 是切线，利用切线长定理求得BH 的长，证明△OAH ∽△BAC ，利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）证明：如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，∠ACB ＝90°∴∠BHO ＝∠BCO ＝90°，∵BO 平分∠ABC ，∴∠CBO ＝∠HBO ，∵BO ＝BO ，∴△CBO ≌△HBO （AAS ），∴OH ＝OC ，∴AB 与⊙O 相切；（2）解：∵在直角△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，∴BC 2222543,AB AC -=-=∵∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴BC 是半圆的切线，又∵AB 与半圆相切，∴BH ＝BC ＝3，AH ＝AB ﹣BH ＝5﹣3＝2．∵AB 是切线，∴OH ⊥AB ，∴∠OHA ＝∠BCA ，又∵∠A ＝∠A ，∴△OAH ∽△BAC ， ∴,OH AH BC AC =即2,34OH = 解得OH ＝32．即⊙O 的半径长是32． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．10．（1）见解析；（2）①2；②【解析】【分析】（1）根据切线的性质得∠OBQ ＝90°，根据平行线的性质得∠APO ＝∠POQ ，∠OAP ＝∠BOQ ，加上∠OPA ＝∠OAP ，则∠POQ ＝∠BOQ ，于是根据“SAS”可判断△BOQ ≌△POQ ，得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，根据切线的判定即可得证；（2）①由（1）得到∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，由于OB ＝OP ，所以当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，于是PE ＝PO ＝2；②根据菱形的判定，当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，则OC ＝12OA ＝1，然后利用勾股定理计算出PC ，从而得到PE 的长．【详解】（1）证明：∵OQ ∥AP ，∴∠BOQ ＝∠OAP ，∠POQ ＝∠APO ，又∵OP ＝OA ，∴∠APO ＝∠OAP ，∴∠POQ ＝∠BOQ ，在△BOQ 与△POQ 中，=OB OP BOQ POQ OQ OQ =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△BOQ ≌△POQ （SAS ），∴∠OPQ ＝∠OBQ ＝90°，∵点P 在⊙O 上，∴PQ 是⊙O 的切线；（2）解：①∵∠OBQ ＝∠OPQ ＝90°，∴当∠BOP ＝90°，四边形OPQB 为矩形，而OB ＝OP ，则四边形OPQB 为正方形，此时点C 、点E 与点O 重合，PE ＝PO ＝12AB ＝2； ②∵PE ⊥AB ，∴当OC ＝AC ，PC ＝EC ，四边形AEOP 为菱形，∵OC ＝12OA ＝1，∴PC =，∴PE ＝2PC ＝．故答案为：2；．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质和菱形、正方形的判定方法；综合应用所学知识是解答本题的关键．11．（1）证明见解析；（2）1213【解析】【分析】（1）连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD ＝BD ，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；（2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD ＝12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC ，AB ＝10，∴AD＝BD ＝5，∵O 为BC 中点，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD 过O ，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，∴∠ADF＝∠ODC，∴OD＝OC ，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADF＝∠ODC，∵BD＝5，BC ＝13，∴CD＝12，∴cos ADF ∠＝cos BCD ∠＝1213CD BC =．【点睛】本题考查了切线的判定，求一个角的三角函数值，（1）要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可；（2）求一个角的三角函数值，要把这个角放入直角三角形中或作垂直，也可以根据等角的三角函数值相等进行转化． 12．（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；(2)根据直角三角形的性质得到OD＝12OB，于是得到结论．【详解】(1)证明：连接OD，∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)解：∵∠ODB＝90°，∠DBC＝30°，∴OD＝12 OB，∵OC＝OD，∴BC＝OC＝1，∴⊙O的半径OD的长为1．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，掌握等腰三角形的性质以及圆切线的判定是解题的关键．13．（1）见解析；（2）r＝409；（3）DM＝8027，FG=89【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形判断出∠ABC＝∠ACB，进而得到OD∥AB即可得到求证；（2）连接OF，根据切线得到△AOF是直角三角形，根据tan∠A＝43，设半径OF=OC=r,则可表示出AF=34r，AO=10-r，勾股定理求出半径即可得到结果；（3）现根据题意证出ODEF是正方形，求出BE,再根据△BEM∽△ODM，即可得到MD；在EF延长线上截取FT＝DM，证明出OT=OM，再证明△OGT≌△OGM，则GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM，设出GF＝a，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）证明：连接OD∵OC，OD均为⊙O的半径，∴OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO又∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠ABC＝∠CDO，∴OD∥AB∵DE⊥AB，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．（2）解：连接OF，设⊙O的半径为r，则OF＝r，OC＝r∵⊙O与AB相切于点F，∴AB⊥OF，∴∠OF A＝90°，在Rt△AOF中，∠OF A＝90°，OF＝r，tan∠A＝4 3∴AF＝34r，∴AO＝5 4 r又∵AO＝AC－OC＝10－r，∴54r＝10－r∴ r＝409．（3）由（2）知r＝409，∴AF＝34r＝103∵∠ODE＝∠DEF＝∠OFE＝90°，∴四边形ODEF是矩形∵OF＝OD，∴矩形ODEF是正方形，∴DE＝EF＝OF＝40 9∴BE＝AB－AF－EF＝10－103-409＝209∵∠BME＝∠OMD，∠BEM＝∠ODM＝90°∴△BEM∽△ODM，∴EM BE DM OD即409DMDM＝209409，解得DM＝8027在EF延长线上截取FT＝DM∵四边形ODEF是正方形，∴∠OFT＝∠ODM＝90°，OF＝OD ∴△OFT≌△ODM，∴∠2＝∠1，OT＝OM∵∠DOF＝90°，∠GOM＝45°，∴∠GOF＋∠1＝45°，∴∠GOF＋∠2＝45°即∠GOT＝45°，∴∠GOT＝∠GOM又OG＝OG，∴△OGT≌△OGM，∴GM＝GT＝GF＋FT＝GF＋DM设GF＝a，则EG＝409－a，GM＝8027＋a，且EM＝DE－DM＝409－8027＝4027在Rt△EMG中，EM2＋EG2＝GM2，即(4027)2＋(409－a)2＝(8027＋a)2，解得a＝89∴FG的长为89．【点睛】此题考查圆与特殊四边形的知识：切线的判定及性质，特殊四边形的证明，勾股定理等，难度较大，需要做辅助线．14．（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】【分析】（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；（2）证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；（3）证明△DCB∽△DAC，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=2a，则由勾股定理可得AC的长．【详解】解：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∵CE=CB，∴∠CAE=∠CAB，∵∠BCD=∠CAE，∴∠CAB=∠BCD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB+∠BCD=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC（ASA），∴CB=CF，又∵CB=CE，∴CE=CF；（3）∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，∴△DCB ∽△DAC ， ∴CD AD AC BD CD BC==，∴1=， ∴DA =2，∴AB =AD ﹣BD =2﹣1=1，设BC =a ，AC a ，由勾股定理可得：222)1a +=，解得：a =3，∴3AC =. 【点睛】本题主要考查了切线的判刑、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，学会添加辅助线和灵活运用所学知识是解题的关键.15．（1）①OA ⊥EF ；②∠FAC=∠B ；（2）见解析；（3）见解析．【解析】【分析】(1) 添加条件是:①OA ⊥EF 或∠FAC=∠B 根据切线的判定和圆周角定理推出即可．(2) 作直径AM,连接CM ，推出∠M=∠B=∠EAC ，求出∠FAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．(3)由同圆的半径相等得到OA=OB ，所以点O 在AB 的垂直平分线上，根据∠FAC=∠B ，∠ BAC=∠FAC ，等量代换得到∠BAC=∠B ，所以点C 在AB 的垂直平分线上，得到OC 垂直平分AB ．【详解】（1）①OA ⊥EF ②∠FAC=∠B ，理由是：①∵OA ⊥EF ，OA 是半径，∴EF 是⊙O 切线，②∵AB 是⊙0直径，∴∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠FAC=∠B，∴∠BAC+∠FAC=90°，∴OA⊥EF，∵OA是半径，∴EF是⊙O切线，故答案为：OA⊥EF或∠FAC=∠B，（2）作直径AM，连接CM，即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠FAC=∠B，∴∠FAC=∠M，∵AM是⊙O的直径，∴∠ACM=90°，∴∠CAM+∠M=90°，∴∠FAC+∠CAM=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．（3）∵OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上，∵∠FAC=∠B，∠BAC=∠FAC，∴∠BAC=∠B，∴点C在AB的垂直平分线上，∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意:经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．16．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）AD13【解析】【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；（2）连接DF，证明△ABD∽△ADF，，由相似三角形的性质即可证得结论；（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF=sinB，进而求出AF的长，再根据（2）的结论即可求得AD的长．【详解】（1）如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C=90°，∴∠ODC=90°，∴OD⊥BC，∴BC为圆O的切线；（2）连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，∴∠FDC=∠DAF，∴∠CDA=∠CFD，∴∠AFD=∠ADB，∵∠BAD=∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴AB AD AD AF=，即AD2=AB•AF；(3)连接EF，在Rt△BOD中，sinB=513 ODOB=，设圆的半径为r，可得5813 rr=+，解得：r=5，∴AE=10，AB=18，∵AE是直径，∴∠AFE=∠C=90°，∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∴sin∠AEF=513 AFAE=，∴AF=AE•sin∠AEF=10×513=50 13，∵AD2=AB•AF∴5013181313AB AF⋅=⨯=．【点睛】本题是圆的综合题，考查的知识点有切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．17．（1）详见解析；（2）4【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠EBC＝∠OEB，然后得出OE∥BC，则有∠OEA＝∠ACB=90°，则结论可证．（2）连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，首先证明四边形OHCE是矩形，则有 ，然后利用等腰三角形的性质求出BH的长度，再利用勾股定理即可求出OH的OH CE长度，则答案可求．【详解】（1）证明：连接OE．∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB．∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠EBC，∴∠EBC＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，∵OH ⊥BF ，90OHC ∴=︒ ．90OHC ACB OEC =∠=∠=︒∴四边形OECH 为矩形，∴OH ＝CE ．∵,OB OF OH BF =⊥，BF ＝6，∴BH ＝3．在Rt △BHO 中，OB ＝5，∴OH 2253-4，∴CE ＝4．【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．18．（1）见解析；（2）203【解析】【分析】（1）从切线的判定为目标，来求BD ⊥AB ，连接AC 通过相似来证得；（2）通过已知条件和第一步求得的三角形相似求得BD 的长度．【详解】（1）证明：连接AC ，∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB ＝90°又∵OD ⊥BC∴AC∥OE∴∠CAB＝∠EOB由AC对的圆周角相等∴∠AEC＝∠ABC又∵∠AEC＝∠ODB∴∠ODB＝∠OBC∴△DBF∽△OBD∴∠OBD＝90°即BD⊥AB又∵AB是直径∴BD是⊙O的切线．（2）∵OD⊥弦BC于点F，且点O圆心，∴BF＝FC∴BF＝4由题意OB是半径即为5∴在直角三角形OBF中OF为3由以上（1）得到△DBF∽△OBD∴BD OB BF OF=即得BD＝203．【点睛】本题考查了切线的判定及其应用，通过三角形相似求得，本题思路很好，是一道不错的题．19．（1）见解析；（232【解析】【分析】（1）连接OD ，证//OD BC ，则OD DE ⊥，即可证明DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，证明Rt Rt BDF BDE ∆∆≌，Rt Rt ADF CDE ∆∆≌，从而求出AB 长，即为O 直径. 【详解】解：（1）连OD ，∵OB OD =，∴ODB OBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴OBD CBD ∠=∠，∴ODB CBD ∠=∠，∴//OD BC ，∵DE BC ⊥，∴90E ∠=︒，∴90ODE ∠=︒，即OD DE ⊥，∴DE 是O 的切线；（2）连AD 、CD ，作DF AB ⊥，∵在O 中，ABD CBD ∠=∠，∴AD CD =，又∵OD DE ⊥，DF AB ⊥，∴DE DF =，在Rt △BDE 和Rt △BDF 中BD=BD DE=DF ⎧⎨⎩∴Rt Rt BDF BDE ∆∆≌（HL ），在Rt △ADF 和Rt △CDE 中AD=DC DF=DE ⎧⎨⎩∴Rt Rt ADF CDE ∆∆≌（HL ），∴1BF BE ==，1AF CE ==，∴32AB =+，即O 的直径为32+．【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆的性质定理是解决本题的关键.20．（1）证明见解析；（2）12cos 13ADF ∠=． 【解析】【分析】(1)连接OD 和CD ，根据圆周角定理求出∠BDC=90°，根据等腰三角形的性质求出AD=BD ，根据三角形的中位线求出OD ∥AC ，求出OD ⊥EF ，根据切线的判定得出即可；(2)根据余角的性质得到∠ADF=∠ODC ，等量代换得到∠ADF=∠OCD ，根据勾股定理得到CD=12，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接OD ，CD ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°（直径所对的圆周角是90°），即CD ⊥AB ，∵AC=BC ，AB=10，∴AD=BD=5，∵O 为BC 中点，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴∠FDO=180°-90°=90°（两直线平行，同旁内角互补），∴OD ⊥EF ，又∵OD 过圆心O 点，∴直线DF 是⊙O 的切线；（2）∵∠ADC=∠BDC=90°，∠ODF=90°，∴∠ADF=∠ODC ，又∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADF=∠OCD （等量替换），∵BD=5，BC=13，∴（勾股定理），12cos cos 13ADF BCD ∠=∠=； 【点睛】 本题主要考查了切线的判断、等腰三角形的性质、解直角三角形、圆周角定理、勾股定理的知识点，能综合运用知识点进行求解是解题的关键．21．（1）EF 与⊙O 相切．理由见解析；（2）⊙O 的周长为2πcm ．【解析】【分析】（1）延长BO 交AC 于H ，如图，先证明△ABC 为等边三角形，利用点O 为△ABC 的外心得到BH ⊥AC ，由于AC ∥EF ，所以BH ⊥EF ，于是根据切线的判定定理即可得到EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，根据等边三角形的性质得∠OAH ＝30°，AH ＝CH ＝12AC ＝2，再在Rt △AOH 中，利用三角函数和计算出OA ＝1，然后根据圆的周长公式计算．【详解】（1）EF 与⊙O 相切．理由如下：延长BO 交AC 于H ，如图，∵∠BAC ＝∠BDC ＝60°，而∠ACB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵点O 为△ABC 的外心，∴BH ⊥AC ，∵AC ∥EF ，∴BH ⊥EF ，∴EF 为⊙O 的切线；（2）连结OA ，如图，∵△ABC 为等边三角形，∴OA 平分∠ABC ，∴∠OAH ＝30°，∵OH ⊥AC ，∴AH ＝CH ＝12AC 在Rt △AOH 中，∵cos ∠OAH ＝AH OA，∴OA 1， ∴⊙O 的周长＝2π×1＝2π（cm ）．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等边三角形的判定与性质．22．（1）见解析；（2）3π．【解析】【分析】（1）连接OD，求出OD//BC，求出OD⊥DC，根据切线的判定得出即可；（2）求出∠CBD=30°，求出∠AOD=∠ABC=60°，求出半径OA，根据弧长公式求出即可．【详解】（1）连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD//BC，∴∠C+∠ODC＝180°，∵∠C＝90°．∴∠ODC＝90°，即OD⊥DC，∵OD过O，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠CBD＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵OD//BC，∴∠AOD＝∠ABC＝60°，∵直径AB＝18，∴半径OA＝9，∴弧AD的长是609180π⨯＝3π．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）AB=【解析】【分析】（1）根据尺规作图的规则作图即可．（2）根据角平分线证明边和角，再根据切线长定理求证即可．（3）先在（2）的前提下，根据三角形相似，求出圆的半径，再根据△ODC∽△ABC求出AB即可．【详解】（1）作图如下：（2）证明：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ．∵∠ABC=90°，∴OB ⊥AB ，∵AO 平分∠BAC 且OB ⊥AB ，OD ⊥AC ，∴OB=OD ，∴⊙O 与直线AC 相切．（2）由（1）可知，∠ODC=90°，∵BF 为直径∴∠BDF=90°，∴∠ODC=∠BDF ，∴∠BDO=∠CDF ，∵OB=OD ，∴∠BDO=∠DBO ，∴CDF=∠DBO ，且∠DCF=∠BCD ，∴△DCF ∽△BCD ，∴2CD CF BC =⋅，∵CD23=，CF=2，∴BC=6，∴OB=OF=2，∴OC=4，OD=2，∵△ODC∽△ABC，∴OD CDAB BC=，OD=2，CD23=∴23AB=．【点睛】此题考查尺规作图的方法，切线长定理及三角形相似，知识面较广，难度较难．24．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）由AB=BC，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得AE=CE，根据中位线定理可得OE∥AB，且AB⊥EG可得OE⊥EG，即可证EG是⊙O的切线（2）易证得△OBE是等边三角形，根据三角函数求BE，CE的长，再根据三角形的中位线的性质即可求得BF的长．【详解】（1）如图：连接OE，BE，∵AB=BC，∴∠C=∠A，∵BC是直径，∴∠CEB=90°，且AB=BC，∴CE=AE ，且CO=OB ，∴OE ∥AB ，∵GE ⊥AB ，∴EG ⊥OE ，且OE 是半径，∴EG 是⊙O 的切线；(2) ∵BG = OB ，OE ⊥EG ，∴BE= 12OG=OB=OE ， ∴△OBE 为等边三角形，∴∠CBE = 60°， ∵AC = 6，∴CЕ = 3，BЕ =3tan 60 ，∴∵ОB = BG ，OE//AB ，∴BF= 12 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解直角三角形等，关键是灵活运用切线的判定解决问题．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接OC ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠OCA ，得到OC ∥AD ，根据平行线的性质得到OC ⊥PD ，根据切线的判定定理证明结论；（2）根据圆周角定理、三角形的外角的性质证明∠PFC=∠PCF ，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）连接AE ，根据正切的定义求出BC ，根据勾股定理求出AB ，根据等腰直角三角形的性质计算即可．【详解】。

圆的切线判定和性质(教案)章节一：圆的切线判定教学目标：1. 理解圆的切线的定义2. 学习圆的切线的判定方法教学内容：1. 圆的切线的定义2. 圆的切线的判定方法教学步骤：1. 引入圆的切线的定义，引导学生理解圆的切线与圆的关系。

2. 讲解圆的切线的判定方法，引导学生通过实例进行理解和掌握。

教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的定义。

2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的判定方法。

教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的定义的理解。

2. 通过解答题检查学生对圆的切线的判定方法的掌握。

章节二：圆的切线性质教学目标：1. 理解圆的切线的性质2. 学习圆的切线的性质的证明和应用教学内容：1. 圆的切线的性质2. 圆的切线的性质的证明和应用教学步骤：1. 引入圆的切线的性质，引导学生理解圆的切线的性质。

2. 讲解圆的切线的性质的证明和应用，引导学生通过实例进行理解和掌握。

教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的性质。

2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的性质的证明和应用。

教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的性质的理解。

2. 通过解答题检查学生对圆的切线的性质的证明和应用的掌握。

章节三：圆的切线方程教学目标：1. 理解圆的切线的方程2. 学习圆的切线的方程的求法教学内容：1. 圆的切线的方程2. 圆的切线的方程的求法教学步骤：1. 引入圆的切线的方程，引导学生理解圆的切线的方程的概念。

2. 讲解圆的切线的方程的求法，引导学生通过实例进行理解和掌握。

教学活动：1. 引导学生通过图形观察和理解圆的切线的方程的概念。

2. 组织学生进行小组讨论，探讨圆的切线的方程的求法。

教学评价：1. 通过测试题检查学生对圆的切线的方程的理解。

2. 通过解答题检查学生对圆的切线的方程的求法的掌握。

章节四：圆的切线与圆的位置关系教学目标：1. 理解圆的切线与圆的位置关系2. 学习圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学内容：1. 圆的切线与圆的位置关系2. 圆的切线与圆的位置关系的判定方法教学步骤：1. 引入圆的切线与圆的位置关系，引导学生理解圆的切线与圆的位置关系的概念。

圆切线的判定与性质综合(3大类题型)重难点题型归纳【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】【题型3圆切线的判定与性质综合】满分必练【题型1证圆的切线-有公共点：连半径，证垂直】1(2023春•保德县校级期中)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是⊙O切线．【答案】见解答．【解答】证明：连接OD，∵∠BAC=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，∴∠BAC=∠BOD，∴OD∥AC，又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠ODE=∠AED=90°，∴半径OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．2(2022秋•大连期末)如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE=60°，∠C=30°．求证：CD是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】解：连OD，如图，∵∠ADE=60°，∠C=30°，∴∠A=∠ADE-∠C=60°-30°=30°，又∵OD=OA，∴∠ODA=∠A=30°，∴∠EDO=90°，所以CD是⊙O的切线．3(2022秋•龙川县校级期末)如图，OA是⊙O的半径，∠B=20°，∠AOB=70°．求证：AB是⊙O的切线．【答案】见解答．【解答】证明：∵∠AOB=70°，∠B=20°，∴∠OAB=180°-∠B-∠AOB=90°，∴OA⊥AB，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．4(2022秋•利通区期末)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E，求证：AC是⊙D的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，在⊙D中，AD=BD，∴∠BAD=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-60°-30°=90°，∴AD⊥AC，又∵DA是半径，∴AC是⊙D的切线．5(2022秋•天河区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，AC的中点D在⊙O上，DE⊥BC于E．求证：DE是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD，∵AO=OB，D为AC的中点，∴OD∥BC，∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．6(2022秋•阿瓦提县校级期末)已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB= AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【答案】证明过程见解答．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．7(2022•昭平县一模)如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC=2，∠ABC=30°．(1)求AB的长；(2)若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线．【答案】见试题解答内容【解答】(1)解：连接OA、OB，如图，∵∠ABC=30°，OP⊥AB，∴∠AOC =60°，∴∠OAD =30°，∴OD =12OA =12×2=1，∴AD =3OD =3，又∵OP ⊥AB ，∴AD =BD ，∴AB =23；(2)证明：由(1)∠BOC =60°，而OC =OB ，∴△OCB 为等边三角形，∴BC =OB =OC ，∠OBC =∠OCB =60°，∴C 是OP 的中点，∴CP =CO =CB ，∴∠CBP =∠P ，而∠OCB =∠CBP +∠P ，∴∠CBP =30°∴∠OBP =∠OBC +∠CBP =90°，∴OB ⊥BP ，∴PB 是⊙O 的切线．8(2022•漳州模拟)已知：△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见试题解答内容【解答】证明：连接OD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，又AB =AC ，∴BD =DC ，∵BO =OA ，∴OD ∥AC ，∴∠ODE =180°-∠AED =90°，∴DE 是⊙O 的切线．9(2022秋•芜湖期末)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，AC =CD =DB，DE ⊥AC ．求证：DE 是⊙O 的切线．【答案】见解析．【解答】证明：连接OD ，∵AC =CD =DB，∴∠BOD =13×180o =60o ，∵CD =DB ，∴∠EAD =∠DAB =12∠BOD =30°，∵OA =OD ，∴∠ADO =∠DAB =30°，∵DE ⊥AC ，∴∠E =90°，∴∠EAD +∠EDA =90°，∴∠EDA =60°，∴∠EDO =∠EDA +∠ADO =90°，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．【题型2证圆的切线-没有公共点：作垂直，证半径】10(2022秋•长乐区期中)如图，在△OAB 中，OA =OB =5，AB =8，⊙O 的半径为3．求证：AB 是⊙O 的切线．【答案】证明见解析．【解答】证明：如图，过O 作OC ⊥AB 于C ，∵OA =OB ，AB =8，∴AC =12AB =4，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3，∵⊙O 的半径为3，∴OC 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．11(2022•八步区一模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，E 为AB 上一点，DE =DC ，以D 为圆心，DB 的长为半径作⊙D ，AB =5，BE =3．(1)求证：AC 是⊙D 的切线；(2)求线段AC 的长．【解答】(1)证明：过点D 作DF ⊥AC 于F ；∵AB 为⊙D 的切线，∴∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵AD 平分∠BAC ，DF ⊥AC ，∴BD =DF ，∴AC 与⊙D 相切；(2)解：在△BDE 和△DCF 中；BD =DF DE =DC ，∴Rt △BDE ≌Rt △DCF (HL )，∴EB =FC ．∵AB =AF ，∴AB +EB =AF +FC ，即AB +EB =AC ，∴AC =5+3=8．12(秋•莆田期末)如图，半圆O 的直径是AB ，AD 、BC 是两条切线，切点分别为A 、B ，CO 平分∠BCD ．(1)求证：CD 是半圆O 的切线．(2)若AD =20，CD =50，求BC 和AB 的长．【解答】(1)证明：过点O 作OE ⊥CD ，垂足为点E ，∵BC是半圆O的切线，B为切点，∴OB⊥BC，∵CO平分∠BCD，∴OE=OB，∵OB是半圆O的半径，∴CD是半圆O的切线；(2)解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，∴∠DFB=90°，∵AD是半圆O的切线，切点为A，∴∠DAO=90°，∵OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴四边形ADFB是矩形，∴AD=BF=20，DF=AB，∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，∴DE=AD=20，EC=BC，∵CD=50，∴EC=CD-DE=50-20=30，∴BC=30，∴CF=BC-BF=10，在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=DC2-CF2=502-102=206，∴AB=DF=206，∴BC的长为30，AB的长为206．【题型3　圆切线的判定与形式综合】13(2023•银川校级四模)如图△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，以点D为圆心，BD为半径作⊙D交AB于点E．(1)求证：⊙D与AC相切；(2)若AC=5，BC=3，试求AE的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过D 作DF ⊥AC 于F ，∵∠B =90°，∴AB ⊥BC ，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴BD =DF ，∴⊙D 与AC 相切；(2)解：设圆的半径为x ，∵∠B =90°，BC =3，AC =5，∴AB =AC 2-BC 2=4，∵AC ，BC ，是圆的切线，∴BC =CF =3，∴AF =AB -CF =2，∵AB =4，∴AD =AB -BD =4-x ，在Rt △AFD 中，(4-x )2=x 2+22，解得：x =32，∴AE =4-3=1．14(2022秋•五莲县期中)如图，O 为正方形ABCD 对角线上一点，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点E ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若正方形ABCD 的边长为10，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OE ，并过点O 作OF ⊥CD ．∵BC 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥BC ，OE =OA ，又∵AC 为正方形ABCD 的对角线，∴∠ACB =∠ACD ，∴OF =OE =OA ，即：CD 是⊙O 的切线．(2)解：∵正方形ABCD 的边长为10，∴AB =BC =10，∠B =90°，∠ACB =45°，∴AC =AB 2+BC 2=102，∵OE ⊥BC ，∴OE =EC ，设OA=r，则OE=EC=r，∴OC=OE2+EC2=2r，∵OA+OC=AC，∴r+2r=102，解得：r=20-102．∴⊙O的半径为：20-102．15(2023•甘南县一模)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥DC于点D，AC平分∠DAB．(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若AB=4，∠DAB=60°，求AD的长．【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：连接OC，如图1所示：∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠OCA=∠DAC，∴OC∥AD，∵AD⊥DC，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解：连接BC，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∴∠DAC=∠BAC=30°，AB=2，AC=3BC=23，∴BC=12∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，AC=3，AD=3CD=3．∴CD=1216(2023•夹江县模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若EA=1，ED=3，求⊙O的半径．【答案】(1)见解答；(2)4．【解答】解：(1)如图，连接OD，由OD=OA得：∠OAD=∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC=∠ODA，∠BOC=∠OAD，∴∠DOC=∠BOC，又∵OD=OB，OC=OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC=∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC=∠OBC=90°，又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；(2)设⊙O的半径为x，则：OD=x，OA=x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2=OE2，∴32+x2=(x+1)2，解得：x=4，∴⊙O的半径为4．17(2022秋•盘山县期末)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的直线与AB的延长线相交于点P，且AC=PC，∠P=30°．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若AB=6，求PC的长．【答案】(1)证明见解析；(2)33．【解答】(1)证明：如图所示，连接OC，∵AC=PC，∠P=30°，∴∠A=∠P=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∴∠PCO=180°-∠P-∠POC=90°，即OC⊥PC，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(2)解：∵AB=6且AB是⊙O的直径，∴OC=1OA=3，2在Rt△POC中，∠PCO=90°，∠P=30°，∴OP=2OC=6，∴PC=PO2-OC2=33．18(2023春•东营期末)如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．(1)求证：HB是⊙O的切线；(2)若HB=4，BC=2，求⊙O的直径．【答案】见试题解答内容【解答】证明：(1)如图，连接OH，∵PH平分∠APB，∴∠HPA=∠HPB，∵OP=OH，∴∠OHP=∠HPA，∴∠HPB=∠OHP，∴OH∥BP，∵BP⊥BH，∴OH⊥BH，∴HB 是⊙O 的切线；(2)如图，过点O 作OE ⊥PC ，垂足为E ，∵OE ⊥PC ，OH ⊥BH ，BP ⊥BH ，∴四边形EOHB 是矩形，∴OE =BH =4，OH =BE ，∴CE =OH -2，∵OE ⊥PC∴PE =EC =OH -2=OP -2，在Rt △POE 中，OP 2=PE 2+OE 2，∴OP 2=(OP -2)2+16∴OP =5，∴AP =2OP =10，∴⊙O 的直径是10．19(2023•汉川市模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ，直线BF 与AD 延长线交于点F ，且∠AFB =∠ABC ．(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线；(2)若CD =12，BE =3，求⊙O 的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)152．【解答】(1)证明：∵AC =AC ，∴∠ABC =∠ADC ，∵∠AFB =∠ABC ，∴∠ADC =∠AFB ，∴CD ∥BF ，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∵OB 为⊙O 的半径．∴直线BF 是⊙O 的切线；(2)解：设⊙O 的半径为R ，连接OD ，如图，∵AB ⊥CD ，CD =12，∴CE =DE =12CD =6，∵BE =3，∴OE =R -3，在Rt △OED 中，∵OE2+DE2=OD2，∴R2=(R-3)2+62，解得：R=15 2．即⊙O的半径为15 2．20(2022秋•斗门区期末)如图，AB为⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为圆上一点，且∠ACP=∠OBC．(1)求证：PC与⊙O相切；(2)若PA=4，PC=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)4．【解答】(1)证明：连接OC，则OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACP=∠OBC，∴∠ACP=∠OCB，∴∠OCP=∠OCA+∠ACP=∠OCA+∠OCB=∠ACB=90°，∵PC经过⊙O的半径OC的外端，且PC⊥OC，∴PC与⊙O相切．(2)解：∵PC=BC，∴∠P=∠B，∵∠ACP=∠B，∴∠ACP=∠P，∴CA=PA=4，∵∠OCP=90°，∴∠ACO+∠ACP=90°，∠AOC+∠P=90°，∴∠ACO=∠AOC，∴CA=OA=OC=4．21(2023•黑龙江模拟)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BD=3，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)658．【解答】(1)证明：(1)连接OC ；∵AE ⊥CD ，CF ⊥AB ，又CE =CF ，∴∠1=∠2．∵OA =OC ，∴∠2=∠3，∠1=∠3．∴OC ∥AE ．∴OC ⊥CD ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)解：∵OC ⊥ED ，AB =10，BD =3，∴OB =OC =5．CD =OD 2-OC 2=39，∵S △OCD =12OC ⋅CD =12OD ⋅CF ，即12×5×39=125+3 ⋅CF ，∴CF =5398，∴OF =OC 2-FC 2=658，∴AF =OA +OF =5+258=658，在Rt △AEC 和Rt △AFC 中，CE =CF ，AC =AC ，∴Rt △AEC ≌Rt △AFC (HL )，∴AE =AF =658．22(2023•宿豫区三模)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作⊙O 交BD 的延长线于点E ，CE =BC ．(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若CD =2，BD =2，求⊙O 的半径．【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)如图，连接OE，∵∠ACB=90°，∴∠1+∠5=90°．∵CE=BC，∴∠1=∠2．∵OE=OD，∴∠3=∠4．又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴∠2+∠3=90°，即∠OEC=90°，∴OE⊥CE．∵OE是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．(2)在Rt△BCD中，∠DCB=90°，CD=2，BD=25，BC=CE=4．设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，OC=r+2，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，∴OE2+CE2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，解得r=3，∴⊙O的半径为3．23(2023•东港区校级三模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点E，点D在AB上，且以AD为直径的⊙O经过点E．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)当AD=3BD，且BE=4时，求⊙O的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)3．【解答】(1)证明：连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC，∵∠C=90°，∴∠OEC =90°，∴OE ⊥BC ，∵OE 为半径，∴BC 是⊙O 切线；(2)解：∵AD =3BD ，设BD =2x ，则AD =6x ，∴AO =OD =OE =3x ，∴OB =5x ，在Rt △OBE 中，根据勾股定理得：OE 2+BE 2=OB 2，∴(3x )2+42=(5x )2，∴x =1，∴OE =3x =3，∴⊙O 半径为3．24(2023•泗县校级模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AB 为直径作⊙O ，在⊙O 上取一点D ，使CD =BC，过点C 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；(2)若AB =10，AD =6，求AC 的长．【答案】(1)见详解；(2)45．【解答】(1)证明：连接OC ，如图，∵CD =CB，∴∠EAC =∠CAB ，∵EF ⊥AD ，∴∠EAC +∠ACE =90°，∵OC =OA ，∴∠CAB =∠OCA ，∴∠EAC =∠OCA ，∴∠ACO +∠ACE =90°，即半径OC ⊥EF ，∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：连接BD ，交OC 于点G ，如图，∵AE ⊥EF ，OC ⊥EF ，∴AE ∥OC ，∵O 为AB 为中点，∴OG 为△ABD 中位线，∴OG=1AD=3，DG=BG，2∴DG=BG=CE，DB⊥OC，GC=OC-OG=2，∵AB=10，∴OB=5，∴BG=OB2-OG2，∴DG=BG=4，∵AE⊥EF，OC⊥EF，DB⊥OC，∴四边形DECG是矩形，∴DE=CG=2，EC=DG=4，∴AE=8，∴在△AEC中，AC=AE2+EC2=45．25(2023•荔湾区校级一模)如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若△ABC的边长为2，求EF的长度．【答案】(1)证明见解析；(2)12．【解答】(1)证明：如图所示，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如图所示，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴DC=12BC=1，FC=12AC=1．∵∠EDC=30°，∴EC=12DC=12．∴EF=FC-EC=12．。