离散周期信号的频域表示
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第三章第二节离散信号频域分析
若 Y (k ) X 1 (k ) X 2 (k )
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散信号 知识点总结
离散信号知识点总结一、离散信号的定义离散信号是指在离散时间点上的取样值的集合。
在数学上，它可以用一个序列来表示，即{..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...}。
其中，x[n]表示在时刻n处的取样值，n为整数。
离散信号与连续信号相对，连续信号是在连续的时间上取值的，而离散信号是在离散的时间上取值的。
二、离散信号的性质1. 有界性：离散信号通常是有界的，即存在一个有限的范围，超出这个范围时信号值为零。
2. 周期性：某些离散信号是周期的，即满足x[n+N]=x[n]的性质，其中N为周期。
3. 非周期性：另一些离散信号是非周期的，即没有周期性结构。
4. 平稳性：离散信号的平稳性是指信号的统计特性在时间平移后保持不变，即x[n]=x[n-k]。
若满足这个条件，则称该信号是平稳的。
5. 因果性：对于实际系统的输入信号来说，它通常是因果的，即在某一时刻的取值只取决于之前时刻的取值。
三、离散信号的表示离散信号可以通过多种方式来表示，包括序列表示法、块状表示法、方块表示法等。
其中，序列表示法是最常见的一种表示方法。
在序列表示法中，离散信号可以通过一列有序的数值来描述，例如{x[0], x[1], x[2], ...}。
这种表示方法简单直观，便于分析和处理。
四、离散信号的处理方法离散信号的处理方法包括离散信号的运算、变换和滤波等。
其中，离散信号的运算主要是指对离散信号进行加法、乘法、卷积等运算。
这些运算可以通过离散信号的表示法来实现。
另外，离散信号的变换主要是指离散信号的傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些变换可以用于信号的频域分析和压缩。
最后，离散信号的滤波是指通过滤波器来对信号进行频率选择和抑制。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
总之，离散信号是一种在离散时间点上取样的信号，在信号处理中具有重要的作用。
通过对离散信号的定义、性质、表示和处理方法的总结，可以更好地理解离散信号的特点和应用。
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
周期信号的离散频谱
周期信号的离散频谱
目
CONTENCT
录
• 引言 • 周期信号的离散频谱特性 • 离散频谱的生成方法 • 离散频谱的应用 • 离散频谱与连续频谱的比较 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
周期信号在现实世界中广泛存在，如交流电、机械振动等。为了 更好地理解和分析这些信号，需要研究其离散频谱。
离散频谱是周期信号的频率成分的集合，表示信号在不同频率上 的分布情况。
计算过程
傅立叶变换法需要将时间域信 号进行无穷积分，计算过程较 为复杂，需要较高的数学水平 。
应用范围
适用于周期信号和非周期信号 ，是信号处理领域中非常重要 的工具之一。
离散时间傅立叶变换法
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散时间傅立叶变换法是一种将离散时间序列转换为频域 信号的方法，通过将离散时间序列进行傅立叶变换，得到 离散频谱。
干扰抑制
在复杂电磁环境下，雷达系统可能受到各种干扰的影响，离散频谱分 析有助于识别和抑制这些干扰，提高雷达的抗干扰能力。
在图像处理中的应用
01
频域滤波
图像处理中，离散频谱分析用于频域滤波，通过改变图像信号在不同频
率段的权重实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
02
去噪与增强
离散频谱分析在图像去噪与增强方面具有广泛应用，通过滤除噪声成分
离散频谱的定义
01
离散频谱是指周期信号的频率成 分以离散的形式分布在频率轴上 。
02
与连续频谱相比，离散频谱的频 率分量是分离的，而不是连续分 布的。
02
周期信号的离散频谱特性
离散频谱的形状
正弦波形状
对于正弦波形状的离散频谱，其峰值出现在中心频 率处，随着频率的增加或减少，幅度逐渐减小。
目
CONTENCT
录
• 引言 • 周期信号的离散频谱特性 • 离散频谱的生成方法 • 离散频谱的应用 • 离散频谱与连续频谱的比较 • 总结与展望
01
引言
背景介绍
周期信号在现实世界中广泛存在，如交流电、机械振动等。为了 更好地理解和分析这些信号，需要研究其离散频谱。
离散频谱是周期信号的频率成分的集合，表示信号在不同频率上 的分布情况。
计算过程
傅立叶变换法需要将时间域信 号进行无穷积分，计算过程较 为复杂，需要较高的数学水平 。
应用范围
适用于周期信号和非周期信号 ，是信号处理领域中非常重要 的工具之一。
离散时间傅立叶变换法
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
离散时间傅立叶变换法是一种将离散时间序列转换为频域 信号的方法，通过将离散时间序列进行傅立叶变换，得到 离散频谱。
干扰抑制
在复杂电磁环境下，雷达系统可能受到各种干扰的影响，离散频谱分 析有助于识别和抑制这些干扰，提高雷达的抗干扰能力。
在图像处理中的应用
01
频域滤波
图像处理中，离散频谱分析用于频域滤波，通过改变图像信号在不同频
率段的权重实现图像的模糊、锐化、边缘检测等效果。
02
去噪与增强
离散频谱分析在图像去噪与增强方面具有广泛应用，通过滤除噪声成分
离散频谱的定义
01
离散频谱是指周期信号的频率成 分以离散的形式分布在频率轴上 。
02
与连续频谱相比，离散频谱的频 率分量是分离的，而不是连续分 布的。
02
周期信号的离散频谱特性
离散频谱的形状
正弦波形状
对于正弦波形状的离散频谱，其峰值出现在中心频 率处，随着频率的增加或减少，幅度逐渐减小。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
DSP实验报告--离散时间信号与系统的时、频域表示-离散傅立叶变换和z变换-数字滤波器的频域分析和实现-数字
南京邮电大学实验报告实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示离散傅立叶变换和z变换数字滤波器的频域分析和实现数字滤波器的设计课程名称数字信号处理A(双语) 班级学号B13011025姓名陈志豪开课时间2015/2016学年，第1学期实验名称：离散时间信号与系统的时、频域表示实验目的和任务：熟悉Matlab基本命令，理解和掌握离散时间信号与系统的时、频域表示及简单应用。
在Matlab环境中，按照要求产生序列，对序列进行基本运算；对简单离散时间系统进行仿真，计算线性时不变（LTI）系统的冲激响应和卷积输出；计算和观察序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）幅度谱和相位谱。
实验内容：基本序列产生和运算：Q1.1～1.3，Q1.23，Q1.30～1.33离散时间系统仿真：Q2.1～2.3LTI系统：Q2.19，Q2.21，Q2.28DTFT：Q3.1，Q3.2，Q3.4实验过程与结果分析：Q1.1运行程序P1.1，以产生单位样本序列u[n]并显示它。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.2 命令clf，axis，title，xlabel和ylabel命令的作用是什么？答：clf命令的作用：清除图形窗口上的图形；axis命令的作用：设置坐标轴的范围和显示方式；title命令的作用：给当前图片命名；xlabel命令的作用：添加x坐标标注；ylabel c命令的作用：添加y坐标标注；Q1.3修改程序P1.1，以产生带有延时11个样本的延迟单位样本序列ud[n]。
运行修改的程序并显示产生的序列。
clf;n = -10:20;u = [zeros(1,21) 1 zeros(1,9)];stem(n,u);xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');title('Unit Sample Sequence');axis([-10 20 0 1.2]);Q1.23修改上述程序，以产生长度为50、频率为0.08、振幅为2.5、相移为90度的一个正弦序列并显示它。
信号的分类及其表示方法
ˆ x(t ) {
x (t ), 0t T x (t kT ), 其他
也可通过“零延拓”将x(t)延拓为非周期无限 长信号：
(t ) {x (t ), x 0,
0t T
其他
对于有限长离散信号（向量） T x x0 , x1 , x2 ,..., xN 1 ，常将其延拓成无穷 x(t ) {xk } ： 周期序列
v v(t )
（1-1-1）
其中v是电压,t是时间变量．
设v(t)是周期函数(周期为2π),则在一定条 件下可表为傅立叶级数:
a0 v(t ) (an cos nt bn sin nt ) 2 n1
（1-1-2）
其中：
1 an 2 1 bn 2
v(t ) cos ntdt , n 0,1, 2,...
对于任意一点 t0 ，总可以找到一个连
续函数，其傅立叶级数在该点 发散的。
t0
处是
存在绝对可积的函数x(t),其傅立叶级数
处处发散。
当函数x(t)平方可积时，其傅立叶级数
处处收敛。
对于一些傅立叶级数收敛性不好的连续
函数，在某种平均意义下具有很好的收 敛性。
例如,若记SN (t )为连续周期函数x(t)的傅立叶 级数的前2N+1项部分和，则
1-3-2 单位脉冲和线性系统
所谓单位脉冲 (t ) ，通常被用来表 示瞬间存在的冲激信号。该冲击信号的 物理特征是在t=0处取值为无穷大，而在 其他时刻取值均为零；或者是具有一定 特性的函数序列的极限。 由于其自身所具有的特性， (t ) 函 数有着不同的数学解释。在课本中介绍 了几种常被科技工作者使用的关于 (t ) 的解释。
离散信号的频谱特点
离散信号的频谱特点离散信号的频谱特点离散信号是数字信号中的一种。
相比于连续信号，它具有时间是离散化的、幅度是可数的特点。
离散信号经过傅里叶变换后，可以得到频谱，从而了解信号的频域特性。
那么，离散信号的频谱有哪些特点呢？1. 频谱是周期性的对于一个周期为N的离散信号，它的频域表示是周期重复的。
这意味着，各个频率成分之间是等距离的，频率的间隔是1/T。
因此，在绘制离散信号的频谱时，很多人会将周期部分的频谱重复绘制多次，形成周期性的频域图。
2. 频谱是复数域的离散信号的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，而在离散傅里叶变换中，频谱通常是复数形式的。
这是因为，离散信号的频谱实际上包含了正负频率部分，因此需要用复数表示。
虽然我们很难直观地理解复数频谱的意义，但我们可以通过分离实部与虚部分别绘制频谱，来更好地理解信号的频域特性。
3. 频谱是对称的对于一个实数离散信号，它的频谱是对称的。
具体来说，正负频率对称，即它们的幅度相等，相位相反。
换句话说，频谱的中心是直流分量，左右两侧则是交流部分。
这种对称性是因为，正频率与负频率成分在傅里叶变换中具有相同的重要性。
4. 最高频率不超过采样率的一半对于一个采样率为Fs的离散信号，它的频谱最高频率为Fs/2。
这是因为，根据奈奎斯特采样定理，采样信号的频率不能超过采样率的一半，否则会发生混叠现象。
因此，在设计数字滤波器时，需要将滤波器的截止频率设置在Fs/2以下，以避免信号频谱的失真。
5. 频率分辨率取决于采样率与信号长度频率分辨率是指在频域中，相邻两个频率成分之间的距离。
对于一个采样率为Fs的N点离散信号，其频率分辨率为Fs/N。
因此，当信号长度N越大时，频率分辨率越高，可以对更细微的频率成分进行分析；反之亦然。
总结一下，离散信号的频谱具有周期性、复数性、对称性、频率范围和频率分辨率的特点。
了解这些特点可以帮助我们更好地理解离散信号在频域中的行为，从而更好地处理和分析离散信号。
周期信号的时域及其频域分析
周期信号的时域及其频域分析周期信号是指具有固定周期的信号，即在其中一时间区间内重复出现的信号。
对于周期信号的时域分析，主要包括以下几个方面：1.周期：周期信号的主要特征是具有固定的周期。
周期可以通过观察信号的周期性重复来确定，也可以通过计算信号的基波频率的倒数得到。
2.幅值：周期信号的幅值是指信号在各个周期中的最大值或最小值。
幅值可以表示信号的强度或振幅大小。
3.相位：周期信号的相位是指信号相对于一些参考点的位置。
相位可以用角度或时间来表示，通常用角度表示。
4. 周期谐波分解：周期信号可以用一组基本波形的线性组合来表示，这组基本波形称为谐波。
周期信号的谐波分解可以用Fourier级数展开来实现。
Fourier级数展开将周期信号分解为基频和各个谐波的叠加，其中基频是周期信号的最低频率分量，谐波是基频的整数倍。
对于周期信号的频域分析，主要包括以下几个方面：1.频谱：频谱是指信号的频率成分及其强度。
周期信号的频谱通常是离散的，只包含基波和谐波成分。
2.频率分量：频率分量是指信号中的各个频率成分。
周期信号中的频率分量由基频和谐波组成。
3.谱线：谱线是频谱图中的一条直线，代表一些频率成分的强度。
周期信号的谱线通常为离散的峰值。
4.谱分辨率：谱分辨率是指频谱分析能够区分不同频率分量的能力。
谱分辨率取决于采样频率和频率分辨率。
频域分析可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换能够将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱。
对于周期信号，可以使用傅里叶级数展开来进行频域分析，得到信号的频率成分及其强度。
综上所述，周期信号的时域分析主要关注周期、幅值和相位等特征，而频域分析则关注频率成分及其强度。
通过时域及频域分析，可以深入理解周期信号的性质和特点，从而更好地理解和处理周期信号。
周期信号傅里叶级数
07
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
分析公式 （正变换）
连续时间傅里叶级数对：
称为傅里叶系数或频谱系数
综合公式 （反变换）
3.三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有 利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为 令 由于C0是实的，所以b0=0，故 由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
傅里叶系数 连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
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四、周期信号的功率谱
周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆电阻上消耗的平均功率为：
单击此处添加小标题
由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：
单击此处添加小标题
01
02
四、周期信号的功率谱
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。
[解] 周期矩形脉冲的傅立叶系数为
将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式 功率谱
信号的平均功率为 包含在有效带宽(0~2p/t)内的各谐波平均功率为 周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。
求f (t)的功率。
第4讲 周期信号与离散频谱
式中
An an2 bn2
n
arc tg
an bn
An -----第n次谐波的幅值； n -----第n次谐波的初相角；
由此可见，周期信号是由一个或多个不同频率的谐波叠加而成。
以圆频率为横坐标，幅值 An或相角n 为纵坐标作图，得到幅频谱和相频谱图。 由于n是整数序列，各频率成分都是0 的整数倍，因而谱线是离散的。
负频率只是一种数学表达形式，没有实际物理意义。
例1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。
由欧拉公式得：
cos 0t
1 2
e e j0t
j0t
sin 0t
j1 2
e e j0t
j0t
所以余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称； 正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。如图1-9 所示。
0
单边幅频谱
An
1
0
单边幅频谱
a) x(t) cos0t
b) x(t) sin 0t
正、余弦函数的频谱图
周期信号的频谱特点：
1）离散性 2）谐波性
3）收敛性
周期信号的频谱是离散的。
每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量 频率的公约数。
各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。 工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势是随谐波次数 的增高而减少的。因此，在频谱分析中没必要取那些次数过 高的谐波分量。
第4讲 周期信号与离散频谱
傅里叶级数的三角函数展开式
在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数（信号）可以展开成傅里叶级数。
x(t) a0 (an cos not bn sin n0t) n1
第五章 离散时间信号与系统的频域分析
❖ CTFT ( the Continuous -Time Fourier Transforms ): 连续时间傅立叶变换
❖ DTFT ( the Discrete -Time Fourier Transforms ): 离散时间傅立叶变换
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
RX (e j ) tg1 a sin 1 a cos
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
A eg
j 2 (k r )n N
k
n N
nN k N
Agk
j 2 (k r )n
eN
k N n N
j2 (kr)n N
Q eN
nN
0
k r
kr
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
g
Ar
1 N
j 2 rn
x(n)e N
nN
x(n)
离散时间周期信号的频谱具有周期性。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
三 . DFS的收敛:
DFS是一个有限项的级数，确定
g
Ak
的关系式也
是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生
Gibbs现象。
DFS表明：周期序列可以而且只能分解成 N 个独立 的复指数谐波分量。
Gibbs现象。
第五章：离散时间信号与系统的频域分析
主讲教师：阎鸿森 教授 王 霞 副教授
5.3 非周期信号与离散时间傅立叶变换:
(Aperiodic Signals & Discrete-Time Fourier Transform)
周期信号的频谱分析
周期信号的频谱分析周期信号是指在一定时间内重复出现的信号，其频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
频谱分析是信号处理领域中的重要内容，它能够揭示周期信号的频率成分以及它们在信号中的相对强度。
周期信号可以用正弦函数来表示，即一个频率为f的正弦波。
频谱分析的目的就是要确定这个周期信号中包含的各个频率成分。
为了进行频谱分析，我们通常使用傅里叶变换。
傅里叶变换可以将一个周期信号转换为一系列频率成分的复数表示。
傅里叶变换将一个周期信号分解成一系列复振幅和相位分量。
复振幅表示了信号中每个频率分量的强度，而相位则表示了每个频率分量的相对位置。
通过傅里叶变换，我们可以得到一个频谱图，它显示了信号中各个频率成分的幅度和相位信息。
在频谱图中，横轴表示频率，纵轴表示振幅。
每个频率成分对应的幅度可以通过幅度谱来表示，而相位信息则可以通过相位谱来表示。
通过分析频谱图，我们可以得到周期信号中的主要频率成分、频率分量的强度以及它们在信号中的相对位置。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用。
例如，它可以用于音频信号的处理与分析。
在音频信号中，不同的频率成分对应着不同的音调和音色。
通过频谱分析，我们可以识别音频信号中的主要频率分量，从而实现对音频信号的合成、去噪等处理操作。
另外，频谱分析也可以用于振动信号和通信信号的分析。
在振动信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解结构的固有频率以及存在的振动模态。
而在通信信号分析中，频谱分析可以帮助我们了解信号的带宽和调制方式，从而实现信号的解调和解码。
总之，周期信号的频谱分析是对周期信号在频域上的描述和分析。
通过傅里叶变换，我们可以将周期信号分解成一系列频率成分，并通过频谱图来展示这些成分的幅度和相位信息。
频谱分析在信号处理领域中有着广泛的应用，对于理解和处理周期信号具有重要作用。
实验四 离散时间系统的频域分析
实验四 离散时间系统的频域分析1.实验目的（1）理解和加深傅里叶变换的概念及其性质。
（2）离散时间傅里叶变换(DTFT)的计算和基本性质。
（3）离散傅里叶变换(DFT)的计算和基本性质。
2.实验原理对离散时间信号进行频域分析，首先要对其进行傅里叶变换，通过得到的频谱函数进行分析。
离散时间傅里叶变换(DTFT ，Discrete-time Fourier Transform)是傅立叶变换的一种。
它将以离散时间nT （其中，T 为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）f (nT )变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱()iw F e ，其频谱是连续周期的。
设连续时间信号f (t )的采样信号为：()()()sp n f t t nT f nT d ¥=-=-å，并且其傅里叶变换为：()()(){}sp n iwt f t f nT t nT dt e d ¥¥-=---=åòF 。
这就是采样序列f(nT)的DTFT:：()()iwTinwT DTFT n F ef nT e ¥-=-=å,为了方便，通常将采样间隔T 归一化，则有：()()iwinw DTFT n F ef n e ¥-=-=å，该式即为信号f(n)的离散时间傅里叶变换。
其逆变换为：()1()2iw DTFT inw F e dw f n e ppp-=ò。
长度为N 的有限长信号x(n)，其N 点离散傅里叶变换为：1()[()]()knNN n X k DFT x n x n W -===å。
X(k)的离散傅里叶逆变换为：101()[()]()knN N k x n IDFT X k X k W N --===å。
DTFT 是对任意序列的傅里叶分析，它的频谱是一个连续函数；而DFT 是把有限长序列作为周期序列的一个周期，对有限长序列的傅里叶分析，DFT 的特点是无论在时域还是频域都是有限长序列。
离散信号归纳总结
广播等。
数字图像处理
在数字图像处理中，图像以离 散像素点的形式表示和处理。
计算机科学
在计算机科学中，数据以离散 的形式存储和处，如数据库 、计算机图形学等。
控制系统
在控制系统中，常常使用离散 信号来描述系统的状态和行为
。
02
离散信号的数学表示
离散信号的时域表示
离散时间
01
离散信号在时间上取值是离散的，即时间轴被划分为若干个时
图像增强
通过离散信号处理技术对图像进行去噪、锐化、色彩 增强等处理，改善图像质量。
图像识别
离散信号处理用于图像特征提取和分类，实现人脸识 别、物体识别等功能。
数字音频处理中的应用
音频压缩
离散信号处理技术用于音频数据的压缩编码，如MP3、AAC等标准，实现音频的高效存 储和传输。
音频特效
通过离散信号处理技术对音频进行混响、均衡、降噪等处理，改善音质和听觉效果。
感谢观看
信号压缩
通过离散信号处理技术 对信号进行压缩编码， 减小信号的带宽和存储 空间，提高传输效率和 存储效率。
多路复用
离散信号处理用于实现 多路信号的复用传输， 提高信道利用率和传输 容量。
数字图像处理中的应用
图像压缩
离散信号处理技术用于图像数据的压缩编码，如 JPEG、MPEG等标准，实现图像的高效存储和传输。
包括频率范围、频率分辨率、频率分辨率与采样频率的关系等。
离散信号的复数域分析
包括幅度、相位、功率等 特性分析。
包括加法、减法、乘法、 共轭等运算。
离散信号可以用复数表示， 包括实部和虚部。
复数域表示
复数域特性分析 复数域运算
05
离散信号处理的应用
数字图像处理
在数字图像处理中，图像以离 散像素点的形式表示和处理。
计算机科学
在计算机科学中，数据以离散 的形式存储和处，如数据库 、计算机图形学等。
控制系统
在控制系统中，常常使用离散 信号来描述系统的状态和行为
。
02
离散信号的数学表示
离散信号的时域表示
离散时间
01
离散信号在时间上取值是离散的，即时间轴被划分为若干个时
图像增强
通过离散信号处理技术对图像进行去噪、锐化、色彩 增强等处理，改善图像质量。
图像识别
离散信号处理用于图像特征提取和分类，实现人脸识 别、物体识别等功能。
数字音频处理中的应用
音频压缩
离散信号处理技术用于音频数据的压缩编码，如MP3、AAC等标准，实现音频的高效存 储和传输。
音频特效
通过离散信号处理技术对音频进行混响、均衡、降噪等处理，改善音质和听觉效果。
感谢观看
信号压缩
通过离散信号处理技术 对信号进行压缩编码， 减小信号的带宽和存储 空间，提高传输效率和 存储效率。
多路复用
离散信号处理用于实现 多路信号的复用传输， 提高信道利用率和传输 容量。
数字图像处理中的应用
图像压缩
离散信号处理技术用于图像数据的压缩编码，如 JPEG、MPEG等标准，实现图像的高效存储和传输。
包括频率范围、频率分辨率、频率分辨率与采样频率的关系等。
离散信号的复数域分析
包括幅度、相位、功率等 特性分析。
包括加法、减法、乘法、 共轭等运算。
离散信号可以用复数表示， 包括实部和虚部。
复数域表示
复数域特性分析 复数域运算
05
离散信号处理的应用
离散时间信号和系统的频域分析
离散时间信号和系统的频域分析离散时间信号与系统是研究数字信号与系统的频域分析，其中离散时间信号是对连续时间信号进行采样得到的，而离散时间系统是对连续时间系统进行离散化得到的。
频域分析是对信号与系统在频率域上的特性进行研究和分析。
对于离散时间信号，其离散化的过程是将连续时间信号在时间轴上进行均匀采样，得到指定的采样间隔，得到离散时间序列。
在频域上，其频谱是周期性的，并且频谱是以单位圆为单位周期的。
频域分析的目的是研究离散时间信号在频率域上的特性，包括频谱范围、频率分辨率、功率谱密度等。
离散时间信号的频域分析可以通过离散时间傅里叶变换（DTFT）来实现。
DTFT是信号在频域上的完全变换，将一个离散时间信号映射到一个连续的频率域函数。
DTFT是一个复数函数，表示信号在不同频率上的振幅和相位。
频谱的振幅可以表示信号在该频率上的能量大小，相位可以表示信号在该频率上的相对位置。
除了DTFT之外，还可以使用离散傅里叶变换（DFT）进行频域分析。
DFT是DTFT的一种计算方法，可以将离散时间信号转换为有限的频域信号。
DFT的计算是通过对离散时间信号进行有限长的时间窗口进行采样，并进行频域变换得到的。
DFT的结果是一个离散的频域信号，也称为频谱。
DFT通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来快速计算。
离散时间系统的频域分析主要是通过系统的频率响应函数来实现。
频率响应函数是系统在不同频率上对信号的响应情况的描述。
对于线性时不变系统，其频率响应函数是系统的传递函数的傅里叶变换。
频率响应函数拥有类似信号的频谱特性，可以描述系统对不同频率的信号的增益和相位。
频域分析在离散时间信号与系统中有着广泛的应用。
首先，频域分析可以帮助我们理解信号的频率构成和能量分布情况，有助于对信号进行合理的处理和分析。
其次，频域分析可以快速计算离散时间系统的响应，能够有效地评估系统的性能和稳定性。
此外，频域分析还可以进行滤波器设计、信号压缩、信号重构等应用。
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相位频谱
2.离散周期信号的频谱
周期单位脉冲序列 求如图所示周期为3的周期单位脉冲序列的频谱。
解：
X[m]
2
x[k]e
j2 3
mk
j2 m0
1e 3
1
k 0
x[k]
1
X[m]
1
0 12
k
0 12
m
2.离散周期信号的频谱
例：求周期为3的序列 x[k]={,0,1,1,}的频谱。
解：
X[m]
4 X2[m]
1
1
m
2π N
m
m 0,1,, N 1
时域信号不同，虚指数序列 前面的加权系数X[m] 不同。
012
k
012
m
1. 离散周期信号的频域表示
IDFS
x[k] 1 N1 X [m]e jmk
N m0
2π m
mN
m 0,1,, N 1
DFS
X[m] N1 x[k]ejmk
k 0
解：
X[m]
3
x[k]e
j2πmk 4
10 X[m]
k0
X[0] x[0] x[1] x[2] x[3] 10
X[1]
x[0]
x[1]e
j2π 4
11
x[2]e
j2π 4
12
x[3]e
j
2π 4
13
2
2j
2 2 22 2
…
…
0 123
m
X[2]
x[0]
x[1]e
j2π21 4
x[2]e
j2π22 4
解：
1
X[m] 3 x[k]ejmk
k 2
-2 -1 0 1 2 3 k
j2π2m 6
j2π3m 6
e e j2πm
1 e 6
sin
5π 6
m
sin
π 6
m
5 X[m]
1
24
01 3 5
m
-1
离散周期信号的频域分析
谢谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来 源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
1 j2πk
10
10e
10
j2π
10e 10
k
10 X[m] 10
1 10
10e
j
2π 10
k
j2π(101)k
10e 10
01
对比IDFS表达式， 可得周期序列~x[k]的DFS系数为
9
m
X[m]
10
0
m 1, 9 m=0,2 m 8
2.离散周期信号的频谱
周期矩形序列
求如图所示周期为6的周期矩形序列的频谱。 x[k]
X[m]称为离散周期信号 ~x[k]的频谱。
x[k]DFSX[m]
2.离散周期信号的频谱
X[m] 特点：
1 X[m] 是离散谱
2 X[m] 是周期为N 的周期序
X列[m
N]
N
1
x[k]e
j
2 N
(m
N
)k
N 1
x[k]eຫໍສະໝຸດ j2 mk NX[m]k 0
k 0
X[m] X[m] ej[m]
幅度频谱
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
离散周期信号的频域分析
※ 离散周期信号的频域表示 ※ 离散周期信号的频谱
1. 离散周期信号的频域表示
周期为N 的离散周期信号~x[k]可用虚指数序列表示为
x[k] 1 N1 X[m]e jmk
x1[k]
N m0
2 X[m]
1
1
012
k
x2[ k]
2
12
0 -1
m
2
x[k]e
j2π 3
mk
x[k]
1
k0
X[0] x[0] x[1] x[2] 2
X[1]
x[0]
x[1]e
j2π11 3
x[2]e
j2π12 3
1
0 12
k
X[m]
2
X[2]
x[0]
x[1]e
j2π21 3
x[2]e
j2π22 3
1
12
0
m
-1
2.离散周期信号的频谱
例：求周期为4的序列x[k]={,1,2,3, 4,} 的频谱。
x[3]e
j2π23 4
2
X[3]
x[0]
x[1]e
j2π31 4
x[2]e
j2π32 4
x[3]e
j2π33 4
2 2 j
[m]
3 4
3
01 2
m
3 4
2.离散周期信号的频谱
例：求周期序列x[k] 2cosπk 5 的频谱。
解： 周期序列 x[k] 2cosπk 5 的周期为10。
x[k]