江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)

江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试高三地理试题时间：100分钟分值：120 分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题（共18小题，每题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）读“阿拉斯加某冰川示意图”，回答下列题。

1. 图中冰川南北端的直线距离最接近A. 2kmB. 6kmC. 10kmD. 无法计算2. 图中P处冰川移动的方向大致为A. 西南方向B. 东北方向C. 西北方向D. 东南方向【答案】1. B 2. A【解析】本题考查经纬网的应用——计算距离和地图三要素——方向的判读。

【1题详解】纬度1°距离是111千米，1°=60′，图示南北跨约3.5分，南北两端的直线距离约(3.5/60)×111＝6.475 km，最接近6 km，故选B。

【2题详解】根据等高线，等高线向高处弯曲是河谷地形，图示冰川主要分布在谷地；图中P处冰川大致与等高线垂直，向海拔较低处移动，P处等高线向东北方向突出，根据所给经纬网确定是向西南方向滑动，故选A。

下图为我国某地区等高线及岩层分布状况示意图。

据此完成下列各题。

3. 图示地区A. 地质构造为背斜B. 地貌类型为向斜山C. 曾发生过火山喷发D. 页岩由变质作用形成4. 甲、乙、丙、丁四地中A. 甲地相对高度约 1100 米B. 乙地岩石比较松软C. 丙地可能有河流发育D. 丁地适合开采岩石【答案】3. B 4. A【解析】【3题详解】结合图例可知，图示地区在水平方向上中心岩石年龄较两侧新，为向斜构造；图中等高线海拔高，且中间较周围高，为山地。

故B正确、A错误。

图中岩石为沉积岩，火山喷发形成的岩石应为岩浆岩，故C错误；页岩属于沉积岩，受外力作用下，经固结成岩作用而成，故D错误。

【4题详解】A、图中甲处由3条等高线重叠，为陡崖；利用陡崖的相对高度的公式“（n-1）×d≤△H＜（n+1）×d”，（n表示重叠的等高线的条数，d表示等高距，H表示陡崖的相对高度，可计算甲处相对高度600≤△H＜1200，A正确；B、图示地区在水平方向中心岩石年龄较两侧新，为向斜构造；乙地位于向斜底部，岩层受挤压，比较坚硬，B错误；C、丙处等高线向海拔低处凸出。

高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1， 解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________． 【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0， 解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________． 【答案】【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________． 【答案】12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角， 即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围． 试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可 （2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时）， 由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值； （2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+； （3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。

1江苏省淮安市2020届高三（上）期中考试试卷数学（理科）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集2，3，4，，集合3，，，则______．2. 已知向量，，且，则实数m 的值是______．3. 函数的定义域为______．4. 已知单位向量的夹角为，则的值是______．5. 已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______．6. “”是“”的______条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一7. 设函数为常数，且，，的部分图象如图所示，则的值为______．8. 在中，如果sin A ：sin B ：：3：4，那么______．9. 已知函数，则不等式的解集为______．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．11. 如图，在梯形ABCD 中，，，，若，则______．12. 在中，，，则______．13. 已知正项等比数列的前n 项和为若，则取得最小值时，的值为______．14. 已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题）15. 已知a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且满足．求角A 的大小；若，，求的面积．16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O 为坐标原点．若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；若，向量，，求的最小值及对应的x值．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为设弧度，小球从A到F所需时间为T．试将T表示为的函数，并写出定义域；当满足什么条件时，时间T最短．18.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数t，使得．判断是否属于集合M，并说明理由；若属于集合M，求实数a的取值范围；若，求证：对任意实数b，都有．19.已知函数，当时，求曲线在处的切线方程；当时，求函数的最小值；已知，且任意有，求实数a的取值范围20.给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．21.已知矩阵，，求22.已知矩阵，向量，计算．23.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是PB的中点．求直线AC与PB所成角的余弦值；求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．324.直三棱柱中，，，，，．若，求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的大小为，求实数的值．答案和解析1.【答案】2，4，【解析】解：3，，，，则2，4，，故答案为：2，4，根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】解：；；．故答案为：1．根据即可得出，从而求出m的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】【解析】解：依题意，，解得，所以的定义域为，故答案为：．根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：单位向量的夹角为，则．故答案为：．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】31【解析】解：设等比数列的公比为q，，，，，联立解得，，数列的前5项的和为故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要【解析】解：由，利用指数函数的单调性可得，反之，由，可得．5“”是“”的充要条件．故答案为：充要．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】【解析】解：根据函数为常数，且，，的部分图象，可得，．再根据五点法作图可得，，故答案为：．先由周期求出，再由五点法作图求出的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．8.【答案】【解析】解：：sin B：：3：4，由正弦定理可得：a：b：：3：4，不妨设，，，则，．故答案为：．由正弦定理可得a：b：：3：4，不妨设，，，则由余弦定理可求cos C，结合范围，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】【解析】解：，由得，，，或，解得，的解集为．故答案为：．可由得出，从而得到或，解不等式组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题．由题意令求得，且的周期为4，再计算的值．【解答】解：由，令，得；又为偶函数，，；，的周期为4；又，，，．故答案为4．11.【答案】12【解析】解：因为，所以，因为，，，所以上式化简得：，即，所以．故答案为：12．因为，根据向量变换得到，代入求出即可．考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】【解析】解：由，利用正弦定理可得，由，可得，由可得，，由，两式平方相加可得，所以或，由，知应舍去，所以，代入式可得，由三角形内角和定理可得，可得，所以．故答案为：．由已知利用正弦定理可得，，进而可得，可求，从而求得B的值，进而可求A，C，的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：依题意，因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以．当取得最小值时，，即，所以，所以．故填：．因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，，即，所以，即可得到．本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】【解析】【分析】推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形结合法求出不等式的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】7解：，故当时，，当时，，在上单调递减，上单调递增，且又的函数图象开口向下，对称轴为，要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式的解集中恰有两个整数是1，2，，无解，不等式的解集中恰有两个整数是2，3，，解得．实数a的取值范围是，故答案为：，15.【答案】本题满分为12分解：，可得：，由余弦定理可得：，又，由及正弦定理可得：，，，由余弦定理可得：，解得：，，【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值．由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：设，由题易知，所以所以，所以当时，最小，为．由题意，得x，sin，，sin，则x cos，因为，所以，所以当，即时，取得最大值1，所以的最小值为，此时．【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值．由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，过O作于G，则，，，又，，，令可得，解得或舍．设，，则当时，，当时，，当，取得最小值．故时，时间T最短．【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式；利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：当时，方程分此方程无解，所以不存在实数t，使得，故不属于集合分由属于集合M，可得方程有实解有实解有实解，分若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求a的取值范围是分当时，方程，分令，则在R上的图象是连续的，当时，，，故在内至少有一个零点；当时，，，故在内至少有一个零点；故对任意的实数b，在R上都有零点，即方程总有解，所以对任意实数b，都有分【解析】利用，通过推出方程无解，说明不属于集合由属于集合M，推出有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可．当时，方程，令，则在R上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．919.【答案】解：当时，，由，得．所以在处的切线方程为即．当时，得，因为 0'/>，所以在单调递增，所以．当时，得，因为，所以在单调递减，所以．当时，由知：函数在单调递减，单调递增，所以．综上，当，；当时，；当时，．当，且任意有，即对任意有．设，则，．设，因为，，所以 0'/>，所以在单调递增，所以，即，1当即时，所以恒成立，所以在单调递增，此时，满足题意．2当即时，因为 0'/>，且在单调递增，所以存在唯一的，使得，因此当时；当时 0'/>；所以在单调递减，单调递增．所以，不满足题意．综上，．【解析】当时，，由，得由此利用导数的几何意义能求出在处的切线方程．当时，得，由 0'/>，得到当时，得，由，得到当时，，由此能求出函数的最小值．当，且任意有，即对任意有设，则，设，则 0'/>，由此利用导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】Ⅰ解：对于数列，，所以不是指数型数列．对于数列，对任意n，，因为，所以是指数型数列．Ⅱ证明：由题意，，是“指数型数列”，，，所以数列是等比数列，，，数列是“指数型数列”．Ⅲ证明：因为数列是指数数列，故对于任意的n，，有，，假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，则由，得，所以，当t为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，故不能成立；当t为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，故也不能成立．所以，对任意，不能成立，即数列的任意三项都不成构成等差数列．【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可；Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21.【答案】解：设，，，即，，．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：，由，解得或3．当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．设，解得．．【解析】令，解得或分别对应的一个特征向量为；设解得m，n，即可得出．本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：因为，，，以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则各点坐标为0，，2，，1，，0，，0，，1，因，，所以．11由题得：平面PMC的法向量为，所以解得：同理设平面AMC的法向量为，所以解得：故，即所求锐二面角的余弦值为．【解析】分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.【答案】解：分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则0，，0，，4，，0，，0，，4，，分当时，D为BC的中点，2，，，4，，2，，设平面的法向量为y，，则，取，得0，，又，直线与平面所成角的正弦值为分，，4，，，设平面的法向量为y，，则，取，得0，分又平面的一个法向量为0，，二面角的大小为，，解得或不合题意，舍去，实数的值为分【解析】分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出实数的值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

2020届高三11月联合调研测试 2019.11数学I 理科注意事项1．本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上． 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1．全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则C ()U A B ⋂=________． 2．已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 3．函数ln(1)y x =++的定义域为________． 4．已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．5．已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项和为________．6．“a b >”是“22a b>”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”）7．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则ϕ的值为________．8．在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________． 9．已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+，(1)4f =，则(3)(10)f f +=________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2CD =，4BAD π∠=，若2AB AC AB AD ⋅=⋅，则AD AC ⋅=________．12．在ABC中，BC =，tan 3tan A B =，则tan 2C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为________．14．已知函数()ln f x x x =，2()(12)2g x x a x a =-+++，若不等式()()f x g x ≤的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 分别是ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足22()b c a bc -=-． （1）求角A 的大小；（2）若3a =，sin 2sin C B =，求ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点(1,0)A 和点(1,0)B -，1OC =，且AOC=x ∠，其中O 为坐标原点．（1）若34x π=，设点D 为线段OA 上的动点，求||OC OD +的最小值； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，向量m BC =，(1cos ,sin 2cos )n x x x =--，求m n ⋅的最小值及对应的x 值． 17．（本小题满分14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5 V 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6 V 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短． 18．（本小题满分16分）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体；在定义域内存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2xf x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈． 19．（本小题满分16分）已知函数3()3||f x x x a =+-，a ∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）当[1,1]x ∈-时，求函数()f x 的最小值；（3）已知0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+…，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*,n m ∈N ，都有m n n m a a a -=，则称数列{}n a 为“指数型数列”．（1）已知数列{}n a 的通项公式为4nn a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；（2）已知数列{}n a 满足112a =，()*1123n n n n a a a a n +-=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*112a a a a +=∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．数学II （附加题）解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21．（本小题满分10分）已知矩阵0123A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2018B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -． 22．（本小题满分10分）已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 23．（本小题满分10分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB CD ∥，90DAB ︒∠=，PA ⊥底面ABCD ，且112PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点．（1）求AC 与PB 所成角的余弦值；（2）求平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值． 24．（本小题满分10分）直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB =，4AC =，12AA =，BD DC λ=．（1）若1λ=，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值； （2）若二面角111B AC D --的大小为60，求实数λ的值．理科参考答案1．{1,2,4,5} 2．1 3．(1,2)- 45．31 6．充要 7．3π8．9．{|1}x x ≤+ 10．4 11．12 12．2+13．3 14．ln 2104ln 216,23--⎡⎫⎪⎢⎣⎭15．解：（1）∵22()b c a bc -=-，可得：222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得：2221cos 222b c a br A bc bc +-==-, 又∵(0,)A π∈，∴3A π=；（2）由sin 2sin C B =及正弦定理可得2c b =，∵3a =，3A π=，∴由余弦定理可得2222222cos 3a b c bc A b c bc b =+-=+-=，∴解得：b =c =，∴11sin 2222ABCSbc A ==⨯=16．解：（I ）设(,0)(01)D t t ≤≤，又22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以,22OC OD t ⎛+=-+ ⎝⎭所以22211||122OC OD t t +=-++=-+ 21(01)22t t ⎛=-+≤≤ ⎝⎭所以当2t =时，||OC OD +最小值为2． （II ）由题意得(cos ,sin )C x x ，(cos 1,sin )m BC x x ==+则221cos sin 2sin cos 1cos2sin 2m n x x x x x x ⋅=-+-=--124x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52444x πππ≤+≤ 所以当242x ππ+=时，即8x π=时，sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭取得最大值1所以8x π=时，1224m n x π⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭取得最小值1-所以m n ⋅的最小值为1-8x π=17．试题解析：解：（1）过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，11sin EF θ=+，AB θ=． 所以11()5656sin 6AE EF T v v v v v θθθ=+=++，3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （2）11()56sin 6T vv vθθθ=++， 22221cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)()56sin 30sin 30sin T v v v v θθθθθθθθθ'-+-=-==-．记02cos 3θ=，03,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2cos 3θ=时，时间T 最短． 18．解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+， 故()32f x x =+不属于集合M ﹒ （2）由2()lg 2af x x =+，属于集合M ，可得 方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解()22(2)262a x x ⎡⎤⇔++=+⎣⎦有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤≤+，故所求a 的取值范围是[12-+．（3）当2()2xf x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔2222(2)24432440x x x b x bx b bx -++=+++⇔⨯+-=，令()3244xg x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点当0b <时，(0)10g =-<，11320b g b ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，故()g x 在1,0b ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈．19．解：（1）当1x >时，3()33f x x x =+-，(2)11f =．由2()33f x x '=+，得(2)15f '=．所以()y f x =在2x =处的切线方程为15(2)11y x =-+即15190x y --=． （2）①当1a ≤-时，得3()33f x x x a =+-，因为2()330f x x '=+>， 所以()f x 在[1,1]-单调递增，所以min ()(1)43f x f a =-=--． ②当1a ≥时，得3()33f x x x a =-+，因为2()330f x x '=-≤， 所以()f x 在[1,1]-单调递减，所以min ()(1)23f x f a ==-+．③当11a -<<时，3333,1,()33,1,x x a a x f x x x a x a ⎧+-<<=⎨-+-<≤⎩由①②知：函数()f x 在(1,)a -单调递减，(,1)a 单调递增，所以3min ()()f x f a a ==，综上，当1a ≤-，min ()43f x a =--；当11a -<<时，3min ()f x a =；当1a ≥时，min ()23f x a =-+．（3）当0a >，且任意1x ≥有2()(1)15ln f x a f a a x +-+≥， 即对任意1x ≥有323()315ln (1)30x a x a x a ++--+-≥． 设323()()315ln (1)3g x x a x a x a =++--+-，则(1)0g =，2215()3()3a g x x a x'=++-．设2215()()3()3a h x g x x a x'==++-，因为0a >，1x ≥，所以2215()6()0a h x x a x'=++>，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，所以()(1)h x h ≥，即22()(1)3(1)315(1)(21)g x g a a a a ''≥=++-=--+， ①当(1)0g '≥即01a <≤时，所以()0g x '≥恒成立，所以()g x 在[1,)+∞单调递增，此时()(1)0g x g ≥=，满足题意． ②当(1)0g '<即1a >时，因为2()121533(1)(41)0g a a a a a '=-+=-->，且()g x '在[1,)+∞单调递增，所以存在唯一的01x >，使得()00g x '=，因此当01x x <<时()0g x '<；当0x x >时()0g x '>；所以()g x 在()01,x 单调递减，()0,x +∞单调递增． 所以()0(1)0g x g <=，不满足题意． 综上，01a <≤．20．解：（1）数列{}n a ，444n mn m n m n m b b b -+==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列” （2）数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数坚数列”11111311232131n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列， 11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331m n n m n n n m a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列” （III ）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：11112nn n mn m n n n a a a a a a a a a a --+⎛⎫=⇒=⇒== ⎪+⎝⎭假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<则2t s u a a a =+，得：11122222t s ut s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得：2(1)(2)(2)(1)t su s u s u s a a a a ----++=+++（*）若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；若a 为奇数时，右边为偶数，(2)u sa -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．数学II （附加题）21．解：∴1312210A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，∴154220A B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦22．已知矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量53α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算5A α． 解：因为212()5614f λλλλλ--==-+-，由()0f λ=，得2λ=或3λ=．当2λ=时，对应的一个特征向量为121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 当3λ=时，对应的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 设521311m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得2,1.m n =⎧⎨=⎩所以55521371221311307A α⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 23．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)P ，(0,2,0)B ，(1,1,0)C ，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）因(1,1,0)AC =，(0,2,1)PB =-，∴||2AC =，||5PB =，2AC PB ⋅=，∴10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅． （3）设平面AMC 的一个法向量为()111,,n x y z =， 则1n AM ⊥，∴()11111111,,0,1,022n AM x y z y z ⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪⎝⎭，又1n AC ⊥，∴()111111,,(1,1,0)0n AC x y z x y ⋅=⋅=+=， 取11x =，得11y =-，12z =，故1(1,1,2)n =-． 同理可得面BMC 的一个法向量为2(1,1,2)n =． ∵1212122cos ,3||||6n n n n n n ⋅<>===，∴平面AMC 与平面BMC 所成二面角（锐角）的余弦值为23． 24．解：分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,2)A ，1(2,0,2)B ，1(0,4,2)C（1）当1λ=时，D 为BC 的中点，所以(1,2,0)D ，1(1,2,2)DB =-，11(0,4,0)AC =，1(1,2,2)AD =-，设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =则4020y x z =⎧⎨-=⎩，所以取1(2,0,1)n =，又111111cos ,||||3DB n DB n DB n ⋅<>=== 所以直线1DB 与11AC D （2）∵BD DC λ=，∴24,,011D λλλ⎛⎫⎪++⎝⎭，∴11(0,4,0)AC =，124,,211A D λλλ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 设平面11AC D 的法向量为1(,,)n x y z =，则402201y x z λ=⎧⎪⎨-=⎪+⎩， 所以取1(1,0,1)n λ=+．又平面111A B C 的一个法向量为2(0,0,1)n =，由题意得121|cos ,|2n n <>=，12=，解得1λ=-或1λ=（不合题意，舍去）， 所以实数λ1-．。

江苏省马坝高级中学2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分一､单选题(每小题5分，共计40分)1. 已知集合{}1,1,2A =-，集合{}1,2,3,4B =，则集合A B =（ ） A. {}1,2 B. {}1,1,2- C. {}1,2,3 D. {}1,1,2,3,4-A根据交集的概念直接写出A B 的结果. 因为{}1,1,2A =-，{}1,2,3,4B =， 所以{}1,2A B =，故选：A.本题考查集合的交集运算，主要考查学生对交集概念的理解，难度容易.2. 函数()()lg 31f x x =-的定义域为（ ）A. 1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (]0,1C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 10,3⎛⎫⎪⎝⎭A要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解出即可.要使()()lg 31f x x =-有意义，则有10310x x -≥⎧⎨->⎩，解得113x <≤所以函数()()lg 31f x x =-的定义域为1,13⎛⎤⎥⎝⎦故选：A本题考查的是函数定义域的求法，较简单.3. 若向量 (2,3)a =-，(1,2)b =-，则2a b -=（ ） A. (3,4)- B. (5,8)-C. (5,8)-D. ()3,4-B根据向量的坐标运算，先由(2,3)a =-，求得2(4,6)=-a ，再求2a b -的坐标． 因为(2,3)a =-，所以2(4,6)=-a ，所以2(5,8)-=-a b ．故选：B本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4. 在()61x -的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A. -15 B. 15 C. -20 D. 20B利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为4,求出展开式中4x 的系数. 设二项式()61x -的展开式的通项为1r T +，则()()6616611rrr r r rr T C x C x --+=-=-.令64,2r r -=∴=.4x ∴的系数为()226115C -=.故选：B .本题考查二项式定理，属于基础题.5. ()322f x ax x =++，若()15f '=，则a的值等于（ ）A. 1B. 2C.115D. 3A求出导函数()'f x ，由(1)5f '=可求得a ．由题意2()32f x ax x '=+，∴(1)325f a '=+=，解得1a =．故选：A ． 本题考查导数的运算，掌握导数的运算法则是解题基础．6. 已知()0,απ∈且满足7cos cos 4418ππαα⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin α=（ ）A. 3B. 23C. 23-D. 13A利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值.cos cos 44ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫-+=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222117cos sin 12sin 2218ααα=-=-=-， 又()0,a π∈， ∴22sin 3α=.故选：A . 本题考查两角和与差的三角公式，二倍角公式，属于基础题.7. 设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14-B. 12-C.14D.12C由()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，可将52f ⎛⎫- ⎪⎝⎭化为12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭即可计算. ()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，且当01x ≤≤时，()2f x x x =-，51112224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C.本题考查周期性和奇偶性的应用，属于基础题.8. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若2BC AC =，则楼高AB 约为（ ）．A. 65米B. 74米C. 83米D. 92米B设AC 的高度为x ，在直角三角形中用x 表示出,BE BD ，由79ED =可求得x 得楼高． 设AC 的高度为x ，则由已知可得3AB x =，2BC BE x ==，33tan ABBD x ADB==∠，所以279DE BD BE x =-=-=，解得24.7x =≈，所以楼高324.774.174AB ≈⨯=≈（米）．故选：B ． 本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．二､多选题(每小题5分，每题全部选对得5分，部分选对得3分，选错得0分，共20分) 9. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A. ::::A B C a b c = B.sin sin sin sin a a b cA AB C++=++ C. 若sin sin A B <，则A B < D. 若sin 2sin 2A B =，则a b =BC根据正弦定理以及诱导公式逐一判断，即可选择.根据正弦定理得sin :sin :sin ::A B C a b c =，所以A 错误； 根据正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 为ABC 外接圆半径, 2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C aR A B C A B C A++++∴===++++,所以B 正确； sin sin 22a bA B a b A B R R<∴<∴<<，，所以C 正确；若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=∴a b =或2C π=，故D错误；故选：BC本题考查正弦定理以及诱导公式，考查基本分析论证与求解能力，属基础题. 10. 下列命题中正确命题的是（ ）A. 已知a ，b 是实数，则“1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“33log log a b >”的充要条件； B. (),0x ∃∈-∞，使23x x <；C. 若x θ=是函数()3sin cos f x x x =-的一个极值点，则22sin 22cos 5θθ+=-；D. 若角α的终边在第一象限，则sincos 22sincos22αααα+的取值集合为{}2,2-.CD由指数函数和对数函数的性质，结合充分、必要条件，可判定A 不正确；由指数函数的图象与性质，可判定B 不正确；由极值点的概念和三角函数的基本关系式，可判定C 是正确. 三角函数象限角的符号，可得判定D 是正确的.对于A 中，由1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数的性质，可得a b >，例如：1,3a b =-=-时，满足a b >，此时3log a 和3log b 无意义，所以充分性不成立；反之：由33log log a b >，可得a b >，可得1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，必要性成立，所以A 不正确；对于B 中，由指数函数的图象与性质，可得不存在(),0x ∈-∞，使得23x x <成立， 所以B 不正确；对于C 中，函数()3sin cos f x x x =-，可得()3cos sin f x x x '=+，因为x θ=是函数()f x 的一个极值点，可得3cos sin 0θθ+=，即tan 3θ=-，又由222222sin cos 2cos 2tan 22sin 22cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ+++===-++，所以C 是正确. 对于D 中，由角α的终边在第一象限，可得22,2k k k Z ππαπ<<+∈，则,24k k k Z απππ<<+∈，当k 为偶数时，可得sin0,cos022αα>>，此时sincos 222sincos22αααα+=； 当k 为奇数时，可得sin0,cos022αα<<，此时sincos 222sincos22αααα+=-. 所以D 是正确的.故选：CD三角函数基本关系式的化简求值的方法及策略：1、公式的直接应用：已知sin ,cos ,tan θθθ的一个求另外两个的值，解答时可直接套用公式求解，但要注意θ的范围，确定三角函数值的符号；2、齐次式法：分式中分子分母时关于sin ,cos θθ的齐次式，往往转化为关于tan θ的式子求解；3、利用sin cos ,sin cos θθθθ±的关系：对于sin cos θθ±和sin cos θθ这三个式子，利用2(sin cos )12sin cos θθθθ±=±，可以知一求二.11. 已知函数()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A. ()g x 的图象关于直线3x π=对称B. ()g x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. ()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D. ()g x 在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点CD求出2()sin 0333g πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，即可判定AB 错误，5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到C 正确，解方程即可得到D 选项正确.2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，所以B 选项错误； 5,,2,012632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=-∈， 所以在区间70,6π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，所以D 选项正确. 此题考查正弦型函数的单调性判断，求对称轴和对称中心以及零点问题，关键在于熟练掌握三角函数的基本性质. 12. 关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是（ ） A. 当1a =时，()ln 21f x ≥+；B. 当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C. 当a e >时，函数()f x 有两个零点；D. 当()f x 的最小值为2时，2a =． ABD 【分析】由导数确定函数的单调性和最值，即可判断A 、B 、D ；举出反例可判断C ，即可得解.对函数()2ln ,0f x a x x x=+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=， 当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=，当()0,2x ∈时，()0f x '<，函数单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确；当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln 20f x f e e e e ⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误； 当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值； 当0a >时，由()22ax f x x -'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()min22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确.故选：ABD. 本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.三､填空题(每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分，共计20分) 13. 已知复数z 满足(2)1i z i -=+，i 为虚数单位，则复数z =_________1355i + 根据复数的除法运算计算即可得解.(2)1i z i -=+，1(1)(2)(1)(2)13132(2)(2)5555i i i i i i z i i i i ++++++=====+--+. 故答案为：1355i +．本题主要考查了复数除法运算，解题关键是掌握复数除法的运算方法，考查了分析计算能力，属于基础题．14. 已知x ，y 取值如表：x13 5 6y1 m3m5.67.4画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为ˆ1yx =+，则m =__________． 32分析：计算,x y ，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m 的值．详解：计算x =15×（0+1+3+5+6）=3，y =15×（1+m +3m +5.6+7.4）=1445m+， ∴这组数据的样本中心点是（3，1445m+）， 又y 与x 的线性回归方程y =x +1过样本中心点，∴1445m+=1×3+1， 解得m=32.故填32.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．15. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14P -,，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为___________．840x y ++=试题分析：由可知，，所以，所以切线方程为，即840x y ++=.考点：导数的几何意义．16. 已知角θ的顶点与原O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()tan πθ-=______，若角α满足()1tan 2αθ-=，则tan α=______.(1).34(2). 211-由已知可求tan θ，根据诱导公式求出()tan πθ-；利用()ααθθ=-+，再由两角和正切公式即可求解.依题意得33tan ,tan()tan 44θπθθ=--=-=，1tan()tan 24tan tan[()]111tan()tan 118αθθααθθαθθ--+=-+===---⋅.故答案为：34，211-. 本题考查三角函数定义、诱导公式求值、三角恒等变换求值，注意角之间的转化，属于基础题. 四､解答题(共计70分)17. 设两个非零向量12,e e 不共线，2211128,2,3()A e B e BC e e e e CD ==-=++. （1）求证:A 、B 、D 共线；（2）试确定实数k ，使12ke e +和12e ke +共线．（1）证明见解析；（2）1k =±（1）求出BD ，只需证明,AB BD 共线即可；（2）根据共线向量的充要条件，建立k 的方程关系，即可求解. （1）12555BD BC CD e e AB AB BD =+=+=⋅∴∥又有公共点B ,A ∴、B 、D 共线（2）设存在实数λ使1212()ke e e ke λ+=+，非零向量12,e e 不共线，1k k λλ=⎧∴⎨=⎩，1k ∴=±.本题考查共线向量定理，考查计算求解能力，属于基础题.18. 已知函数21()cos cos 2222x x x f x =++．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()y f x =的图象上的各点________；得到函数()y g x =的图象，当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()g x a =有解，求实数a 的取值范围．在①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答. ①向左平移32π个单位，再保持纵坐标不变横坐标缩小为原来的一半； ②纵坐标保持不变横坐标缩小为原来的一半，再向右平移4π个单位． （1）2π；（2）若选①，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；若选②，30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）用正弦余弦的半角公式整理()f x 可得正弦函数标准型，可得函数最小正周期；（2）选①先平移变换后周期变换可得对应的()g x ，由()g x 的值域可得a 范围；选②先周期变换后平移变换得对应的()g x ，同样由()g x 值域得a 的范围. （1）()11()1cos sin 1226f x x x x π⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π； （2）选①时，()3sin 211cos 2266g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故1cos 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 选②时，()sin 211sin 2463g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，3()0,2g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()g x a =有解，故30,2a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．本题考查三角函数变换，正弦函数余弦函数得图像变换及性质，属于基础题.19. 如图，在ABC ∆中，已知30B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =.（1）求ADC ∆的面积； （2）求边AB 的长. （1153；（2）53 分析：（1）在ADC ∆中，根据余弦定理求得120ADC ∠=︒，然后根据三角形的面积公式可得所求．（2）在ABD ∆中由正弦定理可得AB 的长． 详解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理得2222225371cos 22532AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，∵ADC ∠为三角形的内角，120ADC ∴∠=︒， 3sin ADC ∴∠=， 113153sin 5322ADC S AD DC ADC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯=．（2）在ABD ∆中，60ADB ∠=︒， 由正弦定理得：sin sin AB ADADB B=∠∴512AB == 点睛：解三角形时首先要确定所要解的的三角形，在求解时要根据条件中的数据判断使用正弦定理还是余弦定理以及变形的方向，另外求解时注意三角形内角和定理等知识的灵活应用． 20. 为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动． （1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？参考：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：（1）见解析；（2）在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关；（3）1415. （1）直接根据题干信息填表即可；（2）根据2K 的公式直接计算并结合参考数据概率下结论即可；（3）利用对立事件“都不能胜任翻译工作”概率计算即可. （1）2×2列联表如下：（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得2230(10866) 1.1575 2.70616141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关． (3)喜欢运动的女志愿者有6人，从中抽取2人，有2615C =种取法． 其中两人都不会外语的只有一种取法．故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是11411515P =-=. 本题主要考查了独立性检验的应用及利用对立事件求解概率，属于基础题.21. 2020年5月政府工作报告提出，通过稳就业促增收保民生，提高居民消费意愿和能力．近日，多省市为流动商贩经营提供便利条件，放开“地摊经济”，但因其露天经营的特殊性，易受到天气的影响，一些平台公司纷纷推出帮扶措施，赋能“地摊经济”．某平台为某销售商“地摊经济”的发展和规范管理投入[]()4,8x x ∈万元的赞助费，已知该销售商出售的商品为每件40元，在收到平台投入的x 万元赞助费后，商品的销售量将增加到2102y x λ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭万件，[]0.6,1λ∈为气象相关系数，若该销售商出售y 万件商品还需成本费()40530x y ++万元．（1）求收到赞助后该销售商所获得的总利润p 万元与平台投入的赞助费x 万元的关系式；（注：总利润=赞助费+出售商品利润）（2）若对任意[]4,8x ∈万元，当入满足什么条件时，该销售商才能不亏损？ （1）2001004402p x x λλ=---+，[]4,8x ∈；（2）当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损． （1）根据总利润=赞助费+出售商品利润和已知得解；（2）由题得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，设()2012f x x x=++，利用导数求出函数()f x 的最大值即可得解.（1）由题意得20204010405301022p x x x x λλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅--++⋅- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦2001004402x x λλ=---+，[]4,8x ∈． （2）要使对任意[]4,8x ∈（万元）时，该销售商才能不亏损，即有0p ，变形得()()10225x x xλ++在[]4,8x ∈上恒成立，而()()210212202012x x x x x xxx++++==++，设()2012f x x x=++，()2201f x x =-'，令0fx解得=±x所以函数()f x 在4,⎡⎣单调递减，在⎡⎤⎣⎦单调递增，()()(){}max max 4,8f x f f =，因为()()421822.5f f =<=，所以有2522.5λ，解得0.9λ，即当λ满足[]0.9,1λ∈时，该销售商才能不亏损．本题主要考查函数和不等式的应用，考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22. 已知函数()ln ()af x x a R x=+∈.（1）若1a =，求()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调区间；（3）若()22()2a g x af x x x x=+--有两个极值点()1212,x x x x <，且不等式()12g x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围.（1）极小值1，无极大值；（2）答案见解析；（3）3,ln 22⎛⎤-∞--⎥⎝⎦.（1）求出函数的导数，讨论其单调性即可求出极值；（2）求出函数导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论可得单调性；（3）根据导数可得()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，则可得出102a <<，进而得出121012x x <<<<，可得()12g x mx ≥恒成立，等价于()1111112ln 1m x x x x ≤--+-，构造函数11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭求出最小值即可.（1）若1a =，则1()ln f x x x=+，()0,x ∈+∞ ()22111x f x x x x-'∴=-=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∴当1x =时函数有极小值()11f =，无极大值；（2）()f x 的定义域是()0,∞+，221()a x af x x x x-'=-=， ①0a ≤时，0x a ->，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+递增，②0a >时，令()0f x '>，解得：x a >，令()0f x '<，解得：x a <， 故()f x 在()0,a 递减，在(),a +∞递增；（3）222()()2ln 2a g x af x x x a x x x x=+--=+-定义域为()0,∞+，()g x 有两个极值点()1212,x x x x <，即222()220a x x ag x x x x'-+=+-==，则2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<， ∴480a ∆=->，0a >，102a ⇒<<.且121x x =+，21122a x x =-.从而121012x x <<<<.由不等式()12g x mx ≥恒成立，得()21111222ln g x x x a x m x x -+≤=()()221111*********ln 112ln 11x x x x x x x x x x -+-==--+--恒成立. 令11()12ln 012h t t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭， 当102t <<时，21()12ln 0(1)h t t t '=-+<-恒成立， 所以函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴13()ln 222h t h ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭. 故实数m 的取值范围是3,ln 22⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是将()g x 有两个极值点()1212,x x x x <等价于2220x x a -+=有两不等实根()1212,0x x x x <<，以此求出121012x x <<<<，再将不等式恒成立转化为求11()12ln 012h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪-⎝⎭的最小值.。

江苏省2020年高三上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设全集为,则右图中阴影表示的集合为（）A . {2}B . {3}C . {-3,2}D . {-2,3]2. （2分）下列说法正确的是（）A . log0.56＞log0.54B . 0.60.5＞log0.60.5C . 2.50＜D . 90.9＞270.483. （2分）已知非零向量、满足，那么向量与向量的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）若点(a,9)在函数y=3x的图象上，则的值为（）A . 0B .C . 1D .5. （2分） (2019高一上·大庆期中) 若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则的解集为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知函数为的导函数，则下列结论中正确的是（）A . 函数的值域与的值域不同B . 存在，使得函数和都在处取得最值C . 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D . 函数和在区间上都是增函数7. （2分）(2016·中山模拟) 以下判断正确的是（）A . 函数y=f（x）为R上可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数f（x）极值点的充要条件B . 命题“存在x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“任意x∈R，x2+x﹣1＞0”C . 命题“在锐角△ABC中，有 sinA＞cosB”为真命题D . “b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充分不必要条件8. （2分） (2018高二下·盘锦期末) 函数的大致图像是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一上·赣州月考) 的值（）A . 小于B . 大于C . 等于D . 不存在10. （2分） (2016高一上·安阳期中) 已知函数是定义域上的单调增函数，则a 的取值范围是（）A . [3﹣，2）B .C .D .11. （2分） (2017高一下·芜湖期末) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a= ，b= ，∠A= ，则∠B=（）A .B . 或C . 或D .12. （2分）(2019·绵阳模拟) 函数在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a的范围是（）A . {1}B . (－1，1)C . (0. 1)D . {－1，1}二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·蔡甸模拟) 已知| |=2，| |=2 ，| |=2 ，且 + + = ，则• + • + • =________．14. （1分） (2016高一上·沭阳期中) 已知函数f（x）= 在区间（﹣∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围是________15. （1分）(2019·武汉模拟) 函数在点处的切线方程为，则实数的值为________．16. （1分） (2020高二下·吉林期中) 的极小值为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分）设p：函数f（x）=logax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递增；q：关于x的不等式x2+x+a＞0恒成立．若p或q为真命题，￢p或￢q也为真命题，求实数a的取值范围．18. （5分） (2018高二上·平遥月考) 已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1,0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足，，点N的轨迹为曲线E.，求曲线E的方程。

1江苏省淮安市2020届高三数学上学期期中联考试题 理（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集2，3，4，，集合3，，，则______．2. 已知向量，，且，则实数m 的值是______．3. 函数的定义域为______．4. 已知单位向量的夹角为，则的值是______．5. 已知等比数列满足，，则该数列的前5项和为______．6. “”是“”的______条件从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一7. 设函数为常数，且，，的部分图象如图所示，则的值为______．8. 在中，如果sin A ：sin B ：：3：4，那么______．9. 已知函数，则不等式的解集为______．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且对于任意的都有，，则的值为______．11. 如图，在梯形ABCD 中，，，，若，则______．12. 在中，，，则______．13. 已知正项等比数列的前n 项和为若，则取得最小值时，的值为______．14. 已知函数，，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题）15. 已知a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且满足．求角A 的大小；若，，求的面积．16. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中O 为坐标原点．若，设点D 为线段OA 上的动点，求的最小值；若，向量，，求的最小值及对应的x值．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为设弧度，小球从A到F所需时间为T．试将T表示为的函数，并写出定义域；当满足什么条件时，时间T最短．18.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数t，使得．判断是否属于集合M，并说明理由；若属于集合M，求实数a的取值范围；若，求证：对任意实数b，都有．19.已知函数，当时，求曲线在处的切线方程；当时，求函数的最小值；已知，且任意有，求实数a的取值范围20.给定数列，若满足且，对于任意的n，，都有，则称数列为“指数型数列”．Ⅰ已知数列，的通项公式分别为，，试判断，是不是“指数型数列”；Ⅱ若数列满足：，，判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；Ⅲ若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列．21.已知矩阵，，求22.已知矩阵，向量，计算．23.已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是PB的中点．求直线AC与PB所成角的余弦值；求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．324.直三棱柱中，，，，，．若，求直线与平面所成角的正弦值；若二面角的大小为，求实数的值．答案和解析1.【答案】2，4，【解析】解：3，，，，则2，4，，故答案为：2，4，根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】解：；；．故答案为：1．根据即可得出，从而求出m的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】【解析】解：依题意，，解得，所以的定义域为，故答案为：．根据真数和分母及偶次根式被开方数的要求列不等式求解即可．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】【解析】解：单位向量的夹角为，则．故答案为：．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】31【解析】解：设等比数列的公比为q，，，，，联立解得，，数列的前5项的和为故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要5【解析】解：由，利用指数函数的单调性可得，反之，由，可得．“”是“”的充要条件．故答案为：充要．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】【解析】解：根据函数为常数，且，，的部分图象，可得，．再根据五点法作图可得，，故答案为：．先由周期求出，再由五点法作图求出的值．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题．8.【答案】【解析】解：：sin B：：3：4，由正弦定理可得：a：b：：3：4，不妨设，，，则，．故答案为：．由正弦定理可得a：b：：3：4，不妨设，，，则由余弦定理可求cos C，结合范围，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】【解析】解：，由得，，，或，解得，的解集为．故答案为：．可由得出，从而得到或，解不等式组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题．由题意令求得，且的周期为4，再计算的值．【解答】解：由，令，得；又为偶函数，，；，的周期为4；又，，，．故答案为4．11.【答案】12【解析】解：因为，所以，因为，，，所以上式化简得：，即，所以．故答案为：12．因为，根据向量变换得到，代入求出即可．考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】【解析】解：由，利用正弦定理可得，由，可得，由可得，，由，两式平方相加可得，所以或，由，知应舍去，所以，代入式可得，由三角形内角和定理可得，可得，所以．故答案为：．由已知利用正弦定理可得，，进而可得，可求，从而求得B的值，进而可求A，C，的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：依题意，因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以．当取得最小值时，，即，所以，所以．故填：．因为，所以，所以，即，因为数列为正项数列，所以当取得最小值时，，即，所以，即可得到．本题考查了等比数列的前n项和，通项公式和前n项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】【解析】【分析】推导出，在上单调递减，上单调递增，且，的函数图象开口向下，对称轴为，利用数形结合法求出不等式的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，7考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】解：，故当时，，当时，，在上单调递减，上单调递增，且又的函数图象开口向下，对称轴为，要使不等式的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式的解集中恰有两个整数是1，2，，无解，不等式的解集中恰有两个整数是2，3，，解得．实数a的取值范围是，故答案为：，15.【答案】本题满分为12分解：，可得：，由余弦定理可得：，又，由及正弦定理可得：，，，由余弦定理可得：，解得：，，【解析】由已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，即可求得A的值．由及正弦定理可得，又，，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：设，由题易知，所以所以，所以当时，最小，为．由题意，得x，sin ，，sin ，则x cos ，因为，所以，所以当，即时，取得最大值1，所以的最小值为，此时．【解析】设，利用二次函数的性质求得它的最小值．由题意得，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：连接CO并延长交半圆于M，则，故，同理可得，过O作于G，则，，，又，，，令可得，解得或舍．设，，则当时，，当时，，当，取得最小值．故时，时间T最短．【解析】求出小球的运动路程，得出的解析式；利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：当时，方程分此方程无解，所以不存在实数t，使得，故不属于集合分由属于集合M，可得方程有实解有实解有实解，分若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求a的取值范围是分当时，方程，分令，则在R上的图象是连续的，当时，，，故在内至少有一个零点；当时，，，故在内至少有一个零点；故对任意的实数b，在R上都有零点，即方程总有解，所以对任意实数b，都有分【解析】利用，通过推出方程无解，说明不属于集合由属于集合M，推出有实解，即有实解，若时，若时，利用判断式求解即可．9当时，方程，令，则在R上的图象是连续的，当时，当时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：当时，，由，得．所以在处的切线方程为即．当时，得，因为 0'/>，所以在单调递增，所以．当时，得，因为，所以在单调递减，所以．当时，由知：函数在单调递减，单调递增，所以．综上，当，；当时，；当时，．当，且任意有，即对任意有．设，则，．设，因为，，所以 0'/>，所以在单调递增，所以，即，1当即时，所以恒成立，所以在单调递增，此时，满足题意．2当即时，因为 0'/>，且在单调递增，所以存在唯一的，使得，因此当时；当时 0'/>；所以在单调递减，单调递增．所以，不满足题意．综上，．【解析】当时，，由，得由此利用导数的几何意义能求出在处的切线方程．当时，得，由 0'/>，得到当时，得，由，得到当时，，由此能求出函数的最小值．当，且任意有，即对任意有设，则，设，则 0'/>，由此利用导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】Ⅰ解：对于数列，，所以不是指数型数列．对于数列，对任意n，，因为，所以是指数型数列．Ⅱ证明：由题意，，是“指数型数列”，，，所以数列是等比数列，，，数列是“指数型数列”．Ⅲ证明：因为数列是指数数列，故对于任意的n，，有，，假设数列中存在三项，，构成等差数列，不妨设，则由，得，所以，当t为偶数时，是偶数，而是偶数，是奇数，故不能成立；当t为奇数时，是偶数，而是奇数，是偶数，故也不能成立．所以，对任意，不能成立，即数列的任意三项都不成构成等差数列．【解析】Ⅰ利用指数数列的定义，判断即可；Ⅱ利用，，说明数列是等比数列，然后证明数列为“指数型数列”；Ⅲ利用反证法，结合n为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键．21.【答案】解：设，，，即，，．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：，由，解得或3．当时，对应的一个特征向量为；当时，对应的一个特征向量为．设，解得．．【解析】令，解得或分别对应的一个特征向量为；设解得m，n，即可得出．本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：因为，，，以A为坐标原点AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，11不妨设，则各点坐标为0，，2，，1，，0，，0，，1，因，，所以．由题得：平面PMC的法向量为，所以解得：同理设平面AMC的法向量为，所以解得：故，即所求锐二面角的余弦值为．【解析】分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.【答案】解：分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．则0，，0，，4，，0，，0，，4，，分当时，D为BC的中点，2，，，4，，2，，设平面的法向量为y，，则，取，得0，，又，直线与平面所成角的正弦值为分，，4，，，设平面的法向量为y，，则，取，得0，分又平面的一个法向量为0，，二面角的大小为，，解得或不合题意，舍去，实数的值为分【解析】分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．求出平面的法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出实数的值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共10小题）已知集合，，则的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 7若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.已知是等差数列的前n项和，且，，则等于A. 50B. 42C. 38D. 36函数的图象大致为A. B.C. D.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A. 84B.C.D.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B.C. D.设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B. C. D.已知，，，则A. B. C. D.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为A. B. C. D.设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题（本大题共7小题）抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______．若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______．已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则直线l的斜率k的取值范围为______．已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题）已知的最大值为．Ⅰ求实数a的值；Ⅱ若，求的值．在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．Ⅰ求二面角的大小；Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．已知数列的前n项和为，且满足：．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．Ⅰ求抛物线C的方程；Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；求的外接圆面积的最小值．。

2019-2020学年江苏省淮安市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题）1. 全集U ={1,2，3，4，5}，集合A ={1,3，4}，B ={3,5}，则∁U (A ∩B)=______．2. 已知向量a ⃗=(2,m)，b ⃗⃗=(1,−2)，且a ⃗⊥b ⃗⃗，则实数m 的值是______．3. 函数y =ln (x +1)+2√2−x 的定义域为______．4. 已知单位向量a ⃗⃗,b ⃗⃗的夹角为120°，则|a ⃗⃗−2b ⃗⃗|的值是______．5. 已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1=4，a 32=a 5，则该数列的前5项和为______． 6. “a >b ”是“2a >2b ”的______条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”选一)7. 设函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A,ω,φ为常数，且A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ的值为______．8. 在△ABC 中，如果sin A ：sin B ：sinC =2：3：4，那么tanC =______． 9. 已知函数f(x)=x|x −4|，则不等式f(2x)≤f(2)的解集为______． 10. 已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且对于任意的都有f(x +4)=f(x)+f(2)，f(1)=4，则f(3)+f(10)的值为______．11. 如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=______．12.在△ABC中，BC=√3AC，tanA=3tanB，则tan(B+C)=______．213.已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n.若S9=S3+2S6，则S6+1取得最小值时，S3 S9的值为______．14.已知函数f(x)=xlnx，g(x)=−x2+(a+12)x+2a，若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共10小题）15.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积．16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，且∠AOC=x，其中O为坐标原B(−1,0)，|OC点．，设点D为线段OA上的动点，求|OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值；(1)若x=3π4)，向量m⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，n⃗⃗=(1−cosx,sinx−2cosx)，求m⃗⃗⃗⃗⋅n⃗⃗的最小值及(2)若x∈(0,π2对应的x值．17.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示．小球从A点出发以5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE=θ弧度，小球从A到F所需时间为T．(1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域；(2)当θ满足什么条件时，时间T最短．18.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)．(1)判断f(x)=3x+2是否属于集合M，并说明理由；属于集合M，求实数a的取值范围；(2)若f(x)=lg ax2+2(3)若f(x)=2x+bx2，求证：对任意实数b，都有f(x)∈M．19.已知函数f(x)=x3+3|x−a|，a∈R(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程；(2)当x∈[−1,1]时，求函数f(x)的最小值；(3)已知a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，求实数a的取值范围20.给定数列{a n}，若满足a1=a(a>0且a≠1)，对于任意的n，m∈N∗，都有a n+m=a n⋅a m，则称数列{a n}为“指数型数列”．(Ⅰ)已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=5×3n−1，b n=4n，试判断{a n}，{b n}是不是“指数型数列”；(Ⅱ)若数列{a n}满足：a1=12，a n=2a n a n+1+3a n+1(n∈N∗)，判断数列{1a n+1}是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(Ⅲ)若数列{a n}是“指数型数列”，且a1=a+1a+2(a∈N∗)，证明：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列．21.已知矩阵A=[0123]，B=[2018]，求A−1B22.已知矩阵A=[12−14]，向量a⃗=[53]，计算A5a⃗．23.已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点．(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；(2)求面AMC与面PMC所成锐二面角的大小的余弦值．24.直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC⃗⃗⃗⃗⃗⃗．(1)若λ=1，求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)若二面角B1−A1C1−D的大小为60°，求实数λ的值．答案和解析1.【答案】{1,2，4，5}【解析】解：∵A={1,3，4}，B={3,5}，∴A∩B={3}，则∁U(A∩B)={1,2，4，5}，故答案为：{1,2，4，5}根据集合交集，并集定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．2.【答案】1【解析】解：∵a⃗⃗⊥b⃗⃗；∴a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0；∴m=1．故答案为：1．根据a⃗⃗⊥b⃗⃗即可得出a⃗⃗⋅b⃗⃗=2−2m=0，从而求出m的值．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.【答案】(−1,2)【解析】解：依题意，{x+1>02−x≠02−x≥0，解得−1<x<2，所以y=ln(x+1)+√2−x的定义域为(−1,2)，故答案为：(−1,2)．本题考查了函数的定义域的求法，注意考查计算能力，属于基础题．4.【答案】√7【解析】解：单位向量a⃗⃗,b⃗⃗的夹角为120°，则|a⃗−2b⃗⃗|=√a⃗2−4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗2=√1+4×1+4=√7．2故答案为：√7．直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】31【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+2a1=4，a32=a5，∴a1(q+2)=4，a12q4=a1q4，联立解得a1=1，q=2，∴数列的前5项的和为1×(1−25)=311−2故答案为：31．由题意可得首项和公比的方程组，解方程组代入求和公式计算可得．本题考查等比数列的求和公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．6.【答案】充要【解析】解：由a>b，利用指数函数的单调性可得2a>2b，反之，由2a>2b，可得a>b．∴“a>b”是“2a>2b”的充要条件．由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案．本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.【答案】π3【解析】解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象，可得34⋅2πω=7π12+π6，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3，故答案为：π3．先由周期求出ω，再由五点法作图求出φ的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．8.【答案】−√15【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则cosC=a2+b2−c22ab =4t2+9t2−16t22×2t×3t=−14，∵C∈(0,π)∴tanC=−√1cos2C−1=−√15．故答案为：−√15．由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，不妨设a=2t，b=3t，c=4t，则由余弦定理可求cos C，结合范围C∈(0,π)，利用同角三角函数关系式即可求值．本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题．9.【答案】{x|x ≤√2+1}【解析】解：∵f(x)=x|x −4|， ∴由f(2x)≤f(2)得，2x|2x −4|≤4， ∴x|x −2|≤1，∴{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解得x ≤√2+1， ∴f(2x)≤f(2)的解集为{x|x ≤√2+1}． 故答案为：{x|x ≤√2+1}．可由f(2x)≤f(2)得出x|x −2|≤1，从而得到{x 2−2x ≤1x ≥2或{2x −x 2≤1x <2，解不等式组即可得出原不等式的解集．本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】4【解析】【分析】本题考查了抽象函数的应用问题，也考查了函数的奇偶性与周期性应用问题，是基础题． 由题意令x =−2求得f(2)=0，且f(x)的周期为4，再计算f(3)+f(10)的值． 【解答】解：由f(x +4)=f(x)+f(2)，令x =−2，得f(−2+4)=f(−2)+f(2)； 又f(x)为偶函数，∴f(−2)=f(2)， ∴f(2)=0； ∴f(x +4)=f(x)， ∴f(x)的周期为4；又f(1)=4，f (10)=f (2+2×4)=f (2)=0， f (3)=f (3−4)=f (−1)=f (1)=4， ∴f(3)+f(10)=4+0=4． 故答案为4．11.【答案】12【解析】解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 因为AB//CD ，CD =2，∠BAD =π4，所以上式化简得：2|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos π4，即|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=8+2√2⋅2⋅cos π4=12．故答案为：12．因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，根据向量变换得到|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2，代入AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗求出即可． 考查向量的数量积，向量的加减法，向量的夹角公式的综合运算，中档题．12.【答案】2+√3【解析】解：由BC =√3AC ，利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，① 由tanA =3tanB ，可得sinAcosA =3sinB cosB，②由②÷①可得cosA =√33cosB ，③， 由①，③两式平方相加可得sinB =12， 所以B =π6或5π6， 由tanA =3tanB ，知B =5π6应舍去，所以B =π6，代入③式可得A =π3，由三角形内角和定理可得C =π−A −B =π2，可得C 2=π4， 所以tan (B +C2)=tanB+tanC 21−tanBtanC2=√33+11−√33=2+√3．故答案为：2+√3．由已知利用正弦定理可得sinA =√3sinB ，sinAcosA =3sinBcosB，进而可得cosA =√33cosB ，可求sinB =12，从而求得B 的值，进而可求A ，C ，C 2的值，利用两角和的正切函数公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式等在解三角形中的综合应用，考查了化归和转化能力以及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】7√33【解析】解：依题意，因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2．当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33， 所以S 9=a11−q(1−q 9)=−√33×(1−23)=7√33．故填：7√33． 因为S 9=S 3+2S 6，所以q ≠1，所以a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+2a 1(1−q 6)1−q ，即(q 3−2)(q 3−1)(q 3+1)=0，因为数列{a n }为正项数列，所以q 3=2.当S 6+1S 3取得最小值时，S 6⋅S 3=1，即(a11−q )2⋅(1−q 6)(1−q 3)=1，所以a 11−q =−√33，即可得到S 9．本题考查了等比数列的前n 项和，通项公式和前n 项和公式的灵活运用，基本不等式等．属于中档题．14.【答案】[ln 2−102,2ln 4−163)【解析】【分析】推导出f ′(x)=lnx +1，f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e ,+∞)上单调递增，且f(1)=1，f(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，利用数形结合法求出不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 【解答】解：f ′(x)=lnx +1，故当x ∈(0,1e )时，f ′(x)<0，当x ∈(1e ,+∞)时，f ′(x)>0，∴f(x)在(0,1e )上单调递减，(1e,+∞)上单调递增，且f(1)=1又g(x)的函数图象开口向下，对称轴为x =6+a2，要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是1，2， ∴{f(1)⩽g(1)f(2)≤g(2)f(3)>g(3)，无解，不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数是2，3，∴，解得ln2−102≤a <2ln 4−163． ∴实数a 的取值范围是[ln 2−102，2ln 4−163). 故答案为：[ln2−102，2ln 4−163). 15.【答案】(本题满分为12分)解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，可得：b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得：c =2b ， ∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc =3b 2， ∴解得：b =√3，c =2√3，∴S △ABC =12bcsinA =12×√3×2√3×√32=3√32【解析】(1)由已知等式可得b 2+c 2−a 2=bc ，由余弦定理可得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，即可求得A 的值．(2)由sinC =2sinB 及正弦定理可得c =2b ，又a =3，A =π3，由余弦定理可解得b ，c 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，由题易知C(−√22,√22)， 所以OC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√22+t,√22) 所以|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=12−√2t +t 2+12=t 2−√2t +1 =(t −√22)2+12(0≤t ≤1)，所以当t =√22时，|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最小，为√22． (2)由题意，得C(cos x ，sin x)， m =BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosx +1，sin x)，则m ⋅n =1−cos2x +sin2x −2sin x cos x =1−cos 2x −sin 2x =1−√2sin (2x +π4)，因为x ∈[0,π2]，所以π4≤2x +π4≤5π4，所以当2x +π4=π2，即x =π8时， sin (2x +π4)取得最大值1，所以m ⋅n 的最小值为1−√2，此时x =π8．【解析】(1)设D(t,0)(0≤t ≤1)，利用二次函数的性质求得它的最小值．(2)由题意得m ⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗=1−√2sin (2x +π4)，再利用正弦函数的定义域和值域求出它的最小值．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：(1)连接CO 并延长交半圆于M ，则∠AOM =∠COD =π4，故θ≥π4，同理可得θ≤3π4，∴θ∈[π4,3π4].过O 作OG ⊥BC 于G ，则OG =1，∠GOF =|π2−θ|， ∴OF =1cos |π2−θ|=1sin θ，又AE⏜=θ， ∴T(θ)=θ5v +16v +16vsinθ，θ∈[π4,3π4]. (2)T ′(θ)=15v −cosθ6vsin 2θ=6sin 2θ−5cosθ30vsin 2θ=−6cos 2θ−5cosθ+630vsin 2θ，令T ′(θ)=0可得−6cos 2θ−5cosθ+6=0，解得cosθ=23或cosθ=−32(舍)． 设cosθ0=23，θ0∈[π4,3π4]，则当π4≤θ<θ0时，T ′(θ)<0，当θ0<θ≤3π4时，T ′(θ)>0，∴当θ=θ0，T(θ)取得最小值．故cosθ=23时，时间T最短．【解析】(1)求出小球的运动路程，得出T(θ)的解析式；(2)利用导数判断函数单调性，求出函数的最小值对应的cosθ的值即可．本题考查了函数解析式，函数单调性与最值的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)当f(x)=3x+2时，方程f(t+2)=f(t)+f(2)⇔3t+8=3t+ 10…(2分)此方程无解，所以不存在实数t，使得f(t+2)=f(t)+f(2)，故f(x)=3x+2不属于集合M.…(4分)(2)由f(x)=lg ax2+2属于集合M，可得方程lg a(x+2)2+2=lg ax2+2+lg a6有实解⇔a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有实解⇔(a−6)x2+4ax+6(a−2)=0有实解，…(7分)若a=6时，上述方程有实解；若a≠6时，有△=16a2−24(a−6)(a−2)≥0，解得12−6√3≤a≤12+6√3，故所求a的取值范围是[12−6√3,12+6√3].…(10分)(3)当f(x)=2x+bx2时，方程f(x+2)=f(x)+f(2)⇔2x+2+b(x+2)2=2x+ bx2+4+4b⇔3×2x+4bx−4=0，…(12分)令g(x)=3×2x+4bx−4，则g(x)在R上的图象是连续的，当b≥0时，g(0)=−1<0，g(1)=2+4b>0，故g(x)在(0,1)内至少有一个零点；当b<0时，g(0)=−1<0，g(1b )=3×21b>0，故g(x)在(1b,0)内至少有一个零点；故对任意的实数b，g(x)在R上都有零点，即方程f(x+2)=f(x)+f(2)总有解，所以对任意实数b，都有f(x)∈M.…(16分)【解析】(1)利用f(x)=3x +2，通过f(t +2)=f(t)+f(2)推出方程无解，说明f(x)=3x +2不属于集合M. (2)由f(x)=lg ax 2+2属于集合M ，推出lg a(x+2)2+2=lg ax 2+2+lg a6有实解，即(a −6)x 2+4ax +6(a −2)=0有实解，若a =6时，若a ≠6时，利用判断式求解即可．(3)当f(x)=2x +bx 2时，方程f(x +2)=f(x)+f(2)⇔3×2x +4bx −4=0，令g(x)=3×2x +4bx −4，则g(x)在R 上的图象是连续的，当b ≥0时，当b <0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b ，都有f(x)∈M ．本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：(1)当x >1时，f(x)=x 3+3x −3，f(2)=11.由，得．所以y =f(x)在x =2处的切线方程为y =15(x −2)+11即15x −y −19=0． (2)①当a ≤−1时，得f(x)=x 3+3x −3a ，因为0'/>，所以f(x)在[−1,1]单调递增，所以f(x)min =f(−1)=−4−3a ．②当a ≥1时，得f(x)=x 3−3x +3a ，因为，所以f(x)在[−1,1]单调递减，所以f(x)min =f(1)=−2+3a ． ③当−1<a <1时，f(x)={x 3+3x −3a,a <x <1x 3−3x +3a,−1<x ≤a 由①②知：函数f(x)在(−1,a)单调递减，(a,1)单调递增， 所以f(x)min =f(a)=a 3．综上，当a ≤−1，f(x)min =−4−3a ； 当−1<a <1时，f(x)min =a 3； 当a ≥1时，f(x)min =−2+3a ．(3)当a >0，且任意x ≥1有f(x +a)−f(1+a)≥15a 2lnx ， 即对任意x ≥1有(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3≥0． 设g(x)=(x +a)3+3x −15a 2lnx −(a +1)3−3，则g(1)=0，．设，因为a>0，x≥1，所以0'/>，所以ℎ(x)在[1,+∞)单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(1)，即，1当即0<a≤1时，所以恒成立，所以g(x)在[1,+∞)单调递增，此时g(x)≥g(1)=0，满足题意．2当即a>1时，因为0'/>，且在[1,+∞)单调递增，所以存在唯一的x0>1，使得，因此当1<x<x0时；当x>x0时0'/>；所以g(x)在(1,x0)单调递减，(x,+∞)单调递增．所以g(x0)<g(1)=0，不满足题意．综上，0<a≤1．【解析】(1)当x>1时，f(x)=x3+3x−3，f(2)=11.由，得由此利用导数的几何意义能求出y=f(x)在x=2处的切线方程．(2)当a≤−1时，得f(x)=x3+3x−3a，由0'/>，得到f(x)min= f(−1)=−4−3a.当a≥1时，得f(x)=x3−3x+3a，由，得到f(x)min=f(1)=−2+3a.当−1<a<1时，f(x)={x 3+3x−3a,a<x<1x3−3x+3a,−1<x≤a，由此能求出函数f(x)的最小值．(3)当a>0，且任意x≥1有f(x+a)−f(1+a)≥15a2lnx，即对任意x≥1有(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3≥0.设g(x)=(x+a)3+3x−15a2lnx−(a+1)3−3，则g(1)=0，设，则0'/>，由此利用导数性质能求出结果．本题考查切线方程、函数的最小值、实数的取值范围的求法，考查导数的几何意义、导数性质、函数最值、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】(Ⅰ)解：对于数列{a n}，a n+m=a n⋅a m=53×(5×3n+m−1)≠a n，所以{a n}不是指数型数列．对于数列{b n}，对任意n，m∈N∗，因为b n+m=4n+m=4n⋅4m=b n⋅b m，所以{b n}是指数型数列．(Ⅱ)证明：由题意，{1a n+1}，是“指数型数列”，a n=2a n a n+1+3a n+1，⇒1a n+1=3a n+2⇒1a n+1+1=3(1a n+1)，所以数列{1a n +1}是等比数列，1a n+1=(1a n+1)×3n−1=3n，(1 a n +1)(1a m+1)=3n⋅3m=3m+n=(1a n+m+1)，数列{1a n+1}是“指数型数列”．(Ⅲ)证明：因为数列{a n}是指数数列，故对于任意的n，m∈N∗，有a n+m=a n⋅a m，⇒a n+1=a n⋅a1⇒a n=a1n=(a+1a+2)n，假设数列{a n}中存在三项a u，a v，a w构成等差数列，不妨设u<v<w，则由2a v=a u+a w，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u，当t为偶数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是偶数，(a+1)w−u是奇数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立；当t为奇数时，2(a+2)w−v(a+1)v−u是偶数，而(a+2)w−u是奇数，(a+1)w−u是偶数，故2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u也不能成立．所以，对任意a∈N∗，2(a+2)w−v(a+1)v−u=(a+2)w−u+(a+1)w−u不能成立，即数列{a n }的任意三项都不成构成等差数列．【解析】(Ⅰ)利用指数数列的定义，判断即可；(Ⅱ)利用a 1=12，a n =2a n a n+1+3a n+1(n ∈N ∗)，说明数列{1a n +1}是等比数列，然后证明数列{1a n +1}为“指数型数列”； (Ⅲ)利用反证法，结合n 为偶数以及奇数进行证明即可．本题考查指数数列的定义，考查反证法的运用，正确理解与运用新定义是关键． 21.【答案】解：设A −1=[a b c d ]，∵AA −1=[1001]，∴{c =1d =02a +3c =02b +3d =1，即{ a =−32b =12c =1d =0， ∴A −1=[−321210]， ∴A −1B =[−52420]．【解析】根据矩阵乘法法则计算．本题考查了矩阵乘法计算，属于基础题．22.【答案】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6， 由f(λ)=0，解得λ=2或3．当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]；当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]．设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1． ∴A 5a ⃗=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．【解析】令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11].解得m ，n ，即可得出．本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【答案】解：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD =1，则各点坐标为A(0,0，0)B(0，2，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，P(0,0，1)，M(0,1，12)(1)因AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,−1)， 故|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2,|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2，所以cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC |⋅|PB |=√105． (2)由题得：平面PMC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1,y 1,z 1)，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,−12),PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−1,1)所以{n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 1−z 12=0n 1⃗⃗⃗⃗⃗⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x 1−y 1+z 1=0解得：n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,2)同理设平面AMC 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12),AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0)所以{n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=y 2+z 22=0n 2⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 2+y 2=0解得：n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−1,2)故cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23， 即所求锐二面角的余弦值为23．【解析】(1)分别求出两条直线所在的向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为两条直线的夹角．(2)根据题意分别求出两个平面的法向量，利用向量的有关运算求出两个向量的夹角的余弦值，然后再转化为二面角的平面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，有利于建立空间直角坐标系，利用向量的有关运算解决空间角与空间距离等问题．24.【答案】解：(1)分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,4，0)，A 1(0,0，2)，B 1(2,0，2)，C 1(0,4，2)，…(2分)当λ=1时，D 为BC 的中点，∴D(1,2，0)，DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2,2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2，−2)， 设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x +2y −2z =0，取x =2， 得n⃗⃗=(2,0，1)， 又cos <DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,n ⃗⃗>=DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗|=43√5=4√515， ∴直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为4√515.…(6分) (2)∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λDC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴D(2λ+1,4λλ+1,0)， ∴A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，0)，A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2λ+1,4λλ+1,−2)，设平面A 1C 1D 的法向量为n⃗⃗=(x,y ，z)， 则{n ⃗⃗⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4y =0n ⃗⃗⋅A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2λ+1x +4λλ+1y −2z =0，取z =1，得n⃗⃗=(λ+1,0，1).…(8分) 又平面A 1B 1C 1的一个法向量为m⃗⃗⃗=(0,0，1)， ∵二面角B 1−A 1C 1−D 的大小为60°，∴|cos <m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗>|=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗⃗|⋅|n ⃗⃗||=√(λ+1)2+1=12， 解得λ=√3−1或λ=−√3−1(不合题意，舍去)，∴实数λ的值为√3−1.…(10分)【解析】(1)分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．(2)求出平面A1C1D的法向量和平面A1B1C1的一个法向量，利用向量法能求出实数λ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．。

江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅰ卷）一、填空题（共14小题，每题5分，共70分）1．集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则B A ⋂=______． 2．设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 3．已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是______．4．已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．5.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.6．已知实数x ，y 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为______.7．已知函数()xx axf x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____ 8．设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）． 9．已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 10．已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___． 11．已知函数ln ,0()21,0xx x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_______. 12．在等腰中，，，则面积的最大值为__________．13．已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____． 14．已知函数.若，且，则的取值范围是__________．二、解答题：（共6小题，15、16、17各14分，18、19、20各16分，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a b =且sin sin B C =. （1）求角A 的大小；（2）若23a =，角B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度.16．如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥； （2）求证：//BF 平面CDE ．17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（1）求实数,m n 值；（2）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．18．已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记CE h =．（1）若3a =，求h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19. 已知奇函数f （x ）＝a （a 为常数）．（1）求a 的值；（2）若函数g （x ）＝|（2x +1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围；（3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）4121x xm ⋅-≤+恒成立，求实数m 的取值范围．20. 已知函数（）.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上无极值点，求的值；（3）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅱ卷）21.已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．22. 在极坐标系中，直线cos()24πρθ+=与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．23. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos 2αα=⎧⎨=+⎩x y （α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.24. 如图，在底面为正方形的四棱锥P ABCD-中，侧棱PD⊥底面ABCD，PD DC=，E是线段PC的中点．（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，且二面角F DE B--的平面角的正弦值为3，求PFPB的值．（第24题）高三数学期中考试答案一卷答案一、填空题1．{}1- 2．-2 3． 4．145．6 6．7/2 7．1 8．充分不必要 9． 3 10．511．()2,+∞ 12．4 13．2 14.二、解答题15．（1）由sin sin B C =及正弦定理知b c =，又3a b =，∴由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-= 22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，∴23A π=. （2）由（1）知6B C π==，∴在BCD ∆中知：34BDC π∠=，6BCD π∠=，又23BC = 故由正弦定理得33sin sin46BD ππ=.∴6BD =16．证明：（1）因为矩形ABCD ，所以AD ⊥CD又因为DE ⊥AD ，且CD I DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE 又因为CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥CE（2）因为AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以AB ∥平面CDE 又因为AF ∥DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE ，所以AF ∥平面CDE 又因为AB I AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF ，所以平面ABF ∥平面CDE 又因为BF ⊂平面ABF ，所以BF ∥平面CDE18．（1）3,a =Q 又sin cos 3cos 2sin()6h a πθθθθθ=+=+=+Q 02πθ<<2663πππθ∴<+<,当且仅当62ππθ+=,即3πθ=时max 2h =（2）Q 12()h h h +21(sin cos )(cos sin )sin 22a a a a θθθθθ+=++=+当且仅当22=πθ,即4πθ= 时, 12()h h h +的最大值为2142a a ++=0,221a a >=-Q ,19．【解析】（1）f （x ）是定义在R 上的奇函数， 可得f （0）＝a ﹣1＝0，即a ＝1， 可得f （x ）＝1，由f （﹣x ）+f （x ）0，即f （x ）为R 上的奇函数，故a ＝1；（2）函数g （x ）＝|（2x +1）f （x ）|﹣k 有2个零点 ⇔方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解， 即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x ﹣1|的图象有2个交点，由图象得k ∈（0，1）； （3）x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ），即1，即m ≥2﹣x 在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g （x ）＝2﹣x 在R 上单调递减，x ∈[﹣2，﹣1]时，g （x ）的最大值为g （﹣2）＝4， 则m ≥4，即m 的取值范围是[4，+∞）．20.（I ）当时，，，，，所以曲线在点处的切线方程为.（II），，依题意有，即，，解得.(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点. （2）时：当，，函数为增函数；当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.由于，此时只需判定的符号：当时，函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.综上，时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.Ⅱ卷答案21.解：矩阵M的特征多项式为，令f（λ）=0，解得λ1=1，λ2=2，………4分将λ1=1代入二元一次方程组解得x=0，所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为 ………10分22.解23.解：因为直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，所以直线l 的普通方程为3y x =，又因为曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．根据x 的范围应舍去236x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 点的直角坐标为(0,0) ………10分24.解：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 所以DA ，DC ，DP 两两垂直，故以{},,DA DC DP u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．因为PD DC =，所以DA DC DP ==．不妨设2DA DC DP ===， 则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点， 所以E （0，1，1），故AP u u u r ＝（－2，0，2），BE u u u r ＝（－2，－1，1）所以cos ,AP BE 〈〉u u u r u u u r ＝AP BE AP BE ⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r， 从而,AP BE 〈〉u u u r u u u r ＝π6．因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6．………………………………………………4分 （2）由（1）可知DE u u u r ＝（0，1，1），DB u u u r ＝（2，2，0），PB u u u r＝（2，2，－2）．设PF u u u r ＝PB λu u u r ，则PF u u u r＝（2λ，2λ，－2λ），从而DF u u u r ＝DP u u u r ＋PF u u u r＝（2λ，2λ，2－2λ）． 设m ＝（1x ，1y ，1z ）为平面DEF 的一个法向量，则00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rm m ，即1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩． 取1z ＝λ，则1y ＝－λ，1x ＝2λ－1，所以m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量．…………………………………6分 设n ＝（2x ，2y ，2z ）为平面DEB 的一个法向量，则00DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩． 取2x ＝1，则2y ＝－1，2z ＝1，所以n ＝（1，－1，1）为平面DEB 的一个法向量．………………………………………8分 因为二面角F DE B --的平面角的正弦值为3， 所以二面角F DE B --即cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n， 化简得241λ=．因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，故λ＝12，即PF PB ＝12．…………………………………………………………………10分。

2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |2x +3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．(−32，3)B ．(32，3)C ．(−32，+∞)D ．（﹣2，+∞）2．命题“∀x ≥√2，x 2≥2”的否定是（ ） A ．∀x ≥√2，x 2＜2 B ．∃x ≥√2，x 2≤2C ．∃x ≥√2，x 2＜2D ．∀x ＜√2，x 2＜23．已知复数z 满足zz =2，则|z |＝（ ） A ．2B ．4C ．√2D ．2√24．已知p ：x 2﹣x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ） A ．0＜x ＜1B ．﹣1＜x ＜1C ．12＜x ＜23D ．12＜x ＜25．函数f(x)=lnx −1x的零点所在的区间是（ ） A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（3，4）6．若P(AB)=29，P(A)=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立7．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：y =2sin(2x +π3)，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1向左平行移动π3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把C 1向左平行移动π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 28．已知函数f(x)=2cos(ωx +π3)−√3（ω＞0）在[0，π12]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．[18，22）B ．[22，42）C ．（18，22]D ．（22，42]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．已知函数f(x)=sin(x +π5)−1，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =−π5对称C ．f （x ）的图象关于点(−π5，−1)中心对称 D ．f （x ）在区间(0，π5)上单调递增10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为直角三角形 B ．若a ＝b sin C +c cos B ，则∠C =π4C ．若a ＝12，b ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．在锐角三角形ABC 中，不等式b 2+c 2﹣a 2＞0恒成立11．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线DD 1与直线AF 异面B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面是等腰梯形D ．三棱锥A ﹣CEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的1812．函数f （x ）的定义域为R ，已知f （x +1）是奇函数，f （2+x ）＝f （2﹣x ），当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+2，则下列各选项正确的是（ ）A ．f （x +4）＝f （x ）B ．f （x ）在[0，1]单调递增C ．f （1）＝0D ．f(133)=53三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．tan420°+tan510°＝ ．14．数据4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位数为 ．15．已知在△ABC 中，A +B ＝3C ，2sin （A ﹣C ）＝sin B ，AB ＝5，则AB 边上的高为 ． 16．三棱锥A ﹣BCD 的四个顶点都在表面积为20π的球O 上，点A 在平面BCD 的射影是线段BC 的中点，AB =BC =2√3，则平面BCD 被球O 截得的截面面积为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若B =π3，且（a ﹣b +c ）（a +b ﹣c ）=37bc ． （Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积．18．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(2√3cosx −sinx ，cosx)，f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f （x ）的单调递减区间；（2）若f(x 0)=2√33，x 0∈[π6，π2]，求cos2x 0的值． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的极值．20．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ⊥BC ，BE ∥CF ，且AB ＝BE ＝2，CF ＝3．（1）证明：AE ∥平面DCF ； （2）求二面角A ﹣EF ﹣C 的余弦值．21．（12分）“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”．乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”．问：（1）从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？（2）若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率；（3）若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率．22．（12分）已知f（x）＝xlnx+a2x2+1，a＜1．（Ⅰ）若f（x）在其定义域上为减函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x cos x﹣sin x﹣xlnx﹣1在(0，π2]上有且只有1个零点，求a的取值范围．2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，B ＝{x |2x +3＞0}，则A ∪B ＝（ ） A ．(−32，3)B ．(32，3)C ．(−32，+∞)D ．（﹣2，+∞）解：由题意知：A ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ={x|2x +3＞0}={x|x ＞−32}， 所以：A ∪B ＝（﹣2，+∞），故D 项正确． 故选：D ．2．命题“∀x ≥√2，x 2≥2”的否定是（ ） A ．∀x ≥√2，x 2＜2 B ．∃x ≥√2，x 2≤2C ．∃x ≥√2，x 2＜2D ．∀x ＜√2，x 2＜2解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“∀x ≥√2，x 2≥2”的否定是“∃x ≥√2，x 2＜2”． 故选：C ．3．已知复数z 满足zz =2，则|z |＝（ ） A ．2B ．4C ．√2D ．2√2解：设z ＝a +bi ，则z =a −bi ，zz =a 2+b 2=2，所以|z|=√a 2+b 2=√2． 故选：C ．4．已知p ：x 2﹣x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ） A ．0＜x ＜1B ．﹣1＜x ＜1C ．12＜x ＜23D ．12＜x ＜2解：∵p ：x 2﹣x ＜0⇒0＜x ＜1⇒﹣1＜x ＜1，﹣1＜x ＜1推不出x 2﹣x ＜0， ∴p ：x 2﹣x ＜0，那么命题p 的一个必要不充分条件﹣1＜x ＜1， 故选：B ．5．函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的区间是（ ） A ．（1，2）B ．（2，e ）C ．（e ，3）D ．（3，4）解：f （1）＝ln 1﹣1＝﹣1＜0，f(2)=ln2−12=ln2−12lne =ln2−ln √e =√e=12ln 4e ＞0， 由f （1）•f （2）＜0，根据零点定理，则f （x ）在（1，2）上存在零点； 当x ＞0时，函数y ＝lnx 与函数y =−1x单调递增，则f （x ）单调递增， 所以函数f （x ）仅在（1，2）中存在一个零点． 故选：A ．6．若P(AB)=29，P(A)=23，P(B)=13，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立解：∵P(AB)=29≠0，P(A)=23，P(B)=13， ∴P （AB ）＝P （A ）P （B ）=29，∴事件A 与B 相互独立、事件A 与B 不互斥，不对立． 故选：C ．7．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：y =2sin(2x +π3)，则错误的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动5π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1向左平行移动π3个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把C 1向左平行移动π6个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2解：∵曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：y =2sin(2x +π3)，把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2sin2x 的图象；再把得到的曲线向左平行移动π6个单位长度，得到曲线C 2，y ＝2sin （2x +π3）的图象，故A 正确．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2sin2x 的图象；再把得到的曲线向右平行移动5π6个单位长度，得到 y ＝2sin （2x −5π3）＝2sin （2x +π3）的图象，即曲线C 2，故B 正确．把C 1向左平行移动π3个单位长度，可得y ＝2sin （x +π3）的图象，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到曲线C 2：y ＝2sin （2x +π3）的图象，故C 正确．把C 1向左平行移动π6个单位长度，可得y ＝2sin （x +π6）的图象；再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y ＝2sin （2x +π6）的图象，不能得到曲线C 2，故D 错误， 故选：D ．8．已知函数f(x)=2cos(ωx +π3)−√3（ω＞0）在[0，π12]上恰有2个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．[18，22） B ．[22，42） C ．（18，22] D ．（22，42]解：因为：x ∈[0，π12]，所以：ωx +π3∈[π3，ωπ12+π3]， 令：2cos(ωx +π3)−√3=0，则得：cos(ωx +π3)=√32． 因为：f(x)=2cos(ωx +π3)−√3在[0，π12]上有2个零点， 所以：13π6≤ωπ12+π3＜23π6，解得：22≤ω＜42．故ω的取值范围为：[22，42），故B 项正确． 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．已知函数f(x)=sin(x +π5)−1，则（ ） A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =−π5对称C ．f （x ）的图象关于点(−π5，−1)中心对称 D ．f （x ）在区间(0，π5)上单调递增解：根据函数的关系式f （x ）的最小正周期T =2π1=2π，故A 正确；令x+π5=π2+kπ，k∈Z，解得x=3π10+kπ，k∈Z，所以对称轴为x=3π10+kπ，k∈Z，故B错误；令x+π5=kπ，k∈Z，解得x=−π5+kπ，k∈Z，所以f（x）的对称中心为(−π5+kπ，−1)，k∈Z，故C正确；令−π2+2kπ≤x+π5≤π2+2kπ，k∈Z，解得−7π10+2kπ≤x≤3π10+2kπ，k∈Z，所以单调递增区间为[−7π10+2kπ，3π10+2kπ]，k∈Z，当k＝0时满足题意，故D正确．故选：ACD．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为直角三角形B．若a＝b sin C+c cos B，则∠C=π4C．若a＝12，b＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2﹣a2＞0恒成立解：对于A，因为sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错；对于B，由正弦定理得，sin A＝sin B sin C+sin C cos B，又A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin（B+C），所以sin B cos C+cos B sin C＝sin B sin C+sin C cos B，又sin B≠0，所以cos C＝sin C，C∈（0，π），所以C=π4，故B对；对于C，由正弦定理有asinA =bsinB，即12sinA=10sin60°，所以sinA=3√35＞1，这样的三角形无解，故C错；对于D，因为三角形是锐角三角形，所以cosA=b2+c2−a22bc＞0，所以不等式b2+c2﹣a2＞0恒成立，故D对．故选：BD．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A ．直线DD 1与直线AF 异面B ．直线A 1G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面是等腰梯形D ．三棱锥A ﹣CEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的18解：如图，对于选项A ，根据异面直线的判定定理可知AF 与DD 1异面，故选项A 正确； 对于选项B ，取B 1C 1的中点为M ，连接A 1M 、GM ，则A 1M ∥AE ，GM ∥EF ， 易证平面A 1MG ∥平面AEF ，从而A 1G ∥平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，连接AD 1，D 1F ，易知平面AEF 截正方体所得的截面为等腰梯形AEFD 1，故选项C 正确；对于选项D ．设正方体棱长为a ，则三棱锥A ﹣CEF 的体积为V 1=13×12×CC 12×CB×CD 2=a 324，故选项D 错误． 故选：ABC ．12．函数f （x ）的定义域为R ，已知f （x +1）是奇函数，f （2+x ）＝f （2﹣x ），当x ∈[1，2]时，f （x ）＝ax 2+2，则下列各选项正确的是（ ） A ．f （x +4）＝f （x ） B ．f （x ）在[0，1]单调递增 C ．f （1）＝0D ．f(133)=53解：∵f （x +1）是奇函数，则f （x +1）＝﹣f （﹣x +1）⇒f （x +2）＝﹣f （﹣x ）， ∴f （﹣1+2）＝﹣f （1）⇒f （1）＝0，故C 正确；又f （2+x ）＝f （2﹣x ），故﹣f （﹣x ）＝f （2﹣x ）⇒﹣f （x ）＝f （x +2）， 所以﹣f （x +2）＝f （x +4）＝f （x ），即T ＝4是f （x ）的一个周期，故A 正确；由f （x ）关于（1，0）中心对称，即函数f （x ）在[0，1]上的单调性与[1，2]上的单调性一致， 由f （1）＝a +2＝0⇒a ＝﹣2，则x ∈[1，2]时，f （x ）＝﹣2x 2+2，此时函数单调递减，即B 错误； 由上知：f(133)=f(4+13)=f(13)=−f(53)=−2×(53)2+2=−329，故D 错误．故选：AC ．三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．tan420°+tan510°＝ 2√33．解：tan420°+tan510°＝tan （60°+2×180°）+tan （﹣30°+3×180°） ＝tan60°+tan （﹣30°） =tan60°−tan30°=2√33．故答案为：2√33．14．数据4、7、6、8、2、5、9、20的第70百分位数为 8 ．解：将数据由小到大进行排列为2、4、5、6、7、8、9、20，共8个数， 因为8×0.7＝5.6，故该组数据的第70百分位数为8． 故答案为：8．15．已知在△ABC 中，A +B ＝3C ，2sin （A ﹣C ）＝sin B ，AB ＝5，则AB 边上的高为 6 ． 解：A +B +C ＝3C +C ＝4C ＝π，所以C =π4， 2sin （A ﹣C ）＝sin B ＝sin （A +C ），所以2sin A cos C ﹣2cos A sin C ＝sin A cos C +cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝3cos A sin C ， 所以sin A ＝3cos A ，又sin 2A +cos 2A ＝1，且在△ABC 中，sin A ＞0， 所以sinA =3√1010，cosA =√1010，所以sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC =2√55， 由正弦定理AC sinB=AB sinC可知，AC =AB⋅sinBsinC=2√10， 设AB 边上的高为h ，则S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sinA =12AB ⋅ℎ， 所以h ＝AC •sin A ＝6． 故答案为：6．16．三棱锥A ﹣BCD 的四个顶点都在表面积为20π的球O 上，点A 在平面BCD 的射影是线段BC 的中点，AB =BC =2√3，则平面BCD 被球O 截得的截面面积为 4π ．解：设球O的半径为R，则4πR2＝20π，解得R=√5，因为点A在平面BCD的射影是线段BC的中点M，即AM⊥平面BCD，因为BC⊂平面BCD，所以AM⊥BC，由三线合一可知，AB＝AC，因为AB=BC=2√3，所以△ABC为等边三角形，故BM=CM=√3，AM＝3，且球心O在平面ABC上的投影为△ABC的中心N，即AN＝2，MN＝1，过点O作OP⊥平面BCD于点P，连接DP，OD，故OD=√5，则OP与AM平行，故OP＝MN＝1，由勾股定理得DP=√OD2−OP2=2，平面BCD被球O截得的截面为圆，半径为2，故面积为π•22＝4π．故答案为：4π．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=π3，且（a﹣b+c）（a+b﹣c）=37bc．（Ⅰ）求cos C的值；（Ⅱ）若a＝5，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）（a﹣b+c）（a+b﹣c）=37bc可得：a2﹣（b﹣c）2＝a2﹣b2﹣c2+2bc=37bc，∴a2＝b2+c2−117bc，∴cos A=b2+c2−a22bc=1114，∴sin A=√1−cos2A=5√3 14，则cos C ＝﹣cos （A +B ）＝﹣cos A cos B +sin A sin B =−1114×12+5√314×√32=17； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C =√1−cos 2C =4√37，在△ABC 中，由正弦定理asinA =bsinB =csinC，得：c =asinCsinA =5×4√375√314=8，则S =12ac sin B =12×5×8×√32=10√3．18．（12分）已知向量a →=(sinx ，cosx)，b →=(2√3cosx −sinx ，cosx)，f(x)=a →⋅b →． （1）求函数f （x ）的单调递减区间； （2）若f(x 0)=2√33，x 0∈[π6，π2]，求cos2x 0的值． 解：（1）f(x)=a →⋅b →=2√3sinxcosx +cos 2x −sin 2x =√3sin2x +cos2x =2(√32sin2x +12cos2x)=2sin(2x +π6)，令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 解得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递减区间为[kπ+π6，kπ+2π3](k ∈Z)． （2）由（1）知，f(x 0)=2sin(2x 0+π6)， 又∵f(x 0)=2√33，∴sin(2x 0+π6)=√33， ∵x 0∈[π6，π2]，则2x 0+π6∈[π2，7π6]， ∴cos(2x 0+π6)＜0，∴cos(2x 0+π6)=−√63，则cos2x 0=cos[(2x 0+π6)−π6]=cos(2x 0+π6)cos π6+sin(2x 0+π6)sin π6=(−√63)×√32+√33×12=√3−3√26． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x ﹣alnx （a ∈R ）．（1）当a ＝2时，求曲线y ＝f （x ）在点A （1，f （1））处的切线方程； （2）求函数f （x ）的极值．解：函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′(x)=1−ax ． （1）当a ＝2时，f （x ）＝x ﹣2lnx ，f ′(x)=1−2x (x ＞0)，因而f（1）＝1，f′（1）＝﹣1，所以曲线y＝f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即x+y﹣2＝0（2）由f′(x)=1−ax=x−ax，x＞0知：①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，函数f（x）无极值；②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得x＝a．又当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a﹣alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a﹣alna，无极大值．20．（12分）如图，正方形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BE⊥BC，BE∥CF，且AB＝BE ＝2，CF＝3．（1）证明：AE∥平面DCF；（2）求二面角A﹣EF﹣C的余弦值．解：（1）证明：由正方形ABCD的性质知：AB∥CD，又AB⊄平面DCF，CD⊂平面DCF，∴AB∥平面DCF，∵BE∥CF，BE⊄平面DCF，CF⊂平面DCF，∴BE∥平面DCF，∵AB∩BE＝B，AB、BE⊂平面ABE，∴平面ABE∥平面DCF，∵AE⊂平面ABE，∴AE∥平面DCF．（2）∵平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC，BE⊥BC，BE⊂平面BEFC，∵平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC ＝BC ，BE ⊥BC ，BE ⊂平面BEFC ， 则BE ⊥平面ABCD ，又BE ∥CF ，则CF ⊥平面ABCD ，又CD ⊥BC ， 则CB ，CF ，CD 两两垂直，以C 为坐标原点，CD →，CB →，CF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BE ＝2，CF ＝3，得C （0，0，0），D （2，0，0），B （0，2，0），A （2，2，0）， E （0，2，2），F （0，0，3），则AE →=（﹣2，0，2），EF →=（0，﹣2，1）， 设平面AEF 的法向量为m →=（x ，y ，z ）， 则{m →⋅AE →=−2x +2z =0m →⋅EF →=−2y +z =0，取y ＝1，得m →=（2，1，2）， 平面CEF 的一个法向量CD →=（2，0，0）， 则cos ＜m →，CD →＞=m →⋅CD→|m →|⋅|CD →|=43×2=23，∵二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角为锐角， ∴二面角A ﹣EF ﹣C 的余弦值为23．21．（12分）“青团”是江南人家在清明节吃的一道传统点心，据考证“青团”之称大约始于唐代，已有1000多年的历史．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的“青团”，已知甲箱中有3个蛋黄馅的“青团”，2个肉馅的“青团”和5个青菜馅的“青团”．乙箱中有3个蛋黄馅的“青团”，3个肉馅的“青团”和4个青菜馅的“青团”．问：（1）从甲箱中取出一个“青团”是蛋黄馅的的概率是多少？（2）若依次从甲箱中取出两个“青团”，求第一个是蛋黄馅的条件下，第二个是肉馅的概率； （3）若先从甲箱中随机取出一个“青团”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一个“青团”，从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅的概率．解：（1）设事件A ＝“取出青团是蛋黄馅”，P(A)=310． （2）设事件B ＝“甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅”，事件C ＝“取出第二个青团是肉馅”，P(C|B)=P(BC)P(B)=310×29310=29．（3）设事件D ＝“从乙箱取出的“青团”是蛋黄馅”．设事件A 1，A 2，A 3分别是甲箱中取出蛋黄馅的“青团”，肉馅的“青团”和青菜馅的“青团”， P （D ）＝P （A 1）P （D |A 1）+P （A 2）P （D |A 2）+P （A 3）P （D |A 3） =310×411+210×311+510×311=310． 22．（12分）已知f （x ）＝xlnx +a 2x 2+1，a ＜1．（Ⅰ）若f （x ）在其定义域上为减函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）+x cos x ﹣sin x ﹣xlnx ﹣1在(0，π2]上有且只有1个零点，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题知f '（x ）＝lnx +1+ax ≤0在（0，+∞）上恒成立， ∴a ≤−lnx−1x ，令ℎ(x)=−lnx−1x ，则ℎ′(x)=lnxx2， 由lnx x 2＞0，得x ＞1，∴h （x ）在（1，+∞）上单调递增， 由lnx x 2＜0，得0＜x ＜1，∴h （x ）在（0，1）上单调递减，∴当x ＝1时，h （x ）取得最小值h （1）＝﹣1， ∴a ≤﹣1，即实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣1]． （Ⅱ）由题知，g(x)=a2x 2+xcosx −sinx ，x ∈(0，π2]， ∴g '（x ）＝x （a ﹣sin x ），当0＜a ＜1时，∃x 0∈(0，π2)，使得sin x 0＝a ，∴g （x ）在（0，x 0）上单调递增，在(x 0，π2]上单调递减，又g （0）＝0，g(π2)=aπ28−1， ∴当aπ28−1＞0，即a ＞8π2时，g （x ）在(0，π2]上无零点， 当aπ28−1≤0，即0＜a ≤8π2时，g （x ）在(0，π2]上有一个零点；当a ≤0时，g '（x ）＝x （a ﹣sin x ）＜0， ∴g （x ）在(0，π2]上单调递减， 故g （x ）在(0，π2]上无零点． 综上，a 的取值范围为(0，8π2]．。

江苏省马坝高级中学2019-2020学年度第一学期期中考试高三数学试题（理科）（Ⅰ卷）一、填空题1.集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<，则A B =______．2.设复数12z i =-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为_______. 3.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．4.已知两个袋子中装有大小和形状相同的小球，其中甲袋中有3个小球编号为1,2,3，乙袋中有4个小球编号为1,2,3，4，若从两个袋中各取出1球，则取出的两个小球编号相同的概率为______．5.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为____.6.已知实数,x y 满足约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为______.7.已知函数()x x ax f x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____． 8.设集合A ＝{x |x （x ﹣1）＜0}，B ＝{x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”____条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）．9.已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ． 10.已知一个圆柱的轴截面为正方形，其侧面积为1S ，与该圆柱等底等高的圆锥的侧面积为2S ，则21S S 的值为___．11.已知函数ln ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩，若函数()y f x x a =+-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______.12.在等腰ABC ∆中，AB AC =，26AC BC +=ABC ∆面积的最大值为__________． 13.已知函数31()4f x x x=-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．14.已知函数()22x f x =-，若a b ¹，且()()f a f b =，则+a b 的取值范围是__________．二、解答题15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b，c ，a 且sin sin B C =.（1）求角A 的大小；（2）若a =B 的平分线交AC 于点D ，求线段BD 的长度.16.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，侧面ADEF 为梯形，//AF DE ，DE AD ⊥.（1）求证：AD CE ⊥；（2）求证：//BF 平面CDE ．17.已知函数()32133f x x mx nx =+++，其导函数()f x '的图象关于y 轴对称，()213f =-．（Ⅰ）求实数,m n 的值；（Ⅱ）若函数()y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围．18.已知矩形ABCD 所在的平面与地面垂直，点A 在地面上，设AB a =(0)a >，1BC =，AB 与地面成θ角（02πθ<<），如图所示，CE 垂直地面，垂足为E ，点B 、D 到CE 的距离分别为12,h h ，记C E h =．（1）若a =h 的最大值，并求此时的θ值；（2）若12()h h h +的最大值为4，求a 的值．19.已知奇函数f （x ）＝a 221x -+（a 常数）．（1）求a 的值；（2）若函数g （x ）＝|（2x +1）f （x ）|﹣k 有2个零点，求实数k 的取值范围； （3）若x ∈[﹣2，﹣1]时，不等式f （x ）4121x x m ⋅-≤+恒成立，求实数m 的取值范围． 20.已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.（Ⅱ卷）21.已知矩阵2011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 特征值及其相应的特征向量．22.在极坐标系中，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与极轴交于点C ，求以点C 为圆心且半径为1的圆的极坐标方程．23.在极坐标系中，直线l 极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,{1cos 2x y αα==+（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 24.如图，在底面为正方形四棱锥P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是线段PC 的中点．（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F DE B --的正弦值为3，求PF PB 的值．的的一、填空题1.【答案】{}1-【解析】【分析】根据集合的交集运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合{}1,0,1A =-，{}20B x x =-<<，根据集合的交集运算，可得AB ={}1-. 故答案为{}1-.【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的交集运算，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.【答案】2-【解析】【分析】根据复数的概念，即可求得复数12z i =-的虚部，得到答案.【详解】根据复数的概念，可得复数12z i =-（i 为虚数单位）的虚部为2-.故答案为2-.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，其中解答中熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.3.已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．【答案】0.1【解析】数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为15x =×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2， ∴该组数据的方差为： s 2=15×[（4.8–5.2）2+（4.9–5.2）2+（5.2–5.2）2+（5.5–5.2）2+（5.6–5.2）2]=0.1．故答案为0.1．4.【答案】14【解析】【分析】 先求出基本事件的总数，再计算随机事件中基本事件的个数，利用公式可计算概率.【详解】设A 为“取出的两个小球编号相同”，从两个袋中各取出1球，共有12种取法，取出的两个小球编号相同，共有3种取法，故()31124P A ==. 【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件，也可用排列组合的方法来计数.5.【答案】6【解析】【分析】执行如图所示的程序框图，逐次计算，根据判断条件，即可求解，得到答案.【详解】执行如图所示的程序框图，可得：0,1S m ==，第1次循环，满足判断条件，10122,2S m =+⨯==；第2次循环，满足判断条件，222210,3S m =+⨯==；第3次循环，满足判断条件，3103234,4S m =+⨯==；第4次循环，满足判断条件，4344298,5S m =+⨯==；第5次循环，满足判断条件，59852258,6S m =+⨯==；不满足判断条件，此时输出6m =.故答案为6.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次计算，结合判断条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.【答案】72【解析】【分析】 画出约束条件所表示平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，画出约束条件2323x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数2z x y =+，可得直线2y x z =-+，平移直线2y x z =-+过点A 时，此时目标函数取得最大值，又由223x x y =⎧⎨-=⎩，解得1(2,)2A -， 所以目标函数2z x y =+的最大值为max 172222z =⨯-=. 故答案为72.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．7.已知函数()x x ax f x xe e=-（其中e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数a 的值为____． 【答案】1 的【解析】【分析】利用()()f x f x =-恒成立可得实数a 的值．【详解】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x =-恒成立即()x x x x a x ax xe xe e e----=--，整理得到()x x x x e e a e e --+=+恒成立， 故1a =，填1.【点睛】含参数的偶函数（或奇函数），可通过取自变量的特殊值来求参数的大小，注意最后检验必不可少，也可以利用()()f x f x =-（或()()f x f x -=-）恒成立来求参数的大小.8.【答案】充分不必要【解析】【分析】首先解出集合A ，然后判断两个集合的包含关系，根据集合的包含关系与充分必要条件的判断模式得到结论.【详解】解：由于A ＝{x |0＜x ＜1}，则A ⊊B ，由m ∈B 不能推出m ∈A ，如x ＝2时，故必要性不成立．反之，根据A ⊊B ，“m ∈A ”⇒“m ∈B ”．所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．故答案为充分不必要【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，将充分必要条件的判断转化为集合的包含关系，属于基础题型.9.【答案】3【解析】【详解】()()()()12tan tan 7tan tan 311tan tan 127αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3.【此处有视频，请去附件查看】10.【答案】4【解析】【分析】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r，分别计算圆柱和圆锥的侧面积可得它们的比值.【详解】设圆柱的底面圆的半径为r ，则高为2r=，所以21224r r S r ππ=⨯=，22r l r S r ππ=⨯⨯=⨯=，所以214S S =4. 【点睛】本题考查圆柱、圆锥侧面积的计算，属于基础题.11.【答案】()2,+∞【解析】分析】将问题转变为()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点，画出()f x 的图象，通过平移直线y x =-找到符合题意的情况，从而确定参数范围. 【详解】由()0y f x x a =+-=得：()f x x a =-+ ∴函数()0y f x x a =+-=有且只有一个零点等价于：()y f x =与y x a =-+的图象且只有一个交点 画出函数()ln ,021,0x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩的图象如下图： 【y x a =-+的图象经过点()0,2A 时有2个交点，平移y x =-，由图可知，直线与y 轴的交点在A 点的上方时，两图象只有1个交点，在A 点下方时，两图象有2个交点2a ∴>，即()2,a ∈+∞本题正确结果：()2,+∞【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围，涉及到指数函数、对数函数图象的应用，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式，结合直线的平移得到结果.12.【答案】4【解析】【分析】由题意建立坐标系，结合向量模的坐标运算及基本不等式求解即可．【详解】以BC 为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，设(),0C m ，()0,A n ，(),0B m - ，()0,0m n >> (),AC m n ∴=- ，()2,0BC m = ，()3,AC BC m n ∴+=- ， 26AC BC += ，22924m n ∴+= ，22249236m n m n mn =+≥⋅⋅=，当且仅当3m n =时，即n m ==4mn ∴≤ ，4ABC S mn ∆∴=≤ ， ABC ∆∴面积的最大值为4，故答案为4．【点睛】本题考查了用解析的方法解决平面几何问题，考查了向量的坐标运算，模的计算，考查了基本不等式的应用，属于中档题． 13.【答案】2 【解析】 【分析】先对函数求导，设两切点，利用两切线平行找到两切点坐标间的关系，然后写出两切线方程，计算出两切线间距离再求最值. 【详解】解：因为()2314f x x -'=-，记l 1，l 2的切点分别为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭、22231,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且12x x ≠ 所以2212313144x x --=-- 所以12x x =-因为l 1：()112113131y 44x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()2211134480x x x y x ++-= 同理l 2：()2222234480x x x y x ++-=即()2211134480x x x y x +++=所以d ===因为2121162540x x +≥= 所以2d≤=，当且仅当1x =时取等号所以距离最大值为2 故答案为2.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线方程，两平行线间距离的最值，曲线的切线斜率即为该点处的导数，求最值过程中常用到不等式或函数相关知识. 14.【答案】(),2-∞【解析】 【分析】画出函数()22xf x =-的图象，结合图象和指数函数的性质，求得224a b +=，利用基本不等式，即可求解.【详解】画出函数()22xf x =-的图象，如图所示，不妨设1a b <<，由()()f a f b =，得2222ab-=-，所以2222a b -+=-，即224a b +=，又由422a b =+≥=2242a b +≤=， 因为a b ¹，所以222a b +<，则2a b +<， 所以+a b 的取值范围是(),2-∞. 故答案为(),2-∞.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用指数函数的性质，求得224a b +=，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、解答题15.【答案】(1)23A π=；(2)BD =. 【解析】试题分析：（1）由正弦定理知b c =，又a ，利用余弦定理求得cos A ，即可求得角A ； （2）由（1）知6B C π==，再利用正弦定理，即可求解BD 的长.试题解析：（1）由sin sin B C =及正弦定理知b c =，又a =，∴由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-= 22223122b b b b +-==-. ()0,A π∈，∴23A π=. （2）由（1）知6B C π==，∴在BCD ∆中知：34BDC π∠=，6BCD π∠=，又BC =故由正弦定理得3sin sin46BD ππ=.∴BD =16.【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）易证AD ⊥平面CDE ，从而AD ⊥CE ；（2）先证平面ABF ∥平面CDE ，可得BF ∥平面CDE. 【详解】证明：（1）因为矩形ABCD 所以AD ⊥CD又因为DE ⊥AD ，且CD DE=D ，CD 、DE ⊂平面CDE 所以AD ⊥平面CDE 又因CE ⊂平面CDE所以AD ⊥CE（2）因为AB ∥CD ，CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE 所以AB ∥平面CDE又因为AF ∥DE ，DE ⊂平面CDE ，AF ⊄ 平面CDE 所以AF ∥平面CDE又因为AB AF=A ，AB 、AF ⊂平面ABF 所以平面ABF ∥平面CDE 又因为BF ⊂平面ABF所以BF ∥平面CDE【点睛】本题考查了异面直线垂直的证明和线面平行的证明，异面直线垂直常先证线面垂直，线面平行证明可用其判定定理，也可先证面面平行再得线面平行. 17.【答案】（Ⅰ）0m =，4n =-（Ⅱ）725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导函数()f x '的图象关于y 轴对称求出m 的值，再根据()213f =-求出n 的值；（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根，再求出函数f(x)的单调性和极值，分析得解.【详解】解：（Ⅰ）()22f x x mx n '=++.函数()f x '的图象关于y 轴对称，0m ∴=. 又()121333f n =++=-，解得4n =-. 0m ∴=，4n =-.（Ⅱ）问题等价于方程()f x λ=有三个不相等的实根时，求λ的取值范围. 由（Ⅰ），得()31433f x x x =-+.()24f x x '∴=-. 令()0f x '=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，()f x ∴在(),2-∞-，()2+∞，上分别单调递增.又当22x -<<时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递减. ()f x ∴的极大值为()2523f -=，极小值为()723f =-. ∴实数λ的取值范围为725,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题．18.【答案】（1）3πθ=时max 2h =；（2）1a =.【解析】 【分析】（1）根据题意可得cos 2sin()6h πθθθ=+=+，结合三角函数的性质可得最值以及θ的值；（2）化简可得()2121sin 22a h h h a θ++=+，根据最值求出a .【详解】（1）3,a =又sin cos cos 2sin()6h a πθθθθθ=+=+=+2πθ<<2663πππθ∴<+<,当且仅当62ππθ+=,即3πθ=时max 2h = （2）12()h h h +21(sin cos )(cos sin )sin 22a a a a θθθθθ+=++=+当且仅当22=πθ,即4πθ= 时, 12()h h h +的最大值为2142a a ++=0,1a a >=,【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用，求出表达式以及掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.19.【答案】（1）1a = ；（2）k ∈（0，1）；（3）[4，+∞）. 【解析】 【分析】（1）由f （x ）为R 上的奇函数可得f （0）＝0，解方程可得a ；（2）由题意可得方程|2x ﹣1|﹣k ＝0有2个解，即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x﹣1|的图象有2个交点，画出图象即可得到所求范围；（3）由题意可得m ≥2﹣x在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立，由g （x ）＝2﹣x在R 上单调递减，即可得到所求范围． 【详解】（1）f （x ）是定义在R 上的奇函数， 可得f （0）＝a ﹣1＝0，即a ＝1，可得f （x ）＝12212121x x x--=++，由f （﹣x ）+f （x ）2121122121211221x x x x x x xx ------=+=+=++++0， 即f （x ）为R 上的奇函数， 故a ＝1；（2）函数g （x ）＝|（2x+1）f （x ）|﹣k 有2个零点 ⇔方程|2x﹣1|﹣k ＝0有2个解， 即k ＝|2x ﹣1|有2个解，即函数y ＝k 和y ＝|2x﹣1|的图象有2个交点，由图象得k ∈（0，1）；（3）x ∈[﹣2，﹣1]时，f （x ）4121x xm ⋅-≤+，即12412121x x xm ⋅--≤++， 即m ≥2﹣x在x ∈[﹣2，﹣1]时恒成立， 由g （x ）＝2﹣x在R 上单调递减，x ∈[﹣2，﹣1]时，g （x ）的最大值为g （﹣2）＝4， 则m ≥4，即m 的取值范围是[4，+∞）．【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性、以及函数零点个数、函数恒成立问题解法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】（1）1y =； （2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【解析】 【分析】（I ）由导数的几何意义,切线的斜率'(1)k f =,先求()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =,利用直线方程的点斜式求解. （II ）因为1a >,所以若()f x 在R 上无极值点,则()()2'110f x ax a x =-++≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)讨论当1a >时,() 'f x 在()0,2x ∈上的符号, 函数()f x 的单调性、极值情况,从而分析 函数()f x 的图像与x 轴的交点个数,得出函数()f x 的零点个数. 【详解】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点.（2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数；当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号： 当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、 极值，结合函数的大致图像判断零点的个数．（Ⅱ卷）21.【答案】矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵M 的特征多项式为()223211f λλλλλ-==-+--，令()0f λ=，解得11λ=，22λ=，将11λ=代入二元一次方程组()()20010x y x y λλ⎧-⋅+⋅=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得0x =，所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦v【点睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.【答案】24cos 30ρρθ-+= 【解析】 【分析】由极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线的方程为2x y -=，求得()2,0C ，得出圆的直角坐标方程，进而求得圆的极坐标方程，得到答案.【详解】由题意，直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cos sin 22ρθρθ-= 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得直线的方程为2x y -=，令0y =，可得()2,0C ，所以以点C 为圆心且半径为1的圆的方程为22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=， 所以所求圆的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的极坐标方程的求解，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.【答案】(0,0)． 【解析】【详解】试题分析：根据极坐标化普通方程公式得：y =，化曲线的参数方程为普通方程[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组即可．试题解析：因为直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，所以直线l 的普通方程为y =，又因为曲线C 的参数方程为2cos {1cos 2x y αα==+（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，联立解方程组得00x y =⎧⎨=⎩或{6x y ==．根据x 的范围应舍去{6x y ==故P 点的直角坐标为(0,0)．考点：1、极坐标；2、参数方程；3、曲线的交点． 24.【答案】（1）6π；（2）12． 【解析】【详解】试题分析：由已知条件可得两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，设2AB =，写出各点坐标，（2）求得,AP BE 的夹角可得异面直线AP 与BE 所成角的大小（这个角是锐角）；（2）PFPB λ=，再求出,E F 的坐标，然后求出平面FDE 和平面BDE 的法向量，则法向量夹角与二面角相等或互补，可得出λ的方程，解之可得λ值．试题解析：（1）在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，所以DA 、DC 、DP 两两垂直，故以为正交基底，建立空间直角坐标系D －xyz ．因为PD ＝DC ，所以DA ＝DC ＝DP ，不妨设DA ＝DC ＝DP ＝2，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），B （2，2，0）． 因为E 是PC 的中点，所以E （0，1，1）．所以AP ＝（－2，0，2），BE ＝（－2，－1，1）， 所以cos<，>＝32||AP BE AP BE ⋅=， 从而<，>＝6π因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为6π． （2）由（1）可知，＝（0，1，1），＝（2，2，0），＝（2，2，－2）． 设＝λ，则＝（2λ，2λ，－2λ），从而＝＋＝（2λ，2λ，2－2λ）．设m ＝（x 1，y 1，z 1）为平面DEF 的一个法向量，则即11111(1)0{x y z y z λλλ++-=+=取z 1＝λ，则y 1＝－λ，x 1＝2λ－1．所以m m ＝（2λ－1，－λ，λ）为平面DEF 的一个法向量． 设n ＝（x 2，y 2，z 2）为平面DEB 的一个法向量，则即1122220{0x y y z +=+= 取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝1．所以n ＝（1，－1，1）为平面BDE 一个法向量． 因为二面角F －DE －B的正弦值为3，所以二面角F －DE －B 的余弦的绝对值为3， 即|cos<m ，n >|， 所以·6·m nm n =，3=， 化简得，4λ2＝1，因为点F 在线段PB 上，所以0≤λ≤1，所以λ＝12，即12PF PB =． 考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角． 的。

江苏省淮安市2020版数学高三上学期理数期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高三上·北京月考) 已知集合A＝｛－1，0，1，2｝，，则A∩B＝（）A . ｛－1，0，1｝B . ｛0，1，2｝C . ｛0，1｝D . ｛1，2｝2. （2分）(2018·湖北模拟) 记不等式组的解集为，若 ,则实数的最小值是（）A . 0B . 1C . 2D . 43. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)B . 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)C . 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)"D . 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长为原来的3倍(纵坐标不变)"4. （2分） (2019高一下·上海月考) 在中，内角、、所对应的边分别为、、，则“ ”是“ 是以、为底角的等腰三角形”的（）.A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件5. （2分） (2018高一下·芜湖期末) 等差数列和的前项和分别为与，对一切自然数，都有，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·荥经期中) 已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么 =（）A . 1B .C . ﹣D .7. （2分） (2019高二下·亳州月考) ①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，则①、②两个推理依次是（）A . 类比推理、归纳推理B . 类比推理、演绎推理C . 归纳推理、类比推理D . 归纳推理、演绎推理8. （2分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0），在（，）上既无最大值，也无最小值，且﹣f（）=f（0）=f（），则下列结论成立的是（）A . 若f（x1）≤f（x）≤f（x2）对∀x∈R恒成立，则|x2﹣x1|min=πB . y=f（x）的图象关于点（﹣，0）中心对称C . 函数f（x）的单调区间为：[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）D . 函数y=|f（x）|（x∈R）的图象相邻两条对称轴之间的距离是二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2018高二下·溧水期末) 如图是一个算法流程图，则输出的的值是________．10. （1分） (2017高一上·靖江期中) 建造一个容积为4m3 ，深为1m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平米分别为160元和120元，则水池的最低总造价为________元．11. （1分） (2019高三上·天津月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是________．12. （1分）若f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，则f（x）=________13. （1分） (2019高一下·上海月考) 把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为________.14. （1分） (2017高一上·马山月考) 已知集合，，且，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共70分)15. （5分）(2017·顺义模拟) 设数列{an}的前n项和为Sn ．若对∀n∈N* ，总∃k∈N* ，使得Sn=ak ，则称数列{an}是“G数列”．（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d=﹣1．证明：数列{an}是“G数列”；（Ⅱ）若数列{an}的前n项和Sn=3n（n∈N*），判断数列{an}是否为“G数列”，并说明理由；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“G数列”{bn}和{cn}，使得an=bn+cn（n∈N*）成立．16. （10分）已知函数f（x）=sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数（1）若，求函数f（x）的最小值；（2） f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．17. （10分）(2020·甘肃模拟) 在中，角，，所对的边分别为，，，且的面积为 .（1）求的值；（2）若，求周长的最大值.18. （15分）已知函数f（x）=lnx，g（x）= ﹣bx，设h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求函数F（x）=f（x）﹣x的极值；（2）若g（2）=2，若a＜0，讨论函数h（x）的单调性；（3）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围．19. （15分）(2017·江西模拟) 已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．20. （15分） (2017高二上·中山月考) 已知为数列的前项和且满足，在数列中满足，（）（1）求数列的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列的通项公式为，设，令为的前项的和，求．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共70分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、第11 页共11 页。