2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：模块综合检测

阶段质量检测(四) 模块综合检测[考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(四川高考)复数2－2i1＋i ＝________.2．函数y ＝11－cos x的导数是________．3．已知函数f (x )＝x e x＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________．4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________________．5．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)时，从“k 到k ＋1”左边需乘的代数式是________．6．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＜f ′(x )，且f (0)＝2，则不等式f xex＞2的解集为________．7．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.8．函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是________．9．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…，被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014 ，则a 2 014 ＝________.10．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝________.11．对于等差数列{a n}有如下命题：“若{a n}是等差数列，a1＝0，s、t是互不相等的正整数，则有(s－1)a t－(t－1)a s＝0”．类比此命题，给出等比数列{b n}相应的一个正确命题是：____________________________________.12．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为________，极小值为________．13．类比平面几何中的定理：△ABC中，若DE是△ABC的中位线，则有S△ADE∶S△ABC＝1∶4；若三棱锥A－BCD有中截面EFG∥平面BCD，则截得三棱锥的体积与原三棱锥体积之间的关系式为__________________________．14.(辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z.16．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图像在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求a，b，c的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．17．(本小题满分14分)(浙江高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．18．(本小题满分16分)已知数列8·112·32，8·232·52，…，8·nn －2n ＋2，…，S n 为该数列的前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081.观察上述结果，推测出S n (n ∈N *)，并用数学归纳法加以证明．19.(本小题满分16分)(安徽高考)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图像相切，求实数m 的值． (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0＜a <b ，比较f b －f a2与b －ab ＋a的大小，并说明理由．答 案1．解析：2－2i1＋i ＝－2＋－＝(1－i)2＝－2i.答案：－2i 2．解析：y ′＝－cos x －－cos x－cos x2＝－sin x －cos x2.答案：y ′＝－sin x －cos x23．解析：∵f ′(x )＝e x(x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1＜0，得c ＜e －1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e 4．解析：“a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a 、b 都不能被5整除”． 答案：a ，b 都不能被5整除5．解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋1＋k ＋1)，∴增加了k ＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．答案：2(2k ＋1) 6．解析：令g (x )＝f xex，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x e x ′＝fx －f xex＞0，∴g (x )为增函数．由f xex＞2得f xex＞fe，所以g (x )＞g (0)，∴x ＞0.答案：(0，＋∞)7．解析：∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R .z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i8．解析：y ′＝(sin 2x )′＝sin 2x ，∴函数y ＝sin 2x 的图像在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率k ＝sin π3＝32.答案：329．解析：5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝n ＋＋n ＋2＝12×(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2 018＝2 015×1 009.答案：2 015×1 00910．解析：设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b－＝－a ＋b ＋，a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.答案：1－i 或－1＋i11．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1tt t －1s＝112．解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，f ′(1)＝3－2p －q ＝0，即2p ＋q ＝3. ①因f (x )过(1,0)点，所以1－p －q ＝0，即p ＋q ＝1.②由①②，得p ＝2，q ＝－1，即f (x )＝x 3－2x 2＋x .f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1＝0，解得x 1＝13，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝13时，f (x )取得极大值427；当x ＝1时，f (x )取得极小值0.答案：42713．解析：平面几何中的面积类比空间几何体中的体积，∴V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶8. 答案：V A －EFG ∶V A －BCD ＝1∶814．解析：由几何概型的概率计算公式可知，所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝2⎠⎛1－1－x 2d x 22＝834＝23. 答案：2315．解：设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，由|z |＝1得a 2＋b 2＝1，(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝3a －4b ＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，则3a －4b ＝0,4a ＋3b ≠0，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，3a －4b ＝0，4a ＋3b ≠0解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝35或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－45，b ＝－35.∴z ＝45－35i 或－45＋35i.16．解：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴c ＝0.则f (x )＝ax 3＋bx .∵f ′(x )＝3ax2＋b 的最小值为－12，∴a ＞0，b ＝－12，又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，解得a ＝2.∴a ＝2，b ＝－12，c ＝0.(2)由(1)知f (x )＝2x 3－12x .f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )＝0得，x 1＝－2，x 2＝2，列表如下：∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)．∵f (－1)＝10，f (2)＝－82，f (3)＝18，∴f (x )1,3]上的最大值是18，最小值是－8.17.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2x 3－6x 2＋6x ，则f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y ＝6x －8.(2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得到x 1＝1，x 2＝a .当a >1时，列表：比较f (0)＝0和f (a )＝a 2(3－a )的大小可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.当a <－1时，列表：⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2－a ，a >3.18．解：推测S n ＝n ＋2－1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，S 1＝＋2－1＋2＝89，等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，即S k ＝k ＋2－1k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2＋k ＋k ＋2k ＋2＝k ＋2k ＋2－k ＋2k ＋2k ＋2＝k ＋2－1k ＋2＝k ＋＋1]2－1k ＋＋1]2.也就是说，当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)和(2)，可知对一切n ∈N *，等式均成立．19．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1<x 2.所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )<0；当x 1<x <x 2时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．(2)因为a >0，所以x 1<0，x 2>0.①当a ≥4时，x 2≥1.由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增．所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0<a <4时，x 2<1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减．所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0<a <1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值；当1<a <4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．20．解：(1)f ′(x )＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0，代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)令h (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x .则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－34x2＜0， ∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0， ∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点．(3)f b －f a b －a ＝ln b －ln a b －a ＝lnb a b －a ，要比较lnba b －a 与2a ＋b的大小．∵b －a ＞0，∴只要比较ln b a 与b －a a ＋b 的大小．∵ln ba－b －a b ＋a ＝ln b a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫ba －1ba＋1，构造函数φ(x )＝ln x －x －x ＋1，(x ＞1)，则φ′(x )＝1x－4x ＋2＝x －2x x ＋2，显然φ′(x )＞0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增．又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴当x ＞1时，φ(x )＞0，即ln x －x －x ＋1＞0.则有ln b a ＞b －a b ＋a成立，即ln b －ln a b －a ＞2a ＋b成立．即得f b －f a b －a ＞2a ＋b .∴f b －f a 2＞b －ab ＋a.。

阶段质量检测(四)模块综合检测[考试时间：90分钟试卷总分：120分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．任何一个算法都必须有的基本结构是________．2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．3．在某路段路测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如图所示的频率分布直方图，则车速不小于90 km/h的汽车约有________辆．4．A是半径为r的圆O上的一定点，A′是圆上任意一点，则弦AA′长度小于r的概率为________．5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显^ 示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．6．下面一段伪代码，输出的结果是________．i←1Doi←i＋2s←i2－1 Until i≥8End Do Prints7．在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测得到．那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________.8.某算法的流程图如图所示，则输出的S＝________.9．(陕西高考改编)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品. 用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是________．10．(山东高考改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：8 7 79 4 0 1 0 x 9 1则7个剩余分数的方差为________．11．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．12.如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内1方任意抛掷一质点它，落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长4体的体积是________．13．(新课标Ⅰ高考改编)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．14．(山东高考改编)执行下面的流程图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．二、解答题(本大题共4小题，共50分)15．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求f(x)有零点的概率；(2)若a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，求f(1)＞0的概率．16．(新课标Ⅰ高考)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52．5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1.7 1.90.80.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41．60.5 1.80.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？A药B药0.1.2.3.17．(山东高考)(本小题满分12分)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.2 25.1 18.5 23.3 20.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．18．(本小题满分14分)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：[30,60 [60,90数学成绩分组[0,30) [90,120) [120,150]) )人数60 90 300 x 160(1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)答案1．顺序结构212．解析：抽取的男运动员的人数为×48＝12.48＋36答案：12频率3．解析：频率＝×组距＝(0.02＋0.01)×10＝0.3，频数＝频率×样本总体＝0.3×200＝组距60(辆)．答案：604．解析：如图，在图上取B、C两点使∠AOB＝∠AOC＝60°，则AB＝AC＝r.当A′在弧BA C上时满足120πr2πr 1 AA′<r.而弧BAC(区域d)的长度为＝，圆(区域D)周长为2πr，故所求概率为.180 3 31答案：3^ ^5．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2546．解析：执行循环体依次得i＝3，s＝32－1；i＝5，s＝52－1；i＝7，s＝72－1；i＝9，s＝92－1＝80，结束．答案：807．解析：爆破点所在区域为正方形区域，其面积为S正方形＝1 000×1000＝106，可检测到的区域为四个半径相同的四分之一圆，其面积为S圆＝π×2002＝4×104π，依据几何概型的S圆 4 × 104ππ计算公式可得随机投放一个爆破点被监测到的概率为P＝＝＝.S正方形106 25π答案：258．解析：执行算法，依次得k＝2，S＝2×1＋2＝4；k＝3，S＝2×4＋3＝11；k＝4，S＝2×11＋4＝26，这时k>3，输出S＝26.答案：269．解析：由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间[25,30)上的频率为1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，则二等品的频率为0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件为二等品的概率为0.45.答案：0.4510．解析：由图可知去掉的两个数是87,99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝1 3691×7，x＝4.s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.7 736答案：711．解析：可取点P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共六种，其中满足在圆2 1x2＋y2＝9内部的点有(2,1)，(2,2)．所以P＝＝.6 31答案：312．解析：设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面2＋4h 1 1展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为 2h＋2 2h＋1 4 21×1×3＝3.答案：313．解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率2 1是＝.6 31答案：314．解析：输入ε＝0.25后，程序执行如下：①Error!②Error!③Error!此时输出的n的值为3.答案：315．解：(1)a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，则基本事件的总数为5×5＝25.f(x)有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0.即a2≥4b；而事件“a2≥4b”包含12个基本事件：(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所12以f(x)有零点的概率P1＝.25(2)a，b都是从区间[0,4]上任取的一个数，f(1)＝－1＋a－b＞0，即1× 3 × 32 9 a－b＞1，由右图可知f(1)＞0的概率P2＝＝.4 × 4 32－为16．解：(1)设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数y.1由观测结果可得x＝×(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2012.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3，y＝×(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.920＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x>y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：A药B药6 0. 5 5 6 8 98 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 99 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 75 2 1 0 3. 27从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B107药疗效的试验结果有的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A药的疗效更好．1017．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．因此选到3 1的2人的身高都在1.78以下的概率为P＝＝.6 2(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．718．解：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量 1，故甲同学被抽到的概率P＝.总体中个体总数10(2)由题意x＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m＝160＋390×120－110＝290.120－90(3)频率分布直方图，如右图所示．60 × 15＋90 × 45＋300 × 75＋390 × 105＋160 × 135 x＝1000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．。

阶段质量检测(二) A卷（本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为错误!(t为参数）,则下列点中在曲线上的是（)A．(1，1) B．（2，2)C．(0,0）D．(1,2）解析:选C 当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0，0)在曲线上．2．（北京高考）曲线错误!（θ为参数)的对称中心（)A．在直线y＝2x上 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上解析:选B 曲线错误!（θ为参数）的普通方程为（x＋1)2＋(y－2)2＝1,该曲线为圆,圆心（－1,2）为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.3．直线l的参数方程为错误!(t为参数），l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b）之间的距离是（)A．｜t1| B．2｜t1|C.错误!｜t1｜D。

错误!|t1|解析：选C ∵P1（a＋t1，b＋t1），P（a,b），∴|P1P｜＝错误!＝错误!＝错误!|t1｜。

4．已知三个方程:①错误!②错误!③错误!（都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( ）A．①②③B．①②C．①③D．②③解析：选B ①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.5．参数方程错误!(t为参数）所表示的曲线是( ）A．一条射线B．两条射线C．一条直线D．两条直线解析:选B 因为x＝t＋错误!∈(－∞,－2]∪［2,＋∞)，即x≤－2或x≥2，故是两条射线．6．已知曲线C的参数方程为错误!(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M（14，a)在曲线C上,则a＝( ）A．－3－5错误!B．－3＋5错误!C．－3＋错误!错误!D．－3－错误!错误!解析：选A ∵（14，a)在曲线C上，∴错误!由①得：cos θ＝错误!,又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－错误!＝－错误!，∴tan θ＝－错误!.∴a＝5·(－错误!)－3＝－3－5错误!.7．直线错误!(t为参数)上与点P（－2，3）的距离等于错误!的点的坐标是( )A．(－4,5）B．（－3，4)C．（－3，4）或(－1，2) D．（－4,5)或（0,1）解析:选C 可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得错误!·|t|＝错误!,解得t＝±错误!，将t代入原方程，得错误!或错误!所以所求点的坐标为（－3，4）或（－1，2)．8．若圆的参数方程为错误!（θ为参数），直线的参数方程为错误!(t 为参数），则直线与圆的位置关系是( ）A．过圆心B．相交而不过圆心C．相切D．相离解析:选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程,利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径,并且圆心不在直线上．9．设F1和F2是双曲线错误!（θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上,且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是( )A ．1B.错误! C ．2 D ．5解析：选A 方程化为普通方程是错误!－y 2＝1，∴b ＝1。

模块综合检测 A 卷[对应学生用书P33] (时间：100分钟 满分：100分)1.(本小题满分10分)函数y ＝2x 的图像经过平移变换得到函数y ＝2x －3＋1的图像，求该平移变换．解：∵y ＝2x －3＋1可化为y ′－1＝2x ′－3，与y ＝2x比较可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－3，y ＝y ′－1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3，y ′＝y ＋1.故所求的平移变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋3，y ′＝y ＋1.2．(本小题满分10分)以平面直角坐标系内的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度)，已知点A 的直角坐标为(－2,6)，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，直线l 过点A 且倾斜角为π4，圆C 以点B 为圆心，4为半径，试求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程．解：直线l 过点(－2,6)，倾斜角为π4，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝6＋22t (t 为参数)．因为圆心B 的直角坐标为(0,4)，半径为4，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入化简，得圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.3．(本小题满分10分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4.求⊙C 上的点到直线l 距离的最小值．解：⊙C 的直角坐标方程是x 2＋y 2－x －y ＝0， 即(x －12)2＋(y －12)2＝12.又直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0.圆心到直线l 的距离为22，则⊙C 上的点到直线l 距离的最小值为22－22. 4．(本小题满分10分)已知极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－1＝0的直线与x 轴的交点为P ，与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求P A ·PB 的值．解：由条件，直线过点P (1,0)，所以该直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝22t(t 为参数)．①又椭圆的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.②①代入②，整理，得 5t 2－22t －6＝0. 所以P A ·PB ＝|t 1t 2|＝65.5．(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：因为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2(sin θ＋cos θ)， 所以ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝2x ＋1. 故圆心到直线l 距离d ＝25＜2，所以直线l 和圆C 相交． 6．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. (2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)． 又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)， 半径r ＝1， 则|MC |＝5，∴MN ≤MC ＋r ＝5＋1， 即MN 的最大值为5＋1.7．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求P A ＋PB . 解：(1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设方程两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝3 2.又直线l 过点P (3，5)，所以由上式及t 的几何意义，得P A ＋PB ＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.法二：直线的普通方程为y ＝－x ＋3＋5，代入圆的方程x 2＋(y －5)2＝5，得x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝2＋5或x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，则由P (3，5)，得P A ＋PB ＝8＋2＝3 2.8．(本小题满分10分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. (1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .解：(1)直线参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 60°，y ＝22＋t sin 60°，根据直线参数方程的意义，这条直线的倾斜角为60°.(2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －222＋(y －22)2＝1，∴圆心⎝⎛⎭⎫22，22到直线l 的距离d ＝64， ∴AB ＝21－⎝⎛⎭⎫642＝102.9．(本小题满分10分)(福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．10．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ2－42ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)求出圆C 的圆心的极坐标以及半径的大小；(2)若点P (x ，y )在圆上，求使不等式2x ＋y ＋c ≥0恒成立的实数c 的取值范围．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝2.圆心为(2,2)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，半径为 2.(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α，由不等式2x ＋y ＋c ≥0即2(2＋2cos α)＋2＋2sin α＋c ≥0恒成立，得c ≥－(2sin α＋22cos α＋6)，所以c ≥ (2)2＋(22)2－6＝10－6.B 卷[对应学生用书P35](时间：100分钟 满分：100分)1．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，若直线l 与圆C 相切，求r 的值．解：直线的极坐标方程可化为ρcos θ－ρsin θ＝4，所以它的直角坐标方程为x －y －4＝0. 圆的普通方程为(x ＋1)2＋y 2＝r 2. 由题意，得r ＝|(－1)－0－4|2＝522.2．(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝2t ＋1(t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所得的弦长．解：圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4. 直线的普通方程式为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.圆心C (0,2)到直线l 的距离d ＝|－2＋1|5＝55＜2，所以直线l 截圆所得弦长为24－⎝⎛⎭⎫552＝2955. 3．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2. 直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x .圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1.所以AB 的长为2.法二：圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程分别为x 2＋y 2－22x ＝0和y ＝x .解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2－22x ＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝ 2.所以A ，B 两点的坐标为(0,0)，(2，2)， 所以AB 的长为2.4．(本小题满分10分)经过点A ⎝⎛⎭⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B ，C 两点．(1)求弦BC 的长；(2)求弦BC 的中点M 的轨迹方程；(3)如果A 为BC 的中点，求直线BC 的方程； (4)若BC ＝8，求直线BC 的方程．解：设直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入圆的方程x 2＋y 2＝25，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.因为Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55＞0，所以方程必有两个不同的实数根t 1和t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1t 2＝－554.(1)BC ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝9(2cos α＋sin α)2＋55.(2)因为弦BC 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，故点M 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－3＋32(2cos α＋sin α)cos α，y ＝－32＋32(2cos α＋sin α)sin α(α为参数，0≤α＜π)．(3)因为A 是中点，故t 1＋t 2＝0，所以2cos α＋sin α＝0，tan α＝－2，所以弦BC 的方程为4x ＋2y ＋15＝0.(4)因为BC ＝8，所以9(2cos α＋sin α)2＋55＝8，即3cos 2α＋4sin αcos α＝0， 所以cos α＝0或tan α＝－34，因此直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.5．(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4可化为ρ＝cos θ－sin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12. 直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)，可化为3x ＋4y ＋1＝0.所以圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12－4×12＋132＋42＝110. 因此弦长为2R 2－d 2＝75.6．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2. 7．(本小题满分10分)已知曲线C ：3x 2＋4y 2－6＝0(y ≥0)． (1)写出曲线C 的参数方程；(2)若动点P (x ，y )在曲线C 上，求z ＝x ＋2y 的最大值与最小值． 解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝62sin θ(0≤θ≤π，θ为参数)． (2)设点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2cos θ，62sin θ，(0≤θ≤π)，则z ＝x ＋2y ＝2cos θ＋6sin θ＝22⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. ∵0≤θ≤π， ∴π6≤θ＋π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝－12，即θ＝π时，z ＝x ＋2y 取得最小值是－2； 当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1，即θ＝π3时，z ＝x ＋2y 取得最大值是2 2. 8．(本小题满分10分)(辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3. 法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.9．(本小题满分10分)在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝2cos 2α－2(α为参数)，曲线D 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－322. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)判断曲线C 与曲线D 的交点个数，并说明理由．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝－2sin 2α， 消去参数α，得曲线C 的普通方程为x 2＝－y2，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ－π4)＝－322得曲线D 的直角坐标方程为x －y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3＝0，x 2＝－12y 消去y ，得2x 2＋x －3＝0， 解得x ＝－32(舍去)或x ＝1.当x ＝1时，y ＝－2.故曲线C 与曲线D 只有一个交点．10．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，与x 轴交于点P ，求P A ＋PB 的值． 解：(1)由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 得ρ⎝⎛⎭⎫sin θ·22－cos θ·22＝2，所以22y －22x ＝2， 即直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. (2)圆C 的普通方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1，① ∵P (－2,0)，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)．②把②代入①并整理，得到t 2－72t ＋24＝0.由于Δ＝(－72)2－4×24＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以t 1＋t 2＝72，t 1t 2＝24.故由t 的几何意义得P A ＋PB ＝t 1＋t 2＝7 2.。

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值． 【解】 设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8； 当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值． 【解】 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2， 故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得 s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. AB ＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OP A ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P 与A 不重合， 所以cos θ－1≠0， 则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)，b 2a 2＝cos θ1＋cos θ，c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)， 所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ， 令y ＝0， 则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， 令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|.∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116， 故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值． 【解】 设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈0,2π)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122sin (θ＋π4)＋18|5＝122sin (θ＋π4)＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225.能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】 直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6sin (θ－π4)＋362∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26， 当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。

单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内）1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A.(2,-7) B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1), 再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A.⎩⎨⎧==t y t x |,|B.⎩⎨⎧==ty t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x ∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B 中x=cost ∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=t t 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y-1=±21(x+2) B.y=±21xC.y-1=±2(x+2)D.y+1=±2(x-2) 思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcosθ+ysinθ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( ) A.2π-α B.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α. 答案：B8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( ) A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k ∈Z ).而x=3φ-3sinφ=6kπ.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x (a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-bλcosθ-aλsinθ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cotθ(x -at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________. 思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________. 思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36.答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sinφ=0,φ=2kπ(k ∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k ∈Z ),又r>0,所以k ∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值. v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cosθ=165时,|AC|取最小值为4153,cosθ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cosθ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cosθ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7. 15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A 、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF ⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程. 解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcosα)22)sin 1(2αt +=1, 即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cosα+2sinα)t+5=0.并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.由于M 是中点,所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0, 所以tanα=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ是参数)的离心率是________．【解析】 椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ消去参数φ，可得x 29＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝c a ＝45.【答案】 452．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是________． 【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(0,2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】53．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则将它化为直角坐标是________．【解析】 由x ＝6cos 7π6＝－33，y ＝6sin 7π6＝－3. 【答案】 (－33，－3)4．极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，512π，则A 、B 两点的距离为________．【答案】 75．球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________．【解析】 由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系⎩⎨⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 (12，32，3)6．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，那么极点到该直线的距离是________．【答案】 227．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－t (t 为参数)截抛物线y 2＝4x 所得的弦长为________．【答案】 8 28．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x x 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎨⎧ x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎨⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎨⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝8，或⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 【答案】 1610．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 将⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．【答案】 211．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为(52，52)． 【答案】 (52，52)12．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．【解析】 由|PM 0|＝2，知PM 0＝2或PM 0＝－2，即t ＝±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.【答案】 ±113．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ， ∴表示一个圆．由⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，得到直线． 【答案】 圆 直线14．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的标准方程为________．【解析】 将直线的参数方程化为普通方程x －y ＋1＝0.由题意可得圆心(－1,0)，则圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为：θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ， 曲线C 1：ρ＝6cos θ，即ρ2＝6ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线C 2的距离d ＝322，r ＝3， ∴弦长AB ＝3 2.16．(本小题满分14分)已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．【导学号：98990043】【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2. 17．(本小题满分14分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 【解】 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则MC ＝5， 所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1.当M ，N ，C 共线时，MN 最大，此时为5＋1.18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)， 所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)， B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))，D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．20．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。

阶段质量检测（二）B 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )A ．(2，－7)B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 解析：选C 由y ＝cos 2θ得y ＝1－2sin 2θ， ∴参数方程化为普通方程是y ＝1－2x 2(－1≤x ≤1)， 当x ＝12时，y ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，故选C.2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：选B 圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.3．过点(3，－2)且与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )A.x 215＋y 210＝1 B.x 2152＋y 2102＝1 C.x 210＋y 215＝1D.x 2102＋y 2152＝1解析：选A 化为普通方程是：x 29＋y 24＝1，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，排除B 、C 、D.4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15t ，y ＝－1＋25t (t 为参数)的斜率是( )A ．2 B.12 C ．－2D ．－12解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－15t ， ①y ＝－1＋25t ②①×2＋②得2x ＋y －1＝0，∴k ＝－2.5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )A ．抛物线的一部分B ．一条抛物线C ．双曲线的一部分D ．一条双曲线解析：选A x ＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，即y 2＝－x ＋1. 又x ＝cos 2θ∈[0,1]，y ＝sin θ∈[－1,1]， ∴为抛物线的一部分．6．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0) C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．7．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析：选D 将参数方程进行消参，则有t ＝1x，把t ＝1x 代入y ＝1tt 2－1中，当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0； 当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0. 8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6B.π4C.π3D.π6或5π6解析：选D 直线化为yx＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 9．已知点(4,2)是直线l 被曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ所截的线段中点，则l 的方程是( )A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y ＋4＝0D ．x ＋2y －8＝0解析：选D 解法一：∵(4,2)在直线l 上，∴点的坐标满足方程，把点(4,2)的坐标代入四个选项中的直线方程，排除A ，B ，C.解法二：曲线化为普通方程是x 236＋y 29＝1. 设曲线与l 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1， ①x 2236＋y 229＝1. ②①－②得：136(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－19(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．∴y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－936×2×42×2＝－12. ∴直线l 的斜率为－12，由点斜式方程可得l 方程．10．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ＋a cos θ，y ＝a cos θ＋a sin θ(θ为参数)的图形是( )A ．第一、三象限的平分线B ．以(－a ，－a )、(a ，a )为端点的线段C ．以(－2a ，－2a )、(－a ，－a )为端点的线段和以(a ，a )、(2a ，2a )为端点的线段D ．以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段解析：选D 显然y ＝x ，而x ＝a sin θ＋a cos θ＝2a sin θ＋π4，－2|a |≤x ≤2|a |.故图形是以(－2a ，－2a )、(2a ，2a )为端点的线段．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程． 答案：y ＝±2x12．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ＋4cos θ，y ＝4sin θ－3cos θ(θ为参数)，则此圆的半径为________．解析：平方相加得x 2＋y 2＝9sin 2θ＋24sin θcos θ＋16cos 2θ＋16sin 2θ－24sin θcos θ＋9cos 2θ＝25，所以圆的半径为5.答案：513．在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋s ，y ＝1－s (s为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2，y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：直线l 可化为x ＋y －2＝0，① 曲线C 可化为y ＝(x －2)2，②联立①②消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋ －1 2· x 1－x 2 2＝2|x 1－x 2|＝ 2. 答案： 214．(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．解析：由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分10分)半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过5π3和7π2时，求点M 的坐标． 解：由摆线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ 可知：φ＝5π3时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ，∴M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ 10π＋33 r 6，r 2.φ＝7π2时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r ，∴点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 7π＋2 r 2，r . 16．(本小题满分12分)求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t (t 为参数)被曲线ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4所截的弦长．解：将方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝－1－35t ，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4分别化为普通方程3x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋y ＝0，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d ＝110， 弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 17．(本小题满分12分)已知某曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝at2，(其中t 是参数，a∈R)，点M (3,1)在该曲线上．(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．解：(1)由题意可知有⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝3，at 2＝1故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝1，∴a ＝1.(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝t 2.由第一个方程得t ＝x －12代入第二个方程得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求方程．18．(本小题满分12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线，直线与圆x 2＋y 2＝25交于B 、C 两点．(1)求BC 中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标． 解：(1)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t (t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.(2)设切线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0. Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0， 整理得cos α(8cos α－15sin α)＝0， cos α＝0或tan α＝815. ∴过A 点切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0.又t 切＝－b2a＝3sin α－5cos α， 由cos α＝0得t 1＝3，由8cos α－15sin α＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝817，cos α＝1517，可得t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.19．(本小题满分12分)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3(t 为参数)．(1)求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 解：(1)由ρ＝2a cos θ，ρ2＝2a ρcos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ， 所以圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋1，y ＝4t ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x －13＝t ，y －34＝t ，因此x －13＝y －34，所以直线l 的普通方程为4x －3y ＋5＝0. (2)因为直线l 与圆C 恒有公共点， 所以|4a ＋5|42＋ －32≤|a |，两边平方得9a 2－40a －25≥0，所以(9a ＋5)(a －5)≥0，解得a ≤－59或a ≥5，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－59∪[5，＋∞)． 20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，得相交弦方程x ＋y －2＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝1，y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.。

苏教版高中数学选修4-4测试题全套及答案阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－9π5，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，11π5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，4π5，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，6π5的四点中，与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π5表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3)3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 23 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)， 球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2312．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0， 故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855.【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)， 两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ).所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2，当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)． 弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.阶段综合测评(二)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知动圆：x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，a ≠b ，θ是参数)，那么圆心的轨迹是________．【答案】 椭圆2．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是________．【解析】 消去参数θ，得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)．【答案】 (0,2)3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． C 2的普通方程为x －y －1＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)． 【答案】 (2,1)4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t 上对应t ＝0和t ＝1两点间的距离是________．【答案】105．方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ分别以t 为参数(t ≠0)和θ为参数，得到两条曲线，则这两条曲线公共点的个数是________．【答案】 2个6．已知点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2＝1上，则2x ＋y 的最大值________． 【解析】 设x ＝2cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)，2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，所以2x ＋y 最大值为17. 【答案】177．直线⎩⎨⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t (t 为参数)过定点________．【答案】 (3，－1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则AB 的最小值为________． 【解析】 曲线C 1的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝1，曲线C 2的方程是x 2＋y 2＝1，两圆外离，所以AB 的最小值为32＋42－1－1＝3.【答案】 39．过曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点连线的倾斜角为π4，则点P的坐标为________．【解析】 由于y x ＝4sin θ3cos θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，cos θ＝45，sin θ＝35，点P 的坐标为(125，125)． 【答案】 (125，125) 10．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－3＋t(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相交，弦长为________．【解析】 圆的普通方程为x 2＋y 2＝5， 将⎩⎨⎧x ＝t2，y ＝－3＋t代入上式，得5t 2－24t ＋16＝0，|t 1－t 2|＝ 242－4×5×1625＝165，所以相交弦长为(12)2＋1|t 1－t 2|＝85 5.【答案】85511．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 312．在平面直角坐标系下，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)和曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围为________． 【解析】 C 1可化为x ＋2y －2a ＝0，C 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，曲线C 1，C 2有公共点，则|2－2a |5≤2，所以1－5≤a ≤1＋5，故应填[1－5，1＋5]． 【答案】 [1－5，1＋5]13．直线⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝－2－3t (t 为参数)的倾斜角是______．【答案】 56π14．如图1，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)． 【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过P (1,1)，倾斜角为π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求弦AB 中点M 的坐标及点M 到A ，B 两点的距离之积．【解】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆方程x 2＋y 2＝4中得t 2＋(3＋1)t －2＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 22.又∵AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 22＝－3＋12，∴AB 中点M 的坐标为(1－34，3－34)．于是MA ·MB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 1＋t 22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－t 1＋t 22＝(t 1－t 2)24＝6＋32.16．(本小题满分12分)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．【解】 C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝22，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |.圆心距C 1C 2＝32， 两圆外切时，C 1C 2＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，a ＝±2； 两圆内切时，C 1C 2＝|r 1－r 2|＝|22－|a ||＝32， a ＝±5 2.综上，a ＝±2，或a ＝±5 2.17．(本小题满分13分)P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，F 为其焦点，以PF 的长t 为参数，写出抛物线的参数方程．【解】 设P (x ，y )，则由抛物线的定义知x ＝t －p 2，y 2＝2p (t －p2)＝2pt －p 2， 所以y ＝±2pt －p 2，因此抛物线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t －p2，y ＝2pt －p 2和⎩⎨⎧x ＝t －p2，y ＝－2pt －p 2，其中t 为参数且t ≥p2.18．(本小题满分13分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 是参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)距离的最小值． 【解】 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)， 故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)． C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|. 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时， d 取得最小值855.模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ是参数)的离心率是________．【解析】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ消去参数φ，可得x 29＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝ca＝45.【答案】 452．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是________． 【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(0,2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】53．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则将它化为直角坐标是________．【解析】 由x ＝6cos 7π6＝－33，y ＝6sin 7π6＝－3.【答案】 (－33，－3)4．极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，512π，则A 、B 两点的距离为________．【答案】 75．球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________．【解析】 由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 (12，32，3)6．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，那么极点到该直线的距离是________． 【答案】 227．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－t (t 为参数)截抛物线y 2＝4x 所得的弦长为________．【答案】 828．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x x 2＋y 2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】 由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16.【答案】 1610．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．【答案】 211．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】 射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)； 当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)． 所以AB 的中点坐标为(52，52)． 【答案】 (52，52)12．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P对应的t 值为________．【解析】 由|PM 0|＝2，知PM 0＝2或PM 0＝－2，即t ＝±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.【答案】 ±113．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ， ∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，得到直线． 【答案】 圆 直线14．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的标准方程为________．【解析】 将直线的参数方程化为普通方程x －y ＋1＝0.由题意可得圆心(－1,0)，则圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为：θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ， 曲线C 1：ρ＝6cos θ，即ρ2＝6ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线C 2的距离d ＝322，r ＝3， ∴弦长AB ＝3 2.16．(本小题满分14分)已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t (t为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．【解】 由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2.17．(本小题满分14分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． 【解】 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)． 令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则MC ＝5， 所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1.当M ，N ，C 共线时，MN 最大，此时为5＋1.18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)， 所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)， B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))， D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．20．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。