高数竞赛(1)

河南科技大学第五届高数竞赛试题(一)参考答案填空题（每空5分，共计100分）具体解答过程见下页：1.设()()2tan,2f x x fg x x==-⎡⎤⎣⎦，且()4g xπ≤.则()g x的定义域为 .解：()2tan 2f g x x x ==-⎡⎤⎣⎦，()()2arctan 2g x x =- 因为()4g x π≤，所以2121x -≤-≤，11x x ≤≤-≤≤，或2．求()()22211131limarctan !22311n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= .解：()()22lim arctan !limarctan !002n n n n π→∞→∞⨯⎡⎤⎛⎡⎤=⨯=⨯=⎢⎥⎣⎦⎝⎣⎦（或者看成无穷小与有界量的乘积） ()221113122311lim 311111lim 112231n n n n nn n n →∞→∞+++⨯-⨯-⎛⎫ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦13lim 13n n →∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以()()22211131limarctan !223113n n n n nn →∞+⨯-++⨯-⨯-⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3．设()3sin 2lim0x x xf x x→+=，则()22limx f x x→+= .解：（法一）用泰勒公式。

题设相当于()()3sin 2x xf x o x +=，将()334sin 223x x x o x=-+代入，得()()33423x xxfx o x -+=，从而()()22423fx x o x+=+ 于是()224lim3x f x x→+=（法二）由()3sin 2lim0x x xf x x→+=，根据极限与无穷小的关系知：()()()()3sin 2,lim 0x x xf x x x xαα→+==其中，故()()2sin 2x fx x x xα=-()()()2222sin 2sin 2222limlimlim limx x x x x x x x fx xx x xxxαα→→→→+--+==+3222sin 222cos 21cos 22sin 240limlim2lim2lim3363x x x x x xxxx xxxx→→→→---=+====注：解此题最容易犯的错误，是不考虑()f x 是否满足条件而使用洛比达法则，结果花费了不少时间还未必得到正确的结论；当然用下面方法解题也是错误的()()()322sin 2sin 220limlimlimx x x xfx x xfx fx xxxx→→→+++===，这里用2代替sin 2x x是错误的！4．求()()10102tan 2sin limsin x x x x→+--= .解：()()10102tan 2sin limsin x x x x →+--=()()1010101002tan 22sin 2lim sin x x x x→⎡⎤⎡⎤+----⎣⎦⎣⎦ ()()101010102tan 22sin 2limlimsin sin x x x x xx→→+---=+-()()()()101010101010222tan 22sin 2limlimtan sin x x x x x x xxxx==→→+---''=+=+-999102210102102102x x x x===+=⨯⨯=⨯5．曲线221xy x=+的拐点为 .解：()22222121,111xxy y xxx'==-=+++()()2232214211xy x x ⎡⎤⎢⎥''=-⎢⎥++⎣⎦，令0y ''=得拐点的横坐标x =±，故拐点为14⎛⎫± ⎪⎝⎭（严格来说，需要分别判断）6．函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 .解：()12sin f x x '=-，令()0f x '=解得唯一驻点6x π=（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时），比较()02,6622f f f ππππ⎛⎫⎛⎫==+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小易知 函数()2cos f x x x =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6π+7．求()223x x dx +=⎰ . 解：()223xxdx +=⎰()46942692ln 4ln 6ln 9xxxxxxdx C +⨯+=+⨯++⎰8．求211ln11x dx xx+=--⎰.解：因为()()21112ln ln 1ln 11111x x x x x x x '+⎡⎤'=+--=+=⎡⎤⎣⎦⎢⎥-+--⎣⎦，所以 2221112111111ln ln ln ln ln 1121121141x x x x x dx dx d C x x x x x x x +++++⎛⎫⎛⎫===+ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 9．求()2211xxedx e+=+⎰ .解：()()222222112211121111xxxxxxxxx eeeedx dx dx dx d e eee e +⎛⎫++==+=+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()2arctan xx e C =++10．设()f x 连续，则()21d fx t dt dx+=⎰.解：令x t u +=，则,1,1;2,2dt du t u x t u x ===+==+()()()()221121xxd d fx t dtf u du f x f x dxdx+++==+-+⎰⎰11．求2π=⎰ .解：令,;0,;,0222x t dx dt x t x t πππ=-=-====则22220tan tan 1cot 2t dtx dxt ππππ====+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰所以22220000tan 11224x dx dx πππππ⎡⎤⎢=+==⎢⎣⎰⎰⎰⎰ 12．由曲线1,2y x x x=+=及2y =所围图形的面积S = .解：所围图形的面积为[]22121112ln 22ln 24ln 12ln 21222x A x dx x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+-=+-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰13．以向量2a m n =+ 和3b m n =-为边的三角形的面积为 ，其中5,3,,6m n m n π∧⎛⎫=== ⎪⎝⎭ .解：设三角形面积为A ，则12A a b =⨯，a b ⨯ =()()235m n m n n m +⨯-=⨯115755sin ,2224A a b n m n m m n ∧⎛⎫=⨯=⨯==⎪⎝⎭14．设()()1,,z fxy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数，则2z x y∂=∂∂ .解：()()()21z y fxy f xy y x y xxxϕ∂''=-+++∂()()()()()2211z y f xy x f xy f xy x x y y x y x yxxxϕϕ∂'''''''=-++++++∂∂()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''=++++15．函数()(),,cos f x y z xyz =在点11,,33π⎛⎫⎪⎝⎭处函数值增加最快的方向为 .解：因为函数值增加最快的方向即为梯度的方向，()()()()()(),,sin ,,,sin ,,,sin x y z f x y z yz xyz f x y z xz xyz f x y z xy xyz '''=-=-=-因为()11111,,sin ,,,sin ,,,sin 3933393399x y z f x y z f f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以11,,33gradf π⎛⎫=⎪⎝⎭1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭答案应填为1sin ,,9339πππ⎛⎫⎧⎫---⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭或者()1,,,,0339k k k ππ⎧⎫---∈≠⎨⎬⎩⎭16．求2411limsin22n nn i j j i nnππ→∞===∑∑.解：（法一）由二重积分定义及函数2sin x y 在区域01,02x y π≤≤≤≤上连续性可知2224111101021limsinlimsin sin 2222n nnnn n i j i j x y j i j ix ydxdy nnn n n n πππππ→∞→∞====≤≤≤≤⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰12201sin 3x dx ydx π==⎰⎰（法二）由定积分定义及函数2x 和sin y 分别在区间01,x ≤≤和02y π≤≤上连续性可知212224111111limsin lim lim sin sin 22223nnnnn n n i j i j j i j i x dx ydx nn n n n n πππππ→∞→∞→∞====⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑⎰⎰17．求()5!lim2nnn n n →∞= .解：先考虑()15!2nnn n n ∞=∑的敛散性：应用正项级数的比值判别法有()()()()()()111151!2151!25515lim lim lim lim 115!5!21222212n nn n n n n n nn n n n nn n n n n n n n e n n n ++++→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+⎡⎤ ⎪+⎛⎫⎣⎦====< ⎪⎪+⎝⎭+ ⎪+⎝⎭所以()15!2nnn n n ∞=∑收敛，于是的()5!lim02nnn n n →∞=18．1xd e dx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭幂级数表达式为 .解：因为11,!nxn xe x n ∞=-=-∞<<+∞∑，111!xn n e xxn -∞=-=∑，()()21121222111!!!!n x n n n n n n n n x n d e d x d xxdx x dx n dxn n n ---∞∞∞∞-====--⎛⎫⎛⎫-====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑注：在应用逐项求导时不会出现x 的负幂次方。

数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。

试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。

试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。

解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。

试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。

解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。

试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。

对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。

命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A五邑大学高等数学竞赛（第一组） 试 卷专业：班级：姓名： 学号：一、选择题（40分）1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在.2. 设()f x 在x=a 的某个邻域内有定义，则()f x 在x=a 处可导的一个充分条件是 （ ）（A ）1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 （B ）0limh →f(a+2h)-f(a+h)存在h（C ）0limh →f(a+h)-f(a-h)存在2h （D ）0lim h →f(a)-f(a-h)存在h3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则22limb b ξ→= （ ）(A) 1 (B) 12 (C) 13 (D) 14. 4. 若21(),(0)f x x x'=> ，且(1)2f =，则()f x = （ ） (A) 2x (B)1ln 22x + (C) (D) 5. 设222:D x y a +≤，则DI xydxdy ==⎰⎰ （ ）(A) 0 (B) 42a (C) 4a(D) 4a π6. 若()f x 的二阶导数存在，且()0,(0)0f x f ''> =，则()()0f x F x x x=<<+∞在上（ ） (A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 有极小值 (D) 有极大值7. 设L 是曲线2y x =与直线y x =所围成区域的整个边界曲线，(,)f x y 是连续函数，则曲线积分(,)Lf x y ds =⎰（ ）(A) 11200(,)(,)f x x dx f x x dx +⎰⎰(B) 11200(,)(,f x x dx f x x +⎰⎰(C) 11200(,(,f x x f x x +⎰⎰(D)121[(,(,f x x f x x dx -⎰8.设直线L ：⎩⎨⎧-=---=++3102123z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （ ）.（A ）π//L （B ）L 在π上 （C ）π⊥L （D ）L 与π斜交9. 设函数()()f x g x 与在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，则对任何(0,1)c ∈，有 （ ）(A) 1122()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰(B)1122()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰(C) 11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰ (D)11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10. 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且(0)f '存在，则函数()()f x g x x=（ ） (A) 在0x =处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点0x =(C) 在0x =处右极限不存在 （D ）有可去间断点0x =二、(10分）已知数列120,n n n n U U U U -->=+且，如果数列1nn n U X U +=，且lim n n X A →∞=存在，求A三、（10分）设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.四、（10分）设()f x 连续且201(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，已知(1)1f =，求21()f x dx ⎰五、（10分）设2,A a b B ka b =+=+，其中1,2,a b a b ==⊥且，问：（1）k 为何值时，A B ⊥；（2）k 为何值时，以A B 和为邻边的平行四边形面积为6。

高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。

本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。

1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。

(1)求函数f(x)的定义域。

(2)求函数f(x)的最大值和最小值。

解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。

由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。

对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。

通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。

解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。

对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。

同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。

解这个不等式可以得到1< x < 3。

综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。

(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。

当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。

通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。

代入可得最小值为f(2) = 1。

当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。

同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。

代入可得最大值为f(2) = -1。

综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。

2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。

第十届高等数学竞赛理工类（一）试题答案南昌大学第十届高等数学竞赛(前湖校区理工类)试题答案序号：姓名：学生编号：学院（学科部）：检查室：考试号：2022年10月13日题号1，15，2，15，3，7，4，8，5，9，6，8，9，6，总分，累积分数签名：这个卷有X页，主要问题，考试时间是8:30～1130评分审阅者。

填空（每个问题3分，共15分）1。

曲面x2？2y2？3z2？21点？1.2,2? 正态方程是3nx？1岁？2z？2.1.461? 十、1.十、1.十、1.2.设n为正整数，则Lim=x？1n 3.设置向量a？？1,2,3?， B1,1,0?，如果非负实数k构成向量a？KB和a？KB垂直，然后K？(1?x)n?17.4.穿过直线x？1岁？2z？2.2.32并且垂直于平面3x？2岁？Z5.0的平面方程是x？8岁？13z？9? 0 N5。

幂级数1.N212n？3x的收敛域是？？2,2?. N2n第1页，共6页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设f?x??2x?3x?2，则当x?0时（b）(a)f?x?与x是等价无穷小.(b)f?x?与x是同阶但非等价无穷小.(c)f?x?是比x低阶的无穷小.(d)f?x?是比x高阶的无穷小.2、x?0是f?x??2?12?11x1x的（b）.(a)可去间断点.(b)跳跃间断点.(c)无穷间断点.(d)振荡间断点.?g(x),x?0?3、设f?xx其中g?x?在x?0的某个邻域内二阶导数存在，且g?0??0，??0,x?0g??0??0，则（c）(a)f?x?在x?0处不连续.(b)f?x?在x?0处连续但不可导.(c)f?x?在x?0处可导，但导函数在x?0处不一定连续.(d)f?x?在x?0处导函数连续.4、设线性无关的函数y1?x?，y2?x?，y3?x?均是二阶非齐次线性方程yp?x?y??q?x?y?f?x?的解，c1,c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是(d)(a)c1y1?c2y2?y3.(b)c1y1?c2y2??c1?c2?y3.(c)c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3.(d)c1y1?c2y2+?1?c1?c2?y3.5、设a为常数，则级数?sinna1n2??（a）.n?n?1??(a)发散.(b)绝对收敛.(c)条件收敛.(d)敛散性与a的取值有关.第2页共6页评分评审员3，（满分7分）找到极限limx2？lnarctan（x？1）？lnarctanx？。

高等数学竞赛一、 填空题⒈ 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a = ，b = ．⒉ 设2(1)()lim 1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = ．⒊ 曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为．⒋ 已知xx xe e f -=')(，且f (1) = 0, 则f (x ) = ．⒌ 设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值 范围为 ． ⒍ 设1ln arctan 22+-=xxxe e e y ，则==1x dx dy．⒎若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .⒏ 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则=-⎰221)1(dx x f ． ⒐ 由定积分的定义知，和式极限=+∑=∞→nk n k n n122lim ． ⒑1+∞=⎰ ． 二、 单项选择题11．把+→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===0302sin ,tan ,cos 2γβα，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 【 】(A)γβα,,. (B)βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,.12．设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得 【 】 (A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.（C ）对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) .13 . 设()(1)f x x x =-, 则 【 】（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.14 .22lim ln (1)n nn→∞+于 【 】（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰. （C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰15 . 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. 【 】(A) (-1 , 0). (B) (0 , 1). (C) (1 , 2). (D) (2 , 3).16 . 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 【 】(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点. (D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. 17 . 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是【 】(A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ).(B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.18 . 设⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则【 】(A) F (x )在x = 0点不连续.(B) F (x )在(-∞ , +∞)内连续，但在x = 0点不可导.(C) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，且满足)()(x f x F ='.(D) F (x )在(-∞ , +∞)内可导，但不一定满足)()(x f x F ='.三、解答题19．求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.20．设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式;(Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.21．设 f （x ），g （x ）均在［a , b ］上连续，证明柯西不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dxx g x f )()()()(22222．设2e b a e <<<, 证明)(4ln ln 222a b ea b ->-.23曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值;(Ⅱ) ()lim ()t S t F t →+∞.24．设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.25． 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66⨯=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h表示千米/小时.高等数学竞赛试卷一、单项选择题1、若2lim()01x x ax b x →∞--=+，则（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-2、设(),0()(0),0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ ，其中()f x 在0x =处可导且'(0)0f ≠，(0)0f =，则0x =是()F x 的（A ） 连续点 （B ） 第一类间断点 （C ） 第二类间断点 （D ）以上都不是 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e =-+在(0,)+∞内零点的个数为 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 34、若在[0,1]上有(0)(0)0,(1)(1)0f g f g a ====>，且''()0f x >，''()0g x <，则110()I f x dx=⎰，120()I g x dx =⎰，130I ax dx =⎰的大小关系为（A ） 123I I I ≥≥ （B ） 231I I I ≥≥ （C ） 321I I I ≥≥ （D ） 213I I I ≥≥5、由平面图形0,0()a x b y f x ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为（A ）2()b aV xf x dx π=⎰ （B ） 2()b aV f x dx π=⎰（C ） 2()b aV f x dx π=⎰ （D ） ()baV f x dx π=⎰6、(1,3,4)P -关于平面320x y z +-=的对称点是 （A ） (5,1,0)- （B ）(5,1,0) （C ）(5,1,0)-- （D ）(5,1,0)-7、设D 为222x y R +≤，1D 是D 位于第一象限的部分，()f x 连续，则22()Df x y d σ+⎰⎰=（A ）128()D f x d σ⎰⎰ （B ）0 （C ）22()R R RRdx f x y dy --+⎰⎰（D ）1224()D f x y d σ+⎰⎰8、a为常数，则级数21sin()n na n ∞=⎡⎢⎣∑ （A ） 绝对收敛（B ）发散C ） 条件收敛（D ） 收敛性与a 的取值有关二、填空题1、340tan 2lim(1)1x x x xx e →-=- 。

高数竞赛练习试卷（一）1. 求极限1101lim21arctantt t te te t π→+-。

2. 求极限0tan(sin )sin(tan )lim tan sin t x x x x →--。

3. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →。

4. 设()f x 在[0,)+∞二阶可导，且(0)1,(0)1,()(),(0f f f x f x x '''=>>>.求证：()x f x e >。

5. 已知()234111ydx ydx y dx y dxdx y -+++=--⎰⎰⎰⎰⎰，求()x f y =的表达式。

6. 设tan 20()()x F x f tx dt=⎰，其中()f x 为连续函数，求()F x '，并讨论()F x '的连续性。

7. 计算ln(sin )x x dxπ⎰。

8. 设()f x连续可导，证明：[]10(1)(0)x dx f f π'=-⎰⎰。

9. 设非负函数()f x 在[]0,1上连续，且单调上升，[]0,1,()t y f x ∈=与直线(1)y f =及x t =围成图形的面积为1()S t ，()y f x =与直线(0)y f =及x t =围成图形的面积为2()S t .⑴ 证明：存在唯一的(0,1)t ∈,使得12()()S t S t =.⑵ t 取何值时两部分面积之和取最小值？ 10.求函数xyz ω=+()1,0,1P -处沿直线11:111x y z L --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线l 方向的方向导数。

11.已知01n <<，证明级数2211nn m a m n ∞∞==+∑∑收敛.12. 计算曲线积分[][]()cos ()sin ACBf y x y dx f y x dyππ'-+-⎰，其中ACB 为连结点(,2)A π与点(3,4)B π的线段AB 之下方的任意路线，且该路线与线段AB 所围图形的面积为1，()f x 是连续可导的函数.13. 设(),()f x g x 可微，且()()z yf xy dx xg xy dy =+. ⑴ 若存在u ，使du z =，求()()f x g x -；⑵ 若()()f x F x '=，求u ，使z du =.14. 设()f u 在[)1,+∞上有连续的二阶导数，(1)1f =-，3(1)2f '=，且函数()()222222x y z f x y z ω=++++满足：2222220x y z ωωω∂∂∂++=∂∂∂，求()f u 在[)1,+∞上的最小值。

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。

在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。

评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。

本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。

试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。

试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。

选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。

应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。

评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。

试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。

满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。

对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。

如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。

填空题亦是如此。

对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。

对于应用题，情况稍有不同。

应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。

如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。

如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。

本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。

试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。

评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。

通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。

1、设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f(a) = 0，f(b) = 1。

若存在ξ∈ (a,b) 使得 f'(ξ) = 2，则以下哪个结论必然成立？A. ∀x ∈ (a, b), f(x) ≤ 2x - aB. ∃x₁, x₂∈ (a, b), f(x₁) < f(x₂)C. ∀x ∈ (a, ξ), f(x) < (x - a)/(b - a)D. ∃x₀∈ (a, b), f(x₀) = 1/2 且 f'(x₀) = 0（答案）2、设数列 {a_n} 满足 a_1 = 1，a_{n+1} = a_n + 2/a_n，则以下关于数列 {a_n} 的说法正确的是？A. {a_n} 是递减数列B. 对任意正整数 n，有 a_n < n + 1C. 存在正整数 k，使得 a_k < k 但 a_{k+1} > k + 1D. 对任意正整数 n，有 a_n ≥√(2n + 1)（答案）3、设函数 f(x, y) = x2 + y2 - 2x - 2y + 1，则 f(x, y) 在区域 D = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 2} 上的最小值为？A. -1B. 0C. 1 - √2（答案）D. 2 - 2√24、设向量 a = (1, 2)，b = (2, 1)，c = (1, -2)，若 (a + λb) ⊥ c，则实数λ的值为？A. -1/2B. 1/2（答案）C. -2D. 25、设函数 f(x) = x3 - 3x2 + 2，则 f(x) 的极值点个数为？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 36、设矩阵 A = [1 2; 3 4]，B = [2 0; 1 1]，则 AB - BA =？A. [0 -2; 2 0]（答案）B. [2 2; -2 -2]C. [0 2; -2 0]D. [-1 -2; 3 4]7、设函数 f(x) = ex - x - 1，则不等式 ex > x2 + x + 1 的解集为？A. (-∞, 0)B. (0, +∞)（答案）C. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)D. (-1, 0) ∪ (0, 1)8、设函数 f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)，其中 a, b, c 是互不相等的实数。