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12.3 角的平分线的性质第1课时角平分线的性质一、教学目标（一）知识与技能1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算.（二）过程与方法在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.（三）情感、态度与价值观在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.二、教学重点、难点重点：角的平分线的性质的证明及应用；难点：角的平分线的性质的探究.三、教法学法三步导学的教学模式；自主探索,合作交流的学习方式.四、教与学互动设计（一）激情导课如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？（二）民主导学1、探究一：角的平分线的作法Ⅰ、议一议问题1请你拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线.问题2如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB 和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?问题3通过上面的探究，你有什么启发？你能用尺规作图作已知角的平分线吗？请你试着做一做，并与同伴交流.ABCECA BOBD 21AOCADBMN已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以B 、D 为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC. ∴射线AC 即为所求. Ⅱ、练一练平分平角∠AOB.通过上面的步骤得到射线OC 以后，把它反向延长得到直线CD.直线CD 与直线AB 是什么关系？思考：你能总结出“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法吗？请说明你的方法。
人教版数学八年级上册教学设计12.3《角的平分线的性质》一. 教材分析《角的平分线的性质》是人教版数学八年级上册的教学内容。
本节课主要让学生掌握角的平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
这一性质是几何中的基本概念，对于学生理解和掌握几何知识体系具有重要意义。
教材通过引入角的平分线，引导学生探究角的平分线的性质，从而培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
但是，对于角的平分线的性质，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过引导、探究、实践等方式，帮助学生理解和掌握角的平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握角的平分线的性质，能够运用角的平分线的性质解决一些简单的问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：角的平分线的性质。
2.难点：如何运用角的平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、设疑等方式，引导学生思考和探究角的平分线的性质。
2.实践操作法：学生通过实际操作，观察和总结角的平分线的性质。
3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作意识。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、几何模型等教学资源。
2.学生准备：笔记本、尺子、圆规等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本的课题，如：“在平面上有两个点A和B，如何找到一点C，使得AC=BC？”引导学生思考和探讨。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角的平分线的性质，引导学生观察和总结。
同时，教师可以通过实际操作，让学生直观地感受角的平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用角的平分线的性质解决实际问题。
人教版八年级上册 12.3 角的平分线的性质教学设计
12.3 角平分线的性质
教学目标:
知识与技能：
1.掌握用尺规作已知角平分线的方法和步骤．
2.掌握角平分线的性质并能初步应用．
过程和方法:
1.在探究作已知角平分线的方法和角平分线的
性质的过程中，发展几何直觉．
2.初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应
用。
情感态度与价值观：
培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信
心，获得解决问题的成功体验．
教学设想:
本节案例主要采用的是课件展示的展现方式，对学生在学
习过程中表现出来的情感与态度，对知识、技能的掌握情
况，所使用的方法等各个方面进行了观察.
教材分析：
本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明三角形全等的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
12.3 角的平分线的性质(1)教学内容本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．教学目标1．知识与技能通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．2．过程与方法经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．3．情感、态度与价值观激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．重点难点1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．2．难点：两个互逆定理的实际应用．教具准备投影仪、制作如课本图11．3─1的教具．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在实践探究中领会定理．教学过程一、创设情境，导入新课【问题探究】（投影显示）如课本图11．3─1，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？【教师活动】首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．【学生活动】小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”课本图11．3─1判定法，可以说明这个仪器的制作原理．【教师活动】请同学们和老师一起完成下面的作图问题．操作观察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC•即为所求（课本图11．3─2）．【学生活动】动手制图（尺规），边画图边领会，认识角平分线的定义；同时在实践操作中感知．【媒体使用】投影显示学生的“画图”．【教学形式】小组合作交流．二、随堂练习，巩固深化课本P19练习．【学生活动】动手画图，从中得到：直线CD与直线AB是互相垂直的．【探研时空】（投影显示）如课本图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？【教师活动】操作投影仪，提出问题，提问学生．【学生活动】实践感知，互动交流，得出结论，“从实践中可以看出，第一条折痕是∠AOB的平分线OC，第二次折叠形成的两条折痕PD、PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离，这两个距离相等．”论证如下：已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E（课本图11．3─4）求证：PD=PE．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，,,,PDO PEO AOC BOC OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PDO ≌△PEO （AAS ）∴PD=PE【归纳如下】角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【教学形式】师生互动，生生互动，合作交流．三、情境合一，优化思维【问题思索】（投影显示）如课本图11．3─5，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，•离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？【学生活动】四人小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：到角的两边的距离相等的点也在角的平分线． 证明如下：已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别是D 、E ，PD=PE ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：经过点P 作射线OC ．∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt △PDO 和Rt △PEO 中，,,OP OP PD PE =⎧⎨=⎩∴Rt △PDO ≌Rt △P EO （HL ） ∴∠AOC=∠BOC ，∴OC 是∠AOB 的平分线．【教师活动】启发、引导学生；组织小组之间的交流、讨论；帮助“学困生”．【归纳】到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【教学形式】自主、合作、交流，在教师的引导下，比较上述两个结论，弄清其条件和结论，加深认识．四、范例点击，应用所学【例】如课本图11．3─6，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P•到三边AB，BC，CA的距离相等．【思路点拨】因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果已知中写明点P到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，在证明中就可以不写．【教师活动】操作投影仪，显示例子，分析例子，引导学生参与．证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、B C、CA，垂足为D、E、F．∴BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE同理 PE=PF∴PD=PE=PF即点P到边AB、BC、CA的距离相等．【评析】在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概括，省略详细证明过程．【学生活动】参与教师分析，主动探究学习．五、随堂练习，巩固深化课本P50练习1、2．六、课堂总结，发展潜能1．学生自行小结角平分线性质及其逆定理，和它们的区别．2．说明本节例子实际上是证明三角形三条角平分线相交于一点的问题，•说明这一点是三角形的内切圆的圆心（为以后学习设伏）．七、布置作业，专题突破课本P51习题12．3第1、2、3题．板书设计把黑板分成三部分，左边部分板书概念、定理等，中间部分板书探究，右边部分板书例题，重复使用时，中间部分和右边部分板书练习题．。
第十二章全等三角形
12.3角的平分线的性质教学设计
教材分析
本节内容是全等三角形知识的运用延伸，用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的“边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质．角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种典型方法——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等．角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，常用来证明两条线段相等，角的平分线的性质的研究过程还可为后期学习线段垂直平分线的性质提供思路。
教学目标
1．会使用尺规作一个已知角的平分线；
2．掌握角的平分线的性质和判定；
3．能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题．
教学重点及难点
重点：角平分线的尺规作图，角的平分线的性质和判定及其应用．
难点：1.理解对角平分线性质定理中“点到角两边的距离”
2.角的平分线的性质及判定定理的运用.
教学用具
直尺、刻度尺、量角器、角平分仪、多媒体、课件
教学过程
(一)导入新课
问题1：给出一个纸片做的角,能不能找出这个角的角平分线呢？
师生活动：可用量角器，若不利用工具，也可用折纸的方法，教师课件演示．
问题2：哪一种方法用起来更方便？在生活中，这些方法是否都可行呢？
师生活动：用量角器比较方便，但有误差，用折叠的方法比较简捷，但若换成木板、钢板等无法对折的材料,此方法就不行了，那还有别的方法适合吗？引出课题．［设计意图］设计“激趣设疑、联旧带新”环节，既能激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．（二）探索新知
探究（1）：出示仪器模型，说明工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线．介绍仪器特点（有两对边相等），将A 点放在角的顶点处，AB 和AD 沿角的两边放下，过AC 画一条射线AE ，AE 即为∠BAD 的平分线．为什么？
学生回答，用三角形全等的方法（SSS ）证明AE 是∠BAD 的平分线．
师问：把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，也就是A B ＝AD ，从几何作图角度怎么画？BC ＝DC ，从几何作图角度怎么画？
师生活动：学生同桌交流，归纳角的平分线的作法．学生板演示范作图．
预设：为什么要以大于
2
1MN 的长为半径画弧？为什么强调交于角的内部？提倡学生自学、对学、再群学．
［设计意图］帮助学生体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，以此为线索，先自学、再对学，有问题（或困难）的在小组内交流，从实验操作中获得启示，探究出作角的平分线的方法，不仅注重了个人的实效性发展，而且也实现了学生自身能力的资源共享．
探究（2）：请将一张用纸片做的角∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？再连续折出几个直角三角形，然后展开，观察折痕，你能得到什么结论？
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？ 学生动手折叠
师生活动：第一次折痕是角的平分线，第二次的折痕是角平分线上的点到两边的距离，它们的长度相等，连续再折出折痕长度也对应相等．由此可见，角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质．用文字语言阐述得到的猜想：
角的平分线上的点到角两边的距离相等
［设计意图］学生动手动脑，可猜测并能说出观察到的结论，为逻辑推理做好了铺垫． 几何语言：∵OC 是∠AOB 的角平分线（或者∠AOC ＝∠BOC ）点P 在OC 上且P D ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD ＝PE ．
师生活动：分清题设和结论，画出图形，引导学生结合图形写出已知、求证，分析后完成证明过程，两名同学板演，教师巡视指导，同桌互查．证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理．同时强调文字命题的证明步骤．
［设计意图］经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现了它的不可替代性，特别是对于那些抽象思维能力弱的学生有了很好的帮助．
交换角的平分线性质定理的条件和结论得到：(有难度要及时引导)
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
几何语言：∵点P在∠AOB的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，PD＝PE，∴射线OP是∠AOB的平分线．
按照性质的证明方法学生自己证明．（同桌交流）教师巡视指导．
（三）例题解析
例1．如图，已知CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD，CE交于O，AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．
证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D
∴∠OEB=∠ODC
在△OEB和△ODC中
OEB ODC
OE OD
EOB DOC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
，
，
∴△OEB≌△ODC(ASA)
∴OB＝OC
教师用多媒体展示问题，学生观察识图，独立思考，并且在小组内讨论交流，找出证明思路，4名学生板演自己的证明过程，学生再互评．
预设：有学生会仍旧去找全等三角形，而不能直接去运用性质定理解决数学问题．
［设计意图］本例题的解决是为突出重点、突破难点而设计的一项活动．提醒学生能直接运用性质定理解决的数学问题，不要再仍旧去找全等三角形，更好地拓展学生解题思路及形成知识运用能力，符合高效课堂要求．
例2．已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P．求证：点P到三边A B，BC，CA的距离相等．
证明:过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为分别D，E，F.
∵BM是ΔABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.
同理PE=PF，
∴PD=PE=PF,
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程．
［设计意图］限时独立完成，并展示．通过问题的解决，帮助学生更好地理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度．
（四）课堂练习
（1）判断正误，并说明理由：
如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE＝PF．( )
P
F
E
O
C
B
A
如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E，F分别在OA，OB上，则PE＝PF．( )
P
F E
O C
B
A
如图，在∠AOB 的平分线OC 上任取一点P ，若P 到OA 的距离为3 cm ，则P 到OB 的距离边为3 cm ( ) P
E
O B A
（2）填空：如图，∠AOB ＝60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD ＝CE ， 则∠DOC ＝( )
A
B
C
O E D
［设计意图］学生独立思考完成，旨在进一步理解和巩固角平分线的性质定理（三个条件缺一不可）和判定定理．
答案：（1）× × √ (2)30°
课堂小结
（1）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）这节课你还有什么困惑？通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
猜想到证明（合情推理——演绎推理）．
布置作业：课本P51中的习题12.3.
［设计意图］通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．布置作业，专题突破.
板书设计
12.3角的平分线的性质
尺规作角的平分线的步骤
角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
角的平分线性质的几何推理格式。
