西工大明德学院离散数学试卷A

离散数学试题（A 卷答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R ) ⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R ) ⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。

乙说：王教授不是上海人，是苏州人。

丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。

王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。

试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。

则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q 乙：⌝Q ∧P 丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。

所以，丙至少说对了一半。

因此，可得甲或乙必有一人全错了。

又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。

同理，乙全错则甲全对。

所以丙必是一对一错。

故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R ) ⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R ) ⇔⌝P ∧Q ∧⌝R ⇔T因此，王教授是上海人。

三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。

证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。

2011-2012 2 离散数学（A 卷） 高密校区2011级计专、软专（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题2分，共20分）1．下列为两个命题变元ｐ，ｑ的最小项的是（ ）A ．ｐ∧ｑ∧⎤ ｐB ．⎤ ｐ∨ｑC ．⎤ ｐ∧ｑD ．⎤ ｐ∨ｐ∨ｑ2．下列语句中是真命题的是（ ）A ．我正在说谎B ．严禁吸烟C ．如果1+2=3，那么雪是黑的D ．如果1+2=5，那么雪是黑的3．在公式x ∀F （x ，y ）→∃ y G （x ，y ）中变元x 是（ ）A ．自由变元B ．约束变元C ．既是自由变元，又是约束变元D ．既不是自由变元，又不是约束变元4．集合A={1，2，…，10}上的关系R={（x ，y ）|x +y =10，x ∈A ，y ∈A}，则R 的性质是（）A ．自反的B ．对称的C ．传递的、对称的D ．反自反的、传递的5．设论域为{l ，2}，与公式)(x xA ∃等价的是( )A.A (1)∨A (2)B. A (1)→A (2)C.A (1)D. A (2)→A (1)6. 下列关系矩阵所对应的关系具有反自反性的是（ ）A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001110101 B ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101100001C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001100100 D ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010101课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:7. 在自然数集N 上，下列运算是可结合的是（ ）A b a b a 2*-=B ．},min{*b a b a =C b a b a --=*D b a b a -=*8．.设A 是奇数集合，下列构成独异点的是( )A.<A ，+>B.<A ，->C.<A ，×>D.<A ，÷>9. 右图的最大入度是( )A ．0B ．1C ．2D ．3第9题图10. 设G 为有n 个结点的简单图，则有（ ）A ．Δ(G)＜nB ．Δ(G)≤nC ．Δ(G)＞nD ．Δ(G)≥n二、填空题(每空2分，共20分)1．设A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A -B =________，A ⊕B =________。

离散数学试题(A卷及答案)一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明: 左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)⇔T (代入)2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明：∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）。

解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：（1）R 附加前提（2）⌝R∨P P（3）P T(1)(2)，I（4）P→(Q→S) P（5）Q→S T(3)(4)，I（6）Q P（7）S T(5)(6)，I（8）R→S CP2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)证明：(1)∀x⌝P(x) P(2)⌝P(c) T(1)，US(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P(4)P(c)∨Q(c) T(3)，US(5)Q(c) T(2)(4)，I(6)∃x Q(x) T(5)，EG四、在边长为1的正方形内任意放置九个点，证明其中必存在三个点，使得由它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过1/8（5分）。

证明：把边长为1的正方形分成四个全等的小正方形，则至少有一个小正方形内有三个点，它们组成的三角形（可能是退化的）面积不超过小正方形的一半，即1/8。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：A BC* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ； B ． 32 ； C ． 332⨯； D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ） A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的； B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的； C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的； D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

21年4月西工大机考《离散数学》试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 20 道试题,共 40 分)1.下列代数系统中，哪个不构成群？（）A.S={1，10}，*是模11乘法B.S = I，* 是普通减法C.S=Q，*是普通加法D.S=Q，*是普通乘法正确答案:B2. {A.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3396cd17-f5b6-4ed4-b2c5-1120f041b33f/7fb275e4-3d9d-48d3-8ac9-a04f45cdc593.jpg">B.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3396cd17-f5b6-4ed4-b2c5-1120f041b33f/370d6c12-9c63-43bf-90b6-e4bff553565d.jpg">C.A(x)→BD.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3396cd17-f5b6-4ed4-b2c5-1120f041b33f/077b840e-8898-4f33-9305-ba91bb3b7cd7.jpg">正确答案:A3. 设R，S是非空集合A上的等价关系，则R∩S的对称性（）。

A.一定成立B.一定不成立C.不一定成立D.取决于R是否包含S正确答案:A4.下列哪个不是命题（）。

A.明天你去看球赛吗?B.2是奇数而3是偶数C.1+1=2D.今天风力2-3级正确答案:A5. 下列哪个是真命题？（）A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3，则雪是黑的D.如果1+2=5，则雪是黑的正确答案:D6.下列命题公式等值的是（）。

A.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3915552f-b7a2-4752-8acc-e9afa6cd4af8/75c23c36-265b-441d-85a7-cfb311c16fef.jpg">B.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3915552f-b7a2-4752-8acc-e9afa6cd4af8/92126b01-f9d1-41bf-b44d-93b5a0b7fc19.jpg">C.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3915552f-b7a2-4752-8acc-e9afa6cd4af8/ca4c13f0-05d7-4ea9-a78a-d1933f9caf07.jpg">D.{<imgsrc="https://:8088/fileroot/question/3915552f-b7a2-4752-8acc-e9afa6cd4af8/172389ca-5e1b-43ff-bc98-1d015e553878.jpg">正确答案:C7.设p：我将去市里，q：我有时间，命题“我将去市里，当我有时间时”符号代为（）。

离散数学试题及答案一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝_____{3}______________; ρ(A) - ρ(B)＝____{{3}，{1，3}，{2,3},{1,2,3}}__________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = ___2^(n^2)________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是____A1 = {(a,1), (b,1)}, A2 = {(a,2), (b,2)}, A3 = {(a,1), (b,2)}, A4 = {(a,2), (b,1)},_________ _____________, 其中双射的是______A3, A4__________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是____P∧⌝Q∧R (m5)____.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12______，分枝点数为_______3_________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝______{4}______; A⋃B＝____{1,2,3,4}_________;A－B＝______{1,2}_______ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______自反性____________, _________对称性_________, _________传递性_____________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有_____（1,0,0）__________，______(1,0,1)________, ________(1,1,0)________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1•R2= ___{(1,3),(2,2),(3,1)}____,R2•R1 =_____{(2,4), (3,3), (4,2)}_____, R12=_______{(2,2), (3,3)}_________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = ______2^(m*n)___________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = _____{x | -1 ≤x < 0, x ∈R}_______ , B-A = ______{x | 1 < x < 2, x ∈R}_____ ,A∩B = ______{x | 0 ≤x ≤1, x ∈R}__________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________________{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}_________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是_____∃y∃x(P(y)→Q(x))________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21___条边才能把G变成完全图。

2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷A2专业: 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷 一、选择题（每小题3分，总共30分）1、设P ：我们划船，Q ：我们跑步。

命题“我们不能既划船又跑步”符号化为（ ）A 、Q P ⌝∧⌝B 、Q P ⌝∨⌝C 、)(Q P ↔⌝D 、)(Q P ⌝↔ 2、下列语句中哪个是真命题？（ ）A 、我正在说谎。

B 、严禁吸烟C 、如果1+2=3，那么雪是黑的。

D 、如果1+2=5，那么雪是黑的。

3、命题公式Q Q P P →→∧))((是（ ）A 、矛盾式B 、蕴含式C 、重言式D 、等值式4、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中变元x 是（ ） A 、自由变量 B 、约束变量 C 、既不是自由变量也不是约束变量 D 、既是自由变量也是约束变量5、若个体域为整数域，下列公式中哪个值为真？（ ）A 、)0(=+∃∀y x y xB 、)0(=+∀∃y x x yC 、)0(=+∀∀y x y xD 、)0(=+∃⌝∃y x y x6、设个体域A={a,b},公式)()(x xS x xP ∃∧∀在A 中消去量词应为（ ） A 、)()(x S x P ∧ B 、))()(()()(b S a S b P a P ∨∧∧ C 、)()(b S a P ∧ D 、)()()()(b S a S b P a P ∨∧∧8、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列正确的是（ ） A 、1∈A B 、{1，2，3}⊆A C 、{{4，5}}⊂A D 、Φ∈A 9、幂集P （P （P （Φ）））为（ ）A 、{{Φ}，{Φ，{Φ}}}B 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}}C 、{Φ，{Φ}，{Φ，{Φ}}，{{Φ}}}D 、{Φ，{Φ，{Φ}}}10、任意一个具有多个等幂元的半群，它（ ）A 、不能构成群B 、不一定能构成群C 、能构成群D 、不能构成交换群 二、填空题（每小题2分，总共16分）1、对于前提：S Q ⌝→，S ∨R ，R ⌝，Q P ↔⌝，其有效结论为2、谓词公式)()()(y yR x xQ x xP ∃∨∀→∀的前束范式为3、设集合A={x|x <3,x ∈Z},B={x|x=2k,k ∈Z} C={1,2,3,4,5},则 A ⊕（C-B ）=4、某校有足球队员38人，篮球队员15人，排球队员20人，三队队员总数为58人，其中只有3人同时参加3种球队，则仅仅参加两种球队的队员为 人 。

2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷A适用专业：信息与计算科学 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1、下述哪一个不是命题？（ D ） A 、离散数学是计算机系的一门必修课 B 、不存在最大偶数。

C 、若我有空，我就看书。

D 、请勿随地叶痰！2.设<G, 。

>是群，且|G|>1,则下列命题不成立的是（ B ）A.G 中有幺元B. G 中有零元C.G 中任一元素有逆元D. G 中除幺元外无其它幂等元 3、设A={}c b a ,,,则下列是集合A 的划分的是（ D ） A.{}{}{}c c b ,, B. {}{}{}c a b a ,,, C.{}{}c b a ,, D.{}{}{}c b a ,, 4.设集合A={a,{b}}，下面四个命题为真的是( D )A.a 包含于AB.φ∈AC.{b}包含于AD.φ包含于A5、下列是命题公式p ∧(q ∨⌝r)的成真指派的是（ A ） A.110,111,100 B.110,101,011 C 所有指派 D.无6、设A 和B 都是命题，则A →B 的真值为假当且仅当（ D ） A 、A 为0 ，B 为1 B 、A 为0 ，B 为0C 、A 为1 ，B 为1D 、A 为1 ，B 为0二、填空题（本大题共4小题，每题3分，共12分）１、设A={a,b,c}，F 是A 上的二元关系，F={<a,c>,<b,a>,<c,b>}，则其自反闭包为r(F)={<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>} 。

2、设B={0,1}，则B 的幂集P(B)= {φ,{0} ,{1},{0,1}}， 3、R 是集合A={1,2,3}上的二元关系，R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<1,3>,<3,2>,<3,3>}，则R 具有的性质是__ _自反性、反对称性_______________。

《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）及答案第 1 页/共 4 页《离散数学》考试试卷（试卷库14卷）试题总分： 100 分考试时限：120 分钟⼀、选择题（每题2分，共20分）1. 下述命题公式中，是重⾔式的为( )（A ）)()(q p q p ∨→∧（B ）q p ∨))()((p q q p →∨→?（C ）q q p ∧→?)(（D ）q q p →?∧)(2. 对任意集合A,B,C,下列结论正确的是（）（A ）若A ?B,B ∈C,则A ?C ；（B ）若A ∈B,BC,则A ?C ；（C ）若A ?B,B ∈C,则A ∈C ；（D ）若A ∈B,B ?C,则A ∈C ； 3. 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系, ,则由R 产⽣的S S ?上⼀个划分共有( )个分块。

（A ）4（B ）5（C ）6（D ）94. 下列偏序集( )能构成格5. 连通图G 是⼀棵树当且仅当G 中( )（A ）有些边是割边（B ）每条边都是割边（C ）所有边都不是割边（D ）图中存在⼀条欧拉路径6. 有n 个结点)3(≥n ，m 条边的连通简单图是平⾯图的必要条件( )（A ） 63-≤n m（B ）63-≤m n （C ）63-≥n m （D ） 63-≥m n7. 设P,Q 的真值为0,R,S 的真值为1,则下⾯命题公式中真值为1的是（）（A ）R →P （B ）Q ∧S （C ）P S （D ）Q ∨R 8. 在图G=中,结点总度数与边数的关系是（）（A ）deg()2||i v E =（B ）deg()||i v E =（C ）deg()2||iv Vv E ∈=∑（D ）deg()||iv Vv E ∈=∑9. 设有33盏灯,拟公⽤⼀个电源,则⾄少需有五插头的接线板数（）（A ）７（B ）８（C ）９（D ）１４ 10. 设集合A 上有四个元素,则A 上的不同的等价关系的个数为（）（A ）11 （B ）14 （C ）17（D ）15⼆、填空题（每题2分，共20分）1. 设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则R= 。

2020-2021《离散数学》期末课程考试试卷A一、填空题（每空3分，共15分）1．命题公式)(r q p p ∨∨→的类型是 。

2．设p ：我将去镇上。

q ：我有时间。

则命题“我将去镇上，仅当我有时间。

”的符号化形式为 。

3．化简下面集合表达式：)())((C B A C A B -= 。

4．已知一有向图的D 的度序列为（2,3,2,3），出度序列为（1,2,1,1），则D 的入度序列为 。

5．5个顶点的非同构的无向树共有 棵。

二、选择题（单项选择题，每题3分，共30分）1．设命题公式)(p q p ⌝→∧，记作A ，则使A 的真值指派为1的p ，q 的取值是（ ）。

A 、00B 、 01C 、10D 、112．设p ：你努力。

q ：你将失败。

则命题“除非你努力，否则你将失败。

”符号化为（ ）。

A 、p →q B 、q →p C 、┐p →q D 、┐q →p 3．下列公式中不与)(q p ↔⌝等值的是（ ）。

A 、)()(q p q p ∨⌝∧⌝∨B 、)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧C 、q p ↔⌝D 、q p ⌝↔4．下面公式正确的是（ ）。

A 、)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇔∨∀ B 、)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇔∨∃C 、)())((x xB A x B A x ∃→⇔→∀D 、)()(x A x x xA ⌝∃⇔⌝∃5．下列命题错误的是（ ）。

A 、}},,{,,,{},{c b a c b a b a ⊆ B 、}},{,,,{},{b a c b a b a ∈ C 、}}},{{,,{},{b a b a b a ⊆D 、}}},{{,,{},{b a b a b a ∈6．设R={<x,y>|x,y ∈R ，x-y+2>0且x-y-2<0}，则R 具有的性质是（ ）。

离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。

答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。

答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。

答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。

答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。

答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。

2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。

答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。

例如，小于关系就是一个二元关系。

3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。

答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。

例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。

四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。

2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。

答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。

离散数学试题及答案解析一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4}，则A∩B等于：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {1,4}D. {3,4}答案：B2. 以下哪个命题是真命题？A. 所有天鹅都是白色的。

B. 有些天鹅不是白色的。

C. 所有天鹅都不是白色的。

D. 没有天鹅是白色的。

答案：B3. 函数f: A→B的定义域是A，值域是B，那么f是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 既不是单射也不是满射答案：D4. 逻辑表达式(p∧q)→r的逆否命题是：A. ¬r→¬(p∧q)B. ¬r→¬p∨¬qC. r→(p∧q)D. ¬r∧¬p∨¬q答案：B5. 有限集合A={a, b, c}的子集个数为：A. 3B. 4C. 7D. 8答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果一个关系R在集合A上是自反的，那么对于A中的每一个元素a，都有___________。

答案：(a, a)∈R2. 命题逻辑中，合取（AND）的逻辑运算符用___________表示。

答案：∧3. 在图论中，一个连通图是指图中任意两个顶点之间都存在___________。

答案：路径4. 集合{1, 2, 3}的幂集包含___________个元素。

答案：85. 如果一个函数f是单射，那么对于任意的x1, x2∈A，如果f(x1)=f(x2)，则x1___________x2。

答案：=三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件。

证明：假设p成立，由于p是q的充分条件，所以q成立。

又因为q是r的充分条件，所以r成立。

因此，p成立可以推出r成立，即p是r的充分条件。

2. 给定一个有向图，其中包含顶点A、B、C、D，边为(A, B)，(B, C)，(C, D)，(D, A)，(A, C)。

精品文档离散数学考试试题（A卷及答案）一、（10分）判断下列公式的类型（永真式、永假式、可满足式）？1)((P?Q)∧Q)?((Q∨R)∧Q) 2)?((Q?P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)?R)?((P∧Q)∨R)解：1)永真式；2）永假式；3)可满足式。

二、（8分）个体域为{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。

解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））?（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+1=4））?（0∨0）∧（0∨1）?1∧1?0三、（8分）已知集合A和B且|A|=n，|B|=m，求A到B的二元关系数是多少？A到B的函数数是多少？解：因为|P(A×B)|=2|A×B|=2|A||B|=2mn，所以A到B的二元关系有2mn个。

因为|BA|=|B||A|=mn，所以A到B的函数mn个。

（10分）已知A={1,2,3,4,5}和R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

四、解：r(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}s(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<3,2>,<4,3>,<4,5>}t(R)={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<5,4>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<1,4>}五、(10分) 75个儿童到公园游乐场，他们在那里可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船，已知其中20人这三种东西都乘过，其中55人至少乘坐过其中的两种。

离散数学试题A卷及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}中，子集的个数是多少？A. 3B. 7C. 8D. 9答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. ∃x∈R, x^2 = -1B. ∀x∈R, x^2 ≥ 0C. ∀x∈R, x^2 = 1D. ∃x∈R, x^2 = 2答案：B3. 函数f: N → N定义为f(x) = 2x，该函数是：A. 单射B. 满射C. 双射D. 非函数答案：A4. 以下哪个逻辑表达式等价于p∧(q∨¬p)？A. p∧qB. p∨qC. ¬p∨qD. p∧¬p答案：A5. 以下哪个图是二分图？A. 完全图K5B. 完全二分图K3,3C. 环图C5D. 星形图K1,4答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B=______。

答案：{2,3}2. 命题“若x>0，则x^2>0”的逆否命题是：若x^2≤0，则______。

答案：x≤03. 在一个有向图中，若存在从顶点u到顶点v的有向路径，则称v可到达u，若图中每个顶点都可到达其他所有顶点，则称该有向图是______。

答案：强连通的4. 一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集5. 在逻辑中，合取（AND）操作符用符号______表示。

答案：∧三、解答题（每题10分，共20分）1. 证明：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C。

证明：设x∈A，则由A⊆B，可得x∈B。

又由B⊆C，可得x∈C。

因此，A⊆C。

2. 给定一个图G，包含顶点集V={v1, v2, v3, v4}和边集E={(v1,v2), (v2, v3), (v3, v4), (v4, v1), (v1, v3), (v2, v4)}，请判断该图是否是欧拉图，并说明理由。

答案：该图是欧拉图。

因为该图是连通的，且每个顶点的度都是偶数。

结束语：本试题涵盖了离散数学中的基本概念和原理，通过这些题目的练习，可以加深对离散数学知识的理解。