第十单元 三角形的计数问题

教你数三角形的个数作者：来源：《初中生(一年级)》2008年第04期在几何计数问题上，经常见到很多同学要么重复计数了，要么漏数了，那么有什么方法可以做到计数时不重不漏？相信下面例题中的方法会给你带来启发.如右图，锐角△ABC的三条高线相交于H.问图中共有多少个三角形？方法一：直接在图上数(容易产生重复与遗漏).方法二：逐步添点法.（1）△ABC本身是一个三角形.（2）如图1，取点H，其与A、B、C的连线组成3个三角形：△HAB、△HBC、△HCA.（3）如图2，再取点D，一方面AD把△ABC分成2个三角形，另一方面HD又把△HBC分成2个三角形，共增加4个三角形：△ABD、△ACD、△HBD、△HCD.（4）如图3，同理，取点E、F，又各增加了4个三角形：△BCE、△BAE、△HCE、△HAE、△CAF、△CBF、△HAF、△HBF.总计有1+3+3×4=16个三角形.方法三：分类计算.考虑以A、B、C、D、E、F、H为顶点的各类三角形（钝角三角形、直角三角形、锐角三角形）.（1）钝角三角形的钝角顶点只能为H，以H为顶点的钝角三角形有三个：△HAB、△HBC、△HCA.（2）直角三角形的直角顶点只能为D、E、F，每个点对应着2个直角，每个直角对应着2个直角三角形，共有2×2×3=12个直角三角形.（3）锐角三角形只能由A、B、C组成，有1个.总计有3+12+1=16个三角形.另外，也可以按顶点是否取H分类，以H为顶点的三角形有9个，不以H为顶点的三角形有7个，共计9+7=16.方法四：逐步拼组法.（1）△ABC被3条高线剖分为6个互不重叠的小三角形，称为素三角形.（2）由2个相邻的素三角形组成的三角形有3个：△AHB、△BHC、△CHA.（3）由3个相邻的素三角形组成的三角形有6个：对△AHB而言，可以添上△HBD，也可以添上△HAE组成三角形，分别得△ABD、△ABE.同理，有△BCE、△BCF、△CAD、△CAF.（4）4个相邻的素三角形不能组成三角形.（5）5个相邻的素三角形不能组成三角形.（6）6个相邻的素三角形组成△ABC.因此，共计有6+3+6+1=16个三角形.。

分类数三角形个数
数三角形个数的具体方法如下：
1. 暴力枚举法：通过枚举每一个三角形的顶点，判断是否能够构成三角形，从而统计个数。

这种方法适用于小规模的三角形计数，但对于大规模的三角形计数则不太实用。

2. 组合计数法：利用组合数学的知识，将三角形的计数问题转化为选取一定数量的点，然后从中选出三个点构成三角形的问题。

具体来说，假设有n个顶点，选取3个顶点构成三角形的个数为C(n,3)。

但需要注意的是，这种方法只适用于顶点数量比较少的情况，因为顶点数量一旦增加，组合数就会非常大，计算难度也会增加。

3. 利用类型分类计数：将三角形分成不同的类型进行分类计数，然后将不同类型的三角形个数相加即可。

常见的分类包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。

这种方法需要对三角形的性质和构成规律有比较深入的了解，同时需要注意分类的准确性和完备性。

4. 利用图形转化：将原始图形转化为另一种具有更易于计数的形式，然后再进行计数。

例如，将正方形分成若干个小三角形、小正方形和小菱形，然后计算各种小图形的个数，最后将其相加即可得到三角形的个数。

这种方法需要灵活运用图形转化的思想，找到适合的转化方法。

以上方法仅供参考，具体应用时需根据实际情况选择合适的方法。

三角形个数题目请问你是想要一个关于计算三角形个数的题目吗？如果是的话，以下是一个例子：题目：在一个正方形的格点图中，正方形的边长为4，每个格点上都有一个点，连接这些点可以得到许多三角形。

那么，这个正方形格点图中一共有多少个三角形？解析：我们可以通过计算不同类型的三角形的个数来得到最终答案。

在正方形格点图中，有四种类型的三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形和一般三角形。

我们可以按照这四种类型逐个计算，并将它们的个数相加得到最终答案。

1. 直角三角形：对于每个格点，它可以与右上方和右下方的两个格点组成直角三角形。

因此，每个格点都可以构成2个直角三角形，共有16个格点，所以直角三角形的个数为16×2=32。

2. 等腰三角形：由于正方形的边长为4，格点图中的三角形的底边长度可以是1、2或3。

对于底边长度为1的等腰三角形，每个格点都可以与它的右上方或右下方的格点组成，所以底边长度为1的等腰三角形个数为2×16=32。

同理，对于底边长度为2和3的等腰三角形，个数也分别为2×9=18和2×4=8。

所以等腰三角形的个数为32+18+8=58。

3. 等边三角形：由于正方形的边长为4，格点图中的等边三角形的边长为4。

只有正中间的4个格点可以构成等边三角形，所以等边三角形的个数为4。

4. 一般三角形：一般三角形的个数等于总的三角形个数减去前面三种类型的三角形个数。

总的三角形个数等于正方形格点图中任意3个点确定一个三角形的个数。

正方形格点图中一共有16个格点，所以总的三角形个数为C(16, 3) = 560。

综上所述，正方形格点图中一共有32+58+4+560=654个三角形。

计数法（排列与组合）【四年级计数问题：加乘原理难度：中难度/高难度】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？【分析与解答】分类计数一共分成三类：第一类两个点在圆弧上另一点在直径上C72×25=105(个)；第二类两个点在直径上另一个点在圆弧上共有C5×7=70（个）；第三类三个点都在圆弧上共有C73共有35个。

三类共105+70+35=210（个）【四年级乘法原理问题：难度：低难度】从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站．铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？【分析与解答】共有8个站．每个站到其它7个站各需1种车票，共有7×8=56种车票．因为A站到B 站与B站到A站的票价相同，所以最多有56÷2=28种票价．【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【分析与解答】要写出这个三位数分三步走，第一步我们写受限制的个位只能从2、4、8中选一个放在个位上，有三种方法。

第二步从剩下的4个数字中选一个放在百位上有4种方法，第三步，再从剩下的三个数字中选出1个放在十位上，有3种方法。

所以一共有3×4×3=36个。

【四年级乘法原理问题：难度：中难度】有5张卡片分别写着2、3、4、5、6。

如果允许把6当做9来用，那么从中任意抽取3张卡片组合成三位数。

（1）一共可以组成多少个三位数？（2）一共可以组成多少个三位偶数？【分析与解答】（1）这些三位中分成两类，有6参加和没有6参加的。

有6参加的情况：从其他的4个数中选2个数，所以有C42=6种，每一种和6组成的三位数都是3的全排列共6个数，那么6种组合方式一共会有6×6=36个数，而且6可以当成9看，所以可以组成36×2=72个数。

三年级上学期第十讲，计数问题第01讲枚举法【内容概述】掌握枚举的一般方法，解决整数的分柝、数字的排列与选取、几何图形剪拚等相关计数问题．注意到有序并按规律进行，做到不重不漏．【典型问题】1.【11001】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）数一数，下图中有多少个三角形。

我们将图形的各部分编上号（见下图）单个的三角形有6个：1，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个：（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个：（1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个：（1，2，3，4，5，6，7，8）。

总共有6＋4＋1＋2＋1=14个。

2.【11002】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）某单位获得25张奥运门票，把这些票分给4位部门主管，要求每人得到的票数都不一样。

问得到票数最多的一人至少有多少张票？8张。

25÷4＝6…1，所以得到票数最多的一人至少有7张。

但每人票数不同，且7＋6＋5＋4＝22 < 25，所以7张不对。

由于25＝8＋7＋6＋4，所以得票最多的一人至少有8张票。

3.【11003】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）某综艺节目把艺人分成甲、乙两个队比赛，比赛依次进行下列六项：对联，乒乓球，层层叠，吃寿司，知识问答，柔道。

有特殊规定：六局中谁先胜四局谁获胜，比赛立即结束；若各胜三局，则谁先胜三局谁获胜。

已知甲队在对联中胜出，但乙队最终获胜。

问：各项比赛的胜负情况有多少种可能？将六场比赛依次记为1，2，3，4，5，6。

乙队可以胜出2，3，4或2，3，5或2，4，5或3，4，5或2，3，4，5或2，3，4，6或2，3，5，6或2，4，5，6或3，4，5，6。

共有9种可能。

4.【11004】（郝挺，三上第10讲枚举法，计数问题第1讲★★）在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？上珠一个表示5，下珠一个表示1。

章节测试题1.【答题】数一数，缺了______块砖.【答案】10【分析】此题考查的是长方形的认识.利用补全和有序计数的方法数出缺了几块砖，解答时可以从上往下数，也可以从下往上数.【解答】第一层缺了2块，第二层缺了3块，第三层缺了3块，最下面一层缺了2块，这样一共缺了2+3+3+2=10（块）.故此题的答案是10.2.【答题】下图有______个三角形.【答案】3的个数.【解答】图中，基本的三角形有2个，和.有两个三角形组成的复合三角形有1个，，这样一共有2+1=3（个）三角形.故此题的答案是3.3.【答题】下图有______个正方形.【答案】5【分析】此题考查的是正方形的认识.利用有序思考和分类计数的方法来判断图形的个数.【解答】图中4个角各有一个正方形，中间有1个正方形，这样一共有5个正方形.故此题的答案是5.4.【答题】下图一共有______个长方形.【答案】9的个数.【解答】最小的长方形有4个；2个小长方形组成的长方形有4个；4个小长方形组成的大长方形有1个.这样一共有4+4+1=9（个）长方形.故此题的答案是9.5.【答题】我的试卷是______形.【答案】长方【分析】此题考查的是长方形的认识.【解答】试卷符合长方形的特征.故此题的答案是长方.6.【答题】下图中有______个三角形，______个正方形，______个长方形，______个圆，______个平行四边形.【答案】6,3,5,7,2【分析】此题考查的是图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是三角形，有6个；棕色的是正方形，有3个；红色的是长方形，有4个，从左边数第2个长方形和上面的正方形也可以组成一个长方形，所以长方形总共有5个；黄色的是圆，有7个；紫色的是平行四边形，有2个.故此题的答案是6，3，5，7，2.7.【答题】用同样的拼成一个，需要______个.【答案】4【分析】此题考查的是图形的认识.长方形中有几个三角形就需要几个.【解答】由可知，中有4个，所以用同样的拼成一个，需要4个.8.【答题】下面的图形中，可以拼成的是______，______，______.（填序号）【答案】1,3,5【分析】此题考查的是认识平面图形.【解答】如图，将进行划分可知，可以拼成的是、、.故此题答案为1，3，5.9.【综合题文】看图填空.10.【答题】下图中拼成的图形没有用到（）.A. B. C. D.【答案】A【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】如下图，蓝色的是正方形，红色的是三角形，黄色的是圆，所以没有用到平行四边形.选A.11.【答题】把一张正方形的纸对折两次，不能折出的是（）.A.长方形B.正方形C.三角形D.圆【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】把一张正方形的纸对折两次，不可能折出曲线，所以不能折出的是圆.选D.12.【答题】拼成下图没有用到的图形是（）.A. B.C. D.【答案】B【分析】此题考查的是平面图形的认识.观察图形，在图形中找出相似图形，根据选项推出没有的图形.【解答】如下图，蓝色的是三角形，红色的是正方形，黄色的是平行四边形.所以没有用到的图形是长方形.选B.13.【答题】有一种四巧板由4块拼板组成，各种拼板的形状如下图.下面图形（）由四巧板拼成.A.可以B.不可以【答案】A【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】对照四巧板的各种拼板，将标上编号，所以可以由拼成.选A.14.【答题】下面图形中（）和其他不同类.A. B.C. D.【答案】D【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】、、是平面图形，是立体图形.选D.15.【答题】下图是由正方形和长方形拼成的.（）【答案】×【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】正方形和三角形可以拼成的.故此题是错误的.16.【答题】和都是长方形.（）【答案】×【分析】此题考查的是平面图形的认识.【解答】是平行四边形，不是长方形.是长方形.故此题是错误的.17.【答题】一副里面有7种不同的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】一副里面有三角形、正方形、平行四边形，共3种不同的图形.故此题是错误的.18.【答题】左图是由6个红色部分的小三角形组成的.（）【答案】✓【分析】此题考查的是图形的拼组.【解答】由图可知，图案中间是1个，1个可以由2个相同的组成.四周还有4个，一共是6个.故此题是正确的.19.【答题】用七巧板可以拼出下面的图形.（）【答案】×【分析】此题考查的是七巧板.【解答】如图，七巧板中没有形如的三角形，所以不能拼成题目中的图形.故此题是错误的.。

三年级数三角形数量的题目这是一个经典的数学问题，通常被称为“三角形计数问题”。

题目：一个等边三角形的每一边上都有 n 个点（包括两个端点）。

这些点中任意三个点都不共线。

那么这个三角形内有多少个三角形？解答：1. 当 n = 2 时，每条边上只有两个点，所以总共有 2 个三角形。

2. 当 n = 3 时，每条边上都有三个点，因此总共有 6 个三角形。

3. 当 n = 4 时，每条边上都有四个点，因此总共有 12 个三角形。

4. 当 n = 5 时，每条边上都有五个点，因此总共有 20 个三角形。

5. 当 n = 6 时，每条边上都有六个点，因此总共有 30 个三角形。

6. 当 n = 7 时，每条边上都有七个点，因此总共有 42 个三角形。

7. 当 n = 8 时，每条边上都有八个点，因此总共有 56 个三角形。

8. 当 n = 9 时，每条边上都有九个点，因此总共有 72 个三角形。

9. 当 n = 10 时，每条边上都有十个点，因此总共有 90 个三角形。

通过观察可以发现以下规律：1. 当 n = 1 时，总共有 1 个三角形。

2. 当 n = 2 时，总共有 2^2 - 2 = 2 个三角形。

3. 当 n = 3 时，总共有 3^2 - 3 = 6 个三角形。

4. 当 n = 4 时，总共有 4^2 - 4 = 12 个三角形。

5. 当 n = n 时，总共有 n^2 - n 个三角形。

这个规律可以解释为：每个顶点都可以与另外两个顶点构成一个三角形，但是要减去三个在边的交点处生成的重复的三角形。

所以总共的三角形数量就是顶点的数量减去三。

第15讲图形计数知识梳理几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。

在几何图形的计数问题中，各种图形的基本概念及其相关性质是计数过程中寻找规律的基础。

掌握图形的规律和方法多种多样，常用的有按顺序数和分类数两种。

分类方法如：按点分类，按边分类，按块分类等等还要注意分类的合理性，只有当所分的类型包含所有情况并且相互不重叠，这样才有可能做到不重复、不遗漏。

典型例题【例1】★数一数图1中有多少条线段？【例2】★数一数，右图中共有多少个角?【小试牛刀】数出图2中总共有多少个角？【例3】数一数，右图中共有多少个三角形?你有什么好方法？【例4】数一数：下面三个图中长方形分别有多少个？【小试牛刀】数一数图4中长方形的个数。

【例5】数一数：右图中有几个正方形？【小试牛刀】数一数图5中有多少个正方形（其中每一个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）？【例6】数一数，右图中三角形共有几个？【小试牛刀】数一数图6中三角形的个数（图中每一个小三角形是边长为1的正三角形）。

【例7】数一数：右图中有几个正方形？【例8】如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【小试牛刀】在下图中，不包含☆的长方形有________个．【例9】如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【例10】如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？【例11】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?课后作业1．数一数图7中共有多少条线段？共有多少个三角形？2．数一数图8中有多少个三角形？3．数一数图9中有多少个正方形包含阴影方格？（图中每一个小格是边长为1的正方形。

）4．数一数图10中有多少个三角形？5．数一数图11中共有多少个长方形？6．数一数图12中正方形的个数。

第二讲图形计数问题教室姓名学号【知识要点】一、定义由首尾相连的三条线段围成的图形叫三角形。

三角形有三条边和三个角。

长方形是特殊的四边形。

它有四个角且都是直角，有四条边且对边相等。

正方形是特殊的长方形。

它的四个角都是直角，且四条边都相等。

二、三角形、长方形、正方形的计数方法1、有些三角形可以用数线段的方法来计数。

2、有些三角形可以从小到大，按一定的顺序去数。

3、长方形的个数＝长的线段总数×宽的线段总数。

4、有些图形可以通过分拆的方法合理计算。

【经典例题】★例1：下图中有几个三角形？★例2：图中分别有几个三角形？★例3：图中有多少个长方形？★★例4：图中有几个三角形？★★例5：图中有多少个正方形？A【池中戏水】★1、右图中有几个三角形？★2、图中有几个三角形？★3、图中有几个长方形？★4、图中有几个三角形？★5、数一数，图中共有几个正方形？★6、图中有几个三角形？【江中畅游】★★1、图中有几个正方形？★★2、数一数，图中含有★的正方形有（）个。

★★3、图中有几个三角形？第三讲 数阵图（一）教室 姓名 学号【知识要点】数阵图是将一些数按照一定的要求排列而成的某种图形。

数阵图根据图形的形状特点，可以分为辐射型数阵图和封闭型数阵图。

辐射型：（1）仔细观察图形，找出关键位置。

关键位置通常是重叠数，也可叫做中间数；（2）把题目中提供的数字和所要填的空格和图形关系联系起来看，注意倍数关系；（3）计算方法：已知各数之和+重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数。

封闭型：（1）仔细观察图形，找出关键数（即重叠数）。

在封闭型数阵图中，关键数往往有几个；（2）把题目提供的数字和所要填的空格和图形联系起来看，注意总和的倍数关系；（3）计算方法：已知各数之和+重叠数之和＝每边各数之和×边数；【经典例题】★例1：将1——5这五个数分别填入图中的空格内，使两条直线上的三个数之和相等，若中间数为5，该怎么填？★例2：将1——5这五个数分别填入图中的空格内，使横行、竖列三个数之和都等于9.★例3：将1——6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9.★★例4：把1——7填入下图中，使每条线段上的三个○内的数的和相等。

2015年小学奥数计数专题——几何计数1．用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图,用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?2．如图，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?3．图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔?4．如图，在桌面上，用6个边长为l的正三角形可以拼成一个边长为1的正六边形．如果在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那么，需要边长为1的正三角形多少个？5．如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．6．如图，18个边长相等的正方形组成了一个3×6的方格表，其中包含“*”的长方形及正方形共有多少个?7．图是由若干个相同的小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个?8．图中共有多少个三角形?9．图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“*”的各种大小的正三角形一共有多少个?10．如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?11．在图中，共有多少个不同的三角形?12．如图，一块木板上有13枚钉子．用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形?13．如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1厘米的正方阵．用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．在这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形共有多少个?14．如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮筋共可套出多少个不同的三角形?15．如图，正方形ACEG的边界上有A，B，C，D，E，F，G这7个点，其中B，D，F分别在边AC，CE，EG上．以这7个点中的4个点为顶点组成的不同四边形的个数等于多少?16．数一数下列图形中各有多少条线段.17．数出下图中总共有多少个角.18．数一数下图中总共有多少个角？19．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？20．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？21．如右图中，共有多少个角？22．在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少? 37421812523．由20个边长为1的小正方形拼成一个45 长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 。

小学五年级数学思维专题训练—几何计数1．如右图所示，把一个正方体切去8个小角，那么这个新的立方体图形有____条棱。

2．下图中的每个小方格都是面积为1的正方形，面积为2的长方形有_____个。

3．如下图所示，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。

把两个三角形相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼出若干种图形，其中，形状不同的四边形有_____种。

4．下图是由16个小正方形组成的大正方形，则在这个图中，共有_____个由小正方形组成的长方形（包括正方形）中包含“ ”。

5．下图中有_____个三角形。

6．如下图所示，两条线上有6个点。

试求出以6个点中任意3点为顶点构成的三角形一共有几个。

7.将4个小正方体拼在一起（正方体与正方体拼接的两个面要完全重合），共有_____种不同的拼法。

（旋转后相同算同一种拼法）8.如下图所示，在正方形的7个点中取4个格点作为顶点的四边形中，正方形有______个，取其中3个格点组成的等腰三角形有_______个。

9．下图是由9个点组成的，那么以图中4个点为顶点的正方形有_____个，以图中3个点为顶点的三角形有______个。

10．一块木板上有13枚钉子（如左下图）。

用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）。

请回答：可以构成多少个正方形？11．下图是半个正方形，它被分成了若干个小的等腰直角三角形，图中，正方形有_____个，三角形有_____个。

12．下图中三角形的个数是______。

13．下图中共有______个三角形。

14．如下图中共有______个正方形。

15．数一数下图中共有_____个三角形。

16．以下图36个方格点钟的4个点为顶点的正方形的个数为______。

17．在下图由10个点排成的长方形中，每边上相邻亮点的距离都是1厘米。

如果用其中的点连成三角形，那么面积是2平方厘米的三角形的个数是______。

三角形中的计数问题设计到三角形的计数问题，这些题主要考同学们对规律探索的方法，非常有趣。

下面举例加以说明。

1、三角形中计数角的大小 例1、如图1所示，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1 得∠A 1 ，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2 , 得∠A 2 ， ……，∠A 2008BC 的平分线与∠A 2008CD 的平分线交于点A 2009 ，得∠A 2009 ,则∠A 2009＝ 。

解法探析：通过读题，知道问题设计了三个方面的知识点： 1、三角形的内角平分线的性质； 2、三角形的外角平分线的性质；3、三角形的外角与不相邻内角之间的关系的应用。

为了能够让同学们更清楚的看懂解题的思路，我们不妨把问题的解答过程分成如下几个环节： ①简化成最简单的形式如图2，已知 ：在△ABC 中，B A 1平分∠ABC ，C A 1平分∠ACE 。

探索∠A 1与∠A 之间的关系。

证明：因为，B A 1平分∠ABC ，C A 1平分∠ACE ， 所以，2∠2=2∠1+∠A ， 因为，∠2=∠1+∠A 1， 所以，2∠2=2∠1+2∠A 1， 所以，∠A =2 ∠A 1， 即∠A 1=21∠A=α21。

②再作进一步深度思考因为，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2 , 得∠A 2 ， 所以，2∠A 2CD =2∠A 2BC +∠A 1， 因为，∠A 2CD =∠A 2BC +∠A 2， 所以，2∠A 2CD =2∠A 2BC +2∠A 2， 所以，∠A 1=2 ∠A 2， 即∠A 2=21∠A 1=α2)21(。

③分析结论的变化规律仔细观察这两个已有的结论， 变化的是：字母A 的右下脚码和底数21的指数，且变化的规律是：字母A 的右下脚码和底数21的指数相同。

④完成考题的解答因为，字母A 的右下脚码是2009，所以，底数21的指数也是2009， 所以，∠A 2009＝α2009)21(。

数三角形个数的巧妙方法数三角形个数的巧妙方法三角形是一种基本的几何图形，它具有广泛的应用。

在计算机图形学、统计学、数据挖掘等领域中，经常需要对三角形进行计数。

本文将介绍一种巧妙的方法，可以快速准确地计算三角形个数。

一、问题描述假设有一个n个点的平面图（n>3），其中任意三点不共线，求该平面图中包含多少个三角形。

二、解决思路为了便于理解，我们先考虑一个简单的情况：如何在一个正方形网格中找到所有的直角三角形。

1. 遍历网格首先，我们可以遍历整个网格，找到所有可能存在直角三角形的点。

具体地说，我们从左上角开始遍历每一个格子，在每个格子里判断是否存在直角顶点。

如果存在，则记录该顶点所在的行和列。

2. 构造直角三角形接下来，我们根据记录下来的顶点坐标构造直角三角形。

具体地说，在每个记录下来的顶点处向右和向下各找一个顶点，并判断是否构成直角三角形。

如果是，则将其计入结果中。

3. 计算结果最后，统计所有的直角三角形个数即可。

以上方法可以解决正方形网格中直角三角形的计数问题。

但是，对于一般的平面图，我们需要寻找一种更加通用的方法。

3. 利用计数公式事实上，我们可以利用组合数学中的计数公式来解决该问题。

具体地说，我们可以根据平面图中点的个数和边的条数来计算三角形个数。

首先，我们知道n个点之间最多存在n(n-1)/2条边。

因为每个点都可以与其他n-1个点相连，但是由于重复计算和自环等原因，实际上只会有n(n-1)/2条边。

其次，对于任意一个三角形来说，它必须由三条不同的边组成。

因此，在所有可能存在的三条边中选择任意三条边构成一个三角形的概率为C(n,3) / C(n(n-1)/2,3)，其中C(m,n)表示从m个元素中选择n个元素的组合数。

最后，根据乘法原理将所有可能存在的三角形概率相加即可得到答案。

具体地说，我们可以将上述概率乘以总共可能存在的三角形数量C(n,3)，得到最终结果为C(n,3) * C(n(n-1)/2,3)。

三角形是一个古老而又精美的几何形状，它具有多种性质和特征，引发了许多数学家的研究与探讨。

而组合数学则是数学中的一个分支，它研究的是离散结构的数量关系问题。

本文将探讨三角形在组合数学中的应用，并解释在Codeforces竞赛中可能会遇到的与三角形相关的问题。

1. 三角形的性质三角形是由三条边和三个角组成的，它具有多种性质和定理。

在组合数学中，我们常常关注的是三角形的组合问题。

对于一个有n个点的凸多边形，其中不包含边和只包含顶点的三角形的个数是C(n,3)，其中C(n,3)表示从n个元素中选取3个元素的组合数。

这个公式可以很容易地从组合数学的知识中推导出来，它为我们在解决相关问题时提供了一个重要的计算工具。

2. 三角形的计数问题在Codeforces竞赛中，三角形的计数问题经常会出现。

给定一个n 个点的平面上的点集，我们需要计算出这些点中可以构成的不同三角形的个数。

这个问题可以通过枚举所有可能的三元组来解决，时间复杂度为O(n^3)。

但是，对于大规模的点集来说，这种方法显然是不可取的。

我们需要寻找一种更加高效的算法来解决这个问题。

3. 三角形计数的优化算法在实际的竞赛中，我们需要使用一些优化的算法来解决三角形计数的问题。

一种常见的方法是利用哈希表（hash table）来存储点对之间的距离，并快速计算出距离相等的点对的个数。

这样可以将时间复杂度降低到O(n^2)。

另一种方法是对点集进行预处理，将点按照x坐标进行排序，然后利用双指针的方式来快速计算出距离相等的点对的个数。

这样可以将时间复杂度降低到O(nlogn)。

4. 三角形的变种问题除了基本的三角形计数问题之外，我们在竞赛中还会遇到一些关于三角形的变种问题。

给定n个点的平面上的点集，我们需要找出可以构成的最大面积的三角形。

这个问题可以使用凸包算法来解决，时间复杂度为O(nlogn)。

另一个例子是，给定n个点的平面上的点集，我们需要找出可以构成的最小周长的三角形。

几何计数知识结构一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成 21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步 求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类（1） 数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条（2） 数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．（3） 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．（4） 数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．重难点（1） 重点：三角形、长方形、正方形的计数方法. （2） 难点:复杂正方的计数技巧例题精讲ED CBA【例 1】 数一数，共有________条线段.【考点】简单几何计数【难度】1星【题型】计算【解析】 一共有：12345621+++++=（条）。

计数问题一、数线段第一种：按照线段的端点顺序去数第二种：按照基本线段多少的顺序去数.线段的总条数等于从1开始的连续几个自然数的和，这个连续自然数的和的最大的加数是线段分点数加1或者是线段所有点数（包括线段的两个端点）减1.二、数角数角的方法可以采用数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1三、数三角形1.共顶点只有一个公共底边的三角形数法：计算三角形的总数也等于从1开始的几个连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一边上的分点数加1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.2.有多条底边的三角形数法：分开看各底边用之前方法进行计数小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有n个基本角，那么它上面角的总数是 n（n-1）+1.练习1.数一数下图中，各有多少条线段？2.数一数下图中各有多少角？3.数一数下图中，各有多少条线段？4.数一数下图中，各有多少条线段，各有多少个三角形？四、数长方形一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）.五、数正方形一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n＜m）：mn+（m-1）（n-1）+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1六、数复杂图形中三角形尖朝上的三角形共有四种.每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止.尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止.我们已对较基本、简单的图形的数法作了较系统的研究，寻找到了一般规律.而对于较复杂的图形即综合图形的数法，我们仍需遵循不重复、不遗漏的原则，采用能按规律数的，按规律数，能按分类数的就按分类数，或者两者结合起来就一定能把图形数清楚了. 35练习1.下图中有多少个正方形？2.下图中有多少个长方形？3.下图中有多少个长方形？4.下图（1）、（2）中各有多少个三角形？5.下图中有多少个三角形？6.下图中有多少个三角形？7.下图中有多少个正方形？解答：1.①在AB线段上有4个分点，所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.②在线段AB上有3个分点，所以它上面线段的总条数为4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有4个分点：所以它上面线段的总条数为：5+4+3+2+1=15（条）.∴整个图（2）共有线段10+15=25（条）.③在线段AB上有3个分点，它上面线段的条数为：4+3+2+1=10（条）.在线段CD上有2个分点，它上面线段的条数为：3+2+1=6（条）.在线段EF上有2个分点，它上面线段的条数为6条.所以图（3）上总共有线段10+6+6=22（条）.2.①在∠AOB内有4条角分线，所以共有角：5+4+3+2+1=15（个）；②在∠AOB 内有9条角分线，所以共有角：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（个）；③周角内含有6个基本角，所以共有角：6×（6-1）+1=31（个）.3.①（3+2+1）×7=42；②（6+5+4+3+2+1）×4+（4+3+2+1）×7=21×4+10×7=84+70=154.4.①有线段：（4+3+2+1）×3+（3+2+1）×5=30+30=60（条）有三角形：（4+3+2+1）×3=30（个）；②有线段：（5+4+3+2+1）+5×2+（2+1）=15+10+3=28（条）有三角形：（5+4+3+2+1）×2+5=15×2+5=35（个）.1.共有正方形54个.2.共有长方形136个.3.共有长方形133个.4.（1）共有三角形78个.（2）共有三角形58个.5.共有三角形45个.6.共有三角形36个.7.共有正方形24个.。