高中数学(理)基础知识梳理归类

第二节点、线、面的位置关系【知识点5】平面的概念及点、线、面之间的位置关系2. 点、线、面之间的位置关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达1.平面的概念(1)平面的概念：广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．(2)平面的画法：一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．3.平面的基本性质【典例讲解】类型一、符号表示问题【例1】（点、直线、平面之间的位置关系的符号表示）如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．【反思】(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【变式1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作________．(填序号)①A∈b∈β；②A∈b⊂β；③A⊂b⊂β；④A⊂b∈β.【变式2】空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______．【思考1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体经过P，Q，R的截面图形是________．【变式1】如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．类型二、点线共面问题【例2】（点线共面）如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.【变式1】求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内．【反思】证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合．【变式2】已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，如图所示．求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．类型三，点共线、线共点问题【例3】（点共线）如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．【反思】证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上．【变式1】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示．求证：P，Q，R三点共线．【变式2】若直线l 与平面α相交于点O ，A ，B ∈l ，C ，D ∈α，且AC ∥BD ，则O ，C ，D 三点的位置关系是________．【例4】（线共点问题）如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．【反思】 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．【变式1】如图，已知D ，E 是△ABC 的边AC ，BC 上的点，平面α经过D ，E 两点，若直线AB 与平面α的交点是P ，则点P 与直线DE 的位置关系是________．【变式2】如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点．【知识点6】空间两条直线的位置关系典型例题异面直线的判断【例1】(1)在四棱锥P—ABCD中，各棱所在的直线互为异面的有________对．(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？【反思】(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法1.在同一平面内，两条直线位置关系：平行与相交．空间中，既不平行又不相交的两条直线叫做异面直线。

高中数学基础知识梳理第一章 集合与简易逻辑基础知识梳理一、集合⒈集合的概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；集合中的每一 个对象叫集合的元素.元素a 在集合M 内的表示法 ，元素a 不在集合M 内的表示法 . ⒉集合中的元素必须具备“三性”： 、 、 . ⒊空集的意义及记号：不含任何元素的集合叫空集，空集记作Ø； ⒋常用数集及记号：⑴非负整数集（零和正整数的全体）——N ； ⑵正整数集——N*或N + ；⑶整数集——Z ； ⑷有理数集——Q ； ⑸实数集——R. ⑹无理数集——C R Q ⒌集合的分类（按集合中的元素个数来分）： ⑴有限集—— ⑵无限集—— ⒍集合的表示法：⑴列举法——把集合中元素一一列举出来写在大括号内；⑵描述法——把集合中元素的公共熟性用语言或式子描述出来写在大括号内，其基 本模式是{x| p （x ）}.⒎集合的形象表示法——韦恩图，即用一条封闭的曲线围成的图形（内部）表示集合. ⒏子集、交集、并集、补集： Ⅰ子集⑴子集、真子集的意义：对于两个集合A 、B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集 合A 叫做集合B 的子集，记作A ⊆B ；如果A 是B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B. ⑵子集的性质：（用⊆、 填空） ①A A ，Ø A ，若A ≠Ø，则Ø A ；②若A ⊆B ，B ⊆C ，则A C ；③若A B ，B ⊆C ，则A C ； ④若A ⊆B ，B C ，则A C ；④若A B ，B C ，则A C. ⑶子集的个数：若集合A 中有n 个元素，则 ①集合A 的子集个数是2 n；②集合A 的真子集个数是2 n −1；③集合A 的非空真子集个数是2 n−2.⑷集合相等的意义：若集合A 与B 含有相同的元素，称它们相等，记作A=B ； 集合相等的充要条件：A=B ⇔ A ⊆B 且B ⊆A. Ⅱ交集⑴交集的意义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 、B 的交集， 记作A ∩B ，即A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∩B 的阴影.⑵交集的性质：①A ∩A= ；②A ∩Ø= ；③A ∩B=B ∩A ； ④若A ∩B ⊆A ，则A ∩B ⊆B ；⑤若A ∩B ⊆A ，则A ⊆B. Ⅲ并集⑴并集的意义：由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并 集，记作A ∪B ，即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}请根据右面的韦恩图打出A ∪B 的阴影. ⑵并集的性质：①A ∪A= ；②A ∪Ø= ；③A ∪B=B ∪A ；¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ¡ÙÌ A BA B④A ∪B ⊇A ； ⑤A ∪B ⊇B ； ⑥A ∪B=A ⇔ B ⊆A Ⅳ补集⑴全集、补集的意义：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合叫做全集，全 集通常用U 表示；设S 是一个集合,A 是S 的一个子集（即A ⊆S ）,由S 中所有不属于A 的元素组 成的集合,叫做集合A 的补集（或余集）,记作C S A,即C S A={x|x ∈S 且x ∉A}. 请根据右面的韦恩图打出C S A 的阴影.⑵补集的性质:①A ∪C U A= ； ②A ∩C U A= ； ③C U U= ； ④C U Ø= ； ⑤C U （C U A ）= ； ⑥C U （A ∪B ）=（C U A ）∩（C U B ）； ⑦C U （A ∩B ）=（C U A ）∪（C U B ）. ⒐集合的元素的个数：⑴“集合A 的元素的个数”可用符号记作 ； ⑵对任意两个有限．．集合A ，B ，有 card （A ∪B ）=card （A ）+card （B ）−card （A ∩B ）. 二、简易逻辑⒈命题概念：可以判断真假的语句叫做命题. ⒉逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词. ⒊简单命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题.⒋复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题. ⒌真值表：表示命题的真假的表叫真值表.））⑶）⑴互逆命题及逆命题的概念：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一 个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把第一 个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题. ⑵互否命题及否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，那么这样的两个命题叫做互否命题；把其中一个命题叫做原命 题，另一个就叫做原命题的否命题. ⑶互为逆否命题及逆否命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定对p 且q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是假即为 .对p 或q 形式的复合命题，只要p和q 中有一个是真即为 .和条件的否定，那么这样的两个命题叫做互为逆否命题；把其中一个命题叫做 原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题. ⑷四种命题的一般形式：（用符号“┐”表示否定）①原命题：若p 则q ； ②逆命题： ；③否命题： ； ④逆否命题： . ⑸四种命题之间的关系：在下列双箭头符号旁填上相应的文字）⑹一个命题的真假与其他三个命题的真假关系：①原命题为真，它的逆命题 ； ②原命题为真，它的否命题 ； ③原命题为真，它的逆否命题 . ⑺用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确. ⒎充分条件和必要条件：⑴充分条件和必要条件的概念：若p 则q ，即p ⇒q ，我们说，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件. ⑵充要条件的概念：若p 则q ，且若q 则p ，即p ⇔ q ，我们说p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.第二章函数基础知识梳理一、映射：⒈映射的定义：设A、B是两个集合，按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个．．．．元素，在集合B中都有唯一．．的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B.⒉象与原象的概念：给定一个集合A到B的映射，且a∈A，b∈B.如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.⒊一一映射的定义：设A、B是两个集合，f：A→B是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中都有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A 到B上的一一映射.二、函数：⒈函数的传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.⒉函数的近代定义：如果A、B都是非空．．数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数的三要素是：、、 .⒊函数的表示法：解析法、列表法、图象法.⒋关于区间的概念：⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为或 .以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.⒌函数解析式的求法：⑴换元法；⑵待定系数法.⒍求函数定义域的主要依据：⑴分式中的分母不为0；⑵偶次根式的被开方数不小于零；⑶对数的真数大于零；⑷零指数幂的底数不等于零；⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.⒎求函数值域的方法有：⑴配方法；⑵换元法；⑶判别式法；⑷单调性法；⑸基本不等式法；⑹数形结合法；⑺反函数法.三、函数的单调性：⒈函数单调性的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＜f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是增函数. 这个区间叫增区间.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f(x1)＞f(x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是减函数. 这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.⒉函数单调性的判别方法：⑴图象法.若函数f (x)的图象在区间D上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；⑵定义法.其一般步骤是：①取值.在所给区间上任取x1＜x2；②作差f (x1)−f (x2)；③变形.分解因式或配方等；④定号.看 f (x1)−f (x2)的符号；⑤下结论.⑶利用复合函数的单调性：设y=f (u),u=g (x),已知g (x)在[a,b]上单调递增(或递减), y=f (u)在[g (a), g (b)] (或[g (b),g (a)])上单调, 那么复合函数y=f [g (x)]在[a,b]上一定单调,并且有如下结论:当f (u)与g (x)的单调性相同时, f [g (x)]在[a,b]上为 ；增(增)=增；减(减)=增. 当f (u)与g (x)的单调性相反时, f [g (x)]在[a,b]上为 . 增(减)=减；减(增)=减. ⑷利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出.①函数f (x)与f (x)+c(c 为常数)具有相同的单调性；②当c ＞0时,函数f (x)与c f (x)具有相同的单调性；当c ＜0时,函数f (x)与c f (x)具有相反的单调性；③若f (x)≠0,则函数f (x)与)(1x f 具有相反的单调性； ④若f (x)≥0,则函数f (x)与)(x f 具有相同的单调性；⑤若函数f (x), g (x)都是增函数,则f (x)+g (x)也是增函数； (增+增=增) ⑥若函数f (x), g (x)都是减函数,则f (x)+g (x)也是减函数； (减+减=减) ⑦若函数f (x)是增函数, g (x)是减函数,则f (x)−g (x)也是增函数；(增−减=增) ⑧若函数f (x)是减函数, g (x)是增函数,则f (x)−g (x)也是减函数；(减−增=减) 另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出） ⑼*两个恒正．．．．的增函数的积还是增函数； ⑽*两个恒正．．．．的减函数的积还是减函数； ⑾*两个恒负．．．．的增函数的积是减函数； ⑿*两个恒负．．．．的减函数的积是增函数； ⒊一些特殊函数的单调性：⑴一次函数y=kx+b,当k ＞0时,在R 上是 ；当k ＜0时,在R 上是 .⑵二次函数y=ax 2+bx+c, 当a ＞0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[a b2-,+∞)上为 ； 当a ＜0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[ab2-,+∞)上为 . ⑶反比例函数y=xk,当k ＞0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 ； 当k ＜0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 .⑷指数函数y=a x,当a ＞1时,在R 上是 , 当0＜a ＜1时,在R 上是 . ⑸对数函数y=l og a x,当a ＞1时,在(0,+∞)是 , 当0＜a ＜1时,在(0,+∞)是 . ⑹*记住重要函数y=x+)0(>a xa 的单调性,并会证明：当x ＞0时，函数在(0,a )上单调递减,在[a ,+∞]上单调递增；当x ＜0时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.四、函数的奇偶性：⒈函数奇偶性的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数. 如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=−f (x),那么函数f (x)叫做奇函数. 注意：⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称.⑵函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数 具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0.例：f (x)=0,x ∈(−1,1)；f (x)=0,x ∈[−2,2]；f (x)=1122-+-x x 等等. ⒉具有奇偶性函数的图象特征：⑴奇函数⇔图象关于 对称； ⑵偶函数⇔图象关于 对称. ⒊判断函数奇偶性的方法： ⑴图象法；⑵定义法.其一般步骤是：①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性； 若对称,再进行第二步；②判断f (−x)与f (x)的关系,并下结论.若f (−x)=−f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数； 若f (−x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数；若f (−x)=−f (x)且f (−x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数；若f (−x)≠−f (x)且f (−x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. ⒋函数奇偶性的性质：⑴两个奇函数的和(或差)仍是奇函数； 即：奇±奇=奇. ⑵两个偶函数的和(或差)仍是偶函数； 即：偶±偶=偶.⑶奇偶性相同的两个函数的积(或商,分母不为0)为 ； 即：奇×奇=偶；偶×偶-偶；奇/奇=偶；偶/偶=偶.⑷奇偶性相反的两个函数的积(或商,分母不为0)为 ； 即奇×偶=奇；偶×奇=奇；奇/偶=奇；偶/奇=奇.⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有 相反的单调性；⑹定义域关于原点对称的函数f (x)可以表示成一个奇函数g (x)与一个偶函数h (x)之和,即 f (x)= g (x)+h (x),其中g (x)=2)()(x f x f --, h (x)=2)()(x f x f -+. ⑺若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .f (0)=0是f (x)是奇函数的 条件.五、反函数：⒈定义：函数y=f (x)(x ∈A),设它的值域为C,我们根据这个函数中x,y 的关系,用y 的式子表示x,得 到x=φ(y).如果对于C 中的任何一个值,通过x=φ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应那么, x=φ(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数.这样的函数x=φ(y) (y ∈C)叫做函数y=f (x)的反函数,记作x=f −1(y),习惯上一般用x 表示自变量,用y 表示函数, 所以y=f (x)的反函数通常写为y=f −1(x). 由反函数的定义知⑴函数y=f (x)与它的反函数y=f −1(x)互为反函数；⑵f [f −1 (x)]=x ；⑶f −1[f (x) ]=x.⒉函数x=f −1(y)(y ∈C,x ∈A)、函数y=f −1(x)(x ∈C,y ∈A)与函数y=f (x) (x ∈A, y ∈C) 的区别与联系：⑴函数x=f −1(y)与函数y=f −1(x)都是y=f (x)的反函数；⑵在y=f (x)与x=f −1(y)中,x,y 所处的地位不同：在y=f (x)中,x 是自变量,y 是x 的函数；在x=f −1(y)中,y 是自变量,x 是y 的函数.在同一坐标系中y=f (x)与x=f −1(y)的图象 ；⑶在y=f (x)与y=f −1(x)中, x,y 所处的地位相同,但取值的范围不同：在y=f (x)中, x ∈A, y ∈C,而在y=f −1(x)中,x ∈C,y ∈A. 在同一坐标系中y=f (x)与y=f −1(x)的图象关于直线 对称； ⒊求函数y=f (x)的反函数的步骤：⑴求原函数的值域,即反函数y=f −1(x)的定义域；⑵将y=f (x)看成方程,在其定义域内解出x= f −1(y)； ⑶将x,y 互换得y=f (x),并注明其定义域.注意：求分段函数的反函数,先分别在各段中求出其反函数,然后用大刮号联立. ⒋关于反函数的有关结论：⑴函数y=f (x)的定义域是它的反函数y=f −1(x)的 ,函数y=f (x)的值域是它的反函数y=f −1(x)的 ； ⑵定义域上的单调函数必有反函数；⑶互为反函数的两个函数具有相同的单调性；⑷若奇函数有反函数,则其反函数也是奇函数；(注意：并不是每个奇函数都有反函数, 例如：y=sinx(x ∈R).⑸定义域为非零．．的偶函数不存在反函数； 注意：函数f (x)=1,(x ∈{0})是不是偶函数(为什么?)它有没有反函数?若有,则它的反函数 是 .反函数的奇偶性是什么?答： .⑹f [f −1(x)]= , f [f −1(y)]= ； ⑺互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称. 六、函数图象的变换： ⒈平移变换：⑴y=f (x)的图象沿x 轴向右平移a (a ＞0)个单位得到y=f (x −a)的图象； ⑵y=f (x)的图象沿x 轴向左平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x+a)的图象； ⑶y=f (x)的图象沿y 轴向上平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)+a 的图象； ⑷y=f (x)的图象沿y 轴向下平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)−a 的图象. ⒉伸缩变换：⑴把y=f (x)的图象上所有的点的横坐标变为原来的a1(a>0)倍,纵坐标不变,可得到y=f (ax)的图象； ⑵把y=f (x)的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍,横坐标不变,可得到y=A f (x)的 图象；⒊对称变换：(一)两个函数图象的对称关系：⑴y=f (x)与y=−f (x)的图象关于x 轴对称； ⑵y=f (x)与y=f (−x)的图象关于y 轴对称；⑶y=f (x)与y= −f (−x)的图象关于原点轴对称；⑷y=f (x)与y= f −1(x)的图象关于直线y=x 轴对称；⑸y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y 轴右边部分,并作其关于y 轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y 轴左边部分而得到；⑹y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x 轴上方的图象及x 轴上的点,并将x 轴下方的图象以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方去；⑺*函数y=f (a+mx)与函数y=f (b −mx)(a 、b ：m ∈R,m ≠0)的图象关于直线x=mab 2-对称.(二)函数图象自身的对称性：⑴奇函数的图象关于 对称； ⑵偶函数的图象关于 对称；⑶对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (a −mx)（a 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线 对称；⑷对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+mx)=f (b −mx)（a 、b 、m ∈R,且m ≠0） ⇔ f (x)的图象关于直线 对称；⑸对函数f (x)的定义域内的任意一个x,都有f (a+x)= −f (a −x) ⇔ f (x)的图象关于 点 对称.以上结论会证吗？ 七、指数与指数函数： ⒈根式的定义：⑴方根：如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N*),那么这个数叫做a 的n 次方根.即：若x n=a,则x 叫做a 的n 次方根.⑵根式：式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当n 是偶数时,n a表示正数a 的正的n 次方根. ⒉根式的性质：⑴(n a )n= a ； ⑵当n 为奇数时a =当n 是偶数时；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n .⒊分数指数幂：当a ＞0,m 、n ∈N*且n ＞1时,规定：n mnma a =； nm nma a1=-； 00=nm； nm -无意义.⒋有理指数幂的性质：⑴a r ·a s =a r+s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑵(a r )s =a r s(a ＞0, r 、s ∈Q)；⑶(ab)r =a r b r(a ＞0, b ＞0,r ∈Q). ⒌指数函数：⑴指数函数的定义：把形如y=a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做指数函数.八、对数与对数函数： ⒈对数的概念：⑴对数的定义：如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N,那么,数b 叫做以a 为底 N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数. ⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记l og 10N 为l gN. ⑶自然对数：把以e 为底的对数叫做自然对数,并记l og e N 为l nN. 其中e=2.71828……,是一个无理数. ⑷对数恒等式：)010(log >≠>=N a a Na N a ，且.⒉对数的运算法则：如果a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 ⑴l og a (MN)= l og a M+l og a N ；⑵N M NM a a alog log log -=；⑶l og a M n=n l og a M. ⒊对数的三个性质：⑴1的对数为0(即l og a 1=0)；⑵底的对数为1(即l og a a=1)；⑶零和负数没有对数.⒋对数函数：⑴对数函数的定义：把形如y=l og a x(a＞0,且a≠1)的函数叫做对数函数.第三章 数列基础知识梳理一、数列⒈定义：按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项,各项依 次叫做这个数列的第一项(或首项),第二项,…,第n 项,…. ⒉数列中的数有两个特性：⑴有序性；⑵可重复性.⒊数列与函数：数列是定义在N *(或它的有限子集{1,2,…,n})上的函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. ⒋数列的表示：⑴数列的一般形式：a 1,a 2,…,a n ,……简记为{a n }.⑵解析法：若a n 与n 的函数关系可用一个解析式a n =f (n)表示,这个公式叫做数列的通 项公式.⑶图象法：数列的图象是一群孤立的点(n,a n )(n ∈N *)所组成的图形(在纵轴的右边). ⒌数列的分类：⑴数列按项数n 的取值范围分：①有穷数列；②无穷数列. ⑵数列按相邻项的大小关系分：①递减数列(a n+1＞a n ,n ∈N *)； ②递增数列(a n+1＜a n ,n ∈N *＝；③摆动数列(a n+1与a n 的大小不定n ∈N *)； ④常数列(a n+1=a n ,n ∈N *). ⒍由递推关系给定的数列：已知数列的前若干项,而这些项之后的任意一项都可以用它相邻的前若干项的一个关 系式表示出来,这个关系式称做递推公式,这种给定数列的方法叫做递推法.请思考：已知数列{a n }中,a 1=1,a n =a n −1+)1(1-n n (n ≥2),求a n . 答案：a n =nn 12-.⒎a n 与S n 的关系：设S n =a 1+a 2+…+a n ,则a n =⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-=-),2()1(*11N n n S S n S n n二、等差数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.等差数列定义的数学表达式：a n+1−a n =d (n ∈N *). ⒉表示方法：⑴定义法：a 2−a 1= a 3−a 2=…=a n+1−a n =d ； ⑵递推法：⎩⎨⎧+==-da a aa n n 11 (n ≥2)；⑶通项法：a 1,a 1+d, a 1+2d, …,a 1+(n −1)d.,….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1+(n −1)d. (一般公式为：a n =dn+q). ⑵已知非首项a m (m ≥2)和公差d,则a n =a m +(n −m)d.⒋等差中项：如果a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.显然2A=a+b. ⒌前n 项和公式：S n =2)(1n a a n +；或S n =na 1+d n n 2)1(-.要求会推导! 前n 项和的一般公式：S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).⒍性质：⑴在有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项和相等,且等于首末两项的和. 即a 1+a n = a 2+a n −1 = a 3+a n −2 =…= a k +a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m +a n = a p +a q ；⑶等差数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等差中项, 即2a n =a n −k +a n+ k (n ＞k)；⑷公差d 是数列图象上任意两点所在直线的斜率.即d=mn a a mn --. ⑸数列(a n }为等差数列的充要条件是a n 是关于n 的一次函数(d ≠0)或常数(d=0).⑹数列(a n }为等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn (A 、B 为常数). 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等差数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等差数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等差数列. 三、等比数列⒈定义：如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数,那么这个数 列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示. 等比数列定义的数学表达式：q a a nn =+1 (n ∈N *). 由定义知,在等比数列中,a n ≠0,且公比q ≠0. ⒉表示方法：⑴定义法：q a a a a a a nn ====+12312 ； ⑵递推法：⎩⎨⎧≥⋅==-)2(11n qa a aa n n ；⑶通项法：a 1,a 1q, a 1q 2, …,a 1q (n −1)….⒊通项公式：⑴已知首项a 1和公差d,则a n =a 1q (n −1).⑵已知非首项a m (m ≥2)和公比q,则a n =a m q (n −m).⒋等比中项：如果a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项. G 2=ab 或G=±ab .⒌前n 项和公式：S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(1)1(11q na q qq a n 或S n =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--)1()1(111q na q qq a a n .要求会推导!⒍性质：⑴在有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项的积.即a 1a n = a 2a n −1 = a 3a n −2 =…= a k a n −k+1；⑵若m+n=p+q,(m,n,p,q ∈N *),则a m a n = a p a q ；⑶等比数列中除首项外的每一项a n (n ≥2)都是到它距离相等的两项的等比中项, 即a n 2=a n −k a n+ k (n ＞k),或a n =±k n k n a a -+⋅； 注意：下面的一个重要结论可用于解选择题和填空题： 有穷等比数列均匀分段．．．．后,各段的和也成等比数列, 即S n ,S 2n −S n , S 3n −S 2n ,…S kn −S (k −1)n (k ≥2) 成等比数列. 四、特殊数列求和的方法：倒序法、通项分解法、错位相减法、裂项法等.第四章 三角函数综合复习一、概 念1、角 。

第三章 导数专题1 导数以及运算 考点一、导数的基本运算【备考知识梳理】1．常见函数的求导公式．（１）0)(='C （C 为常数）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）()'x x e e =；（7）且1)a ≠；（8）()1ln 'x x =． 2．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： 若C 为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫ ⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）． 形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解—求导—回代． 法则：y ＇|X = y ＇|U ·u＇|X【规律方法技巧】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．考点二、导数的几何意义【备考知识梳理】函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点处的切线的斜率．也就是说，曲线()y f x =在点处的切线的斜率是()0f x '．相应地，切线方程为． 【规律方法技巧】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数()y f x =在0x x =的导数，即曲线()y f x =在点处切线的斜率；（2）在已知切点和斜率的条件下，求得切线方程特别地，当曲线()y f x =在点处的切线平行于y 轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为0x x =；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解.【应试技巧点拨】1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A （x 0,y 0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A 为切点的切线方程为y －y 0=f,再根据题意求出切点.2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异．过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上；在点P 处的切线，点P 是切点．【 一轮复习指引】导数重点考查一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，与三角函数等的求导公式，导数运算重点是高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商的运算方法，试题的命制往往与导数的应用结合，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，它只作为解题的一部分，难度不大，只需会运用公式求导即可．因此在2019年高考备考中应狠下功夫,掌握求导公式,会灵活应用求导法则,理解导数的几何意义即可.【 高考考点定位】高考对导数的运算，导数的几何意义的考查，一般不单独出题，特别是导数的运算，往往和导数的几何意义，导数的应用结合起来，作为第一步求导来进一步研究导数其它应用.专题2 导数的应用考点一、借助导数研究函数单调性【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.考点二、借助导数研究函数的极值【备考知识梳理】若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) .(2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.考点三、借助导数研究函数最值【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.【规律方法技巧】1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理；2、会利用导函数的图象提取相关信息；3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点.【应试技巧点拨】1. 函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数()f x 单调递增，则()'0f x ≥”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．2．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域．(2)求导数()'f x ．(3)①若求极值，则先求方程()'0f x =的根，再检验()'f x 在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程()'0f x =根的大小或存在情况，从而求解．3．求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤(1)求函数()y f x =在(),a b 内的极值；(2)将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4.利用导数处理恒成立问题不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①()0f x '>⇒()f x 为增函数（()0f x '<⇒()f x 为减函数）.②()f x 在区间(),a b 上是增函数⇒()f x '≥0在(),a b 上恒成立；()f x 在区间(),a b 上为减函数⇒()f x '≤0在(),a b 上恒成立.5.利用导数，如何解决函数与不等式大题在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式. （2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【一轮复习指引】导数是研究函数的工具，导数进入教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．因此在2019年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.【高考考点定位】高考对导数的应用的考查主要有导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在．专题3 积分与微积分基本定理考点一、求已知函数的定积分【备考知识梳理】1、定积分的概念如果函数()f x 在区间[],a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……将区间[],a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x - 上任取一点()1,2,i i ξ=…，n ,作和式()()11n n i i i i b a f x f nξξ==-∆=∑∑ ，当n →+∞ 时，上述和式无限接近某个水常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作()ba f x dx ⎰，即 ()()1lim n bi a n i b a f x dx f nξ→∞=-=∑⎰ 2、微积分基本定理如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()F x f x '= ，那么()()()ba f x dx Fb F a =-⎰ ,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.3、定积分的基本性质（1）()()=k bb aa kf x dx f x dx ⎰⎰,其中k 为常数 （2）()()()()[]b b baa a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰ （3）()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰,其中a cb << 【规律方法技巧】1.求函数()f x 的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数()F x ，即满足()F x '=()f x ．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．2.计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．3.求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.考点二、求分段函数的定积分【备考知识梳理】1、分段函数的定积分(1)分段函数在区间[],a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细．2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分若()f x 为偶函数，且在关于原点对称的区间[],a a -上连续,则()()02aaa f x dx f x dx -=⎰⎰ 若()f x 为奇函数，且在关于原点对称的区间[],a a -上连续,则()0a a f x dx -=⎰【规律方法技巧】 分段函数在区间[],a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可．考点三、定积分的几何意义【备考知识梳理】1、当函数()f x 在区间[],a b 上恒为正时，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是直线,,0x a xb y === 和曲线()y f x =围成的曲边梯形的面积；2、一般情况下，定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线()y f x =和直线,x a xb ==之间的曲边梯形的面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上定积分值，x 轴下方的面积等于该区间上定积分的相反数.【规律方法技巧】1.利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．2. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分．(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数．求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值．[易错提示] 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数．用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式．3.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【应试技巧点拨】1. 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．2．求曲边图形面积的方法与步骤（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．3. 定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a xb ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.【 一轮复习指引】定积分可以看作是导数在某一区间上的逆运算．它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，在高考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义，多为容易题，一般每年出一道题,有时和二项式结合出题,因此在2019年复习备考中,只须掌握积分的概念,积分的运算,会用积分求面积,体积即可.【高考考点定位】高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义,作为新增内容,它是大学微积分的基础,很受出题人的青睐,故在复习时应引起重视．。

第七节 立体几何中的向量方法一、空间向量与平行关系【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.[练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求：图3­2­2(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【知识点12】空间中平行关系的向量表示【类型一】用向量证明线线平行【例1】如图3­2­3所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．图3­2­3111111112EB1，BF＝2F A1.求证：EF∥AC1.【类型二】用向量证明线面平行【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．【练习2】在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD ＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.【类型三】利用向量证明面面平行【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.【练习3】如图3­2­9，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?图3­2­9二、空间向量与垂直关系【知识点13】空间中垂直关系的向量表示【类型一】用向量证明线面垂直【例1】如图所示，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD．【练习1】如图3­2­15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.图3­2­15【类型二】用向量法证明面面垂直【例2】如图3­2­12所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E 为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．＝2BD．求证：平面DEA⊥平面ECA．三、空间向量与空间角【知识点14】空间角的向量求解方法【类型一】求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB ＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．θ＝φθ＝π－φ点，则AE，SD所成的角的余弦值为多少？【类型二】求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥P­ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.【练习2】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，平面P AD⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ．(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．【类型三】求二面角【例3】如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A ­PB ­C 的余弦值.旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．图3­2­24(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E ­AG ­C 的大小．【练习4】如图，在三棱锥P­ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D­GH­E的余弦值．四、空间向量与距离【知识点15】利用空间向量求距离(※)【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．【练习1】如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，求D1A1到平面EFGH的距离．点到平面的距离：先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离：d＝|PP0→·n||n|＝|a(x0－x)＋b(y0－y)＋c(z0－z)|a2＋b2＋c2.注：线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.。

高中数学知识点总结引言1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修3：算法初步、统计、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。

不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。

选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。

选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。

系列3：由6个专题组成。

选修3—1：数学史选讲。

选修3—2：信息安全与密码。

选修3—3：球面上的几何。

选修3—4：对称与群。

选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。

选修3—6：三等分角与数域扩充。

系列4：由10个专题组成。

选修4—1：几何证明选讲。

选修4—2：矩阵与变换。

选修4—3：数列与差分。

选修4—4：坐标系与参数方程。

选修4—5：不等式选讲。

选修4—6：初等数论初步。

选修4—7：优选法与试验设计初步。

选修4—8：统筹法与图论初步。

选修4—9：风险与决策。

选修4—10：开关电路与布尔代数。

2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点：⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用⒀复数：复数的概念与运算高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆(4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C≠⊂B A集合相等A B=A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A⊆ A B B⊆A（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2O=O Lb-==〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函yxo数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN +=②减法：log log log a a a MM N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈④log a NaN=⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质(6)反函数的概念设函数()y f x=的定义域为A，值域为C，从式子()y f x=中解出x，得式子()x yϕ=．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()x yϕ=，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x yϕ=表示x是y 的函数，函数()x yϕ=叫做函数()y f x=的反函数，记作1()x f y-=，习惯上改写成1()y f x-=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x=中反解出1()x f y-=；③将1()x f y-=改写成1()y f x-=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x=与反函数1()y f x-=的图象关于直线y x=对称．②函数()y f x=的定义域、值域分别是其反函数1()y f x-=的值域、定义域．③若(,)P a b在原函数()y f x=的图象上，则'(,)P b a在反函数1()y f x-=的图象上．④一般地，函数()y f x=要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y xα=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆④端点函数值符号．①k ＜x 1≤x 2⇔②x 1≤x 2＜k⇔③x 1＜k ＜x 2⇔af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上）①若2bp a-<，则()m f p =②若2b p q a ≤-≤，则(2b m f a=-③若2bq a->，则()m f q =①若02b x a-≤，则()M f q =②02x a->，则()M f p =xxxxx(Ⅱ)当0a <时(开口向下)①若2bp a-<，则()M f p =②若2b p q a ≤-≤，则(2b M f a=-③若2bq a->，则()M f q =①若02bx a-≤，则()m f q =②02bx a->，则()m f p =．第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

高中数学知识点归纳(理科)高中数学知识点归纳（理科）一、代数与函数1. 多项式函数- 定义与性质- 常见多项式函数类型（一次函数、二次函数、三次函数等） - 图像特征与变化规律2. 指数函数与对数函数- 指数函数与对数函数的基本概念- 常见指数函数与对数函数的性质- 指数函数与对数函数的应用举例3. 三角函数- 弧度与角度的转换- 常见三角函数的定义与性质- 三角函数的图像与变化规律4. 数列与数列极限- 数列与通项公式的关系- 常见数列类型（等差数列、等比数列等） - 数列极限的概念与性质二、平面几何1. 平面几何基本概念- 点、线、面的定义与性质- 垂直、平行线与角的关系2. 三角形的性质与判定- 三角形的分类与性质- 三角形的判定方法与应用3. 圆的性质与判定- 圆的基本性质与术语- 圆的判定方法与应用4. 二次曲线方程- 抛物线、椭圆、双曲线的定义与性质- 二次曲线的标准方程与图像特征三、立体几何1. 空间几何基本概念- 空间中的点、线、面与体的性质- 空间几何基本定理与推论2. 空间图形的性质- 空间中常见几何体的性质（立方体、正四面体等） - 空间图形的计算与应用3. 空间向量- 向量的定义与性质- 向量的运算与应用- 平面与直线的向量表示与方程四、数学推理与证明1. 数学归纳法- 数学归纳法的基本原理与应用- 数学归纳法在数列、不等式证明中的应用2. 数学推理与等价命题- 命题、命题连接词与命题的真值- 数学推理法则与常用的等价命题3. 数学证明方法- 直接证明法与间接证明法- 数学证明中的常见方法与技巧五、概率与统计1. 随机事件与概率- 随机事件的基本概念与性质- 概率的计算方法与应用2. 排列与组合- 排列与组合的基本概念与性质- 排列与组合的计算公式与应用3. 统计与统计图- 数据的收集与整理- 基本统计量与统计图的绘制与分析以上是高中数学理科知识点的归纳总结。

掌握这些知识点有助于提高数学学科的理解与应用能力，为进一步的学习打下坚实的基础。

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高中数学所有知识点归类大全一、数学初等函数1. 指数函数：定义、对数、幂函数、应用。

2. 三角函数：定义、几何语言、正弦余弦定理、半正弦函数等。

3. 对数函数：定义、有理函数的对数、指数函数的对数等。

4. 幂函数：定义、幂函数定义、幂函数的性质、幂函数的应用等。

5. 向量函数：定义、表示、性质等。

6. 积分函数：定义、概念、初等函数积分、重积分等。

二、统计与概率1. 概率的定义、公理、概率的计算。

2. 离散分布与连续分布：定义、概率分布函数、期望值等。

3. 抽样估计：抽样分布函数、均匀抽样、样本总体的判断等。

4. 回归分析：定义、正态模型、最小二乘估计、多项式回归模型等。

5. 贝叶斯分析：定义、贝叶斯统计、贝叶斯方法应用等。

6. 推断分析：点估计、区间估计、参数误差等。

三、代数1. 多项式及其性质：定义、系数、次数、根的处理等。

2. 同类型代数式：定义、因式分解、完全平方式等。

3. 向量空间：定义、向量空间的子空间、线性相关、线性无关等。

4. 线性方程组：定义、矩阵方程组、逆矩阵解、三角形法等。

5. 二元一次方程：一次函数性质、椭圆方程、双曲线方程等。

6. 不定系数线性方程组：定义、条件互异、充分必要性等。

四、几何1. 直角坐标系：定义、坐标方程组、投影面等。

2. 点、线：定义、直线的性质、平行线的性质等。

3. 平面图形：定义、圆的性质、锐角三角形、钝角三角形等。

4. 正多边形：定义、正五边形性质、正六边形性质等。

5. 空间几何：定义、球面坐标系、球面角等。

6. 极坐标系：定义、极线条件、极角等。

函数的图像【考纲要求】1.结合二次函数图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．5.会作简单的函数图像并能进行图像变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当x R ∈时，二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的个数可以用判别式24b ac ∆=-与0的关系进行判断；2. 二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根1x 、2x 与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=； 3.二次方程20ax bx c ++=（0≠a ）的根的分布：结合2()f x ax bx c =++（0a >）的图像可以得到一系列有关的结论（0a <可以转化为0a >）：（1）方程()0f x =的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔()0f r <.函数的图像图像与性质、图像变换幂指对函数二分法二次函数（2）二次方程()0f x =的两根都大于r 2402()0Δb ac bra f r ⎧=-≥⎪⎪⇔->⎨⎪>⎪⎩（3）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内有两根2402()0()0Δb ac b p q af q f p ⎧=-≥⎪⎪<-<⎪⇔⎨⎪>⎪>⎪⎩（4）二次方程()0f x =在区间(,)p q 内只有一根⇔()()0f q f p ⋅<，或()0f p =而另一根在(,)p q 内，或()0f q =而另一根在(,)p q 内.（5）方程()0f x =的一根比p 小且一根比q 大（p q <）()0()0f p f q <⎧⇔⎨<⎩考点二：零点 1. 函数的零点(1) 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值为0，即()0=f a ，则a 叫做这个函数的零点． (2) 对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变； ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

新课程高中数学必备知识点归纳 ----必须理解、记忆和应用第一册第一章 集合与常用逻辑用语一、集合的定义与表示1.集合的定义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2.集合的表示：常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示3.集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质）4.元素与集合的关系：属于(A a ∈) , 不属于(A a ∉)5.常用数集：R Q,Z,,N N N,*+或 6.集合的表示：列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。

描述法：设A 是一个集合，把集合A 中所具有共同特征)(x P 的元素x 所组成的集合表示为)}(|{x P A x ∈，这种表示集合的方法称为描述法。

二、集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） 1.子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（读作A 包含于B ）或A B ⊇（读作B 包含A ）。

韦恩表示图略 2.集合相等：如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 中的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等。

记作A B =。

若B A ⊆且A B ⊆，则A B =。

韦恩表示图略 3.真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素,x B ∈且,x A ∉称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（读作A真含于B ）或A B ≠⊃（读作B 真包含A ）。

韦恩表示图略4.空集：不含任何元素的集合叫做空集。

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 拓展：集合的子集个数含有n 个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集个数为22-n三、集合的基本运算（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） 1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A B（读作：“A 并B ”），即{},A B x x A x B =∈∈或，韦恩表示图略，数轴表示略。

高中数学知识点全总结框架一、引言高中数学作为基础教育的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维、解决问题的能力具有重要意义。

本文旨在对高中数学的主要知识点进行梳理，构建一个全面的学习框架，以便于学生和教师更好地理解和掌握数学知识体系。

二、代数1. 集合与函数基础- 集合的概念、运算及其性质- 函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称等）2. 代数表达式与方程- 整式、分式和根式的概念及运算- 一元一次方程、一元二次方程的解法- 高次方程的解法（如因式分解、配方法、二次三项式定理等）3. 不等式- 不等式的基本性质- 一元一次不等式和一元二次不等式的解法- 系统不等式的解集表示4. 序列与数列- 等差数列、等比数列的定义、性质和求和公式- 数列的极限概念及其计算5. 排列组合与概率- 排列组合的基本原理和公式- 概率的定义、性质及计算方法- 条件概率和独立事件的概念三、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质及其与直线、点的关系2. 空间几何- 空间直线与平面的位置关系- 简单几何体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的性质和计算3. 解析几何- 坐标系的建立和应用- 直线与圆的解析表达式- 圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的标准方程四、三角学1. 三角比与三角函数- 三角比的定义及其关系- 三角函数的性质和图像- 三角恒等变换2. 三角函数的应用- 三角函数在解三角形中的应用- 三角函数在实际问题中的运用（如振动、波动等）五、微积分1. 导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 常见函数的导数计算- 微分的概念及其应用2. 积分学- 不定积分的概念和基本积分表- 定积分的定义、性质和计算- 微积分基本定理及其应用六、数学思维与方法1. 逻辑推理与证明- 演绎推理、归纳推理和类比推理- 证明方法（如直接证明、间接证明、反证法等）2. 数学建模与问题解决- 数学建模的基本步骤- 常见数学问题的解决策略七、结语通过上述框架的梳理，我们可以看到高中数学知识点之间相互联系、相互支撑，构成了一个完整的知识体系。

高中数学知识点梳理一、代数1. 集合与函数概念- 集合的基本概念、运算及其性质- 函数的定义、性质和常见类型（如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）2. 代数式的运算- 整式的加减乘除运算- 因式分解- 分式的运算- 二次根式的运算3. 方程与不等式- 一元一次方程、一元二次方程的解法- 不等式的性质和解集表示- 线性不等式的图形表示和解集求解- 二次不等式的解法4. 函数的图像与性质- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 函数图像的平移、伸缩、对称变换- 常见函数的图像和性质5. 指数与对数- 指数运算法则- 对数的概念和运算法则- 指数函数和对数函数的图像与性质6. 序列与数列- 等差数列和等比数列的概念、通项公式和求和公式- 数列的极限概念- 无穷等比数列的和二、几何1. 平面几何- 点、线、面的基本性质- 三角形、四边形的性质和计算- 圆的性质和相关公式- 相似与全等的判定和应用2. 空间几何- 空间直线和平面的基本性质- 空间图形的多面体和旋转体- 空间向量的概念和运算- 空间向量在几何中的应用（如求距离、角度、平面和直线间的关系等）三、解析几何1. 直线与圆的方程- 直线方程的几种形式及其性质- 圆的标准方程和一般方程2. 圆锥曲线- 椭圆、双曲线、抛物线的方程和性质- 圆锥曲线的图形和应用3. 参数方程与极坐标- 参数方程的概念和应用- 极坐标系的基本概念和转换公式- 曲线的极坐标方程四、概率与统计1. 概率基础- 随机事件和概率的定义- 条件概率和独立事件的概念- 概率的基本公式和计算方法2. 随机变量及其分布- 离散型和连续型随机变量- 概率分布、期望值和方差- 常见分布（如二项分布、正态分布等）3. 统计基础- 数据的收集、整理和描述- 统计量（如平均数、中位数、众数、方差、标准差等）的计算和意义- 线性回归和相关性的基本概念五、数学归纳法与逻辑1. 数学归纳法- 归纳法的原理和步骤- 典型问题的归纳法证明2. 数学逻辑- 命题逻辑的基本概念- 充分必要条件的理解- 证明方法（如直接证明、反证法等）以上是高中数学的主要知识点梳理，涵盖了代数、几何、解析几何、概率与统计以及数学归纳法与逻辑等核心领域。

如何梳理高中数学知识考点的框架体系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：如何梳理高中数学知识考点的框架体系在高中数学学习中，学生需要掌握大量的知识点和技能，而这些知识点又分散在不同的章节和主题之中。

要想在考试中取得好成绩，就需要对整个高中数学知识点建立一个清晰的框架体系，以便更好地理解和掌握知识，有针对性地进行复习。

建立高中数学知识框架的第一步是对高中数学整体的大纲进行了解。

高中数学的内容主要包括代数、几何、概率与统计以及数学分析四个方面。

每个方面又分为不同的章节和主题，每个主题都有相应的知识点和考点。

了解高中数学整体的框架结构，可以帮助学生更清晰地认识数学知识的整体结构，有利于后续的学习和复习。

在了解数学整体框架的基础上，学生可以按照章节和主题将各个知识点整理归类。

通过整理归类，可以帮助学生更好地理清各个知识点之间的逻辑关系和联系。

在复习的过程中，可以根据整理的框架结构有条不紊地进行学习，有助于提高复习效率。

除了整理归类知识点，还可以将各个知识点按照重要程度进行排序。

有些知识点在考试中的出现频率较高，对应的题目类型也比较固定，因此这些知识点是需要重点掌握和复习的。

通过将知识点按重要程度排序，可以帮助学生有针对性地进行复习，提高复习的效果。

在整理归类和排序知识点的基础上，学生还可以将各个知识点之间的联系和衔接进行梳理。

高中数学的知识点之间是相互联系和相互衔接的，很多知识点是建立在前面的知识点之上的。

通过梳理知识点之间的联系和衔接，可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学解题的能力。

除了对高中数学知识点进行框架梳理外，学生还可以通过做大量的练习题来巩固和提升自己的数学能力。

在做练习题的过程中，可以将框架梳理的知识点运用到解题过程中，检验自己的掌握程度，并发现知识点中存在的不足之处。

通过不断地练习和反复梳理，可以有效提高数学解题的能力，为考试打下坚实的基础。

要想在高中数学学习中取得好成绩，建立一个清晰的知识框架体系至关重要。

高中数学基本知识点高中数学基本知识点空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h 为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高考数学知识点总结高考数学知识点：参数方程一、坐标系与参数方程：1、坐标系是解析几何的基础。

在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。

为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。

大家好，我是小易老师。

所谓基础不牢，地动山摇。

今天起我将开始建个高中数学知识专栏，借助各类网络学习资源整理一下高中数学的知识点框架。

预计用15章的篇幅把高中数学知识脉络理完。

01 集合一、集合的相关概念1. 集合（集）：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）2. 元素：构成集合的每个对象3. 集合与元素的关系：若a 属于集合 A，记作a∈A若 b 不属于集合 A，记作 b?A4. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性5. 集合的表示方法：列举法、描述法、图示法6. 常见数集的记法：自然数集：N正整数集：N*(或N＋)整数集：Z有理数集：Q实数集：R空集（不含任何元素的集合）：?7. 集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集含有无限个元素的集合叫做无限集不含有任何元素的集合叫做空集(?)二、集合间的基本关系三、集合的基本运算1. 集合的基本运算2、集合的运算3、补充A∪B＝A?B?A A∩B＝A?A?B4. 德摩根公式四、补充知识1.若有限集 A 中有 n 个元素，则A 的子集个数为个非空子集个数为个真子集有个非空真子集的个数为个2.容斥原理有限集 A、B 的元素的个数，分别记为、：一、命题定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句疑问句，祈使句，感叹句都不是命题真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句一般用小写英文字母表示如二、量词1. 全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等符号：2. 存在量词存在、至少有、有一个、某个、某(有)些等符号：3. 全称命题：含有全称量词的命题全称命题它的否定是4.存在性命题：含有存在量词的命题存在性命题它的否定是三、“且”与“或”,“非”1. “且”（一假则假）“或”（一真则真）2. “非”（否定）四、推出与充分条件、必要条件1.推出“如果p，则q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说由 p 可以推出q；记作：2.充分条件、必要条件如果p 可推出q，则称：p 是 q 的充分条件；q 是p 的必要条件3.充要条件如果，且，则称 p 是q 的充分且必要条件（p 是q 的充要条件）五、命题的四种形式1. 若p，则q原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若非p，则非q逆否命题：若非q，则非p 2. 充分条件、必要条件的判定（一）（1）如果p?q，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是p 的必要条件（2）如果p?q，但q?p，则 p 是 q 的充分不必要条件（3）如果p?q，且q?p，则p 是q 的充要条件（4）如果q?p，但p?q，则 p 是 q 的必要不充分条件（5）如果p?q，且q?p，则p 是q 的既不充分也不必要条件3. 充分条件、必要条件的判定（二）若p 以集合 A 的形式出现，q 以集合 B 的形式出现即 A＝{ x | p(x) }，B＝{ x | q(x) }，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为（1）若 A?B，则p 是q 的充分条件（2）若 A?B，则p 是q 的必要条件（3）若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件（4）若，则 p 是 q 的充分不必要条件（5）若，则 p 是 q 的必要不充分条件（6）若 A?B 且 A?B，则p 是q 的既不充分也不必要条件4. 等价命题（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性①?q 是?p 的充分不必要条件 p 是 q 的充分不必要条件②?q 是?p 的必要不充分条件 p 是 q 的必要不充分条件③?q 是?p 的充要条件 p 是 q 的充要条件④?q 是?p 的既不充分也不必要条件 p 是 q 的既不充分也不必要条件（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系5. 常见结论的否定形式。

高中数学基础知识归纳一.集合与简易逻辑、推理1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域。

2.集合的性质：①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆. ③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况，如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅ ,求a 的取值.(答：0a ≤)④含n 个元素的集合的子集个数为2n ；真子集(非空子集)个数为21n -；非空真子集个数为22n-.3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32(3,)-)若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋（a -2）x -2>0成立，则实数x 取值范围是 ．解：不等式即2()220x x a x +-->，设2()()22f a x x a x =+--.研究“任意a ∈[1，3]，恒有()0f a >”.则(1)0(3)0f f >⎧⎨>⎩，解得(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ 。

则实数x 的取值范围是[1,2]-. 4.四种命题：⑴原命题：若p 则q ； ⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若⌝p 则⌝q ；⑷逆否命题：若⌝q 则⌝p注：1。

原命题与 等价；逆命题与否命题等价。

判断命题真假时常常借助判断其 的真假。

2．命题的否定是“P 命题的非P 命题，也就是‘ 不变，仅否定 ’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的 ，又否定原命题的 ”。

命题p q ⇒否定形式是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝.命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.5.常见结论的否定形式6. 全称命题与特称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。

高一数学必修一第一章知识点梳理（原创版）目录1.必修一第一章的背景和重要性2.第一章的主要知识点3.知识点的具体内容和理解方法正文【必修一第一章的背景和重要性】高一数学必修一的第一章是整个高中数学学习的基础，也是高中数学的重要组成部分。

本章的主要内容是代数式和方程式，它们是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。

因此，深入理解和掌握本章的知识点对于学生来说是至关重要的。

【第一章的主要知识点】第一章的主要知识点包括代数式、方程式和一元一次方程式。

【知识点的具体内容和理解方法】1.代数式代数式是由数、字母和运算符号组成的式子。

它是数学中常见的表达方式，也是解决许多数学问题的关键。

要理解代数式，我们需要掌握以下几个概念：（1）数：数是代数式中最基本的元素，它可以是整数、分数、小数或无理数。

（2）字母：字母是代数式中的变量，它可以表示数或量。

字母通常用 a、b、c 等表示。

（3）运算符号：运算符号是代数式中表示运算的符号，如+、-、×、÷等。

2.方程式方程式是含有未知数的等式。

它是代数式的一种，也是解决许多数学问题的关键。

要理解方程式，我们需要掌握以下几个概念：（1）未知数：未知数是方程式中的变量，它表示一个数或量。

（2）等式：等式是表示左右两边相等的式子。

（3）解方程：解方程是求方程式中未知数的过程。

3.一元一次方程式一元一次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程式。

它是方程式的一种，也是解决许多数学问题的关键。

要理解一元一次方程式，我们需要掌握以下几个概念：（1）一元：一元是指方程式中只含有一个未知数。

（2）一次：一次是指未知数的次数是 1。

（3）解一元一次方程：解一元一次方程是求一元一次方程式中未知数的过程。

学习必备 欢迎下载让我再看你一眼！----高中数学基础知识归类一.集合与简易逻辑1.注意区分集合中元素的形式.如：{|lg }x y x =—函数的定义域；{|lg }y y x =—函数的值域； {(,)|l g }x y y x =—函数图象上的点集. 2.集合的性质： ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ⊆. ②空集是任何集合的子集,记为A ∅⊆.③空集是任何非空集合的真子集；注意:条件为A B ⊆,在讨论的时候不要遗忘了A =∅的情况 如：}012|{2=--=x ax x A ,如果A R +=∅,求a 的取值.(答：0a ≤)④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =；A B C A B C =（）（）； A B C A B C=（）（）. ⑤A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=∅U C A B R ⇔=.⑥AB 元素的个数：()()card A B cardA cardB card A B =+-.⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n；真子集(非空子集)个数为21n-；非空真子集个数为22n-. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答：32(3,)-)4.原命题: p q ⇒；逆命题: q p ⇒；否命题: p q ⌝⇒⌝；逆否命题: q p ⌝⇒⌝；互为逆否的两 个命题是等价的.如：“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答：充分非必要条件)5.若p q ⇒且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件).6.注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别: 命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝. 命题“p 或q ”的否定是“p ⌝且q ⌝”；“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”.如：“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 7.常见结论的否定形式二.函数1.①映射f :A B →是：⑴ “一对一或多对一”的对应；⑵集合A 中的元素必有象且A 中不同元素在B 中可以有相同的象；集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ⊆).②一一映射f :A B →： ⑴“一对一”的对应；⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象.2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴 的垂线至多有一个公共点,但与y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母0≠;偶次根式被开方数非负;对数真数0>,底数0> 且1≠；零指数幂的底数0≠)；实际问题有意义；若()f x 定义域为[,]a b ,复合函数[()]f g x 定义 域由()a g x b ≤≤解出；若[()]f g x 定义域为[,]a b ,则()f x 定义域相当于[,]x a b ∈时()g x 的值域.5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类)；②逆求法(反函数法)；③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；⑤不等式法⑥单调性法；⑦数形结合：根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域； ⑧判别式法（慎用）：⑨导数法(一般适用于高次多项式函数).6.求函数解析式的常用方法：⑴待定系数法(已知所求函数的类型)； ⑵代换(配凑)法； ⑶方程的思想----对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。

第四节直线、平面垂直的判定及其性质【知识点15】直线与平面垂直的判定1.直线与平面垂直的定义画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直2.直线和平面垂直的判定定理典型例题：【例1】（概念的理解）下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．【反思】(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．【变式1】(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)【变式2】已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥β【变式3】下列说法中，正确的有()①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．A．2个B．3个C．4个D．5个例2(线面垂直的判定)如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.【反思】(1)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【变式1】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.求证：AC⊥B1D；【变式2】如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.【练习3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.知识点【能力提升思考】已知∠BAC在平面α内，P∠α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.【变式1】如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，C1H⊥AB，证明：点H是C1在平面ABC内的射影.【反思】(1)求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.(2)在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.【知识点16】直线与平面所成的角典例讲解：【例1】（直线与平面所成的角）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．【反思】求直线与平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．【变式1】如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．【变式2】如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2，求OA与平面α所成的角的大小．【思考1】把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60° C．45° D．30°【变式1】如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【例4】（综合应用）如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.【方法小结】1．直线和平面垂直的判定方法：(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.2．线线垂直的判定方法：(1)异面直线所成的角是90°.(2)线面垂直，则线线垂直．3．求线面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)．(2)转移法(找过点与面平行的线或面)．(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).【知识点17】距离问题典型例题：【例1】如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB＝2，AC＝1，P为∠O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45°.(1)求证：BC∠平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离．【变式1】已知△ABC 的三条边长分别是5,12,13，点P 到A ，B ，C 三点的距离都等于7，则点P 到平面ABC 的距离为____【例2】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ； （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：PA BCD E（1）过已知点作出平面的垂线段是关键. 作垂线段通常要借助于垂面，然后利用面面垂直性质定理作出平面的垂线.（2）作出垂线段后，通常利用等面积法求得距离.【变式1】如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =，1=3AA ，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =.（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ； （2）求点1B 到平面11EA C 的距离.【反思】 求点到平面距离的方法总结：（1）当直接作出垂线段比较困难时，可以考虑利用等体积法求距离. （2）用等体积法求距离，一般用三棱锥体积相等来求解.（3）可以用线面平行关系，转化到一个更容易求解的三棱锥去求距离；也可以利用比例关系，化为其他点到平面的距离来求解.【例题3】如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11A A =.ABCD EA 1B 1C 1D 1（1）证明：直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.【反思】 求直线到平面距离的方法总结：（1）求线面距离，根据直线上的点到平面距离相等，所以可以转化为点面距离来求解. （2）在转化为点面距的时候，选择合适的点会对解题有促进作用.【变式1】在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒，11,2AB =BC =BB =，求： （1）异面直线11B C 与1A C 所成角的余弦值； （2）直线11B C 到平面BC A 1的距离．【思考】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.求异面直线1CC 和AB 的距离；ABCD A 1B 1C 1D 1ACBA 1B 1C 1C1A1B1CA BD【感悟】求两条异面直线距离的方法总结：（1）利用图形关系作出两条异面直线的公垂线，是求两异面直线距离的基本方法，但难度较大.（2）过两条异面直线中的一条直线作另一条直线的平行线，构造线面平行，将异面直线距离化为线面距离，进而转化为点面距离，是求异面直线距离的常用方法.（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离，再化为点面距离．【知识点18】二面角的概念【例1】（概念的理解）有下列结论：①两个相交平面组成的图形叫作二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②【例2】如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小．【反思】(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．(3)画法：(4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB.【变式1】如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小．【变式2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D.3【思考1】已知在直三棱柱111ABC A B C -中，4AB =，3AC BC ==，D 为AB 的中点.（1）求异面直线1CC 和AB 的距离；（2）若11AB A C ⊥，求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.C1A1B1CA BD【变式1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．(1)证明：D1E⊥A1D；(2)求AE为何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？【方法小结】1．求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”．【知识点19】平面与平面垂直(1)平面与平面垂直①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β【例1】（概念理解）下列不能确定两个平面垂直的是()A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C．一个平面经过另一个平面的一条垂线D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b【例2】已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【变式1】过两点与一个已知平面垂直的平面()A．有且只有一个B．有无数个C ．有且只有一个或无数个D ．可能不存在【变式2】α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_____．【例2】（证明面面垂直）如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由． (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .【延申变式1】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，试证明：平面PCD ⊥平面P AD .【延申变式2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，PB ＝BC ，M 是PC 中点，试证明：平面MBD ⊥平面PCD .【反思】证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面． 【变式1】 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .【变式2】如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E，F是PB的中点．求证：(1)EF∥平面PCD；(2)平面PBD⊥平面P AC.【思考3】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.【方法小结】平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．【能力提升】垂直问题难点突破专题【例1】（空间位置关系相关定理）如图，PA⊥平面ABCD,AD//BC,AD=2BC,AB⊥BC，点E为PD中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）求证：CE//平面PAB．【变式1】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ， AB =BC =2,∠ACB =30°AA 1=3, 11,BC A C E ⊥为AC 的中点.求证： 1A C ⊥平面1C EB ；求二面角1A AB C --的余弦值.【例2】（数量关系）如图，三棱锥P ABC -中,PB ⊥底面ABC ,2PB BC ==,1AC =，AB = E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且2PF FA =.（1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；【变式2】已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形， EF CE ⊥，且AC =， 1AE EC ==， 2BC EF =， //AD EF . （1）求证：平面ACE ⊥平面ADEF ；【例3】在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，13,2,AC AB BC CC ===.（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.【变式3】．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC ﹣A 1B 1C 1中，点G 是AC 的中点．（1）求证：B 1C ∥平面 A 1BG ；（2）若AB=BC ， 1AC ，求证：AC 1⊥A 1B ．【例4】(几何图形的特征)．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，BC=2，G为BC中点，平面ADFE⊥平面ADCB.(1)证明：AC⊥BE；(2)求三棱锥A−GFC的体积.-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，【变式4】已知四棱锥P ABCD=∠=，E为AB的中点.AD DAB2,60（1）证明：平面PAB⊥平面PED；（2）若PD=，求E到平面PBC的距离.-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面【例5】（存在性问题）. 如图，四棱锥P ABCDABCD，PA=AD=1，AB=√3，点E为PD的中点，点F在棱DC上移动.（1）当点F为DC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；⊥.（2）求证：无论点F在DC的何处，都有PF AE。

第三节直线、平面平行的判定及其性质【知识点11】直线与平面平行的判定典型例题：【例1】如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥α C．b⊂αD．b∥α或b⊂α【反思】用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可．【变式1】下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∩b＝∅，直线b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线【变式2】有以下四个说法，其中正确的说法是()①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交．A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【变式3】过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面()A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在【例2】如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分分别是SA ，BD 的中点，试证明MN ∥平面SBC .【变式1】 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC .【反思】 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．【变式2】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是平面ABCD 外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例3】在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．【变式1】在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CM.【反思】证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线．【变式2】如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D.【方法小结】1．判断或证明线面平行的常用方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的常用方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质．(2)利用平行四边形的性质．(3)利用平行线分线段成比例定理.【思考1】如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．【思考2】如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.【变式2】如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论．【知识点12】平面与平面平行的判定定理例1(概念理解)α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线l，m,B．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β【反思】(1)在判定两个平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．(2)借助于常见几何体(如正方体)进行分析．【变式1】如果一个锐角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是() A．这两个角相等B．这两个角互补C．这两个角所在的两个平面平行D．这两个角所在的两个平面平行或重合【变式2】下列四个说法中正确的是()A．平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥βB．α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥βC．平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥βD．平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β【变式3】已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b，c⊂β，则α与β的关系是________．例2（平面与平面平行的证明）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．求证：平面BDGH∥平面AEF.【反思】平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.【变式1】如图，在四棱锥P－ABCD中，点E为P A的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD.【变式2】如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在P A ，BD ，PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD .求证：平面MNQ ∥平面PBC .【例3】(线面平行与面面平行的综合应用) 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点S 是B 1D 1的中点，点E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点，求证：(1)直线EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.【反思】 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．(2)线线平行――→判定线面平行――→判定面面平行所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．【变式1】如图所示，P是△ABC所在平面外的一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PCA，△P AB的重心．(1)求证：平面ABC∥平面A′B′C′；(2)求△A′B′C′与△ABC的面积之比．【变式2】如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．(1)求证：GF∥平面ABC；(2)若点P为线段CD的中点，平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明．【例4】（思考与能力提升）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足什么条件时，有MN∥平面B1BDD1.【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由．【知识点13】直线与平面平行的性质典型例题：【例1】(概念理解)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行或异面C．平行或相交D．异面或相交【变式1】若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点【例2】(线面平行的性质定理的)如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．【变式1】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.【延申】本例条件不变，求证：GH∥平面P AD.【反思】(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行．【例3】（判断形状问题）如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE 交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB ＝AF∶FD＝1∶4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【例2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且P A＝3，点F在棱P A 上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．【延申】若本例中增加条件“M是PB的中点”，试作出平面ADM与四棱锥P－ABCD的侧面PBC和PCD的交线，并说明理由．【反思】利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．(3)利用所得关系计算求值．【变式1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度．【变式2】如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段P A上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．【方法小结】1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．【思考1】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°【思考2】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．【知识点14】平面与平面平行的性质【例1】（概念理解）2．下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等．其中正确的命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．0【变式1】α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是()①⎭⎪⎬⎪⎫a∥cb∥c⇒a∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a∥γb∥γ⇒a∥b；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥cβ∥c⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥ca∥c⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa∥γ⇒a∥α.A．④⑥B．②③⑥C．②③⑤⑥D．②③【例2】(利用面面平行证明线线平行)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.【反思】(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交．(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化【变式1】如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．【变式2】如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．【变式3】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是P A，PB，PC的中点，M是AB 上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.【例3】(面面平行的性质定理的应用)（1）如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB 与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长．（2）如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于()A．2∶25 B．4∶25C．2∶5 D．4∶5【反思】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤【变式1】将例1改为：如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长．【变式2】如图所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在平面α和平面β之间，若AB＝2，AC＝2，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，则△A′B′C′的面积为________．例4（平行关系的综合应用）如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【反思】线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：【变式1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．【方法小结】1．常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图【思考1】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB 是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.【思考2】如图，已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．。