2015高考数学一轮题组训练：6-1数列的概念与简单表示法

6.1 数列的概念与简单表示法按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类3.如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．5．a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示 不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n ＝3n ＋5与函数y ＝3x ＋5有何区别与联系？ 提示 数列的通项公式a n ＝3n ＋5是特殊的函数，其定义域为N ＋，而函数y ＝3x ＋5的定义域是R ，a n ＝3n ＋5的图象是离散的点，且排列在y ＝3x ＋5的图象上． 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．( × )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × ) (6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＝S n －S n－1.( × )题组二 教材改编2．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋1，则a 3＝.答案 21解析 由题意知，a 2＝4a 1＋1＝5，a 3＝4a 2＋1＝21.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝. 答案 5n －4 题组三 易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N ＋，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是． 答案 (－3，＋∞)解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N ＋)，则此数列最大项的值是． 答案 30 解析 a n ＝－n2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎪⎫n －1122＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝. 答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N ＋解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，a 1＝2不满足上式.2n －1，n ≥2，n ∈N ＋.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1，7，－13，19，…； (3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5555，….解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n －12n ＋1.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征． (4)各项符号特征等．(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．跟踪训练1(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝. 答案 (－1)n1nn ＋1解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n1nn ＋1.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝. 答案 2n ＋1n 2＋1解析 数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项公式例2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝. 答案 4n －5解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝. 答案 －63解析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列，∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝－1×1－2n1－2＝1－2n，∴S 6＝1－26＝－63.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，则a n ＝. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析 当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n，① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，②由①－②得na n ＝2n－2n －1＝2n －1，∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.思维升华已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况．跟踪训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋1，则a n ＝. 答案⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，则a n ＝.答案 13n解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .(3)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 题型三 由数列的递推关系求通项公式例3设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝. 答案n 2＋n ＋22解析 由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22.引申探究1．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n”，如何求解？ 解 ∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1.∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n.2．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a n ＋3”，如何求解？ 解 设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝5，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以5为首项，2为公比的等比数列． 所以b n ＝5×2n －1，故a n ＝5×2n －1－3.3．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a na n ＋2”，如何求解？解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝2，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝2，则1a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2.∴a n ＝2n . 4．若将本例条件换为“a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ”，如何求解？ 解 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2. 即数列{a n }的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列． 当n为偶数时，a 2＝1，故a n ＝a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －1.当n 为奇数时，∵a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶数)，故a n ＝n .综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数，n ∈N ＋.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解．(4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N ＋)，则数列{a n }的通项公式a n ＝.答案 3×2n －1－2解析 由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1－a n ＝3×2n －1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)，∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，则通项公式a n ＝.答案 4－1n解析 原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n，经验证a 1，a 2也符合．题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B 解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性例5(2019·包头质检)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，则S 2020＝. 答案 0解析 ∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3， 且a 1＋a 2＋a 3＝0， 则S 2020＝S 3×673＋1＝a 1＝0. 命题点3 数列的最值例6 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m＋1＝3(m ≥2)，则nS n 的最小值为( )A ．－3B ．－5C ．－6D ．－9 答案 D解析 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2，a m ＋1＝3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1， ∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2， 则a n ＝n －3，S n ＝n n －52，nS n ＝n 2n －52.设f (x )＝x 2x －52，x >0，f ′(x )＝32x 2－5x ，x >0，∴f (x )的极小值点为x ＝103，∵n ∈N +，且f (3)＝－9，f (4)＝－8， ∴f (n )min ＝－9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练4(1)(2018·葫芦岛模拟)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2020的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13答案 D解析 因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列， 故a 2020＝a 505×4＝a 4＝13.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N ＋)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式． ∴a n ＝2n －11(n ∈N ＋)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N +，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项答案 C解析 数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…， 所以通项公式为a n ＝5＋6n －1＝6n －1， 令6n －1＝55，得n ＝21.2．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }是递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵“a n >0”⇒“数列{S n }是递增数列”， ∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件．如数列{a n }为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零， ∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n >0”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件． ∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件．3．(2018·锦州质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( )A ．255B ．256C ．510D ．511 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2， 两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510.4．(2018·呼和浩特模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前6项和为( )A.215B.415C.511D.1011 答案 A解析 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，S n －1＝n 2－1，两式作差得到a n ＝2n ＋1(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1＝3，符合上式，所以a n ＝2n ＋1， 1a n ·a n ＋1＝1()2n ＋1()2n ＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 裂项求和得到S 6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…－115＝215，故选A.5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a nn ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 等于( )A ．2＋n ln nB ．2n ＋(n －1)ln nC ．2n ＋n ln nD ．1＋n ＋n ln n答案 C解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a nn ＝ln(n ＋1)－ln n ，n 分别用1，2，3，…，(n －1)取代，累加得a n n －a 11＝ln n －ln1＝ln n ，a nn＝2＋ln n ，∴a n ＝(ln n ＋2)n ，故选C.6．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1B ．n 2C.n ＋12n 2D.n 2n －12答案 D解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －12. 7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝.答案 85解析 借助递推关系，由a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85.8．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝.答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.9．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝. 答案 －1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 又由a 1＝－1，知S n ≠0， ∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝. 答案 2n 2－n ＋2解析 由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ，则由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2，又因为a 1＝1，所以1a n＝n 2－n2＋1＝n 2－n ＋22，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N ＋)．11．已知在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1，将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n n ＋12，经检验n ＝1时，也满足上式．综上，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋12.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n－λa 2n ，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 解 (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ， ∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1，∴a n ＝n (n ∈N ＋)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1.令c n ＝2·3n2n ＋1，即c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．13．(2018·抚顺模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n ＝2a n－3n ，则a 2019等于( )A ．－22019－1B ．32019－6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫122019－72 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫132019－103答案 A解析 由题意可得，3S n ＝2a n －3n ，3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝－2a n －3，a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1)， 结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3，a 1＋1＝－2，则数列{a n ＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列， 据此有a 2019＋1＝(－2)×(－2)2018＝－22019， ∴a 2019＝－22019－1.故选A.14．(2018·赤峰模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N ＋)，若对任意n ∈N ＋，a n <a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，163 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5，163 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，163 D ．(3，5)答案 D解析 ∵S n ＋S n －1＝4n 2，S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2， ∴当n ≥2时，S n ＋1－S n －1＝8n ＋4，即a n ＋1＋a n ＝8n ＋4， 即a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12，故a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)， 由a 1＝a 知a 2＋2a 1＝4×22＝16，∴a 2＝16－2a 1＝16－2a ， a 3＋2S 2＝4×32＝36，∴a 3＝36－2S 2＝36－2(16－a )＝4＋2a ，a 4＝24－2a ； 若对任意n ∈N +，a n <a n ＋1恒成立，只需使a 1<a 2<a 3<a 4，即a <16－2a <4＋2a <24－2a ，解得3<a <5，故选D.15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝15，且满足a n ＋12n －3＝a n 2n －5＋1，已知n ，m ∈N ＋，n >m ，则S n －S m 的最小值为( )A ．－494B ．－498C ．－14D ．－28答案 C 解析 因为a n ＋12n －3＝a n 2n －5＋1，且a 12－5＝15－3＝－5， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －5是以－5为首项、1为公差的等差数列， 则a n 2n －5＝－5＋(n －1)＝n －6， 即a n ＝(2n －5)(n －6)，令a n ≤0，得52≤n ≤6， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝3,4,5,6，则S n －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a n 的最小值为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－6－5－0＝－14.16．已知数列{a n }是递增的等比数列且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，设S n 是数列{a n }的前n 项和，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n ·S n ＋1前n 项和为T n ，若不等式λ≤T n 对任意的n ∈N +恒成立，求实数λ的最大值． 解 ∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1，a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根，且a 1<a 4.解方程x 2－9x ＋8＝0，得a 1＝1，a 4＝8， ∴q 3＝a 4a 1＝81＝8，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1. ∴S n ＝a 1()1－q n 1－q ＝1×()1－2n 1－2＝2n －1， 令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n ()2n －1·()2n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1 ＝1－12n ＋1－1在正整数集上单调递增， ∴T n ≥T 1＝23， ∵λ≤T n ，且对一切n ∈N ＋成立，∴λ≤23， ∴实数λ的最大值是23.。

时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________学号：________ 得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·海口调研)已知数列{a n }满足a 1＞0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列D ．不确定解析：∵a n ＋1a n ＝12＜1.又a 1＞0，则a n ＞0，∴a n ＋1＜a n ， ∴{a n }是递减数列．故应选B. 答案：B2．(2018·苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)下列说法正确的是( ) A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同数列C ．数列{n ＋1n }的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6，…可记为{2n} 解析：由数列定义可知A 、B 错误；数列{n ＋1n }的第k 项为k ＋1k ＝1＋1k，故C 正确；数列0,2,4,6，…的通项公式为a n ＝2n －2，故D 错，综上可知，应选C.答案：C3．(2018·东北三校联考)在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中x 的值是( ) A ．10 B ．11 C ．12D ．13解析：所给数列观察可知，从第三项起，每一起都等于其前两项的和，故x ＝5＋8＝13，故选D. 答案：D4．(2018·沈阳第二次质量监测)如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n解析：由关系式S n ＝32a n －3易得：a 1＝6，a 2＝18，由此可排除A 、B 、C ，故选D.答案：D5．(2018·辽宁重点中点协作体一模)已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n≥1)，则下列结论正确的是( )A ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列B ．数列{a n }是等比数列C ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列D ．数列{a n }是等差数列解析：∵S n ＝a n ＋13，由n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋13－a n3得a n ＋1＝4a n (n≥2)，又∵a 1＝1，a 2＝3，∴a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列．故选A. 答案：A6．(2018·漳州一模)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝( ) A.40202011 B.40182010 C.20102011D.20092010解析：令m ＝1得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，因此1a n＝2＋＝2(1n－1n ＋1)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2010＝2(1－12＋12－13＋…＋12010－12011)＝40202011. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·安徽皖南八校第二次联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式是________．解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＝2n －18．(2018·卫辉月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________. 解析：n≥2时，4S n －4S n －1＝4a n ＝6a n －a n －1，∴a n a n －1＝12，∴a n ＝a 1·(12)n －1＝3·21－n.答案：3·21－n9．(2018·北京西城抽样测试)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________；a 2 014＝________.解析：a 2 009＝a 503×4－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0. 答案：1；010．(2018·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：令S △OA 1B 1＝m(m ＞0)，因为所有A n B n 平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝3m ，当n≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝a ＋－a ＋－＝3n －23n －5，故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1，a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2，a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3，……，a 22＝41a 21，以上各式累乘可得：a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2. 答案：a n ＝3n －2三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．(2018·山东青岛质检)正项数列{a n }中，前n 项和为S n ，a 1＝2，且a n ＝22S n －1＋2(n≥2)，求数列{a n }的通项公式．解：由a n ＝22S n －1＋2(n≥2)， 得S n －S n －1＝22S n －1＋2(n≥2)， ∴S n ＝S n －1＋2·2·S n －1＋2 ＝(S n －1＋2)2，∴S n －S n －1＝2(n≥2)， 又S 1＝a 1＝2，∴{S n }是首项为2，且公差也为2的等差数列． ∴S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， ∴S n ＝2n 2，∴n≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2.又n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，故a n ＝4n －2.12．(2018·天津十二区县重点中学第一次联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)．(1)求{a n }的通项公式；(2)令T n ＝(45)nS n ，问是否存在正整数m ，对一切正整数n ，总有T n ≤T m ，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．解：(1)令n ＝1，由a 1＝2及na n ＋1＝S n ＋n(n ＋1)① 得a 2＝4，故a 2－a 1＝2.当n≥2时，有(n －1)a n ＝S n －1＋n(n －1)②①－②得：na n ＋1－(n －1)a n ＝a n ＋2n. 整理得，a n ＋1－a n ＝2(n≥2)． 当n ＝1时，a 2－a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公差的等差数列， 故a n ＝2＋(n －1)×2＝2n. (2)由(1)得S n ＝n(n ＋1)， 所以T n ＝(45)n S n ＝(45)n (n 2＋n)．故T n ＋1＝(45)n ＋1[(n ＋1)2＋(n ＋1)]，令⎩⎪⎨⎪⎧T n ≥T n ＋1T n ≥T n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧45nn 2＋n ≥45n ＋1[n ＋12＋n ＋1]45n n 2＋n≥45n －1[n －12＋n －1]，即⎩⎪⎨⎪⎧n≥45n ＋245n ＋1≥n－1，解得8≤n≤9.故T 1＜T 2＜…＜T 8＝T 9＞T 10＞T 11＞… 故存在正整数m 对一切正整数n ， 总有T n ≤T m ， 此时m ＝8或m ＝9.13．(2018·华师附中一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，则a 1＝2.当n≥2时，由S n ＝32a n －1(n ∈N *)①得S n －1＝32a n －1－1(n≥2)②由①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，则a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，∴a n a n －1＝3知数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，则a n ＝2·3n －1.(2)可得b n＋1＝b n＋2·3n－1，则当n≥2时，b n＝b n－1＋2·3n－2，……b3＝b2＋2·31，b2＝b1＋2·30，以上各式相加，得b n＝b1＋2×(3n－2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n－11－3＝3n－1＋4.当n＝1时，31－1＋4＝5＝b1. 所以b n＝3n－1＋4.。

§6.1 数列的概念与简单表示法考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．若已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(3)数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式． 2．数列与函数数列{a n }是从正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项a n ，记为a n ＝f (n )．也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f (1)，f (2)，…，f (n )，…就是数列{a n }． 3．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列项数无限项与项间的大小 关系递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n4.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示 不是．数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列作为一种特殊函数，特殊性体现在什么地方？提示 体现在定义域上，数列的定义域是正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的通项公式是唯一的．( × )(2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (3)2,2,2,2，…，不能构成一个数列．( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 题组二 教材改编2．数列13，18，115，124，135，…的通项公式是a n ＝________.答案 a n ＝1n (n ＋2)，n ∈N *3．已知数列a 1＝2，a n ＝1－1an －1(n ≥2)．则a 2 022＝________. 答案 －1解析 a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2，所以数列{a n }满足a n ＝a n ＋3，所以a 2022＝a 3＝－1.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－λn ＋1，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，3)解析 由题意得a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2－λ(n ＋1)＋1>n 2－λn ＋1.化简得，λ<2n ＋1，n ∈N *，∴λ<3. 题组三 易错自纠5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋1，则{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n≥2(n ∈N *)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n 2＋1＋2(n －1)2－1＝－4n ＋2，a 1＝－1不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，－4n ＋2，n≥2，n ∈N*.6．若a n ＝－n 2＋9n ＋10，则当数列{a n }的前n 项和S n 最大时，n 的值为________． 答案 9或10解析 要使S n 最大，只需要数列中正数的项相加即可， 即需a n >0，－n 2＋9n ＋10>0，得－1<n <10， 又n ∈N *，所以1≤n <10. 又a 10＝0，所以n ＝9或10.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则a n ＝________. 答案 2n ＋1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1.由于a 1＝3适合上式，∴a n ＝2n ＋1.2．已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 答案 －2n －1解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1. 当n ≥2时，S n ＝2a n ＋1，① S n －1＝2a n －1＋1.②①－②，S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴{a n }是首项a 1＝－1，q ＝2的等比数列． ∴a n ＝a 1·q n －1＝－2n －1.3．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n≥2解析 当n ＝1时，a 1＝21＝2. ∵a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①∴a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得，(2n －1)·a n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －12n －1(n ≥2)．显然n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －12n －1，n≥2.4．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则下列结论正确的是_______． ①a n ＝1n (n －1)②a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2③S n ＝－1n④数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 是等差数列答案 ②③④解析 ∵a n ＋1＝S n ·S n ＋1＝S n ＋1－S n ，两边同除以S n ＋1·S n ，得1Sn ＋1－1Sn ＝－1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 是以－1为首项，d ＝－1的等差数列， 即1Sn ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－1n ＋1n －1＝1n (n －1)，又a 1＝－1不适合上式，∴a n＝⎩⎨⎧－1，n ＝1，1n (n －1)，n ≥2.思维升华 (1)已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S1，n ＝1，Sn －Sn －1，n≥2转化为关于a n 的关系式，再求通项公式．(2)S n 与a n 关系问题的求解思路方向1：利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为只含S n ，S n －1的关系式，再求解． 方向2：利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为只含a n ，a n －1的关系式，再求解． 题型二 由数列的递推关系式求通项公式命题点1 累加法例1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A解析 因为a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1， a 3－a 2＝ln 3－ln 2， a 4－a 3＝ln 4－ln 3， ……a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)(n ≥2)，把以上各式分别相加得a n －a 1＝ln n －ln 1， 则a n ＝2＋ln n (n ≥2)，且a 1＝2也适合， 因此a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．命题点2 累乘法例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其首项a 1＝1，且满足3S n ＝(n ＋2)a n ，则a n ＝______. 答案n (n ＋1)2解析 ∵3S n ＝(n ＋2)a n ，① 3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，②由①－②得，3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1， 即an an －1＝n ＋1n －1， ∴a n ＝an an －1·an －1an －2·an －2an －3·…·a2a1·a 1＝n ＋1n －1×n n －2×n －1n －3×…×31×1＝n (n ＋1)2.当n ＝1时，满足a n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n (n ＋1)2.本例2中，若{a n }满足2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0，且a n >0，a 1＝1，则a n ＝____________. 答案 n ·2n －1解析 由2(n ＋1)·a 2n ＋(n ＋2)·a n ·a n ＋1－n ·a 2n ＋1＝0得 n (2a 2n ＋a n ·a n ＋1－a 2n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， ∴n (a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＋2a n (a n ＋a n ＋1)＝0， (a n ＋a n ＋1)[(2a n －a n ＋1)·n ＋2a n ]＝0， 又a n >0，∴2n ·a n ＋2a n －n ·a n ＋1＝0， ∴an ＋1an ＝2(n ＋1)n，又a 1＝1，∴当n ≥2时，a n ＝an an －1·an －1an －2·…·a3a2·a2a1·a 1＝2n n －1×2(n －1)n －2×2(n －2)n －3×…×2×32×2×21×1＝2n －1·n .又n ＝1时，a 1＝1适合上式，∴a n ＝n ·2n －1.思维升华 (1)根据形如a n ＋1＝a n ＋f (n )(f (n )是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出a n －a 1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．(2)根据形如a n ＋1＝a n ·f (n )(f (n )是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出an a1与n 的关系式，进而得到a n 的通项公式．跟踪训练1 (1)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.答案 4－1n解析 ∵a n ＋1－a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴当n ≥2时，a n －a n －1＝1n －1－1n， a n －1－a n －2＝1n －2－1n －1， ……a 2－a 1＝1－12，∴以上各式相加得，a n －a 1＝1－1n ，∴a n ＝4－1n ，a 1＝3适合上式，∴a n ＝4－1n.(2)已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案 2222n n -+解析 ∵an ＋1an ＝2n ，∴当n ≥2时，an an －1＝2n －1，an －1an －2＝2n －2，……a3a2＝22，a2a1＝2， ∴a n ＝an an －1·an －1an －2·…·a3a2·a2a1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·22(1)212222,n nn n -⋅-++==，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2222n n -+.题型三 数列的性质命题点1 数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋k2n ，若数列{a n }为递减数列，则实数k 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 D解析 (单调性)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋3＋k 2n ＋1－3n ＋k 2n ＝3－3n －k2n ＋1，由数列{a n }为递减数列知，对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝3－3n －k2n ＋1<0，所以k >3－3n 对任意n ∈N *恒成立，所以k ∈(0，＋∞)． 思维升华 解决数列的单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列． (2)用作商比较法，根据an ＋1an (a n >0或a n <0)与1的大小关系进行判断．(3)函数法．命题点2 数列的周期性例 4 (2021·广元联考)已知数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”．已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则{b n }的前2 022项的和为( ) A ．0 B ．1 C ．－5 D ．－1 答案 A解析 ∵b n ＋2＝b n ＋1－b n ，b 1＝1，b 2＝－2，∴b 3＝b 2－b 1＝－2－1＝－3， b 4＝b 3－b 2＝－1，b 5＝b 4－b 3＝－1－(－3)＝2， b 6＝b 5－b 4＝2－(－1)＝3， b 7＝b 6－b 5＝3－2＝1.∴{b n }是周期为6的周期数列， 且S 6＝1－2－3－1＋2＋3＝0. ∴S 2 022＝S 337×6＝0.思维升华 解决数列周期性问题根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n 项的和．命题点3 数列的最值例5 已知数列{a n }满足a 1＝28，an ＋1－an n ＝2，则ann 的最小值为( )A.293 B ．47－1 C.485 D.274 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2n ，可得a n ＝n 2－n ＋28， ∴an n ＝n ＋28n－1， 设f (x )＝x ＋28x ，可知f (x )在(0，28]上单调递减，在(28，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，且a55＝485<a66＝293，故选C.思维升华 求数列的最大项与最小项的常用方法 (1)函数法，利用函数求最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ an≥an －1，an≥an ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩⎪⎨⎪⎧an≤an －1，an≤an ＋1(n ≥2)确定最小项．(3)比较法：若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当an>0时，an ＋1an >1，则a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的最小项为a 1；若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫或当an>0时，an ＋1an <1，则a n ＋1<a n ，则数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的最大项为a 1. 跟踪训练2 (1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1(3n ＋1)(3n ＋4)>0，∴a n ＋1>a n ，∴选A.(2)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，则a 2 021等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 由题意，数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ， 且a 1＝1，a 2＝2，当n ＝1时，可得a 3＝a 2－a 1＝2－1＝1； 当n ＝2时，可得a 4＝a 3－a 2＝1－2＝－1； 当n ＝3时，可得a 5＝a 4－a 3＝－1－1＝－2； 当n ＝4时，可得a 6＝a 5－a 4＝－2－(－1)＝－1； 当n ＝5时，可得a 7＝a 6－a 5＝－1－(－2)＝1； 当n ＝6时，可得a 8＝a 7－a 6＝1－(－1)＝2； ……可得数列{a n }是以6为周期的周期数列， 所以a 2 021＝a 336×6＋5＝a 5＝－2. 故选A.(3)在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n，则数列{a n }的最大项是第________项． 答案 6或7解析 an ＋1an ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n ＋1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n ＝78×n ＋2n ＋1≥1.得n≤6，即当n≤6时，a n＋1≥a n，当n>6时，a n＋1<a n，∴a6或a7最大．课时精练1．数列3，3，15，21，33，…，则9是这个数列的第()A．12项 B．13项 C．14项 D．15项答案 C解析数列3，3，15，21，33，…，可化为3，9，15，21，27，…，则数列的通项公式为a n＝6n－3，当a n＝6n－3＝9时，6n－3＝81，∴n＝14，故选C.2．若数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n－1＝2n，则a n等于()A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2答案 A解析∵a n＋1－a n＝2n＋1，∴a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，a n－a n－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，a n－a1＝21＋…＋2n－1＋(n－1)＝2(1－2n－1)1－2＋n－1＝2n＋n－3，∴a n＝2n＋n－2，选A.3．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋…＋a2 021等于()A．4 711 B．4 712C．4 714 D．4 715答案 C解析由题意可知a n a n＋1a n＋2＝8，则对任意的n ∈N *，a n ≠0，则a 1a 2a 3＝8，∴a 3＝8a1a2＝4， 由a n a n ＋1a n ＋2＝8，得a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝8，∴a n a n ＋1a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2a n ＋3，∴a n ＋3＝a n ，∵2 021＝3×673＋2，因此a 1＋a 2＋…＋a 2 021＝673(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＋a 2＝673×7＋1＋2＝4 714.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－11n ＋a n，a 5是数列{a n }的最小项，则实数a 的取值范围是( )A ．[－40，－25]B ．[－40,0]C ．[－25,25]D ．[－25,0]答案 B解析 由已知条件得a 5是数列{a n }的最小项， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a5≤a4，a5≤a6， 即⎩⎨⎧ 52－11×5＋a 5≤42－11×4＋a 4，52－11×5＋a 5≤62－11×6＋a 6，解得⎩⎨⎧a≥－40，a≤0. 故选B. 5．(多选)下列四个命题中，正确的有( )A ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k B ．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，n ∈N *，则－8是该数列的第7项C ．数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝2n －1D ．数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1，n ∈N *，则数列{a n }是递增数列答案 ABD解析 对于A ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k ，A 正确； 对于B ，令n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)，B 正确；对于C ，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{b n }，则其通项公式为b n ＝2n (n ∈N *)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为a n ＝b n ＋1＝2n ＋1(n ∈N *)，C 错误；对于D ，a n ＝n n ＋1＝1－1n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1n ＋1－1n ＋2＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，因此数列{a n }是递增数列，D 正确．故选ABD.6．(多选)若数列{a n }满足：对任意正整数n ，{a n ＋1－a n }为递减数列，则称数列{a n }为“差递减数列”．给出下列数列{a n }(a ∈N *)，其中是“差递减数列”的有( )A ．a n ＝3nB ．a n ＝n 2＋1C ．a n ＝nD ．a n ＝ln n n ＋1答案 CD解析 对于A ，若a n ＝3n ，则a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－3n ＝3，所以{a n ＋1－a n }不为递减数列，故A 错误；对于B ，若a n ＝n 2＋1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，所以{a n ＋1－a n }为递增数列，故B 错误； 对于C ，若a n ＝n ，则a n ＋1－a n ＝n ＋1－n ＝1n ＋1＋n ，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故C 正确； 对于D ，若a n ＝ln n n ＋1，则a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ＋2－ln n n ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋2·n ＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n2＋2n ，由函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x2＋2x 在(0，＋∞)上单调递减，所以{a n ＋1－a n }为递减数列，故D 正确． 故选CD.7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n≥2.8．(2021·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析 ∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，则数列{a n }是递增的，∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可， 所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)．9．已知在数列{a n }中，a 1a 2a 3·…·a n ＝n 2(n ∈N *)，则a 9＝________. 答案 8164 解析 ∵a 1a 2·…·a 8＝82＝64，①a 1·a 2·…·a 9＝92＝81，②②÷①得a 9＝8164. 10．已知数列的通项为a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *)，则数列{a n }的最小项是第________项． 答案 5解析 因为a n ＝n ＋13n －16，数列{a n }的最小项必为a n <0，即n ＋13n －16<0,3n －16<0，从而n <163，又因为n ∈N *，且数列{a n }的前5项递减，所以n ＝5时，a n 的值最小．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求数列{a n }的通项公式．(1)S n ＝2n －1，n ∈N *；(2)S n ＝2n 2＋n ＋3，n ∈N *.解 (1)∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1.经检验，当n ＝1时，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵S n ＝2n 2＋n ＋3(n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋1＋3＝6；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n ＋3－[2(n －1)2＋(n －1)＋3]＝4n －1. 经检验，当n ＝1时，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，4n －1，n≥2，n ∈N*. 12．在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋9n ＋3.(1)－107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？(2)求数列中的最大项．解 (1)令a n ＝－107，－2n 2＋9n ＋3＝－107,2n 2－9n －110＝0，解得n ＝10或n ＝－112(舍去)．所以a 10＝－107. (2)a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058， 由于n ∈N *，所以最大项为a 2＝13.13．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024答案 C解析 在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.故选C.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，则数列{a n }的通项公式为( )A ．(2n ＋1)2－1B ．(2n ＋1)2C ．8n 2D ．(n ＋1)3答案 D解析 在4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n 中， 令n ＝1，得8(a 1＋1)＝9a 1，所以a 1＝8， 因为4(n ＋1)·(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n ，① 所以4n ·(S n －1＋1)＝(n ＋1)2a n －1(n ≥2)，②①－②得，4a n ＝(n ＋2)2n ＋1a n －(n ＋1)2n a n －1， 即n2n ＋1a n ＝(n ＋1)2n a n －1，a n ＝(n ＋1)3n 3a n －1， 所以a n ＝an an －1×an －1an －2×…×a2a1×a 1 ＝(n ＋1)3n 3×n3(n －1)3×…×3323×8＝(n ＋1)3(n ≥2)，又a 1＝8也满足此式，所以数列{a n }的通项公式为(n ＋1)3. 故选D.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，则S 1＋S 3＋S 5等于() A ．0 B.1764 C.564 D.2164答案 D解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝(－1)n a n ＋12n ，当n 为偶数时，S n ＝S n －S n －1＋12n ，即有S n －1＝12n ，所以S 1＋S 3＋S 5＝14＋116＋164＝2164.故选D.16．(2020·鹰潭模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，且a n －S n ＝12n －12n 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a－5a n ，求数列{b n }中最小的项．解 (1)对任意的n ∈N *，由a n －S n ＝12n －12n 2，得a n ＋1－S n ＋1＝12(n ＋1)－12(n ＋1)2， 两式相减得a n ＝n ，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)得b n ＝2n －5n ，则b n ＋1－b n ＝[2n ＋1－5(n ＋1)]－(2n －5n )＝2n －5. 当n ≤2时，b n ＋1－b n <0， 即b n ＋1<b n ，∴b 1>b 2>b 3； 当n ≥3时，b n ＋1－b n >0， 即b n ＋1>b n ，∴b 3<b 4<b 5<…， 所以数列{b n }的最小项为b 3＝23－5×3＝－7.。

2015届高考数学（理）一轮复习讲义：数列的概念及简单表示法1． 数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2． 数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类 递增数列 a n ＋1__>__a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1__<__a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类 有界数列 存在正数M ，使|a n |≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3． 数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法． 4． 数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )(3)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.( × )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )(5)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )(6)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( √ )2．(2014·银川模拟)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T r ，则T 2 013的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．2答案 B解析 选B 由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而T 2 013＝(－1)671＝－1.3． 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4． (2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析 当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a n a n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 当n ＝1时，也符合a n ＝(－2)n －1.综上，a n＝(－2)n－1.5． (2013·安徽)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行， 且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________． 答案 a n ＝3n －2 解析 由已知221111++++++=n n n n n n n n A B B A A BB A S S 梯形梯形112211++++++∆∆∆∆-=-n n n n n n n n A O B A O B A O B A O B S S S S ，即S △OBnAn ＋11222++++∆∆=n n n n A O B A O B S S由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列且a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，故a n ＝3n －2.题型一 由数列的前几项求数列的通项 例1 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎨⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以a n ＝13(10n －1)．思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，…的一个通项公式是a n ＝________________.(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)(－1)n ·(6n －5) (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二 由数列的前n 项和S n 求数列的通项例2 已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .思维启迪 当n ＝1时，由a 1＝S 1，求a 1；当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1消去S n ，得a n ＋1与a n 的关系．转化成由递推关系求通项． 解 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1] ＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求数列的通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________.(2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. (3)在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .则{a n }的通项公式为________．思维启迪 观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式． 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 (3)a n ＝n (n ＋1)2解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.(3)由题设知，a 1＝1.当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1.∴a n a n －1＝n ＋1n －1. ∴a n a n －1＝n ＋1n －1，…，a 4a 3＝53，a 3a 2＝42，a 2a 1＝3. 以上n －1个式子的等号两端分别相乘，得到a n a 1＝n (n ＋1)2，又∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ＋1)2.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于 ( )A ．－16B ．16C ．31D ．32答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2－5n ＋4， ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n .求实数k 的取值范围．思维启迪 (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N ＋上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性． 规范解答解 (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.[4分]②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94的对称轴方程为n ＝52.又n ∈N ＋，∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.[8分](2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N ＋，所以－k 2<32，即得k >－3.[12分]温馨提醒 (1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N ＋上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． (3)易错分析：本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．方法与技巧1． 求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2． 强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).3． 已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式． 失误与防范1． 数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的． 2． 数列的通项公式不一定唯一．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( )A.(－1)n ＋12B ．cosn π2C ．cosn ＋12π D ．cosn ＋22π 答案 D解析 令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2). ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.3． 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)] ＝3×5＝15.4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项 答案 C解析 ∵数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，令t ＝(23)n －1，t ∈(0,1]，t 是减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14，由复合函数单调性知a n 先递增后递减． 故有最大项和最小项，选C.5．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56B.65C.130D ．30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.二、填空题6．已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．答案 7解析 n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7.7． 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N ＋，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案6116解析 由题意知：a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2， ∴a n ＝(n n －1)2(n ≥2)，∴a 3＋a 5＝(32)2＋(54)2＝6116.8．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N ＋，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－3，＋∞) 解析 方法一 (定义法)因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n ， 即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得 2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二 (函数法)设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图像的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数， 故只需满足f (1)<f (2)，即λ>－3. 三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)． 故数列从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝9n (n ＋1)10n，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由． 解 a n ＋1－a n ＝9n ＋1(n ＋2)10n ＋1－9n (n ＋1)10n ＝9n 10n ·8－n10， 当n <8时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝8时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >8时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 则a 1<a 2<a 3<…<a 8＝a 9>a 10>a 11>…， 故数列{a n }有最大项，为第8项和第9项， 且a 8＝a 9＝98×9108＝99108.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为( )A ．8种B ．13种C ．21种D ．34种答案 C解析 设跳到第n 个格子的方法种数有a n ，则到达第n 个格子的方法有两类： ①向前跳1格到达第n 个格子，方法种数为a n －1；②向前跳2格到达第n 个格子，方法种数为a n －2，则a n ＝a n －1＋a n －2， 由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21. ∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，∴a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，故a 2n ＝2，a 2n －1＝12－2.∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.3． 若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________.答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4.4． 已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．5． 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N ＋.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N ＋，求a 的取值范围． 解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ， 即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为 b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N ＋.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N ＋，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)．2015届高考数学（理）一轮复习讲义：5.1数列的概念与简单的表示方法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．[对应学生用书P 80]【梳理自测】一、数列的有关概念1．数列－3，7，－11，15，…的通项公式可能是( ) A．a n＝4n－7 B．a n＝(－1)n(4n＋1) C．a n＝(－1)n(4n－1) D．a n＝(－1)n＋1(4n－1)2．已知数列{a n}的通项公式为a n＝nn＋1，则这个数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列3．在数列{a n}中，a1＝1，a n＝2a n－1＋1，则a5的值为( )A．30 B．31C．32 D．33答案：1.C 2.A 3.B◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．(2)数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项.(3)数列的表示法①列举法：a1，a2，a3，…，a n，…；②图象法：数列可用一群孤立的点表示；③解析法(公式法)：通项公式或递推公式．(4)数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．二、S n与a n的关系1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．642．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n(n ＝1，2，3，…)，则通项公式a n ＝________． 答案：1.A 2.2n －11◆以上题目主要考查了以下内容： 若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【指点迷津】1．一种特殊性数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．数列的图象是一群孤立的点． 2．与集合的两个区别(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现．[对应学生用书P 81]考向一 由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)0.8，0.88，0.888，…； (3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…； (5)0，1，0，1，….【审题视点】 观察数列中每项的共同特征及随项数变化规律，写通项公式． 【典例精讲】 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3，5，7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （n 为奇数）1 （n 为偶数）或a n ＝1＋（－1）n2或a n ＝1＋cos n π2.【类题通法】 1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征．2．观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决．3．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．1．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)2，0，2，0，…； (2)12，34，78，1516，…； (3)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (4)7，77，777，7 777，….解析：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2（n 为奇数），0（n 为偶数）.(2)a n ＝2n－12n .(3)a n ＝(－1)n1n （n ＋1）.(4)a n ＝79×(10n－1)．考向二 由S n 求a n(2014·湖南省高三检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f(S n ＋2)－f(a n )＝f(3)(n∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D ．(32)n －1【审题视点】 利用函数单调性把f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)转化为S n 与a n 的关系，利用S n －S n －1＝a n ，求a n .【典例精讲】 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)， ∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)， 又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2， ∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝(32)n －1.【答案】 D【类题通法】 已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论；特别注意a n ＝S n －S n－1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n ，推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3n＋b ，则a n ＝________． 解析：a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋b)－(3n －1＋b)＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝12·3n －1，n ≥2考向三 由递推公式求通项公式(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【审题视点】 利用S n －S n －1＝a n 转化为a n 与a n －1的关系a n ＝f(n)a n －1.采用累乘法求a n . 【典例精讲】 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1. 当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1 ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…… a n －1＝nn －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 【类题通法】 由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f(n)(n ≥2)，可以用“累加法”，即a n －a n －1＝f(n)，a n －1－a n－2＝f(n －1)，…，a 3－a 2＝f(3)，a 2－a 1＝f(2)． 所有等式左右两边分别相加，代入a 1得a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f(n)(n ≥2)，可以用“累乘法”，即a n a n －1＝f(n)，a n －1a n －2＝f(n －1)，…，a 3a 2＝f(3)，a 2a 1＝f(2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 1得a n .3．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解析：a 2＝a 1＋5，a 3＝a 2＋8，∴a n －1＝a n －2＋3(n －2)＋2，a n ＝a n －1＋3(n －1)＋2， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2 ＝2＋3n －12×n ＝n （3n ＋1）2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.[对应学生用书P 82]数列与函数混淆致误(2014·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．【正解】 ∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)， 又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n ＝n ＋33n －1.令f(x)＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f′(x)＝1－33x2， 令f′(x)＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x)＜0， 当x ＞33时，f ′(x)＞0，即f(x)在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增． 又5＜33＜6， 且f(5)＝5＋335－1＝535，f(6)＝6＋336－1＝212， ∴f(5)＞f(6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.【答案】212【易错点】a n n ＝n ＋33n－1≥233－1，为最小值时，即把n 和x 认为等同的，而此时n ＝33∈N *是不可以的．【警示】 a n ＝f (n )是n 的函数，其定义域为N *，而不是R.1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B .⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C .⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D .12n －1解析：选B .当n ＝1时，a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ， 解得3a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝32， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1（n ＝1）12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2（n ≥2），∴S n ＝1＋12－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.2．(2013·高考安徽卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析：记△OA 1B 1的面积为S ，则△OA 2B 2的面积为4S. 从而四边形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均为3S. 即得△OA n B n 的面积为S ＋3(n －1)S ＝(3n －2)S. ∴a 2n ＝3n －2，即a n ＝3n －2. 答案：a n ＝3n －23．(2013·高考全国新课标卷)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．解析：根据数列的前n 项和与通项公式的关系先求解首项，再进一步确定是个特殊数列．当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.答案：(－2)n －14．(2013·高考湖南卷)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．解析：根据a n ＝S n －S n －1(n ≥2)建立关于a n 的关系式，根据a n 的关系式归纳寻找其规律后求解．∵a n ＝S n －S n －1＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1a n －1＋12n －1，∴a n ＝(－1)na n －(－1)n －1a n －1＋12n .当n 为偶数时，a n －1＝－12n ，当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝12n ，∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－116.根据以上{a n }的关系式及递推式可求．a 1＝－122，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－128， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝128.∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝125，…，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋…＋12100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋123＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案：(1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1第1讲 数列的概念与简单表示法[最新考纲]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数.知 识 梳 理1．数列的概念 (1)数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前n 项和在数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和． 2．数列的表示方法 (1)表示方法 列表法 列表格表达n 与f (n )的对应关系 图象法 把点(n ，f (n))画在平面直角坐标系中 公 式 法通项公式把数列的通项使用通项公式表达的方法递推 公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表达数列的方法(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集(或它的有限子集{1,2，…，n }的函数a n ＝f (n ))当自变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值． *3．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数分类有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 单 调 性递增数列 a n ＋1＞a n 其中 n ∈N *递减数列 a n ＋1＜a n 常数列a n ＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性∀n ∈N *，存在正整数常数k ，a n ＋k ＝a n4.a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.辨 析 感 悟1．对数列概念的认识(1)数列1,2,3,4,5,6与数列6,5,4,3,2,1表示同一数列．(×) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 2．对数列的性质及表示法的理解(3)(教材练习改编)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是a n ＝1＋(－1)n ＋12.(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×) (5)(2013·开封模拟改编)已知S n ＝3n ＋1，则a n ＝2·3n －1.(×) [感悟·提升]1．一个区别 “数列”与“数集”数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同一个数在数列中可以重复出现，而数集中的元素是互异的，如(1)、(2)．2．三个防范 一是注意数列不仅有递增、递减数列，还有常数列、摆动数列，如(4)．二是数列的通项公式不唯一，如(3)中还可以表示为a n ＝⎩⎨⎧1，n 为奇数，0，n 为偶数.三是已知S n 求a n 时，一定要验证n ＝1的特殊情形，如(5).学生用书 第79页考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5,55,555,5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (2)32，1，710，917，….解 (1)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n·2n －32n .(2)将数列统一为32，55，7，10，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】 (2013·广东卷节选)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23， 又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23， 整理得(n ＋1)a n －na n ＋1＝－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.规律方法 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .【训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，∴a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.学生用书 第80页考点三 由递推公式求数列的通项公式【例3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________； (2)若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________.审题路线 (1)变形为a n ＋1－a n ＝n ＋1⇒用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)⇒得出a n .(2)变形为a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)⇒再变形为a n ＋1＋1a n ＋1＝13⇒用累乘法或迭代法可求a n .解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1. 又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3，法一a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n.因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n ，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故a n ＝2×3n －1－1. 法二 由a n ＋1＋1a n ＋1＝3，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 当n ≥2时，a n ＋1＝3(a n －1＋1)，∴a n ＋1＝3(a n －1＋1)＝32(a n －2＋1)＝33(a n －3＋1)＝…＝3n －1(a 1＋1)＝2×3n －1， ∴a n ＝2×3n －1－1；当n ＝1时，a 1＝1＝2×31－1－1也满足． ∴a n ＝2×3n －1－1.答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1 规律方法 数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．【训练3】 设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析 ∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n ＞0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝n n ＋1，∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∴a n＝1n . 答案 1n1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．由S n 求a n 时，a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式．3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列；(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式．思想方法4——用函数的思想解决数列问题【典例】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 解析 由题意及等差数列的性质， 知a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103.两式相减，得a 15－a 10＝103＝5d ，所以d ＝23，a 1＝－3. 所以nS n ＝n ·[na 1＋n (n －1)2d ]＝n 3－10n 23.令f (x )＝x 3－10x 23，x ＞0，则f ′(x )＝13x (3x －20)，由函数的单调性，可知函数f (x )在x ＝203时取得最小值，检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49. 答案 －49[反思感悟] (1)本题求出的nS n 的表达式可以看做是一个定义在正整数集N *上的三次函数，因此可以采用导数法求解．(2)易错分析：由于n 为正整数，因而不能将203代入求最值，这是考生容易忽略而产生错误的地方． 【自主体验】1．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )．A.163B.133 C ．4D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0. 答案 D2．已知{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 设f (n )＝a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为直线n ＝－λ2，要使数列{a n }为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f (n )为增函数，故只需满足－λ2＜32，即λ＞－3.答案 (－3，＋∞)对应学生用书P285基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·深圳中学模拟)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )．A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *)解析 将0写成01，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n －1)，n ∈N *；分母为奇数列，可表示为2n －1，n ∈N *，故选C. 答案 C2．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )．A.56B.65C.130 D ．30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，∴1a 5＝5×(5＋1)＝30.答案 D3．(2014·贵阳模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－1，则a 3＝( )． A ．－10 B ．6 C ．10 D ．14解析 a 3＝S 3－S 2＝2×32－1－(2×22－1)＝10. 答案 C4．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )． A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析 法一 (构造法)由已知整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1，∴a n ＋1n ＋1＝a nn ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列． 且a n n ＝a 11＝1，∴a n ＝n .法二 (累乘法)：n ≥2时，a n a n －1＝nn －1，a n －1a n －2＝n －1n －2.…a 3a 2＝32，a 2a 1＝21，两边分别相乘得a na 1＝n ，又因为a 1＝1，∴a n ＝n .答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )． A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析 ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n＝32(n ≥2)，又a 2＝12，∴a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，∴S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 B。

第六章 数列6．1 数列的概念与简单表示法考纲要求1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．1．数列的概念按照一定____排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__，数列中的每一项都和它的____有关．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____)．往后各项依次叫做这个数列的第2项，…，第n 项，….数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，其中____是数列的第n 项，我们把上面的数列简记为____．2分类原则 类型 满足条件项数]有穷数列 项数____无穷数列 项数____ 项与项间的大小关系递增数列 a n ＋1＞a n递减数列 a n ＋1＜a n常数列 a n ＋1＝a n其中n ∈N *其他标准 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项(1)列举法：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； (2)图象法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的____________________可以用一个公式______来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数______．5．递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任意一项a n 与a n －1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．它是数列的一种表示法．6．数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为__________的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列______，而数列的________也就是相应函数的解析式．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )．A.n 2n ＋1B.n 2n －1 C.n 2n －3 D.n 2n ＋32．在数列{a n }中，已知a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，则a 92等于( )． A ．a B ．b C ．b －a D ．a －b3．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )．A ．a n ＞a n ＋1B ．a n ＜a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －n 2，则a 4＝__________.5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则a 2 011＝__________，10－3是此数列的第__________项．一、由数列的前几项求数列的通项公式【例1】 写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…. (2)12，34，78，1516，3132，…. (3)23，415，635，863，1099，…. 方法提炼1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式．2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 3．注意：(1)根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)数列的通项公式不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．请做演练巩固提升3二、由递推公式求数列的通项公式【例2】(2012大纲全国高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式． 方法提炼由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等． (1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累加法”，即a n －a n －1＝f (n )，a n －1－a n －2＝f (n －1)，…，a 3－a 2＝f (3)，a 2－a 1＝f (2)．所有等式左右两边分别相加，代入a 1得a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累乘法”， 即a n a n －1＝f (n )，a n －1a n －2＝f (n －1)，…，a 3a 2＝f (3)，a 2a 1＝f (2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 1得a n .请做演练巩固提升1三、已知数列的前n 项和求通项公式【例3】 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2,3，…)，求a n .方法提炼1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合a n ＝S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略，数列中的转化更是层出不穷，如S n 和a n 的转化．请做演练巩固提升4忽视数列的项数n 的范围而致误【典例】 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0， 当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增， 又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋112－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：212答题指导：1．在解答本题时，以下几点容易出错： (1)a n 求错；(2)求a n n 的最小值时，直接使用基本不等式，忽视了等号成立的条件；(3)求a nn的最小值时，误认为是n ＝5时的值最小．2．解决此类数列问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)用“累加法”求a n 时，不要忘记加上a 1.(2)在用基本不等式求a n n的最小值时，由于等号成立的条件(n ＝33 N *)不满足，故不能使用基本不等式求最小值，而应借助函数的单调性求解．1．在数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 012＝( )．A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )．A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011 3．写出下面各数列的一个通项公式．(1)－1，32，－13，34，－15，36，…；(2)3,33,333,3 333，….4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求下列条件下数列的通项公式a n .(1)S n ＝2·5n－2；(2)若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2.5．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，求k 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．顺序 项 序号 首项 a n {a n } 2．有限 无限4．第n 项与序号n 之间的关系 a n ＝f (n ) 解析式6．正整数集N *函数值 通项公式 基础自测1．B 解析：由已知得，数列可写成11，23，35，….故通项为n2n －1.2．B3．B 解析：a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn， ∵y ＝c n是减函数， ∴y ＝ab ＋c n是增函数，∴a n ＜a n ＋1.故选B.4．－6 解析：a 4＝S 4－S 3＝4－42－3＋32＝－6.5．2503－ 2 011 9 解析：a 2 011＝12 011＋ 2 012＝ 2 012－ 2 011 ＝2503－ 2 011. 又∵10－3＝10－9＝110＋9，∴n ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)各项减去1后为正偶数， 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)注意到分母分别是1×3,3×5,5×7，7×9，9×11，…为两个连续奇数的积，故所求数列的通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).【例2】 解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.【例3】 解：∵a n ＋1＝13S n ，∴a n ＝13S n －1(n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)．∴a n ＋1＝43a n (n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，∴{a n }是从第二项起，公比为43的等比数列．a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.演练巩固提升1．B 解析：∵a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12.∴{a n }是以3为周期的数列． ∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝2. 故选B.2．D 解析：结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.3．解：(1)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(2)数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1，104－1，…，∴a n ＝13(10n－1)．4．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×5－2＝8.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·5n －2－2·5n －1＋2＝8·5n －1.∴当n ＝1时也适合a n ，故a n ＝8·5n －1. (2)由S 1＝1，∴a 1＝1. 由S 2＝3S 1＋2，∴a 2＝4.∵S n ＋1＝3S n ＋2，S n ＝3S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∴数列{a n }从第二项起构成等比数列，首项为a 2，公比为3.∴a n ＝4·3n －2.故数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4·3n －2，n ≥2. 5．解：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ， 又{a n }单调递增， 故应有a n ＋1－a n ＞0， 即2n ＋1－k ＞0恒成立， 分离变量得k ＜2n ＋1， 故只需k ＜3即可．。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1数列的概念与简单表示法 理1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项． 2．数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )(6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n＋3 (n ∈N *)，则a 10＝________.答案128解析 由题意得1a n ＋1－1a n＝3.∴1a 2－1a 1＝3，1a 3－1a 2＝3，1a 4－1a 3＝3，1a 5－1a 4＝3，…，1a 10－1a 9＝3，对递推式叠加得1a 10－1a 1＝27，故a 10＝128.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是________． 答案 28解析 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1 (n ≥1，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是__________． 答案 a n ＝3n －1解析 由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1 (n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又a 2＝2S 1＋1＝3，a 3＝3·a 2＝32·a 1＝32，a 4＝3a 3＝33… a n ＝3a n －1＝3n －1.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.答案 5n －45．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为________．①a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) ②a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) ③a n ＝n －2n －1(n ∈N *) ④a n ＝2n 2n ＋1(n ∈N *)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝________.答案 (1)③ (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…，故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n －32n .题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列． 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2，当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________________．答案 (1)130 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝________. (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝________. 答案 (1)n n ＋2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋n －＋n2＝n n ＋2＋1.又a 1＝2＝＋2＋1，符合上式，因此a n ＝n n ＋2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3. 将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n－1(n ≥1)，所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.方法二 (迭代法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝ (3)(a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)，又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解． 当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5＝________. 答案 (1)1n(2)16解析 (1)∵a n ＝n －1na n －1 (n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n.(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∵b n＝2a n＋1，∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23，n ＝1，1n ， n ≥2，n ∈N *.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1n ＋n ＋<0，∴c n ＋1<c n .∴数列{c n }为递减数列． 命题点2 数列的周期性 例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝______________________________. 答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值 例6 数列{a n }的通项a n ＝nn ＋90，则数列{a n }中的最大项的值是________．答案119解析 令f (x )＝x ＋90x(x >0)，运用基本不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立．因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大．思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3．数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为________．(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案 (1)25(2)0解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5．数列中的新定义问题典例 (1)(2015·洛阳模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5＝__________.(用式子表示)(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是____________．思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解．(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解．解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝＋2＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013.(2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)， 即t －tn －12n＋t －t n ＋－12n ＋2＜2t －t n ＋－12n，即tn －12n＋t n ＋－12n ＋2＞t n ＋－12n，化简得t (n －2)＞1.当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立， 又当n ≥3时，1n －2的最大值为1， 则t 的取值范围是(1，＋∞)． 答案 (1)1 010×2 013 (2)(1，＋∞)温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．[方法与技巧]1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．2．强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式． 4．数列的性质可利用函数思想进行研究． [失误与防范]1．数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件．2．数列的通项公式可能不存在，也可能有多个．3．由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是________．答案 －2021解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 答案 15解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝________. 答案 30解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1nn ＋，所以1a 5＝5×6＝30. 4．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为________．答案 7解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0，∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大．5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的______________条件．答案 充分不必要解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N *都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件．6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.7．数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则a 7＝________.答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去)．所以从第7项起各项都是正数．10．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…… a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ，则当a n 取得最大值时，n ＝________. 答案 5或6解析 当a n 取得最大值时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ≤6，n ≥5. ∴n ＝5或6.12．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________. 答案 72解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72. 13．定义：称nP 1＋P 2＋…＋P n 为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”．若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为____________． 答案 a n ＝4n －3解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3；a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14．若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________. 答案 4解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ kk ＋23k k ＋k ＋23k ＋1，k k ＋23k k －k ＋23k －1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N *可得k ＝4.15．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。

高考数学一轮复习 第6章 数列6．1数列的概念与简单表示法练习（含解析）苏教版一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n－1，则a 7＝______.2．(2012江西高考改编)观察下列各式：a ＋b ＝1.a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，则a 10＋b 10＝__________.3．(2012江苏连云港三模)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于__________．4．(2012江苏南师附中高三第一次模拟考试)如图的三角形数阵中，满足：(1)第1行的数为1；(2)第n (n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是__________(用n 表示)．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 … … …5．(2012江苏南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋n －1，则a 1＋a 3＝__________.6．已知数列{a n }满足：a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n 2－3n ＋1，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝________. 7．(2012江苏南京十二中高三期中考试)如下表定义函数f (x )：x 1 2 3 4 5 f (x ) 5 4 3 1 2对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2,3,4，…，则a 2 012的值是__________．8．(2012课标全国高考)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为__________．9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 13n －12(对于所有n ≥1)，且a 4＝54，则a 1的值是__________．二、解答题10．写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…； (4)3,33,333,3 333，….11.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．12．(2012广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．参考答案一、填空题1．64 解析：a 7＝S 7－S 6＝27－1－(26－1)＝64.2．123 解析：观察各等式的右边，它们分别为1,3,4,7,11，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，故a 10＋b 10＝123.3．1 解析：∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，∴S 1＋S 9＝S 10，整理得S 10－S 9＝a 10＝S 1＝a 1＝1. 4.n 2－n ＋22解析：设每行的第2个数为a i (i ＝2,3,4，…，n )，得a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1.各式相加，得a n ＝a 2＋2＋3＋…＋(n －1)＝n 2－n ＋22.5．7 解析：a 1＝S 1＝21＋1－1＝2， a 3＝S 3－S 2＝8＋3－1－(4＋2－1)＝5， ∴a 1＋a 3＝7.6．161 解析：a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 10＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋a 3)＝(2×102－3×10＋1)－(2×32－3×3＋1)＝161.7．2 解析：a 1＝4，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝2，a 5＝4，…，可得a n ＋4＝a n ， 所以a 2 012＝a 4＝2.8．1 830 解析：∵a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60) ＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×(10＋234)2＝1 830.9．2 解析：∵S n ＝a 1(3n －1)2，∴a n ＝S n －S n －1＝a 12⎝ ⎛⎭⎪⎫3n －13·3n＝13a 1·3n ＝a 1·3n －1(n ≥2)． ∵a 4＝54，∴54＝a 1·33.∴a 1＝2. 二、解答题10．解：(1)各项减去1后为正偶数，所以an ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an ＝2n－12n.(3)偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1，52＋1，62＋1，按照这样的规律第1、2两项可改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以an ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．11．解：(1)由a 1＝1与S n ＝n ＋23a n 可得S 2＝2＋23a 2＝a 1＋a 2，即a 2＝3a 1＝3， S 3＝3＋23a 3＝a 1＋a 2＋a 3，即23a 3＝a 1＋a 2＝4，即a 3＝6. 故所求a 2，a 3的值分别为3,6.(2)当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，①S n －1＝n ＋13a n －1， ②①－②，得S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即n －13a n ＝n ＋13a n －1，a n a n －1＝n ＋1n －1.故有a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n ＋1n －1×n n －2×…×31×1＝n 2＋n2.而12＋12＝1＝a 1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n2.12．解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12， 而T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－12，解得a 1＝1.(2)在T n ＝2S n －n 2中用n －1取代n ，有T n －1＝2S n －1－(n －1)2(n ≥2)，两式相减，可得S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥2)，所以S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减，可得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2(n ≥3)，即a n ＋2＝2(a n －1＋2)，所以数列{a n ＋2}(n ≥2)是一个首项为a 2＋2，公比为2的等比数列．在式子T n ＝2S n －n 2中，令n ＝2，有T 2＝2S 2－22，即a 1＋(a 1＋a 2)＝2(a 1＋a 2)－22，所以a 2＝4，于是a n ＋2＝(a 2＋2)·2n －2＝6·2n －2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1，也满足该式子，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝3·2n －1－2.。

第六章数列第一节数列的概念与简单表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．[基本知识]1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．3．数列的递推公式如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且任何一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n＝f(a n－1)(或a n＝f(a n－1,a n－2)等),那么这个式子叫做数列{a n}的递推公式．4．S n与a n的关系已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n＝⎩⎨⎧S1n＝1S n－S n－1n≥2这个关系式对任意数列均成立．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)若已知数列{a n}的递推公式为a n＋1＝12a n－1,且a2＝1,则可以写出数列{a n}的任何一项．()(4)如果数列{a n}的前n项和为S n,则对∀n∈N*,都有a n＋1＝S n＋1－S n.()答案:(1)×(2)√(3)√(4)×二、填空题1．数列{a n}中,a1＝2,且a n＋1＝12a n－1,则a5的值为________．解析:由a1＝2,a n＋1＝1 2a n－1,得a2＝12a1－1＝1－1＝0,a3＝12a2－1＝0－1＝－1,a4＝12a3－1＝－12－1＝－32,a5＝12a4－1＝－34－1＝－74.答案:－742．数列{a n}定义如下:a1＝1,当n≥2时,a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a2nn为偶数1a n－1n为奇数若a n＝14,则n的值为________．解析:困为a1＝1,所以a2＝1＋a1＝2,a3＝1a2＝12,a4＝1＋a2＝3,a5＝1a4＝13,a6＝1＋a3＝32,a7＝1a6＝23,a8＝1＋a4＝4,a9＝1a8＝14,所以n＝9.答案:93．数列{a n}的通项公式a n＝1n＋n＋1,则10－3是此数列的第________项．解析:a n＝1n＋1＋n＝n＋1－n(n＋1＋n)(n＋1－n)＝n＋1－n,∵10－3＝10－9,∴10－3是该数列的第9项．答案:94．已知S n是数列{a n}的前n项和,且S n＝n2＋1,则数列{a n}的通项公式是____________．答案:a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＝12n－1n≥2[全析考法]考法一利用a n与S n的关系求通项数列{a n}的前n 项和S n与通项a n的关系为a n＝⎩⎨⎧S 1n ＝1S n－Sn －1n ≥2通过纽带:a n ＝S n －S n －1(n ≥2),根据题目已知条件,消掉a n 或S n ,再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解．[例1] (1)(2019·化州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且log 2(S n ＋1)＝n ＋1,则数列{a n }的通项公式为____________．(2)(2019·广州测试)已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,且对任意n ∈N *,均有a n ,S n ,a 2n 成等差数列,则a n ＝____________.[解析] (1)由log 2(S n ＋1)＝n ＋1,得S n ＋1＝2n ＋1,当n ＝1时,a 1＝S 1＝3;当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n ,所以数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12nn ≥2.(2)∵a n ,S n ,a 2n 成等差数列,∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时,2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0,∴a 1＝1.当n ≥2时,2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1, ∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0.∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0, ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0, ∵a n ＋a n －1>0,∴a n －a n －1＝1,∴{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列, ∴a n ＝n (n ∈N *)．[答案](1)a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＝12nn ≥2(2)n[方法技巧]已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1;(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;(3)对n ＝1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．考法二 利用递推关系求通项[例2] (1)在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋3n ＋2,求数列{a n }的通项公式． (2)在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式． (3)在数列{a n }中a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋2,求数列{a n }的通项公式． (4)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,求数列{a n }的通项公式． [解] (1)因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2, 所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2),所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时,a 1＝2＝12×(3×1＋1),符合上式,所以a n ＝32n 2＋n 2.(2)因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2), 所以a n －1＝n －2n －1a n －2,…,a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式,∴a n ＝1n .(3)因为a n ＋1＝3a n ＋2,所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1),所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3,所以数列{a n ＋1}为等比数列,公比q ＝3,又a 1＋1＝2,所以a n ＋1＝2·3n －1,所以a n ＝2·3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝2a na n ＋2,a 1＝1,∴a n ≠0, ∴1a n ＋1＝1a n ＋12,即1a n ＋1－1a n＝12,又a 1＝1,则1a 1＝1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项,12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12,∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． [方法技巧] 典型的递推数列及处理方法递推式方法示例1.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,S n ＝(n ＋1)a n2,则a 2 019＝( )A ．2 018B ．2 019C ．4 036D ．4 038解析:选B 由题意知n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(n ＋1)a n 2－na n －12,化为a n n ＝a n －1n －1, ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1,∴a n ＝n .则a 2 019＝2 019.故选B.2.[考法一]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＝2a n ＋1,则S n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D ．⎝⎛⎭⎫12n －1解析:选B S n ＝2a n ＋1＝2S n ＋1－2S n ⇒3S n ＝2S n ＋1⇒S n ＋1S n＝32,故数列{S n }为等比数列,公比是32,又S 1＝1,所以S n ＝1×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.故选B. 3.[考法二]已知在数列{a n }中,a n ＋1＝nn ＋2a n(n ∈N *),且a 1＝4,则数列{a n }的通项公式a n ＝____________.解析:由a n ＋1＝n n ＋2a n ,得a n ＋1a n ＝n n ＋2,故a 2a 1＝13,a 3a 2＝24,…,a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2),以上式子累乘得,a n a 1＝13·24·…·n －3n －1·n －2n ·n －1n ＋1＝2n (n ＋1).因为a 1＝4,所以a n ＝8n (n ＋1)(n ≥2)．因为a 1＝4满足上式,所以a n ＝8n (n ＋1).答案:8n (n ＋1)4.[考法二]已知数列{a n }满足a 1＝2,a n －a n －1＝n (n ≥2,n ∈N *),则a n ＝____________. 解析:由题意可知,a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2),以上式子累加得,a n －a 1＝2＋3＋…＋n .因为a 1＝2,所以a n ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．因为a 1＝2满足上式, 所以a n ＝n 2＋n ＋22.答案:n 2＋n ＋22突破点二 数列的性质[基本知识]数列的分类 分类标准 类型 满足条件 按项数分类有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M ,使|a n |≤M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n3n ＋1,那么这个数列是________(填递增或递减)．答案:递增2．设a n ＝－3n 2＋15n －18,则数列{a n }中的最大项的值是________． 答案:03．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n,则当a n 取得最大值时,n 等于________． 答案:5或6[全析考法]考法一 数列的单调性[例1] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫23n ,则数列{a n }中的最大项为( )A.89 B ．23C.6481D ．125243[解析] 法一:(作差比较法)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1－n ⎝⎛⎭⎫23n ＝2－n 3·⎝⎛⎭⎫23n , 当n <2时,a n ＋1－a n >0,即a n ＋1>a n ; 当n ＝2时,a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝a n ; 当n >2时,a n ＋1－a n <0,即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. 法二:(作商比较法)a n ＋1a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫23n ＋1n ⎝⎛⎭⎫23n ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n , 令a n ＋1a n >1,解得n <2;令a n ＋1a n ＝1,解得n ＝2;令a n ＋1a n <1,解得n >2.又a n >0,故a 1<a 2＝a 3,a 3>a 4>a 5>…>a n ,所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3,且a 2＝a 3＝2×⎝⎛⎭⎫232＝89.故选A. [答案] A [方法技巧]求数列最大项或最小项的方法(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值,根据f (x )的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法,求出f (x )的最值,进而求出数列的最大(小)项．(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性,利用⎩⎨⎧a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项,利用⎩⎨⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项． (3)比较法:①若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )>0( 或a n >0时,a n ＋1a n>1 ),则a n ＋1>a n ,即数列{a n }是递增数列,所以数列{a n }的最小项为a 1＝f (1);②若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )<0( 或a n >0时,a n ＋1a n<1 ),则a n ＋1<a n ,即数列{a n }是递减数列,所以数列{a n }的最大项为a 1＝f (1)．考法二 数列的周期性数列的周期性与函数的周期性相类似．求解数列的周期问题时,通常是求出数列的前几项观察规律．确定出数列的一个周期,然后再解决相应的问题．[例2] (2019·广西南宁二中、柳州高中联考)已知数列2 008,2 009,1,－2 008,…,若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 018项之和S 2 018＝________.[解析] 由题意可知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2,a 1＝2 008,a 2＝2 009,a 3＝1,a 4＝－2 008,∴a 5＝－2 009,a 6＝－1,a 7＝2 008,a 8＝2 009,…,∴a n ＋6＝a n ,即数列{a n }是以6为周期的数列,又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0,∴S 2 018＝336(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6)＋(a 1＋a 2)＝ 4 017.[答案] 4 017 [方法技巧]周期数列的常见形式与解题方法(1)周期数列的常见形式①利用三角函数的周期性,即所给递推关系中含有三角函数; ②相邻多项之间的递推关系,如后一项是前两项的差;③相邻两项的递推关系,等式中一侧含有分式,又较难变形构造出特殊数列． (2)解决此类题目的一般方法根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n 项的和．[集训冲关]1.[考法二]若数列{a n }中,a 1＝2,a 2＝3,a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2),则a 2 019＝( ) A ．1 B ．－2 C ．3D ．－3解析:选A 因为a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3),所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n－2,所以a n ＋3＝－a n ,所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ,所以{a n }是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3,所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.2.[考法一]已知数列{a n }满足a n ＝n ＋13n －16(n ∈N *),则数列{a n }的最小项是第________项．解析:因为a n ＝n ＋13n －16,所以数列{a n }的最小项必为a n <0,即n ＋13n －16<0,3n －16<0,从而n <163.又n ∈N *,所以当n ＝5时,a n 的值最小． 答案:5[课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *),则a 4的值为( ) A ．31 B ．30 C ．15D ．63解析:选C 由题意,得a 2＝2a 1＋1＝3,a 3＝2a 2＋1＝7,a 4＝2a 3＋1＝15,故选C. 2．已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n,若a 1＝12,则a 2 019＝( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析:选A 由a 1＝12,a n ＋1＝11－a n ,得a 2＝11－a 1＝2,a 3＝11－a 2＝－1,a 4＝11－a 3＝12,a 5＝11－a 4＝2,…,于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列,因此a 2 018＝a 3×672＋3＝a 3＝－1. 3．数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n 2 B ．a n ＝(－1)n ·n 2 C ．a n ＝(－1)n ＋1·n 2D ．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2解析:选B 易知数列－1,4,－9,16,－25,…的一个通项公式为a n ＝(－1)n ·n 2,故选B. 4．在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64,则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 024解析:选C 在各项均为正数的数列{a n }中,对任意m ,n ∈N *,都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64,a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ,若数列{a n }是单调递增数列,则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞,－1]B ．(－∞,2]C ．(－∞,3)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞92 解析:选C 因为数列{a n }是单调递增数列, 所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b >0(n ∈N *), 所以b <2n ＋1(n ∈N *), 所以b <(2n ＋1)min ＝3,即b <3.[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是12,－13,14,－15,则此数列的一个通项公式为( )A.(－1)n ＋1n ＋1B ．(－1)n n ＋1C.(－1)n nD ．(－1)n －1n解析:选A 由于数列的前4项分别是12,－13,14,－15,可得奇数项为正数,偶数项为负数,第n项的绝对值等于⎪⎪⎪⎪1n ＋1,故此数列的一个通项公式为(－1)n ＋1n ＋1.故选A.2．(2019·沈阳模拟)已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *),则a n ＝( ) A ．2n －1 B ．⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．nD ．n 2解析:选C 由a n ＝n (a n ＋1－a n ),得(n ＋1)a n ＝na n ＋1,即a n ＋1n ＋1＝a n n ,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列,即a n n ＝a 11＝1,故a n ＝n .故选C.3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1,则a 3＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－4D ．－8解析:选D ∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2－2n ＋1,∴a 3＝S 3－S 2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…的第100项是( ) A ．10 B ．12 C ．13D ．14解析:选D 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1),由12n (n ＋1)≤100,得n 的最大值为13,易知最后一个13是已知数列的第91项,又已知数列中14共有14项,所以第100项应为14.故选D.5．(2019·兖州质检)已知数列{a n}满足a n＝⎩⎨⎧a n－2n <4(6－a )n －an ≥4若对任意的n ∈N *都有a n <a n＋1成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,4) B ．(2,5) C ．(1,6)D ．(4,6)解析:选A 因为对任意的n ∈N *都有a n <a n ＋1成立,所以数列{a n }是递增数列,因此⎩⎪⎨⎪⎧ 1<a 6－a >0a <(6－a )×4－a 解得1<a <4,故选A.6．(2019·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *),将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n },则b 2 019的末位数字为( )A ．8B ．2C ．3D ．7 解析:选D 由a n ＝5n －1(n ∈N *),可得此数列为4,9,14,19,24,29,34,39,44,49,54,59,64,…,{a n }中的整数项为4,9,49,64,144,169,…,∴数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18,…,末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8,….∵2 019＝4×504＋3,故b 2 019的末位数字为7.故选D.7．(2018·长沙调研)已知数列{a n },则“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:选B 由题意,若“数列{a n }为递增数列”,则a n ＋1>a n >a n －1,但a n ＋1>a n －1不能推出a n ＋1>a n ,如a n ＝1,a n ＋1＝1,{a n }为常数列,则不能推出“数列{a n }为递增数列”,所以“a n ＋1>a n －1”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件．故选B.8．(2019·长春模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝1,{S n ＋na n }为常数列,则a n 等于( )A.13n －1 B ．2n (n ＋1) C.6(n ＋1)(n ＋2) D ．5－2n 3 解析:选B 由题意知,S n ＋na n ＝2,当n ≥2时,(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1,从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1,有a n ＝2n (n ＋1),当n ＝1时上式成立,所以a n ＝2n (n ＋1). 9．(2019·兰州诊断)已知数列{a n },{b n },若b 1＝0,a n ＝1n (n ＋1),当n ≥2时,有b n ＝b n －1＋a n －1,则b 501＝________.解析:由b n ＝b n －1＋a n －1得b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＝a 1,b 3－b 2＝a 2,…,b n －b n －1＝a n －1,所以b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n ,即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1(n －1)×n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n＝n －1n ,又b 1＝0,所以b n ＝n －1n ,所以b 501＝500501. 答案:50050110．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1,且a 1＝13,则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析:∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1,∴两边同除以a n ·a n ＋1,得2(1－a n ＋1)a n ＋1－2(1－a n )a n＝1a n ＋1－1a n ＋1,整理,得1a n ＋1－1a n ＝1,即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项,1为公差的等差数列,∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2,即a n ＝1n ＋2. 答案:1n ＋211．(2019·宝鸡质检)若数列{a n }是正项数列,且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝n 2＋n ,则a 1＋a 22＋…＋a n n ＝________. 解析:由题意得当n ≥2时,a n ＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ,∴a n ＝4n 2.又n ＝1,a 1＝2,∴a 1＝4,∴a n n ＝4n ,∴a 1＋a 22＋…＋a n n ＝12n (4＋4n )＝2n 2＋2n . 答案:2n 2＋2n12．(2019·深圳期中)在数列{a n }中,a 1＝1,a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n2＝a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析:由a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2＝a n (n ∈N *)知,当n ≥2时,a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n －1(n －1)2＝ a n －1,∴a n n 2＝a n －a n －1,即n ＋1n a n ＝n n －1a n －1,∴n ＋1n a n ＝…＝2a 1＝2,∴a n ＝2n n ＋1. 答案:2n n ＋113．(2019·衡阳四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＝4a n ＋3.(1)写出该数列的前4项,并归纳出数列{a n }的通项公式;(2)证明:a n ＋1＋1a n ＋1＝4. 解:(1)a 1＝3,a 2＝15,a 3＝63,a 4＝255.因为a 1＝41－1,a 2＝42－1,a 3＝43－1,a 4＝44－1,…,所以归纳得a n ＝4n －1.(2)证明:因为a n ＋1＝4a n ＋3,所以a n ＋1＋1a n ＋1＝4a n ＋3＋1a n ＋1＝4(a n ＋1)a n ＋1＝4. 14．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值;(2)对于n ∈N *,都有a n ＋1>a n ,求实数k 的取值范围．解:(1)由n 2－5n ＋4<0,解得1<n <4.因为n ∈N *,所以n ＝2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94, 由二次函数性质,得当n ＝2或n ＝3时,a n 有最小值,其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以－k 2<32,解得k >－3. 所以实数k 的取值范围为(－3,＋∞)．15．(2019·武汉调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1,数列{b n }中,b n ＝2a n ＋1,且其前n 项和为T n ,设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)判断数列{c n }的增减性．解:(1)∵a 1＝S 1＝2,a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2),∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)由题意得c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1, ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0, ∴c n ＋1<c n ,∴数列{c n }为递减数列.。

课时作业27 数列的概念与简单表示法一、选择题1．已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的( )．A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项2．(2012湖北100所重点中学10月联考)数列{a n }满足下列条件：a 1＝1，且对于任意的正整数n (n ≥2，n ∈N *)，恒有2a n ＝2n a n －1，则a 100的值为( )．A ．1B ．299C ．2100D ．24 9503．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1 000＝( )．A ．5B ．－5C ．1D ．－14．数列{－2n 2＋29n ＋3}中最大项是( )．A ．107B ．108C ．10813D ．109 5．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝3421，则a 5＝( )． A.32 B.53 C.85 D.1386．一函数y ＝f (x )的图象在给定的下列图象中，并且对任意a n ∈(0,1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )．7．(2012课标全国高考)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )．A ．3 690B ．3 660C ．1 845D ．1 830二、填空题8．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，则数列{a n }的通项公式是__________． 9．已知数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__________．10．把整数对排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,2)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，…，第40个数对是__________．三、解答题11．已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b .12．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R )，不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案一、选择题1．C 解析：前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n ＋1，故令3n ＋1＝27，∴n ＝9.2．D 解析：易得a n a n －1＝2n －1， ∴a 100＝a 100a 99·a 99a 98·…·a 2a 1·a 1＝299·298·…·21·1＝2100（0＋99）2＝24 950.故选D. 3．D 解析：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)可得该数列为1，5，4，－1，－5，－4，1，5，4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.故选D.4．B 解析：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2942＋10818， ∵294＝714且n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 最大，最大值为a 7＝108.故选B.5．C 解析：选C.借助递推关系，由a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85，故选C. 6．A 解析：由a n ＋1＞a n 可知数列{a n }为递增数列，又由a n ＋1＝f (a n )＞a n 可知，当x ∈(0，1)时，y ＝f (x )的图象在直线y ＝x 的上方，故选A.7．D 解析：∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝115－a 1，∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×（10＋234）2＝1 830. 二、填空题8．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2 解析：当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2. ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，－32n －2，n ≥2. 9．a n ＝13n 解析：∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，① ∴a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，② ①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)． ∴a n ＝13n (n ≥2)． 经验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)． 10．(4，9) 解析：看有序数对的后一个数，1，2，3，4，5出现的次数分别是1，2，3，4，5次，所以后一个数为n 的数对必有n 个，解不等式1＋2＋3＋…＋n ≤40(n ∈N *)，得n ≤8，当n ＝8时，共出现36个数对，故第40个数对为(4，9)．三、解答题11．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式．∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. 12．解：(1)∵f (x )≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ＝a 2－4a ＝0⇒a ＝0或a ＝4.又由a ＞0得a ＝4，∴f (x )＝x 2－4x ＋4.∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2且n ∈N *. (2)∵T n ＝13＋－132＋133＋334＋…＋2n －53n ，① ∴13T n ＝132＋－133＋134＋335＋…＋2n －73n ＋2n －53n ＋1.② ①－②得23T n ＝13－232＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋134＋…＋13n －2n －53n ＋1. ∴T n ＝13－n －13n .。