现代控制理论-空间模型
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《现代控制理论》讲稿
《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
或观测的量； – 可以是物理的,也可以是非物理的、没有实际物理量与之
直接相对应的抽象数学变量。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量与输出变量的关系: – 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变
量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化 与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非 系统的全部动态特性。
RiL
L
diL dt
uC
ui
iL
C
duC dt
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.2系统的状态空间模型
2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数。 对本例
x1(t) iL , x2 (t) uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式 的一阶矩阵微分方程组--状态方程。
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论状态空间法
根据系统微分方程建立状态空间表达式.
1.输入项中不含输入导数项的线性系统空间状态 表达式
• 系统描述为:
y (n ) a1 y (n1) an1 y an y u
(1)
讨论:状态如何选择
y(t) C (t)x(t) D(t)u(t)
2)线性时不变系统: x Ax Bu y Cx Du
在通常情况下，大多数还是研究线性时不变 系 统，即线性定常系统，因此本课程的主要研究对 象是线性定常系统。
4.状态空间描述的结构图(或称状态变量图)
• 例:根据上例画出结构图. • 解:先将例子写成下述形式
现代控制理论
第一章 状态空间法
控制系统的状态空间描述
一.问题的引出 1 --古典控制理论的局限性 1、仅适用于SISO的线性定常系统(外部描述，
时不变系统) 2、古典控制理论本质上是复频域的方法.(理论) 3、设计是建立在试探的基础上的.(应用) 4、系统在初始条件为零,或初始松驰条件下,才
能采用传递函数.
定义2.状态变量
状态变量是确定系统状态的最小一组变量,如果以最
少的n个变量 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 可以完全描述系
统的行为 (即当t≥ 时输入和
t0
在t= t0初始状态给定后,系统的状态完全可以确定),那 么
x1 (t ), x2 (t ), 是一, xn组(t )状态变量.
(2)状态变量选取不唯一,有时选取状态变量仅为数 学描述所需,而非明确的物理意义。
(3)状态变量是系统的内部变量,一般情况下输出是 状态的函数,但输出总是希望可量测的。
(4)仅讨论有限个状态变量的系统。 (5)有限个数的状态变量的集合,称为状态向量。 (6)状态向量的取值空间称为状态空间。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2024/6/22
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2024/6/22
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
现代控制理论的概念、方法
统安全监测等方面。
THANKS FOR WATCHING和优化控制，注重系统的全局性、 最优性和鲁棒性。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论为工业自动化提供了理论基础和技 术支持，提高了生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理论的应用对于飞 行器的稳定性和安全性至关重要。
能源与环境
在能源和环境领域，现代控制理论有助于实现能 源的高效利用和环境的可持续发展。
VS
详细描述
线性二次型最优控制基于最优控制理论， 通过最小化系统状态和控制输入的二次型 代价函数来寻找最优的控制策略。这种方 法能够有效地优化系统的性能，提高系统 的稳定性和动态响应能力。
预测控制
总结词
预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的 控制方法。
详细描述
预测控制通过建立系统的预测模型，对未来 的系统行为进行预测，并滚动优化控制策略 以减小预测误差。这种方法具有较好的鲁棒 性和适应性，广泛应用于工业过程控制和智 能控制等领域。
现代控制理论的历史与发展
历史
现代控制理论起源于20世纪50年代，随着计算机技术和数学理论的不断发展而 逐步完善。
发展
现代控制理论的发展涉及多个学科领域，如线性系统理论、最优控制、鲁棒控 制、自适应控制等，为复杂系统的控制提供了更广泛和深入的理论基础。
02 现代控制理论的基本概念
系统建模
总结词
系统建模是现代控制理论的基础，它通过数学模型描述系统的动态行为。
详细描述
性能指标是用来评估控制系统性能的关键因素，包括稳定性、准确性、快速性和鲁棒性 等。稳定性表示系统在受到扰动后恢复平衡的能力；准确性表示系统输出与理想输出之 间的误差大小；快速性表示系统达到稳定状态所需的时间；鲁棒性表示系统在存在不确
THANKS FOR WATCHING和优化控制，注重系统的全局性、 最优性和鲁棒性。
现代控制理论的重要性
工业自动化
现代控制理论为工业自动化提供了理论基础和技 术支持，提高了生产效率和产品质量。
航天与航空
在航天和航空领域，现代控制理论的应用对于飞 行器的稳定性和安全性至关重要。
能源与环境
在能源和环境领域，现代控制理论有助于实现能 源的高效利用和环境的可持续发展。
VS
详细描述
线性二次型最优控制基于最优控制理论， 通过最小化系统状态和控制输入的二次型 代价函数来寻找最优的控制策略。这种方 法能够有效地优化系统的性能，提高系统 的稳定性和动态响应能力。
预测控制
总结词
预测控制是一种基于模型预测和滚动优化的 控制方法。
详细描述
预测控制通过建立系统的预测模型，对未来 的系统行为进行预测，并滚动优化控制策略 以减小预测误差。这种方法具有较好的鲁棒 性和适应性，广泛应用于工业过程控制和智 能控制等领域。
现代控制理论的历史与发展
历史
现代控制理论起源于20世纪50年代，随着计算机技术和数学理论的不断发展而 逐步完善。
发展
现代控制理论的发展涉及多个学科领域，如线性系统理论、最优控制、鲁棒控 制、自适应控制等，为复杂系统的控制提供了更广泛和深入的理论基础。
02 现代控制理论的基本概念
系统建模
总结词
系统建模是现代控制理论的基础，它通过数学模型描述系统的动态行为。
详细描述
性能指标是用来评估控制系统性能的关键因素，包括稳定性、准确性、快速性和鲁棒性 等。稳定性表示系统在受到扰动后恢复平衡的能力；准确性表示系统输出与理想输出之 间的误差大小；快速性表示系统达到稳定状态所需的时间；鲁棒性表示系统在存在不确
第二章现代控制理论状态空间表达式
diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念
现代控制理论-第二章 控制系统的状态空间描述
12 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
DgXu
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
13 中南大C diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt duC diL L uC C R2 u dt dt
y(s) [C(sI A) B D]U (s)
1
1
得
9
G(s) C (sI A) B D
命题得证
中南大学信息学院自动化系
1
DgXu
例2.1.3
已知系统的状态空间描述为
x1 0 1 0 x1 0 x 0 1 1 x 1 u 2 2 x3 0 0 3 x3 1
28 中南大学信息学院自动化系
DgXu
故有(n-1) 个状态方程：
对xl求导数且考虑式 (2.3.12)，经整理有：
则式 (2.3.12) bn=0 时的动态方程为：
(2.3.16)
式中：
29 中南大学信息学院自动化系
DgXu
30 中南大学信息学院自动化系
DgXu
3)
化输入-输出描述为状态空间描述
11 中南大学信息学院自动化系
DgXu
2.3. 线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方 程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态 空间表达式； 二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达 式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用 的数学模型，故我们将介绍已知 n 阶系统微分方程或传递函 数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究 理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。
现代控制理论 第1章 状态空间描述
得动态方程组 1 x2 x k b 1 x 2 y y u y m m m k b 1 x1 x2 u m m m y x 1
问题：到底有 何区别？
13
状态空间表达式为
1 0 x k x 2 m
如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数
5
基本概念
状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示
假设：causal system ——现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。
输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程ODE)称为状态方程，一般形式 为：
1896192019872006状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式化输入化输入输出方程为状态空间表达式输出方程为状态空间表达式系统的线性变换对角线标准型和约当标准型系统的线性变换对角线标准型和约当标准型由状态空间表达式导出传递函数阵由状态空间表达式导出传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式时变系统的状态空间表达式从系统黑箱的输入输出因果关系中获悉系统特性传递函数描述属系统的外部描述系统的内部描述白箱系统完整地表征了系统的动力学特征状态空间表达式属系统的内部描述状态变量
x1 f1 ( x1 , x2 f 2 ( x1 , xn f n ( x1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , xn , u1 , , um , t ) , um , t ) , um , t )
标量形式，繁琐!
6
矢量形式
《现代控制理论》课后习题答案
=
3 2
， c2
=
2s + 5 lim s→−3 s + 1
=
1 2
。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1，由此可得:
⎡ x1
⎢ ⎣
x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
0⎤ − 3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
y
=
⎡ ⎢⎣
3 2
1 2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
m
dt
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
dt
b0
m
−∫
−∫
y −∫
a0
a1
a2
进一步简化，可得系统状态变量图为 u
b0
b1
b2
− ∫ x1
− ∫ x2
− ∫ x3 y
a0
a1
a2
3
取 y = x3 ， y = x2 ， y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
a(s)
1 a(s)
=
s3
+
1 a2s2 +
a1s
+
a0
， b(s)
=
b2 s 2
+ b1s
+ b0
。
2
由于 s−3 y 相当于对 y 作 3 次积分，故 y = 1 可用如下的状态变量图表示： m a(s)
现代控制理论1控制系统的状态空间模型3
back
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
现代控制理论--2控制系统的状态空间模型
方程)
4. 非线性定常系统:
X (t ) f X (t ) u(t ) Y (t ) g X (t ) u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
x1
y
x2 y
令
xn
1
yn2
xn
y n 1
x1 x2
x2
x3
xn1
xn
xn
yn
a1 yn1
=-an x1 an1x2
an1 y a1xn bu
an y
bu
0
K F(t)
y(t)
f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：列基本方程：
d2y
dy
m dt 2 f dt ky u t
选择状态变量：取：
x1 (t) y(t)
故得：
x2(t) y(t)
x1(t) x2 (t)
x2 (t)
k m
x1
f m
x2
1 m
u
y(t) x1
将以上方程组写矩阵形式
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
dt
x2 1 Y(t)
1
Cm
J
+ x3 +
4. 非线性定常系统:
X (t ) f X (t ) u(t ) Y (t ) g X (t ) u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t y(t) g x(t), u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
x1
y
x2 y
令
xn
1
yn2
xn
y n 1
x1 x2
x2
x3
xn1
xn
xn
yn
a1 yn1
=-an x1 an1x2
an1 y a1xn bu
an y
bu
0
K F(t)
y(t)
f
弹簧-质量-阻尼器系统
解：列基本方程：
d2y
dy
m dt 2 f dt ky u t
选择状态变量：取：
x1 (t) y(t)
故得：
x2(t) y(t)
x1(t) x2 (t)
x2 (t)
k m
x1
f m
x2
1 m
u
y(t) x1
将以上方程组写矩阵形式
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
dt
x2 1 Y(t)
1
Cm
J
+ x3 +
现代控制理论_制系统的状态空间表达式
i
uc 1
1 C
i
0
0 1
C
uc
i
1 0
P 0
1 C
P：非奇异矩阵
单输入单输出定常线性系统
其状态变量为[x1, x2 , , xn ]，则一般形式的状态 空间描述写作：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b1u x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b2u xn an1x1 an2 x2 ann xn bnu
电机
从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特征，并已建 立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
➢现代控制理论描述系统数学模型的方法： 内部描述：一阶微分方程（时域）
利用状态分析法，对系统进 行一系列特性分析，来设计状态 反馈和输出反馈。
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处： ➢ 系统模型为单输入单输出系统； ➢ 忽略初始条件的影响； ➢ 不包含系统的所有内部信息； ➢ 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
A, B, C
大写细体字母——拉氏变换符号、系统符号
U (s), R(s), Y (s), S1, S2
作业 预习
常用符号：
积分器
比例器 ki
加法器
注：有几个状态变量，就建几个积分器
注:负反馈时为－
D
u
x x
y
B
C
A
状态空间描述的模拟结构图绘制步骤：
⑴画出所有积分器； • 积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。
⑵根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和 比例器；
现代控制理论全套课件
Modern Control Theory
L01
绪论
绪论
控制理论的发展历程
经典控制理论
形成和发展
在20世纪30-40年代，初步形成。 在20世纪40年代形成体系。 频率理论 根轨迹法
以SISO线性定常系统为研究对象。 以拉氏变换为工具，以传递函数为基础在频率域中分析 与设计。 经典控制理论的局限性
1970——1980 大系统理论 控制管理综合 1980——1990 智能控制理论 智能自动化 1990——21c 集成控制理论 网络控制自动化 专家系统，模糊控制，人工智能 神经网络，人脑模型，遗传算法
Soft computing
控制理论与计算机技术相结合→计算机控制技术
Modern Control Theory
Modern Control Theory
L01
绪论
网络交流
注册方法： 向以下邮件地址发邮件，会得到一封自动回复的 邮件，按邮件提示，进行简单填写，提交，然后 等候批准。获得批准后即可加入社区，参加社区 活动。
ModernControlTheory-subscribe@
定义
所谓自动化是指机器或装置在无人干预的情况下按规定 的程序或指令自动的进行操作或运行。广义地讲，自动 化还包括模拟或再现人的智能活动。
Definition
The art of making processes or machines self-acting or self-moving. Also pertains to the technique of making a device, machine, process or procedure more fully automatic.
现代控制理论习题之状态空间模型
（1）
R1
ui
C1 uc1
R2
i1 u
C 2 i2 u o
c2
题 1-1 图 1
(2）
R
ui
iL
L
C uc
uo
题 1-1 图 2
【解】 ： (1) 设状态变量: x1 = u c1 、 x 2 = u c 2 而
i1 = C1 u c1 、 i 2 = C 2 u c 2
• •
根据基尔霍夫定律得：
u i = [C1 u c1 + (
c s+a
1 s
Y1 ( s )
U 2 (s)
d s+b
f s+e
Y2 ( s )
g
题 1-3 图 2
【解】 ： (1) 如题 1-3 图 3 设状态变量
3
U ( s)
K1 T1
6 x
x6
1 T1
K2 T2
4 x
1 T2
x4
K3
2 x
x2
1 T4
1 x 1 T4
x1
Y ( s)
x3
3 x
（4）传递函数为：
G(s) = −3s + 1 −3s + 1 = 4 2 2 3 s + 3s + 2 s + 0 s + 3s + 0 s + 2
4
状态空间表达式为：
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x + ⎢0 ⎥ u =⎢ x ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 0 − 3 0⎦ ⎣1⎦ y = [1 − 3 0 0]x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
现代控制理论
5.1.2 输出反馈
设线性定常系统为
Ax Bu x y Cx Du
其输入u ，状态变量 x，输出量y 的维数分别是r，n，m 状态反馈控制律 u Fv Hy
F输入变换阵
D
H输出反馈阵
+ +
v
+
F
u
B
+ +
∫
A
x
C
y
H
u Fv Hy Fv H (Cx Du )
0 0 0 s 3 18s 2 72s det(sI A) 1 s 6 0 1 s 12 0
a 0= 0，a1= 72，a2=18
5.2.1状态反馈极点配置
计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
3 2 f ( s) ( s * ) ( s 2 )( s 1 j )( s 1 j ) s 4 s 6s 4 i * i 1 3
性能指标的类型
性能指标实质上是对所要综合的控制系统在运动过程行为 上的一种规定。
非优化型性能指标 (不等式型) 优化性型能指标 (极值型)
（1）镇定问题 （2）极点配置 （3）解耦控制 （4）跟踪问题
J (u()) ( x T Qx uT Ru)dt
0
5.1 反馈控制系统的基本结构
0 1 0 0 0 0 1 0 A bc K 0 0 0 0 1 (an 1 kn 1 ) (a0 k0 ) (a1 k1 )
sI ( Ac bc K ) s n ( an 1 kn 1 ) s n 1 ( a1 k1 ) s ( a0 k0 )
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
现代控制理论基础 第2章 控制系统的状态空间描述
【例3】建立图2－1所示RLC电路的状态方程。
取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量， 根据电路原理有
C duc (t) i(t) dt
di(t) L dt Ri(t) uc (t) u(t)
将上式中状态变量的一阶导数放在方程左边，其余项 移至方程右边，整理得一阶微分方程组为
状态空间法具备如下优点： （1）在数字计算机上求解一阶微分方程组或者差分方程
组，比求解与它相当的高阶微分方程或差分方程要容易。
（2）状态空间法引入了向量矩阵，大大简化了一阶微分方 程组的数学表示法。
（3）在控制系统的分析中，系统的初始条件对经典法感 到困难的问题，采用状态空间法就迎刃而解了。
（4）状态空间法能同时给出系统的全部独立变量的响应， 不但反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统 内部的结构特性，既适用单输入单输出系统又适用多输 入多输出系统。
x = A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t)u
式中，各个系数矩阵分别为
（2－8）
a11 (t)
A(t)
an1 (t)
c11 (t)
C
(t)
cm1 (t)
a1n (t)
b11 (t)
,
B(t)
ann (t)
bn1 (t)
c1n (t)
d11 (t)
,
D(t)
cmn (t)
述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应， 显然这种描述回避了表征系统内部的动态过程 即把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部 结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映 了输出变量与输入变量间的动态因果关系。
考察图2－1所示的n级RC网络。图中虚线框内 为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
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I P 1 AP I A
A X BU
' ' '
而
Y C X CPX ' C 'T X '
T
T
电气工程学院
I P 1 AP P 1P P 1 AP
P 1P P 1 AP
P 1 I AP
P 1 I A P P 1 P I A
（2）、需要说明的问题
u B
X
A
X
CT
y
[1]、状态方程加输出方程 称状态空间表达式 [2]、输入和输出无直接关联的 系统称惯性系统。 输入和输出有直接关联的 系统称非惯性系统 此时输出方程为
Y C T X DU ，
。 D 称直接传递矩阵
对MIMO系统
u p1
n阶 系统
yq1
状态空间表达式为
电气工程学院
2、内部模型（状态方程）
R L
Ui
例：求系统的状态空间表达式 .. . LC U o + RC U o + U o = U i 设回路电流为 i di R i 1 U o 1 U i di L L L dt 有 Ri L U o U i； dU 1 dt o i dUo dt C , iC dt 写成；左边为状态变量的一阶微 选取； U o、i 作为状态变量列写一阶 分， 右边为状态变量和输入变 微分方程组得 量的线性组合。
y 1
0
0
x1 x 0 2 x3 x4
end
例如 传递函数
状态空间表达式
4、内部模型和外部模型之间的关系； 内部模型包含了外部模型的全部信息，对系统地描述是 完全的。
电气工程学院
状态与状态变量 1、状态 状态是系统理论中的一个专门术语，表达一个抽象但又基本 的概念。 2、状态变量 描述自控系统，指某给定时刻要想完全描述系统的运动所需要 的最少物理信息，状态变量和该给定时刻开始的任意输入一起就足 以完全确定今后该系统在任意时刻的性状。
X AX BU Y CT X
D
U
B
X
A
X
C
T
Y
U
B
X
A
X
CT
Y
电气工程学院
对于线性定常SISO离散系统
X k 1 GX k Hu k y k CX k Du k
D
u (k )
x(k 1)
H
z
1
x(k )
则有
XP
'
X PX ' ，或 X ' P 1 X 。
1
X P 1 [ AX BU ]
可得, X ' A' X ' B'U , Y C 'T X ' sys2
P 1 APX ' P 1 BU
其特征方程为，I P 1 AP 0
结论：sys1和sys2的特征 方程形式不同，但相等。
（1）、状态空间表达式是时域上一组一阶微分方程和输出方程。
（2）、通过上例可见，状态方程既包含输出又包含系统的内部状态，为系统 的完全描述。 （3）、要完全描述一个系统，需要确立一组状态变量，其个数等于系统的阶数， 即系统中所包含的独立储能元件的个数。一个n阶系统应确立n个状态变量。
Example 9-2
求总系统的状态空间表达式 答案
X A X 1 1 T X B2C1 2
T B1C2 B1 X U A2 0
C Y Y1 C1T X 1 1T
0X
列写一般步骤
1、选状态 2、列写方程 3、整理 状态方程和输出方程
设 X AX BU 、 Y C X
T
2、关于特征值的唯一性
设 X AX BU 、 Y C T X sys1
选择非奇异矩阵
P ,有 P 0
其特征方程为，I A 0
选择非奇异矩阵 P ,有 P 0
存在线性非奇异变换
存在线性非奇异变换 注意：P不唯一
X PX '，或 X ' P 1 X 。
电气工程学院
0 x1 x 0 2 x3 0 x4 0
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 0 x1 1 0 x2 M u 1 x3 0 x 1 0 4 Ml
完全描述刚体或质点在平面上的运动需要多少物理变量[状态变量]?
电气工程学院
数学模型的建立
R L
1、外部模型（传函）
Uo 例；求传递函数 Ui
Ui
i
C
Uo
解；很显然，
.. . LC U o + RC U o + U o = U i
1 U0
在得到上述结果时，隐含了中间变量，回路电流 i。 若要把回路电流考虑在内则模型将变成
状态方程
输出方程
y (t ) C T X (t ),
X o X (t0 )
状态初始条件
其中， X 、 为 n 1维的列向量， A 为 n n 的状态系数矩阵， 1维的列向量， X
Bn1输入对状态作用的控制 矩阵，
u 输入量， y 输出量。
C1 n的输出矩阵，
电气工程学院
结构框图
i
C
Uo
电气工程学院
考虑U o ，既是输出又是状态，
di R i 1 U o 1 U i L L L dt dU 1 o i dt C
将其写成矩阵表达式的形式为
R 1 i L L i 1 U o 0 U o C
2、求解状态方程，很容易考虑其初始条件，可得到系统的全解。
3、 完全描述一个系统所需的状态变量个数是由系统的阶数确定 的。但状态变量的选取是不唯一的，实践中经常选择一些能 够很容易测量的量作为系统的状态变量。
状态变量的不唯一性
电气工程学院
状态变量的不唯一性，关于特征值的唯一性 1、关于状态变量的不唯一性
C
y (k )
G
见p.465 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
电气工程学院
状态空间表达式的特点 1、 任何系统，无论子系统；总系统；开环；闭环系统; SISO;MIMO;线性；非线性系统；时变，时不变系统； 动态方程都可以写成
X = AX + BU Y = CT X
·
例：
强调；现代控制论内容的叙述主要针对以上标准的数学模型，研 究带有普遍性的规律，一般不涉及具体的对象。
x
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
d2 m dt 2 ( x l sin ) l cos mgl sin 2 2 x 即: cos l cos l sin cos g sin sin 0, cos 1, 很小时，忽略 2 项
电气工程学院
example 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M 的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考 坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。
x u
l
m
M
电气工程学院
摆心瞬时位置为 ( x l sin ) 在水平方向，由牛顿第二定律 d 2x d2 M 2 m 2 ( x l sin ) u dt dt ( M m) ml cos ml 2 sin u x 即： 设小车瞬时位置为
电气工程学院
R 1 i L L i 1 U o 0 U o C
1 L U i 0
状态方程
Ui
R L
i Uo 0 1 Uo
i
C
Uo
输出方程
状态空间表达式是现代控制论中的数学模型
作业：P.534 9-1
电气工程学院
状态空间表达式的一般形式
x (1)、一个n阶系统，可选 n个状态变量， 1 , x2 , xn T n 维 状态向量； X x1 x 2 … x n 组成一个
对SISO系统
用列向量表示
u
n阶 系统
y
状态空间表达式的一般形式为
X (t ) AX (t ) Bu (t )
可以写成
U o 1 U o 0 i；
上式可改写成下面的矩阵表述形式
1 L U i 0
i Uo 0 1 Uo
称输出方程 可见，输出是状态 的线性组合
称状态方程
定义 同时，系统有输入，有输出， 考虑系统的输出 状态方程和输出方程 称系统的状态空间表达式
I A
复习线性代数有关特征值特征向量的有关内容
作业：p.536；9-8
电气工程学院
例、如图；由两个子系统构成的负反馈系统；
U U1 Y2 S1 S2 Y1 Y U2
S1 :
X 1 A1 X 1 B1U1、 2 ：X 2 AT X 2 B 2 U 2 S2 T Y1 C1 X 1、 Y2 C2 X 2
电气工程学院
Secion 1 控制系统的数学模型→ 状态空间法的基本概念→ 数学模型的建立→ 状态空间表达式的一般形式→ 状态空间表达式的特点→ 状态变量的不唯一性 和 特征值的唯一性→
A X BU
' ' '
而
Y C X CPX ' C 'T X '
T
T
电气工程学院
I P 1 AP P 1P P 1 AP
P 1P P 1 AP
P 1 I AP
P 1 I A P P 1 P I A
（2）、需要说明的问题
u B
X
A
X
CT
y
[1]、状态方程加输出方程 称状态空间表达式 [2]、输入和输出无直接关联的 系统称惯性系统。 输入和输出有直接关联的 系统称非惯性系统 此时输出方程为
Y C T X DU ，
。 D 称直接传递矩阵
对MIMO系统
u p1
n阶 系统
yq1
状态空间表达式为
电气工程学院
2、内部模型（状态方程）
R L
Ui
例：求系统的状态空间表达式 .. . LC U o + RC U o + U o = U i 设回路电流为 i di R i 1 U o 1 U i di L L L dt 有 Ri L U o U i； dU 1 dt o i dUo dt C , iC dt 写成；左边为状态变量的一阶微 选取； U o、i 作为状态变量列写一阶 分， 右边为状态变量和输入变 微分方程组得 量的线性组合。
y 1
0
0
x1 x 0 2 x3 x4
end
例如 传递函数
状态空间表达式
4、内部模型和外部模型之间的关系； 内部模型包含了外部模型的全部信息，对系统地描述是 完全的。
电气工程学院
状态与状态变量 1、状态 状态是系统理论中的一个专门术语，表达一个抽象但又基本 的概念。 2、状态变量 描述自控系统，指某给定时刻要想完全描述系统的运动所需要 的最少物理信息，状态变量和该给定时刻开始的任意输入一起就足 以完全确定今后该系统在任意时刻的性状。
X AX BU Y CT X
D
U
B
X
A
X
C
T
Y
U
B
X
A
X
CT
Y
电气工程学院
对于线性定常SISO离散系统
X k 1 GX k Hu k y k CX k Du k
D
u (k )
x(k 1)
H
z
1
x(k )
则有
XP
'
X PX ' ，或 X ' P 1 X 。
1
X P 1 [ AX BU ]
可得, X ' A' X ' B'U , Y C 'T X ' sys2
P 1 APX ' P 1 BU
其特征方程为，I P 1 AP 0
结论：sys1和sys2的特征 方程形式不同，但相等。
（1）、状态空间表达式是时域上一组一阶微分方程和输出方程。
（2）、通过上例可见，状态方程既包含输出又包含系统的内部状态，为系统 的完全描述。 （3）、要完全描述一个系统，需要确立一组状态变量，其个数等于系统的阶数， 即系统中所包含的独立储能元件的个数。一个n阶系统应确立n个状态变量。
Example 9-2
求总系统的状态空间表达式 答案
X A X 1 1 T X B2C1 2
T B1C2 B1 X U A2 0
C Y Y1 C1T X 1 1T
0X
列写一般步骤
1、选状态 2、列写方程 3、整理 状态方程和输出方程
设 X AX BU 、 Y C X
T
2、关于特征值的唯一性
设 X AX BU 、 Y C T X sys1
选择非奇异矩阵
P ,有 P 0
其特征方程为，I A 0
选择非奇异矩阵 P ,有 P 0
存在线性非奇异变换
存在线性非奇异变换 注意：P不唯一
X PX '，或 X ' P 1 X 。
电气工程学院
0 x1 x 0 2 x3 0 x4 0
1 0 0 0
0 mg M 0
( M m) g Ml
0 0 x1 1 0 x2 M u 1 x3 0 x 1 0 4 Ml
完全描述刚体或质点在平面上的运动需要多少物理变量[状态变量]?
电气工程学院
数学模型的建立
R L
1、外部模型（传函）
Uo 例；求传递函数 Ui
Ui
i
C
Uo
解；很显然，
.. . LC U o + RC U o + U o = U i
1 U0
在得到上述结果时，隐含了中间变量，回路电流 i。 若要把回路电流考虑在内则模型将变成
状态方程
输出方程
y (t ) C T X (t ),
X o X (t0 )
状态初始条件
其中， X 、 为 n 1维的列向量， A 为 n n 的状态系数矩阵， 1维的列向量， X
Bn1输入对状态作用的控制 矩阵，
u 输入量， y 输出量。
C1 n的输出矩阵，
电气工程学院
结构框图
i
C
Uo
电气工程学院
考虑U o ，既是输出又是状态，
di R i 1 U o 1 U i L L L dt dU 1 o i dt C
将其写成矩阵表达式的形式为
R 1 i L L i 1 U o 0 U o C
2、求解状态方程，很容易考虑其初始条件，可得到系统的全解。
3、 完全描述一个系统所需的状态变量个数是由系统的阶数确定 的。但状态变量的选取是不唯一的，实践中经常选择一些能 够很容易测量的量作为系统的状态变量。
状态变量的不唯一性
电气工程学院
状态变量的不唯一性，关于特征值的唯一性 1、关于状态变量的不唯一性
C
y (k )
G
见p.465 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
电气工程学院
状态空间表达式的特点 1、 任何系统，无论子系统；总系统；开环；闭环系统; SISO;MIMO;线性；非线性系统；时变，时不变系统； 动态方程都可以写成
X = AX + BU Y = CT X
·
例：
强调；现代控制论内容的叙述主要针对以上标准的数学模型，研 究带有普遍性的规律，一般不涉及具体的对象。
x
在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡
d2 m dt 2 ( x l sin ) l cos mgl sin 2 2 x 即: cos l cos l sin cos g sin sin 0, cos 1, 很小时，忽略 2 项
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example 一长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为M 的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力u，相对参考 坐标系产生位移x。要求建立该系统的状态空间表达式。
x u
l
m
M
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摆心瞬时位置为 ( x l sin ) 在水平方向，由牛顿第二定律 d 2x d2 M 2 m 2 ( x l sin ) u dt dt ( M m) ml cos ml 2 sin u x 即： 设小车瞬时位置为
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R 1 i L L i 1 U o 0 U o C
1 L U i 0
状态方程
Ui
R L
i Uo 0 1 Uo
i
C
Uo
输出方程
状态空间表达式是现代控制论中的数学模型
作业：P.534 9-1
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状态空间表达式的一般形式
x (1)、一个n阶系统，可选 n个状态变量， 1 , x2 , xn T n 维 状态向量； X x1 x 2 … x n 组成一个
对SISO系统
用列向量表示
u
n阶 系统
y
状态空间表达式的一般形式为
X (t ) AX (t ) Bu (t )
可以写成
U o 1 U o 0 i；
上式可改写成下面的矩阵表述形式
1 L U i 0
i Uo 0 1 Uo
称输出方程 可见，输出是状态 的线性组合
称状态方程
定义 同时，系统有输入，有输出， 考虑系统的输出 状态方程和输出方程 称系统的状态空间表达式
I A
复习线性代数有关特征值特征向量的有关内容
作业：p.536；9-8
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例、如图；由两个子系统构成的负反馈系统；
U U1 Y2 S1 S2 Y1 Y U2
S1 :
X 1 A1 X 1 B1U1、 2 ：X 2 AT X 2 B 2 U 2 S2 T Y1 C1 X 1、 Y2 C2 X 2
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Secion 1 控制系统的数学模型→ 状态空间法的基本概念→ 数学模型的建立→ 状态空间表达式的一般形式→ 状态空间表达式的特点→ 状态变量的不唯一性 和 特征值的唯一性→