江苏省苏州市2018届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中，有且合 题目要畚考公式：样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p ：办I 砒+ llX ，则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳，h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆，評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|；宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题：本大题共12小题，毎小题5〕 分，共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列｛an ｝的公比a>1,血，则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图，若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中，/恥C 权」，AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上，其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜： (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心，则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B)： tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ］町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中，尙=1,如 厂％ = 2门丨，则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7，12)在双曲线 产 3上，另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形，AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点，则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题：本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中，角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值；[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查， 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述，求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图，在三棱柱.A 尅匚 "Q 中，CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形，M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证：CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄，求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时，求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ，讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0，焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土：:(I) 求椭圆E 的方程；(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点，当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时，求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，AB 是圆0的直径，以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证：QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时，求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程；(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点，当a 变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=；『；：纂釧有解，求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2，…，6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为： a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能，其中甲、乙至少有1人的情形有9种，93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题： (13) 20 三、 解答题： (17)解：DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I)： B =(0,亍)，••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ，根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC ， •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理，B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解：, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时，f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ，f (i) =-^，曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时，f (x) v 0,当x € (a , 2)时，f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减，在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时，f (x) v 0,当x € (2 , a)时，f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减，在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解：(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时，直线I 方程为y =— x + 3, 此时，x1 + x2 = 4，圆心为(2 , 1)，半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理，当 m=— 3时，直线I 方程为y = — x — 3，圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解：(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心，••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径，• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径，•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线，• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意，直线 0C 斜率为1，由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程，得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为（一_， y1 + y2 2 ），半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1， 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ，得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时，|AB|取最小值2 .…10分 (24)解：—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图，函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4，x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知，f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。

2018届江苏高考数学模拟试卷（1）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{02},{11}A x x B x x =<<=-<<，则A B U = ▲ ．2. 设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．一组数据5，4，6，5，3，7的方差等于 ▲ ．4.右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．5.某校有B A ,两个学生食堂，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则此三人不在同一食堂用餐的概率为 ▲ ．6. 长方体1111ABCD A B C D -中，111,2,3AB AA AC ===，则它的体积等于 ▲ ．7．若双曲线2213x y a -=的焦距等于4，则它的两准线之间的距离等于 ▲ ．8. 若函数()22xx af x =+是偶函数，则实数a 等于 ▲ ．9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f (π3)＝0，f (π2)＝2，则实数ω的最小值为 ▲ ．S ←0 a ←1 For I From 1 to 3a ←2×a S ←S ＋a End For Print S （第4题）10. 如图，在梯形ABCD 中，,2,234,//CD AD AB CD AB ====，，如果 ⋅-=⋅则,3= ▲ .11.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .12．若数列12{}(21)(21)n n n +--的前k 项的和不小于20172018，则k 的最小值为 ▲ ．13. 已知24παπ<<，24πβπ<<，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+，则tan()αβ+的最大值为▲ ．14. 设,0a b >，关于x 的不等式3232x xx xa N Mb ⋅-<<⋅+在区间（0，1）上恒成立，其中M , N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1. 则ab的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，已知7,45AC B =∠=o，D 是边AB 上的一点，3,120AD ADC =∠=o . 求：（1）CD 的长； （2）ABC ∆的面积.16.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AB ，SC 的中点. （1）求证：EF ∥平面SAD ； A D CB（2）若SA=AD ，平面SAD ⊥平面SCD ，求证：EF ⊥AB .17.如图，有一椭圆形花坛，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点. 现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE =OF ，沿CE 、CF 、F A 铺设管道，设θ=∠CFO ，若OA =20m ，OC =10m ， （1）求管道长度u 关于角θ的函数；（2）求管道长度u 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:C x y r +=和直线:l x a =（其中r 和a 均为常数，且0r a <<），M 为l 上一动点，1A ，2A 为圆C 与x 轴的两个交点，直线1MA ，2MA 与圆C 的另一个交点分别为,P Q .（1）若2r =，M 点的坐标为(4,2)，求直线PQ 方程； （2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标.19.设R k ∈，函数2()ln 1f x x x kx =+--，求： （1）1=k 时，不等式()1f x >-的解集； （2）函数()x f 的单调递增区间；（3）函数()x f 在定义域内的零点个数.20.设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知06,12321=+-=b b b b ，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （3）求所有满足：11n n n na b b a ++=+对一切的*N n ∈成立的数列{}n a ，{}n b .数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，在△ABC 中，90BAC ∠=，延长BA 到D ，使得AD =12AB ，E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求证：DF =BE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换（其中0≠m ），得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知圆C的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩， ， （θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩， ， （t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线lα的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A A 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的 中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π. 如果存在，试确定点P 的位置；如果不存在，请说明理由.（第21—A 题）BECFDA123．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n f θθθ=+，其中n 为常数，n ∈*N ， （1）当(0,)2πθ∈时， ()f θ是否存在极值？如果存在，是极大值还是极小值？（2）若sin cos a θθ+=，其中常数a 为区间[内的有理数． 求证：对任意的正整数n ，()f θ为有理数．2018高考数学模拟试卷（1）数学Ⅰ答案一、填空题答案：1. {12}x x -<<2. 5 3．53 4． 14 5． 43 6.4 7． 1 8. 1 9． 3 10．2311. 111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃.12． 10解：因为对任意的正整数n ，都有1212)12)(12(211--=--++n n n n n 1-1， 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+)12)(12(21n n n的前k 项和为 1)1)(2(221)1)(2(221)1)(2(221322211--++--+--+k kk12112112112112112113221---++---+---=+k k 12111--=+k 使2018201712111≥--+k ，即2018121≥-+k ，解得10≥k ，因此k 的最小值为10.13. -4解：因为24ππ<<βα,，所以βαβαsin sin cos cos ,,,均不为0.由βαβαβαcos cos )sin(sin sin 22+=，得βαβαβαβαsin cos cos sin tan tan sin sin +=，于是αββαtan 1tan 1tan tan +=，即βαβαβαtan tan tan tan tan tan +=， 也就是βαβα22tan tan tan tan =+，其中βαtan tan ,均大于1. 由βαβαβαtan tan 2tan tan tan tan22⋅≥+=⋅，所以34tan tan ≥βα.令()341tan tan 1-,--∞∈=βαt ， βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan )tan(22-=-+=+21-+=tt 4-≤，当且仅当1-=t 时取等号.14．4+解：32()32xxx x a f x b ⋅-=⋅+，则23()6l n2()0(32)xx x a b f x b +'=>⋅+恒成立，所以()f x 在（0，1）上单调递增， 132(0),(1)132a a f f b b --==++，∴()f x 在（0, 1)上的值域为132(,)132a ab b --++，M x f N <<)( 在（0,1）上恒成立，故mi n 321()1321(32)(1)a a ab M N b b b b --+-=-==++++，所以2342a b b =++，所以2344a b b b=++≥.所以min ()4ab=+.二、解答题答案15.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2227323cos120CD CD =+-⨯⋅o ，解得5CD =.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD B =∠，5sin 75sin 45BD =o o，解得BD = 所以BDC BD CD ADC CD AD S S S BCD ACD ABC ∠⋅+∠⋅=+=∆∆∆sin 21sin 2111535sin120560222+=⨯⨯+⨯⨯oo 758+=.16. 解（1）取SD 的中点G ，连AG ，FG .在SCD ∆中，因为F ，G 分别是SC ，SD 的中点， 所以FG ∥CD ，12FG CD =. 因为四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 的中点， 所以1122AE AB CD ==，AE ∥CD . 所以FG ∥AE ，FG=AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF ∥AG .因为AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD . （2）由（1）及SA=AD 得，AG SD ⊥.因为平面SAD ⊥平面SCD ，平面SAD ⋂平面SCD =SD ，AG ⊂平面SAD , 所以AG ⊥平面SCD ，又因为SCD CD 面⊂，所以AG ⊥CD . 因为EF ∥AG ，所以EF ⊥CD ， 又因为CD AB //，所以EF ⊥AB .17. 解：（1）因为θsin 01=CF ，θtan 10=OF ，θtan 10-20=AF ， 所以θθθθsin cos 102020tan 1002sin 02-+=-+=++=AF CF CE u ， AE DCS FG其中，552cos 0<<θ. （2）由 θθsin cos 102020-+=u ，得θθ2'sin cos 0201-=u ，令21cos 0'==θ，u ， 当 21cos 0<<θ时，0'>u ，函数）（θu 为增函数；当552c o s 21<<θ时，0'<u ，函数）（θu 为减函数. 所以，当21cos =θ，即3πθ=时，310203sin21102020max +=⨯-+=πu （m ）所以，管道长度u 的最大值为）（31020+m.18. 解：（1）当2r =，(4,2)M 时，则1(2,0)A -，2(2,0)A ，直线1MA 的方程：320x y -+=，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩得86(,)55P .直线2MA 的方程：20x y --=，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩得(0,2)Q -.所以PQ 方程为220x y --=.（2）由题设得1(,0)A r -，2(,0)A r ，设(,)M a t ，直线1MA 的方程是()ty x r a r =++，与圆C 的交点11(,)P x y ， 直线2MA 的方程是()ty x r a r=--，与圆C 的交点22(,)Q x y ，则点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在曲线[()()][()()]0a r y t x r a r y t x r +-+---=上， 化简得2222222()2()()0a r y ty ax r t x r ---+-=， ①又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在圆C 上，圆C ：2220x y r +-=， ②①－2t ×②得22222222222()2()()()0a r y ty ax r t x r t x y r ---+--+-=，化简得2222()2()0a r y t ax r t y ----=.所以直线PQ 方程为2222()2()0a r y t ax r t y ----=.令0y =得2r x a =，所以直线PQ 过定点2(,0)r a.19.解（1）k =1时，不等式()1f x >-即2ln 0x x x +->，设2()l n g x x x x =+-，因为2121()210x x g x x x x-+'=+-=>在定义域(0,)+∞上恒成立，所以g (x )在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以()1f x >-的解集为(1,)+∞.（2）2121()2(0)x kx f x x k x x x-+'=+-=>，由()0f x '≥得2210x kx -+≥……（*）. （ⅰ）当280k ∆=-≤，即k -≤≤（*）在R 上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （ⅱ）当k >时，280k ∆=->，此时方程2210x kx -+=的相异实根分别为12x x ==，因为12120,2102k x x x x ⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，所以120x x <<，所以()0f x '≥的解集为(0,[)44k k -+∞U ， 故函数f (x )的单调递增区间为)+∞和.（ⅲ）当k <-时，同理可得：,0,21,020212121<<∴⎩⎨⎧<=+>=x x kx x x x ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.综上所述，当k >()f x的单调递增区间为)+∞和；当k ≤()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （3）据（2）知①当k ≤时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增，令210,0x kx x ⎧-->⎨>⎩得2k x +>，取}m =，则当x >m 时，2()10f x x kx >-->.设01x <<，21max{1,}x kx k λ--<--=，所以()l n f x x λ<+，当0x e λ-<<时，()0f x <，取m i n {1,}n e λ-=，则当(0,)x n ∈时，()0f x <，又函数()f x 在定义域(0,)+∞上连续不间断，所以函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.②当22>k 时，()f x 在12(0,)(,)x x +∞和上递增，在12(,)x x 上递减， 其中012,0122211=+-=+-kx x kx x则2221111111()ln 1ln (21)1f x x x kx x x x =+--=+-+-211ln 2x x =--.下面先证明ln (0)x x x <>：设x x x h -=ln )(），由1()xh x x-'=>0得01x <<，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，01)1()(m a x <-==h x h ，所以()0h x <)0(>x ，即 ln (0)x x x <>.因此，047)21(2)(212111<---=--<x x x x f ，又因为)(x f 在12(,)x x 上递减，所以21()()0f x f x <<，所以()f x 在区间2(0,)x 不存在零点.由①知，当x m >时，()0f x >，()f x 的图象连续不间断，所以()f x 在区间2(,)x +∞上有且仅有一个零点. 综上所述，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.20.解（1）设{}n b 的公比为q ，则有063=+-q q ，即2(2)(23)0q q q +-+=，所以2q =-，从而1(2)3nn S --=.（2）由11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+得112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋅⋅⋅+=-+，两式两边分别相减得2(2)nn n a b n n =⋅≥.由条件112a b =，所以*2(N )n n n a b n n =⋅∈，因此111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋅≥，两式两边分别相除得12(2)1n n a n q n a n -⋅=≥-，其中q 是数列{}n b 的公比.所以122(1)(3)2n n a n q n a n ---⋅=≥-，上面两式两边分别相除得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=≥-.所以312234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+，解得113a d a d ==-或，若d a 31-=，则04=a ，有024444==⋅b a 矛盾，所以1a d =满足条件，所以2,nn n a dn b d==.（3）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 当q =1时，112n n b b b ++=，所以112n na b a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又数列{}n a 是等差数列，从而数列{}n a 是各项不为0的常数列，因此112b =，经验证，110,2n n a a b =≠=满足条件.当1q ≠时，由11n n n n a b b a ++=+得1111(1)n dn a b q q dn a d-+=++-……（*） ①当d>0时，则1d a n d ->时，10n n a a +>>，所以111dn a dn a d +>+-此时令112dn a dn a d +<+-得12d a n d->，因为112d a d a d d -->所以，当12d a n d ->时，1112dn a dn a d +<<+-. 由（*）知，10,0b q >>. （ⅰ）当q >1时，令11(1)2n b q q-+>得121log (1)qn b q >++，取11122max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当1n M >时，（*）不成立. （ⅱ）当0<q <1时，令11(1)1n b q q -+<得111log (1)qn b q >++，取12121max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当2n M >时，（*）不成立. 因此，没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .②同理可证：当d <0时，也没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .综上所述，所有满足条件的数列{}n a ，{}n b 的通项公式为110,2n n a a b =≠=（*N n ∈）.数学Ⅱ（附加题）答案21．【选做题】答案A ．选修4—1：几何证明选讲 解：取AB 中点G ，连结GF ，12AD AB =，AD AG ∴=，又90BAC ∠=, 即AC 为DG 的垂直平分线, ∴ DF = FG ………………① ，又E 、F 分别为BC 、AC 中点, 1//2EF AB BG EF BG ==∴ 四边形BEFG 为平行四边形, ∴ FG = BE …………② 由①②得BE =DF .B ．选修4—2：矩阵与变换 解:010********m m BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设P ()00,x y 是曲线1C 上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点(),P x y '''，则000020210x my x m y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则002x my y x '=⎧⎨'=⎩，即0012x y y x m'=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 又点P 在曲线1C 上，则22214x y m''+=，'p 在曲线2C 上，则14''22=+x y ， 故21m =，所以，1m =±.C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：圆的直角坐标方程为()(2214x y -+-=，直线的直角坐标方程为()1y k x =-()tan k α=，因为圆C 被直线l，∴=k =，即tan α=， 又0πα≤<,∴α=π3或2π3.D ．选修4—5：不等式选讲 解：由题知，aba b a x x ++-≤-+-21恒成立，故|1||2|x x -+-不大于aba b a ++-的最小值 ，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴aba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x .【必做题】答案22. 解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1），B 1（1，0，1）， M （0，1，12），N （12，12，0）设10),1,0,(<<=λλp .则)0,0,(1λ=A ，)1,0,(11λ=+=A ；)1,21,21(--=λ， （1）∵()0,0,1=m 是平面ABC 的一个法向量．=><=∴|,cos |sin m θ45)21(1141)21(|100|22+-=++--+λλ∴当12λ=时，θ取得最大值，此时sin θ=，tan 2θ=即：当12λ=时， θ取得最大值，此时tan 2θ=． 故P A 1的长度为21.（2）=)21,21,21(-，由（1）)1,21,21(--=λ，设(),,x y z =n 是平面PMN 的一个法向量．则111022211()022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎨⎪-+-=⎩得123223y x z x λλ+⎧=⎪⎨-⎪=⎩令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ, ∴()3,12,22λλ=+-n ， ∴|cos ,|<>=m n 4210130λλ++=（*）∵△＝100－4⨯4⨯13＝－108＜0，∴方程（*）无解∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º． 23. 解：（1）当(0,)2πθ∈时，设22()sin cos (sin cos )0n n f n θθθθθ--'=->，等价于0cos sin 22>---θθn n .（ⅰ）n =1时，令，＞0)('f θ得110sin cos θθ->，解得04πθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递增，在(,)42ππ上单调递减，所以()f θ存在极大值，无极小值.（ⅱ）n =2时，()f θ=1，()f θ既无极大值，也无极小值. （ⅲ）3n ≥时，令，＞0)('f θ得sin cos θθ>，所以42ππθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递减，在(,)42ππ上单调递增，所以()f θ存在极小值，无极大值.（3）由22sin cos sin cos 1a θθθθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：21sin cos 2a θθ-= ， 所以sin θ，cos θ是方程22102a x ax --+=的两根， x =，∴()((2nnnnna a f θ+=+=⎝⎭⎝⎭，当k n 2=为偶数时，()()()()()()()()]222222[(2]222222[(2222222244222224244222222kn n n n n kn nn nnnna a C a C a a C a C a a-++-+-+=-++-+-+=--+-+----当12+=k n 为奇数时，()()()()()()()()]2222222[(22222222(222222122442222214244222222kn n n n n n n knn nn nn n nnna C a C a C a C a C a C a a -++-+-+=-++-+-+=--+-+------∵a为[内的有理数，m n C，2n为正整数，∴()fθ为有理数．。

【最新整理，下载后即可编辑】苏州市2018届高三第一学期期中调研试卷数 学一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置) 1．已知集合{1,2,3,4,5},{1,3},{2,3}U A B ===，则()U A B = ▲ ．2．函数1ln(1)y x =-的定义域为 ▲ ．3．设命题:4p x >；命题2:540q x x -+≥，那么p 是q 的 ▲ 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 4．已知幂函数22*()m m y x m -=∈N 在(0,)+∞是增函数，则实数m 的值是 ▲ ．5．已知曲线3()ln f x ax x =+在(1,(1))f 处的切线的斜率为2，则实数a 的值是▲ ．6．已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则7935a a a a -=- ▲ ．7．函数sin(2)(0)2y x ϕϕπ=+<<图象的一条对称轴是12x π=，则ϕ的值是 ▲ ．8．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则不等式()01f x x >-的解集为 ▲ ．9．已知tan()24απ-=，则cos2α的值是 ▲ ．10．若函数8,2()log 5,2ax x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤(01)a a >≠且的值域为[6,)+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．已知数列{},{}n n a b 满足1111,1,(*)21n n n n a a b b n a +=+==∈+N ，则122017b b b ⋅⋅=▲ ．12．设ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，D 为AB 的中点，若cos sin b a C c A=+且CD =ABC △面积的最大值是▲ ．13．已知函数()sin()6f x x π=-，若对任意的实数5[,]62αππ∈--，都存在唯一的实数[0,]m β∈，使()()0f f αβ+=，则实数m 的最小值是 ▲ ． 14．已知函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨+⎩≤，若直线y ax =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),A m f m B n f n(,())C t f t （其中m n t <<），则12n m++的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知函数1())(0,0)42f x ax b a b π=+++>>的图象与x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为2π．（1）求,a b 的值；（2）求()f x 在[0,]4π上的最大值和最小值．16．(本题满分14分)在ABC △中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知sin sin sin ()B C m A m +=∈R ，且240a bc -=．（1）当52,4a m ==时，求,bc 的值；（2）若角A 为锐角，求m 的取值范围．17．(本题满分15分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足11a =，*131()n n S S n +=+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，13b =，*11()n n n na b b n a ++-=∈N ，若不等式2n n a b n λ+≤对*n ∈N 有解，求实数λ的取值范围．如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部CmD 是个半圆，固定点E 为CD 的中点．MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD 平行．当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH （阴影部分均不通风）． （1）设MN 与AB 之间的距离为5(02x x <≤且1)x ≠米，试将通风窗的通风面积S （平方米）表示成关于x 的函数()y S x =；（2）当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？19．(本题满分16分)已知函数2()ln ,()f x x g x x x m ==--． （1）求过点(0,1)P -的()f x 的切线方程；（2）当0=m 时，求函数()()()F x f x g x =-在],0(a 的最大值；（3）证明：当3m ≥-时，不等式2()()(2)e x f x g x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立（其中e 为自然对数的底数,e 2.718...=）．已知数列{}n a 各项均为正数，11a =,22a =，且312n n n n a a a a +++=对任意*n ∈N 恒成立，记{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若33a =，求5a 的值；（2）证明：对任意正实数p ，221{}n n a pa -+成等比数列；（3）是否存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列．若存在，求出此时n a 和n S 的表达式；若不存在，说明理由．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数学(附加题部分)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲)（本小题满分10分）如图，AB 为圆O 的直径，C 在圆O 上，CF AB ⊥于F ，点D 为线段CF 上任意一点，延长AD 交圆O于E ，030AEC ∠=． （1）求证：AF FO =； （2）若CF =，求AD AE ⋅的值．BB ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知矩阵1221⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，42α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求49αA 的值．C ．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为42525x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为cos()(0)4a ρθπ-≠．（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）若圆C 任意一条直径的两个端点到直线l，求a的值．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）设,x y 均为正数，且x y >，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6,7,…,10的客人留下，其余的淘汰，第二轮放入1,2,…,5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3,4,5的客人留下，第三轮放入1,2,3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2,3的客人留下，同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏． （1）求甲拿到礼物的概率；（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数．．，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．23．(本小题满分10分)（1）若不等式(1)ln(1)x x ax ++≥对任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设*n ∈N ，试比较111231n ++++与ln(1)n +的大小，并证明你的结论．2017—2018学年第一学期高三期中调研试卷数 学 参 考 答 案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．{1} 2．(1,2)(2,)+∞3．充分不必要 4．15．136．4 7．3π 8．(2,0)(1,2)-9．45-10．(1,2] 11．12018 12．113．2π14．1(1,e )e+二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)解：（1）∵()f x 图象上相邻两个最高点之间的距离为2π，∴()f x 的周期为2π，∴202||2a a ππ=>且，······································································2分∴2a =，··················································································································4分此时1())42f x x b π=+++， 又∵()f x 的图象与x 轴相切，∴1||02b b +=>，·······················································6分∴122b =-；··········································································································8分（2）由（1）可得())4f x x π=+∵[0,]4x π∈，∴4[,]444x ππ5π+∈， ∴当444x π5π+=，即4x π=时，()f x 有最大值为；·················································11分当442x ππ+=，即16x π=时，()f x 有最小值为0．························································14分 16．(本题满分14分) 解：由题意得b c ma+=，240a bc -=．···············································································2分（1）当52,4a m ==时，5,12b c bc +==，解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；································································································6分（2）2222222222()()22cos 23222a ma abc a b c bc a A m a bc bc--+-+--====-，····························8分∵A 为锐角，∴2cos 23(0,1)A m =-∈，∴2322m <<，····················································11分又由b c ma +=可得0m >，·························································································13分∴m <<···········································································14分 17．(本题满分15分)解：（1）∵*131()n n S S n +=+∈N ，∴*131(,2)n n S S n n -=+∈N ≥，∴*13(,2)n n a a n n +=∈N ≥，·························································································2分又当1n =时，由2131S S =+得23a =符合213a a =，∴*13()n n a a n +=∈N ，······························3分∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，通项公式为1*3()n n a n -=∈N ； (5)分（2）∵*113()n n n na b b n a ++-==∈N ，∴{}n b 是以3为首项，3为公差的等差数列，····················7分∴*33(1)3()n b n n n =+-=∈N ，·····················································································9分∴2n n a b nλ+≤，即1233n n nλ-⋅+≤，即2133n n n λ--≤对*n ∈N 有解，··································10分设2*13()()3n n nf n n --=∈N ，∵2221(1)3(1)32(41)(1)()333n n nn n n n n n f n f n -+-+---++-=-=， ∴当4n ≥时，(1)()f n f n +<，当4n <时，(1)()f n f n +>， ∴(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f <<<>>>， ∴max 4[()](4)27f n f ==，···························································································14分∴427λ≤．·············································································································15分 18．(本题满分15分)解：（1）当01x <≤时，过A 作AK CD ⊥于K （如上图），则1AK =，122CD AB DK -==，1HM x =-，由2AKMH DKDH ==，得122HM xDH -==，∴322HG DH x =-=+， ∴2()(1)(2)2S x HM HG x x x x =⋅=-+=--+；·······························································4分当512x <<时，过E 作ET MN ⊥于T ，连结EN （如下图），则1ET x =-，22239(1)(1)224MN TN x x ⎛⎫==---- ⎪⎝⎭∴292(1)4MN x =--∴29()2(1)(1)4S x MN ET x x =⋅=---，······································································8分综上：222,01()952(1)(1)142x x x S x x x x ⎧--+<⎪=⎨---<<⎪⎩≤；·································································9分（2）当01x <≤时，2219()2()24S x x x x =--+=-++在[0,1)上递减，∴max ()(0)2S x S ==；································································································11分2︒当512x <<时，229(1)(1)94()2(224x x S x x -+--=-⋅=，当且仅当(1)x -=51(1,)2x +∈时取“=”， ∴max 9()4S x =，此时max 9()24S x =>，∴()S x 的最大值为94，············································14分答：当MN 与AB1+米时，通风窗的通风面积S 取得最大值．····················15分 19．(本题满分16分)解：（1）设切点坐标为00(,ln )x x ，则切线方程为0001ln ()y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入上式，得0ln 0x =，01x =， ∴切线方程为1y x =-；·······························································································2分（2）当0m =时，2()ln ,(0,)F x x x x x =-+∈+∞， ∴(21)(1)(),(0,)x x F x x x+-'=-∈+∞，············································································3分当01x <<时，()0F x '>，当1x >时，()0F x '<， ∴()F x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，·············································································5分∴当01a <≤时，()F x 的最大值为2()ln F a a a a =-+； 当1a >时，()F x 的最大值为(1)0F =；········································································7分（3）2()()(2)e x f x g x x x +<--可化为(2)e ln x m x x x >-+-，设1()(2)e ln ,[,1]2x h x x x x x =-+-∈，要证3m ≥-时()m h x >对任意1[,1]2x ∈均成立，只要证max ()3h x <-，下证此结论成立． ∵1()(1)(e )x h x x x'=--，∴当112x <<时，10x -<，·······················································8分设1()e x u x x=-，则21()e 0x u x x '=+>，∴()u x 在1(,1)2递增， 又∵()u x 在区间1[,1]2上的图象是一条不间断的曲线，且1()202u =<，(1)e 10u =->，∴01(,1)2x ∃∈使得0()0u x =，即01e xx =，00ln x x =-，····················································11分当01(,)2x x ∈时，()0u x <，()0h x '>；当0(,1)x x ∈时，()0u x >，()0h x '<；∴函数()h x 在01[,]2x 递增，在0[,1]x 递减，∴0max 00000000012()()(2)e ln (2)212x h x h x x x x x x x x x ==-+-=-⋅-=--，····························14分∵212y x x=--在1(,1)2x ∈递增，∴0002()121223h x x x =--<--=-，即max ()3h x <-， ∴当3m ≥-时，不等式2()()(2)e xf xg x x x +<--对任意1[,1]2x ∈均成立．··························16分 20．(本题满分16分) 解：（1）∵1423a a a a =，∴46a =，又∵2534a a a a =，∴54392a a ==；·······································2分（2）由3121423n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=⎧⎨=⎩，两式相乘得2134123n n n n n n n a a a a a a a ++++++=，∵0n a >，∴2*42()n n n a a a n ++=∈N ， 从而{}n a 的奇数项和偶数项均构成等比数列，···································································4分设公比分别为12,q q ，则1122222n n n a a q q --==，1121111n n n a a q q ---==，······································5分又∵312=n n n na a a a +++，∴42231122a a q a a q ===，即12q q =，···························································6分设12q q q ==，则2212223()n n n n a pa q a pa ---+=+，且2210n n a pa -+>恒成立， 数列221{}n n a pa -+是首项为2p+，公比为q的等比数列，问题得证；····································8分（3）法一：在（2）中令1p =，则数列221{}n n a a -+是首项为3，公比为q 的等比数列，∴22212223213 ,1()()()3(1),11k k k k k k k q S a a a a a a q q q---=⎧⎪=++++++=-⎨≠⎪-⎩， 12122132 ,13(1)2,11k k k k k k k q q S S a q q q q ---⎧-=⎪=-=⎨--≠⎪-⎩，·····································································10分且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·························································································13分∴224121k k k S =-=-，212121k k S --=-， 从而对任意*n ∈N 有21n n S =-， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，又11a =，∴1*2()n n a n -=∈N ， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分法二：由（2）知，则122n n a q -=，121n n a q --=，且12341,3,3,33S S S q S q ===+=+，∵数列{}n S t +为等比数列，∴22132324()()(),()()(),S t S t S t S t S t S t ⎧+=++⎪⎨+=++⎪⎩ 即22(3)(1)(3),(3)(3)(33),t t q t q t t q t ⎧+=+++⎪⎨++=+++⎪⎩，即26(1),3,t q t t q +=+⎧⎨=-⎩ 解得14t q =⎧⎨=⎩（3t =-舍去），·······················································································11分∴121222n n n a q --==，22212n n a --=，从而对任意*n ∈N 有12n n a -=，····································13分∴01211222222112n n n n S --=++++==--， 此时2n n S t +=，12n n S tS t-+=+为常数，满足{}n S t +成等比数列， 综上，存在1t =使数列{}n S t +为等比数列，此时1*2,21()n n n n a S n -==-∈N ． (16)分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲，本小题满分10分) 解：（1）证明 ：连接,OC AC ，∵030AEC ∠=，∴0260AOC AEC ∠=∠=，又OA OC =，∴AOC ∆为等边三角形， ∵CF AB ⊥，∴CF 为AOC ∆中AO 边上的中线， ∴AF FO =；····························B··········································5分（2）解：连接BE ， ∵CF =，AOC ∆是等边三角形，∴可求得1AF =，4AB =，∵AB 为圆O 的直径，∴90AEB ∠=，∴AEB AFD ∠=∠， 又∵BAE DFA ∠=∠，∴AEB ∆∽AFD ∆，∴AD AF ABAE=，即414AD AE AB AF ⋅=⋅=⨯=．··················································································10分 B ．(矩阵与变换，本小题满分10分) 解：矩阵A 的特征多项式为212()2321f λλλλλ--==----， 令()0f λ=，解得矩阵A 的特征值121,3λλ=-=，····························································2分当11λ=-时特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，当23λ=时特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，·····································6分又∵12432ααα⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦，·························································································。

数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2018年第一次全国大联考【江苏卷】数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合{|23}S x x =∈-≤≤Z ,2{|40}T x x =∈-<R ,则ST =__________.2．已知复数3(23i)(1i )z =++,其中i 是虚数单位,若z 是z 的共轭复数,则z 的模是__________.3．某学校为调查毕业班学生的学习问题现状,将参加高三上学期期末统考的800名学生随机地编号为：000,001,002,,799,准备从中抽取一个容量为40的样本,按系统抽样的方法把总体分成40组.第1组编号为000,001,,019；第2组编号为020,021,,039；；第40组编号为780,781,,799.若在第1组中随机抽取到的一个号码为012,则在第35组中应抽取的号码为__________.4．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2221(0)4y x a a-=>的焦距为,则其离心率e =__________. 5．若函数2lg(2)y x x =+-的定义域为A ,则函数1(()2x y x A =∈的值域是__________.6．如图是一个算法的流程图,若输出的y 的值是9,则输入的x 的值为__________.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 8．从长度分别为3,4,5,6,7的五条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成锐角三角形的概率是__________.9．已知圆锥的高4h =,底面圆的半径3R =,则该圆锥的内切球（与圆锥的底面和各母线均相切的球）的表面积S =__________.10．已知非零向量,a b 的夹角为钝角,且||4=b .若当12t =-时,||t -b a 则向量a 在向量b 方向上的投影是__________.11．在锐角ABC △中,角,,AB C 所对的边分别为,,a b c ,cos cos )2sin b C c B a A +=,4b =,则a 的取值范围是__________.12．已知a 是区间[1,7]上的任意实数,直线1l ：220ax y a ---=与不等式组830x mx y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩表示的平面区域总有公共点,则直线30(,)l mx y n m n -+=∈R ：的倾斜角α的取值范围为__________.13．已知两实数,x y 满足2225x y +=,若在,x y 之间插入四个实数,使这六个实数构成等差数列,则这个等差数列后三项和的最大值为__________.14．设定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-,且当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-.若方程()0f x bx +=有5个不同的实数根,则实数b 的取值范围为__________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）如图,已知在三棱锥P ABC -中,PB AB =,PB ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,且点,,D E F 分别是棱,,PA PC BC 的中点,点,G H 分别是线段,BD BE 的中点.（1）求证：平面FGH平面PAC ；（2）求证：PA ⊥平面BCD .数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页）16．（本小题满分14分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(,)c a b =+m ,(,)c a b c =-+n ,且3a =,⊥m n . （1）求A 及ABC △面积的最大值； （2）求b c +的取值范围. 17．（本小题满分14分）如图,某单位为处理含有某种有毒物质的污水,要制造一个无盖长方体消毒箱,有毒污水由A 孔流入,经消毒处理后从B孔流出.现有制箱材料60平方米,并设计箱体的底面边长分别为a 米,2米,高度为b 米（,A B 孔的面积忽略不计）.由研究分析知从B 孔流出的水中该有毒物质的质量分数与,a b 的乘积成反比,且比例系数为(0)k k >.（1）问,a b 各为多少米时,经消毒后流出的水中该有毒物质的质量分数最小?（2）出于安全考虑,在消毒箱的正面制作一警示牌,写上“有毒水质,请勿接触”的标语.为了使警示牌更加醒目,其中CD 、DE 、EF 三段用发光材料制作.求发光材料总长度z 的最小值.18．（本小题满分16分）如图,已知点F 为抛物线22(0)C y px p =>：的焦点,过点F 的动直线l 与抛物线C 交于,M N 两点,且当直线l 的倾斜角为45︒时,||16MN =. （1）求抛物线C 的方程；（2）试确定在x 轴上是否存在点P ,使得直线,PM PN 的斜率之和恒为零?若存在,求出P 点的坐标；若不存在,说明理由.19．（本小题满分16分）给定正整数k ,若各项为非零的实数数列{}n a 满足21111k n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+=对任意n *∈N （n k >）恒成立,则称数列{}n a 是“()G k 数列”.（1）若数列{}n a 为等比数列,求证：数列{}n a 是“(3)G 数列”；（2）若正项数列{}n a 既是“(3)G 数列”,又是“(2)G 数列”,求证：数列{}n a 是等比数列. 20．（本小题满分16分）已知函数2()e 2ln f x x x x x =--,2()e x g x ax x =-+（a ∈R ）,其中e 为自然常数. （1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()()g x f x ≥对任意的0x >恒成立,求实数a 的取值范围.数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。

数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。

一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

江苏省百校联考2018届高三上学期第一次联考数学试卷Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{}02A x x =≤≤，{}123B =-，，，则A B =I ▲ ． 2．若复数z 满足()i 2i z =-（i 是虚数单位），则复数z 的模z = ▲ ．3．某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50～90km/h 的汽车中抽取200辆进行分析，得到数据的频率分布直方图（如图所示），则速度在70km/h 以下的汽车 有 ▲ 辆．4．如图，若输入的x 为16，则相应输出的值y 为 ▲ ．5．已知变量x ，y 满足条件10360x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥，≤，≤，则x y +的最大值是 ▲ ．6．某校高三年级学生会主席团共有4名同学组成，其中有2名同学来自同一班级，另外两名同学来自另两个不同班级．现从中随机选出两名同学参加会议，则选出的两名同学来自不同班 级的概率为 ▲ ．7．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为 ▲ ．8．双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程是340x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9．在等差数列{}n a 中，若44a =，227196a a -=，则数列{}n a 前10项和10S 的值为 ▲ ． 10．将函数y ＝()πsin 23x +的图象向右平移φ()π02ϕ<<个单位后，所得的函数图象关于原点成中 心对称，则φ＝ ▲ ．速度（km/h ）0.010.02 0.03 0.04 50 （第3题图）11．已知函数()22210121ln x mx m x f x x m x x⎧+--<⎪=⎨->⎪⎩，≤，，在区间()0+∞，上有且 只有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．如图，已知点O 是平面四边形ABCD 的外接圆的圆心，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4，则BO CD ⋅u u u r u u u r＝ ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆O ：221x y +=直径，若直线l ：310kx y k --+=上存在点P ，连接AP 与圆O 交于点Q ，满足BP ∥OQ ，则实数k 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22c ab kbc +≥，则实数k 的最大值是 ▲． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．15．在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，且P A ＝PB ，PDC ∠为锐角．（1）求证：BC ∥平面PDE ；（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥PC ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()π3sin sin 34B B +=． （1）求B ∠；（2）求sin A ＋sin C 的取值范围．（第12题图）（第15题图）CBDAEP17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，且点2，在 椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设PD PQ λ=u u u r u u u r，直线AD 与椭圆C 的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，求实数λ的值．18．一块圆柱形木料的底面半径为6cm ，高为16cm ．要将这块木料加工成一只笔筒，在木料一端中间掏去一个小圆柱，使小圆柱与原木料同轴，并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之 一．设小圆柱底面半径为r ，高为h ，要求笔筒底面的厚度超过1cm ． （1）求r 与h 的关系，并指出r 的取值范围；（2）笔筒成形后进行后续加工，要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆，其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a （元/cm 2），桶内侧面喷漆费用是2a （元/cm 2）， 而筒内底面铺贴金属薄片，其费用是7a （元/ cm 2）（其中a 为正常数）． ①将笔筒的后续加工费用y （元）表示为r 的函数；②求出当r 取何值时，能使笔筒的后续加工费用y 最小，并求出y 的最小值．19．已知函数()()ln f x x x ax =-（a ∈R ）．（1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；（3）设()()21g x ax a x a =--+，若对任意的()1x ∈+∞，，都有()()0f x g x +>，求整数．．a 的最大值．20．已知数列{a n }的首项10a ≠，其前n 项的和为S n ，且S n ＝3a n －2a 1对任意正整数n 都成立．（1）求证：数列{a n }为等比数列； （2）若a 1＝32，设()()111n n n n a b a a +=--，求数列{b n }的前n 项的和为T n ； （3）若a 1，a k （3k ≥，k ∈N*）均为正整数，如果存在正整数q ，使得a 1≥1k q -，a k ≤()11k q -+，求证：a 1＝12k -．（第21—A 题）Ⅱ卷（理科附加）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ，且BN =2AM ． 求证：AB 2=AC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤302a ，A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤310 b 1． （1）求a ，b 的值； （2）求A 的特征值．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 6ρθ-= P 是圆C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．D ．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c均为正数，证明：()2222111a b c a b c+++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，3AB =，4AC =，11B C AC ⊥．（1）求1AA 的长．（2）若BP ＝1，求二面角1P AC A --的余弦值．23．某书店有不同类型的数学杂志n 种，数学教师张老师购买每种类型杂志的概率都是12，且任何 两种不同类型杂志其是否购买相互独立，设X 表示张老师购买的杂志种类数与没有购买的杂志 种类数的差的绝对值．（1）当n ＝3时，求X 的概率分布及数学期望；（2）当n ＝2k ＋1，*k ∈N 时，求X 的概率分布及数学期望．（第22题图）A 1CB 1C 1BP A。

江苏省常州市2018届高三数学第一次模拟考试2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.若集合A={-2,1}，B={x|x^2>1}，则集合A∩B={1}．2.命题“∃x∈[0,1]，x^2-1≥0”是真命题．3.若复数z满足z·2i=|z|^2+1(其中i为虚数单位)，则|z|=2．4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为2．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6.函数f(x)=lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为1/2．7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为3．8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4=a2+a3+a4，则a3的最小值为3．9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x+y+1=0与双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0，b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是(1,√2)．10.已知实数x，y满足2x+y-2≥0，x-2y+4≥0，则x+y的取值范围是[2,∞)．11.已知函数f(x)=bx+lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y=f(x)相切，则k-b的值为1/e．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA+OC=2OB，则φ=π/3．13.在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP=4BA+λBC(λ∈R)，则BA·BP的取值范围为[25/4,35/4]．二、解答题：共计90分．14.已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈[0,π/2]，则f(x)的最小值是√2-1．15.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)在[-2,2]上的最大值是4．16.如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，点E，F分别在AB，AC上，且满足BE=CF=AD.若BE=CF=AD=1，AB=2，AC=√5，则三角形AEF的面积为(√5-1)/2．17.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则g(x)在[-2,2]上的最小值是-5．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(0,1)，C(-1,0)，D(0,-1)，E(2,0)，F(0,2)，G(-2,0)，H(0,-2).若点P(x,y)满足PA^2+PB^2+PC^2+PD^2=PE^2+PF^2+PG^2+PH^2，则点P的坐标为(0,0)．19.已知函数f(x)=ln(1+2x)-ax，其中a为常数，f(x)在[0,1]上取得最大值，且f(1/2)=0，则a=1/2．20.已知函数f(x)=x^3-3x，g(x)=f(x-2)，则当g(x)在[1,3]上单调递增时，x的取值范围是[1,3]．已知在三角形ABC中，AB=AC=3，存在点P在三角形ABC所在平面内，使得PB²+PC²=3PA²=3，则三角形ABC的面积最大值为______。

2018年江苏省苏州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合A={−1, 1}，B={−3, 0, 1}，则集合A∩B=________．【答案】{1}【考点】交集及其运算【解析】根据交集的定义写出集合A∩B．【解答】解：集合A={−1, 1}，B={−3, 0, 1}，则集合A∩B={1}．故答案为：{1}.2. 已知复数z满足z⋅i=3−4i（i为虚数单位），则|z|=________．【答案】5【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】z⋅i=3−4i（i为虚数单位），可得z⋅i⋅(−i)=−i(3−4i)，化简利用模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z⋅i=3−4i（i为虚数单位），∴z⋅i⋅(−i)=−i(3−4i)，则z=−4−3i，则|z|=√(−4)2+(−3)2=5．故答案为：5.3. 双曲线x24−y23=1的渐进线方程是________．【答案】√3x±2y=0【考点】双曲线的渐近线【解析】由x24−y23=0，可得双曲线x24−y23=1的渐近线方程【解答】解：由x24−y23=1，双曲线x24−y23=1的渐近线方程为y=±bax=±√32x，即√3x±2y=0．故答案为：√3x±2y=0．4. 某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n=________．【答案】63【考点】分层抽样方法【解析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵高二年级被抽取的人数为21，∴21600=n1800，得n=63，故答案为：63.5. 将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为________．【答案】316【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=4×4=16，利用列举法求出两次数字之和等于6包含的基本事件个数，由此能求出两次数字之和等于6的概率．【解答】解：将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，基本事件总数n=4×4=16．则两次数字之和等于6包含的基本事件有(2, 4)，(4, 2)，(3, 3)，共3个，∴两次数字之和等于6的概率为p=316．故答案为：316.6. 如图是一个算法的流程图，则输出S的值是________．【答案】25【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，S=1，n=3；当n=3时，满足进行循环的条件，S=4，n=5；当n=5时，满足进行循环的条件，S=9，n=7；当n=7时，满足进行循环的条件，S=16，n=9；当n=9时，满足进行循环的条件，S=25，n=11；当n=11时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为25.故答案为：25.7. 若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为________cm3．【答案】4√33【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高．【解答】解：设四棱锥为P−ABCD，底面ABCD的中心为O，取CD中点E，连结PE，OE，如图所示，则PE⊥CD，OE=12BC=1cm，∵S侧面=4S△PCD=4×12×CD×PE=8cm2，∴PE=2cm．∴PO=√PE2−OE2=√3cm，∴正四棱锥体积为V=13×S正方形ABCD×PO=13×22×√3=4√33cm3．故答案为：4√33.8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2+a4=2，S2+S4=1，则a10=________．【答案】8【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】设等差数列{a n}的公差为d，由a2+a4=2，S2+S4=1，可得2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，联立解出利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a4=2，S2+S4=1，∴2a1+4d=2，6a1+d+4×32d=1，解得：a1=−1，d=1，则a10=−1+9=8．故答案为：8.9. 已知a>0，b>0，且2a +3b=√ab，则ab的最小值是________．【答案】2√6【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据a>0，b>0，即可得出2a +3b≥√6√ab，从而得出√ab≥√6√ab，从而可求出ab的最小值．【解答】解：a>0，b>0；∴√ab=2a +3b≥√6√ab，即√ab≥√6√ab，∴ab≥2√6，∴ab的最小值是2√6．故答案为：2√6．10. 设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanAtanB =3c−bb，则cosA=________．【答案】13【考点】余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系【解析】先化切为弦，再由正弦定理及余弦定理求解．【解答】解：由tanAtanB =3c−bb，得sinAcosBcosAsinB=3c−bb，则acosBbcosA =3c−bb，即acosB=(3c−b)cosA，3ccosA=acosB+bcosA=a×a2+c2−b22ac +b×b2+c2−a22bc=c，∴cosA=13．故答案为：13.11. 已知函数f(x)={a −e x ,x <1,x +4x ,x ≥1, 若y =f(x)的最小值是4，则实数的取值范围为________． 【答案】 [e +4, +∞) 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 分段函数的应用指数函数单调性的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】考虑x <1的函数的单调性，可得f(x)的范围；由基本不等式可得x ≥1时f(x)的最小值，即可得到所求a 的范围． 【解答】解：函数f(x)={a −e x ,x <1,x +4x ,x ≥1, 当x <1时，f(x)=a −e x 递减，可得f(x)>a −e ， 由x ≥1时，f(x)=x +4x≥2√x ⋅4x=4，当且仅当x =2时，取得最小值4， 由题意可得a −e ≥4， 即a ≥e +4．故答案为：[e +4, +∞).12. 在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP →|=√3，|CA →|=4，∠ACB =2π3，则CP →⋅CA →=________．【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 向量的三角形法则 【解析】用CA →,CB →表示出CP →，根据CP =√3计算CB ，再计算CP →⋅CA →的值． 【解答】解：∵ 点P 是边AB 的中点， ∴ CP →=12CA →+12CB →，∴ CP →2=14CA →2+12CA →×CB →+14CB →2， ∴ 3=4+12×4×|CB →|×cos 2π3+14×|CB →|2，∴ CA →×CB →=4×2×cos 2π3=−4，∴ CP →⋅CA →=(12CA →+12CB →)×CA →=12CA →2+12CB →×CA →=6．故答案为：6.13. 已知直线l:x −y +2=0与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上．圆C ：(x −2)2+y 2=2上有且仅有一个点B 满足AB ⊥BP ，则点P 的横坐标的取值集合为________． 【答案】{13,5} 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 直线与圆的位置关系 【解析】由题意得A(−2, 0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切．设P(m, m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m−22,m+22)，半径为√22|m +2|，由外切和内切两种情况进行讨论，能求出m ．【解答】解：由题意得A(−2, 0)，以AP 为直径的圆与圆C 相切， 设P(m, m +2)，则以AP 为直径的圆的圆心为(m−22,m+22)，半径为√22|m +2|，外切时，√22|m +2|+√2=√(m−62)2+(m+22)2，解得m =13， 内切时，√22|m +2|−√2=√(m−62)2+(m+22)2，解得m =5．综上，点P 的横坐标的取值集合为{13, 5}． 故答案为：{13, 5}．14. 若二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1, 2]上有两个不同的零点，则f(1)a的取值范围为________． 【答案】 [0, 1) 【考点】由函数零点求参数的取值范围 二次函数的性质求线性目标函数的最值 简单线性规划 【解析】【解答】解：二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)在区间[1, 2]上有两个不同的零点， 则：{1<−b2a <2,f(1)≥0,f(2)≥0,f(−b 2a )<0, 即：{1<−b 2a <2,a +b +c ≥0,4a +2b +c ≥0,4ac−b 24a <0, 设：ba =x,c a =y ， 即有：{−4<x <−21+x +y ≥0,4+2x +y ≥0,4y −x 2<0,画出可行域，如图，由A ，B ，C 组成的图形(包括线段AB ，AC ，不包括曲线BC )， 由f(1)a=1+b a +ca =1+x +y ，可得：1+x +y 的最小值为0， 当1+x +y 经过点(−4, 4)， 可得：1+x +y =1， 则：1+x +y ∈[0, 1) 故：f(1)a的取值范围是：[0, 1)．故答案为：[0, 1)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.→→π(1)若角α的终边过点(3, 4)，求a→⋅b→的值；(2)若a→ // b→，求锐角α的大小．【答案】解：(1)角α的终边过点(3, 4)，∴r=√32+42=5，∴sinα=yr =45，cosα=xr=35，∴a→⋅b→=√2sinα+sin(α+π4)=√2sinα+sinαcos π4+cosαsinπ4=√2×45+45×√22+35×√22=3√22.(2)若a→ // b→，则√2sinαsin(α+π4)=1，即√2sinα(sinαcosπ4+cosαsinπ4)=1，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1−sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角α=π4．【考点】两角和与差的正弦公式任意角的三角函数平面向量数量积的性质及其运算律平面向量共线（平行）的坐标表示平行向量的性质同角三角函数间的基本关系【解析】（1）由三角函数的定义求出sinα、cosα，再根据平面向量数量积的定义计算a→⋅b→的值；（2）根据a→ // b→，列方程求出α的三角函数值以及锐角α的值．【解答】解：(1)角α的终边过点(3, 4)，∴r=√32+42=5，∴sinα=yr =45，cosα=xr=35，→→π=√2sinα+sinαcos π4+cosαsinπ4=√2×45+45×√22+35×√22=3√22.(2)若a→ // b→，则√2sinαsin(α+π4)=1，即√2sinα(sinαcosπ4+cosαsinπ4)=1，∴sin2α+sinαcosα=1，∴sinαcosα=1−sin2α=cos2α，对锐角α有cosα≠0，∴tanα=1，∴锐角α=π4．如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的高为√6，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱A1C1，AC的中点，点D是棱CC1上靠近C的三等分点．求证：(1)B1M // 平面A1BN；(2)AD⊥平面A1BN．【答案】证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC−A1B1C1中，如图，AA1 // CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形，所以MN // AA1且MN=AA1，又正三棱柱ABC−A1B1C1中AA1 // BB1且AA1=BB1，所以MN // BB1且MN=BB1，所以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M // BN，又B1M平面A1BN，BN⊂平面A1BN，所以B1M // 平面A1BN.(2)正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，所以BN⊥AA1，正△ABC中，N是AC的中点，所以BN⊥AC，又AA1、AC⊂平面AA1C1C，AA1∩AC=A，所以BN⊥平面AA1C1C，又AD⊂平面AA1C1C，所以AD⊥BN，由题意，AA1=√6，AC=2，AN=1，CD=√63，所以AA1AC =ANCD=√32，又∠A1AN=∠ACD=π2，所以△A1AN与△ACD相似，则∠AA1N=∠CAD，所以∠ANA1+∠CAD=∠ANA1+∠AA1N=π2，则AD⊥A1N，又BN∩A1N=N，BN，A1N⊂平面A1BN，所以AD⊥平面A1BN．【考点】直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】（1）证明四边形MNBB1是平行四边形得出B1M // BN，故而B1M // 平面A1BN；（2）根据BN⊥平面ACC1A1可得BN⊥AD，根据三角形相似可得AD⊥A1N，故而AD⊥平面A1BN．【解答】证明：(1)连结MN，正三棱柱ABC−A1B1C1中，如图，AA1 // CC1且AA1=CC1，则四边形AA1C1C是平行四边形，因为点M、N分别是棱A1C1，AC的中点，所以MN // AA1且MN=AA1，又正三棱柱ABC−A1B1C1中AA1 // BB1且AA1=BB1，所以MN // BB1且MN=BB1，所以四边形MNBB 1是平行四边形，所以B 1M // BN ，又B 1M 平面A 1BN ，BN ⊂平面A 1BN ， 所以B 1M // 平面A 1BN .(2)正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ， 所以BN ⊥AA 1，正△ABC 中，N 是AC 的中点，所以BN ⊥AC ，又AA 1、AC ⊂平面AA 1C 1C ，AA 1∩AC =A ， 所以BN ⊥平面AA 1C 1C ，又AD ⊂平面AA 1C 1C ， 所以AD ⊥BN ，由题意，AA 1=√6，AC =2，AN =1，CD =√63，所以AA 1AC=AN CD=√32，又∠A 1AN =∠ACD =π2，所以△A 1AN 与△ACD 相似，则∠AA 1N =∠CAD ， 所以∠ANA 1+∠CAD =∠ANA 1+∠AA 1N =π2，则AD ⊥A 1N ，又BN ∩A 1N =N ，BN ，A 1N ⊂平面A 1BN ， 所以AD ⊥平面A 1BN ．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)，点A 是椭圆的下顶点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点A 且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y =x 分别相交于E ，F 两点，已知OE =OF ，求直线l 1的斜率． 【答案】解：(1)根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)， 则有{3a 2+14b 2=1,1a 2+34b 2=1, 解得{1a 2=14,1b 2=1, 所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知A(0, −1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x ， 得E(1k1−1,1k 1−1)，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理F(1−1k 1−1,1−1k 1−1)，因为OE =OF ， 所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，①1k 1−1=1−1k 1−1，k 1+1k 1=0无实数解；②1k 1−1=−1−1k 1−1，k 1−1k 1=2，k 12−2k 1−1=0，解得k 1=1±√2，综上可得，直线l 1的斜率为1±√2． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【解析】（1）根据题意，将两点的坐标代入椭圆的方程有{3a 2+14b 2=11a 2+34b 2=1，解可得1a 2、1b 2的值，即可得椭圆的方程；（2）设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x，可得E 的坐标，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理可得F 的坐标，又由OE =OF ，所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】解：(1)根据题意，椭圆C:x 2a+y 2b =1(a >b >0)经过点(√3,12)，(1,√32)，则有{3a 2+14b 2=1,1a+34b=1, 解得{1a 2=14,1b=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由题意知A(0, −1)，直线l 1，l 2的斜率存在且不为零， 设直线l 1:y =k 1x −1，与直线y =x 联立方程有{y =k 1x −1y =x ， 得E(1k1−1,1k1−1)，设直线l 2:y =−1k 1x −1，同理F(1−1k 1−1,1−1k 1−1)，因为OE =OF ， 所以|1k 1−1|=|1−1k 1−1|，①1k 1−1=1−1k 1−1，k 1+1k 1=0无实数解；②1k 1−1=−1−1k 1−1，k 1−1k 1=2，k 12−2k 1−1=0，解得k 1=1±√2，综上可得，直线l 1的斜率为1±√2．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB ．在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC =2π3．计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB =θ(0<θ<π2)．(1)当θ=π3时，求∠OPQ 的大小；(2)当∠OPQ 越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值． 【答案】解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π−∠AQC =π−2π3=π3，所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2−θ=π2−π3=π6， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ， 即√3sinα=3sin(π−α−π6)，所以√3sinα=sin(π−α−π6)=sin(5π6−α)， 则√3sinα=sin 5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα， 所以√3sinα=cosα，因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√33，得α=π6.(2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π2−θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ， 即√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，所以√3sinα=sin(π−α−(π2−θ)) =sin(π2−(α−θ))，从而(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3−sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=√3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，θ∈(0,π2)，令f ′(θ)=0，sinθ=√33，存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=√33，当θ∈(0, θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大，又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√33．答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√33．【考点】利用导数研究函数的最值 两角和与差的正弦公式 利用导数研究函数的单调性 正弦定理 【解析】（1）根据题意，设∠OPQ =α，由正弦定理得OQsin∠OPQ =OPsin∠OQP ，变形可得√3sinα=sin5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα，所以√3sinα=cosα，由同角三角函数基本关系式分析可得答案；（2）设∠OPQ =α，在△OPQ 中，由正弦定理得OQsin∠OPQ =OPsin∠OQP ，变形可得(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，即tanα=√3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，求导可得f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案．【解答】解：(1)设∠OPQ =α，由题，Rt △OAQ 中，OA =3， ∠AQO =π−∠AQC =π−2π3=π3，所以OQ =√3，在△OPQ 中，OP =3， ∠POQ =π2−θ=π2−π3=π6，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ， 即√3sinα=3sin(π−α−π6)，所以√3sinα=sin(π−α−π6)=sin(5π6−α)， 则√3sinα=sin 5π6cosα−cos5π6sinα=12cosα+√32sinα， 所以√3sinα=cosα，因为α为锐角，所以cosα≠0，所以tanα=√33，得α=π6.(2)设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π2−θ，由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OPsin∠OQP ， 即√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，所以√3sinα=sin(π−α−(π2−θ)) =sin(π2−(α−θ))，从而(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3−sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，f ′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，θ∈(0,π2)， 令f ′(θ)=0，sinθ=√33，存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=√33，当θ∈(0, θ0)时f ′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π2)时f ′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√33．答：观赏效果达到最佳时，θ的正弦值为√33．已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +c ，g(x)=lnx ．(1)若a =0，b =−2，且f(x)≥g(x)恒成立，求实数c 的取值范围；(2)若b =−3，且函数y =f(x)在区间(−1, 1)上是单调递减函数． ①求实数a 的值；②当c =2时，求函数ℎ(x)={f(x),f(x)≥g(x),g(x),f(x)<g(x) 的值域．【答案】解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0, +∞)． 当a =0，b =−2，f(x)=x 3−2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立，∴ x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx −x 3+2x ． 令φ(x)=lnx −x 3+2x ， 则φ′(x)=1x −3x 2+2 =1+2x−3x 3x=(1−x)(1+3x+3x 2)x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0, 1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1, +∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1．(2)①当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a −3≤0,f ′(−1)=3−2a −3≤0,当a =0，b =−3，c =2时，f(x)=x 3−3x +2， f ′(x)=3x 2−3，令f ′(x)=3x 2−3=0，得x =1，对于g(x)=lnx ，当x ∈(0, 1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0， ∴ 当x ∈(0, 1)时，ℎ(x)=f(x)>0，当x =1时，ℎ(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，ℎ(x)>0．故函数y =ℎ(x)的值域为[0, +∞)． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 分段函数的应用 【解析】（1）根据题意，f(x)≥g(x)恒成立，即x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，变形可得c ≥lnx −x 3+2x ，令φ(x)=lnx −x 3+2x ，对其求导，利用函数的导数与函数的单调性分析可得[φ(x)]max =φ(1)=1，分析可得c 的范围；（2）①，当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3．利用函数的导数与函数的单调性分析可得f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立，即可得{f ′(1)=3+2a −3≤0f ′(−1)=3−2a −3≤0，解可得a 的值，即可得答案； ②，由①的结论，当a =0，b =−3，c =2时，f(x)=x 3−3x +2，利用函数的导数与函数的单调性分析可得当x ∈(0, 1)时，f(x)>0，当x =1时，f(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，f(x)>0，g(x)=lnx ，当x ∈(0, 1)时，g(x)<0，当x =1时，g(x)=0，当x ∈(1, +∞)时，g(x)>0，结合函数ℎ(x)的解析式，分析可得答案． 【解答】解：(1)根据题意，函数g(x)=lnx ，其定义域为(0, +∞)． 当a =0，b =−2，f(x)=x 3−2x +c ， ∵ f(x)≥g(x)恒成立，∴ x 3−2x +c ≥lnx 恒成立，即c ≥lnx −x 3+2x ． 令φ(x)=lnx −x 3+2x ， 则φ′(x)=1x −3x 2+2 =1+2x−3x 3x=(1−x)(1+3x+3x 2)x，令φ′(x)≥0，得x ≤1，∴ φ(x)在(0, 1]上单调递增， 令φ′(x)≤0，得x ≥1，∴ φ(x)在[1, +∞)上单调递减， ∴ 当x =1时，[φ(x)]max =φ(1)=1． ∴ c ≥1．(2)①当b =−3时，f(x)=x 3+ax 2−3x +c ，f ′(x)=3x 2+2ax −3， 由题意，f ′(x)=3x 2+2ax −3≤0对x ∈(−1, 1)恒成立， ∴ {f ′(1)=3+2a −3≤0,f ′(−1)=3−2a −3≤0,当a=0，b=−3，c=2时，f(x)=x3−3x+2，f′(x)=3x2−3，令f′(x)=3x2−3=0，得x=1，对于g(x)=lnx，当x∈(0, 1)时，g(x)<0，当x=1时，g(x)=0，当x∈(1, +∞)时，g(x)>0，∴当x∈(0, 1)时，ℎ(x)=f(x)>0，当x=1时，ℎ(x)=0，当x∈(1, +∞)时，ℎ(x)>0．故函数y=ℎ(x)的值域为[0, +∞)．已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=3，且2S n=a n+1−3(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对于正整数i，j，k(i<j<k)，已知λa j，6a i，μa k成等差数列，求正整数λ，μ的值；(3)设数列{b n}前n项和是T n，且满足：对任意的正整数n，都有等式a1b n+a2b n−1+a3b n−2+⋯+a n b1=3n+1−3n−3成立．求满足等式T na n =13的所有正整数n．【答案】解：(1)由2S n=a n+1−3(n∈N∗)，得：2S n+1=a n+2−3，两式作差得2a n+1=a n+2−a n+1，即a n+2=3a n+1(n∈N∗)由于a1=3，a2=2S1+3=9，所以a n+1=3a n(n∈N∗)，a n≠0，则a n+1a n=3(n∈N∗)，所以数列{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n=3n(n∈N∗).(2)已知λa j，6a i，μa k成等差数列，所以：λa j+μa k=2⋅6a i，即λ3j+μ3k=2⋅6⋅3i，所以λ3j−i+μ3k−i=12，其中j−i≥1，k−i≥2，所以λ3j−i≥3λ≥3，μ3k−i≥9μ≥9，12=λ3j−i+μ3k−i≥12，所以j−i=1，k−i=2，λ=μ=1.(3)由a1b n+a2b n−1+a3b n−2+⋯+a n b1=3n+1−3n−3，得：a1b n+1+a2b n+a3b n−1+...+a n b2+a n+1b1=3n+2−3(n+1)−3，a1b n+1+3(a1b n+a2b n−1+...+a n−1b2+a n b1)=3n+2−3(n+1)−3，a1b n+1+3(3n+1−3n−3)=3n+2−3(n+1)−3，所以3b n+1=3n+2−3(n+1)−3−3(3n+1−3n−3)，即3b n+1=6n+3，所以b n+1=2n+1(n∈N∗)，又因为a 1b 1=31+1−3⋅1−3=3，得b 1=1， 所以b n =2n −1(n ∈N ∗)，从而T n =1+3+5+...+(2n −1) =1+2n−12n =n 2(n ∈N ∗)，T n a n=n 23n(n ∈N ∗)，当n =1时，T1a 1=13；当n =2时，T 2a 2=49；当n =3时，T 3a 3=13；下面证明：对任意正整数n >3都有T na n<13，T n+1a n+1−T na n=(n +1)2(13)n+1−n 2(13)n=(13)n+1[(n +1)2−3n 2]=(13)n+1(−2n 2+2n +1)，当n ≥3时，−2n 2+2n +1=(1−n 2)+n(2−n)<0， 即T n+1an+1−Tn a n<0，所以当n ≥3时，T na n递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n<T 3a 3=13；综上可得，满足等式T na n=13的正整数n 的值为1和3．【考点】 等差中项数列与不等式的综合 数列的求和 数列递推式 等比关系的确定 数列的函数特性 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （2）利用构造法求出结果．（3）利用已知条件和上步的结论求出结果． 【解答】解：(1)由2S n =a n+1−3(n ∈N ∗)， 得：2S n+1=a n+2−3，两式作差得2a n+1=a n+2−a n+1， 即a n+2=3a n+1(n ∈N ∗)由于a 1=3，a 2=2S 1+3=9，所以a n+1=3a n (n ∈N ∗)，a n ≠0， 则a n+1a n=3(n ∈N ∗)，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， 所以a n =3n (n ∈N ∗).(2)已知λa j ，6a i ，μa k 成等差数列， 所以：λa j +μa k =2⋅6a i ， 即λ3j +μ3k =2⋅6⋅3i ，所以λ3j−i +μ3k−i =12，其中j −i ≥1，k −i ≥2，所以λ3j−i ≥3λ≥3，μ3k−i ≥9μ≥9，12=λ3j−i +μ3k−i ≥12， 所以j −i =1，k −i =2，λ=μ=1.(3)由a 1b n +a 2b n−1+a 3b n−2+⋯+a n b 1=3n+1−3n −3，得：a 1b n+1+a 2b n +a 3b n−1+...+a n b 2+a n+1b 1=3n+2−3(n +1)−3， a 1b n+1+3(a 1b n +a 2b n−1+...+a n−1b 2+a n b 1)=3n+2−3(n +1)−3， a 1b n+1+3(3n+1−3n −3)=3n+2−3(n +1)−3， 所以3b n+1=3n+2−3(n +1)−3−3(3n+1−3n −3)， 即3b n+1=6n +3，所以b n+1=2n +1(n ∈N ∗)，又因为a 1b 1=31+1−3⋅1−3=3，得b 1=1， 所以b n =2n −1(n ∈N ∗)，从而T n =1+3+5+...+(2n −1) =1+2n−12n =n 2(n ∈N ∗)，T n a n=n 23n(n ∈N ∗)，当n =1时，T1a 1=13；当n =2时，T 2a 2=49；当n =3时，T 3a 3=13；下面证明：对任意正整数n >3都有T na n<13，T n+1a n+1−T na n=(n +1)2(13)n+1−n 2(13)n=(13)n+1[(n +1)2−3n 2]=(13)n+1(−2n 2+2n +1)，当n ≥3时，−2n 2+2n +1=(1−n 2)+n(2−n)<0， 即T n+1an+1−Tn a n<0，所以当n ≥3时，T na n递减，所以对任意正整数n >3都有T n a n<T 3a 3=13；综上可得，满足等式T na n=13的正整数n 的值为1和3．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA=DC．(1)求证：AB=2BC；(2)若AB=2，求线段CD的长．【答案】(1)证明：连接OD，BD，如图所示，因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90∘，AB=2OB．因为CD是圆O的切线，所以∠CDO=90∘，又因为DA=DC，所以∠A=∠C，于是△ADB≅△CDO，得到AB=CO，所以AO=BC，从而AB=2BC．(2)解：由AB=2及AB=2BC得到CB=1，CA=3．由切割线定理，CD2=CB⋅CA=1×3=3，所以CD=√3．【考点】与圆有关的比例线段【解析】（1）连接OD，BD．推导出∠CDO=90∘，∠A=∠C，从而△ADB≅△CDO，进而AB=CO，由此能证明AB=2BC．（2）由AB=2及AB=2BC得到CB=1，CA=3．由此利用切割线定理能求出线段CD．【解答】(1)证明：连接OD，BD，如图所示，因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB =90∘，AB =2OB ．因为CD 是圆O 的切线，所以∠CDO =90∘，又因为DA =DC ，所以∠A =∠C ，于是△ADB ≅△CDO ，得到AB =CO ，所以AO =BC ，从而AB =2BC ．(2)解：由AB =2及AB =2BC 得到CB =1，CA =3．由切割线定理，CD 2=CB ⋅CA =1×3=3，所以CD =√3．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A =[4001]，B =[1205]，列向量X =[a b ]． (1)求矩阵AB ；(2)若B −1A −1X =[51]，求a ，b 的值． 【答案】解：(1)AB =[4001][1205]=[4805]. (2)由B −1A −1X =[51]， 解得X =AB [51]=[4805][51]=[285]， 又因为X =[a b]， 所以a =28，b =5．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义特征向量的意义逆变换与逆矩阵【解析】（1）根据矩阵的乘法，即可求得AB ；（2）根据矩阵乘法计算公式，求得X =AB [51]，即可求得X ，即可求得a 和b 的值． 【解答】解：(1)AB =[4001][1205]=[4805]. (2)由B −1A −1X =[51]，解得X =AB [51]=[4805][51]=[285]， 又因为X =[a b]， 所以a =28，b =5．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2√2,π4)，圆心为直线ρsin(θ−π3)=−√3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：在ρsin(θ−π3)=−√3中，令θ=0，得ρ=2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，因为圆C 的半径PC =√(2√2)2+22−2×2√2×2×cos π4=2， 于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．【考点】圆的极坐标方程【解析】先求出圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，再求出圆C 的半径PC ，由圆C 过极点，能求出圆的极坐标方程．【解答】解：在ρsin(θ−π3)=−√3中，令θ=0，得ρ=2，所以圆C 的圆心的极坐标为(2, 0)，因为圆C 的半径PC =√(2√2)2+22−2×2√2×2×cos π4=2， 于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．[选修4-5：不等式选讲]已知x ，y 都是正数，且xy =1，求证：(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9．【答案】证明：因为x ，y 都是正数，xy =1，所以1+x +y 2≥3√xy 23>0， 1+y +x 2≥3√yx 23>0，(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9xy ，所以(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9，当且仅当x =y =1时，取得等号．【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】由x ，y >0，且xy =1，运用三元均值不等式，由不等式的可乘性，即可得到结论．【解答】证明：因为x ，y 都是正数，xy =1，所以1+x +y 2≥3√xy 23>0， 1+y +x 2≥3√yx 23>0，(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9xy ，所以(1+x +y 2)(1+y +x 2)≥9，当且仅当x =y =1时，取得等号．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，PD =AD =2AB ，点Q 为线段PA （不含端点）上一点．(1)当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；(2)已知二面角Q −BD −P 的正弦值为23，求PQ PA 的值．【答案】解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，则D(0, 0, 0)，A(2t, 0, 0)，B(2t, t, 0)，C(0, t, 0)，P(0, 0, 2t)，Q(t, 0, t)， ∴ CQ →=(t,−t,t)，DB →=(2t,t,0)，DP →=(0,0,2t)，设平面PBD 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{DB →⋅n 1→=0,DP →⋅n 1→=0,即{2tx +ty =0,2tz =0, 取x =1，得平面的一个法向量n 1→=(1,−2,0)，， ∴ cos <n 1→,CQ →>=n 1→⋅CQ →|n 1→||CQ →|=√5×√3t=√155， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为√155.(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，DQ →=DP →+PQ →=(0, 0, 2t)+λ(2t, 0, −2t)=(2tλ, 0, 2t(1−λ)）， DB →=(2t,t,0)，设平面QBD 的法向量n 2→=(x,y,z)，则{DQ →⋅n 2→=0,DB →⋅n 2→=0,即{2tλx +2t(1−λ)z =0,2tx +ty =0, 取z =−λ，得平面QBD 的一个法向量n 2→=(1−λ,2λ−2,−λ)，由题意得，√1−(23)2=|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|| =√5√(1−λ)2+(2λ−2)2+(−λ)2， ∴ 59=5(1−λ)26λ2−10λ+5，即(λ−2)(λ−23)=0，∵ 0<λ<1，∴ λ=23，则PQ PA =23．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线与平面的夹角【解析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，求出CQ →的坐标及平面PBD 的法向量n 1→，由CQ →与n 1→所成角的余弦值可得CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，把平面QBD 的法向量n 2→的坐标用含有λ的代数式表示，再由二面角Q −BD −P 的正弦值为23列式求得λ值，则答案可求．【解答】解：(1)以D 为原点，DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．设AB =t ，则D(0, 0, 0)，A(2t, 0, 0)，B(2t, t, 0)，C(0, t, 0)，P(0, 0, 2t)，Q(t, 0, t)， ∴ CQ →=(t,−t,t)，DB →=(2t,t,0)，DP →=(0,0,2t)，设平面PBD 的法向量n 1→=(x,y,z)，则{DB →⋅n 1→=0,DP →⋅n 1→=0,即{2tx +ty =0,2tz =0, 取x =1，得平面的一个法向量n 1→=(1,−2,0)，， ∴ cos <n 1→,CQ →>=n 1→⋅CQ →|n 1→||CQ →|=√5×√3t =√155， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为√155. (2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为n 1→=(1,−2,0)，设PQ PA =λ(0<λ<1)，则PQ →=λPA →，DQ →=DP →+PQ →=(0, 0, 2t)+λ(2t, 0, −2t)=(2tλ, 0, 2t(1−λ)）， DB →=(2t,t,0)，设平面QBD 的法向量n 2→=(x,y,z)，则{DQ →⋅n 2→=0,DB →⋅n 2→=0,即{2tλx +2t(1−λ)z =0,2tx +ty =0, 取z =−λ，得平面QBD 的一个法向量n 2→=(1−λ,2λ−2,−λ)，由题意得，√1−(23)2=|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|| =5√(1−λ)2+(2λ−2)2+(−λ)2， ∴ 59=5(1−λ)26λ2−10λ+5，即(λ−2)(λ−23)=0， ∵ 0<λ<1，∴ λ=23， 则PQ PA =23．在含有n个元素的集合A n={1, 2, ..., n}中，若这n个元素的一个排列(a1, a2,…,a n)满足a i≠i(i=1, 2,…,n)，则称这个排列为集合A n的一个错位排列（例如：对于集合A3={1, 2, 3}，排列(2, 3, 1)是A3的一个错位排列；排列(1, 3, 2)不是A3的一个错位排列）．记集合A n的所有错位排列的个数为D n．(1)直接写出D1，D2，D3，D4的值；(2)当n≥3时，试用D n−2，D n−1表示D n，并说明理由；(3)试用数学归纳法证明：D2n(n∈N∗)为奇数．【答案】(1)解：根据错位排列的定义得出：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9.(2)解：D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )，理由如下：对A n的元素的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，若a1=k(k≠1)，分以下两类：若a k=1，这种排列是n−2个元素的错位排列，共有D n−2个；若a k≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k−1，k+1，…，n.排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n−1个元素的错位排列，共有D n−1个．∵k≠1，∴k共有n−1个不同的取值,∴D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )．(3)证明：根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数；当n≥3，且n为奇数时，n−1为偶数，从而D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )为偶数，又D1=0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数．下面用数学归纳法证明D2n（其中n∈N∗）为奇数．当n=1时，D2=1为奇数；假设当n=k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n=k+1时，D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，注意到D2k+1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k+1+D2k为奇数，又2k+1为奇数，所以D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，即结论对n=k+1也成立；根据前面所述，对任意n∈N∗，都有D2n为奇数．【考点】数学归纳法【解析】（1）根据错位排列的定义得出；（2）设A n的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，令a1=k(k≠1)，根据a k是否为1讨论得出D n与D n−2，D n−1的关系；（3）根据（2）的结论可知D2k+1为偶数，再利用数学归纳法证明即可．【解答】(1)解：根据错位排列的定义得出：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9.(2)解：D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )，理由如下：对A n的元素的一个错位排列(a1, a2,…,a n)，若a1=k(k≠1)，分以下两类：若a k=1，这种排列是n−2个元素的错位排列，共有D n−2个；若a k≠1，这种错位排列就是将1，2，…，k−1，k+1，…，n.排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n−1个元素的错位排列，共有D n−1个．∵k≠1，∴k共有n−1个不同的取值,∴D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )．(3)证明：根据(2)的递推关系及(1)的结论，D n均为自然数；当n≥3，且n为奇数时，n−1为偶数，从而D n=(n−1)(D n−1+D n−2 )为偶数，又D1=0也是偶数，故对任意正奇数n，有D n均为偶数．下面用数学归纳法证明D2n（其中n∈N∗）为奇数．当n=1时，D2=1为奇数；假设当n=k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n=k+1时，D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，注意到D2k+1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k+1+D2k为奇数，又2k+1为奇数，所以D2(k+1)=(2k+1)(D2k+1+D2k)，即结论对n=k+1也成立；根据前面所述，对任意n∈N∗，都有D2n为奇数．。

2018届苏州市高三年级第一次模拟考试数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 2. 已知集合A ＝{1，2a }，B ＝{－1，1，4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________． 3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标为________．4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．5. 已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x ＝________．6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v的值为________．(第6题) (第9题)7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋3≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)10. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m .(第10题) (第13题)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．12. 已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．13. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，P 是劣弧EF ︵上的一点，则PB →·PC →的取值范围是________． 14. 已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2，曲线y ＝2e x ＋x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝(3cos x ＋sin x)2－23sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合； (2) 若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，求函数f(x)的单调增区间．16. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．求证：(1) EF ∥平面ABHG ；(2) 平面ABHG ⊥平面CFED.17. (本小题满分14分)如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100 km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角(α<θ≤π2，其中锐角α的正切值为12)航行到海滨公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km /h ，车速为75 km /h .(1) 试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；(2) 试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1) 若S n ＋S n －1＝a 2n ＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.①求数列{a n }的通项公式；②若S n ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围；(2) 数列{a n }是公比为q (q >0，q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）nT kn为定值，求首项a 1的值．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ， x ≥0.(1) 当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(－x)＋f(x)＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n|≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤ae －1≤e .2018届高三年级第一次模拟考试(三)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ⊥AC ，垂足为E ，PF ⊥BC ，垂足为F .求证：PF 2＝PD ·PE.B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，求M 4β.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，其交线为AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP.(1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数y ＝f(n)，满足f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，且f(1)＝2. (1) 求证：f(3)－f(2)＝910；(2) 是否存在实数a ，b ，使f(n)＝1a ⎝⎛⎭⎫－32n －b ＋1，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．2018届苏州市高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 32. 23. (－2，0)4.110 5. 12 6. 48 7. －9 8. 949. 30π 10. 18 11. (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 12. ⎝⎛⎦⎤1，43 13. [－11，－9] 14.3＋ln 2215. 解析：(1) f(x)＝(3cos x ＋sin x)2－23sin 2x＝3cos 2x ＋23sin x cos x ＋sin 2x －23sin 2x ＝3（1＋cos 2x ）2＋1－cos 2x2－3sin 2x(2分)＝cos 2x －3sin 2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2.(4分)当2x ＋π3＝2k π＋π，即x ＝k π＋π3(k ∈Z)时，f (x )取得最小值0,此时自变量x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(7分)(2) 由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2.令π＋2k π≤2x ＋π3≤2π＋2k π(k ∈Z)，(8分)解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z)，(10分)又x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，令k ＝－1，x ∈[－π2，－π6]，令k ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤－π2，－π6和⎣⎡⎦⎤π3，π2.(14分)16. 解析：(1) 因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点，所以EF ∥A 1B 1.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ， 所以EF ∥AB.(3分)又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ， 所以EF ∥平面ABHG .(6分)(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ，又BH ⊂平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.(8分) 设BH ∩CF ＝P ，易知△BCH ≌△CC 1F ， 所以∠HBC ＝∠FCC 1.因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°， 所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.(11分) 又DC ∩CF ＝C ，DC ，CF ⊂平面CFED ， 所以BH ⊥平面CFED. 又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED.(14分)17. 解析：(1) 由题意，轮船航行的方位角为θ， 所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50， 则AP ＝50cos （90°－θ）＝50sin θ，BP ＝50tan (90°－θ)＝50sin （90°－θ）cos （90°－θ）＝50cos θsin θ，所以PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.(4分)由A 到P 所用的时间为t 1＝AP 25＝2sin θ，由P 到C 所用的时间为t 2＝100－50cos θsin θ75＝43－2cos θ3sin θ，(6分)所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为 f (θ)＝t 1＋t 2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43，(8分)函数f(θ)的定义域为⎝⎛⎦⎤α，π2，其中锐角α的正切值为12.(2) 由(1)知f(θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝⎛⎦⎤α，π2，所以f′(θ)＝6（1－3cos θ）9sin 2θ.令f′(θ)＝0，解得cos θ＝13.(10分)设θ0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使cos θ0＝13.当θ变化时，f ′(θ)，f (θ)的变化情况如下表：(12分)所以当θ＝θ0时函数f(θ)取得最小值，此时BP ＝50cos θ0sin θ0＝2522≈17.68(km )．故在BC 上选择距离B 为17.68km 处为登陆点，所用时间最少．(14分) 18. 解析：(1) 由题意知c a ＝22，所以a ＝2c.(1分)又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)，所以a －c ＝32－3，(2分) 解得c ＝3，a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝9，(4分) 所以椭圆C 的标准方程为x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4， 此时以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16；(7分)当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝16，x 2＋y 2＝9，解得x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)．猜想：以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3)．(9分) 对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1，与椭圆C 交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＋2y 2＝18， 消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k 2.(12分) 因为TA →·TB →＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（k 2＋1）1＋2k 2－16k 21＋2k 2＋16＝－16（1＋2k 2）1＋2k 2＋16＝0，所以TA ⊥TB.所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)．(16分) 19. 解析：(1) ①当n ≥2时，S n ＋S n －1＝a 2n ＋23，所以S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1＋23，两式相减得a n ＋1＋a n ＝13(a 2n ＋1－a 2n )， 即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2；(2分)当n ＝2时，S 2＋S 1＝a 22＋23，即a 22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍)， 所以a 2－a 1＝3，即数列{}a n 为等差数列，且首项a 1＝2， 所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝3n －1.(5分) ②由①知a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n 2＋n2.由题意可得λ≥S n 2n ＋1＝3n 2＋n2n ＋2对一切n ∈N *恒成立，记c n ＝3n 2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2， 所以c n －c n －1＝－3n 2＋11n －42n ＋2，n ≥2.(8分) 当n >4时，c n <c n －1；当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝12，所以当n ＝3时，c n ＝3n 2＋n 2n ＋2取得最大值1516，所以实数λ的取值范围为⎣⎡⎭⎫1516，＋∞.(11分)(2) 由题意，设a n ＝a 1q n －1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2·…·a n ＝10T n ，两边取常用对数，得 T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n .令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{}b n 是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列．(13分)若T （k ＋1）n T kn 为定值，令T （k ＋1）nT kn ＝μ，则（k ＋1）n lg a 1＋（k ＋1）n [（k ＋1）n －1]2lg qkn lg a 1＋kn （kn －1）2lg q＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]·⎝⎛⎭⎫lg a 21q ＝0对n ∈N *恒成立， 因为q >0，q ≠1，所以问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk 2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a 21＝q .将k ＋1k＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1. 因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 21＝q .又a n >0，所以a 1＝q .(16分)20. 解析：(1) 当a ＝－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x －2x ， x ≥0，当x<0时，f(x)＝－x 3＋x 2，f ′(x)＝－3x 2＋2x ＝－x(3x －2)， 令f′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝23(舍)，所以当x<0时，f ′(x)<0,所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数；(2分) 当x ≥0时，f(x)＝e x －2x ，f ′(x)＝e x －2， 令f′(x)＝0，解得x ＝ln 2，所以当0<x<ln 2时，f ′(x)<0；当x>ln 2时，f ′(x)>0，所以函数f(x)在区间(0，ln 2)上为减函数，在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，且f(0)＝1>0.(4分)综上，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，ln 2)，单调增区间为(ln 2，＋∞)．(5分) (2) 设x>0，则－x<0，所以f(－x)＋f(x)＝x 3＋x 2＋e x －ax.由题意，x 3＋x 2＋e x －ax ＝e x －3在区间(0，＋∞)上有解，等价于a ＝x 2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x(x>0)，则g′(x)＝2x ＋1－3x 2＝2x 3＋x 2－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x 2，(7分)令g′(x)＝0，因为x>0，所以2x 2＋3x ＋3>0，故解得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， 故函数g(x)在x ＝1处取得最小值g(1)＝5.(9分)要使方程a ＝g(x)在区间(0，＋∞)上有解，当且仅当a ≥g(x)min ＝g(1)＝5， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5，＋∞)．(10分) (3) 由题意知f′(x)＝e x －a.当a ≤0时，f ′(x)>0，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(m)＝f(n)，可得m ＝n ，与条件|m －n|≥1矛盾，所以a>0.(11分) 令f′(x)＝0，解得x ＝ln a.当x ∈(0，ln a)时，f ′(x)<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 若存在m ，n ∈[0，2]，f(m)＝f(n)，则ln a 介于m ，n 之间，(12分)不妨设0≤m<ln a<n ≤2.因为f(x)在(m ，ln a)上单调递减，在(ln a ，n)上单调递增，且f(m)＝f(n)， 所以当m ≤x ≤n 时，f(x)≤f(m)＝f(n)，由0≤m<n ≤2，|m －n|≥1，可得1∈[m ，n]， 所以f(1)≤f(m)＝f(n)．又f(x)在(m ，ln a)上单调递减，且0≤m<ln a ，所以f(m)≤f(0)， 所以f(1)≤f(0)．同理f(1)≤f(2)，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧e －a ≤1，e －a ≤e 2－2a ，解得e －1≤a ≤e 2－e ， 所以1≤ae －1≤e .(16分)21. A ．解析：连结PB ，PC.因为∠PCF ，∠PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以∠PCF ＝∠PBD.(2分) 因为PD ⊥BD ，PF ⊥FC ，所以△PDB ∽△PFC ，所以PD PF ＝PBPC .(5分)同理∠PBF ＝∠PCE. 又PE ⊥EC ，PF ⊥FB ，所以△PFB ∽△PEC ，所以PF PE ＝PBPC .(8分)所以PD PF ＝PFPE ，即PF 2＝PD·PE.(10分)B. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.(2分)令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，所以属于λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(5分) 令β＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －n ＝7，解得m ＝4，n ＝－3.(7分)所以M 4β＝M 4(4α1－3α2)＝4(M 4α1)－3(M 4α2)＝4(λ41α1)－3(λ42α2)＝4×34⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤321327.(10分)C. 解析：由题意知曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x ，(2分)直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得A (2，－2)，B (8，4)，所以AB ＝62，(7分)因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝22，所以S △AOB ＝12×62×22＝12.(10分)D. 解析：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(1＋1＋1)＝3.(4分)因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|x －1|＋|x ＋1|≥3. 当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32；当－1≤x ≤1时，2≥3不成立；当x >1时，2x ≥3，即x ≥32. 综上所述，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(10分) 22. 解析：(1) 因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP ＝AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD.又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直， 以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．因为BC ⊥平面ABPE ，所以BC →＝(0，0，1)为平面ABPE 的一个法向量．(2分) PD →＝(2，－2，1)，CD →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·CD →＝0，n·PD →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2x －2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝2，故n ＝(0，1，2)．(4分)设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则cos θ＝n·BC →|n|·|BC →|＝21×5＝255，显然0<θ<π2，所以平面PCD 与平面ABPE 所成二面角的余弦值为255.(6分)(2) 设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25.设PN →＝λPD →＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，BN →＝BP →＋PN →＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分) 由(1)知平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，2)，所以cos 〈BN →，n 〉＝BN →·n |BN →|·|n|＝25×9λ2－8λ＋4＝25， 即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－19(舍去)．(9分)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.(10分)23. 解析：(1) 因为f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，所以f(n ＋1)＝4－f （n ）f （n ）＋2.由f(1)＝2，代入得f(2)＝4－22＋2＝12，f(3)＝4－1212＋2＝75，所以f(3)－f(2)＝75－12＝910.(2分)(2) 由f(1)＝2，f(2)＝12，可得a ＝－45，b ＝15.(3分)以下用数学归纳法证明： 存在实数a ＝－45，b ＝15，使f(n)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32n －15＋1成立．①当n ＝1时，显然成立；(4分)②当n ＝k 时，假设存在a ＝－45，b ＝15，使得f(k)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k －15＋1成立，(5分)那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝4－f （k ）f （k ）＋2＝4－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－45⎝⎛⎭⎫－32k －15＋11－45⎝⎛⎭⎫－32k －15＋1＋2＝125⎝⎛⎭⎫－32k ＋85125⎝⎛⎭⎫－32k －25＝1＋165⎝⎛⎭⎫－32k －15＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k ＋1－15＋1，即当n＝k＋1时，存在a＝－45，b＝15，使得f(k＋1)＝1－45⎝⎛⎭⎫－32k＋1－15＋1成立．(9分)由①②可知，存在实数a＝－45，b＝15，使f(n)＝1a⎝⎛⎭⎫－32n－b＋1对任意正整数n恒成立．(10分)。

届苏州市高考数学模拟试卷及答案2018届苏州市高考数学模拟试卷及答案数学不仅所占分值高，而且难度也相对较大，要想高考数学中取得高分，那就需要在备考时多做一些高考数学模拟试卷了，以下是店铺为你整理的2018届苏州市高考数学模拟试卷，希望能帮到你。

2018届苏州市高考数学模拟试卷题目一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= .2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .3.函数f(x)= 的定义域为.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )=.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1)tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ]. 2018届苏州市高考数学模拟试卷答案一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM= {6，7} .【考点】补集及其运算.【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可.【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁UM={6，7}.故答案为：{6，7}.2.若复数z满足z+i= ，其中i为虚数单位，则|z|= .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由z+i= ，得 = ，则|z|= .故答案为： .3.函数f(x)= 的定义域为{x|x> 且x≠1}.【考点】函数的定义域及其求法.【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可.【解答】解：由题意得：，解得：x> 且x≠1，故函数的定义域是{x|x> 且x≠1}，故答案为：{x|x> 且x≠1}.4.如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码.【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案.【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3;当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4;当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5;当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24.故答案为：24.5.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300 .【考点】分层抽样方法.【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数.【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是 =∴该校高二年级学生人数为 =300，故答案为：300.6.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积.【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA= ，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO= AC= .在直角三角形POA中，PO= = =1.所以VP﹣ABCD= •SABCD•PO= ×4×1= .故答案为： .7.从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】先求出基本事件总数n= =6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率.【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n= =6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：(1，2)，(2，4)，共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p= .故答案为： .8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =l的右焦点，则双曲线的离心率为 2 .【考点】双曲线的简单性质.【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值.【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，则双曲线﹣ =l的右焦点为(2，0)，即有c= =2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e= =2.故答案为：2.9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，则a8的值为 2 .【考点】等比数列的通项公式.【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值.【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列.且a2+a5=4，∴ ，解得，∴a8= =(a1q)(q3)2=8× =2.故答案为：2.10.在平面直角坐标系xOy中，过点M(1，0)的`直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2 ，则直线l 的方程为x﹣y﹣1=0 .【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论.【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得(m2+1)y2+2my﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0.11.在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足= + ，且• =1，则实数λ的值为﹣或1 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求• 即可.【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足= + ，∴ ﹣=λ ，∴ =λ ;又 = ﹣=( +λ )﹣= +(λ﹣1) ，∴ • =λ •[ +(λ﹣1) ]=λ • +λ(λ﹣1)=λ×2×1×cos60°+λ(λ﹣1)×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1.故答案为：﹣或1.12.已知sinα=3sin(α+ )，则tan(α+ )= 2 ﹣4 .【考点】两角和与差的正切函数;两角和与差的正弦函数.【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan 的值，可得tan(α+ )的值.【解答】解：sinα=3sin(α+ )=3sinαcos +3cosαsin = sinα+ cosα，∴tanα= .又tan =tan( ﹣ )= = =2﹣，∴tan(α+ )= = = =﹣ =2 ﹣4，故答案为：2 ﹣4.13.若函数f(x)= ，则函数y=|f(x)|﹣的零点个数为 4 .【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x<1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可.【解答】解：当x≥1时， = ，即lnx= ，令g(x)=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g(1)=﹣ <0，g(2)=ln2﹣ =ln >0，g(4)=ln4﹣2<0，由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx﹣，有2个零点.(结合函数y= 与y= 可知函数的图象由2个交点.)当x<1时，y= ，函数的图象与y= 的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f(x)|﹣的零点个数为：4个.故答案为：4.14.若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1 .【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由题意可得x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值.【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22>0，则x> ，y>0，又x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)，其中y3﹣y2+ y=y(y2﹣y+ )=y(y﹣)2≥0，即y3﹣y2≥﹣ y，当且仅当y= 时取得等号，设f(x)=x3﹣x2，f(x)的导数为f′(x)=3x2﹣2x=x(3x﹣2)，当x= 时，f(x)的导数为×( ﹣2)= ，可得f(x)在x= 处的切线方程为y= x﹣ .由x3﹣x2≥ x﹣⇔(x﹣)2(x+2)≥0，当x= 时，取得等号.则x3+y3﹣x2﹣y2=(x3﹣x2)+(y3﹣y2)≥ x﹣﹣y≥ ﹣ =1.当且仅当x= ，y= 时，取得最小值1.故答案为：1.二.解答题：本大题共6小题，共计90分15.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边.若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=(1)求边c的长;(2)求角B的大小.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加即可得出c.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，可得A=B+ ，C= ，可得sinC=sin .代入可得﹣16sin2B= ，化简即可得出.【解答】解：(1)∵acosB=3，bcosA=l，∴a× =3，b× =1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c.相加可得：2c2=8c，解得c=4.(2)由(1)可得：a2﹣b2=8.由正弦定理可得： = = ，又A﹣B= ，∴A=B+ ，C=π﹣(A+B)= ，可得sinC=sin .∴a= ，b= .∴ ﹣16sin2B= ，∴1﹣﹣(1﹣cos2B)= ，即cos2B﹣ = ，∴﹣2 ═ ，∴ =0或 =1，B∈ .解得：B= .16.如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1(1)求证：E是AB中点;(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.【考点】空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的性质.【分析】(1)利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论.(2)利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直.【解答】证明：(1)连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1;∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点;(2)∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC.17.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图)，设计要求彩门的面积为S (单位：m2)•高为h(单位：m)(S，h为常数)，彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)问当α为何值时l最小?并求最小值.【考点】函数模型的选择与应用.【分析】(1)求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f(α);(2)求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小?并求最小值.【解答】解：(1)设上底长为a，则S= ，∴a= ﹣，∴l= ﹣+ (0<α< );(2)l′=h ，∴0<α< ，l′<0，<α< ，l′>0，∴ 时，l取得最小值 m.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+ =l (a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程：(2)过点D( ，﹣)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由题意可知2c=2，c=1，离心率e= ，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：(2)则直线PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆 + =l (a>b>0)，焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e= = ，则a= ，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程： ;(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A( ，0)，由题意PQ的方程：y=k(x﹣ )﹣，则，整理得：(2k2+1)x2﹣(4 k2+4 k)x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，则y1+y2=k(x1+x2)﹣2 k﹣2 = ，则kAP+kAQ= + = ，由y1x2+y2x1=[k(x1﹣)﹣]x2+[k(x2﹣)﹣]x1=2kx1x2﹣( k+ )(x1+x2)=﹣，kAP+kAQ= = =1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1.19.己知函数f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a (a为正实数，且为常数)(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围;(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(1)求出函数f(x)的导数，问题转化为a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，根据函数的单调性求出a的范围即可;(2)问题转化为(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(1)f(x)=(x+l)lnx﹣ax+a，f′(x)=lnx+ +1﹣a，若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则a≤lnx+ +1在(0，+∞)恒成立，(a>0)，令g(x)=lnx+ +1，(x>0)，g′(x)= ，令g′(x)>0，解得：x>1，令g′(x)<0，解得：0故g(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增，故g(x)min=g(1)=2，故0(2)若不等式(x﹣1)f(x)≥0恒成立，即(x﹣1)[(x+1)lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤(x+1)lnx恒成立，令m(x)=(x+1)lnx，(x≥1)，则m′(x)=lnx+ +1，由(1)得：m′(x)≥2，故m(x)在[1，+∞)递增，m(x)≥m(1)=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意;②0令n(x)=(x+1)lnx，(0则n′(x)=lnx+ +1，由(1)n′(x)在(0，1)递减，故n′(x)>n(1)=2，故n(x)在(0，1)递增，故n(x)故a≥0，而a为正实数，故a>0.20.己知n为正整数，数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=(1)求证：数列{ }为等比数列;(2)若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：(3)若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，化为：=2× ，即可证明.(2)由(1)可得：= ，可得=n •4n﹣1.数列{bn}满足bn= ，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t.(3)根据(2)的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1.【解答】(1)证明：数列{an}满足an>0，4(n+1)an2﹣nan+12=0，∴ = an+1，即 =2 ，∴数列{ }是以a1为首项，以2为公比的等比数列.(2)解：由(1)可得： = ，∴ =n •4n﹣1.∵b n= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，∵数列{bn}是等差数列，∴2× = + ，∴ = + ，化为：16t=t2+48，解得t=12或4.(3)解：数列{bn}是等差数列，由(2)可得：t=12或4.①t=12时，bn= = ，Sn= ，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴ = ，n=1时，化为：﹣ = >0，无解，舍去.②t=4时，bn= = ，Sn= ，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm 成立，∴ × ﹣a14n2=16× ，∴n =4m，∴a1= .∵a1为正整数，∴ = k，k∈N*.∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且= k，k∈N*}.四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分.A.[选修4一1：几何证明选讲]21.如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.【考点】弦切角.【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小;考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长.【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°;又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是 .[选修4-2：矩阵与变换]22.已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[ ]，并且矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)变换成(﹣2，4).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M的另一个特征值.【考点】特征值与特征向量的计算;几种特殊的矩阵变换.【分析】(1)先设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M 有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M;(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2.【解答】解：(1)设矩阵A= ，这里a，b，c，d∈R，则 =8 = ，故，由于矩阵M对应的变换将点(﹣1，2)换成(﹣2，4).则 = ，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M= .(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ﹣6)(λ﹣4)﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2， .(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.【考点】简单曲线的极坐标方程;相交弦所在直线的方程.【分析】(1)先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程.(2)先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可.【解答】解：(1)ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4;因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即 .[选修4-5：不等式选讲]24.已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求 + + 的最大值.【考点】二维形式的柯西不等式.【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得+ + 的最大值.【解答】解：由柯西不等式可得( + + )2≤[12+12+12][( )2+( )2+( )2]=3×12∴ + + ≤3 ，当且仅当 = = 时取等号.∴ + + 的最大值是6，故最大值为6.四.必做题：每小题0分，共计20分25.如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且 = = .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;(2)求二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.【分析】(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角.(2)求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值.【解答】解：(1)设AC与BD的交点为O，AB=PA=2.以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz.则A(1，﹣1，0)，B(1，1，0)，C(﹣1，1，0)，D(﹣1，﹣1，0)，…设P(0，0，p)，则 =(﹣1，1，p)，又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p= ，∵ = = =( )，=( )，∴ =(﹣1，1，﹣ )， =(0，，﹣ )，设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ= = = .θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°.(2) =(﹣1，1，﹣ )， =(1，1，﹣ )， =( ，﹣ )，设平面PBC的法向量 =(x，y，z)，则，取z=1，得 =(0，，1)，设平面PNC的法向量 =(a，b，c)，则，取c=1，得 =( ，2 ，1)，设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ= = = .∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为 .26.设|θ|< ，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sin tannθ，其前n项和为Sn(1)求证：当n为偶函数时，an=0;当n为奇函数时，an=(﹣1) tannθ;(2)求证：对任何正整数n，S2n= sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].【考点】数列的求和.【分析】(1)利用sin = ，即可得出.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.利用等比数列的求和公式即可得出.【解答】证明：(1)an=sin tannθ，当n=2k(k∈N*)为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0;当n=2k﹣1为奇函数时，an= •tannθ=(﹣1)k﹣1tannθ=(﹣1) tannθ.(2)a2k﹣1+a2k=(﹣1) tannθ.∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ.∴S2n= = sin2θ•[1+(﹣1)n+1tan2nθ].下载全文。

苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷2017.9.4数学I（试题）注意事项：1.本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2.请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3.答题前，考生务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案直接填写在.答.题.卡.相.应.位.置.上．1.已知集合A={x|−2<x<1}，B={−1,0,1}，则A∩B=.2.已知a+bi2−i=3+i（a,b∈R，i为虚数单位），则a+b的值是.3.运行如图所示的流程图，则输出的结果S是.4.有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7．现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的的概率是.5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则报考飞行员的学生人数是.6.若双曲线x2m−y2=1（m>0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则m的值是．7.将函数y=sin(2x+φ)（0<φ<π）的图象沿x轴向左平移π8个单位，得到函数y=f(x)的图象，若函数y=f(x)的图象过原点，则φ的值是．8.已知平面向量a=(2,1)，a⋅b=10，若|a+b|=5√2，则|b|的值是．9.如图，正四棱锥P−ABCD的底面一边AB的长为2√3cm，侧面积为8√3cm2，则它的体积为cm3．10.已知函数f(x)=x2+abx+a+2b．若f(0)=4，则f(1)的最大值是.11.等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n−S n=n2−16n+15（n⩾2，n∈N∗），若对任意n∈N∗，总有S n⩽S k，则k的值是.A BCDP12.已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x2+y2−4x−2y+t=0上恰有两个不同的点P，使得△P AB的面积为12，则实数t的取值范围是．13.已知函数f(x)=x+ax（a>0），当x∈[1,3]时，函数f(x)的值域为A，若A⊆[8,16]，则a的值是．14.设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x⩾0时，f(x)=2x，若对任意的x∈[a,a+2]，不等式f(x+a)⩾f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是.二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量m=(√3cos A,sin A)，n=(cos B,−√3sin B)，其中A,B为△ABC的两个内角．(1)若m⟂n，求证：C为直角；(2)若m⫽n，求证：B为锐角．16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P−ABC中，已知平面P BC⟂平面ABC．(1)若AB⟂BC，CP⟂P B，求证：CP⟂P A；(2)若过点A作直线l⟂平面ABC，求证：l⫽平面P BC．PA C某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的.内.圈由两条平行线段（图中的AB,DC）和两个半圆构成，设AB=x m，且x⩾80．(1)若内圈周长为400m，则x取何值时，矩形ABCD的面积最大？(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为22500πm2，则x取何值时，内圈周长最小？18.（本小题满分16分）如图，已知椭圆O：x 24+y2=1的右焦点为F，点B,C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y=−2上的一个动点（与y轴的交点除外），直线P C交椭圆于另一个点M．(1)当直线P M经过椭圆的右焦点F时，求△F BM的面积；(2)①记直线BM,BP的斜率分别为k1,k2，求证：k1⋅k2为定值；②求# »P B⋅# »P M的取值范围．已知数列{a n}满足a n+1+a n=4n−3（n∈N∗）．(1)若数列{a n}是等差数列，求a1的值；(2)当a1=2时，求数列{a n}的前n项和S n；(3)若对任意n∈N∗，都有a2n+a2n+1a n+a n+1⩾5成立，求a1的取值范围．20.（本小题满分16分）已知函数f(x)=(ax2+x)e x，其中e是自然对数的底数，a∈R．(1)若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>e x；(2)若f(x)在[−1,1]上是单调增函数，求a的取值范围；(3)当a=0时，求整数k的所有值，使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解．苏州市2018届高三暑假自主学习测试试卷2017.9.4数学II （附加题）注意事项：1.本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2.请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上答题无效．3.答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21.【选做题】在A,B,C,D 四小题中，只能选做2题，每小题10分，共计20分．.请.在.答.题.卡.指.定.区.域.内.作.答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.［选修4–1：几何证明选讲］如图，圆O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，BC =2，过C 作圆O 的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 和圆O 交于点D,E ，求线段AE 的长．CBE D AOB.［选修4–2：矩阵与变换］在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x,5)在矩阵M =[1234]对应的变换下得到点Q(y −2,y)，求M −1[xy ]．C.［选修4–4：坐标系与参数方程］在极坐标系中，设直线l 过点A(√3,π6),B(3,0)，且直线l 与曲线C ：ρ=a cos θ（a >0）有且只有一个公共点，求实数a 的值．D.［选修4–5：不等式选讲］已知x,y,z 均为正数，求证：x yz +y zx +z xy ⩾1x +1y +1z．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在.答.题.卡.指.定.区.域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90∘，且P A=AB=BC=12AD=1，P A⟂平面ABCD．(1)求P B与平面P CD所成角的正弦值；(2)棱P D上是否存在一点E满足∠AEC=90∘？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．PEABDC23.（本小题满分10分）设集合M={−1,0,1}，集合A n={(x1,x2,…,x n)|x i∈M,i=1,2,…,n}，集合A n中满足条件“1⩽|x1|+|x2|+⋯+|x n|⩽m”的元素个数记为S n m．(1)求S22和S42的值；(2)当m<n时，求证：S n m<3n+2m+1−2n+1．。

2018届高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知i 为虚数单位，复数z ＝32－32i 的模为________． 2. 已知集合A ＝{1，2a}，B ＝{－1，1，4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标为________．4. 苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________．5. 已知4a＝2，log a x ＝2a ，则正实数x ＝________．6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．下面的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n ，x 的值分别为3，3，则输出v 的值为________．(第6题) (第9题)7. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤3，x ＋y≥0，x －y ＋3≤0，则z ＝2x －3y 的最大值为________．8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S6S3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)10. 如图，两座建筑物AB ，CD 的高度分别是9 m 和15 m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝45°，则这两座建筑物AB 和CD 的底部之间的距离BD ＝________m .(第10题) (第13题)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为________．12. 已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．13. 如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 与点E ，F ，P 是劣弧EF ︵上的一点，则PB →·PC →的取值范围是________．14. 已知直线y ＝a 分别与直线y ＝2x －2，曲线y ＝2e x＋x 交于点A ，B ，则线段AB 长度的最小值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知函数f(x)＝(3cos x ＋sin x)2－23sin 2x.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x 的取值集合；(2) 若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，求函数f(x)的单调增区间．16. (本小题满分14分)如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知E ，F ，G ，H 分别是A 1D 1，B 1C 1，D 1D ，C 1C 的中点．求证： (1) EF ∥平面ABHG ；(2) 平面ABHG ⊥平面CFED.17. (本小题满分14分)如图，B ，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100 km ，海岛A 在城市B 的正东方向50 km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角(α<θ≤π2，其中锐角α的正切值为12)航行到海滨公路P 处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km /h ，车速为75 km /h .(1) 试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式；(2) 试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M(0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．19. (本小题满分16分)已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n . (1) 若S n ＋S n －1＝a2n ＋23(n ∈N *，n ≥2)，且a 1＝2.①求数列{a n }的通项公式；②若S n ≤λ·2n ＋1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围； (2) 数列{a n }是公比为q (q >0，q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N *，使得T （k ＋1）nTkn为定值，求首项a 1的值．20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －ax ， x≥0.(1) 当a ＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若方程f(－x)＋f(x)＝e x－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n|≥1，使得f(m)＝f(n)，求证：1≤ae －1≤e .附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB ，AC 与圆O 分别切于点B ，C ，P 为圆O 上异于点B ，C 的任意一点，PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ⊥AC ，垂足为E ，PF ⊥BC ，垂足为F .求证：PF 2＝PD ·PE .B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，求M 4β.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin2θ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，若|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，求实数x 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分) 如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，其交线为AB ，且AB ＝BP ＝2，AD ＝AE ＝1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP.(1) 求平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角的余弦值；(2) 线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于25？若存在，试确定点N 的位置；若不存在，请说明理由．23. (本小题满分10分)在正整数集上定义函数y ＝f(n)，满足f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，且f(1)＝2. (1) 求证：f(3)－f(2)＝910；(2) 是否存在实数a ，b ，使f(n)＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n －b ＋1，对任意正整数n 恒成立，并证明你的结论．参考答案1. 32. 23. (－2，0)4. 1105. 126. 487. －98. 949. 30π 10. 1811. (x －1)2＋(y ＋2)2＝2 12. ⎝ ⎛⎦⎥⎤1，4313. [－11，－9] 14. 3＋ln2215. 解析：(1) f(x)＝(3cos x ＋sin x)2－23sin 2x＝3cos 2x ＋23sin x cos x ＋sin 2x －23sin 2x ＝3（1＋cos2x ）2＋1－cos2x 2－3sin 2x(2分)＝cos 2x －3sin 2x ＋2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2.(4分)当2x ＋π3＝2k π＋π，即x ＝k π＋π3(k ∈Z)时，f (x )取得最小值0,此时自变量x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k∈Z .(7分)(2) 由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2.令π＋2k π≤2x ＋π3≤2π＋2k π(k ∈Z)，(8分)解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z)，(10分)又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，令k ＝－1，x ∈[－π2，－π6]，令k ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π6和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.(14分)16. 解析：(1) 因为E ，F 是A 1D 1，B 1C 1的中点， 所以EF ∥A 1B 1.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ， 所以EF ∥AB.(3分)又EF ⊄平面ABHG ，AB ⊂平面ABHG ， 所以EF ∥平面ABHG.(6分)(2)在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，CD ⊥平面BB 1C 1C ， 又BH ⊂平面BB 1C 1C ，所以BH ⊥CD.(8分) 设BH ∩CF ＝P ，易知△BCH ≌△CC 1F ， 所以∠HBC ＝∠FCC 1.因为∠HBC ＋∠PHC ＝90°， 所以∠FCC 1＋∠PHC ＝90°.所以∠HPC ＝90°，即BH ⊥CF.(11分) 又DC ∩CF ＝C ，DC ，CF ⊂平面CFED ， 所以BH ⊥平面CFED. 又BH ⊂平面ABHG ，所以平面ABHG ⊥平面CFED.(14分)17. 解析：(1) 由题意，轮船航行的方位角为θ， 所以∠BAP ＝90°－θ，AB ＝50，则AP ＝50cos （90°－θ）＝50sin θ，BP ＝50tan (90°－θ)＝50sin （90°－θ）cos （90°－θ）＝50cos θsin θ，所以PC ＝100－BP ＝100－50cos θsin θ.(4分)由A 到P 所用的时间为t 1＝AP 25＝2sin θ，由P 到C 所用的时间为t 2＝100－50cos θsin θ75＝43－2cos θ3sin θ，(6分)所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为f(θ)＝t 1＋t 2＝2sin θ＋43－2cos θ3sin θ＝6－2cos θ3sin θ＋43，(8分)函数f(θ)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤α，π2，其中锐角α的正切值为12.(2) 由(1)知f(θ)＝6－2cos θ3sin θ＋43，θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤α，π2，所以f ′(θ)＝6（1－3cos θ）9sin2θ.令f ′(θ)＝0，解得cos θ＝13.(10分)设θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使cos θ0＝13.当θ变化时，f ′(θ)，f(θ)的变化情况如下表：(12分)所以当θ＝θ0时函数f(θ)取得最小值，此时BP ＝50cos θ0sin θ0＝2522≈17.68(km )．故在BC 上选择距离B 为17.68km 处为登陆点，所用时间最少．(14分)18. 解析：(1) 由题意知c a ＝22，所以a ＝2c.(1分)又椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)，所以a －c ＝32－3，(2分)解得c ＝3，a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝9，(4分)所以椭圆C 的标准方程为x218＋y29＝1.(6分)(2) 当直线l 的斜率为0时，令y ＝－1，则x ＝±4，此时以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16；(7分)当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9.(8分)联立⎩⎪⎨⎪⎧x2＋（y ＋1）2＝16，x2＋y2＝9，解得x ＝0，y ＝3，即两圆过点T(0，3)．猜想：以AB 为直径的圆恒过定点T(0，3)．(9分) 对一般情况证明如下：设过点M(0，－1)的直线l 的方程为y ＝kx －1，与椭圆C 交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x2＋2y2＝18， 消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 1＋2k2，x 1x 2＝－161＋2k2.(12分)因为TA →·TB →＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k(x 1＋x 2)＋16＝－16（k2＋1）1＋2k2－16k21＋2k2＋16＝－16（1＋2k2）1＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB.所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0，3)．(16分) 19. 解析：(1) ①当n ≥2时，S n ＋S n －1＝a2n ＋23，所以S n ＋1＋S n ＝a2n ＋1＋23，两式相减得a n ＋1＋a n ＝13(a2n ＋1－a2n )，即a n ＋1－a n ＝3，n ≥2；(2分)当n ＝2时，S 2＋S 1＝a22＋23，即a22－3a 2－10＝0，解得a 2＝5或a 2＝－2(舍)，所以a 2－a 1＝3，即数列{}an 为等差数列，且首项a 1＝2，所以数列{}an 的通项公式为a n ＝3n －1.(5分) ②由①知a n ＝3n －1，所以S n ＝n （3n －1＋2）2＝3n2＋n2.由题意可得λ≥Sn 2n ＋1＝3n2＋n 2n ＋2对一切n ∈N *恒成立，记c n ＝3n2＋n 2n ＋2，则c n －1＝3（n －1）2＋（n －1）2n ＋1，n ≥2， 所以c n －c n －1＝－3n2＋11n －42n ＋2，n ≥2.(8分)当n >4时，c n <c n －1；当n ＝4时，c 4＝1316，且c 3＝1516，c 2＝78，c 1＝12， 所以当n ＝3时，c n ＝3n2＋n 2n ＋2取得最大值1516， 所以实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516，＋∞.(11分)(2) 由题意，设a n ＝a 1q n －1(q >0，q ≠1)，a 1·a 2·…·a n ＝10T n ，两边取常用对数，得 T n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n .令b n ＝lg a n ＝n lg q ＋lg a 1－lg q ，则数列{}bn 是以lg a 1为首项，lg q 为公差的等差数列．(13分)若T （k ＋1）n Tkn 为定值，令T （k ＋1）nTkn ＝μ，则（k ＋1）nlga1＋（k ＋1）n[（k ＋1）n －1]2lgqknlga1＋kn （kn －1）2lgq＝μ，即{[(k ＋1)2－μk 2]lg q }n ＋[(k ＋1)－μk ]·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a21q ＝0对n ∈N *恒成立，因为q >0，q ≠1，所以问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧（k ＋1）2－μk2＝0，（k ＋1）－μk ＝0或a21＝q .将k ＋1k＝μ代入(k ＋1)－μk ＝0，解得μ＝0或μ＝1. 因为k ∈N *，所以μ>0，μ≠1，所以a 21＝q . 又a n >0，所以a 1＝q .(16分)20. 解析：(1) 当a ＝－2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3＋x2，x<0，ex －2x ， x≥0，当x<0时，f(x)＝－x 3＋x 2，f ′(x)＝－3x 2＋2x ＝－x(3x －2)， 令f ′(x)＝0，解得x ＝0或x ＝23(舍)，所以当x<0时，f ′(x)<0,所以函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数；(2分)当x ≥0时，f(x)＝e x －2x ，f ′(x)＝e x－2， 令f ′(x)＝0，解得x ＝ln 2，所以当0<x<ln 2时，f ′(x)<0；当x>ln 2时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在区间(0，ln 2)上为减函数，在区间(ln 2，＋∞)上为增函数，且f(0)＝1>0.(4分)综上，函数f(x)的单调减区间为(－∞，0)和(0，ln 2)，单调增区间为(ln 2，＋∞)．(5分)(2) 设x>0，则－x<0，所以f(－x)＋f(x)＝x 3＋x 2＋e x－ax.由题意，x 3＋x 2＋e x －ax ＝e x －3在区间(0，＋∞)上有解，等价于a ＝x 2＋x ＋3x 在区间(0，＋∞)上有解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x(x>0)，则g ′(x)＝2x ＋1－3x2＝2x3＋x2－3x2＝（x －1）（2x2＋3x ＋3）x2，(7分)令g ′(x)＝0，因为x>0，所以2x 2＋3x ＋3>0，故解得x ＝1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，所以函数g(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增， 故函数g(x)在x ＝1处取得最小值g(1)＝5.(9分)要使方程a ＝g(x)在区间(0，＋∞)上有解，当且仅当a ≥g(x)min ＝g(1)＝5， 综上，满足题意的实数a 的取值范围为[5，＋∞)．(10分)(3) 由题意知f ′(x)＝e x－a.当a ≤0时，f ′(x)>0，此时函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，由f(m)＝f(n)，可得m ＝n ，与条件|m －n|≥1矛盾，所以a>0.(11分) 令f ′(x)＝0，解得x ＝ln a.当x ∈(0，ln a)时，f ′(x)<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 若存在m ，n ∈[0，2]，f(m)＝f(n)，则ln a 介于m ，n 之间，(12分) 不妨设0≤m<ln a<n ≤2.因为f(x)在(m ，ln a)上单调递减，在(ln a ，n)上单调递增，且f(m)＝f(n)， 所以当m ≤x ≤n 时，f(x)≤f(m)＝f(n)， 由0≤m<n ≤2，|m －n|≥1，可得1∈[m ，n]， 所以f(1)≤f(m)＝f(n)．又f(x)在(m ，ln a)上单调递减，且0≤m<ln a ，所以f(m)≤f(0)， 所以f(1)≤f(0)．同理f(1)≤f(2)，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧e －a≤1，e －a≤e2－2a ，解得e －1≤a ≤e 2－e ， 所以1≤a e －1≤e .(16分)21. A ．解析：连结PB ，PC.因为∠PCF ，∠PBD 分别为同弧BP 上的圆周角和弦切角， 所以∠PCF ＝∠PBD.(2分) 因为PD ⊥BD ，PF ⊥FC ，所以△PDB ∽△PFC ，所以PD PF ＝PBPC .(5分)同理∠PBF ＝∠PCE. 又PE ⊥EC ，PF ⊥FB ，所以△PFB ∽△PEC ，所以PF PE ＝PBPC.(8分)所以PD PF ＝PF PE ，即PF 2＝PD·PE.(10分)B. 解析：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.(2分)令f (λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，所以属于λ1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于λ2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(5分) 令β＝m α1＋n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤17＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，m －n ＝7，解得m ＝4，n ＝－3.(7分)所以M 4β＝M 4(4α1－3α2)＝4(M 4α1)－3(M 4α2)＝4(λ41α1)－3(λ42α2)＝4×34⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤321327.(10分)C. 解析：由题意知曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x ，(2分)直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(4分)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2x ，y ＝x －4，解得A (2，－2)，B (8，4)，所以AB ＝62，(7分)因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|2＝22， 所以S △AOB ＝12×62×22＝12.(10分)D. 解析：因为a ，b ，c ∈R ，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以由柯西不等式得(a －b ＋c )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(1＋1＋1)＝3.(4分)因为|x －1|＋|x ＋1|≥(a －b ＋c )2对一切实数a ，b ，c 恒成立，所以|x －1|＋|x ＋1|≥3. 当x <－1时，－2x ≥3，即x ≤－32；当－1≤x ≤1时，2≥3不成立；当x >1时，2x ≥3，即x ≥32. 综上所述，实数x 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.(10分)22. 解析：(1) 因为平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP ＝AB ，BP ⊥AB ，所以BP ⊥平面ABCD.又AB ⊥BC ，所以直线BA ，BP ，BC 两两垂直， 以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则P(0，2，0)，B(0，0，0)，D(2，0，1)，E(2，1，0)，C(0，0，1)．因为BC ⊥平面ABPE ，所以BC →＝(0，0，1)为平面ABPE 的一个法向量．(2分) PD →＝(2，－2，1)，CD →＝(2，0，0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n·CD →＝0，n·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0，2x －2y ＋z ＝0，令y ＝1，则z ＝2，故n ＝(0，1，2)．(4分)设平面PCD 与平面ABPE 所成的二面角为θ，则cos θ＝n·BC →|n|·|BC →|＝21×5＝255，显然0<θ<π2，所以平面PCD 与平面ABPE 所成二面角的余弦值为255.(6分)(2) 设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于25. 设PN →＝λPD →＝(2λ，－2λ，λ)(0≤λ≤1)，BN →＝BP →＋PN →＝(2λ，2－2λ，λ)．(7分) 由(1)知平面PCD 的一个法向量为n ＝(0，1，2)，所以cos 〈BN →，n 〉＝BN →·n |BN →|·|n|＝25×9λ2－8λ＋4＝25，即9λ2－8λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－19(舍去)．(9分)当点N 与点D 重合时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值为25.(10分)23. 解析：(1) 因为f(n)[f(n ＋1)＋1]＝2[2－f(n ＋1)]，所以f(n ＋1)＝4－f （n ）f （n ）＋2.由f(1)＝2，代入得f(2)＝4－22＋2＝12， f(3)＝4－1212＋2＝75，所以f(3)－f(2)＝75－12＝910.(2分)(2) 由f(1)＝2，f(2)＝12，可得a ＝－45，b ＝15.(3分)以下用数学归纳法证明：存在实数a ＝－45，b ＝15，使f(n)＝1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n －15＋1成立．①当n ＝1时，显然成立；(4分)②当n ＝k 时，假设存在a ＝－45，b ＝15，使得f(k)＝1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k －15＋1成立，(5分)那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝4－f （k ）f （k ）＋2＝4－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k －15＋11－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k －15＋1＋2＝125⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ＋85125⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k －25＝1＋165⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k －15＝1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ＋1－15＋1，即当n ＝k ＋1时，存在a ＝－45，b ＝15，使得f(k ＋1)＝1－45⎝ ⎛⎭⎪⎫－32k ＋1－15＋1成立．(9分)由①②可知，存在实数a ＝－45，b ＝15，使f(n)＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n－b ＋1对任意正整数n 恒成立．(10分)。

苏州市2020届高三调研测试数学Ⅰ试题 2020．1注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1.本试卷共4页，包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：球的表面积公式S=4πr2，其中r为球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知i为虚数单位，复数的模为_____．【答案】【解析】，故答案为.2.已知集合，，且，则正整数______．【答案】2【解析】，，且，，故答案为.3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点坐标为_________．【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线方程为的焦点坐标为，故答案为.4.苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为______．【答案】【解析】每分钟一班列车，其中列车在车站停留分钟，根据几何概型概率公式可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为，故答案为.5.已知，，则正实数______．【答案】【解析】，则，得，故答案为.6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．右边的流程图是秦九韶算法的一个实例．若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为_________．【答案】48【解析】输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，，结束循环，输出，故答案为.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知变量x，y满足则的最大值为______．【答案】-9【解析】画出表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时，直线截距最小，最大，最大值为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.已知等比数列的前n项和为，且，，则的值为____．【答案】【解析】设等比数列的公比为，则，即，得，，解得，故答案为.9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为______．（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】【解析】该球形容器最小时，正四棱柱与球内接，此时球直径等于正四棱柱的对角线，即，球形容器的表面积为，故答案为.10.如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角，则这两座建筑物AB和CD的底部之间的距离____m．【答案】18【解析】试题分析：过作于,设,显然此时,记;将放入中．利用建立关于的关系;将放入中,利用建立关于的关系．最后根据的关系,解出其中的．如图，过作于，设∵,记,则，在中，, ∴,在中，, ∴,∴,解得：或（舍去）．所以建筑物和底部之间的距离为．考点：直角三角形中,正切表示边;正切和角公式．11.在平面直角坐标系中，已知过点的圆和直线相切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，结合题意可得，解得m、n、r的值，代入圆的标准方程即可得答案．【详解】根据题意，设圆C的圆心为（m，n），半径为r，则圆C的标准方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2，则有，解可得：m＝1，n＝﹣2，r，则圆C的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2，故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2＝2【点睛】本题考查圆的标准方程的计算，关键是求出圆的圆心以及半径，属于基础题．12.已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【详解】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.13.如图，△ABC为等腰三角形，，，以A为圆心，1为半径的圆分别交AB，AC与点E，F，点P是劣弧上的一点，则的取值范围是______．【答案】【解析】以为原点，以的垂线平行线为轴，建立直角坐标系，由，，可得，可设，，，,故答案为.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积以及向量的坐标表示、利用三角函数的有界性求范围，属于难题. 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: ①配方法（适合二次函数）；②换元法（代数换元与三角换元）；③不等式法（注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”）；④三角函数法（注意恒等变形）；⑤图像法（根据图象的最高和最低点求解）；⑥函数单调性法求解（根据其单调性求凼数的取值范围即可），本题主要应用方法④解答的.14.已知直线y＝a分别与直线，曲线交于点A，B，则线段AB长度的最小值为______．【答案】【解析】，设与平行的的切线的点为，则切线斜率为，切线方程为，则与，被直线与切线截得的线段长，就是被直线和曲线截得线段的最小值，因为取任何值时，被两平行线截得的线段长相等，所以令，可得，线段的最小值，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及最值问题以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将被直线和曲线截得线段的最小值转化为，被直线和曲线截得线段的最小值，是解题的关键.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求函数的最小值，并写出取得最小值时自变量x的取值集合；（2）若，求函数的单调增区间．【答案】（1）取得最小值0，（2）单调增区间是和．【解析】试题分析：（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式化简，再根据余弦函数的性质可得当，即时，取得最小值；（2）令，解得，结合，分别令，可得函数在的单调增区间是和.试题解析：（1）．当，即时，取得最小值0．此时，取得最小值时自变量x的取值集合为．（2）因为，令，解得，又，令，，令，，所以函数在的单调增区间是和．【方法点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式、三角函数的图像与性质，属于中档题.的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16.如图，在正方体中，已知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，D1D，C1C的中点．（1）求证：EF∥平面ABHG；（2）求证：平面ABHG⊥平面CFED．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）由是的中点，可得，从而可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据线面垂直的性质可得，根据相似三角形的性质可得，从而根据线面垂直的判定定理可得平面，进而根据面面垂直的判定定理可得结论.试题解析：（1）因为E，F是A1D1，B1C1的中点，所以，在正方体中，A1B1∥AB，所以．又平面ABHG，AB平面ABHG，所以EF∥平面ABHG，．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD BB1C1C，又平面，所以．①设，△BCH≌△，所以，因为∠HBC+∠PHC=90+∠PHC=90所以，即．②由①②，又，DC，CF CFED，所以平面CFED．又平面ABHG，所以平面ABHG⊥平面CFED．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题 . 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．【答案】（1），定义域为（2）17.68【解析】试题分析：（1）由轮船航行的方位角为，可得，，由直角三角形的性质及三角函数的定义可得，，所以，则由经到所用时间与的函数关系为，可得函数的定义域为，其中锐角的正切值为；（2）利用导数研究函数的单调性，可得在上递减，在上递增，（），所以可得时函数取得最小值，此时≈17.68.试题解析：（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以，，则，．．由A到P所用的时间为，由P到C所用的时间为，所以由A经P到C所用时间与θ的函数关系为．函数的定义域为，其中锐角的正切值为.（2）由（1），，，，令，解得，设θ0，使所以，当时函数f(θ)取得最小值，此时BP=≈17.68，答：在BC上选择距离B为17.68 处为登陆点，所用时间最少．18.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试判断以AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】（1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，结合，列出关于、、的方程组，求出、、即可得结果；（2）设过点的直线的方程为与椭圆交于,则整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将表示为的函数，消去可得，从而可得，存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为.试题解析：（1）由题意，故，又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，解得，，所以，所以椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为．当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为，联立解得，即两圆过点．猜想以AB为直径的圆恒过定点．对一般情况证明如下：设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,则整理得，所以．因为，所以．所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.19.已知各项是正数的数列的前n项和为．（1）若（n N*，n≥2），且．①求数列的通项公式；②若对任意恒成立，求实数的取值范围；（2）数列是公比为q（q＞0， q1）的等比数列，且{a n}的前n项积．为．若存在正整数k，对任意n N*，使得为定值，求首项的值．【答案】（1）①②（2）【解析】试题分析：（1）①当时，由可得两式相减得，即，，数列为等差数列，可得，②由①知，，所以，可得对一切恒成立，记，，判断数列的单调性，求出最大项，从而可得结果；（2）设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，化为.对恒成立，问题等价于，从而可得结果.试题解析：（1）①当时，由则两式相减得，即，当时，，即，解得或（舍），所以，即数列为等差数列，且首项，所以数列的通项公式为.②由①知，，所以，由题意可得对一切恒成立，记，则，，所以，，当时，，当时，，且，，，所以当时，取得最大值，所以实数的取值范围为.（2）由题意，设（），，两边取常用对数，．令，则数列是以为首项，为公差的等差数列，若为定值，令，则，即对恒成立，因为，问题等价于将代入，解得.因为，所以，所以，又故.20.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0,+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：．【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）时，,分段求出导函数，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，所以在区间上有解，等价于在区间上有解，设，对利用导数研究函数的单调性，结合函数图象及零点存在定理，即可得到符合题意的的取值范围即可；（3）先排除的情况，到，利用导数研究函数的单调性，分别求出最大值与最小值，问题转化为解得，所以.试题解析：（1）当时，当时，，则，令，解得或（舍），所以时，，所以函数在区间上为减函数.当时，，，令，解得，当时，，当时，，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且.综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为．（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解.记，则，令，因为，所以，故解得，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值.要使方程在区间上有解，当且仅当，综上，满足题意的实数a的取值范围为.（3）由题意，，当时，，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件矛盾，所以.令，解得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增.若存在，，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，，由，，可得，故，又在上单调递减，且，所以．所以，同理．即解得，所以.三．【选做题】本题包括四大题，请选定．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则．．其中两题按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.如图，，与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，于点D，于点E，于点F.求证：.【答案】见解析.【解析】试题分析：连根据同弧上的圆周角与弦切角相等，可得. 再由，，可得，从而得.同理，，又，，因此，故，从而可得，即. 试题解析：连PB，PC，因为分别为同弧BP上的圆周角和弦切角，所以.因为，，所以△PDB∽△PFC，故.同理，，又，，所以△PFB∽△PEC，故.所以，即.22.选修4-2：矩阵与变换已知，，求．【答案】【解析】试题分析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得，从而可得结果.试题解析：矩阵的特征多项式为，令，解得，解得属于λ1的一个特征向量为，属于λ2的一个特征向量为．令，即，所以解得．所以．23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．【答案】12.【解析】试题分析：（1）先根据极坐标与直角坐标的互化公式得到的直角坐标方程，利用代入法将直线的参数方程转化为普通方程，利用点到直线距离公式求得三角形的高，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据韦达定理及直线参数方程的几何意义可求得，从而根据三角形面积公式可得结果.试题解析：由曲线C的极坐标方程是，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．所以曲线C的直角坐标方程是y2=2x．由直线l的参数方程 (t为参数)，得，所以直线l的普通方程为．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程y2=2x，得，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以，因为原点到直线的距离，所以△AOB的面积是．24.选修4-5：不等式选讲已知a，b，c∈R，，若对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（1）根据柯西不等式可得，对一切实数a，b，c恒成立，等价于，对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：因为a，b，c∈R，，由柯西不等式得，因为对一切实数a，b，c恒成立，所以．当时，，即；当时，不成立；当时，，即；综上，实数x的取值范围为．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且AB BP2，AD=AE=1，AE ⊥AB，且AE∥BP．（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。