2011年高考题全国卷2数学理科试题全解全析

2011年高考题全国卷II 数学试题·理科全解全析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选 B.在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D.22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i -（B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2xy -=解析:由图像知选B（3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A （5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B （A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a=得2222222b a a c a =⇒-=，选B （8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析 1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

2011年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：（每小题５分，共60分）1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ）A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i 【详细解析】1(1)(1)(1)1211zz z i i i i i --=+--+-=---=-【考点定位】复数与共轭复数的概念及复数的四则运算法则，考查复数的运算，属于简单题。

2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ）A ．24x y =（x R ∈）B ．24x y =（0x ≥）C ．24y x =（x R ∈） D ．24y x =（0x ≥）【详细解析】由y =0x ≥），得20,2y y x ≥=，故反函数为2(0)4x y x =≥ 【考点定位】考查反函数的求法。

属于简单题。

3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【详细解析】由a b >，可得1a b >+，反之不成立，故选A 【考点定位】考查不等式的性质与充要条件问题。

属于简单题。

4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【详细解析】()222221,244245n n k k a n S n S S k k k k +=-=-=+-=+=∴=【考点定位】考查等差数列的前n 项和公式及计算，属于简单题。

2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目：数学试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)知识点检索号新课标题目及解析54 （1）复数1z i=+，z为z的共轭复数，则1zz z--=（A）2i-（B）i-（C）i（D）2i【思路点拨】先求出的z共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

【精讲精析】选B.1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i=---=+----=-.4 （2）函数0)y x=≥的反函数为（A）2()4xy x R=∈（B）2(0)4xy x=≥（C）24y x=()x R∈（D）24(0)y x x=≥【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B.在函数0)y x=≥中，0y≥且反解x得24yx=，所以0)y x=≥的反函数为2(0)4x y x =≥.24 （3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞（C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。

11 （4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。

思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

【精讲精析】选D .19 （5）设函数()cos(0)f x xωω=＞，将()y f x=的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A）13（B）3（C）6（D）9【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x=的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（ ）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（　）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（　）A．120B．720C．1440D．50404．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（　）A．B．C．D．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A．B．C．D．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．38．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．610．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（ ）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4 11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A．8B．6C．4D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为 ．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为 ．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为 ．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为 ．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M 是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数的共轭复数是（ ）A．B．C．﹣i D．i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x|【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A ；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．3．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（ ）A．120B．720C．1440D．5040【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N=6，k=1，p=1P=1，k＜N成立，有k=2P=2，k＜N成立，有k=3P=6，k＜N成立，有k=4P=24，k＜N成立，有k=5P=120，k＜N成立，有k=6P=720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（ ）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GS：二倍角的三角函数；I5：直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】11：计算题．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ=2，所以cos2θ===，则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．6．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）A．B．C．D．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【专题】13：作图题．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．7．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（ ）A．B．C．2D．3【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a=2∴a=1∴==∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r=1得r=2；令5﹣2r=﹣1得r=3展开式中常数项为8C52﹣4C53=40故选：D．【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A．B．4C．D．6【考点】69：定积分的应用．【专题】11：计算题．【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．10．（5分）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（ ）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【考点】91：向量的概念与向量的模；9B：向量加减混合运算；9E：向量数乘和线性运算．【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．11．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（ ）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【考点】H5：正弦函数的单调性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=，由于该函数的最小正周期为T=，得出ω=2，又根据f（﹣x）=f（x），得φ+=+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ=．因此，f（x）=cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．12．（5分）函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A．8B．6C．4D．2【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】51：函数的性质及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：x A+x H=x B+x G=x C+x F=x D+x E=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为　﹣6　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z=x+2y，变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）∴z=4+2（﹣5）=﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．14．（5分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F l的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为　+=1　．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b 的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c，将a=c，代入可得，c=2，则b2=a2﹣c2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．15．（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为　8　．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．故答案为：8【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为　2　．【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinA=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．　三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{a n}的通项式为a n=．（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．　18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题；15：综合题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则即，因此可取=（，1，）设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即：可取=（0，1，），cos＜＞==故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【考点】B2：简单随机抽样；BB：众数、中位数、平均数；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；15：综合题；33：函数思想；36：整体思想．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，=•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题；32：分类讨论；35：转化思想．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3=0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a=1，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）=0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x ）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）=0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．【考点】N7：圆周角定理；NC：与圆有关的比例线段．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn=0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH ，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2﹣14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．故AD=2，AB=12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=（12﹣2）=5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M 是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A 的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；16：压轴题；32：分类讨论．【分析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．。

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。

考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。

填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。

考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为A)y=(x∈R)B)y=(x≥0)C)y=4x2(x∈R)D)y=4x2(x≥0)3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是A)a>b+1B)a>b-1C)a>bD)以上条件都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=A)8(B)7(C)6(D)55.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A)1/3B)3C)6D)96.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A)2√3/3B)√2C)1D)2√3/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A)4种B)10种C)18种D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为A)1/12B)1/2C)1/3D)1/329.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=A)-11/16B)-1/4C)1/4D)11/16210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为F(0,1)。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)2 (B)3 (C) 3(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠=(A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60o二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c r r r 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=or r r r r r r r g ，则c r 的最大值等于(A) 2 (B)(C) (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. (201的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

２０1１年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷ＩI)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分１50分，考试时间120分钟。

注意事项:１. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后,用2Ｂ铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.５毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为ｚ的共轭复数，则1zz z --=(A ） -2i (B) -ｉ (C ） i (Ｄ） 2i２. 函数)0y x =≥的反函数为(A ）()24x y x R =∈ (Ｂ) ()204x y x =≥ (C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是(A) 1a b >+ （B) 1a b >- (Ｃ)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=,则k=（A) 8 (B) 7 (C) ６ （D) ５5.设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于(A) 13(B) ３ (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ＡBC 的距离等于（A ） 2（B ） 3 (Ｃ) 3 （Ｄ) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B ） 1０种 (C) １8种 (D ） ２0种8.曲线21x y e=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 （A) 13 (Ｂ) 12 (C) 23（Ｄ) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （A) 12- （B) 14- （Ｃ） 14 (D) 1210.已知抛物线C:24y x =的焦点为F,直线24y x =-与C 交于Ａ、B 两点，则cos AFB ∠=(A ） 45 （B ） 35 （C ） 35- (Ｄ) 45- １1.已知平面α截一球面得圆Ｍ,过圆心Ｍ且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π１2． 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=,则c 的最大值等于(A) 2 （B) (Ｃ） (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共2０分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题,其答案按先后次序填写.１３. (201-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin α=，则tan 2α= . 15． 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A C ∈，点Ｍ的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线,则 2AF = ．16. 已知点Ｅ、Ｆ分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =, 12CF FC =,则面AE Ｆ与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题:本大题共6小题，共70分。

2011年普通高等数学招生全国统一考试理科数学（必修＋选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第二卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --＝A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数y =x ≥0）的反函数为A ．2()4x y x R =∈ B ．2(0)4x y x =≥ C ．24()y x x R =∈D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b > D ．33a b >4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =公差2d =，224k k S S +-=，则k ＝A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，B β∈，BD l ⊥，D 为垂足．若2AB =，1AC BD ==，则D 平面ABC 的距离等于A B C D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线21x y e -=+的点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2(1)f x x x =-，则5()2f -＝A ．12-B ．14-C ．14D ．1210．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于,A B 两点，则cos AFB ∠＝A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量,,a b c 满足||||1a b == ，12a b ⋅=- ，,60a c b c <-->=，则||c 的最大值等于A ．2B CD ．1第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．20(1的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 ． 14．已知(,)2παπ∈，sin 5α=，则tan 2α＝ ． 15．已知1F 、2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2||AF ＝ ．16．已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 、1CC 上，且12B E EB =，12CF FC =，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知90A C -=，a c +=，求C ． 18．（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．设各车主购买保险相互独立．（1）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）X 表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X 的期望． 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形．2AB BC ==，1CD SD ==． （1）证明：SD ⊥平面SAB ；（2）求AB 与平面SBC 所成的角的大小．20．（本小题满分12分）ASD BC设数列{}n a 满足10a =且111111n na a +-=--．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设n b =，记1nn kk S b==∑，证明：1n S <．21．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++= ．（1）证明：点P 在C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 22．（本小题满分12分） （1）设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x >时，()0f x >； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后施加，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p ．证明：19291()10p e<<．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题17．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224A n S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂[来源:Z§xx§]足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3 (B)3 (C)3(D) 1(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种[来源:学科网](8)曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23(D)1(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A)7π (B)9π (C)11π (D)13π(12)设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于 (A)2 (B)3 (c)2 (D)1第Ⅱ卷 注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于 (A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50404．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．38．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．409．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．610．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4 11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB ＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数＝＝＝i，它的共轭复数为：﹣i．故选：C．【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型．2．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．3．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N＝6，k＝1，p＝1P＝1，k＜N成立，有k＝2P＝2，k＜N成立，有k＝3P＝6，k＜N成立，有k＝4P＝24，k＜N成立，有k＝5P＝120，k＜N成立，有k＝6P＝720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．5．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．6．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．7．（5分）（2011•新课标）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l 与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2D．3【分析】不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），由题设知，，由此能够推导出C的离心率．【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，，∴，b2＝2a2，c2﹣a2＝2a2，c2＝3a2，∴e＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．8．（5分）（2011•新课标）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40B．﹣20C．20D．40【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a＝2∴a＝1∴＝＝∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r25﹣r C5r x5﹣2r令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40故选：D．【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．9．（5分）（2011•新课标）由曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4C．D．6【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y＝，直线y＝x﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y＝，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S＝．故选C．【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．10．（5分）（2011•新课标）已知与均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题P1：|+|＞1⇔θ∈[0，）；P2：|+|＞1⇔θ∈（，π]；P3：|﹣|＞1⇔θ∈[0，）；P4：|﹣|＞1⇔θ∈（，π]；其中的真命题是（）A．P1，P4B．P1，P3C．P2，P3D．P2，P4【分析】利用向量长度与向量数量积之间的关系进行转化求解是解决本题的关键，要列出关于夹角的不等式，通过求解不等式得出向量夹角的范围．【解答】解：由，得出2﹣2cosθ＞1，即cosθ＜，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈（，π]，故P3错误，P4正确．由|+|＞1，得出2+2cosθ＞1，即cosθ＞﹣，又θ∈[0，π]，故可以得出θ∈[0，），故P2错误，P1正确．故选：A．【点评】本题考查三角不等式的求解，考查向量长度不等式的等价转化，考查向量数量积与向量长度之间的联系问题，弄清向量夹角与向量数量积的依赖关系，考查学生分析问题解决问题的思路与方法，考查学生解题的转化与化归能力．11．（5分）（2011•新课标）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【分析】利用辅助角公式将函数表达式进行化简，根据周期与ω的关系确定出ω的值，根据函数的偶函数性质确定出φ的值，再对各个选项进行考查筛选．【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）＝，由于该函数的最小正周期为T＝，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φ+＝+kπ（k∈Z），以及|φ|＜，得出φ＝．因此，f（x）＝cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．【点评】本题考查三角函数解析式的确定问题，考查辅助角公式的运用，考查三角恒等变换公式的逆用等问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的整体思想和余弦曲线的认识和把握．属于三角中的基本题型．12．（5分）（2011•新课标）函数y＝的图象与函数y＝2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8B．6C．4D．2【分析】函数y1＝与y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1＝，y2＝2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x ≤4时，y 1＜0而函数y 2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y 1在（1，4）上函数值为负数，且与y 2的图象有四个交点E 、F 、G 、H 相应地，y 1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y 2的图象有四个交点A 、B 、C 、D 且：x A +x H ＝x B +x G ＝x C +x F ＝x D +x E ＝2，故所求的横坐标之和为8．故选：A ．【点评】本题考查两个函数的图象的交点的横坐标之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）若变量x ，y 满足约束条件，则z ＝x +2y 的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z ＝x +2y 变化为y ＝﹣x +，当直线沿着y 轴向上移动时，z 的值随着增大，当直线过A 点时，z 取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z ＝x +2y ，变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．14．（5分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为．过F1的直线交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为+＝1．【分析】根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16，结合椭圆的定义，有4a＝16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF1＝16；根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4；椭圆的离心率为，即＝，则a＝c，将a＝c，代入可得，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝8；则椭圆的方程为+＝1；故答案为：+＝1．【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可．15．（5分）（2011•新课标）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O﹣ABCD的体积为8．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：＝8．故答案为：8【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．16．（5分）（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC＝，则AB+2BC的最大值为2．【分析】设AB＝cAC＝bBC＝a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a＝m 代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B＝所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0故m≤2当m＝2时，此时a＝，c＝符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有＝＝＝＝2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin A＝cos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数思想的运用．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2＝1，a32＝9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32＝9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2＝1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式代入设bn＝log3a1+log3a2+…+log3a n，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b n的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32＝9a2a6得a32＝9a42，所以q2＝．由条件可知各项均为正数，故q＝．由2a1+3a2＝1得2a1+3a1q＝1，所以a1＝．故数列{a n}的通项式为a n＝．（Ⅱ）b n＝++…+＝﹣（1+2+…+n）＝﹣，故＝﹣＝﹣2（﹣）则++…+＝﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．＝（﹣1，，0），＝（0，，﹣1），＝（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则即，因此可取＝（，1，）设平面PBC的法向量为＝（x，y，z），则，即：可取＝（0，1，），cos＜＞＝＝故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及应用空间向量求空间角问题，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）【分析】（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X＝﹣2）＝0.04，P（X＝2）＝0.54，P（X＝4）＝0.42，即X的分布列为X﹣224P0.040.540.42∴X的数学期望值EX＝﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42＝2.68【点评】本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y＝﹣3上，M点满足∥，＝•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，＝•，即可求得M点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所＝（﹣x，﹣1﹣y），＝（0，﹣3﹣y），＝（x，﹣2）．再由题意可知（）•＝0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）＝0．所以曲线C的方程式为y＝﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y＝﹣2上一点，因为y′＝x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0＝x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02＝0．则o点到l的距离d＝．又y0＝﹣2，所以d＝＝≥2，所以x02＝0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．【点评】此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞+，求k的取值范围．【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值．（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围．【解答】解：由题意f（1）＝1，即切点坐标是（1，1）（Ⅰ）由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a＝1，b＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以）．考虑函数（x＞0），则．（i）设k≤0，由知，当x≠1时，h′（x）＜0．而h（1）＝0，故当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，可得；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，可得h（x）＞0从而当x＞0，且x≠1时，f（x）﹣（+）＞0，即f（x）＞+．（ii）设0＜k＜1．由于当x∈（1，）时，（k﹣1）（x2+1）+2x＞0，故h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时h′（x）＞0，而h（1）＝0，故当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾．综合得，k的取值范围为（﹣∞，0]．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．2011年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•大纲版）复数z＝1+i，为z的共轭复数，则z•﹣z﹣1＝（）A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i2．（5分）（2011•大纲版）函数y＝（x≥0）的反函数为（）A．y＝（x∈R）B．y＝（x≥0）C．y＝4x2（x∈R）D．y＝4x2（x≥0）3．（5分）（2011•大纲版）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b34．（5分）（2011•大纲版）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝24，则k＝（）A．8B．7C．6D．55．（5分）（2011•大纲版）设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．96．（5分）（2011•大纲版）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于（）A．B．C．D．17．（5分）（2011•大纲版）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4种B．10种C．18种D．20种8．（5分）（2011•大纲版）曲线y＝e﹣2x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）（2011•大纲版）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则＝（）A．﹣B．﹣C．D．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)数学（理工农医类）解析一、选择题1.【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可.【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=- 2.【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围,它是反函数的定义域.【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中,0y ≥且反解x 得24y x =,所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.3.【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清,注意寻找的是通过选项能推出a b ＞,而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P,逐项验证可选A. 4.【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可.思路二：利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解,运算稍简. 【精讲精析】2k k S S +-= 21k k a a +++=11(21)(11)a k d a k d ++-+++-=12(21)a k d ++21(21)244245k k k =⨯++⨯=+=⇒=故选D.5.【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,说明了3π是此函数周期的整数倍.【精讲精析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C6.【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE,根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面β,进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E,则DE 就是要求的距离. 【精讲精析】选C .如图,作DE BC ⊥于E,由l αβ--为直二面角,AC l ⊥得AC ⊥平面β,进而AC DE ⊥,又,BC DE BC AC C ⊥=I ,于是DE ⊥平面ABC,故DE 为D 到平面ABC 的距离.在Rt BCD ∆中,利用等面积法得1263BD DC DE BC ⨯⨯===7.【思路点拨】本题要注意画册相同,集邮册相同,这是重复元素,不能简单按照排列知识来铸.所以要分类进行求解.【精讲精析】分两类：取出的1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；取出的2本画册,2本集邮册,此时赠送方法有246C =种.故共有赠送方法4+6=10种,故选B 8.【思路点拨】利用导数求出点（0,2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x 的交点问题即可解决.【精讲精析】202,|2x r y e y -=''=-=-切线方程是：22y x =-+,232223x y x y x y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩得即得1211233S =⨯⨯= 故选A. 9.【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【精讲精析】先利用周期性,再利用奇偶性得:5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-Q 1112()(1)222=-⨯-=- 故选A 10.【思路点拨】方程联立求出A 、B 两点后转化为解三角形问题.【精讲精析】联立2424y xy x ⎧=⎨=-⎩,消y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==.不妨设A 在x 轴上方,于是A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2), 可求5,2AB AF BF ===,利用余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯.11.【思路点拨】做出如图所示的图示,问题即可解决.【精讲精析】作示意图如,由圆M 的面积为4π,易得222,23MA OM OA MA ==-=.23OM =,在Rt ONM V 中,030OMN ∠=,213,3132ON OM Rt ONB ∴==-=V 2在中,NB=4 ,故选D 12.【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形,然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时,||c r最大.【精讲精析】选A .如图,构造,,,120,60,AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=o o u u u r r u u u r r u u u r r,所以A 、B 、C 、D 四点共圆,分析可知当线段AC 为直径时,||c r最大,最大值为2. 二、13..【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式,另一个要注意r n r n n C C -=.【精讲精析】212020(1)()(1)r r rrr r r T c x c x +=-=-,令12r =得r =2,令2r =9得18r =,所以x 的系数为2222020(1)c c -=,91822020x c c =18的系数为(-1)故x 的系数与9x 的系数之差为220c -220c =014. 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围,再求出正切值,最后利用正切函数的倍角公式即可求解. 【精讲精析】43-.由a ∈(2π,π),sin α=得sin 1cos tan 5cos 2αααα=-==-, 22tan 4tan 21tan 3ααα==--. 15. 【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解. 【精讲精析】6. 由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AF MF AF AF a AF MF ==-==,故2||6AF = 16. 【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF 必与BC 相交,交点为P,则AP 为面AEF 与面ABC 的交线.【精讲精析】3.延长EF 交BC 的延长线于P,则AP 为面AEF 与面ABC 的交线,因为90CAP ∠=o ,所以FCA ∠为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角.2tan 3FC FCA CA ∠===三、解答题：本大题共6小题,共70分．17. 【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系,然后再结合A —C =90°,得到sin cos A C =.即可求解.【精讲精析】由90A C -=o ,得A 为钝角且sin cos A C =,利用正弦定理,a c +=可变形为sin sin A C B +=, 即有sin sin cos sin 45)A C C C C B +=+=+=o , 又A 、B 、C 是ABC ∆的内角,故45C B +=o 或(45)180C B ++=o o (舍去)所以(90)(45)180A B C C C C ++=++++=o o o . 所以15C =o .（本小题满分10分） 18.【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,即可求出p=0.6.然后（ii ）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可. 【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：(10.5)0.3p ⨯-=,解得0.6p =.（I ） 设所求概率为P 1,则11(10.5)(10.6)0.8P =--⨯-=.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8. （II ） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2-⨯-=.(100,0.2)X B :,1000.220EX =⨯=所以X 的期望是20人. 19.【思路点拨】本题第（I ）问可以直接证明,也可建系证明. （II ）建立空间直角坐标系,利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小.【精讲精析】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,//,AB CD BC CD ⊥ ,易算得：AD BD ==又因为侧面SAB 为等边三角形,SD=1,AB=2, 所以2225SD SA AD +==,2225SD SB BD +== 于是SD SA ⊥,SD SB ⊥, 所以SD SAB ⊥平面.（II ）（向量法）过D 做Dz ABCD ⊥平面,如图建立空间直角坐标系D-xyz,A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),1(,0,22S 可计算平面SBC的一个法向量是2),(0,2,0)n AB ==r u u u r|||cos ,|7||||AB n AB n AB n ⋅<>===⋅u u u r ru u u r r u u u r r 所以AB 与平面SBC所成角为arcsin7（几何法）设点A 到平面SBC 的距离为d, 因为SD SAB ⊥平面,所以SD AB ⊥,从而SD CD ⊥,因而可以算得：SC =,又2SB BC ==,故2SBC S ∆=又因为//CD SAB 平面,所以点C 到平面SAB 的距离为1SD = 另外,显然224SBA S ∆==,所以111323A SBC C SAB V d V --=⨯==四棱锥四棱锥得：d =设AB 与平面SBC 所成的角为α,则7sin 27α==,即AB 与平面SBC所成的角为sin 7arc （显然α是锐角） 20.【思路点拨】解本题突破口关键是由式子111 1.11n na a +-=--得到1{}1n a -是等差数列,进而可求出数列{}n a 的通项公式.（II ）问求出{}n b 的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和. 【精讲精析】 (I) （Ⅰ）由111111n na a +-=--得： 数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列,首项为1111a =- 故()11111n n n a =+-⨯=-,从而11n a n=-(II)n b ===111nn k k S b ===+++=-<∑L . 21.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路,注意把0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r用坐标表示后求出P 点的坐标,然后再结合直线方程把P 点的纵坐标也用A 、B 两点的横坐标表示出来.从而求出点P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上.(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值互补即可,再求正切值时要注意利用倒角公式.思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上,所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N,然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设1122(,),(,)A x y B x y直线:1l y =+,与2212y x +=联立得2410x --=12x x ==121214x x x x +==- 由0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r得1212((),())P x x y y -+-+12()x x -+=, 121212()(11))21y y x x -+=-+++=+-=-22(1)(12-+= 所以点P 在C 上.（II）法一：1222tan (1)(1)11PA PBPA PBk k APB y y k k -∠==----+2112124()322x x -==同理,212122tan 111122QB QA QA QBk k AQB y y k k --∠==--+214()3x x -==-所以,APB AQB ∠∠互补,因此A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.法二：由(,1)2P --和题设知,2Q ,PQ 的垂直平分线1l的方程为2y x =-…① 设AB 的中点为M,则1)2M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为14y x =+…② 由①②得1l 、2l的交点为1(,)88N -||8NP ==, 21||||2AB x x =-=||4AM =,||MN ==,||8NA==故||||NP NA=.||||,||||NP NQ NA NB==所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.22 .【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题,不难证明.第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现.【精讲精析】(I)22212(2)2()01(2)(2)(1)x x xf xx x x x+-'=-=≥++++所以()f x在(1,)-+∞上单增.当0x>时,()(0)0f x f>=.（II）100999881100100100100p=⨯⨯⨯⨯L由(I),当x<0时,()(0)0f x f<=,即有2ln(1)2xxx+<+故1()911019ln19ln(1)192110102210-=-<⨯=--⨯+于是919ln210e e-<,即19291()10e<.利用推广的均值不等式：120nix x xxn+++≥>L19191009998811009998819100100100100() 1001001001001910p⎛⎫++++⎪=⨯⨯⨯⨯<=⎪⎪⎝⎭LL另解：211(ln)()0xx x'''==-<,所以lny x=是上凸函数,于是1212ln ln ln ln nnx x xx x xn++++++<LL因此100999881ln lnln ln ln 100100100100p =++++L 10099988110010010010019ln 19⎛⎫++++ ⎪< ⎪ ⎪⎝⎭L 919ln()10=, 故199()10p < 综上：19291()10p e <<。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用.【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换.【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=. (6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1AB ACBD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D 到平面ABC 的距离.在Rt BCD ∆中,由等面积法得BD CD DE BC ⨯=== (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23 (D)1【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式.【解析】'22,x y e -=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23, 23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=. (9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-. (10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得,5,2A B A F B F ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯. (11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离OM =,在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==故圆N的半径r ∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g ，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)2【答案】A【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r 最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。