第五章 连续时间系统的复频域分析

因而拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。

拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法都是建立在线性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。

只是信号分解的基本单元函数不同。

（1）拉普拉斯变换的数学定义和物理意义（2）拉普拉斯变换的性质及计算方法（3）连续时间系统的复频域分析法（4）系统函数的定义§5.3 拉普拉斯变换的收敛域由上面的讨论可知，连续时间信号f t 的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式F s 是否存在，取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：受迫分量自然分量受迫分量自然分量例5-15 图5-18中，已知C1 1F， C2 2F， R 3Ω，初始条件uC1 0 EV，方向如图。

设开关在t 0时闭合，试求通过电容C1的响应电流iC1 t 。

图5-18 （a）时域电路模型 E 图5-18 （b）s域电路模型 3 s s 2 1 s 1 1 s I C uC1 0 C1 1F， C2 2F，R 3Ω初始条件uC1 0 EV s 1 1 s I C 3 s s 2 1 E sin ?ot 例：解： 9、时域卷积定理：若则 10、频域卷积定理：则若其中初值: f t |t 0+ f 0+ 若f t 有初值，且f t ? F s ，则 12、终值定理：终值: f t |t ? f ? 若f t 有终值，且f t ?F s ，则 11、初值定理：注意：终值存在的条件：F s 在s右半平面无极点，在j?轴上单实根极点[F S 1/S]。

当f t 含有冲激及其导数时，有解：§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析方法一、由方程求响应利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个s域的代数方程; 由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。

实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MAT1AB实现方法。

2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。

3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法1、拉普拉斯变换连续时间信号XQ)的拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换定义为X(S)=Γx(t)e-st dt (1)J-‹XJ拉普拉斯反变换定义为x(t)≈-Γr X(s)e s,ds (2)2用J”>在MAT1AB中，可以采用符号数学工具箱的Iap1ace函数和iIap1ace函数进行拉氏变换和反拉氏变换。

1=IaPIaCC(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回变量为S的结果表达式。

1=Iap1ace(F,t)用t替换结果中的变量s。

F=i1ap1ace(1)以S为变量的符号表达式1的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。

F=iIap1ace(1,x)用X替换结果中的变量t。

除了上述iIap1ace函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下：当X(S)为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：X(S)=祟=…+"。

...................... ⑶D(S)a N s+即_科+…+劭式(3)可以用部分分式法展成一下形式X(S)=/一+/一+...+—^ (4)♦Pi s-p2s-p N通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式(1-2)求得拉普拉斯逆变换。

利用MAT1AB的residue函数可以将I(S)展成式(1-2)所示的部分分式展开式，该函数的调用格式为：[r,p,k]=residuc(b,a)其中b、a为分子和分母多项式系数向量，r、p、k分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。

2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换HG)=Γh(t)e-s1dt (5)J-OO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和系统输出信号的拉氏变换之比得到H(S)=Y(S)ZX(S) (6)单位冲激响应反映了系统的固有性质，而"($)从复频域反映了系统的固有性质。

一，真验手段之阳早格格创做针对于推普推斯变更及其反变更，相识定义、并掌握matlab真止要领；掌握连绝时间系统函数的定义战复频域分解要领；利用MATLAB加深掌握系统整极面战系统分散.二，真验本理调用laplace战ilaplace函数表示推氏变更战推氏反变更：L=laplace(F)标记表白式F的推氏变更，F中时间变量为t，返回变量为s的截止表白式.L=laplace(F,t)用t替换截止中的变量s.F=ilaplace(L)以s为变量的标记表白式L的推氏反变更，返回时间变量为t的截止表白式.F=ilaplace(L,x)用x替换截止中的变量t.供多项式的根不妨通过roots去真止：r=roots(c) c为多项式的系数背量，返回值r为多项式的根背量.画造系统函数的整极面分散图，可调用pzmap函数：Pzmap(sys)画出由系统模型sys形貌的系统的整极面分散图.[p，z]=pzmap(sys)返回极面战整面，不画出分散图.三，真验真质（1）已知系统的冲激赞同h(t)=u(t)-u(t-2)，输进旗号x(t)=u(t)，试采与复频域的要领供解系统的赞同，编写MATLAB步调真止.MATLAB步调如下：syms t h x y H Xh = heaviside(t) - heaviside(t - 2)x = heaviside(t)H = laplace(h)X = laplace(x)Y = X*Hy = ilaplace(Y)disp(y)ezplot(y,[-5,4])title('h(t)')步调真止截止如下：所以解得（2）已知果果连绝时间系统的系统函数分别如下：①②试采与matlab画出其整极面分散图，供解系统的冲激赞同h(t)战频次赞同H(w)，并推断系统是可宁静.MATLAB步调如下：syms H sb = 1a = [1,2,2,1]H = tf(b,a)pzmap(H)axis([-2,2,-2,2])figureimpulse(H)步调真止截止如下：该果果系统所有极面位于s里左半仄里，所以是宁静系统.MATLAB步调如下:b = [1,0,1]a=[1,2,-3,3,3,2]H = tf(b,a)figurepzmap(H)axis([-3.5,3.5,-3.5,3.5])figureimpulse(H)步调真止截止如下：该果果系统的极面不齐位于S 仄里的左半仄里，所以系统是不宁静系统.（3）已知连绝时间系统函数的极面位子分别如下所示：试用MATLAB画造下述6种分歧情况下，系统函数的整极面分散图，并画造赞同冲激赞同的时域波形，瞅察并分解系统函数极面位子对于冲激响当令域个性的做用.①p=0z = []p = [0]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)②p=-2z = []p = [-2]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)③p=2z = []p = [2]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)④p1=2j,p2=-2jz = []p = [2j,-2j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)axis([0,8,-2,2])⑤p1=-1+4j,p2=-1-4j z = []p = [-1+4j,-1-4j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k) sys = tf(b,a)pzmap(sys) impulse(sys)axis([0,6,-0.1,0.2])⑥p1=1+4j,p2=1-4jz = []p = [1+4j,1-4j]k = [1][b,a] = zp2tf(z,p,k)sys = tf(b,a)pzmap(sys)impulse(sys)问：由步调真止截止不妨瞅出，正在无整面的情况下：当极面唯一且正在本面时，h(t)为常数；当极面唯一且是背真数时，h(t)为递减的指数函数；当极面唯一且是正真数时，h(t)为递加的指数函数；当H（s）有二个互为共轭的极面时，h(t)有sint果子；当H（s）有二个互为共轭的极面且他们位于左半仄里时，h(t)另有果子；当H（s）有二个互为共轭的极面且他们位于左半仄里时，h(t)另有果子.（4）已知连绝时间系统的系统函数分别如下：①②③上述三个系统具备相共的极面，不过整面分歧，试用MATLAB分别画造系统的整极面分散图及相映冲激赞同的时域波形，瞅察并分解系统函数整面位子对于冲激响当令域个性的做用.①MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：②MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1 8]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：③MATLAB步调如下：a = [1 2 17]b = [1 -8]sys = tf(b,a)subplot(211)pzmap(sys)subplot(212)impulse(b,a)步调真止截止如下：由步调真止截止瞅出，当极面稳定时，整面分散只做用系统时域赞同的幅度战相位，对于时域赞同模式不做用.不会改变是衰减振荡仍旧删少振荡.四，心得体验MATLAB正在推普推斯变更处又一次化繁为简，简化了繁纯的估计，奖截止曲瞅的呈当前了尔的少远.。

实验5–连续时间系统的复频域分析实验背景在连续时间系统的频域分析中，复频域分析是非常重要的一个方法。

其可以帮助我们更直观地了解系统的频率响应，包括幅频响应和相频响应，对于系统的设计和优化都有非常实际的应用价值。

因此，在本次实验中，我们将通过对一个特定系统的复频域分析来学习这一方法的基本原理和操作流程。

实验目的1.了解连续时间系统的幅频响应和相频响应2.掌握利用MATLAB对系统进行复频域分析的方法3.学会根据复频域图像对系统进行分析和优化实验原理连续时间系统幅频响应和相频响应在连续时间系统的频域分析中，使用的是拉普拉斯变换。

通过对系统的输入信号和输出信号进行拉普拉斯变换，可以得到它们在复平面上的函数，进而求得系统的传递函数H(s):H(s)=Y(s)/X(s)其中，s为复变量。

系统的幅频响应和相频响应分别定义为:H(s)的模和相位:|H(jw)|=sqrt(H(s)H(s)*) (模) arg(H(jw))=tan^-1[Im{H(jw)}]/Re{H(jw)} (相位) 其中，w为实数，j为虚数单位。

利用MATLAB进行系统复频域分析MATLAB提供了众多用于连续时间系统复频域分析的工具。

其中，最基本的是bode命令。

它可以计算和绘制给定系统的幅频响应和相频响应曲线。

常用命令格式如下：[bode(H,w)]其中，H为系统的传递函数，w为频率范围除此之外，MATLAB还提供了很多其他的命令，如nyquist、margin、freqresp 等。

它们可以帮助我们更全面地分析系统的性能和特点。

实验步骤实验环境1.一台已安装MATLAB的计算机实验流程1.根据给定的系统传递函数H(s)，利用MATLAB计算和绘制其幅频响应和相频响应曲线。

%定义系统传递函数H=tf([5+j*10 0.6+0.2*j],[1 2+j 3 4-j 5+j]);%绘制幅频响应和相频响应曲线figure(1)subplot(2,1,1)bode(H);subplot(2,1,2)nyquist(H);2.根据绘制的幅频响应和相频响应曲线，对系统进行分析和优化。

实验五--连续时间系统的复频域分析实验五连续时间系统的复频域分析实验目的：1、掌握利用Matlab 计算拉普拉斯正反变换的方法；2、掌握如何利用Matlab 求部分分式展开的系数。

实验原理：1、拉普拉斯正反变换Matlab 的符号数学工具箱中提供了计算Laplace 正反变换的函数laplace 和ilaplace ，其调用形式分别为：)(f laplace F =和)(F ilaplace f =上述两个式中，右端的f 和F 应分别为系统的时域表示式和s 域表示式符号表示式。

需要注意的是符号数学工具箱给出的结果也是解析表达式（其中可以带上尚为未知的参数符号），而并非一般的以向量来表示的数值结果。

2、部分分式展开法求拉普拉斯逆变换利用Matlab 中的residue 函数可以实现将s 域表示式)(s F 的部分分式展开式，其调用形式为：),(],,[den num residue k p r =其中，num 和den 分别为)(s F 分子多项式和分母多项式的系数向量(num=numerator ，den ＝denominator)，r 为所得部分分式展开项的系数量，p 为极点，k 为直流分量。

如果ss s s s F 342)(23+++=，则num ＝[1 2]；den ＝[1 4 3 0]；运行的结果为：r ＝-1/6 -1/2 2/3p=-3 -1 0k=[]即得F(s)可以展开为：36/112/13/2)(+-++-+=s s s s F再由基本得Laplace 变换对可知，F(s)得反变换)(t f 为： )(61)(21)(32)(3t e t e t t f t t εεε----= 注意：如果分母不是多项式而是因子相乘的形式，我们可以利用conv 函数将其转换为多项式的形式，如分母为)2)(1(++s s ，则den ＝conv([1 1],[1 2])。

实验内容：一、利用Matlab 程序求)(t f 的Laplace 变换：1、)()(t t f ε=程序代码：>> syms tf=heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =1/s2、)()(3t te t f t ε-=程序代码：>> syms tf=t*exp(-3*t)*heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =1/(s + 3)^23、)()sin()(t at e t f t ε-=程序代码：>> syms t af=exp(-t)*sin(a*t)*heaviside(t);F=laplace(f)输出结果：F =a/((s + 1)^2 + a^2)二、利用Matlab 程序求)(s F 的Laplace 反变换：1、11)(+=s s F 程序代码：>> syms sF=1/(s+1);f=ilaplace(F)输出结果：f =exp(-t)2、1)(22+=s s s F 程序代码：>> syms sF=s^2/(s^2+1);f=ilaplace(F)输出结果：f =dirac(t) - sin(t)3、ss s s s F 342)(23+++=程序代码：>> syms sF=(s+2)/(s^3+4*s^2+3*s);f=ilaplace(F)输出结果：f =2/3 - exp(-3*t)/6 - exp(-t)/2三、用部分分式展开法将F(s)的展开，并求其反变换1、23795)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[1 5 9 7];den=[1 3 2];[r,p,k]=residue(num,den) >> syms s F=(s^3+5*s^2+9*s+7)/(s^2+3*s+2); f=ilaplace(F)展开结果：反变换结果： r = -1 2p = -2 -1k = 1 2 f =2*exp(-t) - exp(-2*t) + 2*dirac(t) + dirac(1, t)2、)2)(1(532)(223+++++=s s s s s s F 展开程序代码：反变换代码： >> num=[2 3 0 5];den=conv([1 1],[1 1 2]);[r,p,k]=residue(num,den)>> syms s F=(2*s^3+3*s^2+5)/ ((s+1)*(s^2+s+2)); f=ilaplace(F) 展开结果：反变换结果： r =-2.0000 + 1.1339i-2.0000 - 1.1339i3.0000 + 0.0000ip =-0.5000 + 1.3229i-0.5000 - 1.3229i-1.0000 + 0.0000i f=3*exp(-t)+2*dirac(t)-4*exp(-t/2)*(cos((7^(1/2)*t)/2) + (3*7^k =23、)13()1(2)(23+++-=s s s s s F 展开程序代码：反变换代码：>> num=[1 -2]; den=conv(conv([1 1],[1 1]),conv([1 1],[1 3 1]));[r,p,k]=residue(num,den)>> syms sF=(s-2)/ ((s+1)^3*(s^2+3*s+1));f=ilaplace(F)展开结果：反变换结果：r = -0.4875 5.0000 2.00003.0000-4.5125p =-2.6180-1.0000-1.0000-1.0000-0.3820k = []f=5*exp(-t)+2*t*exp(-t)+(3*t^2*exp(-t))/2-5*exp(-(3*t)/2)*(cosh((5^(1/2)*t)/2)+ (9*5^(1/2)*sinh((5^(1/2)*t)/2))/25) 四、已知某线性是不变系统的系统函数为：s s s s s s H 23444)(232++++=求该系统的单位阶跃响应表达式并画出其波形图。