第五、六次课 角动量、功

AAB
dv a dr vdt dt B dv vB 1 1 2 2 m vdt m vdv mv B mv A A dt vA 2 2
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 定义：动能Ek=mv2/2
单位：J
AAB=EKB-EKA 。
2、质点系的动能定理
质点系：m1
xb
弹性力的功等于弹性势能增量的负值。
弹性势能以弹簧原长为零势能点,则弹簧伸长或压缩x时 0 1 2 1 2 的势能为
EP kxdx (0
x
2
kx )
2
kx
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
•引力的功和引力势能 两个质点之间在引力作用下相对 运动时 ，以M所在处为原点,M rb 指向m的方向为矢径的正方向。 1 ˆ dr A GMm 2 r ra m受的引力方向与矢径方向相反。 r
rb 时EPb 0
M
Mm 1 则相距r 时 E P＝ －G 2 dr GMm r 的势能为 r r

小结： 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。 2、势能仅有相对意义,计算势能必须规定零势 能参考点。质点在某一点的势能大小等于在 相应的保守力的作用下，由所在点移动到零 势能点时保守力所做的功。
恒力的功等于该力和质点的位移的点积
如果力是位置的函数，设质点在力的作 用下沿一曲线运动，则功的计算如下：
F
b
在元位移中将力视为恒力，无限小 段位移上的元功为 dA F d r
元位移： dr
dr
a
在元位移中将力视为恒力，力沿ab的 F 功为所有无限小段位移上的元功之和。 dA F dr F cos dr F cos ds b b A dA F dr
初速度：v1 A
内力： f1 外力： F 1
f2 F2
m2
F1
B f2 f1
F2
末速度：v 1B
m1 :
m2 :
B1
v2 A v2 B
m1
m2
A
B1 1 1 2 2 F d r f d r m v m v A1 1 1 A1 1 1 2 1 1B 2 1 1A B2 B2 1 1 2 2 m v m v A2 F2 dr2 A2 f 2 dr2 2 2 2 B 2 2 2 A
a a
b
dr
分量式：
注意：
A ( Fx dx Fy dy)
a
b
a
1、功是过程量。 2、功是标量，但有正负。 3、合力的功为各分力的功的代数和。
ˆ (SI) 的作用 例1：某质点在力 F (4 5 x)i
下沿x轴做直线运动， 求在从x=0移到x=10m的过
程中，力 F
解：
（C）重力对小球作功，绳子张力对小球不作功。
（D）重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。
[A]
3、功率：力在单位时间内所作的功 A 平均功率： P t A dA 瞬时功率： P lim t 0 t dt dr F v dA F dr P F dt
2 ˆ ˆ mab w cos wtk mab w sin wtk ˆ mab wk 2
dt
ˆ bw cosw tˆ aw sin w ti j
五、角动量定理和角动量守恒定律 1、角动量定理
由 LrP
d dr dP d L (r P) 得 Pr dt dt dt dt d r d P p mv v F dt dt
单位：Js-1
功的其它单位：1eV=1.6×10-19J
m2 : r2 在dt时间内 m1 : dr 1 m2 : dr2
m1 : r1
4、一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统
f1
f2
B1
B2
dr1 r1
f1
O dA f1 d r1 f 2 d r2 f 1 f 2 dA f 2 (d r2 d r1 ) f 2 d (r2 r1 ) r2 r1 r21 dA f 2 d r21
·
m
R2mv2 R1mv1
R1 v2 v1 R2
例9:(习题指导典型例题 1)我国的第一颗人造地球卫星绕地球作
椭圆轨道运动，地球的中心 O为该椭圆的一个焦点。已知地球 的平均半径2384km。若卫星在近地点速率 v1=8.10 kms-1，求远地 点速率v2 。
第4章 功和能 一、功和功率 二、动能定理 三、保守力和势能 四、能量守恒定律 五、守恒定律的特点及其应用
一、功和功率
1、恒力的功 A=Fcos S
F
F M
记作A F S F r
1）功为标量；2）单位：J
M

S
dA称为元功
位移无限小时： dA 2、变力的功
F dr
3、几种保守力和相应的势能 •重力的功和重力势能 m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点，y 轴向上为正，a、b的y坐标分别为ya、yb。 y
dA mg dr Fy dy mgdy
yb ya
m
a ya x
b O
c yb
A mgdy mg( yb ya )
[ C ]
例5：一弹簧原长l0=0.1m，倔强系数k=50N/m， 其一端固定在半径为R=0.1m的半圆环的端点A， 另一端与一套在半圆环上的小环相连。在把小环 由半圆环中点B移到另一端C的过程中，弹簧的 拉力对小环所做的功为 -0.207 J
质点：m、r 、v、 P mv
定义质点对点o的角动量L
四、质点的角动量
L o m r
P θ
L r P r m v
大小：L＝rmvsin
方向：右手螺旋定则判定
单位：kgm2/s
P
r
注意：作圆周运动的质点对圆心 的角动量大小 L＝r m v = m r2w
解：卫星在运动中仅受地球的引力（其他引力比此小得多， 可忽略），该引力始终指向地心O，因而对O的外力矩为 零，所以卫星对O的角动量守恒。
卫星在近地点的角动量 卫星在远地点的角动量
L1 mv1 ( R l1 )
L2 mv2 ( R l 2 )
r
M
R l1 v1 因角动量守恒 m v1 ( R l1 ) m v2 ( R l 2 ) v2 R l2 代值得v2=6.30kms-1
例8:质量为0.05kg的小块物体， 置于一光滑水平桌面上。有 一绳一端连接此物，另一端 穿过桌面中心的小孔（如图 所示）。该物体原以3rad/s的 角速度在距孔0.2m的圆周上 转动。今将绳从小孔缓慢往 下拉，使该物体之转动半径 减为0.1m。则物体的角速度 w 12rad/s
如果外力使质点变换轨道，由角动量守恒得：
b a
所做的功。
10
A Fx dx ( 4 5 x )dx 290 (J)
0
例2：有一倔强系数为k的轻弹簧，原长为l0，将 它掉在天花板上，当它下端挂一托盘平衡时，其 长度变为l1，然后托盘中放一重物，弹簧长度变 为l2，则由l1伸长至l2的过程中，弹簧弹性力所做 的功为（以弹簧原长处为坐标原点）
3、保守力所做的功可用相应势能增量的负值 来表示，即A保内＝-（EPB－EPA）。 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系 统的。
例4：对功的概念有以下几种说法： (1)保守力作正功时系统内相应的势能增加. (2) 质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的 功为零. (3)作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以 两者所作的功的代数和必为零． 在上述说法中： (A) (1) 、 (2)是正确的． (B) (2) 、 (3)是正确的． (C)只有(2)是正确的． (D)只有(3)是正确的．
dL v mv r F dt
称： M r F
dL v mv r F dt
为质点所受合外力对同一固定点o的合外力矩 大小：M＝rFsin (为矢径与力之间的夹角 )
dL r F M dt dL 角动量定理：质点所受的合外力矩 M dt 等于它的角动量对时间的变化率。
r2
r21
f2
dr2
A2
A1
两质点间的一对作用力和反作用力所做功之和等于其 中一个质点受的力沿着该质点相对于另一质点所移动 的路径所做的功（注意：一般并不为零）。
二、动能定理
1、质点的动能定理
AAB＝
B
A
F dr

B
A
B F dr m a dr A
可见，重力是保守力。
重力的功等于重力势能增量的负值。 z
mg
A mg( yb ya ) －( E pb EPa ) EP
重力势能可以某一水平面为零势能点，
E P 为势能增量
E P mgy
•弹力的功和弹性势能
F kx
A Fx dx
xa
xb
b
a
1 2 1 2 kxdx ( kx b kx a ) ( EPB EPA ) xa 2 2 EP 可见，弹性力是保守力。
记作：A外＋A内＝EKB - EKA
推广到任意质点系：所有外力对质点系做的功和 内力对质点系做的功之和等于质点系总动能的增 量。 注意：
内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。
说明：