第3章 MATLAB符号计算
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第三章 MATLAB的符号计算
第三章MATLAB的符号计算MATLAB的数学计算分为数值计算和符号计算，在第二章中我们介绍了数值计算。
符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理，是MATLAB 处理数值功能的自然扩展。
MATLAB具有符号数学工具箱，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。
符号运算可以实现微积分运算、表达式的化简以及求解代数方程和微分方程等。
3.1 符号表达式的建立在符号运算时，首先要定义基本的符号对象，然后才能进行符号运算。
符号对象是一种数据结构，包括符号常数、符号变量和符号表达式，用来存储代表符号的字符串。
在符号运算时，凡是由符号表达式所生成的对象也都是符号对象。
3.1.1 创建符号常量、变量和表达式符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：sym(‘常量’) %创建符号常量sym(‘arg’ , 参数) %把变量定义为符号对象sym(‘表达式’) %创建符号表达式sym(‘arg1’ , ‘arg2’ ,……,参数) %把变量定义为符号对象sym arg1 arg2 …, 参数%把变量定义为符号对象的简洁形式3.1.2 符号矩阵用sym和syms命令也可以创建符号矩阵。
例如：>>A=sym(‘[a, b ; c, d]’) 与下列相同>>syms a b c d>>A=[a, b ; c, d] 与下列相同>>B=’[a, b; c, d]’>>C=sym(B)3.2 符号表达式的代数运算由于MATLAB采用了重载技术，使得符号运算表达式的运算符和基本函数都与数值计算的几乎完全相同，使得符号运算的编程很方便。
例如：>> syms a b c d >>f=sym(‘2*x^2+3*x+4’)>>A=[a, b; c, d] >>g=sym(‘5*x+6’)>>det(A) >>f+g可以使用digits和vpa命令来实现任意精度的控制。
MATLAB应用第三章-符号计算
第三章 MATLAB符号计算
3. 1 数据类型 3.2 符号运算
数学运算中除了数值运算外，还有大量抽象运算（计算式中带有符号变 量、表达式的运算）。Matlab就是利用maple软件的符号运算功能来实 现这些符号运算的。 Maple : 通用的数学和工程软件，是世界上最值得信赖、最完整的数学 软件之一，被高等院校、研究机构和公司广泛应用，用户渗透超过97％ 的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple提供世界上最强大的符号计算，无与伦比的数值计算，支持 用户界面开发和网络发布，内置丰富的数学求解库，覆盖几乎所有的数 学分支，所有的操作都是在一个所见即所得的交互式技术文档环境中完 成，完成计算的同时也生成了专业技术文件和演示报告。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是 教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单 的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效 地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理 系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演 示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高 中学生到高级研究人员。
格 Eg 3-2 补充。 补充。 2）char函数创建：char(‘string1’,’string2’, …)； Eg 3-3 各个字符串不须同大小， 各个字符串不须同大小，该函数自动补充空白 字符。 字符。 Eg 3-4
字符串与单元 1）cellstr将字符数组转换成单元数组。 2）char函数将单元数组转换成字符数组。 数组的转换 字符串的比较 1）strcmp(a,b)：比较两个字符串所有字符是
Grand total is 33 elements using 462 bytes
3. 1 数据类型 3.2 符号运算
数学运算中除了数值运算外，还有大量抽象运算（计算式中带有符号变 量、表达式的运算）。Matlab就是利用maple软件的符号运算功能来实 现这些符号运算的。 Maple : 通用的数学和工程软件，是世界上最值得信赖、最完整的数学 软件之一，被高等院校、研究机构和公司广泛应用，用户渗透超过97％ 的世界主要高校和研究所，超过81％的世界财富五百强企业。 Maple提供世界上最强大的符号计算，无与伦比的数值计算，支持 用户界面开发和网络发布，内置丰富的数学求解库，覆盖几乎所有的数 学分支，所有的操作都是在一个所见即所得的交互式技术文档环境中完 成，完成计算的同时也生成了专业技术文件和演示报告。 Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是 教授、研究员、科学家、工程师、学生们必备的科学计算工具，从简单 的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以帮助您快速、高效 地解决问题。用户通过Maple产品可以在单一的环境中完成多领域物理 系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演 示、算法开发、外部程序连接等功能，满足各个层次用户的需要，从高 中学生到高级研究人员。
格 Eg 3-2 补充。 补充。 2）char函数创建：char(‘string1’,’string2’, …)； Eg 3-3 各个字符串不须同大小， 各个字符串不须同大小，该函数自动补充空白 字符。 字符。 Eg 3-4
字符串与单元 1）cellstr将字符数组转换成单元数组。 2）char函数将单元数组转换成字符数组。 数组的转换 字符串的比较 1）strcmp(a,b)：比较两个字符串所有字符是
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第三章_Matlab符号计算
符号运算与数值运算的区别：
① 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 ② 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的 符号形式表达。
符号运算的特点：
① 运算对象可以是没赋值的符号变量。符号计算定义在符 号变量的基础上，符号表达式计算前必须定义符号变量;
② 符号计算是精确计算，可以获得任意精度的解； • Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用 Maple软件实现符号计算的。 • Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件的 主导地位。
第3章 MATLAB符号计算
主讲人：李良群
所谓符号计算是指在运算时，无须事先对变量 赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。
Matlab本身并没有符号计算功能， MathWorks 公司于1993年购买了著名的符号数学软件Maple的 使用权，并利用Maple已有的函数库，开发了符号 数学工具箱。
符号量名=sym('符号字符串')
符号字符串可以是常量、变f1='ax^2+bx+c' —— 二次三项式 f2= 'ax^2+bx+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程
符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用 方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算 使用符号变（常）量进行代数运算和数值变（常）量 进行的运算是不同的。 例1 考察符号变量和数值变量的差别。 a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=[a,b;c,d] %建立符号矩阵A B=[w,x;y,z] %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式
① 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参与运算。 ② 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结果以标准的 符号形式表达。
符号运算的特点：
① 运算对象可以是没赋值的符号变量。符号计算定义在符 号变量的基础上，符号表达式计算前必须定义符号变量;
② 符号计算是精确计算，可以获得任意精度的解； • Symbolic Math Toolbox——符号运算工具包通过调用 Maple软件实现符号计算的。 • Maple软件——主要功能是符号运算，它占据符号软件的 主导地位。
第3章 MATLAB符号计算
主讲人：李良群
所谓符号计算是指在运算时，无须事先对变量 赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。
Matlab本身并没有符号计算功能， MathWorks 公司于1993年购买了著名的符号数学软件Maple的 使用权，并利用Maple已有的函数库，开发了符号 数学工具箱。
符号量名=sym('符号字符串')
符号字符串可以是常量、变f1='ax^2+bx+c' —— 二次三项式 f2= 'ax^2+bx+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程
符号表达式或符号方程可以赋给符号变量，以后调用 方便；也可以不赋给符号变量直接参与运算 使用符号变（常）量进行代数运算和数值变（常）量 进行的运算是不同的。 例1 考察符号变量和数值变量的差别。 a=sym('a');b=sym('b');c=sym('c');d=sym('d');%定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=[a,b;c,d] %建立符号矩阵A B=[w,x;y,z] %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式
第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
例：f=sym('a*x^2+b*2+c')
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
9/46
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
– 例：>>rho=1+sqrt(5)/2; >>sym(rho,’d’); ans= 2.1180339887498949025257388711907
11/46
符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
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数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
– 例：>>rho=1+sqrt(5)/2; >>sym(rho,’d’); ans= 2.1180339887498949025257388711907
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符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
第3章 MATLAB符号计算
>>f1=sym('1/(s^2+3*s+2)'),[n1,d1]=numden(f1) >>f2=sym('1/s^2+3*s+2') ,[n2,d2]=numden(f2)
4
1
2
3.4 符号极限、微积分和级数求和
3.4.11101 0001 0100 1011 符号极限 0011 0010 1010
%对x求趋近于0的极限
%左趋近于0
>>limit(f,'x',0,'right')
%右趋近于0
4
1Байду номын сангаас
2
例：求
lim
x 0
ln(1 2 x) sin 3x
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
>>syms x;F=log(1+2*x)/sin(3*x);limit(F,x,0)
subs(s) %用给定值替换符号表达式s中的所有 变量 subs(s,new) %用new替换符号表达式s中的自 由变量 subs(s,old,new) %用new替换符号表达式s中的 old变量 >>f=sym('(x+y)^2+3*(x+y)+5'),x=5;f1=subs(f) >>f2=subs(f,'x+y','s') >> f4=subs(f,'x','z')
compose(f,g) %求f(x)和g(y)的复合函数f(g(y))
第三章MATLAB语言符号运算PPT课件
3.1.1 符号对象的创建
例：
>> x=sym('x') >> y=sym('y')
>> syms x y
>> z=x*x+y*y z= x^2+y^2 >> a=5;b=3;c=a*a+b*b c=
34
3.1.1 符号对象的创建
2. 符号常量的创建 不含变量的符号叫符号常量。符号常量的定义 也使用函数sym()。
3.1.1 符号对象的创建
➢syms函数调用格式：
函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不 方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一 次可以定义多个符号变量。syms函数的一般 调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量 名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加 字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号 分隔。
例：
>> a=sym(1/5) a= 1/5
3.1.1 符号对象的创建
3. 符号表达式的创建
符号表达式为含有符号对象（符号常量、符号变量）的 表达式，其创建方法如下： 1．利用函数sym()直接创建 sym(A)：其中A为字符串的表达式，必须被单引号引用。 2．利用符号对象创建 符号表达式也可以通过创建的符号对象来实现，当把已 定义的符号变量或者符号常量连接为表达式，即可完成 符号表达式的创建。
※ 数值运算中必须先对变量赋值，然后才能参 与运算。
※ 符号运算无须事先对独立变量赋值，运算结 果以标准的符号形式表达。
3.1.1 符号对象的创建
在MATLAB中的符号计算主要是对符号对象进 行操作的，在使用符号计算功能前，首先需要创 建符号对象。本节主要介绍符号对象的创建，其 中常用的符号对象主要包括符号常量和变量、符 号表达式、符号矩阵。
实验三 MATLAB符号计算
都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵 时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运 算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于 单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、 tril、
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
expand使用指令 y=0.14-(1.2e+002)*(-2.4005*(0.445-x)^7+4.2505*(0.445x)^6-2.2336*(0.445-x)^5+0.4993*(0.445-x)^40.0514*(0.445-x)^3+0.0025*(0.445-x)^2);
符号矩阵的生成
符号矩阵可通过函数sym来生成。符号矩阵中的元素是任何不带等号的符 号表达式，各符号表达式的长度可以不相同；符号矩阵中，以空格或逗号 分隔的元素指定的是不同列的元素而分号分隔的元素指定的是不同行的元 素。 例：
syms x; A=sym(‘[cos(x),sin(x),x;-x+1 x^2+x+1 tan(x)]’) A= [ cos(x), sin(x), x] [ -x+1, x^2+x+1, tan(x)] >> size(A) %求符号矩阵的大小 ans = 2 3 > a=[1 2 3 4;4 5 6 7]; >> b=sym(a) b= [ 1, 2, 3, 4] [ 4, 5, 6, 7]
expr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) expr2 = x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
expand使用指令 y=0.14-(1.2e+002)*(-2.4005*(0.445-x)^7+4.2505*(0.445x)^6-2.2336*(0.445-x)^5+0.4993*(0.445-x)^40.0514*(0.445-x)^3+0.0025*(0.445-x)^2);
符号矩阵的生成
符号矩阵可通过函数sym来生成。符号矩阵中的元素是任何不带等号的符 号表达式，各符号表达式的长度可以不相同；符号矩阵中，以空格或逗号 分隔的元素指定的是不同列的元素而分号分隔的元素指定的是不同行的元 素。 例：
syms x; A=sym(‘[cos(x),sin(x),x;-x+1 x^2+x+1 tan(x)]’) A= [ cos(x), sin(x), x] [ -x+1, x^2+x+1, tan(x)] >> size(A) %求符号矩阵的大小 ans = 2 3 > a=[1 2 3 4;4 5 6 7]; >> b=sym(a) b= [ 1, 2, 3, 4] [ 4, 5, 6, 7]
第三章 MATLAB符号运算
第3章 MATLAB符号计算符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。
MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。
符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立3.1.1 创建符号变量和表达式Symbolic Math Toolbox规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
创建符号变量和符号表达式可以使用sym和syms命令。
1. 使用sym命令创建符号变量和表达式语法：sym(‘变量’,参数) %把变量定义为符号对象2.使用syms命令创建符号变量和符号表达式语法：syms(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数) %把字符变量定义为符号变量syms arg1 arg2 …,参数%把字符变量定义为符号变量的简洁形式说明：syms用来创建多个符号变量，这两种方式创建的符号对象是相同的。
参数设置和前面的sym命令相同，省略时符号表达式直接由各符号变量组成。
说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为’positive’、’real’和’unreal’，’positive’表示为“正、实”符号变量，’real’表示为“实”符号变量，’unreal’表示为“非实”符号变量。
如果不限定则参数可省略。
【例3.1】创建符号变量，用参数设置其特性。
>> syms x y real %创建实数符号变量>> z=x+i*y; %创建z为复数符号变量>>real(z) %复数z的实部是实数xans =x【例3.2】创建符号表达式。
>> f1=sym('a*x^2+b*x+c')f1 =a*x^2+b*x+c【例3.3】使用syms命令创建符号变量和符号表达式。
>> syms a b c x %创建多个符号变量>>f2=a*x^2+b*x+c %创建符号表达式f2 =a*x^2+b*x+c3.1.2符号表达式的代数运算符号运算与数值运算的区别主要有以下几点：▪传统的数值型运算因为要受到计算机所保留的有效位数的限制，它的内部表示法总是采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，因此每一次运算都会有一定的截断误差，重复的多次数值运算就可能会造成很大的累积误差。
第三章-matlab符号运算
例3-1 符号对象和普通数据对象之间的差别
>> sqrt(2)
ans = 1.4142
>> a=sqrt(sym(2))
％返回数值结果 ％符号变量
a= 2^(1/2)
％返回符号结果
>> double(x)
％求符号的值
ans =
1.4142
>> sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3) ％符号表达式
参进制数形式
A为指数形式
A为浮点数形式，将数值表示为 '1.F'*2^(e) 或 者 '-1.F'*2^(e) 的格式，其中 F 为13 位十六进 制数，e 为整数
例： >> t=0.1 t= 0.1000 >> sym(t) %有理数形式 ans = 1/10
例： syms x y z
（3）默认符号变量
一般习惯于使用排在字母表中前面的字母作为变 量的系数，而用排在后面的字母表示变量。 例如：
f=sym(‘ax2+bx+c’) 表达式中的a, b, c通常被认为是常数，用作变量的 系数；而将x看作自变量。
3、 符号表达式的生成
符号表达式由符号变量、函数、算术运算符等组成。
例： f=sym(‘cos(alpha)*b*x1+14*y’) findsym(f) %alpha，b，x1, y findsym(f, 2) %x1, y
subs 函数：将符号表达式中的符号变量用数值代替。
– subs( f )：显示符号表达式f。
– subs( f, new )：用new替代符号表达式f的系统默认变量。 默认变量的选择规则为：对于只包含一个字符的变量， 选择靠近 x 的变量作为默认变量；如果有两个变量和 x 之间的距离相同，则选择字母表后面的的变量作为默认 变量
第3章 符号计算(3)
syms x y; %定义两个符号变量 a=int(int(x^y,x,0,1),y,1,2) %积分 b=simple(a) %化简 c=vpa(b,4) %得到4位近似解
2014-5-12
NoБайду номын сангаас12
九、微分方程的符号解法P72 P89一般代数方程组对比
• 求微分方程符号解的一般指令： S=dsolve(‘eq1,eq2,eq3’,’cond1,cond2,cond3’,’v’) S=dsolve(‘eq1’,’eq2’,’eq3’,’cond1’,’cond2’,’cond3’,’v’)
通用置换指令： fn=subs(f,old,new) fn=subs(f,new)
• 例 2.2-4 • （1）产生符号函数 syms a x; f=a*sin(x)+5
• （2）符号表达式置换，将sinx用y来置换使表达式变成f=ay+5 f1=subs(f,sin(x),sym('y'))
2014-5-12 No.3
2014-5-12
No.15
九、微分方程的符号解法
• 课堂习题4 求 的解。
y=dsolve('Dy+a*y=0','y(0)=1','x')
y=dsolve('Dy+a*y=0','y(0)=1',‘t')
答案
2014-5-12
答案
No.16
第3章 符号计算
• 随堂作业,完成课后习题P116 24、25
• 课堂习题3 求
x 2 x 5 x 0的解。
• x=dsolve('D2x+2*Dx-5*x=0')
第3章 MATLAB符号计算
符号表达式“f=ax2+bx+c” 中只有一个变量是独立变量。 如果不指定哪个变量是自由变量， MATLAB 将基于以 下原则选择 小写字母i和j不能作为自由变量。 符号表达式中如果有多个符号变量，则按照以下顺序选 择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则 选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距 离，则在x后面的优先。 大写字母比所有的小写字母都靠后。
[n,d]=numden (f)
3.4 符号极限、微积分和级数求和 3.4.1 符号极限（Limits） limit(f) limit(f,'x',a) limit(f,'x',a,'left') limit(f,'x',a,'right')
3.4.2 符号微分（Differentiation）
由于MATLAB采用了重载技术， 使得符号表达式的运算符和基本函数 都与数值计算中的几乎完全相同。
1. 符号运算中的运算符
(1)基本运算符
运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^” 分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、 求幂运算。 运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数 组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。 运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、 非共轭转置。
pretty：给出排版形式的输出结果 。 collect：将表达式表示为关于符号 变量的合并同类项多项式形式。 x^3-6*x^2+11*x-6
3 2 x - 6 x + 11 x - 6
expand：将表达式写成多项式形式 horner：将多项式形式写成嵌套形式 factor：将表达式写成因式形式 simplify：对表达式进行化简 例如： k=sym('cos(x)^2-sin(x)^2') simplify (k) simple：给出多种简化形式，并寻求包含最少数 目字符的表达式简化形式
[n,d]=numden (f)
3.4 符号极限、微积分和级数求和 3.4.1 符号极限（Limits） limit(f) limit(f,'x',a) limit(f,'x',a,'left') limit(f,'x',a,'right')
3.4.2 符号微分（Differentiation）
由于MATLAB采用了重载技术， 使得符号表达式的运算符和基本函数 都与数值计算中的几乎完全相同。
1. 符号运算中的运算符
(1)基本运算符
运算符“＋”，“－”，“*”，“\”，“/”，“^” 分别实现符号矩阵的加、减、乘、左除、右除、 求幂运算。 运算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现符号数 组的乘、除、求幂，即数组间元素与元素的运算。 运算符“′”，“.′”分别实现符号矩阵的共轭转置、 非共轭转置。
pretty：给出排版形式的输出结果 。 collect：将表达式表示为关于符号 变量的合并同类项多项式形式。 x^3-6*x^2+11*x-6
3 2 x - 6 x + 11 x - 6
expand：将表达式写成多项式形式 horner：将多项式形式写成嵌套形式 factor：将表达式写成因式形式 simplify：对表达式进行化简 例如： k=sym('cos(x)^2-sin(x)^2') simplify (k) simple：给出多种简化形式，并寻求包含最少数 目字符的表达式简化形式
MATLAB第三讲符号运算及绘
化简根号表达式
使用`sqrt`函数化简根号表达式，例如 `sqrt(x^2)`化简为`abs(x)`。
符号函数的计算
1 2
符号函数的求值
使用`subs`函数将符号表达式中的变量替换为具 体数值进行计算，例如`subs(expr, x, 2)`。
符号函数的复合
使用函数句柄和参数列表定义符号函数，例如`f = @(x) x^2 + 2*x + 1`。
符号方程求解
使用solve函数求解代数方程，例如 solve(x^2 - 4*x + 4)。
绘图实例
线性图
使用plot函数绘制线性图，例如plot(x, y)。
柱状图
使用bar函数绘制柱状图，例如bar(x, y)。
散点图
使用scatter函数绘制散点图，例如scatter(x, y)。
曲面图
使用surf函数绘制曲面图，例如surf(x, y, z)。
三维等高线图
使用contour函数绘制三维等高线 图，可以展示三维空间中数据点的 等高线分布。
图形标注与修饰
标题和轴标签
使用title和xlabel、ylabel、 zlabel函数添加标题和轴标签，
以解释图形含义和坐标轴意义 。
网格线和参考线
使用grid on和hold on命令添 加网格线和参考线，以增强图 形可读性和比较不同数据系列 。
趋势。
条形图
使用bar函数绘制条形图， 可以展示分类数据的大
小比较。
饼图
使用pie函数绘制饼图， 可以展示各类数据占总
体的比例。
绘制三维图形
三维散点图
使用scatter3函数绘制三维散点 图，可以展示数据点在三维空间
MATLAB原理应用实验报告第三章(符号运算)
《MATLAB原理及应用》实验报告第三章MATLAB的符号运算一．实验目的1、掌握符号对象的命名方法2、掌握符号表达式的基本运算3、掌握符号级数的求法二．实验设备计算机、MATLAB软件三．实验内容1.确定符号表达式的变量为了简化符号对象的操作和计算，MATLAB为用户提过了findsym命令。
r=findsym(S)确定符号表达式或者矩阵S中自由符号变量r=findsym(S，n)确定符号表达式或者矩阵S中靠近x最近的n个独立符号变量。
【实验3-1】使用MA TLAB的命令确定符号表达式的变量。
在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：>> syms a x y z t确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：>>findsym(sin(pi*t))ans =t确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：>>findsym(x+i*y-j*z)ans =x, y, z确定下面简单符号表达式中的符号变量信息：>>findsym(a+y,1)ans =y2.符号表达式元算1.符号表达式的四则运算表达式的四则运算与数字运算一样，用+、-、/、运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。
【实验3-2】在MATLAB的命令窗口中输入下例内容：>>f=sym('2*x^2+3*x-5');%定义符号表达式g=sym('x^2-x+7');f+gans =3*x^2+2*x+2ans =3*x^2+2*x+2>> f^gans =(2*x^2+3*x-5)^(x^2-x+7)3.符号表达式的提取分子和分母运算如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可以可利用numden函数来提取符号表达式的分子或分母。
期一般调用格式为[n,d]=numden函数来提取符号表达式该函数提取的符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n和d中。
第3章 MATLAB符号计算fannyPPT课件
语法：
sym（'变量',参数）
%把变量定义为符号对象
说明：参数用来设置限定符号变量的数学特性，可以选择为'positive'、'real'和
'unreal'。'positive'表示为“正、实”符号变量；'real'表示为“实”符号变量；
'unreal'表示为“非实”符号变量。如果不限定则参数可省略。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
3.5 符号积分变换 3.6 符号方程的求解 3.7 符号函数的可视化
3
3.1 符号表达式的建立
符号运算与数值运算的区别主要有以下几点。 （1）传统的数值型运算受到计算机保留的有效位数的限制，它的内部表示法 采用计算机硬件提供的8位浮点表示法，每一次运算都会有一定的截断误差，重复 的多次数值运算可能会造成巨大的累积误差。符号运算不需要进行数值运算，不 会出现截断误差，由此可见符号运算是非常准确的。 （2）符号运算可以得出完全的封闭解或任意精度的数值解。 （3）符号运算的时间较长，而数值型运算速度快。
11
3.1.3 符号矩阵
【例3.3】 比较符号矩阵与字符串矩阵的不同。
>> A=sym('[a,b;c,d]')
%创建符号矩阵
A=
[ a, b]
[ c, d]
>> B='[a,b;c,d]'
%创建字符串矩阵
B=
[a,b;c,d]
>> C=[a,b;c,d]
第三讲MATLAB符号运算
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❖将符号矩阵转化为数值矩阵
函数调用格式： numeric(A)
A=
[ 1/3, 5/2]
[10/7, 2/5]
numeric(A)
ans =
0.3333 2.5000
1.4286 0.4000 第三讲MATLAB符号运算
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二、符号运算
1. 符号矩阵运算
数值运算中，所有矩阵运算操作指
令都比较直观、简单。例如：a=b+c;
symbolic expression S with values obtained from the calling function, or the MATLAB workspace.
• subs(S, new) replaces the default symbolic variable in S
号变量，以后调用方便；也可以不赋
给符号变量直接参与运算
第三讲MATLAB符号运算
6
sym函数
符号量名=sym(符号字符串)
该函数可以建立一个符号字符串，符号字符串可以是 常量、变量、函数或者表达式
例如：a=sym(‘a’)将建立符号变量a，此后，用户可以 在表达式中使用变量a进行各种运算
第三讲MATLAB符号运算
[3*a, 4*b]
第三讲MATLAB符号运算
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⑤ 符号矩阵与数值矩阵的转换
❖将数值矩阵转化为符号矩阵
函数调用格式：sym(A)
A=[1/3,2.5;1/0.7,2/5]
A=
0.3333 2.5000
1.4286 0.4000
sym(A)
ans =
[ 1/3, 5/2]
[10/7, 2/5]
基础篇-第3章-符号运算
3.1.4 符号运算中的运算符
MATLAB中为符号运算提供了多种多样的运算符，如表3-2所示 表3-2 符号运算中的运算符
符号 + .* * ^ .^ \ / .\ ./ kron ， ； 符号用途说明 加 减 点乘 矩阵相乘 矩阵求幂 点幂 左除 右除 点左除 点右除 张量积 分隔符 (a)写在表达式后面时运算后不显示计算结果 (b)在创建矩阵的语句中指示一行元素的结束，例如m=[x y z;i j k] 创建向量的表达式分隔符，如x=a:b:c a(:,j)表示j列的所有行元素；a(i,:)表示i行的所有列元素 创建数组、向量、矩阵或字符串(字母型)
>> [n，d]=numden(k)
n=
[3， 2*x+1] [4， 3*x+4] d=
[ 2，3]
[x^2，1] 这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母 数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。
findsym(x+i*y-j*z,3)
syms x a y z b; %定义5个符号变量 %定义两个符号表达式 s1=3*x+y;s2=a*y+b
findsym(s1)
findsym(s2,2) syms x y; s=2*x+3*y; findsym(s) ans = x, y
>>
【例3-2】创建符号变量，求复数表达式z=x+i*y的共轭复数
>> x=sym('x','real'); >> y=x+i*y; >> x=sym('x','real'); >> y=sym('y','real'); >> z=x+i*y; >> conj(z)
第三章 MATLAB的符号计算
数值矩阵A=[1,2;3,4] 数值矩阵A=[1,2;3,4] A=[a,b;c,d] —— 不识别 (1)用matlab函数sym创建矩阵（symbolic (1)用matlab函数sym创建矩阵（symbolic 的缩写) 的缩写) 命令格式：A=sym('[ 命令格式：A=sym('[ ※ 需用sym指令定义 需用sym指令定义 ※ 需用' 需用' ''标识 标识 ]')
浮点算术运算 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333 符号运算 sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 －－精确解
任意精度算术运算 digits(n) —— 设置可变精度 vpa(x,n) —— 显示可变精度计算 digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333
int（‘被积表达式’，‘积分变量’，‘积分 int（‘被积表达式’，‘积分变量’，‘积分 下限’， 下限’， ‘积分上限'）—— 定积分 积分上限' ——缺省时为不定积分
taylor(f,n) —— 泰勒级数展开 ztrans(f) —— Z变换 Invztrans(f) —— 反Z变换 Z Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换
级数的符号求和
级数符号求和函数symsum，调用格式为： symsum(a,n,n0,nn) 例：求级数之和。 命令如下： n=sym('n'); s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和 变量，缺省为n s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) %求s3。此处的求和变 量n不能省略。 s4=symsum(n^2,1,100) %求s4。计算有限级数的 和
浮点算术运算 1/2+1/3 ans = 0.83333333333333 符号运算 sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 －－精确解
任意精度算术运算 digits(n) —— 设置可变精度 vpa(x,n) —— 显示可变精度计算 digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333
int（‘被积表达式’，‘积分变量’，‘积分 int（‘被积表达式’，‘积分变量’，‘积分 下限’， 下限’， ‘积分上限'）—— 定积分 积分上限' ——缺省时为不定积分
taylor(f,n) —— 泰勒级数展开 ztrans(f) —— Z变换 Invztrans(f) —— 反Z变换 Z Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换
级数的符号求和
级数符号求和函数symsum，调用格式为： symsum(a,n,n0,nn) 例：求级数之和。 命令如下： n=sym('n'); s1=symsum(1/n^2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和 变量，缺省为n s3=symsum(n*x^n,n,1,inf) %求s3。此处的求和变 量n不能省略。 s4=symsum(n^2,1,100) %求s4。计算有限级数的 和
第三章：MATLAB的符号运算
注1：即使利用clear语句删除x，并不能改变MuPAD内存中对x的限制设 定，再引入变量x是，仍然带有这一设定。
注2：sym x clear 只改变x的限定，并没有删除和改变x的值。
例：求 3x2 5x 1 0的解
>> clear >> syms x >> solve(3*x^2+5*x+1) ans =
>> y=solve(f) y= -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
>> y=solve(f,a) y= -(c + b*x)/x^2
符号表达式 符号表达式有两种不同的生成方式： 1、直接由sym函数生成 如： f=sym(‘2*sin(x)+5*cos(x)’) 这样的表达式称为串型表达式。 2、利用符号变量经符号运算生成 如： syms x y f=sin(x)+2*cos(y)
- 13^(1/2)/6 - 5/6 13^(1/2)/6 - 5/6
>> assume(x>=-5/6) >> solve(3*x^2+5*x+1)
ans = 13^(1/2)/6 - 5/6
例：求方程
x3
475 5 x 0 的根 100 2
求第一象限的根
>> syms x 'clear' >> assume(real(x)>=0) >> assumeAlso(imag(x)>=0) >> solve(x^3+475*x/100+5/2) ans = (79^(1/2)*i)/4 + 1/4
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f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %按参数方程求导公式求y对 x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3 %求y对x的二阶导数 f=x^2+y^2+z^2-a^2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %按隐函数求导公式求z 对x的偏导数 %按隐函数求导公式求z 对y的偏导数
1、学会符号变量和符号表达式的定义； 2、能够使用符号运算解决一般的微积 分和方程求解问题。
3.1 符号计算基础 3.2 符号导数及应用 3.3 符号积分
3.4 级数 3.5 代数方程符号求解 3.6 常微分方程符号求解 3.7 作业
3.1 符号计算基础
3.1.1 符号对象
1、建立符号变量和符号常数 (1)sym函数：
2. 符号矩阵运算
1)transpose(S)： 返回S矩阵的转置矩阵; 2) determ(S)： 返回S矩阵的行列式值; 3) colspace(S)： 返回S矩阵列空间的基; 4) [Q,D]=eigensys(S)： Q返回S矩阵的特征 向量，D返回S矩阵的特征值。
3.1.3 符号表达式中变量的确定 1)MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常 数; 2) findsym可以帮助用户查找一个符号表达式 中的符号变量。 调用格式：findsym(S, MATLAB按离字符'x'最近原则确定缺省变量。
2. 建立符号表达式
例3.3用两种方法建立符号表达式。
方法1： U=sym(‘3*x^2+5*y+2*x*y+3’) 方法2： syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x^2+5*y+2*x*y+3 %定义符号表达式V 2*U-V+3 %求符号表达式的值 %定义符号表 达式U
例3.4建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym('f(x,y)');
例3.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。
syms a b x y; A=[2*a^2*b^3*x^24*a*b^4*x^3+10*a*b^3*x^4,3*x*y5*x^2;4,a^3-b^3]; factor(A) %对A的每个元素分解因式 Ans= ?
例3.8 计算表达式S的值。
syms x y; s=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2); expand(s) %对s展开 collect(s,x) %对s按变量x合并同类项 factor(ans) % 对ans分解因式
3.2.2 符号函数求导及其应用 1)diff(f):求f对预设独立变量的一次微分值; 2)diff(f,t)：求f对独立变量t的一次微分值； 3)diff(f,n):求f对预设独立变量的n次微分值; 4)diff(f,t,n)：求f对独立变量t的n次微分值。
注意：
微分函数diff也可以作用于符号矩阵，其结果是 对矩阵的每个元素进行微分运算。
%求fn的Z变换 %求Fz的逆Z变换
3.4 级数
3.4.1 级数的符号求和 symsum (s,v,a,b) : %自变量v在[a,b]之间取值 时，对通项s求和。 例3.20 分别求级数1+1/2+1/3+…+1/k+…和级数 1/2+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(k(k+1))+…之和。
3. Z变换 1)ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z) 2)iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n) 例3.19求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) f=iztrans(Fz,z,n)
3、默认自变量情况
原则：MATLAB按照数学常规决定谁是自变量。
1）除了i和j之外,字母位置最接近x的小写字母; 2）式子中没有上述字母,x被视为默认自变量。 例3.5：默认自变量情况 a*x^2+b*x+c 1/(4+cos(t)) 4*x/y 2*a+b 2*I+4*j %默认自变量为x %默认自变量为t %默认自变量为x %默认自变量为b %默认自变量为x
(2)int(f,’t’) 返回f对独立变量t的积分值； (3)int(f,a,b) 返回f对预设独立变量的积分值， 积分区间为[a,b],a和b为数值式； (4)int(f,’t’,a,b) 返回f对独立变量t的积分值， 积分区间为[a,b],a和b为数值式； (5)int(f,’m’,’n’) 返回f对预设变量的积分值， 积分区间为[m,n],m和n为符号式；
例3.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线 y=4x-1平行。 x=sym('x'); y=x^3+3*x-2; f=diff(y); g=f-4; solve(g) %定义曲线函数 %对曲线求导数 %求方程f-4=0的根，即求 曲线何处的导数为4
3.3 符号积分
3.3.1不定积分
(1)int(f) 返回f对预设独立变量的积分值；
(2)数值积分 先建立一个函数文件fx.m： function fx=fx(x) fx=3+0.3*x; 再在MATLAB命令窗口，输入命令： m=quad('fx',0,10,1e-3)
3.3.3积分变换 1. 傅立叶(Fourier)变换
1)fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t); 2)ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数 f(x); 例3.17求函数的傅立叶变换及其逆变换。 syms x t; y=abs(x); Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换
例3.11 求函数的导数。 syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x)); diff(f) %预设独立变量的一次微分值
f=x*cos(x); diff(f,x,2) diff(f,x,3)
%求f对x的二阶导数 %求f对x的三阶导数
f=x*exp(y)/y^2; diff(f,x) %z对x的偏导数 diff(f,y) %z对y的偏导数
(2)因式分解与展开 1)factor(S) ：%对S分解因式，S是符号表达式 或符号矩阵; 2) expand(S) ： %对S进行展开，S是符号表达 式或符号矩阵; 3) collect(S) ：%对S合并同类项，S是符号表 达式或符号矩阵; 4) collect(S,v) ： %对S按变量v合并同类项，S 是符号表达式或符号矩阵。
% 定义符号变量 % 定义数值变量 % 计算符号表达式值
% 计算数值表达式值
sqrt(k1)
sqrt(r1)
% 计算符号表达式值
% 计算数值表达式值
% 计算符号表达式值 % 计算数值表达式值
sqrt(k3+sqrt(k2))
sqrt(r3+sqrt(r2))
(2)syms函数
1) 调用格式：
syms var1 var2 … varn 说明：定义符号变量var1,var2,…,varn； ！注意： 不要在变量名上加字符分界符(')，变量间用 空格而不要用逗号分隔。
例3.13 求不定积分 x=sym('x'); f=(3-x^2)^3; int(f) %求不定积分 f=sqrt(x^3+x^4); int(f) %求不定积分 g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简
3.3.2 符号函数的定积分
例3.14 求定积分
x=sym('x');t=sym('t'); int(abs(1-x),1,2) %求定积分 f=1/(1+x^2); int(f,-inf,inf) %求定积分 int(4*t*x,x,2,sin(t)) %求定积分 f=x^3/(x-1)^100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分 double(I) %将上述符号结果转换为数值
%定义4个符号变量 %定义4个数值变量 %建立符号矩阵A %建立数值矩阵B %计算符号矩阵A的行列式 %计算数值矩阵B的行列式
A=[a,b;c,d]
B=[w,x;y,z] det(A) det(B)
例3.2比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi1=sym('pi');k1=sym('8'); k2=sym('2');k3=sym('3'); pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; sin(pi1/3) sin(pi2/3)
例3.15 求椭球的体积 syms a b c z; f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2; V=int(f,z,-c,c) V= 4/3*pi*a*b*c
例3.16 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计 算公式是f(x)=3+0.3x千克/米(其中x为距轴的端 点距离)，求轴的质量。
(1)符号函数积分 syms x; f=3+0.3*x; m=int(f,0,10)
例3.10 求极限。
>>limit(1/x,x,0) %求limit(1/x),x趋于0 >>limit(1/x,x,0,’left’) %求limit(1/x),x左趋于0 >>limit(1/x,x,0,’right’) %求limit(1/x),x右趋于0 特例： 若求函数cos(x)的导数，按照导数定义有 >>syms t x >>limit((cos(x+t)-cos(x))/t,t,0) Ans= ？