三角函数图像变化PPT课件
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三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数图像变换ppt
分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
三角函数的图象PPT课件-42页精选文档
（1）求f(x)的解析式；
1
（2）将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的
3
（纵坐标不变），然后再将所得图象向 x 轴正方向
平移 3 个单位，得到函数y=g(x)的图象。
写出函数y=g(x)的解析式。
答(1)案f：(x)2sinx() (2)g(x)2sinx()
36
6
知识迁移四：利用图象解决一些三角不等式 及体现数形结合思想的习题
上的图像。
22
解:(1) f(x)2si2n x2sixncoxs
1 co 2 x ssi2 x n
12(s2 ixc no sco 2xssin )
4
4
1 2sin2x( )
4
所以函数f(x)的最小正周期为, 最大值为1 2
(2)由
y1 2sin2x()
4
x
3
8
y1 2sin2x( ) 4
特点: 在对称点处 y = 0
y 1
33 55 22
22 33 22
22
o 33
22
22
-1
22 55 33 x
22
2.余弦函数y=cosx的图象特征：
①对称轴方程：xk ,kZ
特点：在对称轴处，y取最大（小）值
②对称点坐标：(k,0) ,(kZ)
2
特点: 在对称点处 y = 0
y 1
1
8
1 2
3 88
1 1 2
5 8
1
故函数y=f(x)在区间 [ , ]上的图象是
22
y
5
2
2
3 2
1
1
2
2
3 84
o
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
三角函数图像变换课件
利用三角函数的和差 化积公式，将复杂波 形分解为简单波形的 组合。
考虑不同波形的振幅、 频率和相位差，合理 调整参数以生成目标 波形。
利用傅里叶级数展开分析复杂波形
傅里叶级数是一种将周期函数表示为 无穷级数的方法，适用于分析复杂波 形。
利用傅里叶级数的系数，可以定量描 述波形中各频率成分的振幅和相位。
波形
正弦函数的图像呈现出 平滑的波形，具有连续
性和可导性。
余弦函数图像特点
01
02
03
04
周期性
余弦函数同样是周期函数，其 图像在x轴上无限延伸，且每隔
2π个单位重复一次。
振幅
余弦函数的振幅也是1，表示 图像在y轴上的最大偏移量为1。
相位
余弦函数的相位与正弦函数相 差π/2，因此其图像相对于正
弦函数有一定的平移。
鼓励学生提出自己的见解和思考， 促进课堂交流和互动。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
波形
余弦函数的图像也呈现出平滑 的波形，与正弦函数类似，但
相位不同。
正切函数图像特点
周期性
正切函数是周期函数，其周期为π，图像 在x轴上无限延伸，且每隔π个单位重复一
次。
趋于无穷
当x趋近于(kπ + π/2)时，正切函数的值会 趋于无穷大或无穷小，因此在这些点上图
像会出现垂直渐近线。
不连续性
正切函数在(kπ + π/2)处存在间断点，其 中k为整数，因此在这些点上图像不连续。
应用举例
在振动分析、图像处理等领域中，伸缩变换常用于调整信 号的频率、幅度等参数。
周期性和对称性变换
周期性定义
三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重 复出现。通过周期性变换，可以实现函数图像的 重复和延拓。
三角函数三角函数的图象与性质课件
《三角函数三角函数的图象与性质课件pptx》2023-10-26•引言•三角函数的概念与性质•三角函数的图象表示目录•三角函数的应用•习题解答•总结与展望01引言三角函数是数学中的基础科目，对于高中生来说，掌握好三角函数的知识可以为后续的高等数学学习打下基础。
在本课程中，我们将从定义、图象、性质和应用等方面全面介绍三角函数的知识。
课程背景介绍课程目标熟悉三角函数的图象和变化趋势。
让学生掌握三角函数的定义、公式和基本性质。
培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
能够灵活运用三角函数解决实际问题。
课程大纲•第一部分：三角函数的定义与公式•正弦函数、余弦函数和正切函数的定义与基本公式。
•角度与弧度的转换。
•第二部分：三角函数的图象与性质•正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质。
•三角函数的周期性、最值和对称性。
•第三部分：三角函数的应用•利用三角函数解决实际问题，如物理、工程、计算机等领域的问题。
•三角函数在复数、极坐标系中的应用。
02三角函数的概念与性质1 2 3$y = \sin x$，表示单位圆上点的纵坐标。
正弦函数$y = \cos x$，表示单位圆上点的横坐标。
余弦函数$y = \tan x$，表示单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值。
正切函数奇偶性正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数。
值域正弦函数和余弦函数的值域为$\lbrack -1,1\rbrack$，正切函数的值域为全体实数。
周期性正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性，最小正周期为$2\pi$。
定义域正弦函数和余弦函数的定义域为全体实数，正切函数的定义域为不等于$\frac{k\pi}{2} + \pi$的全体实数。
正弦函数的周期性$y = \sin x$的周期为$2\pi$，即$\sin(x + 2k\pi) = \sin x(k \in \mathbf{Z})$。
三角函数的周期性余弦函数的周期性$y = \cos x$的周期为$2\pi$，即$\cos(x + 2k\pi) = \cos x(k \in \mathbf{Z})$。
三角函数解三角形三角函数的图像与性质课件理ppt
表达式
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
适用情况
已知两边及其中一边的对角
求解内容
根据已知条件，利用正弦定理可以求解出三角形的三个边 长
利用余弦定理求解三角形
总结词：余弦定理是求解三角形边长及角度的公式， 适用于已知三边的情况。
2023
三角函数解三角形三角函 数的图像与性质课件
目 录
• 引言 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角形解法及应用 • 习题及答案 • 总结回顾
01
引言
课程概述
课程背景
介绍三角函数在数学、物理、工程等学科中的应用背景，以 及在解三角形和解决实际问题中的重要性。
详细描述
正切函数的习题通常会涉及到一些高级的概念和计算方法，需要掌握一些较为复杂的技巧和方法，同时需要运用多个知识 点进行综合解题。
举例
例如求$y=tan(x+5)$的定义域、值域、单调区间、对称轴以及周期等，需要运用到一些三角函数的恒等变换和化简方法。
07
总结回顾
重要知识点回顾
正弦、余弦、正切等函数的定义及表达式； 三角函数的图像及特征，包括振幅、相位、频率等；
正弦函数的值域为[-1,1]，周期 为2π。
正弦函数是奇函数，图像关于原 点对称。
正弦函数在[π/2+2kπ,π/2+2kπ]区间内单调 递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ] 区间内单调递减，其中k为整数 。
三角函数的诱导公式
公式一
公式二
sin(x)=cos(π/2-x)。
sin(π/2-x)=cos(x)。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
三角函数图像变化PPT课件
2
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二 周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长 （纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二 周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长 （纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
1.5.(1)三角函数的图形变换PPT课件
.
35
3．将函数 y＝sin x 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来
的14倍(纵坐标不变)得y_=__s_i_n__4_x的图像．
解析：依题意知，将 y＝sin x 图像上所有点的横坐标缩 短到原来的14倍后，可得 y＝sin 4x 的图像．
.
36
4．将函数 y＝cos x 的图像向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度 后，得到函数 y＝cosx－π6的图像，则 φ＝____16_1___.
x -4
)的图象
.
27
快速抢答
1:已知函数y 3sin(x )的图象为C.为了得到函数
5
C y 3sin(x )的图象,只要把C上所有的点（
）
5
( A)向右平行移动 个单位长度.
5
(B)向左平行移动 个单位长度.
5
(C)向右平行移动 2 个单位长度.
5
(D)向左平行移动 2 个单位长度.
Asin(ωx+φ)的图象的影响？
.
7
y
y sin(x ) 31o Nhomakorabea23
6
yyyyyyysyysiysnysiysinysinysxinsinsxinsxinsxinsxinsxinsxinxinxinxnxxxx
y sin(x )
6
比较这两个函数与 函数y=sinx的图象 的形状和位置，你
• 重点：将考察参数A、ω、φ对函数图象y=Asin(ωx+φ) , （A>0、ω>0）的影响的问题进行分解，从而学习如何 将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。
• 难点：ω对函数y=Asin(ωx+φ) ,（A>0、ω>0）图象的影 响规律的概括。
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2、将函数y=sin(x- )的图像向( 3
)方向平
移( )个单位，可得到函数y=sinx的图像。 )方向平
移(
)个单位，可得到函数y=sin(x- )的图像。 6
二、例题讲解
例1、画出函数y=3sin(2x+π/3),x∈R的简图。 解： 函数y=3sin(2x+ 3 )的周期T ,先画出
（横坐标不变）
y A sin x
练习一
1、将函数y=sinx的图像上的每一个点( )
坐标不变，( )坐标( 2 y= sinx的图像。 3 ) ，可得到函数
2 2、将函数y= sinx的图像上的每一个点( 5
)
坐标不变，(
)坐标(
) ，可得到函数
y=sinx的图像。
2、y=sinωx (ω>0) 与 y=sinx之间的 关系
(
x
想一想？
(
7 ,3) 12
函数y=3sin(2x+π/3),x∈R图象可由y=sinx 图象怎样变化得到？（有几种方法）
方法一
y sin x
方法二
y 3 sin( 2 x ) 3
y sin( x ) 3
y sin( 2 x ) 3
y sin x
函数y A sin （x ）的图象
知识回顾 : y
1-1
y sin x x [0,2 ]
2
o
-1 -
632 3Fra bibliotek5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (
-
0 0 0 0
2
3 2
2 0 0 0
1
0 0 0
1
2
1 2
2
1 2
1 sin x 2
第2，3步： 描点、作图 y
A
y 2 sin x
0
x
1 y sin x 2
y sin x
A
结论一 振幅变换(纵向伸缩变换)
y sin x
纵坐标伸长（A>1时)或缩短
（0<A<1时）到原来的A倍
它在长度为一个周期的闭区间的图像。
x
2x
3
sin( 2 x ) 3
y
6 12 3 0 2 0 1 0 0 3 0
7 12 5 6
3 2 2
1 3
0 0
y
(
12
,3)
y 3 sin( 2 x ) 3
5 ,0 ) 6
(
6
,0 )
0
( ,0 ) 3
由y sin x到y A sin( x )的图象变换步骤
步骤1 步骤2
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿 x轴 平行移动 得到y sin(x )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短 伸长或缩短
步骤3 步骤4
步骤5
得到y sin(x )在某周期内的简图
1 动的周期.单位时间内往复振动的次数 f 称 T
为振动的频率. t 称为相位
0 时的相位
称为初相
新课讲解:
1、 y=Asinx （A>0）与y=sinx之间的关系
1 例1 作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的图象。 2
解：第1步 列表取点
x
sin x 2 sin x
2
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
练习
1、 要得到函数 y=3cos(2x-π/4) 个单位，只需将函数
y=3cos2x的图象上的点（
）
(A) 向右平移π/4个单位 (B) 向左平移π/4个单位 (C) 向右平移π/8个单位(D) 向左平移π/8个单位 2 、 要 得 到 函 数 y=sin5x 的 图 象 ， 只 要 把 函 数 y=sin(5x+ 1 /2)的图象上所有的点（ ） A 向左平移π/10个单位 B向右平移1/10个单位 C 向左平移π/2个单位 D向右平移1/2个单位
5 6
X
x0 3 4 12
即A( ,2)代入y A sin(x ) 12
2k ,k Z 6 2
取k 0 , 得 . 3
得2 2 sin( ) 6
（ 2x ) 所求函数解析式为 y 2 sin 3
3
3
y sin x
)
4
2 3 5 4 5 3
0
2
y sin( x ) 4
9 4
x
结论三
相位变换
（φ<0时）平行移动|φ |个单位
y sin x 所有的点向左（φ >0时）或向右 y sin(x )
练习三
1、将函数y=sin(x+ )的图像向( 6
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
纵坐标不变 纵坐标不变 横坐标缩短为原来1/2 横坐标不变
y sin( 2 x ) 3
(
6
0
,0 )
(
3
,0 )
5 ( ,0 ) 6
( 7 ,3) 12
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin x
沿x轴
扩展
y sin( 2 x ) 3
y sin( x ) 3
得到Asin(ωx+φ) x∈R的简图
别平移2个单位后，可以得到y=sin2x的图象，则 f(x)的解析式为（ D ）
(A)f(x)=sin(2x+4) (B)f(x)=sin(2x+4)-2
（C） f(x)=sin(2x-4)-2 (D)f(x)=sin(2x-4) +2
小结
由正弦函数变化到y=Asin(ωx+φ)的图象可 以有多种途径，但主要有三种变化：平移 变化、横坐标变化、纵坐标变化，关键是 横坐标的伸缩变化与平移变化的先后次序， 要注意当先伸缩再平移时应平移多少个单 位。
3 、要得到函数 y=4sin2x的图象，只需将函数 y=4sin(2x-π/3) 图象上所有的点向 平 左 移 个单位。 6 练习：要得到函数 y=-4sin2x 的图象，只需将函 数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向 左 平 2 个单位。 移
3
y 4 sin 2 x 4 sin(2 x ) 4 sin[2( x ) 2 y 4 sin(2 x ) 4 sin[2( x )] 3 6
y 3 sin( 2 x ) 3 纵坐标伸长为原来的3倍
图像
( ,3) y 12
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
y 3 sin( 2 x ) 3
沿x轴
平行移动
得到y=sin(x+φ) ，x∈R 在长 度为2 π的某个区间上的简图
横坐标伸长 缩短
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
练习二
1、将函数y=sinx的图像上的每一个点( )坐标 2 不变，( )坐标( ),可得到函数y=sin x的 3 图像。
2 2、将函数y=sin x的图像上的每一个点( )坐 5
标不变，( )坐标(
),可得到函数y=sinx的
图像。
3、 y=sin(x+φ)与y=sinx之间的关系
y
y sin( x
纵坐标
得到y A sin(x )在某周期内的简图
沿 x轴 扩展
得到y A sin(x )在R上的图象
方法二变换过程
y sin x
纵坐标不变 横坐标缩短为原来1/2 纵坐标不变
y sin 2 x
横坐标向左平移π/6 横坐标不变
y sin( 2 x ) 3 个单位
y 3 sin( 2 x ) 3 纵坐标伸长为原来的3倍
图像
y
y 3 sin( 2 x ) 3
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
)方向平
移( )个单位，可得到函数y=sinx的图像。 )方向平
移(
)个单位，可得到函数y=sin(x- )的图像。 6
二、例题讲解
例1、画出函数y=3sin(2x+π/3),x∈R的简图。 解： 函数y=3sin(2x+ 3 )的周期T ,先画出
（横坐标不变）
y A sin x
练习一
1、将函数y=sinx的图像上的每一个点( )
坐标不变，( )坐标( 2 y= sinx的图像。 3 ) ，可得到函数
2 2、将函数y= sinx的图像上的每一个点( 5
)
坐标不变，(
)坐标(
) ，可得到函数
y=sinx的图像。
2、y=sinωx (ω>0) 与 y=sinx之间的 关系
(
x
想一想？
(
7 ,3) 12
函数y=3sin(2x+π/3),x∈R图象可由y=sinx 图象怎样变化得到？（有几种方法）
方法一
y sin x
方法二
y 3 sin( 2 x ) 3
y sin( x ) 3
y sin( 2 x ) 3
y sin x
函数y A sin （x ）的图象
知识回顾 : y
1-1
y sin x x [0,2 ]
2
o
-1 -
632 3Fra bibliotek5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (
-
0 0 0 0
2
3 2
2 0 0 0
1
0 0 0
1
2
1 2
2
1 2
1 sin x 2
第2，3步： 描点、作图 y
A
y 2 sin x
0
x
1 y sin x 2
y sin x
A
结论一 振幅变换(纵向伸缩变换)
y sin x
纵坐标伸长（A>1时)或缩短
（0<A<1时）到原来的A倍
它在长度为一个周期的闭区间的图像。
x
2x
3
sin( 2 x ) 3
y
6 12 3 0 2 0 1 0 0 3 0
7 12 5 6
3 2 2
1 3
0 0
y
(
12
,3)
y 3 sin( 2 x ) 3
5 ,0 ) 6
(
6
,0 )
0
( ,0 ) 3
由y sin x到y A sin( x )的图象变换步骤
步骤1 步骤2
画出y sin x在0， 2 上的简图
沿 x轴 平行移动 得到y sin(x )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短 伸长或缩短
步骤3 步骤4
步骤5
得到y sin(x )在某周期内的简图
1 动的周期.单位时间内往复振动的次数 f 称 T
为振动的频率. t 称为相位
0 时的相位
称为初相
新课讲解:
1、 y=Asinx （A>0）与y=sinx之间的关系
1 例1 作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的图象。 2
解：第1步 列表取点
x
sin x 2 sin x
2
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
练习
1、 要得到函数 y=3cos(2x-π/4) 个单位，只需将函数
y=3cos2x的图象上的点（
）
(A) 向右平移π/4个单位 (B) 向左平移π/4个单位 (C) 向右平移π/8个单位(D) 向左平移π/8个单位 2 、 要 得 到 函 数 y=sin5x 的 图 象 ， 只 要 把 函 数 y=sin(5x+ 1 /2)的图象上所有的点（ ） A 向左平移π/10个单位 B向右平移1/10个单位 C 向左平移π/2个单位 D向右平移1/2个单位
5 6
X
x0 3 4 12
即A( ,2)代入y A sin(x ) 12
2k ,k Z 6 2
取k 0 , 得 . 3
得2 2 sin( ) 6
（ 2x ) 所求函数解析式为 y 2 sin 3
3
3
y sin x
)
4
2 3 5 4 5 3
0
2
y sin( x ) 4
9 4
x
结论三
相位变换
（φ<0时）平行移动|φ |个单位
y sin x 所有的点向左（φ >0时）或向右 y sin(x )
练习三
1、将函数y=sin(x+ )的图像向( 6
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
纵坐标不变 纵坐标不变 横坐标缩短为原来1/2 横坐标不变
y sin( 2 x ) 3
(
6
0
,0 )
(
3
,0 )
5 ( ,0 ) 6
( 7 ,3) 12
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin x
沿x轴
扩展
y sin( 2 x ) 3
y sin( x ) 3
得到Asin(ωx+φ) x∈R的简图
别平移2个单位后，可以得到y=sin2x的图象，则 f(x)的解析式为（ D ）
(A)f(x)=sin(2x+4) (B)f(x)=sin(2x+4)-2
（C） f(x)=sin(2x-4)-2 (D)f(x)=sin(2x-4) +2
小结
由正弦函数变化到y=Asin(ωx+φ)的图象可 以有多种途径，但主要有三种变化：平移 变化、横坐标变化、纵坐标变化，关键是 横坐标的伸缩变化与平移变化的先后次序， 要注意当先伸缩再平移时应平移多少个单 位。
3 、要得到函数 y=4sin2x的图象，只需将函数 y=4sin(2x-π/3) 图象上所有的点向 平 左 移 个单位。 6 练习：要得到函数 y=-4sin2x 的图象，只需将函 数y=4sin(2x-π/3)图象上所有的点向 左 平 2 个单位。 移
3
y 4 sin 2 x 4 sin(2 x ) 4 sin[2( x ) 2 y 4 sin(2 x ) 4 sin[2( x )] 3 6
y 3 sin( 2 x ) 3 纵坐标伸长为原来的3倍
图像
( ,3) y 12
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
y 3 sin( 2 x ) 3
沿x轴
平行移动
得到y=sin(x+φ) ，x∈R 在长 度为2 π的某个区间上的简图
横坐标伸长 缩短
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
练习二
1、将函数y=sinx的图像上的每一个点( )坐标 2 不变，( )坐标( ),可得到函数y=sin x的 3 图像。
2 2、将函数y=sin x的图像上的每一个点( )坐 5
标不变，( )坐标(
),可得到函数y=sinx的
图像。
3、 y=sin(x+φ)与y=sinx之间的关系
y
y sin( x
纵坐标
得到y A sin(x )在某周期内的简图
沿 x轴 扩展
得到y A sin(x )在R上的图象
方法二变换过程
y sin x
纵坐标不变 横坐标缩短为原来1/2 纵坐标不变
y sin 2 x
横坐标向左平移π/6 横坐标不变
y sin( 2 x ) 3 个单位
y 3 sin( 2 x ) 3 纵坐标伸长为原来的3倍
图像
y
y 3 sin( 2 x ) 3
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2