非线性弦振动方程的精确解

数学物理方程之基于数值计算方法的弦振动方程求解2数学物理方法中的平行四边形法则目录摘要、关键词…………………………………………… 2页有限差分法介绍………………………………………… 3页程序描述………………………………………………… 6页计算机处理……………………………………………… 8页Matlab作图…………………………………………… 10页特别鸣谢………………………………………………… 11页摘要、关键词摘要：继上次关于弦振动方程的“平行四边形法则”求解之后，我们又从数值计算的角度入手，对弦振动方程进行计算和模拟，从而验证“平行四边形法则”解弦振动方程的正确性。

关键词：有限差分法、数值计算、弦振动方程附： 弦振动方程：4(0,)(1,)0(,0)(1),(,0)8tt xxtu uu t u tu x x x u t x =⎧⎪==⎨⎪=-=⎩211((1))()'()()''()()+()()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h -=+-+-+-……！211((1))()'()''()+()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h +=+++ ……！()((1))'()()u ih u i h u ih o h h--=+((1))()'()()u i h u ih u ih o h h+-=+2((1))((1))'()()2u i h u i h u ih o h h+--=+有限差分法介绍以弦振动方程为例：2(,)(0,)(,)0(,0)()(,0)()tt xx t u a u f x t u t u l t u x x u x x ⎧=+⎪==⎪⎨=Φ⎪⎪=ψ⎩对于一定的u （x ，t ），我们用“差分”代替“微商”，从而将 数差值描述，可得：以及将第一个式子的右边第一项移至左边,得： ^…同理可得， 两式做差：22((1))((1))ih =h u i h u i h u +--（）(,)(,)ni u x t u i x n t u =∆∆=1122(,)n n n i i i tt tt u u u u u i n t +--+==∆1122(,)n n n i i i xx xx u u u u u i n x +--+==∆21122(,)n n n i i i tt uu u u a f i n x+--+=+∆2222ta r x∆=∆ 2122122112(1)(,)n n n n n i i i i iu r u r u r u n t f i n ---+-=+-+-+∆用中心差分的一阶导数表示二阶导数，化简： 由此引入 则 则弦振动方程 可以表示为：我们定义 为网格比则由此可知，每一个格点u （i ，11(,0)()()2i it u u u x x i t--=ψ=ψ=∆(,0)t u i 1i u 202020221121221221100,/10.5(2(1)2()(,)0,0/12(1)(,)ni i i i n n n n i i i i i l x u r u r u r u t i x t f i x n t n i l x r u r u r u n t f i x n t +----+-=∆-⎧⎪=+-++∆Φ∆+∆∆∆=<<∆-⎨⎪+-+-+∆∆∆⎩ 其他n)均由u （i+1，n+1）、u （i ，n ）、u(i-1,n-1)、 u(i,n-2)等其余四点所确定：由此我们可以采用“递归”的思想，借助计算机进行快速计算，从而得到各个格点的值.值得注意的是,①在边界上u ≡0.②在初始层上的点(即u （i ，0））无法用上述公式计算，还需借助初始条件，即：012020201211(,0)()2(1)(,1)i i i i i i u i u x u r u r u r u u t f i -+-∴==Φ=+-+-+由 和 两式相加，消去可得020*********.5(2(1)2()(,)i i i i u r u r u r u t i x t f i x n t +-=+-++∆Φ∆+∆∆∆综上：届此，我们可以将此式编入程序（采用“递归”思想），详细代码见下一节。

6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。

具有非齐次定解条件的弦振动方程的解弦振动方程描述了弦的振动行为，而非齐次定解条件指的是在方程中加入外力或边界条件，使方程不再是齐次的，并且给出了初值或边界条件。

$$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = c^2\frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + F(x,t)$$其中，$u(x,t)$是弦在位置$x$、时间$t$的位移，$c$是传播速度，$F(x,t)$是外力函数。

我们以一根不可伸长的、固定在两端的弦为例，假设我们已知弦的初始位移$u(x, 0)$和初始速度$\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x, 0)$，以及边界条件$u(0, t)$和$u(L, t)$。

其中，$L$是弦的长度。

为了解非齐次定解条件下的弦振动方程，可以使用分离变量法或叠加法。

首先，我们假设振动解可以表示为分离变量的形式：$$u(x,t)=X(x)T(t)$$将上述表达式代入弦振动方程中，得到：$$X''(x)T(t) = \frac{1}{{c^2}}T''(t)X(x) +\frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$由于左边只含有$x$的变量，右边只含有$t$的变量，因此必须等于一个常数，我们设其为$-\omega^2$：$$\frac{{X''(x)}}{{X(x)}} = -\omega^2 =\frac{{T''(t)}}{{c^2T(t)}} + \frac{{F(x,t)}}{{c^2}}$$上述方程可以拆分为两个方程：1. $X''(x) + \omega^2 X(x) = 0$（齐次方程）2. $T''(t) + c^2\omega^2 T(t) = F(x,t)$（非齐次方程）解第一个方程，得到一般解：$$X(x) = A\sin(\omega x) + B\cos(\omega x)$$其中，$A$和$B$是待定常数。

用迭代摄动法求解含立方项强非线性振动方程
迭代摄动法是求解非线性振动方程的常用方法，在求解含立方项强非线性振动
方程中同样有广泛的应用。

这种方法在许多工业领域应用非常广泛，包括汽车引擎、航空航天、航天器调节系统以及船舶引擎等。

迭代摄动法是通过迭代来求解含立方项强非线性振动方程的有效方法，它的核
心思想是通过不断迭代，对各变量进行调整和更新，从而实现求解该方程的目的。

具体而言，它采用一种采样算法，利用不同的初始输入给定条件，通过一个累加过程，实现持续的输入改变，增加累积误差，以期更新函数的参数值，从而最终接近实际的解决方案。

经过上述迭代，即可求解出该含立方项强非线性振动方程的最优解。

这种方法
的关键是快速准确的迭代过程，而其次是注重迭代的准确性。

在迭代摄动法中，应用反射原理，使每一步迭代功能变得更强，以达到快速求解及最优解的目的。

另外，迭代摄动法在求解含立方项强非线性振动方程时，还能够通过智能化衍
生（intelligent derivation）算法等方法降低参照错误，使它们更好地适应这些不同场景下的变化，进一步提高求解的精确度。

总而言之，迭代摄动法作为求解含立方项强非线性振动方程的有效工具，具有
快速更新、参照误差小等优点，因而在许多工业领域有着广泛的应用。

浅谈对结构动力学的认识摘要：简单地讲述了对结构动力学的整体认识，介绍了结构动力学的发展历程，结构动力问题的几大特点，结构动力问题的分类，结构系统的动力自由度及其离散方法（包括集中质量法、广义坐标法和有限单元法），建立运动方程的方法（包括利用达朗贝尔(d'Alermbert)原理的直接平衡法，虚位移原理建立振动方程，哈密顿(Hamilton)原理建立振动方程）。

关键词：结构动力学；质量；阻尼；运动方程On understanding of structure dynamics Abstract: This paper simply tells the overall understanding of structure dynamics, and introduces the development course of structure dynamics, a few big characteristics of structure dynamic problem , the classification of structure dynamic problem, the structure of the system and its dynamic freedom discrete method (including focus on quality method, generalized coordinates method and finite element method), the method for establishing the equations of motion (including the use of d'Alermbert principle direct balance method, vibration equation with imaginary displacement principle, establish vibration equation with Hamilton principle).Key words: structure dynamics; quality; damping; equations of motion1结构动力学发展简介结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。

非线性振动渐近解法概述李鹤hli@非线性振动不像线性振动那样有统一的求解方法。

一般来说，要对非线性系统求精确解几乎是不可能的。

迄今为止，仅有少数的非线性振动问题可以得到精确的解析解。

为了尽可能深入了解系统的非线性性质，发展了各种渐近的解析方法。

本课程主要讨论如下形式的典型振动方程：()t x x f xp x ,,20 ε=+方程右端的函数f 可以是位移x 、速度x 的非线性项，由于ε是小参数，因此这种非线性项相比线性项要小，这种系统称为拟线性系统，也称弱非线性系统。

当f 不显含时间t ，()x x f x p x ,20ε=+称为自治系统。

反之，称为非自治系统。

当0=ε时，系统运动是频率为0p 的周期性运动：()ϕ+=t p a x 0cos当0≠ε时，可以理解为对系统周期运动()ϕ+=t p a x 0cos 的一种扰动，把解按小参数的幂次展开，寻求满足一定误差要求的渐近解，这类方法统称为摄动法，也称为小参数法。

这类方法最早由法国数学家庞加莱(Poincare)研究行星运动时提出来的。

泊松(Poisson)也用来研究单摆的大摆动问题。

本课程主要介绍如下方法：1. 传统小参数法，正规摄动、奇异摄动2. 常数变易法和平均法3. 渐近法4. 多尺度法5. 等效线性化法6. 谐波平衡法本课程依次介绍以上方法，先讨论自治系统，并结合非线性振动中一些著名的方法，如杜芬方程，范德波方程进行求解。

然后，将以上方法推广到非自治系统中去。

传统小参数法——正规摄动李鹤hli@对于如下典型的自治系统振动方程：()x x f xp x ,20ε=+其中ε是小参数。

当0=ε时，变成无阻尼单自由度自由振动问题，系统的固有频率是0p 。

当0≠ε时，方程的解可以写成()t x x ,ε=将其在0=ε附近展开成泰勒级数，()()()()"+′′+′+==2,0!21,0,0,εεεt x t x t x t x x设()()()",,0!21,,0,,0210x t x x t x x t x =′′=′=则()()()"+++=t x t x t x x 2210εε这样就得到了自治系统振动方程的级数形式的解。

[非线性偏微分方程的数值分析（几何分析）及应用----非小振幅振动下弦振动方程及近似解]摘 要本文在非小振幅振动下，推导出弦振动的非线性偏微分方程：()12010222121u x k L u d u x xx a dx u m dt u origin u x x ⎡⎤⎫*⎢⎥⎪*⎫⎝⎭⎢⎥==*+⎰⎪⎢⎥⎭++⎢⎥⎣⎦在特定条件:()e t x z →,、0→x u 和0→dtdx下，将上述ua 方程简化230121xxo r i g i n tt u u m kL u +*=并运用行波法和数学Maple 软件求出了tt u的行波解： ()()()pqc ec pqc ec t x u ccpq c L pq qL c c c pq c pq c ct qx 2222,2222ln 2222222ln 22222202022222+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-，用Maple 程序讨论了(,)u x t 解的物理性质。

关键词 非小振幅弦振动，偏微分方程，非线性，近似解ABSTRACTThe oscillation amplitude vibration in non-small, the study of nonlinear partial differential equation of string vibration:()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+*+*-+*+**==+⎰⎰222020202211121111x x x xx x x xx origin u u u x u dx u x dx u m L k dt u d a u u In specific terms,with the 12=ξq ，()212c d pq +-=ξξ，0→xu and 0→dtdx, will ua simplify the equation for equation: 23121xxorigin tt u u m kL u +*=. And the use of the law and mathematics wave of the wave of Maple software derive Xie oftt u :()()()pqc ec pqc ec t x u ccpq c L pq qL c c cpq c pq c ct qx 2222,2222ln 2222222ln 2222020222+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++- .Xie oftt u discussed by Maple procedures of the physical nature.Keywords : Non-small oscillation amplitude string vibration, being differentialequation, nonlinear, similar Xie目录摘要 (Ⅰ)A BSTRACT (Ⅱ)1 绪论 (2)1.1 课题背景 (2)1.1.1题目来源及研究目的 (2)1.1.2研究意义 (3)1.2课题所涉及的问题在国内外研究 (2)2 方程推导 (5)2.1 方程推导 (5)2.2 方程简化 (9)3 方程求解 (11)4讨论 (14)5 结束语 (19)参考文献 (20)附录A (21)致谢 (23)1 绪论1.1课题背景1.1.1 题目来源及研究目的题目来源：蒲利春教授给我们提出了非线性偏微分方程的数值分析的毕业设计课题，即《非线性偏微分方程的数值分析（几何分析）及应用》，课题来源于攀枝花学院自然科学科研项目：《非线性理论的应用研究》（项目：编号ZX2005-2）。

带有阻尼项的非线性波动方程的精确解尚亚东【摘要】研究了出现在非线性振动中的一类带阻尼项的非线性波动方程.首先讨论了所论方程的行波解及其极限行为,其次借助于分离变量方法获得了所研究方程的一些显式精确解,讨论了这些解的极限行为.这些解有助于定性或数值分析非线性波动方程解的性态.【期刊名称】《广州大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(012)002【总页数】6页(P1-6)【关键词】非线性波动方程;阻尼项;分离变量方法;精确解;整体光滑解【作者】尚亚东【作者单位】广州大学数学与信息科学学院,广东广州510006;广州大学数学与交叉科学广东普通高校重点实验室,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】O175.290 引言对于形如的非线性波动方程的分析，无论从解析角度还是从数值分析看，一直是且还将继续是非线性偏微分方程的一个活跃领域.正如人们所期待的那样，这种分析实施的函数f(u)的具体形式通常依赖于实际情况或者依赖于对解的分类的追求(比如对称分类).特别地，幂函数形式的f，比如f(u)=mum－1，就在许多情况下被考虑.行波形式的解是许多分析中普遍寻求的解.由于实际中粘性耗散的不可避免，经常需要考虑带阻尼项的非线性波动方程［1－4］.对于带强粘性阻尼的高阶非线性波动方程，文献［1］考虑了一类具有阻尼项的高阶非线性波动方程的初值问题，证明了一定条件下整体光滑解的存在唯一性.文献［2－3］分别利用直接相似约化法，给出了具强阻尼项的非线性波动方程的相似约化，获得了一些精确类孤立波解.文献［4］考虑了一类具有阻尼的非线性波动方程的初边值问题，研究了整体广义解的存在性和不存在性，以及整体古典解的存在性，解的blow up现象和解的能量衰减等.2008年AHMAD等在文献［5］中考虑了一个带小阻尼的非线性波动方程讨论了所论方程的近似拉格朗日和某种相似约化的不变量.最近苏敬蕊等［6］借助于与部分拉格朗日相关的近似Noether型对称算子，考察了带阻尼的非线性波动方程(2)，构造了它的一般形式的近似守恒律.对于带阻尼的非线性波动方程(2)的精确解，文献［5］化方程(2)为一个方程组这个方程组容许有平移对称‘∂t和∂x.这提供了一个能生成波速为c的行波解的组合的Lie点对称X=∂t+c∂x.当 X 有不变量 y=x－ct时，获得了 m=2时的隐式行波解为对于方程(2)在m≠2时的精确行波解以及其他解析形式的显式精确解，就作者所知，还没有文献论及.本文首先考察了带阻尼的非线性波动方程(2)的行波解.对一般的m获得了方程(2)行波解的隐式表达式.讨论了带阻尼的非线性波动方程(2)行波解的极限.其次借助于分离变量方法［7－9］将带阻尼的非线性波动方程(2)约化成非线性常微分方程组，从而获得了方程(2)的一些显式精确整体光滑解.讨论了这些解的极限，并与不带阻尼的非线性波动方程(1)的相应解进行了比较，解释了粘性阻尼的效应.这些解将有助于定性或数值分析带阻尼的非线性波动方程解的性态.1 非线性波动方程的精确行波解考虑非线性波动方程和带阻尼的非线性波动方程(2)的行波解.如所周知，线性波动方程有行波解其中f(ξ)和g(η)为两个任意的二次可微函数.为求方程(5)的行波解，作行波变换ξ=xct，其中c为波的传播速度.这时方程(5)成为方程(6)左右两边关于ξ积分两次得其中k1，k2为任意积分常数.解(9)即为非线性波动方程(5)的隐函数形式的行波解表达式.特别当f(u)=um，m≠1时，可知，非线性波动方程(5)有隐函数形式的行波解这里k1，k2为任意积分常数.如果考虑带阻尼的非线性波动方程(2)的行波解，行波变换使得方程(2)变成方程(11)两边关于ξ积分一次得其中k0为任意积分常数.为了求得方程(2)的行波解，在方程(12)中令k0=0，可得上方程两边同除以u'，然后关于ξ积分一次得其中k3为任意积分常数.这正是带阻尼的非线性波动方程(2)的隐函数形式的行波解.明显地，当阻尼项系数ε趋于0时，由带阻尼的非线性波动方程(2)行波解(14)无法得到没有阻尼的非线性波动方程的行波解(10).当m=2时，这里得到的行波解(14)正是文献［5］所得的解.2 非线性波动方程的精确非行波解本节研究带阻尼的非线性波动方程(2)及其对应的无阻尼非线性波动方程的其他形式的显式精确解析解.首先寻求带阻尼的非线性波动方程的和式变量分离解.假设为方程(16)的和式变量分离解，将表达式(17)代入方程(16)，则有简单计算整理得到为了获得阻尼非线性波动方程(16)非平凡的分离变量解，要求函数f(x)和g(t)都不恒为常数.方程(19)右端只与自变量x有关，而与自变量t无关.左端为关于自变量t 的一阶线性常微分方程，其系数为x的函数.如果有单变量函数f(x)和g(t)要满足方程(19)，必须有(f2(x))xx恒为常数，且f″(x)也恒为常数.分别在不同情况下讨论形如(17)的非平凡解的存在性.情形1 f″(x)=0，但是(f2(x))xx=0.这时方程(19)约化为其解为 g(t)=，这里C1，C2为任意积分常数.由条件f″(x)=0，推知其中a，b是任意待定常数.于是有由条件(f2(x))xx=0，推知a=0.从而f(x)≡常数.所以在此情形下阻尼非线性波动方程(16)有与变量x无关的显式精确解对应的无阻尼非线性波动方程显然有与变量x无关的显式精确解明显地，在阻尼非线性波动方程(16)中让ε趋于0时，方程退化为非线性波动方程(24)，但其对应的显式解析解(23)在ε趋于0时并不以非线性波动方程(24)的对应显式解析解(25)为极限.情形2 f″(x)≠0，但是(f2(x))xx=0.这时方程(19)约化为于是有方程(27)左右两端分别为自变量t和x的一元函数.于是f″(x)必须为常数.因此f(x)一定是二次多项式.设其中a，b，c为待定的常数.因此由方程(27)，(28)，(29)显然有这与方程(19)矛盾.因此在此情形下阻尼非线性波动方程(16)不存在非平凡的和式分离变量解.情形3 f″(x)≠0，但(f2(x))xx≠0.这时不妨设f″(x)=a，a≠0为某个常数.于是有由假设，可知其中b，c为两个任意常数.因此于是，方程(31)左端只与单自变量t有关，而右端却是自变量x的单变量函数.矛盾.说明在此情形下阻尼非线性波动方程(16)也不存在非平凡的和式分离变量解.情形4 f″(x)=0，但(f2(x))xx≠0.这时，方程(19)约化为由条件f″(x)=0，推知其中a，b是任意待定常数.于是有因此，方程(34)变为求得其解为其中C1，C2为任意常数.从而阻尼非线性波动方程(16)有和式变量分离显式精确解这里 C1，C2，a≠0，b 为任意常数.显式精确解析解(39)是阻尼非线性波动方程(16)的整体光滑解，对应于初始值u0(x)显然a=0时，整体光滑解退化为与变量x 无关的精确解(23).对与阻尼非线性波动方程(16)相对应的无阻尼的非线性波动方程(24)做与情形2到情形4相仿的讨论可知，非线性波动方程(24)有和式变量分离显式精确解这里C1，C2，a≠0，b为任意常数.显式精确解析解(40)是非线性波动方程(24)的整体光滑解，对应于初始值u0(x)=ax+b+C2.显然在a=0时，整体光滑解(40)退化为与变量 x无关的精确解(25).在阻尼非线性波动方程(16)中让ε趋于0时，方程退化为非线性波动方程(24)，但其对应的显式解析解(39)在ε趋于0时显然并不以非线性波动方程(24)的对应显式解析解(40)为极限.其次，考虑带阻尼的非线性波动方程(2)的乘积形式的变量分离解的显式表达式. 假设方程(2)有乘积形式的变量分离解将表达式(41)代入到方程(2)中，计算得到分离变量得到方程(43)左端为自变量t的单变量函数，而右端却是自变量x的单变量函数，所以只有两端都为常数才能相等.设因此，有非线性常微分方程和为了得到阻尼非线性波动方程(2)的乘积形式分离变量解(41)，对于常数λ，需要求解非线性常微分方程(45)和(46).分两种情形来讨论非线性常微分方程(45)和(46)的解.情形1 当λ=0时.这时，非线性常微分方程(45)，(46)分别退化为和分别求解线性常微分方程(47)和非线性常微分方程(48)，得到精确解和其中 C1，C2，a，b 为任意常数.在此情形下，获得阻尼非线性波动方程(2)的显式精确解析解为对应于初值u0(x)=显式精确解(51)为整体光滑的解析解.进行如同前面一样的分析，可以得到无阻尼的非线性波动方程(24)有相应的乘积形式的变量分离显式解析解其中C1，C2，a，b为任意常数.这个解也是一个整体光滑解析解.同样地，在解(51)中让ε→0，无法其中 n 为待定正整数，而 ai(i=0，1，2，…，m)为待定常数.于是方程(46)左端为一个变量x的nm－2次多项式，而方程(46)右端是变量x的n次多项式.于是必须有解得得到无阻尼的非线性波动方程(24)乘积形式的变量分离显式解析解(52).情形2 当λ≠0时.在此情形下，为了获得阻尼非线性波动方程(2)的乘积形式变量分离解的精确表达式，需要求得非线性常微分方程(45)和(46)的精确解.观察非线性常微分方程(46)的结构，根据多项式函数求导的特点，假设方程(46)有多项式函数形式的解，不妨设当m=2和m=3时，可分别得到n=2和n=1.从而，可假设方程有多项式函数形式解其中a，b，c为待定常数.将表达式(55)代入到方程(54)中，计算得到这里a，c为符号相同的任意常数.因此方程(54)，即方程(46)在m=2时有解其中ac＞0为任意常数.当m=3时，假设方程有多项式函数形式解其中a，b为待定常数.将表示式(59)代入方程(58)，计算得到于是，方程(46)在m=3时有解其中a≠0，b为任意常数.当m=2时，方程(45)对应成为而当m=3，方程(45)对应成为总结前述，可得带阻尼的非线性波动方程(16)的乘积形式的变量分离精确解析解其中ac＞0为任意常数，而g(t)满足二阶非线性常微分方程(62).带阻尼的非线性波动方程有乘积形式的变量分离精确解析解其中a≠0，b为任意常数，而g(t)满足二阶非线性常微分方程(63).由以上讨论还可知，无阻尼的非线性波动方程(15)在m=2和m=3时，分别有乘积形式的变量分离显式精确解析解其中ac＞0为任意常数，其中a≠0，b为任意常数.解(67)和解(68)都是局部解，在时，这两个解都会出现爆破现象.更一般的，无阻尼的非线性波动方程(15)在m=2和m=3时，分别有乘积形式的变量分离精确解析解其中ac＞0为任意常数，k3为任意常数，这里u(x，t)关于t为Weierstrass椭圆函数双周期解.其中a≠0，b，k4为任意常数，这里 u(x，t)关于 t为Weierstrass椭圆函数双周期解.3 结束语非线性振动现象出现于交通科学、声学、材料力学、石油开采等许多科学技术领域，这些现象的数学模型归结为非线性波动方程.由于实际问题中，粘性阻尼的耗散效应不可避免，讨论粘性阻尼对波动的影响机理是非常重要的.反映在数学上，归结为研究阻尼对波动方程解的变化如何影响，阻尼耗散趋于零时，解的极限状态是否与无阻尼时波动方程的解一致.对于出现在非线性振动等应用领域中的非线性波动方程，讨论了一类带阻尼的非线性波动方程和相对应的无阻尼的非线性波动方程精确解析解的存在性.首先获得了这些方程隐函数形式的行波解，接着利用分离变量方法获得了无阻尼非线性波动方程(15)的一些显式精确解析解，这些解既有显式精确整体光滑解，也有在有限时间内发生爆破的显式精确局部解，特别地，获得了关于时间t为双周期函数的Weierstrass椭圆函数解.对于带阻尼的非线性波动方程(2)，也找到了一些显式精确解析解，并考察了这些解在ε→0时的极限性态.这些显式精确解对于定性分析非线性波动方程(2)和(15)解的性质以及数值求解将会带来有益帮助.致谢:感谢屈长征教授的热情支持与帮助.参考文献:［1］杨志坚，陈国旺.具有阻尼项的非线性波动方程的初值问题［J］.应用数学学报，2000，23(1):45-54.YANG Z J，CHEN G W.Initial value problem for a nonlinear wave equation with damping term［J］.Acta Math Appl Sin，2000，23(1):45-54.［2］闫振亚，张鸿庆.具有阻尼项的非线性波动方程的相似约化［J］.物理学报，2000，49(11):2113-2117.YAN Z Y，ZHANG H Q.Similarity reductions for a nonlinear wave equation with damping term［J］.Acta Phys Sin，2000，49(11):2113-2117.［3］ WU H X，FAN T Y.New explicit solutions of the nonlinear wave equations with damping term［J］.Appl Math Comput，2007，191(2):457-465.［4］ CHEN G W，LU B.The initial boundary value problems for a class of nonlinear wave equations with damping term［J］.J Math Anal Appl，2009，351(1):1-15.［5］ AHMAD F，KARA A H，BOKHARI A H，et al.On approximate Lagrangians invariants for scaling reductions of a non-linear wave equation with damping［J］.Appl Math Comp，2008，206:16-20.［6］ SU J R，ZHANG S L，LI J N.Approximate Noether-type symmetries and conservation laws via partial Lagrangians for nonlinear wave equation with damping［J］.Commun Theor Phys，2010，53:37-42.［7］ EVANS L C.Partial differential equations［M］.American Mathematical Society Providence，Rhode Island，Graduate Studies in Mathematics，2002.［8］ QU C Z，ZHANG S L，LIU R C.Separation of variables and exact solutions to the quasilinear diffusion equations with nonlinear source ［J］.Phys D，2000，144:97-123.［9］ ESTEVEZ P G，QU C Z，ZHANG S L.Separation of variables of a generalized porous medium equation with nonlinear source［J］.J Math Anal Appl，2002，275:44-59.［10］楼森岳，唐晓艳.非线性数学物理方法［M］.北京:科学出版社，2006.LOU S Y，TANG X Y.Nonlinear mathematical physics methods［M］.Beijing:Science Press，2006.。

一类非线性偏微分方程精确解的表达
非线性偏微分方程是指未知函数及其偏导数之间存在非线性关系的偏
微分方程。

一类非线性偏微分方程的精确解的表达方法有很多，下面将介
绍一些常见的方法。

这些方法包括变换、相似方法、对称方法、Lax对以
及多项式解法等。

一、变换方法：
1. 美人鱼变换：美人鱼变换是一种变量变换方法，其应用于浅水波
的非线性Schrödinger方程，可将其转化为可求解的线性Schrödinger方程。

2.线性法调和推导法：对于一些非线性偏微分方程，可以通过线性法
调和推导法将它们转化为可求解的线性偏微分方程。

二、相似方法：
1.傅里叶变换法：对于满足边界条件的一类非线性偏微分方程，可以
利用傅里叶变换法求得相似解。

2.自相似解法：自相似解法适用于具有自相似性的非线性偏微分方程，可以通过变换将其转化为可求解的常微分方程。

三、对称方法：
对称方法是一种求解非线性偏微分方程的有效工具，常用的对称方法
包括对称约化、对称因子和相似对称方法。

四、Lax对：
五、多项式解法：
多项式解法是一种特殊的求解非线性偏微分方程的方法，通过假设待求解的未知函数为多项式形式，将其代入非线性偏微分方程进行求解。

以上是一些常见的非线性偏微分方程精确解的表达方法，不同的方法适用于不同类型的非线性偏微分方程，需要根据具体的问题选择合适的方法。

这些方法都是通过变换、求解辅助方程等手段，将原方程转化为可求解的形式，从而得到方程的精确解。

ft解弦振动方程FT解弦振动方程是描述弦振动的一种数学模型，它是力学中的一个重要方程。

在本文中，我们将详细介绍FT解弦振动方程的含义及其应用。

弦振动是指弦线在一定条件下受到激励后产生的振动现象。

它在物理学、工程学和音乐学等领域都有广泛的应用。

为了研究弦振动的规律，我们需要建立相应的数学模型，而FT解弦振动方程就是其中一种常用的模型之一。

FT解弦振动方程是一维波动方程的特解，它可以描述弦线上横向振动的性质。

该方程的一般形式可以写为：∂²u(x,t)/∂t² = c²∂²u(x,t)/∂x²其中，u(x,t)表示弦线上任意一点的位移，x表示弦线上的位置，t 表示时间，c表示波速。

这个方程的物理意义是描述了弦线上各点的加速度与其位移之间的关系。

FT解弦振动方程的求解可以分为两个步骤：首先，我们需要确定弦线上的初始条件和边界条件；然后，通过数学方法将这个方程转化为一般的波动方程进行求解。

一个常见的方法是使用分离变量法，将位移函数u(x,t)表示为两个单变量函数的乘积形式，然后将其代入方程中，再根据边界条件解出相应的函数。

通过求解FT解弦振动方程，我们可以得到弦线上任意一点的位移函数。

这个函数描述了弦线在不同位置和不同时间的振动情况。

我们可以通过对位移函数的分析，了解弦线上不同位置的振幅、频率和相位等信息。

除了求解弦振动的精确解，FT解弦振动方程还可以用来研究弦线上的共振现象。

共振是指当外界激励频率与弦线固有频率相等时，弦线会出现振幅急剧增大的现象。

通过对FT解弦振动方程进行分析，我们可以得到共振条件，并进一步研究共振时的振动规律。

FT解弦振动方程在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在乐器制作中，我们可以通过求解这个方程来优化乐器的设计，使得乐器的共振频率更加合适，从而提高音质。

在结构工程中，我们可以通过求解这个方程来研究桥梁、建筑物等结构的振动性能，从而改善结构的抗风性能和舒适性。

非线性弦振动的Kdv方程及其速度孤波解
非线性弦振动的Kdv方程及其速度孤波解
作者：刘勇;龚育宁
作者机构：华东工学院;华东工学院
来源：振动与冲击
ISSN：1000-3835
年：1990
卷：009
期：001
页码：54-58
页数：5
中图分类：O322
正文语种：CHI
关键词：非线性弦振动;Kdv方程;速度孤波解;递减微扰法
摘要：文中用递减微扰法导出了非线性弦振动的Ｋdv方程，文中分析了无色散和无非线性（线性色散）两种特殊情况下的解，然后，详细的讨论了Ｋdv方程的速度孤波解的性态，并指出了非线性弦振动中孤波的主要特征。