长郡中学2021届高三数学短卷训练6

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二十四）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题(共12小题).1.若复数z1i i=-(i是虚数单位)，则|z|=（）A. 12B.22C. 1D. 2【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.【详解】z()()()1111 111222i ii iii i i+-+====-+ --+.所以|z|2==. 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合{}0,1,2A =，集合102x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A. {}0,1B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】C 【解析】 【分析】由分式不等式的解法可求得集合B ，根据交集定义可求得结果. 【详解】由102x x -≤-得：()()12020x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得：12x ≤<，{}12B x x ∴=≤<， {}1A B ∴⋂=.故选：C .【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到分式不等式的求解，属于基础题. 3.已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥β，则m ∥l B. 若m ∥l ，则m ∥β C. 若m ⊥β，则m ⊥l D. 若m ⊥l ，则m ⊥β【答案】D 【解析】 分析】A 由线面平行的性质定理判断.B 根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C 根据线面垂直的定义判断.D 根据线面垂直的判定定理判断. 【详解】A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题. 4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC ，，满足10051006OC a OA a OB =+，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A. 1005 B. 1006C. 2010D. 2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+， 所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.5.已知向量m =(1,cosθ)，(sin ,2)n θ=-，且m ⊥n ，则sin 2θ+6cos 2θ的值为（ ）A.12B. 2D. ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】根据m ⊥n 可得tanθ，而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+，分子分母同除以cos 2θ，代入tanθ可得答案.【详解】因为向量m=(1，cosθ)，n=(sinθ，﹣2)，所以sin2cosm nθθ⋅=-因为m⊥n，所以sin2cos0θθ-=，即tanθ=2，所以sin2θ+6cos2θ22222626226141sin cos cos tansin cos tanθθθθθθθ++⨯+====+++2.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换，还考查运算求解的能力，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，令()y f x=，若()1f a>，则实数a的取值范围是（）A. (,2)(2,5]-∞⋃ B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (,2)(2,)-∞⋃+∞ D. (,1)(1,5]-∞-⋃【答案】D【解析】分析：先根据程序框图得()f x解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果. 详解：因为2,2()=23,251,5x xf x x xxx⎧⎪≤⎪-<≤⎨⎪⎪>⎩，所以由()1f a>得25225112311aa aa aa>⎧≤<≤⎧⎧⎪⎨⎨⎨>->>⎩⎩⎪⎩或或所以11225115a a a a a<-<≤<≤∴<-<≤或或或，因此选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7.已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B ．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8.已知某班学生的数学成绩x (单位:分)与物理成绩y (单位:分)具有线性相关关系，在一次考试中，从该班随机抽取5名学生的成绩，经计算:5511475?320i ii i x y====∑∑，，设其线性回归方程为:ˆˆ 0.4yx a =+.若该班某学生的数学成绩为105，据此估计其物理成绩为（ ） A. 66 B. 68C. 70D. 72【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出x ､y ，代入线性回归方程求得a ，再计算x =105时y 的值.【详解】由题意知，511 5i x ==∑x i 15=⨯475=95，511 5i y ==∑y i 15=⨯320=64， 代入线性回归方程y =0.4x a +中，得64=0.4×95a +，解a =26； 所以线性回归方程为y =0.4x +26， 当x =105时，y =0.4×105+26=68，即该班某学生的数学成绩为105时，估计它的物理成绩为68. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，还考查运算求解的能力，属于基础题. 9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ） A. 18 B. 10C. -14D. -22【答案】D 【解析】 【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠， 由求和公式可得()212121a q S q-==-①，()313161a q S q-==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()55152********a q S q⎡⎤----⎣⎦∴===----故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ． 10.函数()24sin f x x x =-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致是( ) A. B.C. D.【答案】D 【解析】∵函数f （x ）=2x ﹣4sinx ，∴f（﹣x ）=﹣2x ﹣4sin （﹣x ）=﹣（2x ﹣4sinx ）=﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，所以函数f （x ）=2x ﹣4sinx 的图象关于原点对称，排除AB ， 函数f′（x ）=2﹣4cosx ，由f′（x ）=0得cosx=，故x=2k （k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C ，故选D ．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．11.已知12,F F 是双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若在双曲线的右支上存在点M ，满足212||||MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于 A.54B.535 D.52【答案】B 【解析】依题设，2122MF F F c ==， ∵12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a MF F e c∠==， ∴等腰三角形12MF F ∆底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，∴()224b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53e =. 点晴:本题考查的是双曲线的定义和双曲线离心率的求法.解决本题的关键是利用题设条件2122MF F F c ==和双曲线的定义可得422b c a -=，即2b a c =+在三角形中寻找等量关系()224b a c =+，运用双曲线的a,b,c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率53e =.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()2'1f x >，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式23(2cos )2sin22x f x +>的解集为( ) A 4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D.,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()1122g x f x x =--，可得()g x 在定义域内R 上是增函数，且()10g =，进而根据23(2cos )2sin022x f x +->转化成()(2cos )1g x g >，进而可求得答案 【详解】令11()()22g x f x x =--，则1()'()0'2g x f x =->，()g x ∴在定义域R 上是增函数，且11(1)(1)022g f =--=，1(2cos )(2cos )cos 2g x f x x ∴=--23=(2cos )2sin 22x f x +-，∴23(2cos )2sin 022x f x +->可转化成()(2cos )1g x g >，得到2cos 1x >，又3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可以得到,33x ππ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题二､填空题(共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.)13.已知实数x 、y 满足50{30x y x x y -+≥≤+≥，则目标函数2z x y =+的最小值为_____________．【答案】3- 【解析】满足条件的点(,)x y 的可行域如下：由图可知，目标函数2z x y =+在点(3,3)-处取到最小值-314.已知x >0，y >0，且x +2y =xy ，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则xy 的最小值为_____，实数m 的取值范围为_____.【答案】 (1). 8 (2). (4,2)- 【解析】 【分析】 x +2y =xy 等价于21x y+=1，根据基本不等式得出xy ≥8，再次利用基本不等式求出x +2y 的最小值，进而得出m 的范围.【详解】∵x >0，y >0，x +2y =xy ， ∴21x y+=1， ∴121212x y x y=+≥⋅ ∴xy ≥8，当且仅当x =4，y =2时取等号， ∴x +2y =xy ≥8(当x =2y 时，等号成立)， ∴m 2+2m <8，解得﹣4<m <2. 故答案为：8；(﹣4，2)【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.15.已知圆M ：224x y +=，在圆M 上随机取一点P ，则P 到直线2x y +=的距离大于22的概率为 . 【答案】14【解析】【详解】试题分析：作出示意图，由题意P 到直线2x y +=的距离大于22，则P 在阴影部分所对的劣弧上，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为考点：几何概型16.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD 2=，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π 【解析】 【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积. 【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ， BD ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形， 由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π. 故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.)17.已知向量(sin ,cos ),(3cos ,cos ),()a x x b x x f x a b ===⋅. （1）求f (x )的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a sinB sinC ==，若f (A )=1，求△ABC 的周长.【答案】（1）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）4【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f (x )=sin (2x 6π+)12+，再利用正弦函数的单调性即可计算得解.（2）由题意可得sin (2A 6π+)12=，结合范围0<A <π，可求A 的值，由正弦定理利用sinB =3sinC ，可得b =3c ，根据余弦定理可求c 的值，进而可求b 的值，从而可求三角形的周长.【详解】（1）因为a =(sinx ，cosx)，b =( ，cosx )，f (x )a =•3b =sinxcosx +cos 2x =2x 12+cos 2x 12+=sin (2x 6π+)12+，由2π-+2kπ≤2x 62ππ+≤+2kπ，k ∈Z ，可得：3π-+kπ≤x 6π≤+kπ，k ∈Z ，可得f (x )的单调递增区间是：[3π-+kπ，6π+kπ]，k ∈Z ， （2）由题意可得：sin (2A 6π+)12=，又0<A <π， 所以6π<2A 1366ππ+<， 所以2A 566ππ+=，解得A 3π=，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ， 所以a =BC 7=，又sinB =3sinC ，可得b =3c ， 故7=9c 2+c 2﹣3c 2，解得c =1，所以b =3，可得△ABC 的周长为47+.【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换以及正弦定理，余弦定理的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.区间[25,30)[30,35) [35,40) [40,45) [45,50]人数25a b(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250； （2）1人，1人，4人； （3）815. 【解析】 【分析】⑴根据频率分布直方图的意义并结合表格内的已知数可以求得25a =，100b =，250N = ⑵先求出这三组的总人数，根据分层抽样的取样方法求得每组取样的人数⑶利用列举法列出所有的组合方式共有15种，其中满足条件的组合有8种，利用古典概型概率公式求得结果【详解】(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为2561150⨯=， 第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=， 所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．所以恰有1人年龄在第3组的概率为815.【点睛】本题主要考查了频率分布表和频率分布直方图的应用，还考查了利用古典概型概率公式求概率，熟练掌握各个定义，是解题的关键，属于基础题．19.如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上(如图1)，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′(如图2).（1）求证：A′D⊥EF；（2）BF13=BC时，求点A′到平面DEF的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）375【解析】【分析】（1）推导出A′E⊥A′D，A′F⊥A′D，由线面垂直的判定定理得到A′D⊥平面A′EF，由此得证.（2）设点A′到平面DEF的距离为d，由V A′﹣DEF=V D﹣A′EF，能求出点A′到平面DEF的距离. 【详解】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A′E⊥A′D，A′F⊥A′D ，∵A′E∩A′F=A′，∴A′D⊥平面A′EF，∵EF⊂平面A′E F，∴A′D⊥EF. （2）∵113BE BF BC===，∴223A E A F EF A D'''====，，，∴'72A EF S=，∴DE=DF13=52DEF S=，设点A′到平面DEF的距离为d，∵V A′﹣DEF =V D ﹣A′EF ， ∴'11'33DEFA EFd SA D S ⨯⨯=⨯⨯，解得d =.∴点A′到平面DEF . 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直的转化以及等体积法球点到面的距离，还考查转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.已知P 是圆221:(1)16F x y ++=上任意一点，F 2(1,0)，线段PF 2的垂直平分线与半径PF 1交于点Q ，当点P 在圆F 1上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()M 的直线l 与（1）中曲线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=.（2）AOB 面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质，利用椭圆定义法可求得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为x =ty 22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，利用韦达定理结合三角形的面积，利用换元法以及基本不等式求解最值，然后推出直线方程.【详解】（1）由已知|QF 1|+|QF 2|=|QF 1|+|QP |=|PF 1|=4， 所以点Q 的轨迹为以为1F ，2F 焦点，长轴长为4的椭圆， 则2a =4且2c =2，所以a =2，c =1，则b 2=3，所以曲线C 的方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为x =ty 与椭圆22143x y +=交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x ，得(3t 2+4)y 2﹣﹣3=0， 则y 1+y2234t =+，y 1y 22334t =-+， 则S △AOB 12=|OM |•|y 1﹣y 2|2=2==u =，则u ≥1，上式可化为26633u u u u=≤=++ 当且仅当u =t时等号成立， 因此△AOB，此时直线l 的方程为xy 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.21.设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果.【详解】（1）因为()()2ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =-时，()212121x x f x x x x--+=--+='，令()0f x '=，得12x =或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln xa x x =-，令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()2221ln ln 11x xx x x g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ， 当113x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为(]1,3，()()min 11g x g ∴==，又113ln333g ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333+>-， 由于函数()f x 在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，故实数a 的取值范围是ln31,33⎛⎤-⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）2ρ=,4sin cos ρθθ=+；（2）812sin ρθ=+. 【解析】试题分析：（1）圆2cos :(2x C y sin θθθ=⎧⎨=⎩为参数），利用平方法消去参数可得直角坐标方程：224x y +=，利用互化公式可得圆C 的极坐标方程以及直线l 的极坐标方程；（2）)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，由124,2sin cos ρρθθ==+，又2OP OR OQ =⋅，即可得出.试题解析：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=，直线l 的极坐标方程ρ＝.(2)设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,,,,,ρθρθρθ，因为124,2sin cos ρρθθ==+又因为2OP OR OQ =⋅，即 212ρρρ=⋅()21221612sin cos ρρρθθ∴==⨯+，.23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）若不等式()1f x m ≥-有解，求实数m最大值M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤. 【答案】(Ⅰ)4M =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】 试题分析：(Ⅰ)原问题等价于()1max f x m ≥-.由绝对值三角不等式可得123x x --+≤=，则13m -≤，实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313ab a b ++≥+，即34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).试题解析：(Ⅰ)若不等式()1f x m ≥-有解，只需()f x 的最大值()1max f x m ≥-即可. 因为()()12123x x x x --+≤--+=，所以13m -≤，解得24m -≤≤， 所以实数m 的最大值4M =.(Ⅱ)根据(Ⅰ)知正实数a ，b 满足2234a b +=，由柯西不等式可知()()()2223313a b a b ++≥+，所以，()2316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”).。

绝密★启用并使用完毕前长郡中学2021届高三考前冲刺试卷数学本试卷共8页，22小题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{{{(,)A x y B y y c x y y ======，则下列集合不为空集的是（ ） A ．AB B ．AC C ．B CD ．ABC2．已知一元二次方程20ax bx c ++=有两个不同的实数根12,x x ，则“124x x ⋅>且124x x +>”的_______是“12x >且22x >”．（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列1{},()n n a a f n =，其中()f n {}n a 的前m 项和为20，则m =（ ） A ．15 B ．30 C ．60 D ．1104．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日白半．问何日相逢?”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙．大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半．若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．如图的曲线就像横放的胡芦的轴截面的边缘线，我们叫胡芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为122sin (022x y x x ωππ⎛⎫⎡=-≤⋅ ⎪⎢⎣⎝⎭）其中记[]x 为不超过x 的最大整数），且过点,24P π⎛⎫⎪⎝⎭，若葫芦曲线上一点M 到y 轴的距离为53π，则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．14 B ． C ．12 D 6．某地举办“迎建党100周年”乒乓球团体赛，比赛采用新斯韦思林杯赛制（5场单打3胜制，即先胜3场者获胜，比赛结束）．现有两支球队进行比赛，前3场依次分别由甲、乙、丙和A 、B 、C 出场比赛．若经过3场比赛未分出胜负，则第4场由甲和B 进行比赛：若经过4场比塞仍未分出胜负，则第5场由乙和A 进行比赛．假设甲与A 或B 比赛，甲每场获胜的概率均为0.6；乙与A 或B 比赛，乙每场获胜的概率均为0.5；丙与C 比赛，丙每场获胜的概率均为0.5；各场比赛的结果互不影响．那么，恰好经过4场比赛分出胜负的概率为A ．0.24B ．0.25C ．0.38D ．0.57．如表所示是采取一项单独防疫措施感潔COVID 19-的概率统计表：一次核酸检测的准确率为110p -．某家有3人，他们每个人只戴口罩，没有做到勤洗手也没有接种COVID 19-疫苗，感染COVID 19-的概率都为0.01．这3人不同人的核酸检测结果，以及其中任何一个人的不同次核梭检测结果都是互相独立的．他们3人都落实了表中的三项防疫措施，而且共做了10次核酸检测．以这家人的每个人每次核酸检测被确诊感染COVID 19-的概率为依据，这10次核酸检测中，有X 次结果为确诊，X 的数学期望为（ ）A ．61.9810-⨯B ．71.9810-⨯C ．71.810-⨯D ．72.210-⨯8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC 上有一个小孔,E E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDDC 与桌面所成角的正切值为（ ）A．5 B ．12 C．5D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A ．2340i i i i +++= B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 10．函数()f x 的定义域为I ．若0M ∃>使得x I ∀∈均有()f x M <，且函数()1f x +是偶函数，则()f x 可以是（ ）A ．()ln2x f x x =- B ．()()sin cos 22f x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11224x f x =-+ D ．()R 0,C 1,x f x x ∈⎧=⎨∈⎩Q Q 11．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，C 的一条渐近线l的方程为y =，且1F 到I的距离为P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为()2,0,PQ 为12F PF ∠的平分线，则下列正确的是（ ）A ．双曲线的方程为221927x y -= B ．122PF PF = C ．1236PF PF += D ．点P到x 12．将平面向量()12,a x x =称为二维向量，由此可推广至n 维向量()12,,,n a x x x =．对于n 维向量,a b ，其运算与平面向量类似，如数量积1cos n i i i a b a b x y θ=⋅==∑（θ为向量,a b 的夹角），其向量a 的模1n i a x ==∑ ）A ．不等式222111n n n i i i i i i i x y x y ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑可能成立B ．不等式222111n n n i i i i i i i x x y y ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑一定成立C ．不等式2211nn i i i i n x x ==⎛⎫< ⎪⎝⎭∑∑可能成立D ．若()01,2,,i x i n >=，则不等式2111nn i i i i x n x ==≥∑∑一定成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设6x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为a ，则a 的值为________14．锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222,2b c a bc b +=+=，则ABC 的面积的取值范围是________ 15．如果数列{}n a 满足122,1a a ==，且()11112n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，则这个数列的第2021项等于________16．函数()()21026x f x x x e =-+，若1212,,x x Q x x ∀∈≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭成立，则满足条件的一个区间Q 可以是________（填写一个符合题意的区间即可）．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小项满分10分）如图，在梯形ABCD中，2,2,5,3ABCD AB CD ABC π==∠=2//,2,5,3AB CD AB CD ABC π==∠=．（1）若AC=ABCD 的面积；（2）若AC BD ⊥，求tan ABD ∠． 18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且2123n n n a a a ++=+，设数列1n n n b a a +=+．（1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列194n n n b S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：14nT <． 19．（本小题满分12分）某商城玩具柜台元旦期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶123,,A A A 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶12,B B 中的一个．（1）记事件n E ：一次性购买n 个甲系列盲盒后集齐12,,A A A 玩偶；事件n F ：一次性购买n 个乙系列盲盒后集齐12,B B 玩偶；求概率65()()P E P F >；（2）礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为1,5购买乙系列的概率为45；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为1,4购买乙系列的概率为34；前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n 次购买甲系列的概率为n Q ． ①n Q ；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个． 20．（本小题满分12分）如图所示的几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C 、E 、D 、G 四点共面．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若平面BDF 与平面ABGDF 与平面ABF 所成角的大小． 21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，直线:1l x =与C 的两个交点和,O B 构成一个面积为的菱形．（1）求C 的方程；（2）圆E 过,O B ，交l 于点,M N ，,AM AN 分别交C 于另一点,P Q ，点,S T 满足13AS SP =13AT TQ =，求O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值．22．（本小题满分12分） 已知函数21()2xx f x e be ax =++在0x =处取得极值()f x '为()f x 的导数．（1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）若()()f x f x x '<-，a 的取值集合是A ，求A 中的最大整数值与最小整数值． 参考数据：()()()ln16 2.77,2.78,ln17 2.83,2.84,ln18 2.89,2.90∈∈∈长郡中学2021届高三考前冲刺试卷数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．60 14．⎝ 15．22021 16．()2,3等（[]2,4的任意一个非空子区间均可） 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）设BC x =，在ABC 中，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =∠⋅+-得：22228222cos3x x π=+-⋅⋅⋅，即22240x x +-=，而0x >，解得4x =，所以4BC =，则ABC 的面积11sin 24222ABCS AB BC ABC =⋅⋅∠=⋅⋅⋅=， 梯形ABCD 中，//AB CD ，ABC 与ADC 等高，且52ABCD =，所以ADC的面积52ABCADCSS==，则梯形ABCD 的面积7ABCADCS S S =+= （5分）（2）在梯形ABCD 中，设ABD α∠=，而AC BD ⊥， 则BDC α∠=，2BAC πα∠=-，23DBC a π∠=-，6BCA πα∠=-， 在ABC 中，由正弦定理sin sin AB BCBCA BAC=∠∠得：2sin sin 62BC ππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，在BDC 中，由正弦定理sin sin CD BCDBC BDC=∠∠得：52sin sin 3BCπαα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，两式相除得：122sin 2sin 22sin sin 3cos 5sin sin 62παααααππααα⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪- ⎪⎝⎭=⇒=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得227sin cos 0αααα--=，即27tan 0αα--=，解得tan 3α=或tan 5α=-，因为,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，则tan α=tan ABD ∠=． （10分） 18.（1）∵21133n n n n a a a a ++++=+，∴13n n b b +=且121213b a a =+=+=∴{}n b 是以3为首项3为公比的等比数列∴3n nb =． （6分）（2）1333(31)132n n n S +--==- ()()111931114231313131n nn n n n n n b S S +++⎛⎫==- ⎪⋅----⎝⎭∴2231111111111111231313131313122314nn n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭ （12分）19.（1）由题意基本事件共有：63种情况， 其中集齐123,,A A A 玩偶的个数可以分三类情况，123,,A A A 玩偶中，每个均有出现两次，共222642C C C 种；123,,A A A 玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共32136313C C C A 种；123,,A A A 玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共142362C C A 种，故()22232134264263136266320327C C C C C C A C A P E ++==． 根据题意，先考虑一次性购买n 个乙系列盲盒没有集齐12,B B 玩偶的概率，即5112P +=所以551115()1216P F +=-=． （4分） （2）①由题意可知：115Q =，当2n ≥时，1111(1)24n n n Q Q Q --=-+，∴1212()545n n Q Q --=--所以25n Q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以15-为首项，14-为公比的等比数列，∴1112()545n n Q -=--+， （7分）②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作n 趋向无穷大， 所以购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则2~100,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2()100405E ξ=⨯=即购买甲系列的人数的期望为40， 所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个． （12分） 20.（1）如图，连接CE ，因为几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，所以45,90,ECD DCG ECG CE CG ∠=∠=︒∠=︒⊥， 因为//,BC EF BC EF =，所以四边形BCEF 为平行四边形，//,BF EC BF CG ⊥， 因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ，所以BC BF ⊥， 因为BC CG C ⋂=，所以BF⊥平面BCG ，因为BF ⊂平面BFD ，所以平面BFD ⊥平面BCG . （6分）（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设2,AF AD t ==，则()0,0,0A、()0,2,0B 、()2,0,0F 、()0,0,D t ﹑()1,1,G t -，(0,2,0),(1,1,),(2,2,0),(2,0,)AB AG t FB FD t ==-=-=-，设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0n FB n FD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理得22020x y x tz -+=⎧⎨-+=⎩，令2z =，则,,2n t t =，设平面ABG 的一个法向量为(,,)m x y z '''=，则00m AB m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理得00y x y tz '=⎧⎨'''-++=⎩，令1z '=，则,0,1m t =，22cos ,||||2mn m n m n t ⋅〈〉==⋅+， 因为平面BDF 与平面ABG 所成锐二面角的余弦值为52=，解得2t =，即2AD =， 因为DA ⊥平面ABF ，所以DFA ∠即直线DF 与平面ABF 所成的角，在ADF 中，因为90DAF ∠=︒，2AD AF ==，所以45DFA ∠=︒， 故直线DF 与平面ABF 所成的角为45︒． （12分）21．解法一：（1）因为直线:1l x =与C 的两个交点和O ，B 构成的四边形是菱形， 所以l 垂直平分OB ，所以()2,0,2B a =． （1分）设()01,Dy 为直线l 与C 的一个交点，则菱形的面积为0012222yy ⨯⨯=． （2分）02||y =解得0y =(1,D ． （3分）将点(1,D 代入22221x y a b +=，得221312a b +=，又24a =，所以22b =． （4分） 所以C 的方程为22142x y +=． （5分） （2）由题意，得OB 为圆E 的一条弦，且直线1x =垂直平分该弦， 故直线1x =经过圆心E ，所以MN 为圆E 的直径，因此90MON ∠=︒， 即0OM ON ⋅=． 设()()1,,1,M N My N y ，则1M N y y =-． （6分）注意到,33M N AM AN y y k k ==，则199M N AM AN y y k k ⋅==-． 又因为,AMAP AN AQ k k k k ==，所以19AP AQ k k =-． （7分）设直线PQ 的方程为(2)x my t t =+≠-，()()1122,,,Px y Q x y ．由22,142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222240m y mty t +++-=．()()()22222244248240m t m t m t ∆=-+-=+->，(*)12222mt y y m +=-+，212242t y y m -=+．① （8分） 因为112APy k x =+，222AQ y k x =+，故12121229y y x x ⋅=-++， 即()()12121229y y my t my t =-++++．即()122212121(2)(2)9y y m y y m t y y t =-+++++． 将①代入上式得()()22222241942(2)(2)2t m t m t t t m -=---++++， （9分）化简得212(2)9t t -=-+，解得1411t =，满足()*．所以直线PQ 的方程为1411x my =+， 故直线PQ 过定点14(,0)11G . （10分） 由11,33AS SP AT TQ ==.所以//ST PQ ，所以直线ST 也过定点H ，且13AH HG =，解得13(,0)11H -． （11分）注意到O 位于线段GH 上，故O 到直线ST 的距离与O 到直线PQ 的距离之和等于两平行直线,ST PQ 之间的距离d ，且2711d ≤． 当,ST PQ 垂直于x 轴时，点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和为2711， 所以点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值是2711． （12分） 解法二：（1）同解法一． （5分） （2）由（1）可得()2,0A-，设直线AM 的方程为1(2)y k x =+，则()11,3M k ．另设直线AN 的方程为2(2)y k x =+，则()21,3Nk ．由题意，得OB 为圆E 的一条弦，且直线1x =垂直平分该弦，故直线1x =经过圆心E ，所以MN 为圆E 的直径，因此90MON ∠=︒，即0OM ON ⋅≡． 所以121330k k +⋅=，即1219k k =-． （6分）由122(2),142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得221(2)[(21)42]0x k x k +++-=， （7分）所以21214221P k x k -=-+．将21214221P k x k -=-+代入1(2)y k x =+，得121421P k y k =+， 即2112211424,2121k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． （8分）同理可得2222222424,2121k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当120k k +≠时，直线PQ 的斜率为()()()()()2122121212212221121212222144842121214242822121PQk k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----++===--+-+-+++， 所以直线PQ 的方程为()211212211214214221221k k k k y x k k k k ⎛⎫---=+ ⎪+++⎝⎭， （9分） 即()()()()()()()222121112121121221821212142y k k k k k k k k k x k k k ++-+=-++--①． 将1219k k =-代入①，得()1211141811y x k k ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，所以直线PQ 过定点14,011G ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当120k k +=时，直线PQ 的方程为1411x =，也过点14,011G ⎛⎫⎪⎝⎭． 因此直线PQ 始终过定点14,011G ⎛⎫⎪⎝⎭． （10分） 设直线ST 与x 轴交于点(),0H H x ．因为11,33AS SP AT TQ ==，所以//ST PQ ，且13AH HG =， 所以1142311H H x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得1311H x =-，即直线ST 过定点13,011H ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （11分） 设直线PQ 的方程为1411x ty =+，即1111140x ty --=． 所以点O 到直线PQ的距离为1d =同理可得点O 到直线ST的距离为2d =所以122711d d +=≤，当且仅当0t =，即PQ 垂直于x 轴时等号成立． 故点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值为2711． （12分） 解法三：（1）同解法一． （5分） （2）设()()1,,1,M N My N y .由已知得E 在直线1x =上，设()1,Es ，则圆E 的方程222(1)()1x y s s -+-=+.令1x =，得2210y sy --=，由韦达定理，得1M N y y =-．由（1）可得()2,0A-，所以直线AM 的方程为(2)3M y y x =+，直线AN 的方程为(2)3N yy x =+． 由22(2),3142M y y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理，得()22222988360MM M y x y x y +++-=， （7分） 所以22836229M P M y x y --=+，则2241829M P M y x y -=-+． 将2241829M P M y x y -=-+代入(2)3My y x =+，得21229M P M y y y =+， 即22241812,2929M M M M y y P y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． （8分） 同理可得22241812,2929N N N N y y Q y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 当0M N y y +≠时，直线PQ 的斜率()()222222121229112929664184182929M NM N M N PQM N M N M N M N y y y y y y k y y y y y y y y --++===-++⎛⎫----- ⎪++⎝⎭． 所以直线PQ 的方程()222121141829629M M M M N M y y y x y y y y ⎛⎫--=-+ ⎪+++⎝⎭， （9分） 即()222114181262929M MM N M M y y y x y y y y ⎛⎫-=-++ ⎪+++⎝⎭， 即()()222611418126292911M N M M M N M M y y y y y x y y y y +⎛⎫-=-+-⋅ ⎪+++⎝⎭， 即()1114611M N y x y y ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭．所以直线PQ 过定点14,011G ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当 0MN y y +=时，直线PQ 的方程为1411x =，也过点14,011G ⎛⎫⎪⎝⎭．因此直线PQ 始终过定点14,011G ⎛⎫⎪⎝⎭. （10分） 设直线ST 与x 轴交于点(),0H H x ．因为11,33AS SP AT TQ ==，所以//ST PQ ，且13AH HG =， 所以1142311HH x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得1311H x =-，即直线ST 过定点13,011H ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （11分）设直线PQ 的方程为1411x ty =+，即1111140x ty --=． 所以点O 到直线PQ 的距离为1d =同理可得点O 到直线ST 的距离为2d =所以122711d d +=≤，当且仅当0t =，即PQ 垂直于x 轴时等号成立. 故点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值为2711． （12分） 解法四：（1）同解法一. （5分）（2）因为OB 为圆E 的一条弦，且直线1x =垂直平分该弦，故直线1x =经过圆心E ， 故MN 为圆E 的直径，所以90MON ∠=︒，即0OM ON ⋅=． 设()1,M My ，()1,N N y ，则1M N y y =-， （6分）注意到k ,33M N AM AN y y k k ==，则199M N AM AN y y k k ⋅==-，即19A AP Q k k ⋅=- （7分） 显然AP k ，AQ k 都不为零，设11AP t k =，21AQt k =，则129t t ⋅=-． 设直线AP 的方程为12x t y =-，直线AQ 的方程为22x t y =-，得到直线AP 与直线AQ 的直线系方程为[][]12(2)(2)0t y x t y x -+-+=， （8分）即()22129(2)(2)0(*)yt t x y x --++++=．将(*)与椭圆221:(4)2C y x =-联立得 ()()221294(2)(2)02x t t x y x ---++++=．① （9分） 其中A ，P ，Q 三点的坐标符合方程①．若20x +≠，即2x ≠-，则方程①可化为129(2)()202x t t y x ---+++=．② 其中P ，Q 两点的坐标符合方程②，又注意到②为二元一次方程， 故②即为P ，Q 所在直线方程，整理得直线PQ 的方程为1211()702x t t y -+-=． 所以无论12t t +为何值，直线PQ 都经过点14(,0)11G ． （10分） 由题意得，11,44AS AP AT AQ ==，所以//ST PQ ， 所以直线ST 也过定点H ，且14AH AG =，解得13(,0)11H -． （11分）注意到O 位于线段GH 上，故O 到直线ST 的距离与O 到直线PQ 的距离之和等于两平行直线,ST PQ 之间的距离d ，且2711d ≤． 当,ST PQ 垂直于x 轴时，点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和为2711， 所以点O 到直线ST 和直线PQ 的距离之和的最大值是2711． （12分） 22．（1）由题意，函数21()2xx f x e be ax =++的定义域为R ，且2()x x f x e be a '=++，因为()f x 在0x =处取得极值，可得()010f b a '=++=，又由()0f x '=，即2(1)0x xe a e a -++=﹐解得ln x a =或0x =． （2分）①若1a =，则()2()10x f x e '=-≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， 与()f x 在0x =处取得极值矛盾，故1a ≠．②若01a <<，当(,ln )x a ∈-∞或(0,)x ∈+∞时，()0f x '>； 当(ln ,0)x a ∈时()0f x '<，所以()f x 在(ln ,0)a 上单调递减，在(,ln ),(0,)a -∞+∞上单调递增. ③若1a >，当),(0x ∈-∞或(0,ln )x a ∈时，()0f x '<； 当()0,ln x a ∈时()0f x '<，所以()f x 在()0,ln a 上单调递减，在()(,0,ln ,)a -∞+∞上单调递增．综上，当1a =时，不符合题意； 当01a <<时，()f x 在()ln ,0a 上单调递减，在(),ln ,0,()a -∞+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(0,ln )a 上单调递减，在(,0),(ln ,)a -∞+∞上单调递增． （5分）（2）设21()()()(1)2xg x f x x f x e a '=--=-+，则2()(1)x g x e a '=-+， （ⅰ）若1a ≤-，则1(0)02g a =+<，不合题意． （ⅱ）若1a >-，由()0g x '=，可1ln(1)2x a =+，当1,ln(1)2x a ⎛⎫∈-∞+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当1ln(1),2x a ⎛⎫∈++∞⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 故min 1311()ln(1)(1)ln(1)2222g x g a a a a ⎛⎫=+=-+++ ⎪⎝⎭，令311()(1)ln(1)222h a a a a =-+++，则()h a 是()g x 的最小值， 1()1ln(1)2h a a '=-+，当21a e =-时，()0h a '=，当()21,1a e ∈--时，()()0,h a h a '>单调递增；当2(1,)a e-+∈∞时，()()0,h a h a '<单调递减.1(0)02h =>，315()ln 40488h -=-<， 49171174917 2.84(16)0.36022h --⨯=>=>，(17)269ln18269 2.890.010h =-<-⨯-<， 设(),A m n =，则30,16174m n -<<<<，故A 中的最大整数值是16，最小整数值是0． （12分）。

2021届湖南长郡中学新高三原创预测试卷（二）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z 满足，i iiz +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i 2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x xA ，{}2<=x x B ，则A∩B=A ．{}12<<-x xB ．{}23<<-x xC ．{}12≤<-x xD ．{}12≤≤-x x 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -4 4．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为 A ．2 B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.4 6．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅= A ．2 B ．5 C ．3 D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为A ．2 C ．4B ．3 D ．5 9．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为 A ．161 B ．41 C ．1 D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax ex f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或C ．{}e a a a =≤，或0D ．{}10=≤a a a ，或11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k := A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13．函数ln 1xy x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。

湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期考前冲刺最后一卷数学（文2021届长郡中学高考最后一卷文科数学第一卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M？{x|x？1}，n？{x | 2x？1？1}，那么Mn？（）a．{x|x??1}b．{x|x?1}c．{x|?1?x?1}d．{x|x?1}（一）22。

假设我是虚单位，如果复Z满足Z？，然后是Z？（）1?ia．1?ib．1?ic．?1?id．?1?i3.用一平面去截一正方体后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是（）a、 9310b.3c.5d。

22a14.定义行列式运算B罪？xa2？a1b2？A2B1，已知函数f（x）？b2cos？十、13（±10），满足以下要求：f(x1)?0，f(x2)??2，且x1?x2的最小值为，然后（）2a的值。

1b。

2c。

3d。

45执行如图所示的程序框图，输出s值为（）a．3b．7c．23d．246.星光幼儿园对园内幼儿身高随年龄变化情况进行调研，其中年龄（周岁）用x表示，平均身高（单位：米）用y表示，x，y的对应关系如下表所示：xy30。

904561.301.08a如果Y关于X的回归方程是Y？0.2倍？0.22，则表中a的值为（）a.1.22b。

1.20摄氏度。

1.12d。

1.247已知在正项比例序列{an}中，A3和A13的比例中值项为23，那么2A6？最小值为46a168。

12c。

B给定R上定义的偶数函数f（x）？十、A.十、如果B（a，B？R）的最小值为2f(a)?f(b)?f(0)?（）a、 0b.1c.2d.39。

在《算术九章》中的“商公”一章中，四面为直角三角形的几何体被称为“龟”。

现有的三角形金字塔“龟”形化学实验玻璃器皿a？BCD（如图所示），高度AB和底部的三角形边BD和CD的长度为1分米。

侧边ad上有一个扁平的溶液泄漏P （泄漏半径被忽略），AP:PD？1: 3. 如图所示放置实验装置，并估计溶液的最大升数。